Lösungen

Aufgaben: Lineare Gleichungen
(1) Bestimmen Sie die reellen Lösungen für die folgenden Gleichungen in der Variablen x:
(a) x = 0
L = {0}
(b) x = π
L = {π}
(c) 2x = 0
L = {0}
(d) 2x = π
L = { π2 }
(e) 0x = 0
L=R
(f) 0x = π
L=∅
(g) x − 1 = 0
L = {1}
(h) x + 1 = 0
L = {−1}
(i) 3x − 1 = 0
L = { 13 }
(j) 3x + 1 = 0
L = {− 13 }
(k) x − 1 = 4
L = {5}
(l) x + 1 = π
L = {π − 1}
(m) 3x − 1 = 4
L = { 35 }
(n) 3x + 1 = π
L = { π−1
}
3
√
(o) e · x − 2 = ln(5)
(p) e7 ln(5) · x −
√
4
√
ln(5)+ 2
L={ e }
√
4
3
2
L = { lne7(5)+
}
ln(5)
2 = ln3 (5)
L = { 35 }
(q) 3x − 1 = 4
(2) Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Variablen x, wobei a, b, c reelle Zahlen
sind. Sie brauchen ggfl. eine Fallunterscheidung (da man nie durch Null teilen
darf!)
(a) x = a
L = {a}
(b) x − a = 0
L = {a}
1
(c) 2x = 3a
}
L = { 3a
2
(d) 4x − 3a = 0
L = { 3a
}
4
c
L = { 3ab·π
}
4
(e) 4x − 3ab · π c = 0
(f) ax − 1 = 0
La6=0 = { a1 }, La=0 = ∅
(g) ax − 2a = 0
La6=0 = {2}, La=0 = R
La6=0 = { ab }, La=b=0 = R, La=0,b6=0 = ∅
(h) ax − b = 0
(3) Bestimmen Sie die reellen Lösungen für die folgenden Gleichungen in der Variablen x:
L = {− 58 }
(a) −15x − 3 = 21
(b) 5x − 12 = 17
L = { 29
}
5
(c) 5x + 2 = 17
L = {3}
L = {− 34 }
(d) −9x − 18 = −6
(e) 2x − 13 = 13 − 2x
}
L = { 13
2
(f) 92 x −
1
9
=3
L = {14}
(g) 29 x −
1
9
= 3 x2 + 1
(h) 21 x −
1
4
= 3 x4 + 2x + 1 − x
L = {− 20
}
23
L = {−1}
L = { 31
}
19
(i) 5(x − 2) = 7(−2x + 3)
(4) Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Variablen x, wobei a, b reelle Zahlen
sind. Sie brauchen ggfl. eine Fallunterscheidung (da man nie durch Null teilen
darf!)
1
La6=1 = { 1−a
}, La=1 = ∅
(a) x = ax + 1
(b) x − a2 = a + b
L = {a2 + a + b}
(c) x − a3 = 2a3 + b
L = {3a3 + b}
x
+a
(d) a1 x = 3 2a
La6=0 = {−2a2 }
(e) a(bx − ax + a1 ) − 14a2 x2 + 1 = 7ax(−2ax + b)
.
2
2
La6=0,a6=−6b = { a(6b+a)
}
La6=0,a=−6b = ∅
Aufgaben: Geraden in der Ebene
(1) Bestimmen Sie zwei beliebige Punkte auf jeder der folgenden Geraden. Zeichnen
Sie die Geraden mit Hilfe dieser Punkte.
(a) 3x + 2y + 1 = 0
(0, − 21 ) und (− 31 , 0), ZZ
(b) x + 4 = 0
(−4, 0) und (−4, 1), ZZ
(c) 2y − 1 = 0
(0, 12 ) und (1, 12 ), ZZ
(d) y = 3x + 2
(0, 2) und (− 23 , 0), ZZ
(2) Zeichnen Sie die Geraden durch die Ursprung mit den folgenden Steigungen:
(a) 3
y = 3x, (0, 0),(1, 3), ZZ
(b) −3
(c)
y = −3x, (0, 0),(1, −3), ZZ
1
3
y = 13 x, (0, 0),(1, 13 ), ZZ
(d) − 13
y = − 13 x, (0, 0),(1, − 31 ), ZZ
(3) Bestimmen Sie einen Punkt auf der Gerade und (für nicht-vertikale Geraden) die
Steigung. Zeichnen Sie die Geraden mit Hilfe dieses Punktes und der Steigung.
(0, − 12 ), m = −1, ZZ
(a) 2x + 2y + 1 = 0
(b) 2x + 1 = 0
( 21 , 0), vertikale Gerade, ZZ
(c) 3y + 1 = 0
(0, 13 ), m = 0, ZZ
(d) y = 5x + 2
(0, 2), m = 5, ZZ
(4) Bestimmen Sie den Schnitt von den folgenden Geraden mit der x-Achse und mit
der y-Achse. Zeichnen Sie die Geraden mit Hilfe dieser Informationen.
(− 21 , 0) und (0, − 13 ), ZZ
(a) 2x + 3y + 1 = 0
(− 12 , 0) und d.h. vertikale Gerade, ZZ
(b) 2x + 1 = 0
(c) 3y = 0
R d.h. horizontale Gerade und (0, 0), ZZ
(d) y = 5x − 5
(1, 0) und (0, −5), ZZ
(5) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Paare von Geraden. Entscheiden
Sie dann, ob die zwei Geraden parallel oder sogar gleich sind.
3
(a) 3x + 2y + 1 = 0 und 2x + 3y + 1 = 0
(b) 3x + 2y + 1 = 0 und −6x − 4y − 2 = 0
L = {(− 15 , − 51 )}
L = {(x, y) : 3x + 2y + 1 = 0}
L=∅
(c) 3x + 2y + 1 = 0 und 6x + 4y + 1 = 0
7 4
L = {(− 13
, 13 )}
(d) 3x + 2y + 1 = 0 und y = 5x + 3
(e) 3x + 2y + 1 = 0 und 4x − 2y +
√
2=0
L = {( 71 (−1 −
√
2), 7√3 2 − 72 )}
(6) Bestimmen Sie die Gerade durch die folgende Paare von Punkten:
y = 38 x −
(a) (−1, −3) und (2, 5)
1
3
(b) (−1, −3) und (1, −3)
y = −3
(c) (−1, −3) und (−1, 3)
x = −1
(d) (−1, −3) und (1, 3)
y = 3x
(e) (−1, 2) und (2, −1)
y =1−x
√
(f) (−1, 2) und ( 2, π)
√
√
√
y = ( 2 − 1) · (π − 2)x + ( 2 − 1) · (2 2 + π)
(7) Bestimmen Sie die Gerade durch den gegebenen Punkt und mit der gegebenen
Steigung:
(a) (2, −1) und 2
y = 2x − 5
(b) (2, −1) und 0
y = −1
(c) (2, −1) und − 21
y = − 12 x
(d) (2, −1) und −2
y = 3 − 2x
4