Vorlesung1 17 10 2016

Statistik I für Betriebswirte
Privat-Doz. Dr. H. Haase
Inst. f. Math. u. Inf.
17.10.2016
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Vorlesung 1
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Literaturhinweise
Hellbrück, Reiner:
Angewandte Statistik mit R : Eine
Einführung für Ökonomen und Sozialwissenschaftler 2., überarbeitete
Auage. Gabler Verlag / Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH,
Wiesbaden, 2011
Akkerboom, Hans:
Wirtschaftsstatistik im Bachelor : Grundlagen
und Datenanalyse, Wiesbaden : Gabler Verlag / GWV Fachverlage
GmbH, Wiesbaden, 2010
Schira, Josef:
Statistische Methoden der VWL und BWL : Theorie
und Praxis, Pearson 2011
M. J. Crawley, Statistik mit R, Wiley 2012
Skripte und Übungsblätter: https://math-inf.unigreifswald.de/institut/ueber-uns/mitarbeiter/haase/
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Statistikübungen
Tag
Zeit
Rhyt.
Raum
Di
Di
Mi
Mi
10-12
12-14
10-12
12-14
wöch.
wöch.
wöch.
wöch.
SR
SR
SR
SR
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109
109
109
109
Vorlesung 1
Lehrperson
Domstr.
Domstr.
Domstr.
Domstr.
H. Haase
H. Haase
R. Süss
R. Süss
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Vorlesungsplan
Nr
Datum
1
17.10.2016
Einführung in R und Kombinatorik
Thema
2
24.10.2016
Deskriptive Statistik I
3
07.11.2016
Deskriptive Statistik II
4
14.11.2016
Deskriptive Statistik III
5
21.11.2016
Deskriptive Statistik IV
6
28.11.2016
Wahrscheinlichkeiten
7
05.12.2016
Zufallsvariable I
8
12.12.2016
Zufallsvariable II
9
19.12.2016
Stochastische Prozesse
10
10.01.2017
Markow-Ketten
11
17.01.2017
Irrfahrten
12
25.01.2017
Klausurvorbereitung für Februar 2017
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Was ist R?
R ist
eine Programmiersprache
ähnlich der kommerziellen Sprache S
und Umgebung für statistische Berechnungen
Ausgabe-, Skript- und Grakfenster
GNU-Projekt also frei zugänglich
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Woher bekomme ich was?
http://www.r-project.org/
download des Basisprogrammes viele Zusatzpakete, frei verfügbare
Literatur
Anweisungen beachten!
aktuell: R version 3.3.1 (2016-06-21) (Bug in Your Hair)
R Console Free (Android app, leider nicht mehr bei Google Play!!!)
R Instructor (Android, über WEB-Server bei Amazon)
Komfortable Zugrimöglichkeiten auf R:
http://www.rstudio.com/ide/download/desktop
für die meiten Betriebssysteme
RStudio auch über R Instructor
Installationsreihenfolge:
R (Serverprogramm also R zuerst, ganz wichtig)
RStudio (Clientprogamm, erst danach!!!)
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Ein Beispielskript in R I
library(xlsReadWrite)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
xlsReadWrite version 1.5.4 (826aa0)
Copyright (C) 2010 Hans-Peter Suter, Treetron, Switzerland.
This package can be freely distributed and used for any
purpose. It comes with ABSOLUTELY NO GUARANTEE at all.
xlsReadWrite has been written in Pascal and contains binary
code from a proprietary library. Our own code is free (GPL-2).
Updates, issue tracker and more info at http://www.swissr.org.
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Ein Beispielskript in R II
daten = read.xls("pcumfrag.xls", sheet = "Daten")
attach(daten)
head(daten)
##
##
##
##
##
##
##
1
2
3
4
5
6
hotline dauer marke
94
6.9 Apple
104 7.4 Apple
90
6.3 Apple
106 4.7 Apple
109 4.0 Apple
78
8.1 Apple
names(daten)
## [1] "hotline" "dauer"
"marke"
boxplot(dauer ~ marke)
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Boxplot
●
●
8
10
12
●
●
4
6
●
2
●
Apple
Compaq
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Dell
Vorlesung 1
IBM
Packard−Bell
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Tourismus in Thailand
## Loading required package: methods
●
Norway
●
Germany
●
●
Switzerland
Austria
●
Denmark
●
East Europe
●
●
Belgium
●
UK
●
Sweden
●
Italy
●
●
France
●
Netherlands
Other
Europe
●
a●
a●
a●
a●
a●
a●
a●
a●
Russia
●
Spain
●
Canada
●
U.S.A.
●
Length of Stay (days)
Region
Finland
12
Other Americas
●
Israel
●
●●
Kuwait
NewMiddle
ZealandEast
Other
8
●
Australia
●
Japan
Korea
●
U.A.E.
●
Other Oceania
●
●
●
Saudi Arabia
Taiwan
●
●
Egypt
●
China
●
Other Africa
●
●
India
●
OtherArgentina
South Asia
●
Other East Asian
●
Sri Lanka
●
East Asia
Europe
Middle East
Ocenai
South Asia
The Americas
●
a 250
a 500
●
●
●
●
Bangladesh
Nepal
Cambodia
●
a
●
Philippines
●
●
Myanmar
●
Brunei
Hong Kong
●
Pakistan
4
ASEAN
Receipt (M. USD)
South Africa
Brazil
Africa
●
750
●
Singapore
●
Vietnam
●
Indonesia
Malaysia
●
Laos
0e+00
5e+05
1e+06
Number of Tourist Arrivals
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Alternatives Einlesen von Daten
data <- read.csv("pcumfrag.csv", sep = ";", dec = ",")
attach(data)
## The following object(s) are masked from 'daten':
##
##
dauer, hotline, marke
head(data)
##
##
##
##
##
##
##
1
2
3
4
5
6
hotline dauer marke
94
6.9 Apple
104 7.4 Apple
90
6.3 Apple
106 4.7 Apple
109 4.0 Apple
78
8.1 Apple
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Die Mengensprache I
Einige Denitionen:
Es sei
G = {a , a
1
2
,...,a }
n
eine endliche Menge. Die üblichen
Bezeichnungen lauten:
1
2
3
4
5
6
7
8
|G |
für die Anzahl der Elemente.
a ∈ G : a ist ein Element von G .
a ∈/ G : a ist nicht Element von G .
A = {x ∈ G | x ∈/ A} Komplement von A in G .
∅
die leere Menge.
A ∩ B = {x |x ∈ A und x ∈ B } Schnittmenge von A und B .
A ∩ B = ∅ A und B sind disjunkt (oder fremd).
A ∪ B = {x |x ∈ A oder x ∈ B } Vereinigung von A und B .
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Die Mengensprache II
Wichtig bei Mengen: Anordnung der Elemente zählt nicht.
Aber: Bei vielen Problemen ist die Reihenfolge wichtig
Denition: Eine Anordnung von
n Elementen a , . . . , a (in genau
n-Tupel und bezeichnet es mit
1
n
dieser Reihenfolge) nennt man ein
(a1 , . . . , a )
n
Ergänzungen
n = 2 so spricht man von Paaren, n = 3 Tripel, n = 4 Quadrupel
Synonyme für n-Tupel: Folge, Vektor, n-Wort
a1 , . . . , a heiÿen auch Komponenten oder Koordinaten
Gleichheit von n-Tupeln:
(a1 , . . . , a ) = (b1 , . . . , b ) ⇐⇒ a = b für alle i
Paare werden durch (gerichtete) Pfeile und n-Tupel durch Pfade
n
n
n
i
i
(Abfolge von Pfeilen) dargestellt.
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Die Mengenspache III
A und B zwei Mengen, so nennt man die Menge aller
a ∈ A und b ∈ B
Denition: Sind
Paare
(a , b )
mit
A × B = {(a, b) |a ∈ A und b ∈ B }
ihr kartesisches Produkt.
Ergänzungen dazu:
Ausdehnung auf Mengen
A1 , . . . , A
n
A1 × A2 × . . . × A = {(a1 , a2 , . . . , a
Abkürzung A (A = A1 = A2 = . . . = A )
n
n
) | a1 ∈ A 1 , . . . , a ∈ A }
n
n
n
n
Grasche Darstellung durch Bäume (sich verzweigende Pfade die einen
gemeinsamen Ausgangspunkt (Wurzel) haben. Pfeilspitzen werden
dabei oft weggelassen)
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Mengen IV
Denion: Die Mengen
A ,A
1
2
,...,A
r
bilden eine Zerlegung der Menge
G,
wenn sie paarweise disjunkt sind, d.h.
A ∩A
i
für alle Paare
(i , j )
j
=∅
und ihre Vereinigung
A
1
G
ist, also
∪ A2 ∪ . . . ∪ A = G
n
Synonyme Begrie für Zerlegung: Klassizierung, Sortierung
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Kombinatorik I
Was ist Kombinatorik?
Untersuchung von endlichen Mengen und Strukturen
"Kunst und Wissenschaft des Zählens" (Logistik, Personalwirtschaft)
Zählen von Mengen, Wörtern oder Pfaden
Zählregeln, welche gibts es nun?
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Kombinatorik II
Zählregeln
Summenregel:
Liegt eine Zerlegung einer Menge A (in paarweise disjunkte
A1 , A2 , . . . , A ) vor,
d.h.
A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ A ,
n
n
so ist
|A| = |A1 | + |A2 | + . . . + |A | .
n
Produktregel:
Wenn die Elemente der Menge A Wörter (r -Tupel) der Länge
und es für jedes Buchstaben n Möglichkeiten gibt,
so ist
|A| = n1 · n2 · . . . · n
r
sind
i
r
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Kombinatorik III
Anmerkungen zu den Zählregeln:
|A1 × A2 × . . . × A | = |A1 | · |A2 | · . . . · |A |
|A | = |A|
n
n
n
n
Die Produktregel als Abzählprozeÿ:
Läuft er in r unabhängigen Folgeschritten
und ergibt der i -te Schritt n Möglichkeiten,
so gibt es n1 · n2 · . . . · n Arten des Ablaufs
i
r
Weitere Zählverfahren:
Zählen mittels Bijektion (Bijektion eineindeutige Zuordnung zwischen
zwei endlichen Mengen A und B ): |A| = |B |
Prinzip der doppelten Buchhaltung : Zählen auf zwei Arten.
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Kombinatorik: Anwendung der Zählregeln I
Permutationen Teil 1
Denition: Eine Anordnung von
n Objekten
z.B. Buchstaben, Waren u.s.w.
in einer Reihe heiÿt eine Permutation (Vertauschung der Anordnung)
Was können wir über ihre Anzahl sagen?
Abzählen der Pfade im darstellenden Baumdiagamm (Anzahl der
Endknoten)
n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
Abkürzung n ! steht für n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 (sprich n Fakultät)
Hinter die Ohren schreiben : Eine n-Menge kann auf n! Arten
angeordnet werden
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Kombinatorik: Anwendung der Zählregeln II
Permutationen Teil 2
interessante Ergänzungen aus mathematischer Sicht:
Jede Permutation kann als Funktion aufgefaÿt werden:
1 2 3 4
f= 2 3 1 4
Jede Permutation ist gerade eine bestimmte Bijektion
(eineindeutige Abbildung einer endlichen Menge auf sich (s. Mathe))
Folglich:
Bei groÿen
n näherungsweise Berechnung von n! durch die
Stirling-Formel
n! ∼ n · e −
n
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n
·
√
2π
n
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Kombinatorik: Die Potenzmenge Teil 1
Denition: Die Menge aller Teilmengen einer Menge
A = {a , a
1
heiÿt die Potenzmenge von
2
,...,a }
n
A und wird mit ℘(A) bezeichnet.
Wieviel Teilmengen gibt es?
Betrachtung der Menge W aller Wörter der Länge n, deren
Buchstaben nur 0 oder 1 sein dürfen (binäre Wörter)
Bildung einer eineindeutigen Zuordnung zwischen den Teilmengen von
A und den binären Wörtern aus W :
Ist a1 , a2 , . . . , a in der Teilmenge B ⊆ A enthalten, so schreibe am
Platz von a eine 1 ansonsten eine 0.
n
n
n
i
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Kombinatorik Die Potenzmenge Teil 2
Schluÿfolgerung:
Wir erhalten somit eine eindeutige binäre Kodierung der Teilmengen.
Zählen durch Bijektion:
|℘(A)| = |W |
n
Die Anzahl der Teilmengen einer n-Menge ist gleich der
Anzahl der binären Wörter (möglichen binären Kodierungen)
Merksatz:
Was bleibt zu tun?
Zählen von W per Anwendung der Produktregel:
Es gibt für jeden Buchstaben zwei Möglichkeiten 0 oder 1,
also bei n Buchstaben können 2 Wörter gebildet werden.
Merksatz: Die Potenzmenge einer n-Menge hat 2 Elemente.
n
n
n
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Kombinatorik: Die s-Teilmengen einer n-Menge A, Teil 1
s -elementigen
Teilmengen
|A | für die Anzahl der Elemente von A und
sind synonyme
Bezeichung:
A
s
für die Menge der
n
s
s
Bezeichnungen (sprich n über s ).
A
0
= {∅}
(für die leere Menge),
Potenzmenge
|℘(A)|
von
also
2
n
A
A
1
s
,...,A
n
bilden eine Zerlegung der
= |A0 | + |A1 | + . . . + |A |
n
oder in der synonymen Schreibweise
n
2
n
=
+
0
n
1
n
n
+...+
.
A 7→ A (eineindeutige Zuordnung der komplementären Menge), also
n
n
|A | = |A − | bzw.
=
.
s
n−s
s
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n
s
Vorlesung 1
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Kombinatorik Die s-Teilmengen einer n-Menge A, Teil 2
Berechnung von
n
s
durch Rekursion in folgenden Schritten:
Verwendung der binären Kodierung der Potenzmenge
Idee: Sortierung der
n-Wörter mit s
Einsen (und
n−s
Nullen) nach
der 1. Zier (also 1 oder 0)
(n − 1)-Wort
Falls das eine 1 ist, ist das "Restwort" ein
Einsen, solche Fälle kommen dann
−1
s −1
n
mit noch
s −1
mal vor.
Falls eine Null, so hat das Restwort noch alle(!) Einsen und ist ein
(n − 1)-Wort,
also kommt
n
−1
s
mal vor
Nach der Additionsregel (Sortierung liefert Zerlegung von
n
s
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n−1
s −1
=
Vorlesung 1
n−1
s
+
A
s
):
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Kombinatorik: Die s-Teilmengen einer n-Menge A, Teil 3
Plausibilitätserklärung zur Berechnung von
n
s
:
Produktregel: Es gibt n · (n − 1) · . . . · (n − s + 1) Möglichkeiten s
verschiedene Elemente aus einer n-Menge auszuwählen (1. Zählart)
Danach wird folgendes gemacht:
eine s -Menge auswählen (
Möglichkeiten),
dann auf s ! Arten durchzählen (2. Zählart)
also (doppelte Buchhaltung)
n
s ! = n · (n − 1) · . . . · (n − s + 1)
n
s
s
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Kombinatorik: Die s-Teilmengen einer n-Menge A, Teil 4
bzw.
n
s
n · (n − 1) · . . . · (n − s + 1)
n!
=
1·2·...·s
(n − s )! · s !
Das Pascalsche Dreieck für kleine n und s eine Möglichkeit zur
Berechnung von
=
n
s
.
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Kombinatorik: Die s-Teilmengen einer n-Menge A, Teil 5,
Beispiele II
Lottozahlen: 6 aus 49:
Wieviel Tips gibt es ?
49
6
= 13 983 816
Wieviele Tips mit genau 3 richtigen Zahlen?
6
43
·
= 246 820
3
3
Der binomische Lehrsatz:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b) = ∑ =0 a b − (
heiÿt
n
n
n
s
s
s
n
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s
n
s
Vorlesung 1
auch Binomialkoezient)
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Kombinatorik: Stichproben, Teil 1
Stichproben?
ausgesonderte Teilmengen aus einer Population (Grundmenge Ω)
Unterscheidung von Stichproben mit und ohne Zurücklegen
Modellierung des Stichprobenziehens mit dem Urnenmodell: Eine
Urne ist ein Behältnis, daÿ n von 1 bis n durchnummerierte Kugeln
enthält
s -Stichprobe:
Geordnete s -Stichprobe mit Zurücklegen:
4 Ziehungsarten für eine
a)
Ziehen, Nummer notieren, zurücklegen.
Es gibt n mögliche s -Stichproben.
Eine s -Stichprobe ist hier ein s -Tupel.
s
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Vorlesung 1
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28 / 41
Kombinatorik: Stichproben, Teil 2
die nächsten 2 Ziehungsarten:
b) Geordnete
s
s -Stichprobe ohne Zurücklegen:
Kugel nacheinander ziehen,
Nummern in der Reihenfolge des Erscheinens notieren
Es gibt
n(n − 1) · . . . · (n − s + 1)
Auswahlmöglichkeiten (ständige Reduktion der Auswahl
nach jedem Zug)
c) Ungeordnete
s
s -Stichprobe ohne Zurücklegen:
Kugeln in einem Zug ziehen,
also Entnahme einer
s -Menge, also
n
s
Möglichkeiten
(oder in geordneter Reihenfolge)
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29 / 41
Kombinatorik: Stichproben, Teil 3
bleibt noch übrig:
s -Stichprobe mit Zurücklegen:
Es werden s -mal einzeln Kugeln gezogen,
d) Ungeordnete
die Nummern notiert und zurückgelegt.
Die gezogen Nummern werden aufsteigend notiert
(können mehrfach vorkommen!).
Angenommen die Kugel
i
wurde
x
i
mal gezogen:
also gilt s = x1 + x2 + . . . + x bzw.
s + n = (x1 + 1) + (x2 + 1) + . . . + (x + 1)
n
n
s + n = y1 + . . . + y
n
Die gesuchte Anzahl ist gleich Anzahl positiven
ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung mit den
Unbekannten y1 , y2 , . . . , y
n
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30 / 41
Kombinatorik: Stichproben, Teil 4
Wie bestimmt man für Urnenmodell 4 diese Anzahl?
s + n Einsen hintereinander
Es gibt dann s + n − 1 Zwischenräume zwischen den Einsen
Idee: Schreibe
Dort könnte man ein + setzen!!!!!
n − 1 mal ein +-Zeichen setzen.
Dafür gibt es (Auswahl einer n − 1-Menge aus einer n + s − 1-Menge)
Insgesamt müÿte man
n+s −1
n−1
n+s −1
(n + s − 1) − (n − 1)
=
n+s −1
s
=
Möglichkeiten.
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31 / 41
Kombinatorik: Stichproben, Teil 5
Ein anderer Zugang zu dieser Anzahlbestimmung:
Die gezogen Nummern werden aufsteigend notiert (können mehrfach
vorkommen!), d.h.
Für die gezogenen Nummern gilt:
1
=
≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x ≤ n
s
wegen mehrfachen Ziehens
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32 / 41
Kombinatorik: Stichproben, Teil 6
Trick: (Beseitigung der Gleichheitszeichen)
1
≤ x1 < x2 + 1 < x3 + 2 < . . . < x + s − 1 ≤ n + s − 1
s
durch Addition einer Eins, einer Zwei u.s.w.
Dies kann eindeutig wieder rückgängig gemacht werden!!!!
Also Zählen mittels Bijektion
Somit Auswahl einer
s -Menge aus einer (n + s − 1)-Menge
Diese Anzahl ist
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n+s −1
s
Vorlesung 1
.
17.10.2016
33 / 41
Kombinatorik: Die Siebformel 1
Verallgemeinerung der Summenregel auf nicht disjunkte
Mengen, genauer auf Überdeckungen der zu zählenden Menge
Die einfachen Fälle:
|A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |
|A ∪ B ∪ C | = |A| + |B | + |C | − |A ∩ B | − |A ∩ C | − |B ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |
Allgemein:
|A1 ∪ . . . ∪ A | = ∑ |A | − ∑ < |A ∩ A | + . . . + (−1)
n
i
i
i
j
i
j
n
A
−1 |
1
∩...∩A |
n
Begründung:
Angenommen ein Element ist in genau k dieser n Mengen enthalten.
Frage: Wie oft wird es dann einzeln und in den Schnittmengen aller
(nur bis zur k -ten) Stufen gezählt?
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Vorlesung 1
17.10.2016
34 / 41
Kombinatorik: Die Siebformel 2
Antwort:
, 2 ,. . . ,
also würde dann dieses Element auf der rechten Seite nach der Struktur
der Siebformel
k
k
−1 k
−
+ . . . + (−1)
1
2
k
k
1
k
k
k
k
mal gezählt bzw. vorkommen.
Wegen
k
k
k
−
+ . . . + (−1) −1
1
2
k
k
k
k
= 1− 1−
+
− . . . + (−1)
1
2
k
k
k
= 1 − (1 − 1)
k
= 1 (Anwendung der binomische Formel)
also genau einmal, genau so oft wie auf der linken Seite.
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Wahrscheinlichkeitsdenion nach Laplace
Deniton: Ist
Ω
eine endliche nichtleere Menge und
p(E ) =
die Laplace-Wahrscheinlichkeit von
E
E.
E ⊆ Ω, so heiÿt
|E |
|Ω|
Man nennt:
die Menge der günstigen
und
Ω
die Menge der möglichen Ereignisse.
Umgangssprachlich: Anzahl der günstigen Ereignisse durch Anzahl
der möglichen Ereignisse.
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Beispiel 1
In einer 10-er Packung (5 x 2) Tomaten sind zwei seitlich nebeneinander
liegende Tomaten schlecht. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ bei
zwei als schlecht angenommenen Tomaten gerade diese Situation eintreten
kann?
Anzahl der möglichen Ereignisse?
Antwort:
10
2
= 45
Anzahl der günstigen Ereignisse?
Querlage: 5
Längslage: 8 (2 Seiten!!!)
Also
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p=
5+8
45
Vorlesung 1
=
13
45
.
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Beispiel 2
Eine Groÿpackung enthalte 20 Schachteln, wobei 2 Beipackzettel falsch
sind.
a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ bei 5 zufällig
ausgewählten Packungen kein falscher Beipackzettel dabei
ist?
Antwort:
p
18
0
=
5
2
·
0
21
=
20
38
5
b) genau einen falschen Beipackzettel enthält ?
Antwort:
p
1
18
=
4
Vorlesung 1
1
20
5
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2
·
=
15
38
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Beispiel 3 (Testklausur)
In einem Unternehmen muÿ aus betrieblichen Gründen jeden Tag des
Monats gearbeitet werden. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit bei 4
Wochen mit 20 Arbeitstagen, dass 2 vollständige Wochenenden frei
bleiben, wenn pro Woche 5 Arbeitstage sein müssen und die Verteilung der
20 Arbeitstage auf die 4 Wochen rein zufällig erfolgt?
Antwort: Es gibt
4
=6
2
Möglichkeiten zur Festlegung der freien Wochenenden. Dann sind in den 5
Tagen davor Mo bis Fr. Arbeitstage. Für die beiden verbleibenden Wochen
gibt es dann jeweils
7
5
= 21
Möglichkeiten die 5 Arbeitstage ohne Einschränkung zu verteilen.
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Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p=
4
2
7
2
5
7
4
=
6
212
,
5
wobei es
7
4
5
mögliche Verteilungen für die 20 Arbeitstage gibt.
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Beispiel 4 (Klausur 5.08.2015)
In einem groÿen Krankenhaus hot ein Krankenpeger, dass bei der
Arbeitseinteilung mindesten einer der beiden Tage Sonnabend oder
Sonntag bei 5 Arbeitstagen pro Woche frei bleibt. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wunsch rein zufällig erfüllt wird! (5 Punkte)
Antwort: Wenn beide Feiertage freibleiben, gibt es eine Möglichkeit. Wenn
entweder Sonnabend oder Sonntag freibleiben, gibt es jeweils
5
=5
4
Möglichkeiten, also insgesamt 11. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p=
11
7
=
11
21
5
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