Übung zu „Einführung in die Informatik“ # 7

Aufgabenbesprechung
Übung zu „Einführung in die Informatik“ # 7
Tobias Schill
[email protected]
11. Dezember 2015
Aktualisiert am 11. Dezember 2015 um 3:22
Tobias Schill [email protected]
Übung zu „Einführung in die Informatik“ # 7
Aufgabenbesprechung
Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 1)
Wie werden in einem B-adischen Zahlensystem Zahlen
dargestellt?
n−1
P
ai B i mit ai ∈ {0, . . . , B − 1}
i=0
Beispiel mit Basis 10:
n−1
P
ai 10i mit ai ∈ {0, . . . , 9}
i=0
Mit n = 2:
1
P
ai 10i mit
i=0
ai ∈ {0, . . . , B − 1} = a0 · 100 + a1 101 = 1 · a0 + 10 = 10
1
https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem#
Darstellungen_verschiedener_Zahlenmengen
Tobias Schill [email protected]
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1
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 1)
Wie werden in einem B-adischen Zahlensystem Zahlen
dargestellt?
n−1
P
ai B i mit ai ∈ {0, . . . , B − 1}
i=0
Beispiel mit Basis 10:
n−1
P
ai 10i mit ai ∈ {0, . . . , 9}
i=0
Mit n = 2:
1
P
ai 10i mit
i=0
ai ∈ {0, . . . , B − 1} = a0 · 100 + a1 101 = 1 · a0 + 10 = 10
1
https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem#
Darstellungen_verschiedener_Zahlenmengen
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Aufgabenbesprechung
Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 2)
Worin unterscheidet sich das Dezimal- und das Binärsystem?
In ihrer Basis. Dezimalsystem hat Basis 10, Binär die Basis 2.
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Aufgabe 6 – 10
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Aufgabe 2)
Worin unterscheidet sich das Dezimal- und das Binärsystem?
In ihrer Basis. Dezimalsystem hat Basis 10, Binär die Basis 2.
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
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Aufgabe 3)
Wandeln Sie die Zahl (33)10 ins Binärsystem um.
(100001)2
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Aufgabe 3)
Wandeln Sie die Zahl (33)10 ins Binärsystem um.
(100001)2
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 4)
Wie können im Rechner Zeichen repräsentiert werden?
ASCII, extended ASCII, UTF8, Unicode
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ASCII, extended ASCII, UTF8, Unicode
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 5)
Wie werden im Rechner Zahlen repräsentiert?
Wenn positiv als Zweiersystem, wenn negativ als
Zweierkomplement.
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Wie werden im Rechner Zahlen repräsentiert?
Wenn positiv als Zweiersystem, wenn negativ als
Zweierkomplement.
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Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 6)
Wie werden im Rechner negative ganze Zahlen repräsentiert
und warum macht man das so komisch?
Zweierkomplement. Mit Vorzeichenbit funktioniert die
Addition von negativen Zahlen nicht (siehe Beispiel im Skript).
Tobias Schill [email protected]
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 6)
Wie werden im Rechner negative ganze Zahlen repräsentiert
und warum macht man das so komisch?
Zweierkomplement. Mit Vorzeichenbit funktioniert die
Addition von negativen Zahlen nicht (siehe Beispiel im Skript).
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Aufgabe 7)
Wie werden im Rechner Kommazahlen gemäß dem
IEEE-Standard repräsentiert?
(−1)s (1.m22 . . . m0 )2e7 ...e0 −127
Wichtig: Besonderheiten bei Mantisse und Exponent!
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Aufgabe 7)
Wie werden im Rechner Kommazahlen gemäß dem
IEEE-Standard repräsentiert?
(−1)s (1.m22 . . . m0 )2e7 ...e0 −127
Wichtig: Besonderheiten bei Mantisse und Exponent!
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Aufgabe 8)
Skizzieren Sie, wie man zwei Gleitkommazahlen multipliziert
bzw. addiert.
Multiplikation:
m1 2r1 · m2 2r2 = m1 · m2 · 2r1 ·r2
(a) Exponenten werden addiert (versetzte Darstellung beachten)
(b) Multiplikation der Mantissen (eventuell neu normalisieren)
(c) Vorzeichen addieren
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Aufgabe 8)
Skizzieren Sie, wie man zwei Gleitkommazahlen multipliziert
bzw. addiert.
Multiplikation:
m1 2r1 · m2 2r2 = m1 · m2 · 2r1 ·r2
(a) Exponenten werden addiert (versetzte Darstellung beachten)
(b) Multiplikation der Mantissen (eventuell neu normalisieren)
(c) Vorzeichen addieren
Addition:
(a) Exponenten angleichen, Zahl mit dem kleineren Exponenten
denormalisieren.
(b) Bei negativen Zahlen muss die Mantisse in das
Zweierkomplement mit führender 0 umgerechner werden.
(c) Mantisse addieren, falls negatives Ergebnis Betrag berechnen.
(d) Normalisieren des Ergebnisses.
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Aufgabe 8)
Skizzieren Sie, wie man zwei Gleitkommazahlen multipliziert
bzw. addiert.
Multiplikation:
m1 2r1 · m2 2r2 = m1 · m2 · 2r1 ·r2
(a) Exponenten werden addiert (versetzte Darstellung beachten)
(b) Multiplikation der Mantissen (eventuell neu normalisieren)
(c) Vorzeichen addieren
Addition:
(a) Exponenten angleichen, Zahl mit dem kleineren Exponenten
denormalisieren.
(b) Bei negativen Zahlen muss die Mantisse in das
Zweierkomplement mit führender 0 umgerechner werden.
(c) Mantisse addieren, falls negatives Ergebnis Betrag berechnen.
(d) Normalisieren des Ergebnisses.
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Aufgabe 9)
Was ist eine Schaltfunktion?
Eine Abbildung f : B n → B heißt Schaltfunktion oder
Boolsche Funktion.
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
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Aufgabe 10)
Wie leitet man aus einer Wahrheitstabelle eine DNF ab?
Disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen über
alle Variablen, d.h. man stellt für alle Zeilen der
Wahrheitstabelle, die als Ergebnis eine 1 besitzen eine
Konjunktion auf (Verbinden der Variablen mit logischem
UND). Steht bei einer Variablen in dieser Zeile eine 0, so wird
diese Variable negiert, ansonsten wird sie unverändert
übernommen. Dann werden alle diese Ausdrücke mit einem
logischen ODER (Disjunktion) verbunden.
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 10)
Wie leitet man aus einer Wahrheitstabelle eine DNF ab?
Disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen über
alle Variablen, d.h. man stellt für alle Zeilen der
Wahrheitstabelle, die als Ergebnis eine 1 besitzen eine
Konjunktion auf (Verbinden der Variablen mit logischem
UND). Steht bei einer Variablen in dieser Zeile eine 0, so wird
diese Variable negiert, ansonsten wird sie unverändert
übernommen. Dann werden alle diese Ausdrücke mit einem
logischen ODER (Disjunktion) verbunden.
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Aufgabe 1 – 5
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Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 10 – Fortsetzung)
Wie leitet man aus einer Wahrheitstabelle eine KNF ab?
Konjunktive Normalform: Konjunktion von Disjunktionen über
alle Variablen, d.h. man stellt für alle Zeilen der
Wahrheitstabelle, die als Ergebnis eine 0 besitzen eine
Disjunktion auf (Verbinden der Variablen mit logischem
ODER). Steht bei einer Variablen in dieser Zeile eine 1, so
wird diese Variable negiert, ansonsten wird sie unverändert
übernommen. Dann werden alle diese Ausdrücke mit einem
logischen UND (Konjunktion) verbunden.
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Aufgabe 1 – 5
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Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 10 – Fortsetzung)
Wie leitet man aus einer Wahrheitstabelle eine KNF ab?
Konjunktive Normalform: Konjunktion von Disjunktionen über
alle Variablen, d.h. man stellt für alle Zeilen der
Wahrheitstabelle, die als Ergebnis eine 0 besitzen eine
Disjunktion auf (Verbinden der Variablen mit logischem
ODER). Steht bei einer Variablen in dieser Zeile eine 1, so
wird diese Variable negiert, ansonsten wird sie unverändert
übernommen. Dann werden alle diese Ausdrücke mit einem
logischen UND (Konjunktion) verbunden.
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Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 11)
Vereinfachen Sie den folgenden logischen Ausdruck mittels der
Resolutionsregel:
x1 x2 x3 x4 ∨ x1 x2 x3 x4 ∨ x2 x3 x4
= ((x1 ∨ x1 ) ∧ (x2 x3 x4 )) ∨ x2 x3 x4
= x2 x3 x4 ∨ x2 x3 x4
= ((x4 ∨ x4 ) ∧ (x2 x3 ))
= x2 x3
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Aufgabe 11)
Vereinfachen Sie den folgenden logischen Ausdruck mittels der
Resolutionsregel:
x1 x2 x3 x4 ∨ x1 x2 x3 x4 ∨ x2 x3 x4
= ((x1 ∨ x1 ) ∧ (x2 x3 x4 )) ∨ x2 x3 x4
= x2 x3 x4 ∨ x2 x3 x4
= ((x4 ∨ x4 ) ∧ (x2 x3 ))
= x2 x3
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 12)
Was besagt die Resolutionsregel?
Lösung: Kommen in einer disjunktiven Form (DF) zwei
Konjunktionen vor bzw. kommen in einer konjunktiven Form
(KF) zwei Disjunktionen vor, die sich in genau einer
komplementären Variablen unterscheiden, dann können diese
durch den gemeinsamen Teil ersetzt werden.
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Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 12)
Was besagt die Resolutionsregel?
Lösung: Kommen in einer disjunktiven Form (DF) zwei
Konjunktionen vor bzw. kommen in einer konjunktiven Form
(KF) zwei Disjunktionen vor, die sich in genau einer
komplementären Variablen unterscheiden, dann können diese
durch den gemeinsamen Teil ersetzt werden.
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Aufgabe 1 – 5
Aufgabe 6 – 10
Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 13)
Wie kann man einen Halbaddierer aus Gattern aufbauen?
Halbaddierer: Addition zweier einstelliger Binärzahlen mit
Beachtung des Übertrags.
x
0
1
0
1
y
0
0
1
1
R
0
1
1
0
U
0
0
0
1
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Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 13)
Wie kann man einen Halbaddierer aus Gattern aufbauen?
Halbaddierer: Addition zweier einstelliger Binärzahlen mit
Beachtung des Übertrags.
x
0
1
0
1
y
0
0
1
1
R
0
1
1
0
U
0
0
0
1
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Aufgabe 11 – 14
Aufgabe 13)
Wie lässt sich aus Voll- und Halbaddierern ein Addiernetz für
die Addition zweier 3-stelliger Dualzahlen aufbauen?
Lösung: Analog zum Addiernetz für 4-stellige Dualzahlen:
Halbaddierer und 2 Volladdierer.
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Aufgabe 13)
Wie lässt sich aus Voll- und Halbaddierern ein Addiernetz für
die Addition zweier 3-stelliger Dualzahlen aufbauen?
Lösung: Analog zum Addiernetz für 4-stellige Dualzahlen:
Halbaddierer und 2 Volladdierer.
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