WS 2005/2006 - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik

Mathematik und ihre Didaktik
W. Neidhardt
WS 05/06
Vorlesung
Denken in Strukturen I - WS 2005/2006
• Mind-Mapping-Diagramm: Grundlegende Beweisprinzipien (Bew) - Elementare Zahlentheorie und Algorithmen (ElZT) - Aufbau des Zahlsystems (ZS)
- Denken in Strukturen (DiS) - Aussagenlogik (Log) - Graphentheorie und
Topologie (GuT) - Ausgewählte mathematische Themen (MaT) - Diskrete
Mathematik (DM)
DiS:
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• Die Zahlenmengen IN, ZZ, Q
und IR
• Sind IN und ZZ gleichmächtig?
Bijektive Zuordnungen.
• Naive Mengendefinition nach Cantor
• Mengen und ihre Elemente
• Kartesisches Produkt von Mengen
• Eigenarbeit: Mächtigkeit, Gleichheit, Teilmengen, Durchschnitts- und Vereinigungsmengen, mengentheoretische Differenz: [RS], S. 3 - 13
• DiS:
- Wiederholung von Begriffen und Symbolen aus der Mengenlehre
- Bew: Grundlegende Beweisprinzipien und -verfahren
- Aufbau der Mathematik aus Axiomen, Definitionen und Sätzen
- Tertium non datur
- Direkter Beweis - mit Beispiel
- Beweis durch Kontraposition - mit Beispiel
- Widerspruchsbeweis
• Bew: Grundlegende Beweisprinzipien und -verfahren
• Widerspruchsbeweis - zwei Beispiele
• DM: Das Schubfachprinzip
– Definition und Beispiele
– Die Socken des Prof. Mathemix
– Gleiche Zahl von Bekannten: In jeder Gruppe von mindestens 2 Personen gibt es zwei, die die gleiche Anzahl von Bekannten innerhalb dieser
Gruppe haben.
– Größere Bekanntschaftskreise: Unter je 6 Personen gibt es stets drei, die
sich paarweise kennen, oder drei, die sich paarweise nicht kennen (→
Eigenarbeit)
• DM: Das Schubfachprinzip - Beispiele, Verallgemeinerungen
– Entfernte Punkte im Quadrat
- Welche Diagonalenlänge hat ein Quadrat der Seitenlänge a?
Satz 1: Unter je 5 Punkten
in einem Quadrat der Seitenlänge 2 gibt es
√
2, die den Abstand ≤ 2 haben.
– Differenzen von Zahlen
- Teilbarkeit in ZZ
Satz 2: Unter je 6 verschiedenen natürlichen Zahlen gibt es stets 2, deren
Differenz durch 5 teilbar ist.
- Kategorien: 5 Restklassen bei Teilung einer Zahl durch 5
– Verallgemeinertes Schubfachprinzip:
Seien m Objekte in n Kategorien eingeteilt.
Gilt m > r · n, dann enthält eine Kategorie mindestens r + 1 Objekte.
Beweis: → Eigenarbeit
– Unendliches Schubfachprinzip:
Teilt man eine unendliche Menge in endlich viele Kategorien ein, so gibt
es mindestens eine Kategorie mit unendlich vielen Elementen.
Beweis: → Eigenarbeit
• DM: Färbungsmethoden
→ Eigenarbeit: [BZ]: S. 11 - 25
– Überdeckungen eines Schachbretts mit Dominosteinen:
(a) Normales 8x8-Schachbrett → Lösung möglich
(b) ”Verstümmeltes” Schachbrett → keine Lösung möglich
(c) ”Doppelt verstümmeltes” Schachbrett → keine Lösung möglich
– Verallgemeinerte mxn Schachbretter:
Satz 1: Wenn m oder n ein Vielfaches von a ist, dann kann man ein
mxn-Schachbrett lückenlos mit ax1-Dominosteinen überdecken.
Satz 1 und Umkehrung von Satz 1 mit Beweis. Auch: → Eigenarbeit
(Nacharbeit)
Satz 3: Ein mxn-Schachbrett sei lückenlos durch eine Mischung aus 1x4und 2x2-Steinen überdeckt. Nach Tauschen eines 1x4- mit einem 2x2Stein ist eine Überdeckung unmöglich.
Beweis: Ein 1x4-Stein überdeckt alle Farben, ein 2x2-Stein nicht.→ Eigenarbeit (Nacharbeit)
• DM: Färbungsmethoden
→ Eigenarbeit: [BZ]: S. 11 - 25
– Monochromatische Rechtecke:
Satz 1: Hat ein beliebig s/w-gefärbtes Schachbrett die Ausmaße 3x7 oder
größer, so gibt es immer ein monochromatisches Rechteck.
Beweis durch Testen aller möglichen Kombinationen gefärbter 3x1-Streifen.
– Gitterpunkte in der Ebene:
Satz 2: Die Gitterpunkte der Ebene seien mit 2 Farben gefärbt. Dann
gibt es ein Rechteck, dessen Ecken alle die gleiche Farbe haben.
Beweis: Mit Taubenschlagprinzip → Eigenarbeit:
– Alle Punkte der Ebene:
Satz 3: Alle Punkte der Ebene seien mit 2 Farben gefärbt. Dann gibt es
ein gleichseitiges Dreieck, dessen Ecken alle die gleiche Farbe haben.
Beweis: Mit Hilfe eines regulären 6-Ecks. Betrachtung von kongruenten
Rauten im 6-Eck.
Satz 4: Die Punkte der Ebene seien mit 3 Farben gefärbt. Dann gibt es
2 Punkte vom Abstand 1, die gleiche Farbe haben.
Beweis: Mit Hilfe von zwei aneinanderhängenden gleichseitigen Dreiecken
→ Eigenarbeit:
• Bew: Prinzip vom kleinsten Element
Satz 1:
Jede nicht leere, endliche Teilmenge von IN besitzt ein kleinstes Element.
Beweis: → Eigenarbeit: [RS]
Exkurs: Algorithmus
- Was ist ein Algorithmus?
- Algorithmus umgangssprachlich - Flussdiagramm - Programm
- Beispiel für ein Flussdiagramm: Die ersten n geraden Zahlen
Flussdiagramm zu Beweis von Satz 1: → Eigenarbeit: Übung
Satz 2 (Prinzip vom kleinsten Element):
Jede nicht leere Teilmenge von IN besitzt ein kleinstes Element.
Beweis: → Eigenarbeit: [RS]
Satz
√ 3:
2 ist irrational.
Beweis durch Widerspruch und mit Hilfe des Prinzips vom kleinsten Element.
Satz 4 (Prinzip vom Maximum und Minimum):
Jede nicht leere, endliche Teilmenge von IR besitzt ein größtes (und kleinstes)
Element.
Beweis: Analog zu Satz 1.
• Bew: Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Unvollständige Induktion in den Naturwissenschaften am Beispiel
Ohmsches Gesetz
• Bew: Prinzip vom kleinsten Element
Wiederholung
√
√
√ und Vertiefung von Satz 3:
2 / 7 / a (a keine Quadratzahl) ist irrational.
Beweis durch Widerspruch und mit Hilfe des Prinzips vom kleinsten Element.
• Bew: Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Unvollständige Induktion in der Mathematik an Beispielen:
Teiler von 120
Kreissehnengebiete
Beweisprinzip der vollständigen Induktion:
- Induktionsbasis
- Induktionsschluss
Beispiel:
Für alle n ∈ IN gilt: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist immer
gleich n2 .
• Bew: Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Axiomensystem von Peano für natürliche Zahlen
Speziell: Axiom 5: Das Induktionsaxiom
Beispiele:
1)
Für alle n ∈ IN gilt: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist immer
gleich n2 .
Beweisschritt n → n + 1 auf 2 Arten.
2)
n
X
1
1
<
(2i
−
1)(2i
+
1)
2
i=1
Der Beweis scheitert beim Induktionsschluss.
Satz: Für alle n ∈ IN gilt:
Mathematische Experimente führen auf folgenden Hilfssatz:
n
1 X
1
1
Für alle n ∈ IN gilt: −
=
2 i=1 (2i − 1)(2i + 1)
2 · (2n + 1)
Nach dessen Beweis (durch vollständige Induktion) ist auch der ursprüngliche
Satz 2) bewiesen.
• Bew: Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Satz: Für alle n ∈ {1, 5, 6, 7, 8, . . .} gilt: 2n > n2
Beweis durch vollständige Induktion.
Dabei: Abschätzung von 2n2 = n2 + n2 > n2 + 2n + 1 für n > 3
• MaT: Folgen und Reihen
- arithmetische Folge
- arithmetische Reihe
- arithmetisches Mittel
- geometrische Folge
- geometrische Reihe
- geometrisches Mittel
Fibonacci-Zahlen:
Kaninchenvermehrung aus dem Buch Liber abaci von Leonardo von Pisa:
(1) Im Monat 1 gibt es ein (neugeborenes) Kaninchenpaar
(2) Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von 2 Monaten gebärfähig
(3) Jedes Kaninchenpaar bringt von da an jeden Monat ein neues Paar zur
Welt
(4) Die Kaninchen leben ewig und haben keine Raumprobleme
Stammbaum der Kaninchen
Rekursionsformel: fn+1 = fn + fn−1
Flächenrätsel: Warum sind das Reckteck (Seitenlängen a = 21 , b = 8) und
das Quadrat (Seitenlänge c = 13) nicht flächengleich, obwohl sie scheinbar aus
kongruenten Teilfächen bestehen.
Zum Flächenrätsel: Die Simpson-Identität: fn−1 · fn+1 − fn2 = (−1)n
• Log: Aussagenlogik
-
Aussage
Aussageform
Grundmenge, Lösungsmenge, allgemeingültig, teilgültig, unerfüllbar
All- und Existenzquantor
• MaT: Folgen und Reihen
- Formel von Binet
- Verallgemeinerte Fibonacci-Folgen
- Wie kam Binet zu seiner Formel?
- 2 Fibonacci-Folgen,
die zugleich geometrische Folgen sind:
√
an = a · ( 1+2 5 )n−1
√
bn = b · ( 1−2 5 )n−1
• MaT: Folgen und Reihen: Wie kam Binet zu seiner Formel?
- 2 Fibonacci-Folgen,
die zugleich geometrische Folgen sind:
√
an = a · ( 1+2 5 )n−1
√
bn = b · ( 1−2 5 )n−1
durch Lösen der quadratischen Gleichung q 2 − q − 1 = 0.
- Die Summe zweier (verallgemeinerter) Fibonacci-Folgen ist wieder eine FibonacciFolge.
- Zwei Bedingungsgleichungen, die auf die Binet-Formel führen:
(I) 1 = a + b √
√
1+ 5
1− 5
(II) 1 = a ·
+b·
2
2
• Log: Aussagenlogik
- Negation
- Konjunktion
• Log: LdL - Aussagenlogik
- Disjunktion:
auch Tautologie.
- Implikationsverknüpfung:
logische und inhaltliche Implikation mit Beispielen.
• ZS/DiS: Unendliche Mengen
- Hilberts Hotel → Eigenarbeit
• Log: LdL - Aussagenlogik
- Bijunktion:
- Äquivalenz:
logische und inhaltliche Äquivalenz mit Beispielen.
• ZS/DiS: Unendliche Mengen
- Bijektive Abbildung von Mengen
- Wie kann man IN auf eine echte Teilmenge von IN abbilden?