Dreieckszahlen: Von Ansichten zu Einsichten

1
Dreieckszahlen:
Von Ansichten zu Einsichten
Vortrag im Didaktischen Kolloquium Mathematik
an der Technischen Universität Braunschweig
25.11.2008
Prof. Dr. Joachim Jäger
Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
2
1. Dreieckszahlen
1.1 Was sind Dreieckszahlen?
D(1) = 1 D(2) = 3
D(3) = 6
D(4) = 10
Die n.te Dreieckszahl ist D(n) := 1 + 2 + 3 + ... + n .
Bestimmung von D(n): Zwei anschauliche Methoden
D(4) + D(4) = 4 ⋅ 5
Allgemein:
2 ⋅ D(n) = n ⋅ (n + 1) ⇒ D(n) =
n ⋅ (n + 1)
2
D(4) + D(4) + 5 = 52
Allgemein:
2 ⋅ D(n) + n + 1 = ( n + 1)
2
⇒ 2 ⋅ D(n) = ( n + 1) − (n + 1) = n ⋅ (n + 1)
2
D ( n) =
n ⋅ (n + 1)
2
(1)
1.2 Was ist 13 + 23 + ... + n3 ?
D(5) = D(4) + 5
D(n) = D(n −1) + n
subtraktiv notiert: D(n) − D(n −1) = n
3
Was ist D(n − 1) + D(n) ?
D(4) + D(5) = 52
Allgemein:
D(n −1) + D(n) = n2
Multiplikation:
D(n)2 − D(n − 1)2 = ( D (n) − D(n − 1) ) ⋅ ( D(n) + D(n − 1) ) = n ⋅ n 2 = n3
D(n)2 − D(n −1)2 = n3
(2)
Aufgabe: D(n)2 + D(n −1)2 ?
32 − 12 = 23
62 − 32 = 33
102 − 62 = 43
Formel für die Summe der Kuben:
2
⎛ n(n + 1) ⎞
2
⎜
⎟ = D ( n)
2 ⎠
⎝
2
= D(n)2
−
D(n −1)
2 + D(n − 1)
− D(n − 2)
2 + ... + D(2)2
− D(1)
2 + 1
( n −1)3
n3
23
= n3 + (n − 1)3 + ... + 23 + 13
⎛ n ⋅ (n + 1) ⎞
1 + 2 + 3 + ... + (n −1) + n = ⎜
⎟
2
⎝
⎠
3
3
3
3
2
3
Aufgabe: 1 + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) +… ?
(3)
4
1.3 Zerlegen und Zusammensetzen
Beispiel 1:
D(3 + 4) = D(3) + D(4) + 3 ⋅ 4
Allgemein:
D ( n + m) = D ( n) + D ( m ) + n ⋅ m
Folgerung: Berechne D(2n) = D(n + n) , D(3n) = D(2n + n) usw.
D(n + m) = D(n) + D(m) + n ⋅ m
D(m ⋅ n) = m ⋅ D(n) + n2 ⋅ D(m −1)
(4)
Beispiel 2:
9 ⋅ D(4) + 1 = D(13)
Allgemein:
9 ⋅ D(n) + 1 = D(3n + 1)
9 ⋅ D(n) + 1 = D(3n + 1)
(5)
Aufgabe: Verallgemeinerung von (5): (2k + 1)2 ⋅ D(n) + D(k ) = D ( (2k + 1) ⋅ n + k )
5
Beispiel 3: Nicomachus' Formel:
8 ⋅ D(4) + 1 = 92
Allgemeiner:
8 ⋅ D(n) + 1 = (2n + 1)2
8 ⋅ D(n) + 1 = (2n + 1)2
(6)
2. Polygonalzahlen
2.1 Vom Dreieck zum e-Eck
Ersetzen eines Dreiecks durch ein Polygon mit e Ecken:
Die n.te e-Eck-Zahl sei p(e, n) ; speziell ist p(3, n) = D(n) .
Polygonalzahlen und arithmetische Progression:
e = 3:
1+2+3+4+5+…
(Progression mit Schrittweite 1)
e = 4:
1+3+5+7+9+…
(Progression mit Schrittweite 2)
e = 5:
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … (Progression mit Schrittweite 3)
6
Berechung:
Beispiel: e = 6:
Die n.te e-Eck-Zahl besteht aus n "Bögen".
Anzahl der Ecken auf dem k.ten Bogen:
bk : arithmetische Progression, Differenz: e – 2.
bk = (k −1) ⋅ (e − 2) + 1
Nach (1):
n
n
n
k =1
k =1
k =1
p(e, n) = ∑ bk = ∑ ( (k − 1) ⋅ (e − 2) + 1) = (e − 2)∑ (k − 1) + n = (e − 2) ⋅ D(n − 1) + n
p(e, n) = (e − 2) ⋅ D(n − 1) + n
n
= ⋅ ( e ⋅ (n − 1) − 2 ⋅ (n − 2) )
2
n
= ⋅ ( 2 + (e − 2) ⋅ (n − 1) )
2
e−2 2 e−4
=
⋅n −
⋅n
2
2
(7)
Hätte man das sehen können? Ja!
e = 6, n = 5
p(6,5) = 4 ⋅ D(4) + 5
Eine weitere Berechnung:
7
p(e, n) = p(3, n) + (e − 3) ⋅ p(3, n − 1) = D(n) + (e − 3) ⋅ D(n − 1)
(8)
2.2 Eine Rekursion
Rückführung des e-Eck aus einem e–1-Eck durch Abtrennen eines Dreiecks.
p(e, n) = p(e − 1, n) + p(3, n − 1) = p(e − 1, n) + D(n − 1)
(9)
2.3 Verallgemeinerungen
Verallgemeinerung von (4): D(n + m) = D(n) + D(m) + n ⋅ m :
p(e, n + m) = p(e, n) + p(e, m) + n ⋅ m ⋅ (e − 2)
(10)
Verallgemeinerung von (6): 8 ⋅ D(n) + 1 = (2n + 1)2 :
8 ⋅ (e − 2) ⋅ p(e, n) + (e − 4)2 = ( (e − 2) ⋅ (2n −1) + 2 )
2
Aufgabe: Geometrische Begründung für p(e, n) = (e − 2) ⋅ D(n) − (e − 3) ⋅ n
(11)
8
3. Dimension drei
3.1 Tetraederzahlen
Von Dreieckszahlen durch "Schichten" zu Tetraederzahlen
Die n.te Tetraederzahl ist T (n) = D(1) + D(2) + ... + D(n)
Berechnung:
k ⋅ (k + 1)
2
k =1
n
T (n) = D(1) + D(2) + ... + D(n) = ∑
(12)
n
Braucht man dazu Summenformel für
k2
∑
k =1
?
n
Zusammenhang zwischen T(n) und
k2 :
∑
k =1
1. Methode: T(n) auf zweite Weise berechnen
Geometrisch klar im rechten Bild oben!:
n
T (n) = 1⋅ n + 2 ⋅ (n − 1) + ... + k ⋅ (n + 1 − k ) + ... + n ⋅1 = ∑ k ⋅ (n + 1 − k )
k =1
n
n
n
k =1
k =1
k =1
= (n + 1) ⋅ ∑ k − ∑ k 2 = (n + 1) ⋅ D(n) − ∑ k 2
n
T (n) + ∑ k 2 = D(n) ⋅ (n + 1)
k =1
(13)
9
Die gleiche Formel mit einer anderen geometrischen Methode:
2. Methode: Geometrische Zusammensetzung
Tetraeder auf Quadratische Pyramide klappen:
Ergebnis: Durch Zusammensetzen entsteht eine "Treppe":
n
T (n) + ∑ k 2 = D(n) ⋅ (n + 1)
k =1
Ergebnis bei beiden Methoden: Berechnung von T(n) ist äquivalent zur
n
Berechnung von
k2 .
∑
k =1
(13)
10
Vergleich von (12) und (13):
⎞
k ⋅ (k + 1) 1 ⎛ n 2 n ⎞ 1 ⎛ n 2
= ⋅ ⎜⎜ ∑ k + ∑ k ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜ ∑ k + D(n) ⎟⎟ ⇒
2
2 ⎝ k =1
2 ⎝ k =1
k =1
k =1 ⎠
⎠
n
T ( n) = ∑
1 n 2 1
3 n 2 ⎛
1⎞
(n + 1) ⋅ D(n) − ∑ k = T (n) = ⋅ ∑ k + ⋅ D(n) ⇒ ⋅ ∑ k = ⎜ n + ⎟ ⋅ D(n) ⇒
2 k =1
2
2 k =1
2⎠
⎝
k =1
n
2
n
2 ⎛
1⎞
n
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
6
k 2 = ⋅ ⎜ n + ⎟ ⋅ D(n) = (2n + 1) ⋅ D(n) =
∑
3 ⎝
2⎠
k =1
k2 =
∑
k =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
6
(14)
n
Ziel: Berechung von T(n) ohne Formel für
k2
∑
k =1
3. Methode: Analogie zu Volumenberechung "Grundfläche x Höhe / 3"
Bestimme h(n) so, dass T (n) =
D(n) ⋅ h(n)
3 ⋅ T ( n)
ist, also h(n) =
.
3
D ( n)
Experimentelle Berechung: T(n) für n = 1,…,10 "per Hand"
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D(n)
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
T( n )
1
4
10 20
35
56
84
120 165 220
3T(n)
3 12 30 60 105 168 252 360 495 660
h(n) = 3T(n)/D(n)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Vermutung: h(n) = n + 2 .
T ( n) =
D(n) ⋅ h(n) n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
=
3
6
(15)
Beweis durch Anschauung:
Zusammensetzen von 6 "Tetraedern" zu einem Quader mit den Seitenlängen n,
n + 1 und n + 2.
1. Schritt: Zusammensetzen von 3 Tetraedern zu einer Treppe
2. Schritt: Zusammensetzen von 2 gleich großen Treppen zu einem Quader.
11
1. Schritt: Zusammensetzen von 3 gleich großen Tetraedern zu einer Treppe
Drei n-Tetraeder ergeben eine Treppe mit Breite n + 2 und Höhe n
2. Schritt: Zwei Treppen ergeben einen Quader mit den Seitenlängen n, n + 1
und n + 2.
n
n+2
n+1
12
3.2 Tetraeder, Treppen und Würfel
Bezeichnung: Größe der Treppe mit Breite b und Höhe n: S(b, n)
1. Zusammensetzung von S (n + 2, n) wie in 3.1 aus drei T(n):
S (n + 2, n) = 3 ⋅ T (n)
(16)
2. Zusammensetzen zweier Treppen:
2 ⋅ S (b, n) = (n + 1) ⋅ b ⋅ n und S (b, n) + S (b, n − 1) = n 2 ⋅ b
(17)
n
n
b
1
n
14
b
n
15
6 ⋅ T (n) = 2 ⋅ S (n + 2, n) =(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ n ⇒ (15)
3. Zusammensetzungen von S (n + 1, n) aus 2 Tetraedern T(n) und einem
Tetraeder T(n – 1)
Geometrisch klar:
S (b + 1, n) = S (b, n) + D(n)
(18)
also S (b + 1, n) − D(n) = S (b, n) .
Daher: S (n + 2, n) = 3 ⋅ T (n) ⇒ S (n + 1, n) = T (n) − D(n) + 2 ⋅ T (n) = T (n − 1) + 2 ⋅ T (n)
S (n + 1, n) = T (n − 1) + 2 ⋅ T (n)
Geometrische Realisation der Formel:
(19)
13
n=4
4. Zusammensetzung von S (n, n) aus 2 Tetraedern T(n – 1) und einem Tetraeder
T(n):
Wegen (18):
S (n, n) = S (n + 1, n) − D(n) = 2 ⋅ T (n) + T (n − 1) − D(n) = T (n) + (T (n) − D(n) ) − D(n)
= T (n) + T (n − 1) + T (n − 1) = T (n) + 2 ⋅ T (n − 1)
S (n, n) = 2 ⋅ T (n − 1) + T (n)
Geometrische Realisation:
(20)
14
3.3 Würfelzerlegung
Zusammensetzung eines n-Würfels aus einer Treppe S (n, n − 1) und einer Treppe
S (n, n) :
S(n,n)
S(n,n–1)
n3 = S (n, n) + S (n, n −1)
(21)
Geometrische Zerlegung gemäß (19) und (20):
n3 = S (n, n) + S (n, n − 1)
= ( 2 ⋅ T (n − 1) + T (n) ) + (T (n − 2) + 2 ⋅ T (n − 1) )
= T (n − 2) + 4 ⋅ T (n − 1) + T (n)
n3 = T (n − 2) + 4 ⋅ T (n − 1) + T (n)
(22)
3.4 Hypertetraederzahlen
So, wie Tetraederzahlen als Summen von Dreieckszahlen definiert sind, sind
Hypertetraederzahlen Summen von Tetraederzahlen.
Berechung:
15
13 = T (1)
23 = T (2) + 4 ⋅ T (1)
33 = T (3) + 4 ⋅ T (2) + T (1)
...
k 3 = T (k ) + 4 ⋅T (k − 1) + T (k − 2)
...
(n + 2)3 = T (n + 2) + 4 ⋅ T (n + 1) + T (n)
Spaltenweise Summation:
n+ 2
n+ 2
k =1
k =1
n +1
n
k =1
k =1
∑ k 3 = ∑ T (k ) + 4 ⋅ ∑ T (k ) + ∑ T (k )
n
= 6 ⋅ ∑ T (k ) + 5 ⋅ T (n + 1) + T (n + 2)
k =1
n
= 6 ⋅ ∑ T (k ) + 5 ⋅
k =1
(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) (n + 2) ⋅ (n + 3) ⋅ (n + 4)
+
6
6
Formel für die n.te Hypertedraederzahl (Summe der ersten n Tetraederzahlen):
n
n+ 2
k =1
k =1
6 ⋅ ∑ T (k ) = ∑ k 3 − 5 ⋅
(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) (n + 2) ⋅ (n + 3) ⋅ (n + 4)
−
6
6
2
⎛ (n + 2) ⋅ (n + 3) ⎞
(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) (n + 2) ⋅ (n + 3) ⋅ (n + 4)
=⎜
−
⎟ − 5⋅
2
6
6
⎝
⎠
=
n
T (k ) =
∑
k =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3)
4
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3)
24
3.5 Höhere Eckenzahl: Pyramidalzahlen
Die n.te Pyramidalzahl zur Eckenzahl e sei P(e, n).
Beispiel: e = 4, n = 5 (Summe von Quadratzahlen)
(23)
16
P(e, n) := p(e,1) + p(e,2) + ... + p(e, n)
Berechung: Spezialfall e = 4:
Zerlegung: P (4, n) = T (n) + T (n − 1)
Noch einmal (14) (Summe der ersten n Quadratzahlen)
17
n
∑k
k =1
n
2
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) (n − 1) ⋅ n ⋅ (n + 1)
+
6
6
n ⋅ (n + 1)
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
=
⋅ ( n + 2 + n − 1) =
6
6
= P(4, n) = T (n) + T (n − 1) =
k2 =
∑
k =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
6
(14)
Verallgemeinerung:
Nach (7): p(e, k ) = (e − 2) ⋅ D(k −1) + k (auch für k = 1, wenn man D (0) := 0 setzt)
n
n
n
k =1
k =1
k =1
P(e, n) = ∑ p(e, k ) = (e − 2) ⋅ ∑ D(k −1) + ∑ k = (e − 2) ⋅ T (n − 1) + D(n)
= (e − 2) ⋅
(n −1) ⋅ n ⋅ (n + 1) n ⋅ (n + 1) n ⋅ (n + 1)
+
=
⋅ ( e ⋅ (n − 1) − 2n + 5)
6
2
6
P(e, n) = n ⋅ (n + 1) ⋅ ( e ⋅ (n −1) − 2n + 5)
6
Aufgabe: P(e, n) =
n +1
⋅ ( 2 ⋅ p(e, n) + n )
6
4. Figurierte Zahlen
Rückblick:
n
D ( n) = ∑ k =
k =1
n ⋅ (n + 1)
2
k =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
3!
T (k ) =
∑
k =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3)
4!
n
T ( n) = ∑ D ( k ) =
n
Frage: Höhere Potenzen?
(24)
18
4.1 Höhere Dimensionen
Definition der d-dimensionalen figurierten Zahlen:
Dimension 0: F0 (n) := 1
n
Dimension 1: F1 (n) := ∑ F0 (k ) = n
k =1
n
n
k =1
k =1
Dimension 2: Dreieckszahlen F2 (n) := D(n) = ∑ k = ∑ F1 (k )
n
n
k =1
k =1
Dimension 3: Tetraederzahlen F3 (n) := T (n) = ∑ D(k ) = ∑ F2 (k )
Höhere Dimensionen:
Die n.te figurierte Zahl Fd ( n) der Dimension d ist definiert durch
(a) F0 (n) = 1 für alle n
n
(b) Fd (n) = ∑ Fd −1 (k ) für d ≥ 1 und alle n
k =1
4.2 Figurierte Zahlen als Binomialkoeffizienten
⎛ n − 1⎞
⎟ =1
⎝ 0 ⎠
F0 (n) = ⎜
⎛ n⎞
F1 (n) = ⎜ ⎟ = n
⎝1⎠
⎛ n + 1⎞ n ⋅ (n + 1)
⎟=
2
⎝ 2 ⎠
F2 (n) = D(n) = ⎜
⎛ n + 2 ⎞ n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
⎟=
2⋅3
⎝ 3 ⎠
F3 (n) = ⎜
⎛ n + 3 ⎞ n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3)
⎟=
2 ⋅3⋅ 4
⎝ 4 ⎠
F4 (n) = ⎜
19
Dreieckszahlen am Pascal-Dreieck: D(n)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
1
9
10
15
21
10
35
84
1
4
20
56
28
36
6
4
6
7
3
3
5
1
2
15
35
70
126
1
5
1
6
1
21
56
126
7
28
84
1
8
36
1
9
1
Tetraederzahlen am Pascal-Dreieck: T(n)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
9
10
5
36
45
n
20
35
56
210
35
1
21
7
28
84
210
1
8
36
120
1
9
45
1
10
1
⎛ d + n ⎞ n ⎛ k + d − 1⎞
⎟⎟ =
⎜⎜
⎟.
d ⎟⎠
⎝ d + 1 ⎠ k =1 ⎝
Fd +1 (n) = ∑ Fd (k ) ist äquivalent zu ⎜⎜
k =1
1
6
56
126
252
1
5
15
70
126
84
120
10
10
21
1
4
6
15
28
1
3
4
6
8
2
3
∑
Allgemein:
⎛ n + d − 1⎞ n ⋅ (n + 1) ⋅ ... ⋅ (n + d − 1)
⎟=
d!
d ⎟⎠
⎝
Fd (n) := ⎜⎜
Fermats "très belle proposition": Fd +1 (n) =
(25)
n +1
⋅ Fd (n + 1)
d
4.3 Potenzen als Summen von figurierten Zahlen: Euler-Dreieck
Zerlegung von Potenzen in figurierte Zahlen kleinerer Dimension:
n1 = 1⋅ F1 (n)
n2 = D(n −1) + D(n) = 1⋅ F2 (n −1) + 1⋅ F2 (n)
n3 = T (n − 2) + 4 ⋅ T (n −1) + T (n) = 1⋅ F3 (n − 2) + 4 ⋅ F3 (n −1) + 1⋅ F3 (n)
Wie geht es weiter?
20
Ansatz mit unbekannten Koeffizienten
Z.B. für d = 3: n3 =
k
.
d
3
3
3
⋅ F3 ( n − 2 ) +
⋅ F3 ( n − 1) +
⋅ F (n)
0
1
2 3
3
3
3
=
= 1,
=4
0
2
1
für d = 4: n4 =
4
4
4
4
⋅ F4 ( n − 3) +
⋅ F4 ( n − 2 ) +
⋅ F4 ( n − 1) +
⋅ F (n)
0
1
2
3 4
allgemein:
d
d
d
d
⋅ Fd (n − d + 1) +
⋅ Fd (n − d + 2) + ... +
⋅ Fd (n − d + 1 + k ) + ... +
⋅ F ( n)
k
d −1 d
0
1
nd =
d −1
nd = ∑
k =0
d −1
d
d ⎛n+ k ⎞
Fd (n − d + k + 1) = ∑
⎜⎜
⎟⎟
k
k =0 k ⎝ d ⎠
Euler-Dreieck für diese Koeffizienten: In Zeile d und Spalte k steht
d\k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(25)
d
.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
4
1
1 11
11
1
1 26
66
26
1
1 57
302
302
57
1
1 120 1191
2416
1191
120
1
1 247 4293
15619
15619
4293
247
1
1 502 14608 88234 156190
88234
14608
502
1
1 1013 47840 455192 1310354 1310354 455192 47840
1013
1
1 2036 152637 2203488 9738114 15724248 9738114 2203488 152637 2036
Rekursionsgesetz:
Die Eulerschen Zahlen sind definiert durch
(a)
d
d
=
=1
0
d −1
(b)
d
d −1
d −1
für 1 < k < d
= (k + 1) ⋅
+ (d − k ) ⋅
k
k
k −1
Beispiel: d = 4
21
n4 =
4
4
4
4
⋅ F4 ( n − 3) +
⋅ F4 ( n − 2 ) +
⋅ F4 ( n −1) +
⋅ F (n)
0
1
2
3 4
= F4 ( n − 3) + 11⋅ F4 ( n − 2 ) + 11⋅ F4 ( n − 1) + F4 ( n )
Aufgabe: Kombinatorische Interpretation:
d
ist die Anzahl der Permutationen
k
p von {1, 2,..., d } mit k Anstiegen, d.h. Plätzen j, für die gilt: π ( j ) < π ( j + 1) .
Offen: Steckt hinter der Zerlegung auch eine reale geometrische Zerlegung?
Weitere Problemfelder:
ƒ Berechung von Summen von Potenzen, Bernoullische Zahlen
ƒ Darstellung einer Zahl als Summe von Polygonzahlen
ƒ Fermat: Jede natürliche Zahl ist Summe von höchstens e e-Eckzahlen
(Beweis für e = 3 von Gauß, allgemein von Cauchy und Legendre)
ƒ Darstellung einer Zahl mit möglichst wenigen Quadratzahlen
ƒ Welche Polygonzahlen sind quadratisch? (Euler und andere)
ƒ Zusammenhang der quadratischen Dreieckszahlen zur Pellschen
Gleichung, zu Kettenbrüchen und zur Theorie der algebraischen
Zahlenringe.
Literatur:
Dickson L.E.: History of the Theory of Numbers Vol II Diophantine Analysis,
Dover Pub. Inc. 2005
Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O.: Concrete Mathematics, AddisonWesley 1989
MU Heft 4 2008: Figurierte Zahlen, Beiträge von H. Schupp, J. Jäger und W.
Kroll
Für die weiterführenden Fragen:
Ogilvy C.S.: Zahlentheorie, Goldmann Das Wiss. Taschenbuch 1966
Samuel P.: Théorie algébrique des nombres, Hermann 1967
Silverman J.H.: A friendly Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1997
Weil A.: Number Theory, an approach through history, Birkhäuser 1984