Übung 2 - TU Chemnitz

Übung Mathematik IV (für Informatiker)
Sommersemester 2017
Vorlesung:
Prof. Dr. Bernd Hofmann ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/hofmann/teaching.php
Übung:
Dr. Jens Flemming ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/∼jgei/teach/stochinf/stochinf.php
Übung 2: Ereignisfelder, Kolmogorov’sche Axiome,
Methode der klassischen Wahrscheinlichkeit
2.1 Zwei Schachspieler spielen eine Partie. Das Ereignis A liegt vor, falls der erste Spieler
gewinnt, das Ereignis B, falls der zweite Spieler gewinnt. Welche Ereignisse sind zur
Menge {A, B} noch hinzuzufügen, damit ein Ereignisfeld entsteht?
2.2 Sei Ω eine endliche, nicht leere Ergebnismenge. Zeigen Sie, dass die Potenzmenge P(Ω),
also die Menge aller Teilmengen von Ω, endlich und ein Ereignisfeld ist.
2.3 Für die Ereignisse A und B sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P (A) = 0.25,
P (B) = 0.45 und P (A ∪ B) = 0.5. Berechnen Sie aus diesen Angaben folgende Wahrscheinlichkeiten:
(a) P (A ∩ B),
(b) P (A ∩ B),
(c) P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ B).
2.4 Gegeben sind der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und die Ereignisse A, B ∈ A. Zeigen
Sie
A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B).
2.5 Gegeben sind der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und die Ereignisse A, B, C ∈ A.
Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (A ∪ B) ≤ 1,
(b) P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C).
2.6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen von zwei Würfeln eine Augensumme
zu erzielen, die größer oder gleich 10 ist?
2.7 Wir betrachten des Experiment „Werfen eines Würfels und einer Münze“.
(a) Geben Sie eine geeignete Ergebnismenge Ω an.
(b) Zeigt die Münze Wappen, so wird die doppelte Augenzahl des Würfels notiert, bei
Zahl nur die einfache. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl
notiert wird?
2.8 Welches der beiden folgenden Ereignisse ist wahrscheinlicher?
(i) Beim Werfen von vier Würfeln erscheint mindestens eine Sechs.
(ii) Bei 24 Würfen von zwei Würfeln erscheinen mindestens einmal zwei Sechsen.
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2.9 Ein Würfel, dessen Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, wird in 1 000 kleine Würfel einheitlicher Größe zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter
Würfel auf mindestens einer Seite gefärbt ist?
2.10 Beim Skatspiel werden beim Geben zwei der 32 im Spiel befindlichen Karten in den „Skat“
gelegt, 10 Karten erhält jeder der drei Spieler. Folgende Ereignisse werden betrachtet:
E1 : Der Skat enthält zwei Buben.
E2 : Der Skat enthält genau eine Herzkarte.
E3 : Der Skat enthält mindestens ein Ass.
(a) Geben Sie eine geeignete Ergebnismenge Ω an.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für E1 , E2 und E3 .
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Spieler, der selbst kein Herz auf der
Hand hat, mindestens eine Herzkarte im Skat zu finden?
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