Alhazens Herleitung von Summenformeln Arbeitsblatt

ALHAZENs Herleitung von Summenformeln
ABU ALI AL-HASAN IBN AL-HAITHAM (965-1039) ist in
Europa auch unter dem Namen ALHAZEN bekannt.
Besonders berühmt ist er wegen seiner optischen
Experimente, u. a. gilt er als „Erfinder“ der Lupe.
Wegen seiner zahlreichen bedeutenden Entdeckungen
wird er auch als Vater der Optik bezeichnet.
ALHAZEN gab eine Methode an, mit der man allgemein Summenformeln entwickeln kann. Die
Summenformel 1+2+3+ … +(n-1)+n = ½ n² + ½ n = ½ ( n² + n) sei als bekannt vorausgesetzt.
Betrachte die Figur, begründe den Ansatz (1) und die einzelnen Umformungsschritte:
(1) (1² + 2² + 3² + 4² + 5²) + (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) = (1+2+3+4+5) · 6
(2) (1² + 2² + 3² + 4² + 5²) + (½ · 1² + ½ · 1) + ( ½ · 2² + ½ · 2) + (½ · 3² + ½ · 3) + (½ · 4² + ½ · 4)
+ (½ · 5² + ½ · 5) = (1+2+3+4+5) · 6
(3) (1² + 2² + 3² + 4² + 5²) + ½ · (1² + 2² + 3² + 4² + 5²) + ½ · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = (1+2+3+4+5) · 6
(4)
3
/2 · (1² + 2² + 3² + 4² + 5²) =
(5) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² =
11
(6) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² =
11
11
/2 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
/3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
/6 · (5² + 5)
Verallgemeinere den Ansatz und die Umformungen für die Summe der Quadrate der
ersten n natürlichen Zahlen.
Zeige: 1² + 2² + 3² + ... + n ² =
2n + 1
⋅ (1 + 2 + 3 + ... + n ) .
3
Geniale Ideen Nr. 3 © Heinz Klaus Strick / MNU 2013