4 Kondensatoren und Widerstände

4 Kondensatoren und Widerstände
4.1
Ziel des Versuchs
In diesem Praktikumsteil sollen die Wirkungsweise und die Frequenzabhängigkeit von
Kondensatoren im Wechselstromkreis untersucht und verstanden werden. Ferner soll der
Umgang mit dem Oszilloskop vertieft werden.
4.2
Einleitung
Elektronische Schaltungen sind heutzutage allgegenwärtig. Fast jedes elektrische Gerät,
einschließlich vieler Toaster und Kaffeemaschinen, besitzt eine. Elektronische Schaltungen
sind aus einzelnen Bauelementen aufgebaut, die auf einer Trägerplatine sitzen. Verbunden
sind die einzelnen Bausteine über Leiterbahnen, die nicht auf eine Ebene beschränkt sein
müssen (Stichwort Multilayer). In diesem Versuch soll das Verhalten zweier Grundelemente
dieser Schaltungen bei Gleichspannung und bei Wechselspannung näher untersucht werden:
Widerstand und Kondensator, wobei die Einflüsse des letzteren genauer betrachtet werden.
4.3
Versuchsdurchführung
4.3.1 Laden und Entladen eines Kondensators beim Ein- und Ausschalten von
Gleichspannungen
4.3.1.1 Theorie
Ein Kondensator stellt in einem Gleichstromkreis einen unendlichen Widerstand dar. Nur
während des Ein- bzw. Ausschaltvorgangs fließt ein Strom. Beim Einschalten bewirkt dieser
Storm die Aufladung des Kondensators bis die angelegte Spannung erreicht ist. Entsprechend
fließt beim Ausschalten die Ladung über einen Widerstand wieder ab. Der Spannungsverlauf
am Kondensator kann mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.
Für die Spannung beim Ausschaltvorgang gilt:
U(t) = U 0 ⋅ e
−
t
τ
(1)
mit τ: Zeitkonstante
Die Zeitkonstante oder Abklingzeit τ ist die Zeit, in der die Spannung auf den Wert
abgesunken ist.
In der Halbwertszeit T½ sinkt die Spannung auf die Hälfte ab. Nach (1) gilt:
T1
- 2
1
U(T1 ) = ⋅ U 0 = U 0 ⋅ e τ
2
2
T½ = τ ⋅ ln 2
Die Zeitkonstante τ wird durch den Widerstand R und die Kapazität C bestimmt:
τ=R⋅C
Damit gilt für die Halbwertszeit:
T½ = R ⋅ C ⋅ ln 2
(2)
24
1
U0
e
In entsprechender Weise kann der Spannungsverlauf beim Einschaltvorgang betrachtet
werden:
−
t
U(t) = U 0 ⋅ (1 - e τ )
Abbildung 1: Schaltskizze zum Versuch 2.2.1
Im Experiment wird eine Rechteckspannung U(t) und der Spannungsverlauf UC am
Kondensator C mit dem Oszilloskop dargestellt. Die Halbwertszeit T½ wird über die
Zeitablenkung bestimmt.
4.3.1.2 Versuchsdurchführung
Überprüfen Sie die Gleichung (2) indem Sie zunächst die Abhängigkeit der Halbwertszeit T½
von der Kapazität T½ ∝ C (3) und anschließend vom Widerstand T½ ∝ R (4) untersuchen.
Abbildung 2: Prinzipieller Aufbau zum Versuch 2.2.1
25
Die Rechteckspannung des FG wird mit Kanal 1 und der Spannungsabfall am Kondensator
mit Kanal 2 gemessen. Darstellungsart auf DUAL / CHOP, Kopplung auf DC, Zeitablenkung
auf CAL stellen.
a) Untersuchen Sie das Auf- und Entladeverhalten eines Kondensators.
•
R = 1 kΩ, C = 1 µF
•
FG: Rechteckspannung mit f = 100 Hz, U = 6 V (Darstellung auf dem Oszilloskop:
mit einer geraden Anzahl von Kästchen).
•
Bei der Entladung die Zeiten t für die Spannungsabfälle von 6 V auf 3 V und von 3 V
auf 1,5 V messen,
•
bei der Aufladung für die Spannungsanstiege von 0 V auf 3 V und von 3 V auf 4,5 V.
b) Untersuchen Sie die Abhängigkeit der Halbwertszeit vom Widerstand
•
Realisieren Sie eine Kapazität von C = 0,5 µF
•
Setzen Sie nacheinander verschiedene Widerstände ein (Werte in kΩ: 0,47 / 1 / 1,47 /
2,2 / 2,67)
•
Bestimmen Sie jeweils die Zeit t = T½, in der die Spannung UC am Kondensator vom
Maximum bis zur Hälfte abgesunken ist.
c) Untersuchen Sie die Abhängigkeit der Halbwertszeit von der Kapazität
•
Verwenden Sie den Widerstand R = 470 Ω und testen Sie verschiedene Kapazitäten C
aus (Werte in µF: 0,33 / 0,5 / 0,67 / 1 / 2).
•
Bestimmen Sie jeweils die Zeit t = T½, in der die Spannung UC am Kondensator vom
Maximum bis zur Hälfte abgesunken ist.
d) Geben Sie ALLE Messungen in Form von Tabellen an.
e) Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante.
f) Stellen Sie ALLE Ergebnisse grafisch dar.
26
4.3.2 Bestimmung des Kapazitiven Widersandes eines Kondensators im
Wechselstromkreis
4.3.2.1 Theorie
Im Gegensatz zum Gleichstromkreis fließt in einem Wechselstromkreis mit Kondensator ein
Strom. Der im Wechselstromkreis fließende Strom I wird durch den kapazitiven Widerstand
(Wechselstromwiderstand XC des Kondensators) und der Spannung U bestimmt:
I=
U
U
bzw. X C = C
I
XC
Bei einer sinusförmigen Spannung ergibt sich eine Phasendifferenz zwischen Spannung und
Strom. Die Spannung ist im Maximum, wenn der Strom null ist bzw. bei maximalem Strom
ist die Spannung null, d.h. der Strom eilt der Spannung um 90° (π/2) voraus. Auf Grund des
Leistungsfaktors cos ϕ wird am Kondensator also keine Leistung (P = U ⋅ I ⋅ cosϕ) umgesetzt
bzw. Energie umgewandelt. Deswegen wird ein kapazitiver Widerstand im Gegensatz zum
ohmschen Widerstand auch als Blindwiderstand bezeichnet.
Abbildung 3: Schaltskizze zum Versuch 2.2.2
Im Experiment wird die Stromstärke I durch Messen des Spannungsabfalls UR am Widersand
R bestimmt und die Spannung UC am Kondensator C direkt gemessen. Dazu werden mit dem
Oszilloskop jeweils die Spitzenspannungen bestimmt. Für die Stromstärke gilt dann:
I=
UR
.
R
Damit wird der kapazitive Widerstand X C =
UC
berechnet.
I
27
4.3.2.2 Versuchsdurchführung
1
wird zunächst die Abhängigkeit des kapazitiven
2π C f
1
1
Widerstandes von der Kapazität XC ∝
und anschließend von der Frequenz XC ∝
C
f
untersucht.
Zum Aufstellen der Gleichung X C =
Abbildung 4: Prinzipieller Aufbau zum Versuch 2.2.2
Der Spannungsabfall am Widerstand wird mit Kanal 1 und der Spannungsabfall am
Kondensator mit Kanal 2 gemessen. Darstellungsart auf DUAL / CHOP, Kopplung auf AC,
Y- und Zeitachse auf CAL. Zur phasenrichtigen Darstellung der beiden Kurven Kanal 2
invertieren.
a) Untersuchung der Phasenverschiebung.
•
FG: Sinusspannung mit f = 5 kHz, U = 6 V, R = 10 Ω
•
Beide Kurven am Oszilloskop so einstellen, dass eine möglichst große Auslenkung
und einige Schwingungen sichtbar sind.
•
Vergleichen Sie die Lage der Maxima bzw. Minima des Spannungsverlaufs am
Kondensator mit der Lage der Nulldurchgänge des Spannungsverlaufs am Widerstand.
b) Untersuchen Sie die Abhängigkeit des kapazitiven Widerstandes von der Kapazität
•
Frequenz f = 5000 Hz des FG durch Ablesen der Schwingungsdauer (welche?) am
Oszilloskop genau einstellen. R = 1 Ω
•
Unterschiedliche Kapazitäten C durch Parallel- bzw. Reihenschaltung
Kondensatoren realisieren.
•
Jeweils Spannungsabfälle (Spitzenspannungen) am Widerstand UR und Kondensator
UC mit dem Oszilloskop bestimmen.
28
der
c) Untersuchen Sie die Abhängigkeit des kapazitiven Widerstandes von der Frequenz
•
Aufbau mit C = 1 µF, R = 10 Ω
•
Variieren Sie die Frequenz am FG. Bestimmen Sie diese genau mit Hilfe des
Oszilloskops.
•
Bestimmen Sie jeweils die Spannungsabfälle (Spitzenspannungen) am Widerstand UR
und Kondensator UC mit dem Oszilloskop.
d) Geben Sie ALLE Messungen in Form von Tabellen an.
e) Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante k in der Gleichung
XC = k
1
.
Cf
f) Stellen Sie ALLE Ergebnisse grafisch dar.
4.3.3 Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Kondensatoren
und ohmschen Widerständen
4.3.3.1 Theorie
Liegt an einem Kondensator mit der Kapazität C eine Wechselspannung
U = U0 ⋅ cos(ωt) mit ω = 2π⋅f
(1)
an, so fließt ein Strom
I = U0 ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos(ωt +
2
)
durch den Kondensator. Man
Wechselstromwiderstand
XC =
1
⋅C
(2)
weist daher dem Kondensator einen kapazitiven
(3)
Zu. Der Strom ist gegenüber der Spannung um 90° phasenverschoben (s.o.).
4.3.3.1.1 Reihenschaltung
Ist der Kondensator in Reihe mit einem ohmschen Widerstand geschaltet, so fließt durch
beide der gleiche Strom. Dieser lässt sich in der Form
I = I0 ⋅ cos(ωt+ϕS)
(4)
Darstellen, wobei ϕS zunächst noch unbekannt ist. Am ohmschen Widerstand fällt demnach
eine Spannung
UR = R ⋅ I0 ⋅ cos(ωt+ϕS)
(5)
Und am Kondensator die Spannung
UC = XC ⋅ I0 ⋅ cos(ωt + ϕS - )
2
(6)
ab.
29
Die Summe dieser beiden Spannungen ist
US =
R 2 + X C2 ⋅ I0 ⋅ cos(ωt)
(7)
wenn ϕS die Bedingung
tan ϕS =
XC
R
(8)
erfüllt. US stimmt mit der angelegten Spannung U überein, folglich ist
U0 =
R 2 + X C2 ⋅ I0
(9)
d.h. der Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator lässt sich der
Wechselstromwiderstand
ZS =
R 2 + X C2
(10)
zuweisen. Der Strom ist in dieser Anordnung um ϕS gegenüber der Spannung
phasenverschoben.
4.3.3.1.2 Parallelschaltung
Ist der Kondensator parallel zum ohmschen Widerstand geschaltet, liegt an beiden die gleiche
Spannung. Sie hat z.B. die in (1) angegebene Form. Durch den ohmschen Widerstand fließt
jetzt der Strom
IR =
U0
⋅ cos( t )
R
(11)
Und durch den Kondensator der Strom
IC =
U0
⋅ cos
XC
t+
2
(12)
Die Summe der beiden Ströme ist
IP =
1
1
+ 2 ⋅ U 0 ⋅ cos(ωt+ϕP)
2
R
XC
(13)
mit
tan ϕP =
R
XC
(14)
Sie entspricht dem gesamten der Spannungsquelle entnommenen Strom. Also lässt sich der
Parallelschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator ein Wechselstromwiderstand
ZP zuweisen, für den die Beziehung
1
1
1
=
+ 2
2
ZP
R
XC
(15)
gilt. Der Strom ist in dieser Anordnung um ϕP gegenüber der Spannung phasenverschoben.
30
4.3.3.2 Versuchsdurchführung
Im Versuch werden der Strom I(t) und die Spannung U(t) in einem Wechselstromkreis als
zeitabhängige Größen gemessen. Aus den gemessenen Größen wird der Betrag des
Gesamtwiderstandes Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung
bestimmt.
FG auf Sinus, Kanal 1 mit FG verbinden, an Kanal 2 wird der Spannungsabfall am
Messwiderstand Rm = 1 Ω gemessen, Darstellung DUAL, Trigger und Kopplung auf AC
a) Reihenschaltung
Abbildung 5: Prinzipieller Aufbau zum Versuch 2.2.3, Reihenschaltung
•
C = 10 µF in Reihe zu R = 100 Ω
•
Am FG 2 kHz einstellen, Amplitude auf 5 V
•
An Kanal 2 Amplitude des Signals ablesen und als Strom I0 =
Um
in die Tabelle
1Ω
eintragen.
•
Zeitabstand ∆t der Nulldurchgänge der beiden Signale ablesen.
•
Messung jeweils für F = 1 µF und F= 0,1 µF wiederholen.
•
Messungen für f = 1 kHz, 500 Hz, 200 Hz, 100 Hz und 50 Hz wiederholen.
31
b) Parallelschaltung
Abbildung 6: Prinzipieller Aufbau zum Versuch 2.2.3, Parallelschaltung
•
C = 10 µF parallel zu R = 100 Ω
•
Messung a) wiederholen
•
Messung jeweils für F = 1 µF und F= 0,1 µF wiederholen.
•
Messungen für f = 1 kHz, 500 Hz, 200 Hz, 100 Hz und 50 Hz wiederholen.
c) Geben Sie ALLE Messungen in Form von Tabellen an.
d) Berechnen Sie aus
Phasenverschiebung.
den
Messdaten
den
jeweiligen
Gesamtwiderstand
und
e) Geben Sie Ihre Ergebnisse in einer Übersichtstabelle an.
f) Stellen Sie die Ergebnisse als Funktion des kapazitiven Wechselstromwiderstandes XC
grafisch dar.
32