Aufgaben zur Vorlesung Mathematik I/1

Institut für Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. Jörg Wensch
Dr. Ute Feldmann
Aufgaben zur Vorlesung Mathematik I/1
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Ü3 Aufgabe 2.1.1
Vorgegeben seien die Vektoren a = 3e1 + 2e2 , b = −2e1 + 4e2 , c = e1 − 3e3 .
a) Man schreibe als Spaltenvektoren: a, b, c, a◦ , b◦ , c◦ , a + b, b − c, a + b + c, a − 2b − 3c.
b) Von den in a) angegebenen Vektoren berechne man die Länge (den Betrag).
Ü3 Aufgabe 2.1.4
a, b seien zwei Vektoren (in der Ebene oder Raum). Der Vektor ab sei die Projektion von a auf
b. Man berechne ab in den folgenden Fällen:
a)
a = e1 + 4e2 ,
b = 3e1 + e2 ,
b)
a = −3e1 + 2e2 ,
b = 3e1 + e2 ,
Ü3 Aufgabe 2.1.9
Von einem Vektor a = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 sei bekannt: |a| = 7, α1 = 5, α3 = 2. Man ermittle
alle Vektoren a, die diese Bedingung erfüllen! Welche Winkel schließt ein derartiger Vektor a
mit den Vektoren e1 , e2 , e3 ein?
Ü3 Aufgabe 2.1.11
Man bestimme den Winkel zwischen den Vektoren a und b:
a)
b)
c)
a = 2e1 − e2 + 2e3 ,
a = 4e1 − 2e2 + 3e3 ,
a = e1 + 2e2 + 2e3
b = −2e1 + 2e2 ,
b = 4e1 + 5e2 − 2e3 ,
b = 3e1 − 4e3 ,
Ü3 Aufgabe 2.1.13
Vorgegeben seien die Vektoren a = e1 − 2e2 + 3e3 und b = 2e1 + 3e2 + e3 . Man ermittle zwei
Vektoren x und y, für die gilt: x k b, y ⊥ b und x + y = a.
Hinweis: Am besten Situation zeichnen: Wer ist hier Projektion auf wen? VL 7/2/3 anwenden!
Ü3 Aufgabe 2.1.14
Gegeben sind die Vektoren a = 3e1 −e2 +e3 und b = e1 +e2 −e3 . Man ermittle Einheitsvektoren,
die senkrecht auf a stehen und mit b einen Winkel von 30◦ einschliessen.
Ü3 Aufgabe 2.1.15
Man bestimme zwei Zahlen α2 und α3 so, dass der Vektor a = e1 + α2 e2 + α3 e3 auf den Vektoren
b = −e1 + 4e2 + 2e3 und c = 3e1 − 3e2 − e3 senkrecht steht.
Ü3 Aufgabe 2.1.16
Man zeige, dass die drei Vektoren a = e1 + 2e2 + 2e3 , b = 2e1 + e2 − 2e3 und c = −2e1 + 2e2 − e3
paarweise aufeinander senkrecht stehen und in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem
bilden.
1
Ü3 Aufgabe 2.2.1
Gegeben sind die Vektoren v1 = 4e1 + 4e2 − 2e3 , v2 = 4e1 − 2e2 + 4e3 , v3 = −2e1 + 4e2 + 4e3 ,
a) Man zeige, dass die Vektoren v1 , v2 , v3 linear unabhängig sind. (Welche besondere Eigenschaft haben diese Vektoren bezüglich Länge und gegenseitiger Lage?)
b) Man stelle die Vektoren ei als Linearkombinationen der Vektoren v1 , v2 , v3 dar.
Ü3 Aufgabe 2.2.2
Die folgenden
Vektortripel
Abhängigkeit
 
 sollen auf
 lineare

 untersucht

werden:

 
3
2
5
2
2
1
 
 
 
 
 
 
a) a = −1 , b = 0 , c = −3
b) a = 1 , b = 3 , c = 2
2
1
4
1
1
4
 
 
 
 
 
 
2
−2
−2
2
−1
5
 
 
 
 
 
 
c) a = −1 , b =  1  , c =  1 
d) a =  1  , b =  3  , c =  7 
−3
1
−3
−2
5
−3
Im Falle der linearen Abhängigkeit bestimme man drei Zahlen λ, µ, ν mit (λ, µ, ν) 6= (0, 0, 0)
so, dass λa + µb + νc = 0 gilt.
Ü3 Aufgabe 2.2.5
Unter der Voraussetzung, dass es sich bei a, b, c um linear unabhängige Vektoren handelt,
untersuche man die folgenden Vektortripel auf lineare Unabhängigkeit:
a) a + 2b, b − a, c,
b) a − b, a − c, b − c,
c) a − b, b + c, b − c,
d) 2a + b, a − b + 2c, 9a + 3b + 2c,
e) b − a, c − b, a − c,
f) b − a, c − a, b + c − 2a,
Im Falle der linearen Abhängigkeit des Vektortripels u, v, w bestimme man Zahlen λ, µ, ν
mit (λ, µ, ν) 6= (0, 0, 0) so, dass gilt: λu + µv + νw = 0.
Ü3 Aufgabe 2.2.8
Man bestimme ξ so, dass die drei Vektoren
x = 3~e1 + ξ~e2 − 2~e3 ,
~a = −~e1 + 4~e2 + 2~e3 ,
~b = 2~e1 + 5~e2 + 4~e3
Ü3 Aufgabe 2.1.12
Gegeben seien die Vektoren


 
 
1
1
1
 
 
 
a = −2 , b = 0 , c =  0  .
1
1
−1
Man berechne:
a) |a|, |b|, |c|,
b) ab, bc, ac,
c) a × c, b × c, (a × b)c,
d) (a + c) × (b + c), (a × c)(b × c),
e) a × (b × c), (a × b) × c,
f) das Spatprodukt [a, b, c].
Ü3 Aufgabe 2.1.23
Man beweise mit Hilfe von Vektoren den Kosinussatz der ebenen Trigonometrie (c2 = a2 + b2 −
2ab cos γ) und den Satz des Pythagoras (c2 = a2 + b2 ).
2
Ü3 Aufgabe 2.1.26
Mit Hilfe des Vektorprodukts bestimme man den Oberflächeninhalt der durch
A(0, 0, 0), B(4, 1, −1), C(1, 6, 1) und S(2, 2, 6) bestimmten Pyramide.
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