6 Differentialrechnung, die Exponentialfunktion

6
Di↵erentialrechnung, die Exponentialfunktion
6.1
Exponentialfunktion
Wir führen die Exponentialfunktion ein, die eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften ist:
exp(x + y) = exp(x) exp(y)
exp(0) = 1,
(8)
exp(1) = e
wobei e die Euler’sche Zahl ist (limn!1 (1 + n1 )n = e).
Wir können mithilfe der angeführten Eigenschaften zeigen, dass die Exponentialfunktion exp(x) = ex für x 2 IR ist.
Proof. Für natürliche Zahlen kann man mit Hilfe von (8) zeigen, dass exp(n) =
en . Ebenso dass exp(1/n) die n-te Wurzel aus e ist, wobei wir wieder (8)
verwenden:
1
1
1
1
1
exp( + ) = exp( ) exp( ) = [exp( )]2
n n
n
n
n
1
1
1
1
exp( + + ) = [exp( )]3
n n n
n
......
n
1
exp( ) = [exp( )]n
n
n
1
Wenn wir exp(1) = e verwenden, haben wir dann schliesslich exp( n1 ) = e n .
Aus
1 = exp(0) = exp(x
x) = exp(x) exp( x)
1
folgt dass exp( x) = exp(x)
. Damit ist die Exponentialfunktion exp als
x
e für alle rationalen Zahlen definiert. Nachdem die irrationalen Zahlen
beliebig gut durch rationale Zahlen approximiert werden und exp stetig ist
exp(x) = ex fr alle x 2 IR.
Die Exponentialfunktion exp(x) ist stetig (für alle x 2 IR), streng monoton steigend und es gilt (ohne Beweis):
exp(x) 1
= 1.
(9)
x!0
x
Wir können den Definitionsbereich auf C erweitern, wobei wir 8 verwenden:
lim
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy)
16
x, y 2 IR; und z = x + iy
Mit der Eulerschen Formel exp(i') = cos(') + i sin(') können wir dem
Ausdruck exp(iy) einen Sinn geben. Somit ist
exp(z) = ex (cos(y) + i sin(y))
x, y 2 IR; und z = x + iy
Noch zwei nützliche Formeln:
ei'
e
2i
ei' + e
cos(') =
2
sin(') =
i'
i'
Der natürliche Logarithmus Die Umkehrfunktion zur Exponentiafunktion ist der natürliche Logarithmus ln(x), definiert für x > 0. Der ln(x)
ist stetig (für alle x > 0), streng monoton steigend, und:
ln(1) = 0
ln(e) = 1
ln(x · y) = ln(x) + ln(y),
x
ln( ) = ln(x) ln(y),
y
a · ln(x) = (ln(x))a .
6.2
Di↵erentialrechnung
Um zu unserer Motivation zurückzukehren: Unser Ziel ist es, in (6) den
Limes für h ! 0 zu berechnen. Leider führt auch das, wenn s and der Stelle
t stetig ist, auf einen unbestimmten Ausdruck, nämlich 0/0, und wir können
im Allgemeinen nicht garantieren, dass es den Grenzwert gibt.
Momentangeschwindigkeit ) Ableitung
Wir nennen die Funktion f an der Stelle x0 di↵erenzierbar, wenn der
Grenzwert existiert
f (x0 + h)
h!0
h
f 0 (x0 ) = lim
f (x0 )
.
Den Grenzwert f 0 (x0 ) nennt man Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 .
f heisst di↵erenzierbar, wenn f an jedes x 2 A (Definitionsbereich von f )
di↵erenzierbar ist.
17
Beispiele: 1) Wir suchen die Ableitung von f (x) = xn :
f (x0 + h) f (x0 )
(x0 + h)n xn0
= lim
h!0
h!0
h
h
n
1
(x0 + h x0 )[(x0 + h)
+ (x0 + h)n 2 x0 + · · · + xn0
= lim
h!0
h
= lim [(x0 + h)n 1 + (x0 + h)n 2 x0 + · · · + xn0 1 ] =
f 0 (x0 ) =
lim
1
]
=
h!0
nxn0 1 .
=
2) Sei f (x) =
p
x. Um die Ableitung zu berechnen, verwenden wir:
p
p
p
p
p
p
h = x0 +h x0 = ( x0 + h)2 ( x0 )2 = ( x0 + h
x0 )( x0 + h+ x0 )
0
f (x0 ) =
=
=
=
p
x0 + h
f (x0 + h) f (x0 )
lim
= lim
h!0
h!0
h
h
p
p
x0 + h
x0
p
lim p
p
p
h!0 ( x0 + h
x0 )( x0 + h + x0 )
1
lim p
p
h!0 ( x0 + h + x0 )
1
p .
2 x0
p
x0
Verwenden wir (9) können wir die Ableitung der Exponentialfunktion exp(x)
berechnen:
exp(x + h) exp(x)
h
exp(x) exp(h) exp(x)
= lim
h!0
h
exp(x)(exp(h) 1)
= lim
h!0
h
= exp(x)
[exp(x)]0 =
lim
h!0
Ableitung der Winkelfunktionen: Zuerst zeigen wir dass
sin h
= 1,
h!0 h
lim
Proof. sin h < h < tan h
(geometrisch)
18
lim
1
cos h
= 0 , P roof : 0  1
h
h!0
cos h  sin2 h
Mit diesen zwei Grenzwerten können wir die Ableitung von sin berechnen.
sin(x + h) sin(x)
h!0
h
sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) sin(x)
= lim
h!0
h
cos(h) 1
sin(h)
= sin(x) lim
+ cos(x) lim
h!0
h!0
h
h
= cos(x)
[sin(x)]0 =
analog für [cos(x)]0 =
lim
sin(x).
Ableitungsregeln (Grundrechnungsarten) Seien f und g di↵erenzierbare
Funktionen, dann gelten folgende Regel:
• Faktorregel: [cf (x)]0 = cf 0 (x)
Bsp. (5 exp(x))0 = 5(exp(x))0 = 5 exp(x)
• Summenregel: [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x)
Bsp. (x3 + sin(x))0 = 3x2 + cos(x)
• Produktregel: Sei f · g an x di↵erenzierbar dann gilt:
[f (x)g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
[f (x)g(x)]0 =
lim
h!0
f (x + h)g(x + h)
h
f (x + h)g(x + h)
f (x)g(x)
f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h)
h

f (x + h) f (x)
g(x + h) g(x)
= lim g(x + h)
+ f (x)
h!0
h
h
= f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
=
lim
h!0
Bsp. (x3 sin(x))0 = 3x2 sin(x) + x3 cos(x)
• Kettenregel: [f
Bsp.
g(x)]0 = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
19
f (x)g(x)
1.
[(5x + 1)2 ]0 = 2(5x + 1) · 5 = 10(5x + 1)
2.
⇣
e
p
1 x2
⌘0
= e
= e
p
1 x2
p
1 x2
xe
p
1
=
p
·
⇣p
1
⌘0
· ( x2 ) 0
1)
p pq
x
q
x2
1
· p
· ( 2x)
2 1 x2
1 x2
x2
3.
0
sin(x3 ) = cos(x3 ) · (3x2 )
4.
⇣
x
⌘0
=
◆0
=
p
q
✓
1
(x )
q
p
◆0
1
= (xp )1
q
1/q
· (px(p
)=
1
• Quotientenregel (für g(x) 6= 0):

f (x) 0 f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x)
=
g(x)
g 2 (x)
✓
x3 + 2
x2 + 4
3x2 (x2 + 4) (x3 + 2)2x
x4 + 12x2 4x
=
(x2 + 4)2
(x2 + 4)2
Als Anwendung der Kettenregel können wir Ableitung von Umkehrfunktionen aufschreiben. Sei f an x und die Umkehrfunktion f 1 an y = f (x)
di↵erenzierbar. Dann wenden wir die Kettenregel auf f 1 f = id !
f 1 f x))0 = (f 1 )0 (f (x)) · f 0 (x) = id0 (x) = 1:
f
1
0
(y) =
1
f 0 (f
1 (y)))
Bsp.
1. Der natürliche Logarithmus, als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion: exp(ln(x)) = x, x > 0, und ln(exp(y) = y, 8y 2 IR hat dann die
Ableitung:
(ln(x))0 =
1
exp0( ln(x))
20
=
1
1
=
exp(ln(x))
x
2.
[arcsin(x)]0 =
3.
1
1
=
=p
sin (arcsin(x))
cos(arcsin(x))
1
[arctan(x)]0 =
0
1
sin2 (arcsin(x))
=p
1
1
1
1
1
=
=
tan0 (arctan(x))
1 + x2
1 + tan2 (arctan(x))
Wir können auch xa mit a 2 IR ableiten:
(xa )0 = [exp(ln(x) · a)]0 = exp(a ln(x))] · a(ln(x))0 =
a exp(a ln(x))
axa
=
= axa
x
x
Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion ax können wir mithilfe
von ax = exp(ln(a) · x) berechnen:
(ax )0 = [exp(ln(a) · x)]0 = exp(x ln(a)) · ln(a) = ax ln a
Weiteres Beispiel: f (x) = xx = exp(x · ln(x)):
f 0 (x) = (xx )0 = exp(x · ln(x)) · (ln(x) + x/x) = xx (ln(x) + 1)
Somit können wir folgende Ableitungen aufschreiben:
f (x)
c
x
xa (a 2 IR)
ex
sin(x)
cos(x)
ln(x)
f 0 (x)
0
1
axa 1
ex
cos(x)
sin(x)
1
x
Höhere Ableitungen
Seien f : A ! IR und f 0 : A ! IR diferrenzierbar. Wenn f 0 in x 2 A
di↵erenzierbar ist, dann ist
f 00 = (f 0 )0 (x)
die zweite Ableitung von f an der Stelle x.
df
Andere Notation: f 0 (x) = dx
und f 00 (x) =
21
d2 f
dx2
= f (2) .
1
x2
Wir können wiederum die Frage nach der Di↵erenzierbarkeit von f 00
stellen, und diesen Prozess fortsetzen. Somit nennen wir f an x k-mal differenzierbar, wenn f (k 1)-Mal di↵erenzierbar ist und die (k 1)-Ableitung
f (k 1) di↵erenzierbar an x ist.
Beispiele
1. f (x) = exp(x):
f (n) = exp(x)
2. f (x) = sin(x):
f 0 (x) = cos(x)
f 00 (x) =
sin(x)
f
(3)
(x) =
cos(x)
f
(4)
(x) = sin(x) . . .
3. f (x) = ax ; f (n) (x) = (lna)n ax
4. f (x) = x3 + 2x2
x+1
f 0 (x) = 3x2 + 4x
1
00
f (x) = 6x + 4
f (3) (x) = 6
f (4) (x) = 0 . . .
5. f (x) = |x| · x
0
f (x) =
⇢
2x
x>0
2x x < 0
= 2|x|
f 00 (x) nicht möglich an x = 0.
6.3
Eigenschaften di↵erenzierbarer Funktionen
Mittelwertsatz der Di↵erentialrechnung
Satz 5. Sei f : [a, b] ! IR stetig auf [a, b] und di↵erenzierbar auf (a, b),
dann existiert ein y 2 (a, b) so dass:
f 0 (y) =
f (b)
b
22
f (a)
a
Steigung der Sekanten durch a und b ist gleich der Steigung der Tangenten in y. Regel von de l’Hospital
Satz 6. Sei 1  a < b  1 und f, g : (a, b) ! IR di↵erenzierbare
Funktionen, so dass g 0 (x) 6= 0 und g(x) 6= 0 für alle x 2 (a, b). Angenommen
der Grenzwert
f 0 (x)
x!b g 0 (x)
lim
existiert, und es gilt zusätzlich limx!b f (x) = limx!b g(x) = 0 oder 1 dann
ist
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x!b g(x)
x!b g (x)
lim
Dieselbe Aussage gilt auch für limx!a .
Bsp. 1)limx!1 exx ;
✓
◆
1
1
2) lim
=
x!0 x
sin(x)
x sin(x)
x sin(x)
1 cos(x)
= lim
x!0 sin(x) + x cos(x)
sin(x)
= lim
= 0;
x!0 2 cos(x)
x sin(x)
lim
x!0
Kurvendiskussion
Sei f (x) eine Funktion und f 0 ihre Ableitung. Alle Punkte, die f 0 (x) = 0
erfüllen, heißen stationäre Punkte., d.h. die Tangente ist dort horizontal.
x ist ein lokales Maximum von f wenn es ein " existiert, sodass
8y 2 (x
", x + ") gilt f (x)
f (y);
x ist ein lokales Minimum von f wenn es gilt f (x)  f (y) 8y 2 (x ", x + ").
Stationäre Punkte sind entweder Minima, Maxima, oder Sattelpunkte.
1. Wenn f (x) an x 2 (a, b) ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) annimmt, dann ist x ein stationärer Punkt f 0 (x) = 0.
2. Monotonie Eine Funktion heisst monoton steigend (fallend) in einem
Intervall I, wenn f (y) f (x) (bzw. f (y)  f (x)) falls y > x, 8x, y 2 I
23
• Wenn die Ableitung von f in (a, b) positiv ist, f 0 (x)
0, 8x 2
(a, b), dann ist f monoton steigend; für f 0 (x) > 0 ist f streng
monoton steigend.
• Wenn f monoton steigend ist, dann ist f 0 (x)
0
Entsprechende Aussagen gelten auch für fallende Funktionen. Bew.
mit Mittelwertsatz der Di↵erentialrechnung.
3. Hinreichende Bedingung für lokale Extrema
Sei f zweimal di↵erenzierbar und
f 0 (x) = 0
und f 00 (x) > 0
dann ist x ein lokales Minimum. Wenn f 00 (x) < 0, dann ist x ein
lokales Maximum.
4. Konvexität Eine Funktion ist konvex im Intervall I, wenn 8x, y 2 I
gilt dass
f ( x + (1
)y)  f (x) + (1
)f (y)
0
1
Sei f zweimal di↵erenzierbar auf I. f ist genau dann konvex, wenn
f 00 (x) 0 8x 2 I. (f ist konkav, wenn f 00 (x)  0.)
5. Globale Extrema Globale Extrema sind entweder lokale Extrema
oder werden am Rand des gewählten Bereichs angenommen.
Beispiel: Kurvendiskussion für f (x) =
(x 1)2 (x 4)
.
x
• Nullstellen f (x) = 0 an x = 1 und x = 4.
• Singularität bei x = 0
lim f (x) =
x!0+
1;
lim f (x) = +1
x!0
p
• Extremwerte f 0 (x) = 0 an x = 1,1 + 3 und 1
f 00 (1) <p0 ) lokales Maximum
f 00 (1 + p3) > 0 ) lokales Minimum
f 00 (1
3) > 0 ) lokales Minimum
24
p
3.
p
• Wendepunkte f 00 (x) = 0 an 3 4
x
< 0 : f 00 (x) > 0 ) f konvex auf ( 1, 0) p
p
3
4 >px > 0 : f 00 (x) < 0 ) f konkav auf
(0, 3 4).
p
x > 3 4 : f 00 (x) > 0 ) f konvex auf ( 3 4, 1).
Skizze.
Globale Extrema von f (x) auf [1, 5]: das lokale Minimum ist ein globales
Minimum auf [1, 5] und das globale Maximum ist am Rand bei x = 5.
25