Terme und Formeln: Potenzen II
Werbung
Terme und Formeln Potenzen II Die einzige schriftliche Überlieferung der Mathematik der Maya stammt aus dem Dresdner Kodex. Das Zahlensystem der Mayas beruht auf der Basis 20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Mayas mit Fingern und Zehen zählten. Die Mayas kannten die Zahl 0, aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und eine Muschel, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen. 1. Potenzen mit ganzen Exponenten Grundbegriffe Aufgabe 1: Die Potenz kennst du bereits. Fülle die Lücken aus! Definition: an = .............................................. (Potenz) wobei a die ………………………… und n der ………………………………… man liest „…………………………“ Aufgabe 2: Fasse zusammen! a) x + x + x + x + x + x = b) z · z · z · z · z · z · z · z · z · z = c) 3.6 · 3.6 · 3.6 · 3.6 · 3.6 · 3.6 · 3.6 = Aufgabe 3: Schreibe die folgenden Zahlen in Form von Potenzen (z.B. 64 = 26). a) 100'000 = b) 10'000'000'000 = c) 125 = d) 1'024 = e) 244'140'625 = f) 2.25 = Aufgabe 4: Ein Einzeller (im Bild ein Bakterium) teilt sich nach 3 Stunden in 2 Teile, jeder Teil nach wiederum 3 Stunden abermals in je 2 Teile usw. Wie viele Einzeller können auf diese Weise bei günstigem Nährboden aus einem einzigen entstehen a) innert 24 Stunden? b) innert einer Woche? Aufgabe 5: Beachte die Reihenfolge der Operationen gut! Diese Aufgabe kannst du ohne Taschenrechner lösen! a) 2·53 b) 3·24 c) 7·32 d) –4·32 e) 42·(–8) f) 4+23 g) 5+2·33 h) 7+2·(–3)2 i) –33 j) (–3)3 k) –32 l) (–3)2 Terme und Formeln: Potenzen II Seite 2 www.mathema.ch (November 11) Potenzgesetze Aufgabe 6: Die Potenzgesetze kennst du bereits. Fülle die Lücken aus: Satz: Bei Produkten und Quotienten von zwei Potenzen mit gleicher ………………… kann das erste Potenzgesetz angewandt werden. n m a ⋅ a = ........................ an = ........................ am Satz: Bei Potenzen von …………………. kann das zweite Potenzgesetz angewandt werden. (a ) m n = ........................ Satz: Bei Produkten und Quotienten von zwei Potenzen mit gleichem ……………………… kann das dritte Potenzgesetz angewandt werden. an ⋅ bn = ........................ an = ........................ bn Aufgabe 7: Schau dir diesen Beweis für das erste Potenzgesetz an einem Quotienten an: ( ) n−mal a a ⋅ a ⋅ a ⋅! ⋅ a ⋅ a ⋅ a a ⋅ a ⋅ a ⋅! ⋅ a ⋅ a ⋅ a = = = an−m a ⋅ a ⋅! ⋅ a ⋅ a am ⋅ a ⋅ ! ⋅ a ⋅ a a n−m −mal n m−mal Kürzen Die Beweise für die anderen Potenzgesetze sind analog. Notiere den Beweis für mindestens zwei weitere Potenzgesetze sauber. Satz: Bei der Potenzrechnung gibt es einige wichtige Spezialfälle: a1 = ...................... 1n = ...................... 0n = ...................... a0 = ...................... a = Beweis: ........................................................................................................................... 0 ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. Terme und Formeln: Potenzen II Seite 3 www.mathema.ch (November 11) Aufgabe 8: Vereinfache die folgenden Terme: 1. a) b) c) d) 6. a) (a2)n+1 : (a2)n–1 15z5 ⋅ 24z3 : (36z6) (3x)4 : (3x4) 6y8 : (8y2 ⋅ 3y4) 120z12 : [60z5 : (50z3)] b) c) d) e) 2. a) (a100 + a50) : a25 b) (a12 + a8 – a6) : a8 2x+1 2x–1 7. a. b) c) d) 3x–1 ⋅a :a 3. a) a 2x+1 b) (16a + 8a2x) : (4a2x–1) 5 7 d¬ 6¬ 4. a) ­­­ ¸ ­­­ 6 ® d ® 9 b ¬ b) ­­­ 4 ® 2 2 b 5 : b5 (c2n+3 : cn+3)5 (a4 ⋅ a7)3 [20b20 : (5b5)]2 (–a3)4 ((–a)3)4 (–a4)3 ((–a)3)5 8. a) (a2b)25 ⋅ (ab4)25 b) (6abc)n : (2ac)n 8 b ¬ : ­­­ 4 ® 5. a) (23)4 ⋅ (23)5 b) (a5)6 : (a4)7 c) [(x2)5 + 5(x5)2] : (2x3)2 Aufgabe 9: Zerlege in Faktoren: 2. a) c2 – d2 b) d6 – d4 c) n3 – 2n2m + nm2 1. a) b⋅a3 – a2⋅b b) p2q3 + p3q4 c) e3⋅d4 + e⋅d3 – e2⋅d2 Aufgabe 10: Verwandle in Potenzen mit reinen Buchstabenexponenten. Im Exponenten soll also im Ergebnis nur noch ein Buchstaben vorkommen: 35m+2 = 32·35m = 9·(35)m = 9·243m 1. a) 54n = 2. a) b) c) d) b) 2q+5 = c) 32r+4 = d) 53s+2 = 7x–2 = 103z+5 = 1002n–1 = 25n–7 = Aufgabe 11: Schreibe diese Ausdrücke so, dass nur noch ein Potenzausdruck darin vorkommt. a) 5 ⋅ 2n + 3 ⋅ 2n b) 4 ⋅ 5n–1 + 5n–1 c) 50 ⋅ 3n–1 + 4 ⋅ 3n–1 d) 100 ⋅ 2n – 4 ⋅ 2n Terme und Formeln: Potenzen II Seite 4 www.mathema.ch (November 11) Negative Potenzen Satz: Für …………………………. Potenzen gilt: a−n = ........................ −n a = Beweis: ........................................................................................................................... ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. Vereinfachen von Termen Aufgabe 12: Schreibe als gewöhnlicher Bruch oder, wenn möglich, als ganze Zahl. Diese Aufgabe ist durch Überlegungen – also ohne Taschenrechner – zu lösen! a) 5–3 b) 2–7 c) 4–2 d) 0.5–2 e) 0.125–1 f) 60 g) 0.2–2 h) (–1)–2 i) (–2)–3 l) 7 ¬­ ­ 3 ®­ 2 0 4¬ k) ­­­ 5 ® 4 2¬ m) ­­­ 3 ® Aufgabe 13: Welche der folgenden Zahlen sind grösser als 1? Diese Aufgabe ist durch Überlegungen – also ohne Taschenrechner – zu lösen! a) (1/2)–5 b) (3/5)–8 c) (5/3)–6 d) (8/9)12 e) 0.95–2 f) 0.998 Aufgabe 14: Vereinfache soweit wie möglich! Löse die Aufgabe ohne Taschenrechner! a) a–3 ⋅ a7 b) b5 ⋅ b–7 c) c8 ⋅ c0 d) d–5 ⋅ d–7 e) 45 : 4–1 f) 5–4 : 5–3 g) 3–2 ⋅ 33 h) 60 : 6–2 i) an : an–1 k) b–n : b2 l) c–2 : cn m) d3 : d–n n) (–102)3 o) ((–10)2)3 p) (–103)–2 q) ((–10)–3)–2 r) 4–6 ⋅ 2.5–6 s) 5–2 ⋅ 1.2–2 t) 8–10 ⋅ 0.125–10 u) 110 ⋅ 70 v) 9–n : 1.5–n w) 5–n : 15–n x) c–2 : (5c)–2 y) (6x)–3 : (3x)–3 Aufgabe 15: Vereinfache soweit wie möglich! a) (4a–3 ⋅ 5a2) : (10a3) b) (10a–3 + 4a–2) ⋅ 2a3 c) (10a–3 + 4a–2) : (2a3) d) (a2n+1 ⋅ a–n) : a2 e) (a2n+1 : a2n–1) : a2 f) (a2n+1 ⋅ a2n–1) : a5n h) a ¬­ a ­¬ ­ : ­ 8 ®­ 4 ­® i) a ¬­ a ¬­ ­ : ­ 3 ­® 6 ®­ 2 3 a¬ a¬ g) ­­­ : ­­­ 4 ® 8 ® Terme und Formeln: Potenzen II 2 3 Seite 5 4 4 www.mathema.ch (November 11) Lösen von Gleichungen Aufgabe 16: Löse die Gleichung durch schlaues Überlegen (ohne Rechner): a) x4 = 16 b) x3 = –8 c) x3 = 125–1 d) x6 = 26 e) x–10 = 1024 f) x6 = 163 g) x3 = 39 h) x4 = x16 i) 58 ⋅ 5x = 53 k) 212 ⋅ 2x = 2–3 l) 2–12 ⋅ 2x = 2–3 m) 2x = 85 n) 2x = 8–4 o) 2–x = 85 Wissenschaftliche Schreibweise Aufgabe 17: Welchen Wert besitzt (ohne Taschenrechner!) a) das 10-fache der Zahl 3.514·10–12? b) das 1'000-fache der Zahl 7.18·10–22? c) das 4-fache der Zahl 2.5·10–15? d) das Doppelte der Zahl 8.5·10–34? e) das Produkt der beiden Zahlen 3·10–8 und 4.5·10–11? Aufgabe 18: Berechne ohne Taschenrechner: a) 2.65·10–7 + 3·10–8 b) 1.2·10–8 : (2·10–6) c) 7.5·105 : (1.5·10–11) Aufgabe 19: In der der Pulvermetallurgie werden Metallpulver hergestellt und daraus Werkstücke gepresst. Ein mikroskopisch kleines Stahlkügelchen in einem solchen Pulver besitze einen Radius von 1.5⋅10–2 mm. a) Berechne die Grösse seiner Oberfläche A. b) Berechne die Grösse seines Volumens V. c) Stahl besitzt eine Dichte von etwa 7.9 g pro cm3. Wie viele derartige Stahlkügelchen benötigt man, um eine Gesamtmasse von 1 kg zu erhalten? d) Wie viele derartige Stahlkügelchen benötigt man, um damit ein Volumen von 1 m3 auszufüllen? Die Kugeln füllen ca. 65% des Volumens. Aufgabe 20: Die Wellenlänge von grünem Licht misst etwa λ = 5·10–4 mm. Berechne die Frequenz f (Anzahl Schwingungen pro Sekunde) einer solchen grünen Lichtwelle, welches sich mit Lichtgeschwindigkeit (c = 2.997925 ⋅ 108 m/s) fortpflanzt. (Hinweis: c = λ ⋅ f) Terme und Formeln: Potenzen II Seite 6 www.mathema.ch (November 11) 2. Potenzen mit gebrochenen Exponenten Grundbegriffe Definition: Die Wurzel ist eine Umkehrfunktion der Potenzoperation: bn = a ⇔ b = ……… a …… 0 wobei a der ……………………… und n der …………………………………… man liest ………………………………………………………… 2 = ⇔ Beispiel: .......................................................................................................................... 10 Satz: Wurzeln und Potenzen sind eng miteinander verknüpft: n a = ...................... ( a) = Beweis: ........................................................................................................................... n n ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. Potenzgesetze Satz: Die Potenzgesetze gelten genauso für Wurzeln: an ⋅ am = ........................ (a ) m n n = ........................ n a ⋅ b = ........................ an = ........................ am n am = ........................ an = ........................ bn a = Beweis: ........................................................................................................................... n m ................................................................................................................................. Terme und Formeln: Potenzen II Seite 7 www.mathema.ch (November 11) Aufgabe 21: Vereinfache! ( ) n n−1 2 a) a n b) 1 1 b3 ⋅ b3 1 1 c) c3.2 : c 5 d) 10 3 ⋅ 10 6 c) (3 ) d) 2 : 10 2 c) (a d) 10 ' 000 Aufgabe 22: Vereinfache! 0 a) 3 : 3 − 1.5 − 2.5 b) 5:5 b) 3212 : 215 − 1 6 3 Aufgabe 23: Vereinfache! a) (π 0.75 ⋅ π 0.75 ) 0.5 3 4 ) 2 : a3 : a − 1 3 :10 − 1 3 Aufgabe 24: Schreibe die folgenden Ausdrücke in Form einer einzigen Potenz! 4 a6 a) b) Aufgabe 25: Schreibe 1 x4 5 c) ( 3 b ) 2 ⋅3 b x a) als Wurzel und b) als Potenz. Aufgabe 26: Vereinfache und schreibe das Ergebnis unter Verwendung des Wurzelzeichens: a) 6 6⋅ 4 6⋅ 3 6 b) a2 a3 4 b3 ⋅ ⋅ 5 b b a 3 c) ª «§ 4 « ¨¨ «© ¬ º 2 · 2» » ¹ » ¼ a ¸¸ Aufgabe 27: Schreibe die folgenden Ausdrücke so, dass weder negative noch gebrochene Exponenten vorkommen - dafür allenfalls natürliche Exponenten, Bruchstriche und Wurzelsymbole. a) (4 + 2 x ) 0.35 b) 10 ⋅ g− 3.5 c) (1 − 2 u) − 11/14 Aufgabe 28: Löse die Gleichungen ohne Taschenrechner nach x auf (natürliche Exponenten). a) 36 ⋅ 32 = 3x b) 9⋅27 + 7⋅27 = 2x c) 5⋅520 + 20⋅520 = 5x d) 2a+4 – 8⋅2a = 2x e) (53)4 : (52)5 = 5x f) (100100)100 = 10x Aufgabe 29: Löse die Gleichungen ohne Taschenrechner nach x auf (ganze Exponenten). a) 1 512 = 2x b) 1 100 6 = 10x c) x3 = –8 d) x6 = 2–6 e) x4 = x16 f) x6 = 163 g) 58 ⋅ x = 53 h) 2–12 ⋅ 2–x = 26 i) (22)x = 1 l) 2 (2 ) = 2 k) 2 x (x ) = 2 2 m) (2x)2 = 1 16 Aufgabe 30: Löse die Gleichungen ohne Taschenrechner nach x auf (rationale Exponenten). a) x0.75 = 8 b) x0.8 = 1/16 c) x0 = 1 d) 0x = 0 e) 2x = 0.5 f) 8x = 4 g) 1000x = 0.1 h) 8–0.25 = 2x k) x–5 = –1024 l) x–0.5 = 7 i) x5 = –1024 Terme und Formeln: Potenzen II Seite 8 www.mathema.ch (November 11) 3. Aufgaben Aufgabe 31: Multipliziere diese Ausdrücke aus! 1. a) b) c) d) (a7 + a3) ⋅ a5 (xn – xn+1) ⋅ x2 (an–1 + an–2) ⋅ a2 (cn – cn–2) ⋅ cn+1 2. a) b) c) d) (3a5 – 4a3 + 2a) ⋅ a4 (bn – 2bn+1 + 3bn+2) ⋅ b3 (4x5 – 3x4 – x3) ⋅ xn–4 (cn+1 + 5cn–1 – 7cn–2) ⋅ c4 3. a) b) c) d) (x8 + 5x6 – 3x5) : x4 (xn+2 + 2xn+1 + 3xn) : x2 (an+2 – 2an+1 + an) : an (9d2n+1 – 6d2n) : (3dn+1) c) (an + 2an+1) ⋅ (3an+2 + an+3) d) (2y2m – y2m–1) ⋅ (3ym–2 + 6ym–1) 4. a) (5 ⋅ 2n + 3 ⋅ 2n) : 2n+1 b) (3p–1 + 8 ⋅ 3p–1) : 3p 5. a) b) c) d) (x3 + y3) ⋅ (x3 – y3) (an – bn) ⋅ (an + bn) (xm + 3xm–2) ⋅ (2xm–1 – xm–3) (u6 – w5) ⋅ (w5 + u6) 6. a) b) c) d) (2am+2 – 7bn–1) ⋅ (2am+2 + 7bn–1) (a3 + b4)2 (y + yn)2 (4an + 9bn)2 7. a) b) c) d) (1/3 pn–1 + 3/4 pn–2)2 (x3n + x2n + xn + 1)⋅(xn – 1) (a2p + apbp + b2p)⋅(ap – bp) (x2p – 3xpyq + 9y2q)⋅(xp + 3yq) 2. a) b) c) d) a4p – b4p 9p4 – 1 x5 + 2x4 + x3 t4p – 12t2p + 36 Aufgabe 32: Zerlege diese Ausdrücke in Faktoren: 1. a) b) c) d) a5 + a 7 xn + xn+1 an+2 – 4an–2 3x2n–1 – 4xn+2 Aufgabe 33: Vereinfache die folgenden Brüche: 1. a) x6 + x5 x4 + x3 3. a) r m+ 2 r m− 2 : sm+ 3 sm+ 2 b) an + an+1 an+1 + an+ 2 b) c) a2n − x 2n an+1 − a ⋅ x n c) an− 2 b2n+1 cn+1 ⋅ ⋅ bn+ 2 c2n a2n−3 d) cp − cp + 2 cp +1 + cp d) u2n−5 u3n−1 : 2n v 3n− 4 v 2. a) b) 25z 2 − 4z 4 5z 4 − 2z 5 z q +1 a8 b11 a3 ⋅ ⋅ b7 a12 b6 d) p5 q3 : q6 p4 Terme und Formeln: Potenzen II y 2m+1 ⋅ y m− 2 z 2m−5 ⋅ z 3m− 2 x m− 3 § x 2n+1 yn− 2 · x 3n− 2 4. a) ¨ 3n+ 2 : n+ 4 ¸ : 4n+1 x © y ¹ y z q−1 − 4z q− 2 − 8z q + 16z q−1 c) x 3m § a2n−3 c3n+1 · § a2n+1 c3n− 2 · b) ¨ n+ 2 : 2n−5 ¸ : ¨ n+ 4 : 2n+1 ¸ d d © b ¹ © b ¹ c) r 8 § r m− 5 r m+1 · : : ¨ ¸ s9 © sm+ 4 sm−1 ¹ § w 3n− 2 y 2n−5 · § w 3n+ 2 y 2n+ 3 · d) ¨ : : : ¸ ¨ ¸ n+ 3 z 2n−1 ¹ © x n−3 z 2n−3 ¹ © x Seite 9 www.mathema.ch (November 11) Aufgabe 34: Vereinfache die folgenden Brüche: (x (x (x (x 3 1. a) b) 2 ) ) y2 z 4 yn−1 2 y2 ) ) 2. a) d) n−1 ( 125 x y ) ( 5x y ) ( 16 a b ) ( 4ab ) n n+1 9 3n−1 2 b) c) 2 3 4 2 ( 27 x y ) ( 3xy ) ( 8u v ) ( 4u v ) 3 3 y z3 n 2 n−1 6 2 4 7 2 5 3n+1 3 4 3. a) 63n− 2 ⋅ 102n−3 ⋅ 12n−1 32n ⋅ 9n+1 ⋅ 302n−6 b) 202n−3 ⋅ 54n+ 2 ⋅ 49n 302n−1 ⋅ 56n−1 ⋅ 21n+ 3 3 n 2n−1 Aufgabe 35: Schreibe in Form eines einzigen Bruches: 1. a) 1− x5 1 + 2 x7 x 2. a) 1 + 4a3 − 2a6 an − 4 an−3 − 2 + n−1 − an+ 2 a an− 4 b) 1 − a2 1 + a 1 + 4 − 3 a6 a a b) bn+ 2 − bn−1 + 1 b2 − 1 b − 1 − n+1 − n−1 b2n b b c) 4 + x2 1 − 6 x8 x c) x 3 + 1 3 x m−1 − 1 3 x m− 4 − 2 x m−1 − 5 − − 5 x5 9 x m+1 15 x m+1 d) 1+ a2 1+ 2a4 2 − + 4 a10 a8 a d) 9x 4 − 1 9x 4 − 1 + 1 + 3x 2 3x 2 − 1 Merke: Folgende Regeln sind sehr wichtig. Merke sie dir gut! Negative Exponenten: 1 a = n a −n Gebrochene Exponenten: 1 n a =na Terme und Formeln: Potenzen II Seite 10 www.mathema.ch (November 11)
