E 11a „Phasenbeziehungen und RC

Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
E 11a „Phasenbeziehungen und RC-Filter“
Aufgaben
1. Ermitteln Sie den Phasenverlauf zwischen Strom und Spannung mit Hilfe von Lissajous-Figuren
für eine RC-, eine RL- und eine RLC-Reihenschaltung als Funktion der Frequenz.
2. Stellen Sie den Phasenwinkel als Funktion der Frequenz graphisch dar und diskutieren Sie den
Verlauf der Graphen.
3. Berechnen Sie die Induktivität der Spule durch Fit der Theoriekurve an die Daten der RLReihenschaltung sowie aus der gemessenen Resonanzfrequenz der RLC-Reihenschaltung.
Zusatzaufgabe: Ermitteln Sie experimentell und durch Berechnung die Grenzfrequenzen für einen
RC-Hoch- und einen RC-Tiefpass mit den Bauelementen aus Aufgabe 1. Bestimmen Sie für diesen
Fall die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung aus der Zeitverschiebung
der Signale.
Literatur
Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre, 3.0.2, 3.0.3,
3.1, 3.2
Gerthsen Physik, D. Meschede, 22. Auflage, 7.6.3
Zubehör
Sinusgenerator, Zweikanal-Oszilloskop, Versuchsschaltung mit Ohmschem Widerstand, Spule und
Kondensator, Zähler, Funktionsgenerator
Schwerpunkte zur Vorbereitung
- Grundfunktionen eines Oszilloskops
Virtual Oscilloscope
http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap23/Oscilloscope/app.htm
- Kapazitiver und induktiver Widerstand, Frequenzabhängigkeit, Phasenverschiebung, Reihen- und
Parallelschaltung
- RC-, RL- un RCL-Reihenschaltung, Frequenzabhängigkeit des Widerstandes und des
Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung
- Ortskurvendarstellung in der komplexen Zahlenebene
- Hoch- und Tiefpass (Filter), Frequenzverhalten, Übertragungsfunktion
- RC-Schaltung als Integrierglied
Bemerkungen
RC- und RL-Schaltungskombinationen haben technisch als Frequenzfilter (Hochpass, Tiefpass,
Bandpass) Bedeutung. Das Experiment gestattet u. a. die Bestimmung der Ausgangsspannung nach
1
Phasenlage und Amplitude und damit eine Überprüfung der Rechnung mit komplexen
Widerständen.
Die Messungen erfolgen für die am Arbeitsplatz angegebenen Frequenzen. Die Phasenwinkel sind
nach der Beziehung |sinϕ|=y0/b=2y0/2b durch Ausmessen der Ellipsenparameter 2y0 und 2b zu
bestimmen, wobei man mit y= ± b die maximale vertikale Ablenkung des Elektronenstrahles im YRaster des Bildschirms mit ymax= ± 4 cm ausnutzen soll (s. Praktikumsbuch). Der Wert für 2b=8 cm
ist konstant zu halten, so dass nur noch die Werte 2y0 in Abhängigkeit von der Frequenz gemessen
werden müssen (s. Lissajous-Figur unten). Es ist eine graphische Darstellung der
Frequenzabhängigkeit der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung bei Aufgabe 1 unter
Verwendung von einfach-logarithmischem Funktionspapier anzufertigen. Die Werte für den
ohmschen Widerstand und die Kapazität des Kondensators sind am Arbeitsplatz gegeben. Bei der
Berechnung der Induktivität der Spule aus fünf geeigneten Messwerten, die mit der RL-Schaltung
erhalten wurden, ist ggf. der ohmsche Widerstand der Spule zu berücksichtigen. Letzterer kann mit
einem Ohmmeter (Digitalmultimeter) gemessen werden.
Messschaltung(en)
Lissajous-Figur
S Steckverbindung mit Laborleitung
Leiten Sie die Gleichung für die
Ellipse her !
y
x=-a
C
f
L, RSp
y=+b
y0
C
G
x=+a
L, RSp
x0
uy
x
-x0
R
ux
Grundlagen
zu
RC-TiefpassHochpassschaltungen
-y0
und
y=-b
RC-
Die Symbole komplexer Größen sind unterstrichen; Re{z} Realteil und Im{z} Imaginärteil der
komplexen Größe z = a + j b ,
z = a 2 + b2 , z = z ⋅ e jϕ , tanϕ = Im {z }/ Re {z } .
R
R1
ue
R2
ua
Abb. 1 (a) komplexer Spannungsteiler
ue
C
(b) RC-Tiefpass (TP)
ua ue
C
R
ua
(c) RC-Hochpass (HP)
Die in den Schaltungen (b) und (c) dargestellten passiven Vierpole, d.h. ohne verstärkende Elemente
arbeitend, sind Spezialfälle des allgemeinen frequenzabhängigen Spannungsteilers (a). Sie
übertragen in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω (ω = 2πf = 2π/TP, ω /s-1, Frequenz f /Hz,
ω
Periodendauer TP/s) eine Eingangsspannung ue= uoe cos(ω t) (bzw. in komplexer Form ue= Re{uoe ej
t
} in eine gegenüber ue in Amplitude und Phase geänderte Ausgangsspannung ua mit ua = uoa
2
ω
ϕ
cos(ω t +ϕ)
bzw. ua=Re{uoa ej t ej }. Dieser Vorgang lässt sich mit einer komplexen
Übertragungsfunktion G(ω) des Passes in der Form
ua = G (ω ) ue
(1)
darstellen. Für die Berechnung von G(ω) bildet man nach Gl.(1) das Verhältnis ua/ue und erhält
unter Berücksichtigung der Kirchhoffschen Regeln für den komplexen Spannungsteiler nach
Schaltung (a) in Abb.1
1
= A e jϕ
(2)
G (ω ) =
R1
1+
R2
mit
A = G (ω ) = Re 2 G (ω ) + Im 2 G (ω )
und
ϕ = arg [G (ω )] = arctan
Im [G (ω )]
.
Re [G (ω )]
Führt man zur Berechnung der Übertragungsfunktionen GTP(ω) und GHP(ω) der Schaltungen (b) und
(c) eine nur von R und C abhängige Frequenzkonstante ωg = 1/(RC) ein, so ergeben sich nach Gl.(2)
die folgenden Beziehungen.
Hochpass
Tiefpass
G TP (ω ) =
G TP (ω ) = ATP =
1
1+ j
G HP (ω ) =
ω
ω gTP
1
⎛ ω ⎞
1+ ⎜
⎜ ω ⎟⎟
⎝ gTP ⎠
2
G HP (ω ) = AHP =
1
1
⎛ω ⎞
1 + ⎜ gHP ⎟
⎝ ω ⎠
⎛ ωgHP ⎞
⎟
⎝ ω ⎠
⎛ ω ⎞
⎟⎟
⎝ ω gTP ⎠
ϕ HP (ω ) = arctan ⎜
ϕ TP (ω ) = − arctan ⎜⎜
(3a)
ω
1 − j gHP
ω
2
(3b)
(3c)
Damit wird die Bedeutung der Konstanten ωg als Grenzfrequenz deutlich. Für ω <<<ωgTP ist ATP ≈ 1
sowie ϕTP → 0 (″Durchlassbereich″ des Tiefpasses) und für ω >>ωgTP wird ATP<<1 sowie ϕTP ≈ -90°
(″Sperrbereich″ des Tiefpasses). Die Grenze zwischen diesen Bereichen ist durch ω = ωg gegeben mit
ATP(ωgTP) = AHP(ωgHP) = 1/ 2 und ϕTP = -π/4 bzw. ϕHP = +π/4. An dieser Stelle ist der Betrag des Realteils
gleich dem Betrag des Imaginärteils. In analoger Weise lassen sich Durchlass- und Sperrbereich des
Hochpasses diskutieren. Typisch für das inverse Verhalten der Übertragungsfunktionen GTP und GHP
sind nicht nur deren Beträge ATP(ω) bzw. AHP(ω), sondern auch die Frequenzabhängigkeit der
Phasenfunktionen nach Gl.(3c). Während die Phase ϕTP(ω) der Phase von ue nachläuft, eilt ϕHP(ω) der
Phase von ue voraus. Die Verhältnisse lassen sich sehr anschaulich in der Gaußschen komplexen
Zahlenebene mit den Achsen ±Re{ü} und ±Im{ü} sowie der Kreisfrequenz ω als Parameter darstellen.
Eine solche Darstellung ergibt die bekannten Ortskurven der Übertragungsfunktion in Abb. 2.
Abb. 2 Ortskurven für RC-Tief- und Hochpass (üTP = GTP , üHP = GHP)
3