Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum E 11a „Phasenbeziehungen und RC-Filter“ Aufgaben 1. Ermitteln Sie den Phasenverlauf zwischen Strom und Spannung mit Hilfe von Lissajous-Figuren für eine RC-, eine RL- und eine RLC-Reihenschaltung als Funktion der Frequenz. 2. Stellen Sie den Phasenwinkel als Funktion der Frequenz graphisch dar und diskutieren Sie den Verlauf der Graphen. 3. Berechnen Sie die Induktivität der Spule durch Fit der Theoriekurve an die Daten der RLReihenschaltung sowie aus der gemessenen Resonanzfrequenz der RLC-Reihenschaltung. Zusatzaufgabe: Ermitteln Sie experimentell und durch Berechnung die Grenzfrequenzen für einen RC-Hoch- und einen RC-Tiefpass mit den Bauelementen aus Aufgabe 1. Bestimmen Sie für diesen Fall die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung aus der Zeitverschiebung der Signale. Literatur Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre, 3.0.2, 3.0.3, 3.1, 3.2 Gerthsen Physik, D. Meschede, 22. Auflage, 7.6.3 Zubehör Sinusgenerator, Zweikanal-Oszilloskop, Versuchsschaltung mit Ohmschem Widerstand, Spule und Kondensator, Zähler, Funktionsgenerator Schwerpunkte zur Vorbereitung - Grundfunktionen eines Oszilloskops Virtual Oscilloscope http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap23/Oscilloscope/app.htm - Kapazitiver und induktiver Widerstand, Frequenzabhängigkeit, Phasenverschiebung, Reihen- und Parallelschaltung - RC-, RL- un RCL-Reihenschaltung, Frequenzabhängigkeit des Widerstandes und des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung - Ortskurvendarstellung in der komplexen Zahlenebene - Hoch- und Tiefpass (Filter), Frequenzverhalten, Übertragungsfunktion - RC-Schaltung als Integrierglied Bemerkungen RC- und RL-Schaltungskombinationen haben technisch als Frequenzfilter (Hochpass, Tiefpass, Bandpass) Bedeutung. Das Experiment gestattet u. a. die Bestimmung der Ausgangsspannung nach 1 Phasenlage und Amplitude und damit eine Überprüfung der Rechnung mit komplexen Widerständen. Die Messungen erfolgen für die am Arbeitsplatz angegebenen Frequenzen. Die Phasenwinkel sind nach der Beziehung |sinϕ|=y0/b=2y0/2b durch Ausmessen der Ellipsenparameter 2y0 und 2b zu bestimmen, wobei man mit y= ± b die maximale vertikale Ablenkung des Elektronenstrahles im YRaster des Bildschirms mit ymax= ± 4 cm ausnutzen soll (s. Praktikumsbuch). Der Wert für 2b=8 cm ist konstant zu halten, so dass nur noch die Werte 2y0 in Abhängigkeit von der Frequenz gemessen werden müssen (s. Lissajous-Figur unten). Es ist eine graphische Darstellung der Frequenzabhängigkeit der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung bei Aufgabe 1 unter Verwendung von einfach-logarithmischem Funktionspapier anzufertigen. Die Werte für den ohmschen Widerstand und die Kapazität des Kondensators sind am Arbeitsplatz gegeben. Bei der Berechnung der Induktivität der Spule aus fünf geeigneten Messwerten, die mit der RL-Schaltung erhalten wurden, ist ggf. der ohmsche Widerstand der Spule zu berücksichtigen. Letzterer kann mit einem Ohmmeter (Digitalmultimeter) gemessen werden. Messschaltung(en) Lissajous-Figur S Steckverbindung mit Laborleitung Leiten Sie die Gleichung für die Ellipse her ! y x=-a C f L, RSp y=+b y0 C G x=+a L, RSp x0 uy x -x0 R ux Grundlagen zu RC-TiefpassHochpassschaltungen -y0 und y=-b RC- Die Symbole komplexer Größen sind unterstrichen; Re{z} Realteil und Im{z} Imaginärteil der komplexen Größe z = a + j b , z = a 2 + b2 , z = z ⋅ e jϕ , tanϕ = Im {z }/ Re {z } . R R1 ue R2 ua Abb. 1 (a) komplexer Spannungsteiler ue C (b) RC-Tiefpass (TP) ua ue C R ua (c) RC-Hochpass (HP) Die in den Schaltungen (b) und (c) dargestellten passiven Vierpole, d.h. ohne verstärkende Elemente arbeitend, sind Spezialfälle des allgemeinen frequenzabhängigen Spannungsteilers (a). Sie übertragen in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω (ω = 2πf = 2π/TP, ω /s-1, Frequenz f /Hz, ω Periodendauer TP/s) eine Eingangsspannung ue= uoe cos(ω t) (bzw. in komplexer Form ue= Re{uoe ej t } in eine gegenüber ue in Amplitude und Phase geänderte Ausgangsspannung ua mit ua = uoa 2 ω ϕ cos(ω t +ϕ) bzw. ua=Re{uoa ej t ej }. Dieser Vorgang lässt sich mit einer komplexen Übertragungsfunktion G(ω) des Passes in der Form ua = G (ω ) ue (1) darstellen. Für die Berechnung von G(ω) bildet man nach Gl.(1) das Verhältnis ua/ue und erhält unter Berücksichtigung der Kirchhoffschen Regeln für den komplexen Spannungsteiler nach Schaltung (a) in Abb.1 1 = A e jϕ (2) G (ω ) = R1 1+ R2 mit A = G (ω ) = Re 2 G (ω ) + Im 2 G (ω ) und ϕ = arg [G (ω )] = arctan Im [G (ω )] . Re [G (ω )] Führt man zur Berechnung der Übertragungsfunktionen GTP(ω) und GHP(ω) der Schaltungen (b) und (c) eine nur von R und C abhängige Frequenzkonstante ωg = 1/(RC) ein, so ergeben sich nach Gl.(2) die folgenden Beziehungen. Hochpass Tiefpass G TP (ω ) = G TP (ω ) = ATP = 1 1+ j G HP (ω ) = ω ω gTP 1 ⎛ ω ⎞ 1+ ⎜ ⎜ ω ⎟⎟ ⎝ gTP ⎠ 2 G HP (ω ) = AHP = 1 1 ⎛ω ⎞ 1 + ⎜ gHP ⎟ ⎝ ω ⎠ ⎛ ωgHP ⎞ ⎟ ⎝ ω ⎠ ⎛ ω ⎞ ⎟⎟ ⎝ ω gTP ⎠ ϕ HP (ω ) = arctan ⎜ ϕ TP (ω ) = − arctan ⎜⎜ (3a) ω 1 − j gHP ω 2 (3b) (3c) Damit wird die Bedeutung der Konstanten ωg als Grenzfrequenz deutlich. Für ω <<<ωgTP ist ATP ≈ 1 sowie ϕTP → 0 (″Durchlassbereich″ des Tiefpasses) und für ω >>ωgTP wird ATP<<1 sowie ϕTP ≈ -90° (″Sperrbereich″ des Tiefpasses). Die Grenze zwischen diesen Bereichen ist durch ω = ωg gegeben mit ATP(ωgTP) = AHP(ωgHP) = 1/ 2 und ϕTP = -π/4 bzw. ϕHP = +π/4. An dieser Stelle ist der Betrag des Realteils gleich dem Betrag des Imaginärteils. In analoger Weise lassen sich Durchlass- und Sperrbereich des Hochpasses diskutieren. Typisch für das inverse Verhalten der Übertragungsfunktionen GTP und GHP sind nicht nur deren Beträge ATP(ω) bzw. AHP(ω), sondern auch die Frequenzabhängigkeit der Phasenfunktionen nach Gl.(3c). Während die Phase ϕTP(ω) der Phase von ue nachläuft, eilt ϕHP(ω) der Phase von ue voraus. Die Verhältnisse lassen sich sehr anschaulich in der Gaußschen komplexen Zahlenebene mit den Achsen ±Re{ü} und ±Im{ü} sowie der Kreisfrequenz ω als Parameter darstellen. Eine solche Darstellung ergibt die bekannten Ortskurven der Übertragungsfunktion in Abb. 2. Abb. 2 Ortskurven für RC-Tief- und Hochpass (üTP = GTP , üHP = GHP) 3