Lösungen Aufgabe1: ohne Taschenrechner (insgesamt 34 P) −+ 2 1

Rudolf-Steiner-Schulen Hamburg, schriftliche Realschulprüfung Mathematik 2012, Lösungen
Aufgabe1:
ohne Taschenrechner
(insgesamt 34 P)
1.1
a)
c)
1.2
a)
b)
27,08
+ 268,52
+ 571,90
867,50
251,2 · 13,4 = 3366,08
Aufgabe
3
=
60
3
9
=
:
25 100
b)
387,34
−73,51
−26,24
287,59
d)
47,5 : 3,8 =12,5
I
II
2
2
2
3
Lösung
Buchstabe
5%
A
1
D
1
B
1
4
3
5
8
III
c)
3 3 1
+ − =
4 8 2
d)
625,6 : 0,1
6256
C
1
e)
128,4 ⋅ 0,02
2,568
A
1
f)
875 g sind
7
kg
8
C
1
1802,8kg
C
1
200 000
D
1
-0,064
C
1
2 500
B
1
45
C
1
1 ⋅2 ⋅3 ⋅4
C
1
eine Seite
verdoppelt
B
1
7 cm
B
1
Das Volumen eines
Zylinders wird halbiert
durch …
Halbieren
der Höhe
A
(2P)
2
Welche Aussage gilt
für nachfolgendes
Dreieck?
h = a ⋅ sinβ
A
(2P)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Wie viele kg sind
1,5 t + 300kg + 2800g
?
6 ⋅ 10 3
=
3 ⋅ 10 −2
( −0,4) 3
Schätzen Sie:
15 ⋅ 132 ≈
Schätzen Sie:
2000 ≈
Wie viele verschiedene
Anordnungen gibt es
für 4 Elemente A B C
D?
Die Fläche eines
Rechtecks wird verdoppelt, wenn man …
Ein Rechteck mit der
Grundseite a = 8cm hat
eine Fläche von 56
cm², seine Höhe ist
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Benutzen Sie für die folgenden Aufgaben ein gesondertes Blatt Papier:
1.3
Berechnen Sie die Lösungen für x:
2 x ² − 8 x = −3
⇔ x2 − 4x + 3 = 0
⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0
⇔ x = 1∨ x = 3
1.4
1.5
andere Wege sind möglich
2
Eine quadratische Pyramide mit der Grundseite a = 9cm
hat ein Volumen von 216 m³.
Berechnen Sie ihre Höhe!
1 2
⋅ 9 ⋅ h = 216cm3
3
andere Wege sind möglich
216 216
⇔ h = 81 =
= 8cm
27
3
Ein Wanderer legt in 48 Minuten die Strecke 4 km zurück. Berechnen Sie die Zeit, die er bei gleichbleibender
Geschwindigkeit für 15 km Strecke brauchen wird, in
Stunden!
4km in 48 min
:4
1km in 12 min
15km in 15⋅12min = 180 min = 3 h
andere Wege sind möglich
Summe 34 BWE
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1
2
2
9
19
6
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Leitidee „Raum und Form“ und Leitidee „Funktionaler Zusammenhang“
Aufgabe 2: Kanalbett
Erwartungshorizont
Zuordnung AB
I
II
III
Lösung
a)
x
0
1
2
2,5
3
4
5
5,5
…
y 0,00 −1,75 −3,00 −3,44 −3,75 −4,00 −3,75 −3,44 …
5
y
2
1
×
1
2
3
4
5
6
7
×
x
8
−1
−2
−3
−4
×
×
×
×
×
×
×
×
×
4
−5
b)
c)
d)
Der x-Wert des Scheitelpunkts liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen. Der zugehörige y-Wert ist yS = −4 .
Also beträgt die Kanaltiefe 4,00 m.
Wenn die Schute genau in der Mitte fährt, liegt ihre linke Kante bei
x = 4,0 − 2,5 = 1,5 . Der zugehörige y-Wert ist y = −2, 4375 . Bei einem Tiefgang von mehr als 2,43 m muss mit Bodenberührung gerechnet werden.
Der gesuchte Abstand vom Ufer ist der x-Wert, für den y = −2,00 ist.
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0, 25 x 2 − 2 x = −2
x 2 − 8 x = −8
⋅4
+ 42
x 2 − 8 x + 42 = −8 + 42
( x − 4)
2
=8
±
x1 − 4 = 8 ; x2 − 4 = − 8
+4
1
5
12
5
x1 ≈ 6,8284 ; x2 ≈ 1,1716
Für die Fragestellung interessiert der kleinere Abstand vom linken
Ufer. Er sollte mindestens 1,18 m betragen.
Summe: 22 BWE
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Idee des funktionalen Zusammenhanges und Idee der Zahl
Aufgabe 3: Exponentielles Wachstum
Erwartungshorizont
3.1
Lösungsskizze, es gelten immer sinngemäße gleiche Lösungen
I
II
K n = K0 ⋅ qt
2
3
2
3
III
21Jahre – 16 Jahre = 5 Jahre Festlegung des Kapitals, q = 1+0,034 = 1,034
K21 = 5000 · 1,0345 = 5909,80
Peter kann am 21. Geburtstag über 5909,80€ verfügen
3.2
21 Jahre – 9 Jahre = 12 Jahre Festlegung des Kapitals, K 21 = 5900
K
5900
K 21 = K 9⋅q12 ⇔ 1221 =
= K 9 = 3950,08
q
1,03412
Für Anton müssen 3950,08€ angelegt werden.
3.3
Das Kapital soll sich verdoppeln, also gilt: Kn = 2K 0
3
3
4
2
13
5
Kn
lg (K n / K 0 )
= q t ⇔ lg (K n / K 0 ) = t ⋅ lg q ⇔ t =
K0
lg q
hier: t =
lg 2
= 20,73 Jahre
lg 1,034
0,73·12 = 8,76, also 9 Monate
Peter ist dann 16+20 Jahre+9 Monate, also 36 Jahre und 9 Monate alt.
3.4
Wächst das Kapital um ein Viertel, gilt Kn = 1,25K 0 oder Kn = 54 K 0
daraus folgt
1,25K 0 = K 0 ⋅ q 7 ⇔ 1,25 = q 7 ⇔ q = 7 1,25 = 1,03239... p= 3,2%
Es wurden 3,2% Zinsen vereinbart
Summe 22 BWE
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Die Idee des Messens
Aufgabe 4: Fesselballon
Erwartungshorizont
Lösungsskizze, es gelten immer sinngemäße gleiche Lösungen
4.1
I
S -Spitze
III
3
276m
M
II
3,60°
2,05°
Mitte
B
Beobachter
F – Fuß
4.2
Ankerpunkt A
α = 3,60° + 2,05° = 5,65°
3
2
β = 90° - 3,6° = 86,4°
γ = 90° - 2,05° = 87,95°
4.3
Nach dem Sinussatz gilt:
sin γ ⋅ h
x
h
=
⇔x=
≈ 2801,6
sin γ sin α
sin α
3
2
Die Sichtentfernung beträgt 2802 m.
4.4
Dafür ist es sinnvoll, die obere Teilhöhe des Turms MS zu berechnen:
MS
sin 3,6° =
⇔ MS = sin 3,6° ⋅ x = 175,93m ≈ 176 m .
x
Dann ist die Höhe des Beobachters 276m – 176m = 100m.
Wird für die Lösung das gegebene y verwendet, gibt es einen Punkt Abzug.
4.5
Die Behauptung ist falsch, da der Tiefenwinkel im Dreieck FBA aus dem
Ballonhöhe
Verhältnis
als Tangens abgelesen werden könnte. Der Tangens
Entfernung
verdoppelt sich aber nur näherungsweise für kleine Winkel.
5
4
Es gilt auch eine rechnerische Überprüfung.
Summe 22 BWE
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10
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Leitidee „Daten und Zufall“
Aufgabe 5: Sportverein
Erwartungshorizont
Zuordnung AB
I
II
III
Lösung
a)
K
P(L,K) =
1
4
1
2
E
P(L,E) =
1
4
3
4
K
P(S,K) =
3
8
1
4
E
P(S,E) =
1
8
1
2
2
4
2
2
L
1
2
1
2
S
b)
c)
d)
In der Altersgruppe (K) sind insgesamt 150 Mitglieder, davon in der Abteilung (S) 90 Mitglieder.
90
Die Wahrscheinlichkeit beträgt
.
150
3
Alternativ-Angaben:
oder ein anderer Bruch gleichen Werts
5
oder 0,600 oder 60,0% .
In der Gruppe sind 60 Mitglieder.
60 ⋅ 59 ⋅ 58
Für die Auswahl gibt es
= 34220 Möglichkeiten.
1⋅ 2 ⋅ 3
In der Gruppe sind 30 Mitglieder.
Es gibt 302 = 900 mögliche Ziehungsergebnisse.
Unter diesen sind 30 Ergebnisse mit gleichen Personen, also 870 mit verSeite 7 von 8
5
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schiedenen.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt
Alternativ-Angaben:
870
.
900
29
oder ein anderer Bruch gleichen Werts
30
oder 0,967 oder 96,7% .
Summe: 22 BWE
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3
4
14
4