Theorieblatt 05

WiMa I
Theorieblatt 5
Differnentialrechnung
1. Monotonie
Bei der Analyse von Funktionen (Kurvendiskussion)
setzen wir voraus, dass jede Funktion beliebig oft
differenzierbar ist.
Betrachten wir die nebenstehende Funktion ²
mit ; , stellen wir folgendes fest: Im Intervall [[
3;0] fällt der Funktionswert y=f(x), im Intervall [0;3]
steigt er. Wir wissen, dass die Ableitung stets die
Steigung der Tangente an einer Stelle der Funktion
darstellt (s. WiMa I Theorieblatt 4).
Im Intervall [-3;0] gilt: * Jede Tangente, die wir im Intervall [-3;0]
[
an die
Funktion legen, hat eine negative Steigung, also
‘ 0.
Im Intervall [0;3] gilt: * Jede Tangente, die wir im Intervall [0;3] an die
Funktion legen, hat eine positive Steigung, also
‘ 0.
Diese Überlegungen sind schon alles bezüglich der Monotonie! Formal ausgedrückt:
Monotonie-Kriterium:
•
’ 0 ()* +,-+. /-0+12(33 / * ,:0 :01+-; .<-<0<- :0+,;+-= ,- /
&. 9. * •
’ 0 ()* +,-+. /-0+12(33 / * ,:0 :01+-; .<-<0<- *(33+-= ,- /
&. 9. * Beispiel:
0 ß !" #$!$ $! %%!& ! 5 67
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WiMa I Theorieblatt 5 - Seite 1
2. Krümmungsverhalten
8
6
Die Funktionswerte y=f(x)
4
der beiden dargestellten
Funktion A
Funktionen A und B
2
Funktion B
steigen offensichtlich beide
im Intervall [-2;2]. Die
0
Steigung der Funktionen
-2
-1
0
1
2
ist also positiv, d.h.
’ 0 , d.h. (s. Seite 1)
die Funktionen sind streng monoton steigend im Intervall
[-2;2].
Wir sehen aber sofort, dass zwar beide Funktionen steigen, sie jedoch nicht gleich
gekrümmt sind.
Bei Funktion A gilt: Jede Tangente liegt unterhalb der Funktion, jede Sekante liegt
oberhalb der Funktion.
Bei Funktion B gilt: Jede Tangente liegt oberhalb der Funktion, jede Sekante liegt
unterhalb der Funktion.
Das Krümmungsverhalten von Funktionen wird im Folgenden formal beschrieben:
Kriterium für Krümmung:
•
•
0 ()* +,-+. /-0+12(33 / ↑
A$!B. E. 9. F& G!"! %" ! 9% & D!A $!, F& IA! %"
$9% & D!A $!.
0 ()* +,-+. /-0+12(33 / ↓
A$!AB. E. 9. F& G!"! %" $9% & D!A $!, F& IA! %"
! 9% & D!A $!
Wir analysieren nebenstehende Kostenfunktion
K(x) (K=Kosten [€]; x=Output [ME]):
• Die gesamten Kosten steigen mit steigendem
Output
• Im Intervall A ist die Kostenfunktion konkav
• Im Intervall B ist die Kostenfunktion konvex
• Im Intervall A steigen die Kosten mit
abnehmender Steigung, d.h. die Grenzkosten
sinken. Die Kosten steigen degressiv.
• Im Intervall B steigen die Kosten mit
zunehmender Steigung, d.h. die Grenzkosten
steigen. Die Kosten steigen progressiv.
• Der Punkt x=10 ist der Wendepunkt von
konkav nach konvex, bei Kostenfunktionen
heißt dieser Punkt „Schwelle des
Ertragsgesetzes“.
′ ↑
′′ 0
↑
0
↑ A$!B !& C$"B
↓
0
↑ A$!AB !& &"B
↓
0
↓ A$!B
↓ A$!AB
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WiMa I Theorieblatt 5 - Seite 2
Neoklassische Funktionen
Wenn f(x) eine neoklassische Funktion ist, dann gilt *J ≥ 0; * J 0 )-= * J 0
Beispiel: neoklassische Kostenfunktion K(x) (K=Kosten [€] und x=Output [Stück]).
„Neoklassisch“ bedeutet…
1. die Kosten K(x) sind stets gleich Null oder positiv
2. die Grenzkosten sind stets positiv, d.h. mit jeder zusätzlich produzierten Einheit
(=Output) steigen die Gesamtkosten.
3. die Krümmung der Kostenfunktion ist konkav (die Gesamtkosten steigen degressiv),
d.h. dass die Gesamtkosten für jede zusätzlich produzierte Einheit zwar steigen, dass
dieser Anstieg jedoch abnimmt.
3. Elastizitäten
Beispiel:
Eine Studentin hat eine bestimmte Nachfrage nach nichtalkoholischen Kokos-Cocktails.
Diese konsumiert sie in der Regel in ihrer Lieblingsbar in der Pontstraße. Dort kostet ein
„Coconut Kiss“ 4,90 €. An einem Abend dort leistet sie sich 4 Cocktails. Ihre CocktailNachfrage ist abhängig vom Preis, den sie dafür zahlen muss. Was geschieht nun, wenn
die Bar die Preise von 4,90 € auf 5,50 € erhöht? (Angenommen, sie besucht weiterhin
ihre Lieblingsbar) Sie wird nun eventuell ihre Nachfrage den neuen Preisen anpassen und
sich an einem Abend vielleicht nur noch 3 Cocktails gönnen.
Die Studentin reagiert also auf die Preisänderung, indem sie ihre nachgefragte Menge
Cocktails ändert.
Wie würde das Ganze nun aussehen, wenn die Studentin keine Studentin mehr ist,
sondern ihren ersten Job hat und mehr Geld verdient? Dann könnte es sein, dass eine
Preiserhöhung ihres Lieblingscocktails 4,90 € auf 5,50 € in der Pontstraße sie völlig kalt
lässt und sie weiterhin 4 Cocktails am Abend bestellt.
Fällt diese Preiserhöhung allerdings sehr hoch aus (ein Cocktail kostet jetzt bspw. 15 €),
dann reagiert sie vielleicht wohl, indem sie ihre nachgefragte Menge anpasst.
Diese Flexibilität der Nachfrage bezüglich des Preises nennt man die Elastizität.
L3(:0,M,0ä0 OP,Q (33;+.+,-:
O\,P * J
∙J
*J
1+3(0,2+ R+-;+-ä-=+1)-;
1+3(0,2+ S1+,:ä-=+1)-;
1+3(0,2+ Ä-=+1)-; =+1 V,1W)-; %
1+3(0,2+ Ä-=+1)-; =+1 Y1:(Zℎ+ %
ℎ+,ß0 S)-W0 L3(:M,0ä0 2<- * ^+Mü;3,Zℎ J
"a,+ ä-=+10 *, a+-- J ä-=+10? "
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