Atomphysik 9 - Universität Potsdam

Projektpraktikum Atomphysik
Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums h
von
Jan Kiethe
Tim-Oliver Sauer
Wilhelm Braun
Universität Potsdam, Institut für Physik
Betreuer: Dr.Harry Weigt
Potsdam, 19.04.2010
All the mathematical sciences are founded on relations between physical laws and laws of numbers, so that the aim of exact science is to reduce the problems of nature to the determination of
quantities by operations with numbers.
-James Clerk Maxwell, On Faraday’s Lines of Force (1856)
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Darstellung des experimentellen Vorhabens
2 Beschreibung und Auswertung der durchgeführten Experimente
2.1 Der äußere lichtelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 historische Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 experimenteller Aufbau und Durchführung . . . . . . . .
2.1.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . .
2.2 Röntgenspektroskopie- kurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung
2.2.1 historische Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 experimenteller Aufbau und Durchführung . . . . . . . .
2.2.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . .
2.3 Der Franck-Hertz-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 historische Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 experimenteller Aufbau und Durchführung . . . . . . . .
2.3.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . .
2.4 Das Wasserstoffspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 historische Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 experimenteller Aufbau und Durchführung . . . . . . . .
2.4.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . .
4
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5
5
5
5
8
9
9
10
12
13
13
14
16
18
18
19
20
3 Abschließende Bemerkungen-Vergleich der unterschiedlichen Messmethoden
21
4 Anhang
4.1 Diagramme zur Bestimmung von U0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
Literatur
24
3
1 Einleitung und Darstellung des experimentellen Vorhabens
Naturkonstanten sind physikalische Größen, deren Wert sich weder räumlich noch zeitlich ändert. Man unterscheidet zwischen Fundamentalkonstanten (z.B. die Elementarladung und das
Plancksche Wirkungsquantum) und aus diesen zusammengesetzten Naturkonstanten (z.B. die
Feinstrukturkonstante α).
Das Committee on Data for Science and Technology, CODATA hält die Änderung der Naturkonstanten bzw. ihren genauesten bekannten Wert in regelmäßigen Veröffentlichungen fest. Das NIST
(National Institute of Standards and Technology) arbeitet an regelmäßigen Aktualisierungen der
Werte der Naturkonstanten.
In Deutschland ist die Physikalisch-Technische Bundesanstalt, PTB das nationale metrologische
Institut und insbesondere für die Festlegung der Maßstäbe von Zeit, Länge und Gewicht sowie der
experimentellen Festlegung der Naturkonstanten zuständig.
Der große Wert der Naturkonstanten liegt in ihrer Eigenschaft, verschiedene Gebiete der Naturwissenschaften miteinander zu verknüpfen. Ein Blick in ein einfaches Tafelwerk genügt, um
festzustellen, dass die in so unterschiedlichen Zusammenhängen auftauchenden Konstanten Vakuumlichtgeschwindigkeit, Boltzmann-Konstante und Faraday-Konstante aus noch elementareren
Fundamentalkonstanten wie z.B. der Avogadro-Zahl oder der Elementarladung zusammengesetzt
sind. Diese elementaren Konstanten sind der Messung direkt zugänglich.
Nach [6] ist der Wert für das Plancksche Wirkungsquantum h = 6.626 · 10−34 Js mit einer
relativen Unsicherheit von uh = 7.8 · 10−8 .
Vom 22. bis zum 25.Februar 2010 führten wir in den Räumen des Grundpraktikums vier grundlegende Experimente zur Bestimmung der atomphysikalischen Fundamentalkonstanten h, des
Planckschen Wirkungsquantums, durch.
Unsere Ergebnisse legen wir mit diesem Bericht vor.
Hier soll dem Leser stichwortartig eine kurze Einführung in die grundlegenden Zusammenhänge gegeben werden, die es uns ermöglichten, mithilfe der zu beschreibenden vier Versuche h zu
bestimmen. V.a. werden die primär zur Bestimmung von h gemessenen physikalischen Größen
genannt.
Zunächst führten wir ein Experiment zum äußeren lichtelektrischen Effekt durch. Wir ermittelten
die Energie von Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz des auf die Metalloberfläche einfallenden
Lichtes.
Wir führten Röntgenspektroskopie mit Hilfe von zwei unterschiedlichen Kristallen an einer Kupferanode durch und bestimmten jeweils die kurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung.
Beim Franck-Hertz-Versuch maßen wir die Anregungsenergie eines bestimmten Übergangs des
Quecksilberatoms.
Schließlich stellten wir den sichtbaren Teil der Balmer-Serie des Wasserstoffspektrums (d.h. die
Intensität emittierten Lichts als Funktion der Wellenlänge) dar, um die Rydbergsche Serienformel zu überprüfen.
Eine historische Einordnung des Versuchs findet sich am Anfang der Beschreibung des jeweiligen
Experiments.
4
2 Beschreibung und Auswertung der durchgeführten
Experimente
2.1 Der äußere lichtelektrische Effekt
2.1.1 historische Einordnung
Der äußere lichtelektrische Effekt, auch Hallwachs-Effekt, ist das Freisetzen von Ladungsträgern
(Elektronen) aus einer Metalloberfläche, auf die elektromagenetische Strahlung gerichtet ist, deren
Wellenlänge kurz genug ist, um überhaupt Elektronen auslösen zu können.
1839 beobachtete Becquerel diesen Effekt erstmals. 1886 führten Hertz und sein Assistent
Wilhelm Hallwachs quantitative, systematische Untersuchungen durch. 1900 konnte Lenard
zeigen, dass die kinetische Energie der herausgelösten Photoelektronen nur von der Frequenz des
eingestrahlten Lichtes, nicht jedoch von dessen Intensität, bestimmt wird. Milikan führte von
1912-1913 Präzisionsmessungen zur Bestimmung von h mit der Gegenfeldmethode durch.
Erst Einstein konnte mithilfe der revolutionären Lichtquantenhypothese die experimentellen Resultate erklären; er stützte sich dabei auf die Plancksche Strahlungshypothese von 1900. Einstein erhielt 1921 den Nobelpreis für seine Erklärung des äußeren lichtelektrischen Effektes.
2.1.2 experimenteller Aufbau und Durchführung
Mit einer Quecksilberlampe wird Licht erzeugt, dass durch ein Linsensystem gebündelt, mithilfe
eines Prismas in seine spektralen Anteile zerlegt und dann mit einem Umlenkspiegel auf eine Photozelle gelenkt wird. Der Spiegel dient zur spektralen Selektierung des Lichtstrahls, da möglichst
nur eine Frequenz die Photokathode treffen soll. Um der Breite der Spektrallinien Rechnung zu
tragen, muss das Licht nach der Fokussierung noch einmal eine schmale Blende passieren, bevor
es auf die Photozelle trifft.
Ein prinzipieller Versuchsaufbau ist in Abb. 2.1.1 dargestellt.
Abbildung 2.1.1: Versuchsaufbau zum Photoeffekt, aus [2]
5
Ein Teil der von uns verwendete Versuchsanordnung ist in Abb. 2.1.2 dargestellt.
Abbildung 2.1.2: Versuchsanordnung des Grundpraktikums zum äußeren lichtelektrischen Effekt
Licht der Frequenz ν wird auf eine Photokathode, die sich zusammen mit einer Anode in einem evakuierten Glaskoben befindet, eingestrahlt. Elektronen werden ausgelöst, der Photostrom
I setzt ein. In der Abbildung 2.1.1 ist die Spannung U so gepolt, dss die austretenden Elektronen
noch durch diese beschleunigt werden. Je höher nun diese Spannung ist, desto größer wird auch
der Photostrom, allerdings gibt es einen Sättigungswert des Stromes, der von der Lichtintensität
abhängt. Interessant für unsere Messung ist der Fall der zu Abb. 1 entgegengesetzten Polarität: die
Elektronen müssen nun gegen die Spannung U anlaufen, daher spricht man auch von der Gegenfeldmethode. Man erwartet, dass die Spannung U0 , bei der der Photostrom komplett zum Erliegen
kommt, von der Frequenz des eingestrahlten Lichtes, und nur von dieser, abhängt.
Mit der Lichtquantenhypothese gelingt die Erklärung der experimentellen Resultate. Ein Photon
der Energie hν übergibt seine Energie an ein Elektron des Metalls. Dieses muss die metallspezifische Austrittsarbeit WA leisten. Die kinetische Energie, die das Elektron nach dem Austreten aus
dem Metall hat, ist also
Ekin = hν − WA .
(1)
Dies haben wir untersucht, indem wir mithilfe eines hochempfindlichen Strommessgerätes die
Photoströme in Abhängigkeit der Gegenspannungen maßen, dies ist die Gegenfeldmethode. Für
verschiedene bekannte Wellenlängen (Frequenzen) erhöhten wir die Gegenspannung so lange, bis
kein Strom mehr floss. Daraus bestimmten wir die Gegenspannung U0 .
Man kann erwarten, dass der so aufzunehmende Strom-Spannungs-Zusammenhang linear ist. Dies
ist nicht der Fall, wie man in Abb. 2.1.3 erkennt.
6
90
80
70
60
I
pA
50
40
30
20
10
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
U
V
Abbildung 2.1.3: exemplarisches I-U-Diagramm für λ=403.51 nm
√
Wenn man statt dessen, wie der Hersteller der Photozelle empfiehlt, I in Abhängigkeit der
Gegenspannung aufträgt, ist der Zusammenhang annähernd linear und man kann eine lineare
Regression vornehmen. Es ist physikalisch nicht ohne weiteres zu erklären, warum diese Linearisierung vorgenommen werden muss. Auf der Gegenelektrode können, trotz hoher Austrittsarbeit,
Elektronen ausgelöst werden (durch indirekte Beleuchtung, d.h. durch Spiegelung an der Photoelektrode), da sich die Alkaliatome der Photoelektrode mit der Zeit auf ihr absetzen und somit
die Austrittsarbeit erniedrigen. Nach [5, S.318] gelten die einfachen Zusammenhänge auch nur
eingeschränkt, da ja die Photoelektrode nicht gekühlt wird und daher Elektronen exisitieren, deren kinetische Energie größer als die Fermi-Energie ist. Außerdem erhält man auch nicht die
Austrittsarbeit der Photoelektrode, sondern die der Kollektoranode. Schließlich spielt wegen der
Ringform der Akzeptorelektrode nur die zur Elektrode normale Geschwindigkeitskomponente der
Elektronen eine Rolle. In den Abb. 2.1.4, 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 und 4.1.4 (siehe auch Anhang) sind die
linearisierten Zusammenhänge mit den Ausgleichsgeraden dargestellt.
7
6
lin.Regression: f (x) = a · x + b
5
√
√ I
pA
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
U
V
Abbildung 2.1.4:
√
I-U-Diagramm für λ=577.15 nm
Aus den Parametern der Geraden (Anstieg a und Achsenabschnitt auf der y-Achse b) kann man
für jede Frequenz U0 (Werte im Anhang) wie folgt berechnen:
b
(2)
a
Daher führten wir für jede Messreihe (jede Frequenz) Regressionen durch, bestimmten die Parameter a und b sowie deren Unsicherheiten. Wir bemerkten, dass in den I − U0 -Diagrammen
schnell ein Plateau erreicht wurde, d.h. der Strom nur noch sehr langsam bzw. nicht mehr messbar
langsam abfiel. wir haben alle Messwerte aus unseren Rechnungen ausgeschlossen, nach denen sich
ein voriger Strommesswert wiederholt hat (Plateaukriterium).
U0 = −
2.1.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung
Wichtig ist zunächst, die Wellenlänge und somit die Frequenz des eingestrahlten Lichtes zu bestimmen. Dazu benutzten wir den digitalen Gitterspektrographen, den wir auch zur Aufnahme des
Wasserstoffspektrums verwendet haben und vermaßen das Spektrum der Lampe zunächst kontinuierlich, dann nur einzelne Spektrallinien, wobei wir darauf achteten, möglichst genau die Linien
zu erhalten, mit denen auch die Photozelle bestrahlt worden war. Nachdem das Spektrometer
kalibriert worden war, konnten wir folgende Wellenlängen zuordnen:
Farberscheinung
gelb
grün
türkis
blau (stark)
violett (stark)
gemessene Wellenlänge in nm
577.15
546.15
491.15
435.62
404.71
Wellenlänge nach [4] in nm
578.02
546.07
491.61
435.83
404.66
Die genaue Beschreibung des Kalibrationsprozesses erfolgt im Kapitel 2.4 zum Wasserstoffspektrum. Diese Linien stimmen gut mit den Literaturwerten für Quecksilber überein (siehe z.B.
8
[4, S.293]) 1 . Nun bestimmten wir die kinetische Energie der Elektronen gemäß der EinsteinLenard-Gleichung
Ekin = e · U0 = hν − WA .
(3)
Diese Energien sind in Abhängigkeit von der Frequenz des sie verursachenden Lichtes in Abbildung 2.1.5 dargestellt.
2.8
lin.Regression: f (x) = a · x + b, a=6.63 Js
2.6
2.4
2.2
Ekin
eV
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
5
5.5
6
6.5
7
7.5
ν
1014 Hz
Abbildung 2.1.5: kinetische Energie der Photoelektronen in Abhängigkeit der Frequenz
Wir rechneten die Wellenlängen gemäß der Formel ν = λc in Frequenzen um.
Der Anstieg der Ausgleichsgerade ist h = (6.63 ± 0.62) · 10−34 Js. Den Fehler ermittelten wir
mittels des linearen Fehlerfortpflanzungsgesetzes:
|uh | =
∂h
e
· uU0 = · uU0 = 0.62 · 10−34 Js
∂U0
ν
(4)
Die Abweichung vom anfänglich angegebenen Literaturwert ist unter 1 % (genau: 0.06%). Dennoch ist diese Messmethode mit ziemlich großen Unsicherheiten behaftet. Der augenscheinlichste
Grund ist das schnelle Erreichen eines Plateaus bei den I − U0 -Messkurven. Selbst wenn man
nach einem bestimmten Wert die Spannung stark erhöht, fiel der Strom nicht auf 0 ab. Die Akzeptorelektrode überzieht sich im Laufe der Zeit mit dem Metall der Kathode, sodass auch hier
Elektronen herausgelöst werden können. Es kommt zu sogenannten Kriechströmen.
2.2 Röntgenspektroskopie- kurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung
2.2.1 historische Einordnung
Der äußere lichtelektrische Effekt hat uns gezeigt, dass Energie gequantelt ist und somit die Lichtquantenhypothese bestätigt. Diese Lichtquanten lösten bei diesem Effekt Elektronen aus einem
Metall und beschleunigten sie. Auch die Umkehrung dieses Effekts ist möglich und kann zur Erzeugung energiereicher Röntgenstrahlung verwendet werden. Diese erstmals von Wilhelm Conrad
1 Bei
den zwei eng zusammenliegenden gelb erscheinenden Linien wurde der Mittelwert gebildet.
9
Abbildung 2.2.1: schematischer Aufbau einer Röntgen-Röhre, nach: www.online-media.unimarburg.de
Röntgen 1895 beschriebene elektromagnetische Strahlung reicht von einer Wellenlänge von ungefähr 50 nm bis 5 pm.
Zwar hatten schon andere Wissenschaftler vor Röntgen die Strahlung entdeckt, jedoch ihre Arbeiten nie veröffentlicht. Auch dessen Bedeutung und praktischen Nutzen wurde erst von Röntgen
erkannt. Heute wird die Röntgenstrahlung in der Medizin und in der Chemie bzw. Materialphysik
zur Strukturanalyse eingesetzt. Röntgen erhielt 1901 dafür den ersten Nobelpreis für Physik.
Bei der Erzeugung werden Elektronen stark beschleunigt und auf eine Metall-Anode geschossen. Die Elektronen werden im elektrischen Feld der Atome abgelenkt, also beschleunigt und geben
dabei Strahlung ab. Über die kurzwellige Grenze dieses dabei entstehenden kontinuierlichen Spektrums kann das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmt werden. Zusätzlich entsteht durch
Anregungen der Atome auch eine charakteristische Strahlung (Entdeckung 1909 durch Charles
Glover Barkla), welche in unserem Versuch zwar nicht von Bedeutung ist, aber auch ein Beweis
für den Schalenaufbau des Atoms liefert.
2.2.2 experimenteller Aufbau und Durchführung
experimenteller Aufbau
Zur Erzeugung der Röntgenstrahlung benutzten wir eine Röntgenröhre (s. Abb 2.2.1).
Darin werden die von einer Glühkathode emittierten Elektronen durch eine Spannung UB auf
die aus Kupfer bestehende Anode beschleunigt. Dort erzeugen sie sowohl die oben erwähnte charakteristische Röntgenstrahlung als auch die für unseren Versuch interessante Bremsstrahlung. Je
nachdem wie die Elektronen an den Kupferatomen vorbeifliegen, werden sie unterschiedlich stark
durch deren elektrisches Feld beschleunigt. Es entsteht also ein ganzes Spektrum verschiedener
Wellenlängen, welches jedoch eine untere Grenze aufweist. Die Elektronen können nur maximal
die Energie abgeben, die sie durch die Beschleunigungsspannung vorher erhalten haben, d.h. es
gibt keine Quanten, die eine höhere Energie bzw. eine kleinere Wellenlänge haben. Ist nun diese
kurzwellige Grenze λmin der Strahlung bekannt, kann nach
10
Abbildung 2.2.2: Spektrum der Kupferanode an einem LiF-Kristall
c
(5)
λmin
mit Emax = e · UB das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmt werden. Die kurzwellige
Grenze bestimmten wir durch Kristallspektroskopie. Dabei wird die von der Röntgenröhre erzeugte Strahlung auf einen Einkristall mit konstantem Netzgitterebenenabstand d gelenkt, nach der
Bragg- Bedingung
Emax = h · νmax = h ·
n · λ = 2d · sinγ
(6)
dort reflektiert und so in seine spektralen Bestandteile zerlegt. Für jeden Einfallswinkel γ wird
die Intensität der Strahlung mit einem Photodetektor gemessen und mit einem Computer ausgewertet. Aus dem so entstehenden Spektrum kann nun die kurzwellige Grenze ermittelt werden.
Versuchsdurchführung
Für die Messungen verwendeten wir einen LiF-Kristall (d = 201 pm) und einen KBr-Kristall
(d = 329, 5 pm). Für beide Kristalle nahmen wir nun mit der beschriebenen Apparatur das Spektrum der Röntgenstrahlung für verschiedene Beschleunigungsspannungen zwischen 13 und 25 kV
auf. Mit der Bragg-Bedingung berechnen wir die zugehörigen Wellenlängen aus den Einfallswinkeln (es handelt sich um das Max. erster Ordnung, also n=1):
n · λ = λ = 2d · sinγ
(7)
Damit können wir die Spektren erstellen (in Abb. 2.2.2 für den KBr-Kristall und verschiedene
Beschleunigungsspannungen):
Deutlich sichtbar ist die Verschiebung der unteren Grenze zu kleineren Winkeln/ kürzeren Wellenlängen mit zunehmender Beschleunigungsspannung. Da sich ein Hintergrundrauschen nie vermeiden ließ und so die untere Grenze der Wellenlänge nicht einfach ablesbar ist, führten wir eine
lineare Regression des ersten deutlich sichtbaren Anstiegs durch und verlängerten diesen bis auf die
Nulllinie der Intensität, um dort die kurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung zu bestimmen. Diese
Methode ist in Abb. 2.2.3 exemplarisch für den LiF-Kristall mit einer Beschleunigungsspannung
von 25 kV dargestellt:
11
Abbildung 2.2.3: Spektrum an einem LiF-Kristall bei UB = 25 kV mit linearer Regression
2.2.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung
So erhalten wir für alle Beschleunigungsspannungen einen Wert für die untere Grenzwellenlänge:
UB in kV
13
16
19
22
25
LiF-Kristall λmin in pm
95.4
77.1
62.0
57.1
50.8
KBr-Kristall λmin in pm
95.8
81.1
67.3
56.9
50.3
Da die Einfallswinkel von der PHYWE-Apparatur in ca. 0,5◦ Schritten durchlaufen wurden, setzen
wir als Messunsicherheit des Winkels uγ = 0.25◦ an. Nach Fehlerfortpflanzung ergibt sich für die
Messunsicherheit der Wellenlänge:
uγ uλmin = · λmin
(8)
γ
Damit stellen wir die untere Grenzwellenlänge in Abhängigkeit von U1 (welche als vergleichsweise
fehlerfrei angesehen wird) graphisch dar und führen eine lineare Regression unter Einbeziehung
der Fehlerbalken durch (Bsp. KBr-Kristall, Abb. 2.2.4):
So erhalten wir für die Anstiege:
AKBr = (1, 25 ± 0, 10) · 10−6 Vm und ALiF = (1, 22 ± 0, 07) · 10−6 Vm.
c
Formt man Emax = e · UB = h · νmax = h · λmin
um, so erhält man:
h·c 1
1
·
=A·
(9)
e
UB
UB
Aus dem Anstieg der Regressionsgeraden können wir also das Plancksche Wirkungsquantum
bestimmen:
λmin =
h=
A·e
c
12
(10)
Abbildung 2.2.4: lineare Regression des Spektrums eines KBr-Kristalls bei UB = 25 kV zur Bestimmung der Grenzwellenlängen
Die Messunsicherheit von h bekommen wir aus der Fehlerfortpflanzung:
uh =
|uA | · e
c
(11)
Somit erhalten wir folgende Werte für h:
hKBr = (6, 7 ± 0, 5) · 10−34 Js
hLiF = (6, 5 ± 0, 4) · 10−34 Js
Wir bilden den Mittelwert aus beiden und erhalten als Endergebnis:
h = (6, 6 ± 0, 5) · 10−34 Js
Dieser weicht um ca. 0,4% vom Wert nach [6] ab. Diese relativ kleine Abweichung spiegelt jedoch
nicht die Genauigkeit der Messmethode wieder. Die recht große Messunsicherheit des Ergebnisses
zeigt, dass es doch einige Ungenauigkeiten bei der Durchführung gab. Die größte Schwierigkeit
bestand darin, die genaue unterer Grenze des Winkels bzw. der Wellenlänge zu bestimmen. Teilweise war der Intensitätsanstieg an dieser Grenze durch ein gewisses Hintergrundrauschen sehr
flach und damit schwer auszumachen. Wahrscheinlich liegt dies an Reflexionen der Strahlung an
der Blende, der Kristalloberfläche und den Innenwänden des Apparates. In der Abschätzung der
Messunsicherheit des Winkels haben wir versucht, diese Fakten zu berücksichtigen.
2.3 Der Franck-Hertz-Versuch
2.3.1 historische Einordnung
Die beiden Physiker James Franck und Gustav Ludwig Hertz beschäftigten sich in den Jahren 1911 bis 1914 mit der Ionisation von Atomen. Hertz und Franck führten ihre Messung an
Quecksilber durch. Sie belegten mit ihren Experimenten, dass die Atome diskrete Energieniveaus
13
haben und brachten somit einen Hinweis, dass das Bohrsche Atommodell, welches 1913 vom dänischen Physiker Niels Bohr vorgestellt wurde, der Natur entspricht. Zu Beginn des 20.Jahrhunderts
war durch spektroskopische Experimente klar, dass die Wechselwirkung von Licht und Elektronen mit Atomen quantisiert erfolgt; Bunsen und Kirchhoff entwickelten die Spektralanalyse
im Jahre 1859. Weiterhin wurde durch den Beweis der quantisierten Zustände eines Atoms die
Quantentheorie unterstützt. Im Jahre 1925 bekamen die beiden Experimentalphysiker Franck
und Hertz für ihren Versuch den Nobelpreis für Physik.
2.3.2 experimenteller Aufbau und Durchführung
Der Franck-Hertz-Versuch besteht aus einer evakuierten Glasröhre, in der sich ein bestimmtes
Gas (meistens Quecksilber oder Neon) befindet. An den Enden des Kolbens sind eine Anode und
eine Kathode befestigt. In der Mitte des Glaskolbens ist ein durchlässiges Gitter angebracht, das
gegenüber der Kathode eine regelbare Spannung UB (im folgendem auch Beschleunigungsspannung) aufweist. Das Gitter hat gegenüber der Anode eine geringe Gegenspannung UG , im Bereich
von 0.5 V. An der Kathode werden nun mit Hilfe einer Heizwendel Elektronen ausgelöst, diese
werden durch die Beschleunigungsspannung bis zum Gitter beschleunigt. Die Elektronen kommen
nur an der Anode an, wenn sie genügend kinetische Energie haben, um die Gegenspannung UG
(im folgenden auch Gegenfeld ) zu überwinden. Die Spannung UB wird nun immer weiter erhöht.
Gemessen wird in dem gesamten Versuch der Strom I, der im Anodenkreis fließt, in Abhängigkeit
der Beschleunigungsspannung UB , diese Messung haben wir mit Hilfe eines analogen Oszilloskops
und einem Software-gesteuerten Oszilloskop am PC durchgeführt. Die Darstellung der FranckHertz-Kurve erfolgt im X-Y-Modus des Oszilloskops, wobei X die Beschleunigungsspannung und
Y der Anodenstrom ist. Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in 2.3.1 dargestellt.
Abbildung 2.3.1: Franck-Hertz-Röhre, schematisch nach [7, S.141]
14
Wir untersuchten den Stoff Quecksilber. Da dieser aber bei Raumtemperatur nicht gasförmig
ist, wurde der Glaskolben zusätzlich noch geheizt, so dass der Stoff Hg komplett gasförmig wurde
und während des Versuches auch blieb. Ziel des Versuches ist, wie bereits in der Einleitung des
Berichts erwähnt, die Bestimmung des Planck’schen Wirkungsquantums h. Also ist ein Zusammenhang zwischen den Werten die wir messen können, also UB und I, und der Naturkonstante
h vonnöten. Dieser Zusammenhang ist auffindbar, wenn der Prozess innerhalb des Glaskolbens
genauer betrachtet wird. Die Elektronen, die an der Heizwendel ausgelöst werden, befinden sich
in einem elektrischen Feld zwischen Kathode und Gitter, durch die angelegte Spannung werden
die Elektronen in Richtung Gitter beschleunigt. Haben die Elektronen in diesem Raum genügend
kinetische Energie aufgenommen, wird in der Anode ein Strom gemessen. Wenn man nun die Beschleunigungsspannung UB immer höher einstellt, erwartet man, dass der Strom I in der Anode
immer größer wird, da immer mehr Elektronen genügend kinetische Energie haben, um das Gegenfeld zu überwinden. Doch bei einer bestimmten Beschleunigungsspannung geht der gemessene
Strom in der Anode zurück und sinkt auf ein Minimum, bevor er wieder anfängt zu steigen. Je
größer die anliegende Spannung, desto mehr dieser Minima sind in der Franck-Hertz-Kurve zu
erkennen.
Abbildung 2.3.2: Franck-Hertz-Kurve, aufgenommen am 23.02.2010 mit Hilfe der gegebenen
Oszilloskopsoftware
Es fällt auf, das die Abstände der einzelnen Extrema aufeinander, z.B. der Abstand zwischen
ersten Maximum und zweiten Maximum oder der Abstand zwischen dem ersten Minimum und
dem zweiten, äquidistant sind. Dies lässt sich mit Hilfe der Quantentheorie von Atomen erklären: Atome haben diskrete Energieniveaus. Daraus folgt, dass es bei Stößen zwischen Elektronen
und Atomen des Gases nur dann zu einem Energieaustausch kommt, wenn die Elektronen eine
kinetische Energie besitzen, die einem Energieniveau des Atoms entspricht. Es finden also keine
unelastischen Stöße zwischen den freien, beschleunigten Elektronen und denen des Atoms statt,
wenn das anregende Elektron nicht eine bestimmte Energie hat. Wenn die Elektronen dann ihre
komplette kinetische Energie an die Atome abgeben, werden die Atome angeregt und in einen
höheren Energiezustand gehoben. Aber direkt nach dem Stoß kann sich das Atom wieder in seinen
ursprünglichen Energiezustand zurückbegeben und gibt dabei Energie der vorher aufgenommen
Menge in Form eines Lichtquants wieder ab. Die Energie dieser Lichtquanten ist laut Planck:
E =h·ν
15
(12)
Wenn in der Franck-Hertz-Kurve mehrere Extrema zu sehen sind kommt dies daher, dass die
Elektronen, die bereits mit den Atomen gestoßen haben, weiter durch das Feld beschleunigt wurden
und bevor sie es verlassen, nocheinmal genügend kinetische Energie gesammelt haben, um ein
weiteres mal ein Atom anzuregen. Die Stoßzone verschiebt sich. Da die Elektronen, die mit den
Atomen stoßen, ihre komplette kinetische Energie verlieren, ist die Energie der ausgestrahlten
Lichtquanten genau die der schnellsten Elektronen, also die mit der höchsten kinetischen Energie.
Die kinetische Energie der Elektronen entsteht durch das homogene elektrische Feld zwischen
Kathode und Gitter, damit folgt für die Energie der Elektronen:
Ekin = e · U
(13)
wobei e die Ladung des Elektrons ist.
Somit folgt für das Plancksche Wirkungsquantum:
e·U
(14)
ν
Um h zu bestimmen sind die Spannung U , bei der die Elektronen genügend Energie haben,
um ein Atom anzuregen, und die Frequenz ν des ausgestrahlten Lichtes bei der Rückkehr in den
niedrigeren Energiezustand des Atoms zu bestimmen. Die Frequenz entnahmen wir aus einem am
Versuchsplatz bereitgestellten Termschema von Quecksilber. Für den niedrigsten Übergang betrug
die benötigte Wellenlänge 253, 653 nm. Dieser Wert ist allein aus spektroskopischen Untersuchungen des emittierten Lichts zu erhalten. Die Spannung U lässt sich aus der Franck-Hertz-Kurve
bestimmen, in dem man die Abstände zwischen gleichen, direkt aufeinanderfolgenden Extrema
misst.
Um die Spannung zu bestimmen ist nun die Franck-Hertz-Kurve zu erstellen. Diese trägt
die Stromstärke I an der Anode in Abhängigkeit der Beschleunigungsspannung UB auf. Ist die
Beschleunigungsspannung hoch genug, kommt es zu mehreren Beschleunigungs- und Abbremsphasen. Diese sind dann in der Franck-Hertz-Kurve (Abb.2.3.2) als Extrema zu erkennen. Da die
Elektronen bis zu jedem Abbremsen die gleiche Energie haben müssen, ist die Differenz gleicher
aufeinander folgender Extrema die gesuchte Spannung U .
h=
2.3.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung
Um die Spannung U zu bestimmen, maßen wir jeweils vier Differenzen der Maxima und der Minima
der Franck-Hertz-Kurve (Abb. 2.3.2)
Die Messung erfolgte mit Hilfe einer Oszilloskop-Software an einem PC. Die Software bot die
Möglichkeit, zwei Vertikalen in die Kurve zu legen, dann gab das Programm den Abstand dieser beiden Geraden aus. Dies nutzten wir aus, um die Abstände aufeinanderfolgender Minima
bzw. Maxima zu messen. (Anmerkung: Mit derselben Software nahmen wir auch die FranckHertz-Kurve auf, leider ist uns erst bei der Auswertung aufgefallen, dass die ausgegebenen Daten
nicht denen entsprachen, die wir auf dem Monitor dargestellt bekamen. Die Kurve wurde in Pixel
ausgegeben. Deswegen entfällt die Einteilung der Achsen bei unserem Diagramm 2.3.2)
Wir nahmen eine ähnliche Kurve auch mit dem analogen Oszilloskop auf (Abb. 2.3.3).
16
Abbildung 2.3.3: Franck-Hertz-Kurve am analogen Oszilloskop, unkalibriert
Aus diesen Abständen bildeten wir das arithmetische Mittel und benutzen dies für die Berechnung des Planckschen Wirkungsquantums.
Messung
1
2
3
4
∆U Maxima in V
4.9
4.9
5.07
5.16
∆U Minima in V
5.07
5.16
5.24
4.98
Der Mittelwert mit der Standardabweichung ist somit ∆U = (5.06 ± 0.13) V. Somit folgt für
das Plancksche Wirkungsquantum h:
h=
e·U
e·U ·λ
1.602 · 10−19 C · 5.06 V · 254.653 nm
=
=
= 6.85934 · 10−34 Js
ν
c
2.9979 · 108 m
s
(15)
Die Ungenauigkeit des errechneten Wertes rührt aus den Ungenauigkeiten der gemessenen Werte in der Formel (14) her. Da aber nur der Wert für die Spannung gemessen worden ist, ist auch
nur dieser mit einem Fehler behaftet. Für den Fehler ergibt sich dann mit Hilfe dem Fehlerfortpflanzungsgesetz nach Gauß:
−19
∂h C · 254.653 nm
· uU = e · λ · uU = 1.602 · 10
uh = · 0.13 V = 0.18 · 10−34 Js
∂U
c
2.9979 · 108 m
s
(16)
Damit ist das Ergebnis für h:
h = (6.86 ± 0.18) · 10−34 Js
(17)
Mögliche Fehler entstehen vor allem beim Ablesen der Werte am Oszilloskop bzw. der benutzten
Software.
Eine weitere Quelle von Unsicherheiten besteht in der Tatsache, dass die Röhre über einen
Temperaturregler auf konstanter Temperatur gehalten werden sollte, dies ist aber nicht immer der
17
Fall gewesen; Aggregatszustandsänderungen des Quecksilbers sowie Änderungen in der Bewegung
der Atome sind der Fall; diese beeinflussen das Stoßverhalten mit den Elektronen. Im Vergleich mit
dem in der Einleitung angegebenem Literaturwert von h ergibt sich eine Abweichung von 3.5%.
2.4 Das Wasserstoffspektrum
2.4.1 historische Einordnung
Im Franck-Hertz-Versuch wurde klar, dass Atome Energiebeiträge quantenhaft absorbieren.
Jedes zum Leuchten gebrachte Gas besitzt ein charakteristisches Emissions- bzw. Absorptionsspektrum. Mit einer Balmer-Spektrallampe (Gasentladungslampe) untersuchten wir das Spektrum
atomaren Wasserstoffs für den sichbaren Bereich. Dieses besteht im sichtbaren Bereich aus vier einzelnen Linien. Johann Jacob Balmer fand bereits 1884 auf empirischen Wege das Bildungsgesetz
(die Balmer-Formel)
1
1
−
(18)
ν=C
22
m2
wobei C = 3.288 · 1015 Hz.
Die Frequenz der einzelnen Linien des Spektrums wird durch diese Funktion sehr genau wiedergegeben, wenn man für die Spektrallinien verschiedene ganzzahlige Werte von m einsetzt. Balmer
vermutete, dass seine Gleichung ein Spezialfall einer allgemeineren Gleichung sein könnte, die auch
für andere Elemente gilt. Rutherford hatte mit Streuversuchen von α-Teilchen an dünnen Goldfolien gezeigt, dass die gesamte positive Ladung des Atoms in einem sehr kleinen Atomkern der
Größenordnung 10−14 m vereint ist, während die negative Ladung in Elektronen der Atomhülle
lokalisiert ist. Unklar blieb zunächst, warum Elektronen nicht schon nach kurzer Zeit in den Kern
fallen und wie man die elementspezifischen Emissions- und Absorptionsspektren der Gase erklären
konnte. Erst Niels Bohr konnte 1913 das Rutherfordsche Atommodell revolutionär erweitern,
indem er postulierte, dass sich Elektronen auf bestimmten Bahnen strahlungsfrei bewegen. Mit
der Quantenbedingung (Drehimpulsquantisierung) und der Frequenzbedingung (Emission bzw.
Absorption von Photonen beim Übergang von Elektronen auf unterschiedliche Energieniveaus)
kann man dann die diskreten Energiezustände des Wasserstoffatoms berechnen. Dazu muss man
noch die Annahme machen, dass die Energie En des n-ten Atoms sich aus kinetischer und potenzieller Energie zusammensetzt, wobei die potentielle Energie durch die Coulomb-Wechselwirkung
des Elektrons im Abstand rn vom Atomkern gegeben wird; die sich daraus ergebende Kraft fungiert als Zentripetalkraft und hält das Elektron auf diser Kreisbahn. Nach kurzer Rechnung erhält
man schließlich, dass die Gesamtenergie des Elektrons auf der n-ten Bahn
En =
−1 me e4
8 20 h2 n2
(19)
ist. Im sich daraus ergebenden Energieniveauschema gilt dann mit der Frequenzbedingung ∆E =
Em − En , m > n und hν = ∆E
1
1
me e4
−
ν= 2 3
(20)
80 h
n2
m2
4
me e
Bei der hier betrachteten Balmer-Serie ist n = 2. Die Konstante R = 8
2 h3 wird Rydberg0
Konstante genannt. Sie galt es aus unseren spektrographischen Messungen zu bestimmen.
(Bemerkung: Die Bezeichnungen der o.g. Konstante ist nicht einheitlich. Wir halten uns an [6] (auch bei
den Werten der anderen Naturkonstanten, die für die Rechnung benutzt werden) und geben die Konstante
in der Einheit Hz an. Nach [2] heißt R · c Rydberg-Konstante, worin c die Vakuumlichtgeschwindigkeit
ist. Nach [6] heißt die gleiche Größe R∞ und die von uns zu bestimmende Größe R∞ · c0 . Es ist klar,
dass beide Bezeichnungen äquivalent sind, wenn man Anstatt der Frequenz ν die Wellenzahl λ1 benutzt.
Des weiteren nimmt man bei allen obigen Bezeichnungen an, dass die Masse des Kerns M im Vergleich
zur Masse des ihn umkreisenden Elektrons unendlich groß sei. Wenn die Ruhemasse des Elektrons m0
18
berücksichtigt wird, erhalten wir mit dem Konzept der reduzierten Masse R = R∞ 1+1m0 . Im Rahmen von
M
Hochpräzisionsmessungen ist dieser Unterschied experimentell zugänglich.)
2.4.2 experimenteller Aufbau und Durchführung
Wir maßen die Spektren von zwei Gasentladungslampen mithilfe des digitalen Gitterspektrometers
get spec 2048. Dieses besteht aus einem Glasfaserkabel zur Lichtleitung sowie einem Reflexionsgitter zur Aufspaltung des Lichtes und einem CCD-Chip (charge coupled device) zur Messung der
Lichtintensität. Der CCD-Chip besteht aus 2048 Pixeln. Jeder Pixel ist ein Halbleiterelement, in
dem durch den inneren photoelektrischen Effekt vom einfallenden Licht ausgelöste Elektronen in
das Leitungsband gehoben werden. Die Anzahl dieser Elektronen ist proportional zur Intensität
des eingestrahlten Lichts. Somit ist die Aufnahme eines Spektrums möglich.
Wir maßen zunächst das Spektrum einer Hg-Ne-Spektrallampe, um das digitale Gitterspektrometer zu kalibrieren. Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Wellenlängendifferenz und
dem Abstand der Linien auf dem ”Schirm” des Spektrometers, sodass wir durch geeignete lineare
Interpolation bei Kenntnis der Wellenlänge einiger chrakteristischer Linien des Hg-Ne-Spektrums
in der Lage sind, die korrekten Wellenlängen auszurechnen. Wir maßen also die Wellenlängen der
charakteristischen gelben (doppelt), grünen, blaugrünen, stark blauen, blauen, mittel violetten
sowie stark violetten Linie mit dem mit dem Spektrometer verbundenen Programm und ordneten
mithilfe einer Spektraltabelle aus [4, S.293] jeder gemessenen Wellenlänge ihren korrekten Wert zu.
Wir ordneten 7 Spektrallinien ihren richtigen Wellenlängen zu. Mithilfe dieses Verfahrens erhalten
wir eine Kalibrierfunktion, die uns aus den unkalibrierten Wellenlängen die tatsächlichen Wellenlängen berechnet. Dazu stellen wir die korrekten Wellenlängen als Funktion der unkalibrierten dar,
führen eine lineare Regression durch und erhalten folgende Ausgleichsgeradengleichung:
λkorr = 0.827 · λunkorr + 32.60
(21)
Damit können wir die Abszissen der aufgenommenen Spektren neu kalibrieren. Die beiden kalibrierten Spektren sind in der folgenden Abbildung 2.4.1 dargestellt.
Quecksilber
Wasserstoff
16000
14000
Intensität
a.u.
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
200
300
400
500
600
700
800
900
λ
nm
Abbildung 2.4.1: kalibrierte Spektren von Wasserstoff (Balmer-Spektrallampe) und Hg-Ne (Kalibrierlampe)
19
2.4.3 Ergebnisse und Fehlerbetrachtung
Wenn wir nun das kalibrierte Spektrum des Wasserstoffs betrachten, können wir den einzelnen
Linien korrekte Wellenlängen zuordnen. Die mit dem kalbrierten Spektrum ermittelten Werte für
die Wellenlängen finden sich in folgender Tabelle.
m
3 (Hα )
4 (Hβ )
5 (Hγ )
6 (Hδ )
gemessene Wellenlänge in nm
658.4
485.9
434.06
410.1
Wellenlänge in nm nach [2]
656.3
486.1
434.0
410.2
Die vorgenommene Zuordnung unserer Messwerte zu den einzelnen Spekrallinien erfolgte nach
[2, S.103]. Im folgenden Diagramm 2.4.2 ist die Frequenz f als Funktion von m12 aufgetragen,
nach Gleichung (20) sollte diese Auftragung eine Gerade sein, deren Anstiegsbetrag gerade der
Rydberg-Konstanten entspricht. Mithilfe einer linearen Regressionsanalyse bestimmten wir den
Anstieg des Graphen zu R = (3.31 ± 0.008) · 1015 Hz. Die Unsicherheit erhielten wir mithilfe der
gleichen Regressionsanalyse als absoluten Fehler des Anstiegs des Graphen.
7.5
f (x) = a · x + b, a = 3.308 · 1015 Hz
7
f
1014 Hz
6.5
6
5.5
5
4.5
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
1
m2
Abbildung 2.4.2: Frequenz in Abhängigkeit von
Nun können wir einen Wert für h bestimmen:
s
m e e4
h= 3
= (6.613 ± 0.005) · 10−34 Js
820 R
1
m2
(22)
Die Unsicherheit berechneten wir aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzunggesetz, da wir eine
Gleichung zur Bestimmung von h haben, in der nur eine Größe mit Unsicherheiten behaftet ist,
nämlich die experimentell bestimmte Konstante R.
s
∂h
−1 3 me e4
−4 3 ≈ 5.0 · 10−37 Js
uh = · uR = ·
R
(23)
3
∂R
820 R
20
Hauptursache für die Abweichung (0.2%) sind das Ablesen der Wellenlängen in dem Computerprogramm, welches mit dem digitalen Spektrometer verbunden war sowie die Tatsache, dass wir
nicht alle Linien des Emissionsspektrums der He-Ne-Kalibrierlampe eindeutig einer bestimmten
Wellenlänge zuordnen konnten; dadurch wird die Genauigkeit der obigen Kalibrationsgleichung
kleiner.
3 Abschließende Bemerkungen-Vergleich der
unterschiedlichen Messmethoden
Wir ermittelten folgende Werte für das Plancksche Wirkungsquantum h:
Versuch
Photoeffekt
Röntgenspektroskopie
Franck-Hertz-Versuch
Wasserstoffspektrum
h in 10−34 Js
6.63
6.6
6.86
6.613
Fehler in 10−34 Js
0.62
0.5
0.18
0.005
Abweichung nach [6] in %
0.06
0.39
3.5
0.2
Die ersten beiden Experimente besitzten die größten absoluten Fehler, hier liegt der von uns
ermittelte Wert für h mit dem zugehörigen Fehlerintervall allerdings auch im Bereich des nach
[6] angegebenen Wertes. Bei den letzten beiden Versuchen ist der absolute Fehler zwar kleiner,
doch liegen die Werte nicht mehr in diesem Bereich. Prinzipiell halten wir den Versuch zur Bestimmung des Wasserstoffspektrums am geeignetsten, um das Plancksche Wirkungsquantum zu
besimmen. Die Messmethode ist computerbasiert und somit prinzipiell frei von groben Fehlern bei
der Durchführung der Messung. Die Zuordnung von Intensitätsmaxima zu einzelnen Spektrallinien
ist wegen des gut unterscheidbaren Spektrums von Quecksilber keine Fehlerquelle. Auch der immer
vorhandene zufällige Fehler ist sehr klein und könnte durch die Aufnahme weiterer Messpunkte
(dies ist durch eine höhere Empfindlichkeit des Sensors zu erreichen) noch verkleinert werden. Die
Unsicherheiten konnten von uns gut kontrolliert werden.
Beim Versuch zur Röntgenspektroskopie wurden die meisten Messungen gemacht; es liegt die größte Datenfülle vor. Systematische Fehler werden dadurch am ehesten mimimiert und die zufälligen
Schwankungen eliminiert; der Fehler resultiert dann v.a. in der endlichen Genauigkeit der Messgeräte und ist nicht weiter zu verkleinern. Dennoch halten wir diesen Versuch im Rahmen unserer
Messungen für weniger geeignet als den Versuch zum Wasserstoffspektrum, da wir nur wenige
Möglichkeiten hatten, die Unsicherheiten und Fehlerquellen abzuschätzen. Dies ist mit dem vorjustierten Messgerät zu begründen, das uns keine Möglichkeit gab, die für den Versuchsaufbau
optimale Justage herzustellen. Wäre die vorhandene Anordnung allerdings genauer, wäre dieser
Versuch die beste Möglichkeit, das Wirkungsquantum h zu ermitteln.
Es ist natürlich möglich, dass wir die Fehlerrrechnung anders durchführen könnten, z.B. könnten wir beim Wasserstoffspektrum die Standardabweichung der Rydberg-Konstante nicht einfach
an das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz weitergeben, sondern diese Unsicherheit noch mit
dem entsprechenden Student-Faktor t (dieser ist für n=4 Messungen etwa 3.5) gemäß folgender
Gleichung behandeln:
t · uR
h = √ H
(24)
n
Das Resultat wäre eine größerer absoluter Fehler und somit ein größeres Fehlerintervall für die
Messung von h. Analog könnte man mit dem Franck-Hertz-Versuch verfahren, um auch hier
ein größeres Fehlerintervall zu erhalten.
Wir halten es aber für angebracht, für alle Versuche die gleiche Methodik zu benutzen, da wir
ja vergleichbare Ergebnisse bekommen möchten, deren Unsicherheiten v.a. in physikalischen Gegebenheiten begründet sind und bereits bei der Beschreibung der einzelnen Versuche diskutiert
worden sind.
21
4 Anhang
4.1 Diagramme zur Bestimmung von U0
3.5
lin.Regression: f (x) = a · x + b
3
2.5
√
√ I
pA
2
1.5
1
0.5
0
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
U
V
Abbildung 4.1.1:
2.6
√
I-U-Diagramm für λ=546.15 nm
lin.Regression: f (x) = a · x + b
2.4
2.2
2
√
√ I
pA
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
U
V
Abbildung 4.1.2:
√
I-U-Diagramm für λ=491.15 nm
22
1
14
lin.Regression: f (x) = a · x + b
12
10
√
√ I
pA
8
6
4
2
0
-2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
U
V
Abbildung 4.1.3:
10
√
I-U-Diagramm für λ=435.62 nm
lin.Regression: f (x) = a · x + b
8
√
√ I
pA
6
4
2
0
-2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
U
V
Abbildung 4.1.4:
√
1.8
[H]
I-U-Diagramm für λ=404.71 nm
23
Literatur
[1] Mayer-Kuckuck, Theo: Atomphysik-eine Einführung, Stuttgart 1997
[2] Haken, Hermann: Atom- und Quantenphysik: Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen, Berlin 1996
[3] Grehn, Joachim, Krause, Joachim (Hrsg.): Metzler Physik, Hannover 1998
[4] Geschke, D. (Hrsg.): Physikalisches Praktkum, Leipzig 1998
[5] Walcher, Wilhelm: Praktikum der Physik, Wiesbaden 2004
[6] Bergmann · Schaefer- Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 4: Bestandteile der Materie,
Hrsg. Wilhelm Raith, Berlin, New York 2003
[7] Bethge, Klaus: SchülerDuden 3. Auflage, Mannheim; Leipzig 1995
[8] Versuchsanleitungen des Grundpraktikums der Universität Potsdam: A3, A4, A5, A8
24