Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerInnen

Mathematik für
WirtschaftswissenschaftlerInnen
Wintersemester 2000/2001 & Sommersemester 2001
2
Inhaltsverzeichnis
1 Logik
1.1 Aussagen und Aussageformen . . . .
1.2 Logische Schlüsse und mathematische
1.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . .
1.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
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Beweise
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1-1
1-1
1-3
1-5
1-6
2 Grundbegriffe der Mengenlehre
2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mengenoperationen . . . . . . .
2.3 Übungsaufgaben . . . . . . . .
2.4 Lösungen . . . . . . . . . . . .
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2-1
2-1
2-2
2-4
2-5
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3-1
3-1
3-5
3-8
3-10
3 Zahlenbereiche
3.1 Reelle Zahlen . .
3.2 Komplexe Zahlen
3.3 Übungsaufgaben
3.4 Lösungen . . . .
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4 Kombinatorik
4-1
4.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4
4.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5
5 Relationen und Abbildungen
5.1 Relationen . . . . . . . . . .
5.2 Abbildungen . . . . . . . . .
5.3 Übungsaufgaben . . . . . .
5.4 Lösungen . . . . . . . . . .
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6 Folgen und Reihen
6.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Grundbegriffe der Finanzmathematik
6.3.1 Zinsrechnung . . . . . . . . .
3
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5-1
5-1
5-3
5-5
5-8
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6-1
6-1
6-4
6-6
6-6
INHALTSVERZEICHNIS
6.4
6.5
6.3.2 Rentenrechnung .
6.3.3 Tilgungsrechnung
Übungsaufgaben . . . .
Lösungen . . . . . . . .
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7 Funktionen einer Variablen
7.1 Begriffe und Bezeichnungen
7.2 Polynome . . . . . . . . . .
7.3 Übungsaufgaben . . . . . .
7.4 Lösungen . . . . . . . . . .
8 Differentialrechnung
8.1 Grenzwert und Stetigkeit .
8.2 Differentiation . . . . . . .
8.3 Kurvendiskussion . . . . .
8.4 Differential, Änderungsrate
8.5 Übungsaufgaben . . . . .
8.6 Lösungen . . . . . . . . .
9 Integralrechnung
9.1 Das unbestimmte Integral
9.2 Das bestimmte Integral . .
9.3 Uneigentliche Integrale . .
9.4 Übungsaufgaben . . . . .
9.5 Lösungen . . . . . . . . .
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und Elastizität
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10 Vektoren
10.1 Der n-dimensionale Raum Rn
10.2 Lineare (Un)Abhängigkeit . .
10.3 Vektorräume . . . . . . . . . .
10.4 Übungsaufgaben . . . . . . .
10.5 Lösungen . . . . . . . . . . .
11 Matrizen und Determinanten
11.1 Matrizen . . . . . . . . . . .
11.2 Operationen mit Matrizen .
11.3 Determinanten . . . . . . .
11.4 Die inverse Matrix . . . . .
11.5 Lineare Abbildungen . . . .
11.6 Übungsaufgaben . . . . . .
11.7 Lösungen . . . . . . . . . .
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6-8
6-9
6-12
6-15
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7-1
7-1
7-6
7-10
7-12
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8-1
8-1
8-4
8-8
8-13
8-15
8-18
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9-1
9-1
9-7
9-11
9-13
9-15
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10-1
. 10-1
. 10-6
. 10-7
. 10-10
. 10-12
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11-1
. 11-1
. 11-4
. 11-8
. 11-14
. 11-15
. 11-17
. 11-23
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INHALTSVERZEICHNIS
12 Eigenwerte und quadratische Formen
12.1 Eigenwerte von Matrizen . . . . . . .
12.2 Quadratische Formen . . . . . . . . .
12.3 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . .
12.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
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12-1
. 12-1
. 12-2
. 12-2
. 12-4
. 12-6
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13-1
. 13-1
. 13-2
. 13-2
. 13-5
. 13-6
. 13-10
. 13-15
14 Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
14.1 Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Partielle Ableitungen, Gradient, totales Differential . . . . . . .
14.3 Verallgemeinerte Kettenregel, Richtungsableitungen . . . . . . .
14.4 Partielle Änderungsrate und partielle Elastizität . . . . . . . . .
14.5 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6 Uneingeschränkte Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14-1
. 14-1
. 14-1
. 14-4
. 14-4
. 14-5
. 14-7
. 14-8
. 14-11
. 14-15
15 Differentialgleichungen
15.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . .
15.2 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . .
15.3 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
15.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
13.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Lösbarkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . .
13.3 Äquivalente Umformungen, Lösungsverfahren .
13.4 Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . .
13.5 Lineare Ungleichungssysteme . . . . . . . . . . .
13.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15-1
15-1
15-2
15-4
15-6
15-7
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X-1
X-1
X-3
X-5
X-7
X-8
X-9
X-11
X-16
X
X.1
X.2
X.3
X.4
X.5
X.6
X.7
X.8
Summen und Produkte . . . . . . . .
Vollständige Induktion . . . . . . . .
Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . .
Potenzieren und Logarithmieren . . .
Horner Schema . . . . . . . . . . . .
Probe-Klausuraufgaben . . . . . . . .
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
Integrationsregeln . . . . . . . . . . .
5
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INHALTSVERZEICHNIS
X.9 Klausur Mathematik A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X-18
6
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
Wahrheitswerttabellen für A, A ∧ B und A ∨ B . . . . . . . . . . 1-1
Wahrheitswerttabelle für A ⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
Wahrheitswerttabelle für A ⇔ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
3.1
3.2
3.3
Zahlengerade und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
Zahlengerade und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6
5.1
5.2
Pfeildiagramm und Koordinatendiagramm der Relation R . . . . 5-1
Pfeildiagramm und Koordinatendiagramm der inversen Relation
R−1 aus Abbildung 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2
6.1
6.2
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3
Effektiver Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung . . . . . . . . . . 6-8
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
Graph der Funktion f (x) = 4 . . . . . . . . . .
3
2
Graphen der Funktion f (x) =
√ x und f (x) = x
Graph der Funktion f (x) = x . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = x−π . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = ex . . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = 2x . . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = log2 (x) . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = tan(x) . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = cot(x) . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = trunc(x) . . . . . .
Graph der Funktion (g ◦ f )(x) = 4x2 + 4x − 1 .
Graph der Funktion (f ◦ g)(x) = 2x2 − 3 . . . .
Graph der Funktion f −1 (x) = ln(x) . . . . . . .
Graph der Funktion g −1 (x) = −x . . . . . . . .
Graph der Funktion (f ◦ g)(x) = e−x . . . . . .
Graph der Funktion (g ◦ f )(x) = −ex . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = ln(x4 ) . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = ln(x3 ) . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = 3x2 + 5 . . . . . . .
7
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7-1
7-2
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7-3
7-3
7-4
7-4
7-5
7-12
7-12
7-12
7-13
7-13
7-13
7-14
7-14
7-14
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Graph
Graph
Graph
Graph
8.1
8.2
8.3
8.4
Steigung der linearen Funktion f (x) = 2 x + 3
Differenzenquotient und Tangentensteigung . .
Funktion f , Tangente t in x⋆ und Differentiale
x2 +1
. . . . . .
Graph der Funktion f (x) = (x−2)
2.
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
Graph
Graph
Graph
Graph
Graph
9.1
9.2
9.3
9.4
10.1
10.2
10.3
10.4
der
der
der
der
Funktion
Funktion
Funktion
Funktion
√
f (x) = 4 − x2 . . . . . . . . . . . .
f (x) = p
1 + e−x . . . . . . . . . . . . .
f (x) = |x| − x . . . . . . . . . . . .
f (x) = 2x5 − 6x4 − 6x3 + 22x2 − 12x .
7.20
7.21
7.22
7.23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7-15
7-15
7-15
7-16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8-4
8-5
8-13
8-19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8-20
8-20
8-21
8-21
8-22
Fläche, die durch f und die x-Achse eingeschlossen wird.
Approximation durch kleine Rechtecke von unten“ . . . .
”
Approximation durch kleine Rechtecke von oben“ . . . .
”
negative Flächenstücke “ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
Der 2-dimensionale Raum R2 . . . . . . . . . . . . . . .
Der 3-dimensionale Raum R3 . .√. . . . . . . . . . . . .
Der Betrag eines Vektors (kxk = 89) . . . . . . . . . .
Der Winkel γ zwischen den Vektoren x und y . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9-7
9-8
9-9
9-10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10-2
10-2
10-5
10-6
der
der
der
der
der
Funktion
Funktion
Funktion
Funktion
Funktion
11.1 Produktionsplan
2
3x −4x
f (x) = −2x
2 +x . . .
x4 +x3
f (x) = x3 −2x2 +x . .
x2 −1
f (x) = (x−2)
. .
2.
f (x) = ln( x−2
). . .
x2
√
3
2
f (x) = 2x − x3 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-22
X.1 Sinus Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X-5
X.2 Cosinus Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X-6
8
Kapitel 1
Logik
1.1
Aussagen und Aussageformen
Definition 1.1 (Aussagen) Eine Aussage A ist eine Behauptung, die entweder
wahr (w) oder falsch (f ) ist; w und f heißen Wahrheitswerte der Aussage A.
• Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Außer w und f sind für eine Aussage
keine weiteren Wahrheitswerte zugelassen.
• Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig w und f sein.
Aus gegebenen Aussagen gewinnt man durch Verknüpfungen neue Aussagen, sogenannte Aussageformen.
Definition 1.2 Seien A und B Aussagen.
Aussageform
Symbol Sprechweise
Negation von A
Konjunktion von A und B
Disjunktion von A und B
A
A∧B
A∨B
nicht A
A und B
A oder B.
Die Wahrheitswerte einer Aussageform werden in Wahrheitswerttabellen angegeben.
A
w
f
A
f
w
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
f
Abbildung 1.1: Wahrheitswerttabellen für A, A ∧ B und A ∨ B
1-1
Logik
Aussagen und Aussageformen
Weitere Aussageverbindungen, die insbesondere in der Mathematik verwendet
werden, sind Implikationen.
Definition 1.3 (Implikation) Seien A und B Aussagen. Die Aussageform
A∨B
wird Implikation genannt und mit A ⇒ B bezeichnet.
Sprechweisen: aus A folgt B“, wenn A gilt, dann gilt B“, A impliziert B“, A
”
”
”
”
ist hinreichend für B“, oder B ist notwendig für A“.
”
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A⇒B
w
f
w
w
Abbildung 1.2: Wahrheitswerttabelle für A ⇒ B
Definition 1.4 (Äquivalenz) Seien A und B Aussagen. Die Aussageform
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
heißt Äquivalenz und wird mit A ⇔ B bezeichnet.
Sprechweisen: A ist gleichwertig mit B“, A gilt genau dann, wenn B gilt “,
”
”
A gilt dann und nur dann, wenn B gilt “, A ist äquivalent mit B“ oder A ist
”
”
”
notwendig und hinreichend für B“.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A⇔B
w
f
f
w
Abbildung 1.3: Wahrheitswerttabelle für A ⇔ B
Bemerkung 1.1 Für Aussagen A und B gilt, d.h. die folgenden Aussagen sind
wahr:
i) (A ∧ B) ⇔ (A ∨ B),
iii)
(A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A) ⇔ A ∧ B,
1-2
ii)
(A ∨ B) ⇔ (A ∧ B),
iv)
(A ⇔ B) ⇔ (A ⇔ B).
Logische Schlüsse und mathematische Beweise
Logik
Bemerkung 1.2 Für Aussagen A, B und C gilt, d.h. die folgenden Aussagen
sind wahr:
i)
ii)
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C),
((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)) ⇒ (A ⇔ C).
Eine Aussage A kann auch von einer Variablen n abhängen: A(n).
Definition 1.5 (Allaussage) Eine Konjunktion von Aussagen A(n), wobei n
eine vorgegebene Menge durchläuft, heißt Allaussage, und wird bezeichnet mit
^
A(n) oder ∀n : A(n).
n
Sprechweise: Für alle n aus der gegebenen Menge ist A(n) wahr.
Die Allaussage ist wahr, wenn alle Einzelaussagen A(n) wahr sind. Ist eine der
Aussagen A(n) falsch, so ist auch die Allaussage falsch.
Definition 1.6 (Existenzaussage) Eine Disjunktion von Aussagen A(n), wobei n eine vorgegebene Menge durchläuft, heißt Existenzaussage, und wird bezeichnet mit
_
A(n) oder ∃ n : A(n).
n
Sprechweise: Es gibt ein n aus der gegebenen Menge mit A(n) wahr.
Die Existenzaussage ist wahr, wenn mindestens eine der Einzelaussagen A(n)
wahr ist. Sind alle Einzelaussagen A(n) falsch, so ist die Existenzaussage falsch.
Bemerkung 1.3 Seien A(n) Aussagen, wobei n eine vorgegebene Menge durchläuft. Dann gilt
∀n : A(n) ⇔ ∃ n : A(n)
1.2
und
∃ n : A(n) ⇔ ∀n : A(n).
Logische Schlüsse und mathematische Beweise
Logische Schlüsse sind Aussageformen, die ausgehend von wahren Aussagen (Voraussetzungen) wieder wahre Aussagen liefern. Sie sind die Grundlage für alle mathematischen Beweise. Die gebräuchlichsten Beweismethoden in der Mathematik
sind:
• Direkter Beweis einer Implikation A ⇒ B:
Aus der Voraussetzung (Prämisse) A wird die Behauptung (Konklusion) B
abgeleitet, indem gezeigt wird, daß die Implikation A ⇒ B wahr ist.
1-3
Logik
Logische Schlüsse und mathematische Beweise
• Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis einer Implikation A ⇒ B:
Anstatt der Implikation A ⇒ B kann man auch die Implikation B ⇒ A
nachweisen, oder zeigen, daß die Konjunktion A∧B falsch ist, d.h. zu einem
Widerspruch führt (vgl. Bemerkung 1.1 iii)).
• Beweis einer Äquivalenz A ⇔ B:
Man beweist die Aussageformen A ⇒ B und B ⇒ A.
• Vollständige Induktion zum Beweis von Allaussagen ∀n : A(n), wobei n =
k, k + 1, k + 2, . . . und k eine ganze Zahl ist:
i) Induktionsanfang: Man zeigt, daß die Aussage für n = k gilt, also A(k).
ii) Induktionsschritt: Man zeigt die Implikation A(n) ⇒ A(n + 1).
1-4
Übungsaufgaben
1.3
Logik
Übungsaufgaben
Aufgabe 1.1
Eine bestimmte Ware kostet 25, 00 DM. Welchen Wahrheitswert haben dann die
folgenden Aussagen?
a)
b)
c)
”
”
”
Die Ware kostet mindestens 20, 00 DM.“
Die Ware kostet höchstens 25, 00 DM.“
Die Ware kostet mindestens 26, 00 DM.“
Aufgabe 1.2
Welche Wahrheitswerte besitzt die Aussageform
A(x) = x ist eine Primzahl“,
”
für x ∈ {1, 2, 3, . . . , 10} und ∀ x und ∃ x?
Aufgabe 1.3
Man ermittle die Wahrheitswerttabellen der Aussageformen
a) (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B,
b) (B ∧ (A ⇒ B)) ⇒ A.
Aufgabe 1.4
Man beweise mit vollständiger Induktion
a)
n
P
i=1
b)
n
P
i=1
(2i − 1) = n2 .
i2 =
2n3 +3n2 +n
.
6
(1 + a)n ≥ 1 + a · n.
c) Für a ≥ −1 und n = 1, 2, . . . gilt:
Aufgabe 1.5
Man beweise indirekt: Für alle x > 0 gilt
x+
1
≥ 2.
x
1-5
Logik
1.4
Lösungen
Lösungen
1.1 a) w,
b) w,
c) f .
1.2 A(x) ist wahr für x ∈ {2, 3, 5, 7} und ∃ x.
A(x) ist falsch für x ∈ {1, 4, 6, 8, 9, 10} und ∀x.
1.3
a)
A
w
w
f
f
B A ⇒ B A ∧ (A ⇒ B)
w
w
w
f
f
f
w
w
f
f
w
f
B
w
f
w
f
A
f
f
w
w
A ∧ (A ⇒ B) ⇒ B
w
w
w
w
b)
A
w
w
f
f
B A ⇒ B B ∧ (A ⇒ B) B ∧ (A ⇒ B) ⇒ A
f
w
w
w
w
w
f
w
f
f
f
w
w
w
f
w
1-6
Kapitel 2
Grundbegriffe der Mengenlehre
2.1
Mengen
Definition 2.1 (Mengen) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit. Die Objekte in einer Menge heißen Elemente der Menge. Weiterhin fordern wir, daß für jedes nur vorstellbare Objekt
eindeutig entschieden werden kann, ob es ein Element der Menge ist oder nicht.
Mengen werden üblicherweise mit Großbuchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, und
mit Kleinbuchstaben ihre Elemente a, b, c, . . . . Weitere Notationen sind:
Symbol
a∈A
a∈
/A
A = {a1 , a2 , . . . , an }
A = {a : Eigenschaf t E}
Sprechweise
a ist Element der Menge A.
a ist nicht Element der Menge A.
A ist die Menge mit den Elementen a1 , a2 , . . . , an .
A ist die Menge aller Elemente a,
die die Eigenschaft E besitzen.
Definition 2.2 Eine Menge A heißt endlich, wenn sie endlich viele Elemente
enthält. Andernfalls heißt sie unendlich. Die Anzahl der Elemente von A heißt
Mächtigkeit von A und wird mit |A| bezeichnet.
Für A = {a1 , a2 , . . . , an } ist also |A| = n.
Für unendliche Mengen setzt man |A| = ∞.
Definition 2.3 (Teilmenge) Eine Menge B heißt Teilmenge von einer Menge
A (Schreibweise: B ⊂ A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist.
Also:
B ⊂ A ⇔ ((b ∈ B) ⇒ (b ∈ A)) .
Die Menge A heißt dann auch Obermenge von B.
2-1
Grundbegriffe der Mengenlehre
Mengenoperationen
Definition 2.4 Zwei Mengen A und B heißen gleich (Schreibweise: A = B),
genau dann wenn A ⊂ B und B ⊂ A gilt. Also:
A = B ⇔ ((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)) .
Definition 2.5 (Leere Menge ∅) Eine Menge A heißt leere Menge, wenn A
kein Element enthält. Die leere Menge wird mit ∅ bezeichnet.
Bemerkung 2.1 Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.
Definition 2.6 (Potenzmenge) Die Menge aller Teilmengen einer Menge A
heißt Potenzmenge von A. Sie wird mit P (A) bezeichnet. Also:
P (A) = {B : B ⊂ A}.
Die leere Menge ∅ und die Menge A selbst gehören zur Potenzmenge P (A).
Satz 2.1 Für eine endliche Menge A gilt: |P (A)| = 2|A| .
2.2
Mengenoperationen
Definition 2.7 (Durchschnitt) Die Menge aller Elemente, die sowohl zu einer
Menge A als auch zu einer Menge B gehören, heißt Durchschnitt von A und B
und wird mit A ∩ B bezeichnet. Also:
A ∩ B = {g : (g ∈ A) ∧ (g ∈ B)} .
Definition 2.8 Zwei Mengen A und B heißen disjunkt oder elementefremd,
wenn gilt:
A ∩ B = ∅.
Definition 2.9 (Vereinigung) Die Menge aller Elemente, die zu einer Menge
A oder zu einer Menge B gehören, heißt Vereinigung von A und B und wird mit
A ∪ B bezeichnet. Also:
A ∪ B = {g : (g ∈ A) ∨ (g ∈ B)} .
Satz 2.2 Für endliche Mengen A und B gilt: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Definition 2.10 (Differenz) Die Menge aller Elemente, die zu einer Menge A
aber nicht zu einer Menge B gehören, heißt Differenz von A und B und wird mit
A \ B bezeichnet. Also:
A \ B = {a : (a ∈ A) ∧ (a ∈
/ B)} .
Ist B eine Teilmenge von A (B ⊂ A), so heißt die Differenz A \ B auch Komplementärmenge oder Komplement von B bzgl. A.
2-2
Mengenoperationen
Grundbegriffe der Mengenlehre
Satz 2.3 (Verknüpfungsregeln für Mengen) Seinen A, B, C Mengen.
a) Kommutativität:
A ∩ B = B ∩ A,
A ∪ B = B ∪ A,
b) Assoziativität:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
c) Distributivität:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
d) De Morgansche Regeln: Für A, B ⊂ C gilt
(C \ A) ∩ (C \ B) = C \ (A ∪ B),
(C \ A) ∪ (C \ B) = C \ (A ∩ B).
Bemerkung 2.2
A ∩ A = A,
A ∩ ∅ = ∅,
A ∩ (A ∪ B) = A,
A \ B ∪ (A ∩ B) = A.
A ∪ A = A,
A ∪ ∅ = A,
A ∪ (A ∩ B) = A,
Definition 2.11 (Produktmenge) Für zwei Mengen A, B heißt die Menge
aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B die Produktmenge oder
kartesisches Produkt von A und B und wird mit A × B bezeichnet. Also:
A × B = {(a, b) : (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)} .
Bemerkung 2.3 Für endliche Mengen A, B gilt:
|A × B| = |A| · |B|.
2-3
Grundbegriffe der Mengenlehre
2.3
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 2.1 Sei N die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . , und
A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 7},
B = {y : y ist Primzahl},
C = {z : z = 2k, k ∈ N}.
Man bestimme A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∪ B, A \ B und (A \ C) ∩ B.
Aufgabe 2.2 Man beweise
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
Aufgabe 2.3 Es sei M = {a, b, c}. Man gebe alle Teilmengen von M an.
Aufgabe 2.4 Gegeben sei die Menge A = {0, 1}. Man ermittle P (A), P (P (A))
und P (A) \ A. Worin besteht der Unterschied zwischen 0, {0}, ∅ und {∅} ?
Aufgabe 2.5 Gegeben seien die Mengen M1 = {a, b, c} und M2 = {1, 2, 3}. Man
gebe die Produktmengen M1 × M2 und M2 × M1 an.
Aufgabe 2.6 13 Studenten einer Seminargruppe wohnen nicht im Wohnheim
und 8 Studenten dieser Seminargruppe sind Magdeburger. 17 Studenten der Seminargruppe sind Magdeburger oder wohnen nicht im Wohnheim. Wieviel Magdeburger Studenten der Seminargruppe wohnen im Wohnheim?
2-4
Lösungen
2.4
Grundbegriffe der Mengenlehre
Lösungen
2.1 A∩B = {2, 3, 5, 7}, B ∩C = {2}, A∩C = {2, 4, 6}, A∩B ∩C = {2},
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 17, . . .}, A \ B = {1, 4, 6},
(A \ C) ∩ B = {3, 5, 7}.
2.3 {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅.
2.4 P (A) = {∅, {0},
n {1}, {0, 1}},
P (P (A)) = ∅, {∅}, {{0}}, {{1}}, {{0, 1}}, {∅, {0}}, {∅, {1}}, {∅, {0, 1}},
{{0}, {1}}, {{0}, {0, 1}}, {{1}, {0, 1}}, {∅, {0}, {1}},
{∅, {0}, {0, 1}}, {∅, {1}, {0, 1}},
o
{{0}, {1}, {0, 1}}, {{∅, {0}, {1}, {0, 1}} ,
P (A) \ A = {∅, {0}, {1}}.
0
{0}
∅
{∅}
Element (Zahl) 0
Menge, die nur aus der Zahl (dem Element) 0 besteht
leere Menge
Menge, die nur aus einem Element (der leeren Menge) besteht
2.5 M1 × M2 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)},
M2 × M1 = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}.
2.6 4 Magdeburger Studenten wohnen im Wohnheim.
2-5
Grundbegriffe der Mengenlehre
Lösungen
2-6
Kapitel 3
Zahlenbereiche
3.1
Reelle Zahlen
Definition 3.1 (Natürliche Zahlen N) Die Gesamtheit der Zahlen
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
heißt die Menge der natürlichen Zahlen und wird mit N bezeichnet. Die Menge
der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0 wird mit N0 bezeichnet.
Bemerkung 3.1 Im Bereich der natürlichen Zahlen lassen sich Addition (Symbol +) und Multiplikation (Symbol ·) uneingeschränkt ausführen, d.h. für m, n ∈ N
ist auch die Summe m + n ∈ N, und auch das Produkt m · n = mn ∈ N.
Definition 3.2 (Ganze Zahlen Z) Die Gesamtheit der Zahlen
N ∪ {0} ∪ {−1, −2, −3, −4, −5, −6, . . .}
heißt die Menge der ganzen Zahlen und wird mit Z bezeichnet.
-3
-2
-1
0
1
2
3
Abbildung 3.1: Zahlengerade und ganze Zahlen
Bemerkung 3.2 Außer Addition und Multiplikation läßt sich im Bereich der
ganzen Zahlen auch die Subtraktion (Symbol −) uneingeschränkt ausführen, d.h.
für p, q ∈ Z ist auch die Differenz p − q ∈ Z.
Definition 3.3 (ggt) Seien m, n ∈ Z, und nicht beide Zahlen seien gleich 0. Die
größte Zahl t ∈ N, die sowohl m als auch n teilt, heißt größter gemeinsamer Teiler
von m und n und wird mit ggt(m, n) bezeichnet. Ist ggt(m, n) = 1, dann heißen
die Zahlen m und n teilerfremd.
3-1
Zahlenbereiche
Reelle Zahlen
Definition 3.4 (Rationale Zahlen Q) Die Gesamtheit der Zahlen
p
: p ∈ Z, q ∈ Z \ {0}
q
heißt die Menge der rationalen Zahlen und wird mit Q bezeichnet.
− 54
− 19
8
-3
-2
1
2
-1
0
22
7
1
2
3
Abbildung 3.2: Zahlengerade und rationale Zahlen
Bemerkung 3.3 Außer Addition, Multiplikation und Subtraktion läßt sich im
Bereich der rationalen Zahlen auch die Division (Symbol : oder
) uneingeschränkt ausführen, d.h. für v ∈ Q, w ∈ Q \ {0} ist auch der Quotient
v : w = wv ∈ Q. Division durch 0 ist nicht definiert!
Bemerkung 3.4
i) Jede rationale Zahl läßt sich darstellen als
ggt(p, q) = 1.
p
q
mit p und q teilerfremd, d.h.
ii) Die rationalen Zahlen lassen sich als endliche oder (unendliche) periodische
Dezimalbrüche darstellen.
Definition 3.5 (Reelle Zahlen R) Durch Hinzunahme aller irrationalen (nichtrationalen) Zahlen entsteht aus dem Bereich der rationalen Zahlen der Bereich
der reellen Zahlen. Er wird mit R bezeichnet.
Bemerkung 3.5
i)
√
2 und die Kreiszahl π sind Beispiele für irrationale Zahlen.
ii) Es ist N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Für reelle Zahlen a, b ∈ R sind alle vier Grundrechenarten Addition a + b, Multiplikation a · b, Subtraktion a − b und Division a : b (bzw. ab ), b ∈ R \ {0}, erklärt.
a
wird als Bruch bezeichnet, dabei heißt a Zähler und b Nenner. Im Bereich der
b
reellen Zahlen gelten die folgenden Rechengesetze:
3-2
Reelle Zahlen
Zahlenbereiche
Bemerkung 3.6 (Rechengesetze) Für a, b, c ∈ R gilt:
Kommutativgesetz der Addition
a + b = b + a,
Assoziativgesetz der Addition
(a + b) + c = a + (b + c),
Kommutativgesetz der Multiplikation
a · b = b · a,
Assoziativgesetz der Multiplikation
(a · b) · c = a · (b · c),
Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c.
Bemerkung 3.7 (Rechenregeln für Brüche) Seien a, b, c, d ∈ R. Dann gilt
a
+
b
a
·
b
c
a·d+c·b
=
,
d
b·d
c
a·c
=
,
d
b·d
a
−
b
a
:
b
c
a·d−c·b
=
,
d
b·d
a
a d
c
a·d
= cb = · =
.
d
b c
b·c
d
Bemerkung 3.8 (Vergleiche von reellen Zahlen) Seien a, b ∈ R.
Symbol Sprechweise
a 6= b
a<b
a>b
a≤b
a≥b
a
a
a
a
a
ist
ist
ist
ist
ist
ungleich oder verschieden von b,
kleiner als b,
größer als b,
kleiner als oder gleich b,
größer als oder gleich b.
Zusätzlich zu den vier Grundrechenarten sind in R noch die Operationen des
Potenzierens, Radizierens und Logarithmierens definiert.
Definition 3.6 (Potenzieren) Sei a ∈ R und n ∈ N. Mit an wird das n-fache
Produkt von a bezeichnet, d.h.
Für a ∈ R \ {0} definiert man
an = a
| · a{z· · · a} .
n-mal
1
.
an
Durch die Vereinbarung a0 = 1 für alle a ∈ R hat man das Potenzieren auf alle
ganzzahligen Exponenten erweitert. Für a ∈ R und p ∈ Z heißt ap die p-te Potenz
von a, a wird als Basis bezeichnet und p heißt Exponent. Es gelten die folgenden
Rechenregeln: Seien a, b ∈ R und p, q ∈ Z
a−n =
ap · aq = ap+q , (ap )q = ap·q ,
ap a p
ap
ap · bp = (a · b)p ,
=
= ap · a−q = ap−q .
,
bp
b
aq
a1 = a,
3-3
Zahlenbereiche
Reelle Zahlen
Definition 3.7 (Radizieren) Sei a ∈ R mit a ≥ 0 und n ∈ N. Die nichtnegative Zahl x ∈ R für die gilt
xn = a
heißt n-te Wurzel von a. Schreibweise:
√
1
x = n a = an .
√
Speziell für n = 2 schreibt man auch a und bezeichnet die 2-te Wurzel einfach
als Wurzel. Das Radizieren kann als Erweiterung des Potenzierens auf rationale
Exponenten angesehen werden (für nichtnegative Basen a). Es gelten die folgenden Rechenregeln: Seien a, b ∈ R, a, b ≥ 0, und n, m ∈ N
√
√ √
√
n+m
1
1
1
1
nm
1
a = a1 = a, m a · n a = a m · a n = a m + n = a nm =
an+m ,
q
p
1 m1
√
m
1
1
m √
n
a=
= a mn = nm a,
an = an
√
√
√
1
1
1
n
n
n
a · b = a n · b n = (a · b) n = ab,
1 n
√
√ n
1
n
m
an = (an ) m = a m = a m = m a ,
r
√
n
a
a
n
= √
.
n
b
b
Definition 3.8 Sei a ∈ R mit a ≥ 0, und sei n ∈ N und m ∈ Z. Die nichtnegative Zahl x ∈ R für die gilt
x n = am
√
m
wird mit a n = n am bezeichnet. Sprechweise: n-te Wurzel von am . Damit ist
für nichtnegative Basen das Potenzieren für alle rationalen Exponenten definiert,
und es läßt sich sogar leicht auch auf reelle Exponenten erweitern. Dabei gelten
immer die Regeln:
ar1 · ar2 = ar1 +r2
und
(ar1 )r2 = ar1 ·r2 ,
r1 , r2 ∈ R.
Definition 3.9 (Logarithmieren) Seien a, b ∈ R mit a, b > 0 und a 6= 1. Die
Zahl x ∈ R für die gilt
ax = b
heißt Logarithmus der Zahl b zur Basis a und wird mit loga b bezeichnet. Insbesondere ist also
aloga b = b.
Es gelten die folgenden Rechenregeln:
loga (1) = 0,
loga (b · c) = loga b + loga c,
loga (a) = 1,
loga b =
logc b
.
logc a
b
loga
= loga b − loga c,
c
Weiterhin gilt für a, b ∈ R, a, b > 0, a 6= 1, und c ∈ R: loga (bc ) = c loga b.
3-4
Komplexe Zahlen
Zahlenbereiche
Bemerkung 3.9 Ein besondere mathematische Zahl ist die sogenannte Eulersche Zahl e. Sie ist definiert durch
1
1
1
1
1
e = 1+1+ +
+
+
+
+· · ·
2 2·3 2·3·4 2·3·4·5 2·3·4·5·6
≈ 2, 7182818 . . . .
Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird abkürzend
mit ln bezeichnet. Der Logarithmus zur Basis 10 wird mit lg bezeichnet und heißt
dekadischer Logarithmus.
3.2
Komplexe Zahlen
Definition 3.10 (Imaginäre Einheit i) Das mathematische Symbol i mit der
Eigenschaft
√
i2 = −1, bzw. i = −1
heißt imaginäre Einheit. Durch Hinzunahme der imaginären Einheit entstehen
aus den reellen Zahlen die komplexen Zahlen C, die definiert sind als
C = {a + b · i : a, b ∈ R}.
Definition 3.11 Sei z = a + b i ∈ C eine komplexe Zahl.
i) Die reelle Zahl a heißt Realteil von z und wird mit Re(z) bezeichnet.
ii) Die reelle Zahl b heißt Imaginärteil von z und wird mit Im(z) bezeichnet.
iii) Die Zahl a − b i heißt die zu z konjungierte Zahl und wird mit z bezeichnet.
√
iv) Die Wurzel der Zahl a2 + b2 , also a2 + b2 , heißt der Absolutbetrag von z
und wird mit |z| bezeichnet.
Bemerkung 3.10 Eine reelle Zahl a ∈ R wird mit der komplexen Zahl a + 0 i
identifiziert; also a = a + 0 i“. Somit ist insbesondere R ⊂ C. Für a ∈ R ist
”
(
√
a,
falls a ≥ 0,
|a| = a2 =
−a, falls a < 0.
Definition 3.12 (Rechenregeln in C) Seien z1 = a + b i und z2 = c + d i
komplexe Zahlen. Es gilt
z1 + z2
z1 − z2
z1 · z2
z1
z2
= (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i,
= (a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i,
= (a + b i) · (c + d i) = (ac − bd) + (bc + ad) i,
ac + bd bc − ad
a + bi
= 2
=
+ 2
i, c2 + d2 > 0.
2
2
c + di
c +d
c +d
3-5
Zahlenbereiche
Komplexe Zahlen
Speziell für z = a + b i und z = a − b i ergeben sich
z + z = 2a = 2Re(z), z − z = 2b i = 2Im(z) i,
a2 − b 2
2ab
z
= 2
+
i.
z · z = a2 + b 2 ,
z
a + b 2 a2 + b 2
Im(z)
b
z = a + bi
|z|
φ
a
0
−b
Re(z)
z = a − bi
Abbildung 3.3: Gaußsche Zahlenebene
Bemerkung 3.11 Aus Figur 3.3 folgt für z = a + b i, daß
sin φ =
b
,
|z|
bzw.
cos φ =
a
.
|z|
Somit erhält man die trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl:
z = a + bi = |z|(cos φ + sin φ i).
Dabei heißt der Winkel φ das Argument der Zahl z und wird mit arg z bezeichnet;
also kann man auch schreiben
z = |z|(cos(arg z) + sin(arg z) i).
3-6
Komplexe Zahlen
Zahlenbereiche
Mit Hilfe der trigonometrischen Darstellung lassen sich einfach n-te Potenzen und
n-te Wurzeln einer komplexen Zahl bilden.
Satz 3.1 Sei z = |z|(cos φ + sin φ i) und n ∈ N. Dann gilt
z n = |z|n (cos nφ + sin nφ i) .
Weiterhin ist für k = 0, 1, . . . , n − 1 die komplexe Zahl
p φ + 2kπ
φ + 2kπ
n
n
|z| · cos
ωk (z) =
+ sin
i
n
n
eine n-te Wurzel von |z|, d.h. (ωkn (z))n = z.
3-7
Zahlenbereiche
3.3
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 3.1 Ermitteln Sie x aus folgenden Gleichungen:
2
2
a) 4x − 10 · 2x−1 − 24 = 0, b) 9x −1 − 36 · 3x −3 + 3 = 0.
Aufgabe 3.2 Lösen Sie
a) (lg x)2 − 49 lg x − 7 = 0,
√
√
b) 41 ln x5 + 3 ln x − 3 ln 4 x = 2(ln 2 + ln 3),
8
16
c) lg( x+4
− 1) = lg( 4−x
) − lg(x + 4),
d) x2−(lg x)
2 −lg x2
−
1
x
= 0,
e) log3 x + log√x x − log 1 x = 6.
3
Aufgabe
der
gleich sind:
folgenden Ausdrücke
n 3.3Untersuchen Sie,welche
n
n
P
Q
Q bi
bi log ai
ai b i
c)
b) log
ai
a) log
i=1
d) n log a + n log b
e)
n
P
i=1
log ai +
n
P
i=1
log bi
f) log(an bn )
i=1
i=1
Aufgabe 3.4 Vereinfachen Sie weitestgehend:
x
z=
loga ( ay ) logb (yax )
logb a
;
a > 1;
b > 1;
y>0
Aufgabe 3.5 Berechnen Sie Summe, Differenz, Produkt und Quotienten der beiden komplexen Zahlen z1 , z2 :
a) z1 = 1 + 4 i,
z2 = −2 + i
b) z1 = 2 + i,
z2 = 2 − i.
Stellen Sie die Ergebnisse, sowie z1 und z2 und die konjugiert komplexen Zahlen
zu z1 und z2 in der Gaußschen Zahlenebene dar.
Aufgabe 3.6 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen
Zahlen:
i 2
1
,
b) z = ( 1+
)
a) z = i+1
1− i
√
c) z = r(cos φ + sin φ i) mit r = 2 3 und φ = − 2π
.
3
Aufgabe 3.7 Berechnen Sie den Absolutbetrag und das Argument der komplexen
Zahl
2− i
z=
3 i + ( i − 1)2
und geben Sie die trigonometrische Form an.
3-8
Übungsaufgaben
Zahlenbereiche
Aufgabe 3.8 Für welche Punkte der Gaußschen Zahlenebene gilt:
a) |z| > 2,
b) |z − i| < 4,
c) zz = 4,
d) |z − 1| ≤ |z + 1|.
Aufgabe 3.9 Berechnen Sie unter Verwendung der trigonometrischen Form der
komplexen Zahlen den Quotienten
z=
2 + 2i
1 − 3i
und prüfen Sie das Ergebnis durch Division nach!
Aufgabe 3.10 Berechnen sie mittels der trigonometrischen Form der komplexen
Zahlen die Potenz z = (1 − i)4 .
Aufgabe 3.11 Jede komplexe Zahl z mit z n = 1 heißt eine n-te Einheitswurzel.
Bestimmen Sie die drei dritten Einheitswurzeln.
Aufgabe 3.12 Gegeben √
ist die komplexe Zahl z = −8 i. Geben Sie sämtliche
6
verschiedene Werte von z in trigonometrischer Form an und stellen Sie diese
in der Gaußschen Zahlenebene dar.
Aufgabe 3.13 Lösen Sie die Gleichung
z4 + 3 =
7
√ .
2− 3 i
Aufgabe 3.14 Wie sind die reellen Werte a1 und a2 zu wählen, damit z =
4 (cos 40◦ + sin 40◦ i) eine Lösung der Gleichung
√
a1 ( 3 + a2 i)
3
z −
=0
5 i + 2 (1 − i)2
ist?
Aufgabe 3.15 Ermitteln Sie vier Lösungen der Gleichung
3-9
x4 +13 x2 +36 = 0.
Zahlenbereiche
3.4
Lösungen
Lösungen
3.1 a) x = 3,
b) x1 =
√
2,
√
x2 = − 2,
7
b) x = 6
3.2 a) x1 = 10− 4 , x2 = 104
d) x1 = 1, x2 = 10, x3 = 0.001
3.3 a) und c),
b) und e),
x3 = 1,
x4 = −1.
c) x = 0
e) x = 9.
d) und f).
3.4 z = x2 − (loga y)2 .
3.5 a) z1 + z2 = −1 + 5 i, z1 − z2 = 3 + 3 i, z1 z2 = −6 − 7 i,
b) z1 + z2 = 4, z1 − z2 = 2 i, z1 z2 = 5, zz12 = 35 + 54 i.
3.6
z1
z2
=
2
5
− 95 i
Im(z) = −1/2,
a) Re(z) = 1/2,
b) Re(z) = −1,
Im(z) = 0,
√
c) Re(z) = − 3, Im(z) = −3.
√
√
3.7 |z| = 5, arg z = 243, 4◦ , z = 5 (cos 243◦ + sin 243◦ i).
3.8
a) Alle Punkte außerhalb des Kreises um den Ursprung mir r = 2.
b) Alle inneren Punkte des Kreises mit dem Mittelpunkt (0, 1) und r = 4.
c) Alle Randpunkte des Kreises um den Ursprung mit r = 2.
d) Alle Punkte des 1-ten und 4-ten Quadranten einschließlich der imaginären Achse.
3.9 z = − 25 + 45 i.
3.10 z = −4.
√
√
z2 = − 21 + 23 i, z3 = − 12 − 23 i.
√
3.12 ωk6 (z) = 6 8 [cos (45◦ + k · 60◦ ) + sin (45◦ + k · 60◦ ) i ] ,
√
√
√
√
3.13 z1 = 4 2 ( 21 3 + 21 i), z2 = 4 2 (− 21 3 − 12 i),
√
√
√
√
z3 = 4 2 ( 21 − 12 3 i), z4 = 4 2 (− 21 + 21 3 i).
3.11 z1 = 1,
3.14 a1 = −32,
3.15 x1 = 2 i,
a2 = 1.
x2 = −2 i,
x3 = 3 i,
x4 = −3 i.
3-10
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Kapitel 4
Kombinatorik
Definition 4.1 (Fakultät) Für n ∈ N0 heißt die Zahl
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n
die Fakultät von n (oder n Fakultät). Unter 0! versteht man die Zahl 1.
Definition 4.2 (Binomialkoeffizienten) Seien k, n ∈ N0 und k ≤ n. Dann
heißt
n!
n
.
=
k! (n − k)!
k
Binomialkoeffizient. Sprechweise:
n über k“.
”
n
Für k > n setzt man k = 0.
Satz 4.1 Seien k, n ∈ N0 . Dann gilt
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
n
=
i)
,
k
1 · 2 · ... · k
n
n
,
k ∈ {0, . . . , n},
=
ii)
n−k
k
n
n
n+1
iii)
+
=
,
k ∈ {0, . . . , n − 1}.
k
k+1
k+1
Satz 4.2 (Binomischer Lehrsatz) Für a, b ∈ R und n ∈ N0 gilt
n X
n n−k k
a
b
(a + b) =
k
k=0
n 0 n
n
n n−1 1
n n 0
1 n−1
a b .
a b
+
a
b + ... +
a b +
=
n
n−1
1
0
n
4-1
Kombinatorik
Bemerkung 4.1
i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
ii) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
n n
X
n n−k k X n
n
n
.
1 1 =
iii) 2 = (1 + 1) =
k
k
k=0
k=0
Bemerkung 4.2 Die auftretenden Biomialkoeffizienten in (a + b)n kann man im
sogenannten Pascalschen Dreieck anordnen:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
..
.
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
ց
6
10
...
1
ւ
3
1
4
10
...
1
5
1
...
Definition 4.3 (Permutationen) Gegeben sei eine n-elementige Menge {a1 ,
. . . , an }. Eine beliebige Anordnung (geordnete Auflistung) (ai1 , . . . , ain ) der Elemente a1 , . . . , an heißt Permutation von a1 , . . . , an . Schreibweise für Permutationen: (ai1 , . . . , ain ).
Bemerkung 4.3
i) Alle Permutationen der Elemente der Mengen {1, 2} und {1, 2, 3}
{1, 2} :
{1, 2, 3} :
(1, 2), (2, 1),
(1, 2, 3), (1, 3, 2),
(3, 1, 2),
(2, 1, 3),
(2, 3, 1),
(3, 2, 1).
ii) Zwei Permutionen sind genau dann gleich, wenn an der selben Position das
gleiche Element steht.
Satz 4.3 Die Anzahl der Permutationen von n Elementen beträgt n!
Definition 4.4 (Kombination ohne Wiederholung) Gegeben sei eine n-elementige Menge {a1 , . . . , an }. Eine Auswahl von k verschiedenen Elementen aus
dieser Menge heißt:
i) k-Kombination ohne Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge, falls die Reihenfolge der Auswahl berücksichtigt wird.
4-2
Kombinatorik
ii) k-Kombination ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, falls die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden keine
Rolle spielt.
Satz 4.4 (Kombinationen ohne Wiederholung)
i) Die Anzahl der k-Kombinationen ohne Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge beträgt
n
· k!
n · (n − 1) · . . . · (n − (k − 1)) =
k
ii) Die Anzahl der k-Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge beträgt
n
.
k
Definition 4.5 (Kombination mit Wiederholung) Gegeben sei eine n-elementige Menge {a1 , . . . , an }. Eine Auswahl von k Elementen aus dieser Menge,
wobei Elemente wiederholt auftreten dürfen, heißt:
i) k-Kombination mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge, falls die Reihenfolge der Auswahl berücksichtigt wird.
ii) k-Kombination mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, falls die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden keine
Rolle spielt.
Satz 4.5 (Kombinationen mit Wiederholung)
i) Die Anzahl der k-Kombinationen mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge beträgt
nk .
ii) Die Anzahl der k-Kombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge beträgt
n+k−1
.
k
4-3
Kombinatorik
4.1
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 4.1 Berechne
20
,
a)
17
5
,
b)
3
c)
1000
X
k=0
1000
· (−2)k .
k
Aufgabe 4.2 Wieviele Kennzeichen der Form MD-?? ???? kann der Zulassungsbezirk Magdeburg vergeben? (Außer den Umlauten dürfen alle Buchstaben vorkommen, jedoch darf die Ziffernfolge des Kennzeichens nicht mit 0 beginnen!)
Aufgabe 4.3 In wievielen Permutationen der Ziffern {1, . . . , 9} stehen die Ziffern 1, 2, 3 nebeneinander, und zwar
a) in der Anordnung 3, 2, 1,
b) in beliebiger Anordnung?
Aufgabe 4.4 Eine Firma möchte an 6 Tagen jeweils (genau) eine Fernsehwerbung ausstrahlen lassen. Es stehen 4 Werbespots zur Verfügung. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge, in der die Spots ausgestrahlt werden, keine Rolle spielt?
Aufgabe 4.5 Wieviele Teilmengen bestehend aus höchstens 5 Elementen hat eine 10-elementige Menge?
Aufgabe 4.6 Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 7 aus 39 ?
Aufgabe 4.7 Eine Bank möchte 8-stellige PIN-Nummern vergeben, so daß in
einer PIN keine Zahl zweimal auftritt. Wieviele unterschiedliche PIN-Nummern
gibt es?
4-4
Lösungen
4.2
Kombinatorik
Lösungen
4.1 a) 1140, b) 10,
c) 1.
4.2 6.084.000.
4.3 a) 5040, b) 30.240.
4.4 84.
4.5 638.
4.6 15.380.937.
4.7 1.814.400.
4-5
Kombinatorik
Lösungen
4-6
Kapitel 5
Relationen und Abbildungen
5.1
Relationen
Definition 5.1 (Relationen) Seien A, B =
6 ∅ Mengen. Eine Teilmenge R ⊂
A × B heißt (zweistellige) Relation von der Menge A in die Menge B. Für
• (a, b) ∈ R sagt man, a ∈ A steht in Relation zu b ∈ B,
• (a, b) ∈
/ R sagt man, a ∈ A steht nicht in Relation zu b ∈ B.
Ist A = B, so heißt R ⊂ A × A auch (zweistellige) Relation auf A.
Sind A, B endliche Mengen, so kann man Relationen durch sogenannte Pfeildiagramme oder Koordinatendiagramme darstellen.
Beispiel(e) 5.1 Sei A = {1, 2} und B = {1, 2, 3}. Dann ist
A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}.
Sei R ⊂ A × B die Relation
R = {(a, b) ∈ A × B : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
A
1
B
B
1
3
2
2
1
2
3
1
2
A
Abbildung 5.1: Pfeildiagramm und Koordinatendiagramm der Relation R
5-1
Relationen und Abbildungen
Relationen
Definition 5.2 (Inverse Relation) Sei R ⊂ A × B eine (zweistellige) Relation. Dann heißt
R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R}
inverse Relation (Umkehrrelation) von R.
B
A
A
1
1
2
2
2
1
B
1
3
2
3
Abbildung 5.2: Pfeildiagramm und Koordinatendiagramm der inversen Relation
R−1 aus Abbildung 5.1
−1
Bemerkung 5.1 Ist R eine Relation, so gilt stets (R−1 )
= R.
Definition 5.3 Eine Relation R ⊂ A × A heißt
i) reflexiv, falls für alle a ∈ A gilt: (a, a) ∈ R.
ii) symmetrisch, falls für alle (a, b) ∈ R gilt: (b, a) ∈ R.
iii) transitiv, falls für alle (a, b), (b, c) ∈ R gilt: (a, c) ∈ R.
Definition 5.4 (Äquivalenzrelation) Eine Relation R ⊂ A × A heißt Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Definition 5.5 (Äquivalenzklassen) Sei R ⊂ A × A eine Äquivalenzrelation.
Für a ∈ A heißt
Ra = {b ∈ A : (a, b) ∈ R}
Äquivalenzklasse von a bzgl. R.
Satz 5.1 Sei A 6= ∅ eine Menge und R ⊂ A × A eine Äquivalenzrelation. Dann
gilt:
i) a ∈ Ra für alle a ∈ A, d.h. a ∈ A ⇒ a ∈ Ra .
ii) Ra = Rb genau dann, falls (a, b) ∈ R, d.h. Ra = Rb ⇔ (a, b) ∈ R.
iii) Ist (a, b) 6∈ R, dann gilt Ra ∩ Rb = ∅.
Insbesondere läßt sich die Menge A in disjunkte Äquivalenzklassen aufteilen.
5-2
Abbildungen
5.2
Relationen und Abbildungen
Abbildungen
Definition 5.6 (Abbildungen) Seien A, B Mengen. Eine Vorschrift f , die jedem a ∈ A genau ein b ∈ B zuordnet, heißt Abbildung oder Funktion von A nach
B. Man schreibt
f : A → B oder auch A ∋ a 7→ f (a) = b ∈ B.
A heißt Definitionsbereich und die Menge B Wertebereich. Ferner nennt man
die Elemente a ∈ A Urbilder (oder Originale) und die Elemente f (a) ∈ B die
Funktionswerte (oder Bilder) von f .
Bemerkung 5.2 Einer Abbildung f : A → B läßt sich die Relation
R = {(a, b) ∈ A × B : b = f (a)} = {(a, f (a)) : a ∈ A} ⊂ A × B
zuordnen. Nach der Definition von Abbildungen gilt
⋆ für alle a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R.
Somit sind Abbildungen spezielle Relationen.
Andererseits führt jede Relation R ⊂ A × B, die der Bedingung ⋆ genügt, zu
einer Abbildung f : A → B, indem man für a ∈ A definiert f (a) = b, wobei b das
eindeutige Element aus B ist mit (a, b) ∈ R.
Definition 5.7 (Bild und Urbildbereich) Sei f : A → B eine Abbildung und
e ⊂ A und B
e ⊂ B.
seien A
n
o
e = f (a) : a ∈ A
e ⊂ B heißt Bildbereich von A
e bzgl. f .
i) f A
−1 n
o
e
e ⊂ A heißt Urbildbereich von B
e bzgl. f .
ii) f B
= a ∈ A : f (a) ∈ B
Definition 5.8 (Surjektiv) Eine Abbildung f von A nach B heißt surjektive
Abbildung, falls f (A) = B, d.h. für alle b ∈ B gibt es mindestens ein a ∈ A mit
b = f (a).
Definition 5.9 (Injektiv) Eine Abbildung f von A nach B heißt injektive Abbildung, falls für alle a1 , a2 ∈ A mit a1 6= a2 gilt: f (a1 ) 6= f (a2 ), d.h. verschiedene
Elemente von A werden auf verschiedene Elemente von B abgebildet, bzw. für
alle b ∈ B gibt es höchstens ein a ∈ A mit b = f (a).
Bemerkung 5.3 Eine Abbildung f : A → B ist genau dann injektiv, falls für
alle a1 , a2 ∈ A gilt
f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 .
5-3
Relationen und Abbildungen
Abbildungen
Definition 5.10 (Bijektiv) Eine Abbildung f heißt bijektiv, falls sie surjektiv
und injektiv ist, d.h. für alle b ∈ B gibt es genau ein a ∈ A mit b = f (a).
Definition 5.11 (Identität) Eine Abbildung f : A → A mit f (a) = a für alle
a ∈ A heißt Identität auf A (oder identische Abbildung).
Bemerkung 5.4 Die identische Abbildung ist bijektiv.
Definition 5.12 (Komposition von Abbildungen) Seien A, B, C, D Mengen
und f : A → B, g : C → D Abbildungen mit f (A) ⊂ C. Dann heißt die Abbildung
von A nach D gegeben durch
A ∋ a 7→ g (f (a)) ∈ D
die Komposition oder zusammengesetzte Abbildung von f und g. Sie wird mit
g ◦ f bezeichnet. Also g ◦ f : A → D mit (g ◦ f )(a) = g (f (a)).
Definition 5.13 (Umkehrabbildung) Sei f : A → B eine bijektive Abbildung.
Die Abbildung von B nach A, die jedem b ∈ B sein eindeutig bestimmtes Urbild
a ∈ A zuordnet, heißt Umkehrabbildung von f und wird mit f −1 bezeichnet. Also
f −1 : B → A ist gegeben durch B ∋ b 7→ f −1 (b) = a ∈ A, wobei f (a) = b.
Bemerkung 5.5 Sei f : A → B eine bijektive Abbildung. Dann gilt:
i) f −1 : B → A ist bijektiv.
−1
ii) (f −1 )
= f.
iii) f ◦ f −1 : B → B ist die Identität auf B, und f −1 ◦ f : A → A ist die
Identität auf A.
5-4
Übungsaufgaben
5.3
Relationen und Abbildungen
Übungsaufgaben
Aufgabe 5.1 Sei C = {1, 2, 3, 4, 5}, und sei R die Relation von C nach C, die
gegeben ist durch die Punkte des folgenden Koordinatendiagramms von C × C:
5
4
3
2
1
q
q
q
q
q
q
r
r
r
r
r
q
q
r
q
q
r
q
1 2 3 4 5
a) Welche der folgenden Aussagen gelten:
(1) (1, 4) ∈ R, (2) (2, 5) ∈ R, (3) (3, 1) ∈
/ R,
b) Bestimmen Sie folgende Teilmengen von C:
(1) {x ∈ C : (3, x) ∈ R}, (2) {x ∈ C : (4, x) ∈ R},
R} (4) {x ∈ C : (x, 5) ∈ R}.
(4) (5, 3) ∈
/R?
(3) {x ∈ C : (x, 2) ∈
/
c) Ist R eine Äquivalenzrelation?
Aufgabe 5.2 Sei A = {2, 3, 4, 5} und R ⊂ A × A die Relation, die gegeben ist
durch (a, b) ∈ R genau dann, falls a und b teilerfremd sind“, d.h. ggt(a, b) = 1.
”
a) Schreiben Sie R als Menge geordneter Paare.
b) Zeichnen Sie R in ein Koordinatendiagramm von A × A.
c) Bestimmen Sie R−1 .
Aufgabe 5.3 Sei A = {1, 2, 3, . . . , 20}. Ein Zahlenpaar (a1 , a2 ) mit a1 , a2 ∈ A
gehört genau dann zur Relation R, falls a1 und a2 bei Division durch 4 den
gleichen Rest ergeben.
a) Man zeige, daß die Relation R eine Äquivalenzrelation ist.
b) Man gebe eine Aufteilung von A in disjunkte Äquivalenzklassen an.
Aufgabe 5.4 Geben Sie zu den folgenden Zuordnungen an, ob es sich dabei um
Abbildungen handelt und welche Eigenschaften (surjektiv, injektiv oder bijektiv)
diese Abbildungen besitzen.
5-5
Relationen und Abbildungen
Übungsaufgaben
1.
2.
3.
4.
a Q 1 1
Q
1 2
b
Q
Q
s
Q
c
3
a PP
Pq
P c
3 PP P
PP
q f
P
5
- 1
a
b PPP 2
P
q 4
P
c
6
1 a
1
@
3 @
b
@- c
5
R d
@
7 PP @
PP
q g
P
Aufgabe 5.5 Für die Mengen A = B = {1, 2, 3} und C = {2, 3} seien Abbildungen f : A → B und g : C → A wie folgt definiert:
f (1) = 3; f (2) = 2; f (3) = 1; g(2) = 1; g(3) = 2.
a) Stellen Sie die Abbildungen f, g, f ◦ g und g ◦ f wenn möglich in Pfeildiagrammen dar.
b) Geben Sie an, ob diese Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.
Aufgabe 5.6 Es seien W = {1, 2, 3, 4, 5} und f : W → W, g : W → W und
h : W → W definiert durch die folgenden Diagramme:
f:
1
2
3
4
5
PP
7
PP
q
PPP
1
P
P
q
P
P
P
PP
q
P
1
2
3
4
5
g:
h:
1Q
3 1
Q
2 Q 2
Q
s 3
Q
3
4
1 4
5
5
1
2
3
4
5
PP
7
PP
q
P
Q
QQQ
s
PP Q
PP
q
P
1
2
3
4
5
Untersuchen Sie, welche der Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.
Welche der Abbildungen besitzt eine inverse Abbildung? Geben Sie diese gegebenenfalls an.
Aufgabe 5.7 Sei X = {1, 2, 3, 4, 5}. Betrachtet werden die Abbildungen f, g :
X → X mit {(x, f (x)) : x ∈ X} = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 1)(5, 2)} und {(x, g(x)) :
x ∈ X} = {(1, 4), (2, 1), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}.
a) Bestimmen Sie die Bildbereiche von X bzgl. f und g.
b) Bestimmen Sie f ◦ g und g ◦ f .
Aufgabe 5.8 Gegeben ist die Relation R = {(x1 , x2 ) ∈ R × R : |x2 | = x1 + 2}
von R in R. Gibt es Abbildungen f : R → R, g : R → R, so daß
i) {(x, f (x)) : x ∈ R} = R, und
5-6
Übungsaufgaben
Relationen und Abbildungen
ii) {(x, g(x)) : x ∈ R} = R−1 ?
Falls ja, bestimme man die Bildbereiche von R bzgl. f oder g.
Aufgabe 5.9 Sei D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} und f : D → R die Abbildung
gegeben durch f (x) = x3 . Welche Eigenschaften hat die Abbildung (injektiv, surjektiv, bijektiv)?
5-7
Relationen und Abbildungen
5.4
5.1
5.2
Lösungen
Lösungen
a) (1) w, (2) f, (3) f, (4) w
b) (1) {1, 4, 5}, (2) ∅, (3) {2, 3, 4, 5},
c) Nein!
(4) {3}
a) R = {(2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}
b) Koordinatendiagramm
5
4
3
2
−1
c) R
q
q
q
q
q
r
r
r
r
r
r
r
q
q
q
r
r
r
q
2 3 4 5
=R
5.3 b) R0 = {4, 8, 12, 16, 20}, R1 = {1, 5, 9, 13, 17}
R2 = {2, 6, 10, 14, 18}, R3 = {3, 7, 11, 15, 19}
5.4 1. Abbildung, bijektiv 2. Abbildung, surjektiv
3. Abbildung
4. Abbildung, injektiv
5.5
a) Pfeildiagramme:
f:
g:
1Q
3 1
Q
- 2
2 Q
Q
s 3
Q
3
2
3
b) f : bijektiv,
f ◦ g:
- 1
- 2
2
3
- 1
Q
- 2 Q
3
g: injektiv,
3
f ◦ g: injektiv,
1
- 2
Q
Q
s 3
Q
g ◦ f : existiert nicht
5.6 f und g sind weder surjektiv noch injektiv.
h ist bijektiv und besitzt eine Inverse h−1 = {(2, 1), (4, 2), (3, 3), (5, 4), (1, 5)}
5.7
a) f (X) = {1, 2, 3, 5},
g(X) = {1, 2, 3, 4}
b) g ◦ f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 4), (5, 1)}
f ◦ g = {(1, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 5), (5, 3)}
5.8 Für R gibt es keine Abbildung, und für R−1 ist die Abbildung g beschrieben
durch g : R → R mit g(x) = |x| − 2. Somit ist g(R) = {y ∈ R : y ≥ −2}.
5.9 injektiv.
5-8
Kapitel 6
Folgen und Reihen
6.1
Folgen
Definition 6.1 (Unendliche Folgen) Eine Abbildung
a : N0 → R
heißt (unendliche) Folge. Die Funktionswerte a(0), a(1), a(2), . . . werden abkürzend
mit a0 , a1 , a2 , . . . bezeichnet und heißen Glieder der Folge. Für die Folge schreibt
man auch (an )n∈N0 oder auch nur (an ).
Beispiel(e) 6.1
an = 2 · n; (an )n∈N0 = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ),
1
1 1 1 1
bn =
; (bn )n∈N0 = 1, , , , , . . . ,
n+1
2 3 4 5
c0 = 1 und cn = n · cn−1 für n ≥ 1; (cn )n∈N0 = (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, . . . ),
f0 = f1 = 1 und fn = fn−1 + fn−2 für n ≥ 2; (fn )n∈N0 = (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ),
(fn )n∈N0 heißt Fibonacci-Folge.
Bemerkung 6.1 Die Folgen (an )n∈N0 und (bn )n∈N0 werden durch explizite Angabe des n-ten Folgenglieds beschrieben. Hingegen werden die Folgen (cn )n∈N0 und
(fn )n∈N0 rekursiv definiert, d.h. das n-te Glied wird mit Hilfe von vorangegangenen Gliedern beschrieben.
Bemerkung 6.2 Eine Folge kann auch nur“ eine Abbildung von einer unend”
lichen Teilmenge N der Zahlen N0 nach R sein. Schreibweise: (an )n∈N .
6-1
Folgen und Reihen
Folgen
Beispiel(e) 6.2
1
1 1 1 1
bn = ; (bn )n∈N = 1, , , , , . . . ,
n
2 3 4 5
1
dn =
für n ∈ N = {n ∈ N : n ≥ 5};
n(n − 4)
1 1 1
, , ,... .
(dn )n∈N = (d5 , d6 , d7 , . . . ) =
5 12 21
Definition 6.2 (Arithmetische und Geometrische Folgen)
i) Eine Folge (an )n∈N0 heißt arithmetisch, wenn die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d.h.
für alle n ∈ N0 .
an+1 = an + d
ii) Eine Folge (an )n∈N0 heißt geometrisch, wenn der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d.h.
an+1
=q
an
für alle n ∈ N0 .
Bemerkung 6.3
i) Ist (an )n∈N0 eine arithmetische Folge, so ist an = a0 + n · d.
ii) Ist (an )n∈N0 eine geometrische Folge, so ist an = a0 · q n .
Definition 6.3 (Monotonie)
i) Eine Folge (an )n∈N0 heißt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls
an+1 ≥ an
bzw.
an+1 > an
für alle n ∈ N0 .
ii) Eine Folge (an )n∈N0 heißt monoton fallend bzw. streng monoton fallend,
falls
an+1 ≤ an bzw. an+1 < an für alle n ∈ N0 .
Definition 6.4 (Beschränktheit) Eine Folge (an )n∈N0 heißt beschränkt, falls
es eine Konstante c ∈ R gibt, so daß
|an | ≤ c,
für alle n ∈ N0 ,
d.h. alle Glieder liegen in dem Intervall [−c, c].
6-2
Folgen
Folgen und Reihen
Definition 6.5 (Grenzwert (Limes) Folgen) Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes einer Folge (an )n∈N0 , wenn es zu jedem vorgegebenen ǫ > 0 einen
von ǫ abhängigen Index n(ε) ∈ N0 gibt, so daß
|an − a| ≤ ǫ für alle n ≥ n(ǫ).
Eine Folge (an )n∈N0 heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert a ∈ R besitzt,
und man schreibt
lim an = a
n→∞
an → a für n → ∞.
oder
(Sprechweise: Limes n gegen unendlich von an ist gleich a oder an konvergiert
gegen a für n gegen unendlich.)
Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent.
Bemerkung 6.4 Eine Folge (an )n∈N0 konvergiert gegen ein a ∈ R genau dann,
falls für alle ǫ > 0 nur endlich viele Folgenglieder nicht in dem Intervall [a−ǫ, a+ǫ]
liegen.
a
a−ǫ
a+ǫ
Abbildung 6.1: Grenzwert
Bemerkung 6.5 Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Satz 6.1 Jede beschränkte und monotone Folge (an )n∈N0 ist konvergent, d.h. es
gibt ein a ∈ R, so daß lim an = a.
n→∞
Satz 6.2 Seien (an )n∈N0 , (bn )n∈N0 konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und
limn→∞ bn = b.
i) (an ± bn )n∈N0 ist konvergent mit limn→∞ (an ± bn ) = a ± b.
ii) (an · bn )n∈N0 ist konvergent mit limn→∞ (an · bn ) = a · b.
iii) Sei b 6= 0. Dann gibt es ein n0 ∈ N0 mit bn 6= 0 für alle n ≥ n0 , und die
Folge ( abnn )n≥n0 ist konvergent mit limn→∞ abnn = ab .
iv) Sei λ ∈ R. Dann ist auch die Folge (λan )n∈N0 konvergent mit limn→∞ (λan ) =
λa.
6-3
Folgen und Reihen
6.2
Reihen
Reihen
Definition 6.6 (Unendliche Reihen) Sei (an )n∈N0 eine unendliche Folge. Durch
Aufaddieren der einzelnen Folgenglieder erhält man eine neue Folge (sn )n∈N0 , wobei das n-te Folgenglied gegeben ist durch
n
X
s n = a0 + a1 + a2 + · · · + a n =
Die Folge (sn )n∈N0 bzw.
n
P
k=0
ak
ak .
k=0
heißt (unendliche) Reihe, und das n-te
n∈N0
Glied sn wird als n-te Partialsumme der Folge (an )n∈N0 bezeichnet.
Definition 6.7 (Arithmetische und Geometrische Reihen)
n
P
i) Ist (an )n∈N0 eine arithmetische Folge, so heißt
ak
arithmetische
k=0
Reihe.
ii) Ist (an )n∈N0 eine geometrische Folge, so heißt
n
P
n∈N0
ak
k=0
Reihe.
geometrische
n∈N0
Satz 6.3
i) Sei (an )n∈N0 eine arithmetische Folge mit an+1 = an + d. Dann gilt
n
X
n·d
ak = (n + 1) a0 +
.
2
k=0
ii) Sei (an )n∈N0 eine geometrische Folge mit

n
a0 (n + 1),
X
ak =
 1−qn+1
a0 1−q ,
k=0
an+1
an
= q. Dann gilt
falls q = 1,
falls q 6= 1.
P
Bemerkung 6.6 Eine Reihe ( nk=0 ak )n∈N0 heißt (streng) monoton steigend oder
fallend bzw. beschränkt, falls die Folge der Partialsummen (sn )n∈N0 mit sn =
P
n
k=0 ak (streng) monoton steigend oder fallend bzw. beschränkt ist (vgl. Definitionen 6.3 und 6.4).
P
Definition 6.8 (Grenzwert(Limes)) Eine Reihe ( nk=0 ak )n∈N0 heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen (sn )n∈N0 einen Grenzwert s besitzt. Der
Grenzwert
n
X
ak
s = lim sn = lim
n→∞
n→∞
6-4
k=0
Reihen
wird mit
Folgen und Reihen
∞
P
ak bezeichnet.
k=0
Besitzt (sn )n∈N0 keinen Grenzwert, so heißt die Reihe (
Satz 6.4 Ist die Reihe (
Pn
k=0
Pn
k=0
ak )n∈N0 divergent.
ak )n∈N0 konvergent, dann gilt lim an = 0.
n→∞
Bemerkung 6.7 Eine arithmetische Reihe konvergiert nur für a0 = d = 0.
Satz 6.5 (Grenzwert geometrischer Reihen) Sei (an )n∈N0 eine geometrische
an+1
Folge mit
Pn an = q ∈ R und a0 6= 0. Ist |q| < 1 dann konvergiert die geometrische
Reihe ( k=0 ak )n∈N0 , und es gilt
∞
X
k=0
ak = lim
n→∞
n
X
ak = lim a0
n→∞
k=0
1 − q n+1
1
= a0
1−q
1−q
für |q| < 1.
Für |q| ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent.
Satz 6.6 (Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen)
Sei (an )n∈N0 eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit limn→∞ an =
0. Dann konvergiert die Reihe
!
n
X
.
(−1)k ak
k=0
n∈N0
P
Satz 6.7 (Quotientenkriterium) Sei ( nk=0 ak )n∈N0 eine Reihe, und es gebe
ein n0 ∈ N mit an 6= 0 für alle n ≥ n0 .
i) Gibt es ein θ ∈ R mit 0 < θ < 1 und
an+1 an ≤ θ für alle n ≥ n0 ,
dann konvergiert die Reihe (
Pn
k=0
ak )n∈N0 .
ii) Gibt es ein θ ∈ R mit 1 < θ und
an+1 an ≥ θ
dann ist die Reihe (
Pn
k=0
für alle n ≥ n0 ,
ak )n∈N0 divergent.
6-5
Folgen und Reihen
6.3
Grundbegriffe der Finanzmathematik
Grundbegriffe der Finanzmathematik1
Definition 6.9 Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt:
K0
p
i=
n
Zn
Kn
6.3.1
Anfangskapital
Zinsfuß
p
=
b p% Zinssatz pro Zeiteinheit
100
Anzahl der Zeiteinheiten (i.a. Jahre)
Zinsen nach n Zeiteinheiten
Kapital nach n Zeiteinheiten
Zinsrechnung
Definition 6.10 (Lineare (Einfache) Verzinsung) Bei der (im kaufmännischen Verkehr üblichen) linearen Verzinsung hat man es meist mit Kapitalüberlassungszeiträumen zu tun, innerhalb derer grundsätzlich kein Zinszuschlagtermin
(oder Zinsverrechnungstermin) liegt.
Beispiel(e) 6.3 Zum Zinssatz i = 0, 06 = 6% p.a. ( pro anno“) wird Kapital in
”
Höhe von 100.000¤ für einen Zeitraum von 6 Jahren ausgeliehen. Damit ergibt
sich
K0 = 100.000¤ ,
K1 = K0 · (1 + i),
Z1 = K0 · i,
K2 = K0 · (1 + 2 · i), Z2 = K0 · 2 · i,
···
···
Nach 6 Jahren belaufen sich die Zinsen auf
Z6 = K0 · 6 · i = 36.000¤ ,
und das (End)-Kapital beträgt
K6 = K0 · (1 + 6 · i) = 136.000¤ .
Bemerkung 6.8 (Lineare Verzinsung) Bei der linearen Verzinsung ergeben
sich die folgenden Formeln:
Kn = K0 · (1 + n · i)
und
Zn = K0 · n · i.
Definition 6.11 (Zinseszinsrechnung oder Exponentielle Verzinsung)
Innerhalb der Kapitalüberlassungsfrist existieren Zinsverrechnungs- oder Zinszuschlagtermine, in denen die bis dahin entstandenen Zinsen dem Kapital hinzugefügt (Zinszuschlag, Zinsverrechnung) werden und mit ihm zusammen das weiterhin zu verzinsende Kapital bilden.
1
Literaturhinweis: Jürgen Tietze, Einführung in die Finanzmathematik, Vieweg.
6-6
Grundbegriffe der Finanzmathematik
Folgen und Reihen
Beispiel(e) 6.4 Es werden 100.000¤ für einen Zeitraum von 6 Jahren ausgeliehen. Nach jeder Zinsperiode (1 Jahr) erfolgt ein Zinszuschlag von i = 0, 06 = 6%.
Damit ergibt sich
K0 = 100.000¤ ,
K1 = K0 · (1 + i),
K2 = K1 · (1 + i) = K0 · (1 + i)2 ,
...
Nach 6 Jahren beläuft sich das (End)-Kapital auf K6 = K0 ·(1+i)6 = 141.851, 91¤ .
Bemerkung 6.9 (Zinseszinsrechnung oder Exponentielle Verzinsung)
Bei der Zinseszinsrechnung ergeben sich die folgenden Formeln:
Kn = K0 · (1 + i)n
und
Zn = K n − K 0 .
Beispiel(e) 6.5 Unterschied zwischen linearer Verzinsung und Zinseszins. Sei
K0 = 1.000¤ und i = 0, 05 = 5%.
n
1
2
5
10
20
50
K0 (1 + ni) 1050 1100 1250 1500 2000 3500
K0 (1 + i)n 1050 1102, 5 1276 1629 2653 11467
Beispiel(e) 6.6 Eine Bank gibt für die Verzinsung eines Kapitals K0 einen nominellen Jahreszinssatz i an. Der Zinszuschlag erfolgt allerdings nicht jährlich,
sondern unterjährig, z.B. nach jedem Quartal. Dann ergibt sich nach einem Jahr
als Kapital
4
i
K0 · 1 +
4
4
und der effektive Jahreszins beträgt 1 + 4i − 1.
Bemerkung 6.10 (Unterjährige Verzinsung) Erfolgt bei einem nominellen
Jahreszinssatz i an m Zeitpunkten eines Jahres ein Zinszuschlag, dann beträgt
das Kapital nach Ablauf des n-ten Jahres:
m·n
i
K0 · 1 +
.
m
Der effektive Jahreszins ist gleich
i
1+
m
m
− 1.
Erfolgt eine stetige Verzinsung (zu jedem Augenblick, d.h. m → ∞), dann ergibt
sich als Grenzwert
m
i
lim 1 +
= ei .
m→∞
m
6-7
Folgen und Reihen
Grundbegriffe der Finanzmathematik
m
2
4
12
365
i
(e − 1)%
2%
2, 010
2, 015
2, 018
2, 020
2, 020
5%
5, 063
5, 095
5, 116
5, 127
5, 127
10%
10, 250
10, 381
10, 471
10, 517
10, 517
Abbildung 6.2: Effektiver Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung
Definition 6.12 (Barwert) Der heute zahlbare Betrag K0 um eine in n Zeitperioden fällige Schuld Kn abzulösen, beträgt
K0 =
Kn
= Kn (1 + i)−n ,
(1 + i)n
wobei i der Zinssatz pro Zeitperiode ist. K0 heißt Barwert des nach n Zeitperioden
fälligen Betrags Kn oder auch n-mal abgezinstes bzw. diskontiertes Kapital Kn .
Definition 6.13 (Kapitalbeträge zu unterschiedlichen Zeitpunkten)
e fällig zum Zeitpunkt n2 , heißen
Zwei Beträge K, fällig zum Zeitpunkt n1 , und K,
äquivalent bzgl. eines Zinssatzes i, wenn gilt
6.3.2
e + i)−n2 = K(1 + i)−n1
K(1
bzw.
Rentenrechnung
e = K(1 + i)n2 −n1 .
K
Definition 6.14 (Rente) Unter einer n-maligen Rente versteht man eine Zahlungsreihe, die aus n Zahlungen Rj , j = 1, . . . , n, besteht, die in gleichen Zeitabständen aufeinander folgen.
Bei der nachschüssigen Rente erfolgt die Zahlung Rj am Ende des j-ten Zeitabschnitts. Hingegen erfolgt die Zahlung bei der vorschüssigen Rente am Beginn
des j-ten Zeitabschnitts.
Bemerkung 6.11 (Vorschüssige und Nachschüssige Rente) Ausgehend von
einem Anfangskapital K0 , einem Zinssatz i (pro Zeiteinheit) und Zahlungen Rj ,
j = 1, . . . , n ergeben sich die folgenden Formeln:
nachschüssige Rente
vorschüssige Rente
n
Kn = K0 · (1 + i) +
Kn = K0 · (1 + i)n +
6-8
n
X
j=1
n
X
j=1
Rj (1 + i)n−j ,
Rj (1 + i)n−j+1 .
Grundbegriffe der Finanzmathematik
Folgen und Reihen
Sind alle Zahlungen Rj gleich, also Rj = R, dann erhält man
nachschüssige Rente
vorschüssige Rente
6.3.3
(1 + i)n − 1
,
i
(1 + i)n − 1
Kn = K0 · (1 + i)n + R · (1 + i) ·
.
i
Kn = K0 · (1 + i)n + R ·
Tilgungsrechnung
Definition 6.15 (Tilgung) Die Tilgung ist der Betrag einer Schuld, der am
Ende eines Zeitabschnitts zum Abtragen der Schuld gezahlt wird. Durch die Tilgung verringert sich die Gesamtschuld auf eine Restschuld.
Definition 6.16 (Annuität) Die Summe aus Tilgung T und Zinsen Z für einen
Zeitabschnitt heißt Annuität und wird mit A bezeichnet. Also
A = T + Z.
Definition 6.17 (Ratentilgung) Bei der Ratentilgung erfolgt die Tilgung am
Ende jeder Periode in gleich hohen Tilgungsraten. Bei einer Laufzeit von n Jahren
vermindert sich somit die Kreditsumme K0 jährlich um diesen gleichbleibenden
Tilgungsbetrag T = Kn0 .
Beispiel(e) 6.7 (Ratentilgung) Tilgungsplan für K0 = 100.000¤ bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren.
Jahr Tilgung Zinsen Annuität Restschuld
1 10.000 8.000
18.000
90.000
2 10.000 7.200
17.200
80.000
3 10.000 6.400
16.400
70.000
4 10.000 5.600
15.600
60.000
5 10.000 4.800
14.800
50.000
6 10.000 4.000
14.000
40.000
7 10.000 3.200
13.200
30.000
8 10.000 2.400
12.400
20.000
9 10.000 1.600
11.600
10.000
10 10.000
800
10.800
0
100.000 44.000 144.000
Satz 6.8 (Ratentilgung) Sei K0 die Kreditsumme und T die konstanten Raten, die erforderlich sind, um den Kredit nach n Jahren vollkommen zu tilgen.
Dann gilt
K0
T =
n
6-9
Folgen und Reihen
Grundbegriffe der Finanzmathematik
Bei der Ratentilgung bilden Zinsen, Annuitäten und Restschuld jeweils arithmetische (endliche) Folgen: Sei i der Zinssatz, Km die Restschuld am Ende der
m-ten Periode, Zm die zu zahlenden Zinsen für die (m + 1)-te Periode und Am
die Annuität, bestehend aus T und Zm . Dann gilt
Km = Km−1 − T, m = 1, . . . , n
Zm = Zm−1 − T · i, m = 1, . . . , n − 1, und Z0 = K0 · i,
Am = Am−1 − T · i, m = 1, . . . , n − 1, und A0 = Z0 + T.
Bemerkung 6.12 Ein Nachteil bei der Ratentilgung sind die in der Anfangsphase auftretenden hohen Annuitäten.
Definition 6.18 (Annuitätentilgung) Bei der Annuitätentilgung erfolgt die
Tilgung am Ende jeder Periode so, daß die Annuität über den gesamten Zeitraum
konstant bleibt.
Beispiel(e) 6.8 (Annuitätentilgung) Tilgungsplan für K0 = 100.000¤ bei 8%
Zinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren.
Jahr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tilgung
Zinsen
Annuität Restschuld
6.902, 95 8.000, 00 14.902, 95 93.097, 05
7.455, 19 7.447, 76 14.902, 95 85.641, 86
8.051, 60 6.851, 35 14.902, 95 77.590, 26
8.695, 73 6.207, 22 14.902, 95 68.894, 53
9.391, 39 5.511, 56 14.902, 95 59.503, 19
10.142, 70 4.760, 25 14.902, 95 49.360, 45
10.954, 11 3.948, 84 14.902, 95 38.406, 33
11.830, 44 3.072, 51 14.902, 95 26.575, 89
12.776, 88 2.126, 07 14.902, 95 13.799, 02
13.799, 02 1.103, 93 14.902, 95
0, 00
100.000 49.029, 50 149.029, 50
Satz 6.9 (Annuitätentilgung) Sei K0 die Kreditsumme, i der jährliche Zinsfaktor und A die konstanten Annuitäten, die erforderlich sind, um den Kredit
nach n Jahren vollkommen zu tilgen. Dann gilt
K0 · (1 + i)n = A ·
(1 + i)n − 1
.
i
Bei der Annuitätentilgung bildet die Tilgung eine geometrische (endliche) Folge:
Sei i der Zinssatz, Km die Restschuld am Ende der m-ten Periode, Zm die zu
zahlenden Zinsen für die (m + 1)-te Periode und Tm die zu zahlende Tilgunsrate
6-10
Grundbegriffe der Finanzmathematik
Folgen und Reihen
für die (m + 1)-te Periode. Dann gilt
(1 + i)m − 1
, m = 1, . . . , n
i
Zm = Zm−1 (1 + i) − A · i, m = 1, . . . , n − 1, und Z0 = K0 · i,
Tm = Tm−1 · (1 + i), m = 1, . . . , n − 1, und T0 = A − K0 · i.
Km = K0 (1 + i)m − A ·
6-11
Folgen und Reihen
6.4
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 6.1 Gegeben ist die Folge (an )n∈N0 mit an = 3 + n2 .
a) Ist (an )n∈N0 eine monotone Folge?
b) Ist (an )n∈N0 beschränkt?
c) Man gebe eine rekursive Darstellung für die Folge (an )n∈N0 an.
d) Man bestimme die Partialsumme s20 der Folge (an )n∈N0 .
Aufgabe 6.2 In einer geometrischen Folge (an )n∈N0 mit q = − 23 ist das Glied
64
a6 = 243
.
a) Wie lautet das Anfangsglied a0 ?
b) Welches Glied ist erstmalig dem Betrag nach kleiner als 0,01, d.h. für welches n gilt |an | < 0, 01 ≤ |an−1 | ?
c) Wie groß ist die Partialsumme s8 der Folge (an )n∈N0 ?
Aufgabe 6.3 Eine geometrische Folge hat die Glieder a1 = 6 und a6 =
2
.
81
a) Wie groß sind Anfangsglied a0 und Quotient q der Folge?
b) Welche Partialsumme sn der Folge (an )n∈N0 ist erstmalig größer als 26?
Aufgabe 6.4 Gegeben sind die Folgen:
3
7 − 2n
− 5, n ≥ 1 und bn =
, n ≥ 1.
n
n2
Sind die Folgen monoton und beschränkt? Man ermittle gegebenenfalls die Grenzwerte.
an =
Aufgabe 6.5 Für welche Werte von x sind die Reihen
!
!
n
n
X
X
k2
xk
und
k
xk
k=1
k=1
n∈N
n∈N
konvergent?
Aufgabe 6.6 Gegeben seien für n ∈ N die Folgen:
4(n + 2)
n2
,
,
b
=
n
n2
n!
1
(−1)n
dn = 1 +
.
cn = (−1)n + ,
n
n
Man gebe die ersten vier Glieder der Folge der Partialsummen der obigen Folgen
an, und untersuche die zugehörigen Reihen auf Konvergenz.
an = (−1)n
6-12
Übungsaufgaben
Aufgabe 6.7 Gegeben ist die Reihe
wert der Reihe.
Folgen und Reihen
P
n
1
k=1 k(k+1)
n∈N
. Bestimmen Sie den Grenz-
Aufgabe 6.8 Familie Müller möchte 10.000¤ für 10 Jahre möglichst günstig anlegen. Ihr werden folgende Alternativen angeboten:
a) 6% für 10 Jahre,
b) 7% für 5 Jahre, dann 5% für 5 Jahre,
c) 7,5% für 2 Jahre, dann 6% für 4 Jahre, dann 5,5% für 4 Jahre.
Welches Angebot ist vorzuziehen?
Aufgabe 6.9 Im Testament seines Großvaters werden dem 18-jährigen Marcus
100.000¤ zugesprochen, auszuzahlen an seinem 30. Geburtstag. Wieviel Geld sollte ihm heute eine Bank bei einem Zinssatz von 6% geben?
Aufgabe 6.10 Eine Spareinlage von 2.000¤ ist nach 10 Jahren auf 3.582¤ angewachsen. Mit welchem Zinssatz wurde das Kapital durchschnittlich verzinst?
Aufgabe 6.11 Sie schließen mit dem Bankinstitut A einen Ratensparvertrag ab
und verpflichten sich, monatlich 200¤ einzubezahlen. Welches Kapital haben Sie,
beginnend am 1.1.2000, nach einem Jahr angespart, wenn es mit 6% p.a. verzinst
wird?
Das Bankinstitut B bietet Ihnen eine monatliche Verzinsung zu 0,48% p.m.( pro
”
Monat“). Wie hoch wäre Ihr Guthaben nach einem Jahr bei B und wie groß ist
dort der effektive Jahreszins?
Aufgabe 6.12 Welchen Betrag muß man bei 4% Zinseszins jeweils am Ende
eines Jahres auf ein Konto einzahlen, wenn man nach 5 Jahren 10.000¤ auf dem
Konto haben will?
Aufgabe 6.13 Wie hoch ist der Barwert einer 15 Jahre nachschüssig zu zahlenden Rente in Höhe von 6.000¤ bei 5% Zinsen p.a.? Welcher Barwert ist anzusetzen, wenn anstelle der jährlichen Rente monatlich nachschüssig 500¤ gezahlt
werden?
Aufgabe 6.14 Eine Hypothek über 150.000¤ soll in 10 Jahren getilgt werden.
Der Zinssatz beträgt 8, 5%.
a) Berechnen Sie die Annuität und die insgesamt zurück zu zahlende Summe
bei Annuitätentilgung.
b) Welche Gesamtkosten würden entstehen, wenn die Schuld mit konstanter
Tilgungsrate getilgt würde (Ratentilgung)?
6-13
Folgen und Reihen
Übungsaufgaben
c) Geben Sie die Tilgungspläne für beide Fälle an!
Aufgabe 6.15 Sie zahlen jeweils am 1.Januar eines Jahres 20 Jahre lang den
Betrag von 5.000¤ bei einer Versicherung ein. In den folgenden 4 Jahren zahlen
Sie jeweils 1.000¤ weniger, d.h. im 21. Jahr 4.000¤ , im 22. Jahr 3.000¤ usw..
Ab dem 25. Jahr erhalten Sie jeweils am 1. Januar eine Rente von 24.000¤ . Wie
lange kann die Rente gezahlt werden, wenn für den gesamten Betrachtungszeitraum ein fester Zinssatz von i = 5% vereinbart ist?
6-14
Lösungen
6.5
Folgen und Reihen
Lösungen
6.1 a) streng monoton wachsend, b) nicht beschränkt
c) an+1 = an + 12 , a0 = 3,
d) s20 = 168.
6.2 a) a0 = 3;
6.3 a) a0 = 18;
b) n = 15;
q = 13 ;
c) s8 = 1, 847.
b) s3 .
6.4 (an )n∈N0 ist streng monoton fallend und beschränkt. limn→∞ an = −5
(bn )n∈N0 ist nicht monoton aber beschränkt. limn→∞ bn = 0.
P
k
6.5 ( nk=1 xk )n∈N ist konvergent für −1 ≤ x < 1.
P
( nk=1
k2
)
xk n∈N
ist konvergent für |x| > 1.
6.6 a) s1 = −12; s2 = −8; s3 = − 92
; s4 = − 157
. Die Reihe ist konvergent.
9
18
b) s1 = 1; s2 = 3; s3 = 29 ; s4 =
31
.
6
Die Reihe ist konvergent.
c) s1 = 0; s2 = 32 ; s3 = 56 ; s4 =
25
.
12
Die Reihe ist nicht konvergent.
d) s1 = 0; s2 = 32 ; s3 =
13
; s4
6
=
41
.
12
Die Reihe ist nicht konvergent.
6.7 s = 1
6.8 (a) 17.908, 48 ¤
(b) 17.900, 51 ¤
(c) 18.073, 83 ¤
(günstigstes Angebot)
6.9 49.696, 94 ¤ .
6.10 Zinssatz i = 0, 06.
6.11 Bankinstitut A: 2.478 ¤
Bankinstitut B: 2.476, 21 ¤ ; effektiver Zins: i = 5, 86%
6.12 1.846, 27 ¤
6.13 62.277, 95 ¤ bei jährlicher Zahlung
63.705, 15 ¤ bei monatlicher Zahlung.
6.14
a) Annuität A = 22.861, 15 ¤ ;
Gesamtkosten K = 228.611, 50 ¤ .
b) Tilgungsrate T = 15.000 ¤ ;
Gesamtkosten K = 220.125, 00 ¤ .
6-15
Folgen und Reihen
Lösungen
c) Tilgungsplan Annuitätentilgung
Jahr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tilgung
Zinsen Annuität Restschuld
10.111,15 12.750,00 22.861,15 139.888,85
10.970,59 11.890,55 22.861,15 128.918,25
11.903,10 10.958,05 22.861,15 117.015,15
12.914,86 9.946,29 22.861,15 104.100,29
14.012,62 8.848,52 22.861,15
90.087,66
15.203,70 7.657,45 22.861,15
74.883,96
16.496,01 6.365,13 22.861,15
58.387,95
17.898,17 4.962,97 22.861,15
40.489,77
19.419,52 3.441,63 22.861,15
21.070,25
21.070,18 1.790,97 22.861,15
0,07
Tilgungsplan Ratentilgung
Jahr Tilgung Zinsen Annuität Restschuld
1 15.000 12.750
27.750
135.000
2 15.000 11.475
26.475
120.000
3 15.000 10.200
25.200
105.000
4 15.000
8.925
23.925
90.000
5 15.000
7.650
22.650
75.000
6 15.000
6.375
21.375
60.000
7 15.000
5.100
20.100
45.000
8 15.000
3.825
18.825
30.000
9 15.000
2.550
17.550
15.000
10 15.000
1.275
16.275
0
6.15 Die Rente kann 11,94 Jahre gezahlt werden.
6-16
Kapitel 7
Funktionen einer Variablen
7.1
Begriffe und Bezeichnungen
Definition 7.1 (Reellwertige Funktion) Sei D ⊂ R. Eine Abbildung
f :D→R
heißt reellwertige Funktion einer reellen Variablen (Veränderlichen). D heißt Definitionsbereich von f , und f (D) heißt Bildbereich von f .
Der Graph von f ist die Menge {(x, y) ∈ D × R : y = f (x)}.
Beispiel(e) 7.1 (Elementare Funktionen)
i) Konstante Funktionen: Seien c ∈ R, D = R und f : D → R mit f (x) = c.
Als Bildbereich ergibt sich f (D) = {c}.
6
4
y
2
–10 –8
–6
–4
–2 0
–2
2
4
x6
8
10
–4
–6
Abbildung 7.1: Graph der Funktion f (x) = 4
ii) Monome: Seien n ∈ N, D = R und f : D → R mit f (x) = xn . Als
Bildbereich ergibt sich
(
R,
falls n ungerade,
f (D) =
{y ∈ R : y ≥ 0}, falls n gerade .
7-1
Funktionen einer Variablen
Begriffe und Bezeichnungen
100
80
y 60
40
20
100
y
–4
–2
50
0
2
x
4
–10 –8
–6
–4
–50
–100
0
–20
–40
–60
–80
–100
2
4
x6
8
10
Abbildung 7.2: Graphen der Funktion f (x) = x3 und f (x) = x2
iii) n-te Wurzeln:
Seien n ∈ N, D = {x ∈ R : x ≥ 0} und f : D → R mit
√
n
f (x) = x. Als Bildbereich ergibt sich f (D) = {y ∈ R : y ≥ 0}.
8
6
y4
2
0
10
20
x
30
40
50
Abbildung 7.3: Graph der Funktion f (x) =
√
x
iv) Reelle Potenzen: Seien a ∈ R, a 6= 0, D = {x ∈ R : x > 0} und f : D → R
mit f (x) = xa . Als Bildbereich ergibt sich f (D) = {y ∈ R : y > 0}.
5
4
3
y
2
1
0
2
4
x
6
8
10
–1
Abbildung 7.4: Graph der Funktion f (x) = x−π
7-2
Begriffe und Bezeichnungen
Funktionen einer Variablen
v) Exponentialfunktion: Seien D = R und f : D → R mit f (x) = ex . Als
Bildbereich ergibt sich f (D) = {y ∈ R : y > 0}.
20
18
16
14
12
y 10
8
6
4
2
–10 –8
–6
–4
–2 0
2
4
x6
8
10
Abbildung 7.5: Graph der Funktion f (x) = ex
vi) Exponentialfunktion zur Basis a: Seien a ∈ R, a > 0, D = R und f : D →
R mit f (x) = ax . Als Bildbereich ergibt sich f (D) = {y ∈ R : y > 0}.
20
18
16
14
12
y 10
8
6
4
2
–10 –8
–6
–4
–2 0
2
4
x6
8
10
Abbildung 7.6: Graph der Funktion f (x) = 2x
vii) Logarithmus zur Basis a: Sei a ∈ R, a > 0 und a 6= 1. Seien D = {x ∈
R : x > 0} und f : D → R mit f (x) = loga (x). Als Bildbereich ergibt sich
f (D) = R.
10
8
y 46
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
Abbildung 7.7: Graph der Funktion f (x) = log2 (x)
7-3
Funktionen einer Variablen
Begriffe und Bezeichnungen
viii) Sinus: Seien D = R und f : D → R mit f (x) = sin(x). Als Bildbereich
ergibt sich f (D) = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1].
ix) Cosinus: Seien D = R und f : D → R mit f (x) = cos(x). Als Bildbereich
ergibt sich f (D) = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1].
x) Tangens: Seien D = {x ∈ R : x 6= π2 + m · π, m ∈ Z} und f : D → R mit
sin(x)
. Als Bildbereich ergibt sich f (D) = R.
f (x) = tan(x) = cos(x)
4
3
y2
1
–6
–4
–2
0
–1
2
x
4
6
–2
–3
–4
Abbildung 7.8: Graph der Funktion f (x) = tan(x)
xi) Cotangens: Seien D = {x ∈ R : x 6= m · π, m ∈ Z} und f : D → R mit
. Als Bildbereich ergibt sich f (D) = R.
f (x) = cot(x) = cos(x)
sin(x)
4
3
y2
1
–6
–4
–2
0
–1
2
x
4
6
–2
–3
–4
Abbildung 7.9: Graph der Funktion f (x) = cot(x)
xii) Ganzzahliger Anteil: Für x ∈ R sei trunc(x) der ganzzahlige Anteil von x
( Vorkommastelle“). Seien D = R und f : D → R mit f (x) = trunc(x).
”
Als Bildbereich ergibt sich f (D) = Z.
7-4
Begriffe und Bezeichnungen
Funktionen einer Variablen
10
8
y 46
2
–10 –8
–6
–4
0
–2
–4
–6
–8
–10
2
4
x6
8
10
Abbildung 7.10: Graph der Funktion f (x) = trunc(x)
Definition 7.2 Surjektivität, Injektivität, Bijektivität, Komposition und Umkehrfunktionen (inverse Funktionen) von reellwertigen Funktionen sind genau wie in
den Definitionen 5.8, 5.9, 5.10, 5.12 und 5.13 für Abbildungen definiert.
Bemerkung 7.1 Seien f, g : D → R Funktionen und λ ∈ R. Dann lassen sich
auch die folgenden Funktionen betrachten:
λf
f ±g
f ·g
f
g
: D → R,
: D → R,
: D → R,
mit
mit
mit
: D \ {x ∈ D : g(x) 6= 0} mit
(λf )(x) = λf (x),
(f ± g)(x) = f (x) ± g(x),
(f · g)(x) = f (x) · g(x),
f (x)
f
(x) =
.
g
g(x)
Definition 7.3 (Intervalle) Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann unterscheidet man
die folgenden Typen von Intervallen
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} heißt abgeschlossenes Intervall,
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} heißt offenes Intervall,
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
heißen halboffene Intervalle.
Intervalle der Form [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}, (a, +∞) = {x ∈ R : x > a},
(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} oder (−∞, a) = {x ∈ R : x < a} werden uneigentliche
Intervalle genannt.
Definition 7.4 (Monotonie) Sei f : D → R eine Funktion und sei I ⊂ D ein
Intervall. Gilt für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2
f (x1 ) < f (x2 )
f (x1 ) ≤ f (x2 )
f (x1 ) > f (x2 )
f (x1 ) ≥ f (x2 )
dann
dann
dann
dann
heißt
heißt
heißt
heißt
f
f
f
f
streng monoton wachsend in I,
monoton wachsend in I,
streng monoton fallend in I,
monoton fallend in I.
7-5
Funktionen einer Variablen
Polynome
Die Funktion f heißt (streng) monoton wachsend (fallend), wenn die entsprechende obige Bedingung für alle Punkte x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 erfüllt ist.
Definition 7.5 (Beschränktheit) Sei f : D → R eine Funktion. Gibt es ein
c ∈ R mit
f (x) ≥ c
f (x) ≤ c
|f (x)| ≤ c
für alle x ∈ D,
für alle x ∈ D,
für alle x ∈ D,
dann heißt f nach unten beschränkt,
dann heißt f nach oben beschränkt,
dann heißt f beschränkt.
Definition 7.6 (Konvex, Konkav, Linear) Sei f : D → R eine Funktion und
sei I ⊂ D ein Intervall. Gilt für alle x1 , x2 ∈ I
1
1
1
1
f
x1 + x2 ≤ f (x1 ) + f (x2 ),
dann heißt f konvex in I,
2
2
2
2
1
1
1
1
f
x1 + x2 ≥ f (x1 ) + f (x2 ),
dann heißt f konkav in I,
2
2
2
2
1
1
1
1
f
x1 + x2 = f (x1 ) + f (x2 ),
dann heißt f linear in I.
2
2
2
2
Die Funktion f heißt konvex (konkav, linear), wenn die entsprechende obige Bedingung für alle Intervalle I ⊂ D erfüllt ist.
Definition 7.7 (Gerade und Ungerade) Sei f : D → R eine Funktion. Gilt
f (−x) = f (x) für alle x ∈ D,
f (−x) = −f (x) für alle x ∈ D,
dann heißt f gerade,
dann heißt f ungerade.
Definition 7.8 (Nullstellen) Sei f : D → R eine Funktion. x⋆ ∈ D heißt
Nullstelle von f , falls f (x⋆ ) = 0.
7.2
Polynome
Definition 7.9 (Polynome) Eine Funktion p : R → R gegeben durch
n
p(x) = an x + an−1 x
n−1
2
+ · · · + a 2 x + a1 x + a0 =
n
X
ak x k ,
k=0
wobei n ∈ N, ak ∈ R und an 6= 0, heißt Polynom n-ten Grades. a0 , a1 , . . . , an
heißen die Koeffizienten des Polynoms.
Zum Berechnen der Funktionswerte eines Polynoms benutzt man oft die folgende
rekursive Darstellung.
7-6
Polynome
Funktionen einer Variablen
Bemerkung 7.2 (Horner-Schema) Sei p : R → R ein Polynom n-ten Grades
mit Koeffizienten a0 . . . , an , d.h.
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Sei nun An−1 (x) = an x + an−1 und für j = n − 2, . . . , 0 sei
Aj (x) = Aj+1 (x) · x + aj .
Dann gilt p(x) = A0 (x), denn
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
= . . . (an x + an−1 ) x + an−2 x + . . . a1 x + a0 .
{z
}
|
|
|
|
An−1 (x)
{z
An−2 (x)
{z
A1 (x)
{z
}
A0 (x)
}
}
Somit kann der Funktionswert eines Polynoms an der Stelle x⋆ , also p(x⋆ ), mit
dem folgenden Horner-Schema berechnet werden:
an an−1
+ 0 an · x⋆
an
an−2
...
a2
a1
a0
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
An−1 (x ) · x
...
A3 (x ) · x
A2 (x ) · x
A1 (x⋆ ) · x⋆
ր
ր
ր
ր
ր
⋆
⋆
⋆
⋆
An−1 (x )
An−2 (x )
...
A2 (x )
A1 (x )
A0 (x⋆ )
= p(x⋆ )
Satz 7.1 (Nullstellen und Linearfaktoren) Sei p : R → R ein Polynom nten Grades. x⋆ ∈ R ist genau dann eine Nullstelle von p, wenn es ein Polynom
e
p : R → R vom Grad n − 1 gibt, so daß
p(x) = (x − x⋆ ) · e
p(x).
(x − x⋆ ) heißt Linearfaktor des Polynoms p(x).
e
p(x) ergibt sich durch Polynomdivision, e
p(x) = p(x) : (x − x⋆ ).
Beispiel(e) 7.2 Sei p(x) = x3 − 5x2 − 2x + 24. Eine Nullstelle dieses Polynoms
ist x⋆ = 3, wie man durch Einsetzen nachrechnet. Gesucht ist nun ein Polynom
e
p(x) vom Grad 2, so daß
p(x) = x3 − 5x2 − 2x + 24 = (x − 3) · e
p(x).
7-7
Funktionen einer Variablen
Polynome
Polynomdivision:
e
p(x) = (x3 − 5x2 − 2x + 24) : (x − 3) = x2 − 2x − 8
− (x3 − 3x2 )
− 2x2 − 2x
− (−2x2 + 6x)
− 8x + 24
− (−8x + 24)
0
Bemerkung 7.3 Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Definition 7.10 (Vielfachheit von Nullstellen) Sei x⋆ ∈ R Nullstelle eines
Polynoms p : R → R, und sei k ∈ N die größte Zahl, so daß (x − x⋆ )k ein Faktor
von p ist, d.h. k ist die maximale Zahl, so daß es ein Polynom q : R → R gibt
mit
p(x) = (x − x⋆ )k · q(x).
Die Zahl k heißt die Vielfachheit der Nullstelle x⋆ .
Satz 7.2 (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß (1799)) Sei p(x) : R → R
ein Polynom n-ten Grades gegeben durch
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Dann gibt es eindeutig bestimmte z1 , . . . , zn ∈ C, so daß
p(x) = an · (x − zn ) · (x − zn−1 ) · . . . · (x − z2 ) · (x − z1 ).
Insbesondere gilt
{x ∈ R : p(x) = 0} ⊂ {z ∈ C : p(z) = 0} = {z1 , . . . , zn }.
Satz 7.3 Sei p : R → R ein Polynom und sei z ∈ C mit p(z) = 0. Dann gilt
auch für die komplex konjugierte Zahl z
p(z) = 0.
Korollar 7.1 Ein Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.
7-8
Polynome
Funktionen einer Variablen
Bemerkung 7.4
i) Für Polynome vom Grad ≤ 4 gibt es explizite Formeln zum Bestimmen der
Nullstellen. Für Polynome vom Grad ≥ 5 kann es solche Formeln nicht
geben (Abel, 1823).
ii) Sei p(x) = x2 + p x + q. Dann gilt für z1 , z2 ∈ C mit p(z1 ) = 0 = p(z2 )
r r p
p 2
p
p 2
z1 = − +
−q
und
z2 = − −
− q.
2
2
2
2
Bemerkung 7.5 Sei z = a + b i ∈ C. Dann gilt:
i) (x − z) · (x − z) = x2 − 2a x + a2 + b2 .
ii) Sei Im(z) 6= 0, und sei p : R → R ein Polynom n-ten Grades mit p(z) = 0.
Dann gibt es ein Polynom b
p : R → R vom Grad n − 2, so daß p(x) =
b
p(x) · (x2 − 2a x + a2 + b2 ).
Satz 7.4 (Wurzelsätze von Vieta) Sei p(x) : R → R ein Polynom n-ten Grades gegeben durch
p(x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
und seien z1 , . . . , zn ∈ C mit
p(x) = (x − zn ) · (x − zn−1 ) · · · · · (x − z2 ) · (x − z1 ).
Dann gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Koeffizienten ai und den zi :
z1 + z2 + · · · + zn
z1 z2 + z1 z3 + · · · + z1 zn + z2 z3 + · · · + zn−1 zn
z1 z2 z3 + z1 z2 z4 + · · · + zn−2 zn−1 zn
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . .
z1 · z2 · z3 · . . . · zn
= −an−1
= an−2
= −an−3
..
.
= (−1)n a0 .
Also: die Summe über alle Produkte der Form zi1 · zi2 · · · zik ist gleich (−1)k an−k
für k = 1, . . . , n.
Beispiel(e) 7.3 Sei p(x) = x2 + p x + q und seien z1 , z2 ∈ C mit p(z1 ) = 0 =
p(z2 ) = 0. Dann gilt
z1 + z2 = −p und z1 · z2 = q.
7-9
Funktionen einer Variablen
7.3
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 7.1 Die Funktionen f : R → R und g : R → R seien durch f (x) =
2x + 1 und g(x) = x2 − 2 definiert. Ermitteln Sie g ◦ f und f ◦ g und skizzieren
Sie die Graphen der Funktionen.
Aufgabe 7.2 Sei R>0 = {x ∈ R : x > 0}. Gegeben seien die Funktionen f :
R → R>0 und g : R → R mit f (x) = ex und g(x) = −x.
a) Untersuchen Sie, welche der Funktionen f und g surjektiv, injektiv oder
bijektiv sind. Skizzieren Sie die Graphen von f und g.
b) Geben Sie die inversen Funktionen f −1 und g −1 und deren Graphen an,
falls diese existieren.
c) Ermitteln Sie f ◦ g und g ◦ f und skizzieren Sie die Graphen.
Aufgabe 7.3 Man gebe für die Funktion f mit f (x) = x2 + 2x − 3, x ∈ (a, ∞)
den kleinsten Wert von a derart an, daß die Funktion f bijektiv ist. Man gebe
den zugehörigen Bildbereich an und ermittle f −1 .
Aufgabe 7.4 Gegeben ist die Funktion f mit
(
|x| − 1, −2 ≤ x < 0,
f (x) =
x2 − 1, 0 ≤ x ≤ 2.
Ermitteln Sie Definitionsbereich, Bildbereich und gegebenenfalls die inverse Funktion.
Aufgabe 7.5 Man gebe zu den folgenden Funktionen f den größtmöglichen Definitionsbereich und den zugehörigen Bildbereich an:
a) f (x) = √
ln(x4 )
b) f (x) = ln(x3 )
c) f (x) =p3 x2 + 5
−x
e) f (x) = 1 + e
f ) f (x) = |x| − x
d) f (x) = 4 − x2
Man skizziere die Graphen der Funktionen und untersuche Monotonie und Beschränktheit der Funktionen.
Aufgabe 7.6 Man bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich und zugehörigen Bildbereich der folgenden Funktionen f und ermittle die Umkehrfunktionen
f −1 , falls sie existieren.
a) f (x) =
√
x−4
√
x+4
b)
f (x) = (x − 2)3
c) f (x) =
x+a
x−a
Aufgabe 7.7 Gegeben seien die Funktionen f : R → R mit f (x) = 2x5 − 6x4 −
6x3 + 22x2 − 12x und g : R → R mit g(x) = (x − 1)2 .
7-10
Übungsaufgaben
Funktionen einer Variablen
a) Zeigen Sie mittels Polynomdivision, daß der Quotient f (x)/g(x) ebenfalls
ein Polynom ist.
b) Zerlegen Sie f (x) in Linearfaktoren.
c) Überprüfen Sie die Aussagen der Wurzelsätze von Vieta.
d) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f .
Aufgabe 7.8 Gegeben sei das Polynom p(x) = x5 − 5x4 + 40x2 − 80x + 48.
a) Berechnen Sie den Funktionswert p(−2) mit dem Hornerschema.
b) Untersuchen Sie mit dem Hornerschema die Vielfachheit der Nullstelle
x⋆ = 2 und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.
Aufgabe 7.9 Für das Polynom
p(x) = 32x5 + 8x4 − 218x3 −
765 2
x − 243x − 54
2
ist mittels des Hornerschemas die Vielfachheit der Nullstelle x⋆ = − 43 zu überprüfen. Das Polynom ist in Linearfaktoren zu zerlegen.
Aufgabe 7.10 Untersuchen Sie mittels Hornerschema und Polynomdivision, ob
x1 = 1,
x2 = −1,
x3 = 2,
x4 = −2
Nullstellen des Polynoms p(x) = x6 + 2x5 − x4 − x3 + 2x2 − x − 2 sind. Zerlegen
Sie das Polynom in Linearfaktoren und prüfen Sie die Aussagen der Wurzelsätze
von Vieta nach.
Aufgabe 7.11 Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms p(x) = x3 − 7 x + 6,
indem Sie eine Nullstelle erraten, und die restlichen mit Hilfe der Wurzelsätze
von Vieta berechnen.
Aufgabe 7.12 Welche der angegebenen Funktionen f sind gerade und welche
sind ungerade?
a) f (x) = x (e−x + ex )
b) f (x) = |x| + x2
c) f (x) = x5 + 7 x
f ) f (x) = (x + 2)2
d) f (x) = x · sin x
e) f (x) = x + x1
7-11
Funktionen einer Variablen
7.4
Lösungen
Lösungen
7.1 (g ◦ f )(x) = 4x2 + 4x − 1 und (f ◦ g)(x) = 2x2 − 3
10
8
y 46
2
–5
–4
–3
–2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
x
3
4
5
Abbildung 7.11: Graph der Funktion (g ◦ f )(x) = 4x2 + 4x − 1
10
8
y 46
2
–5
–4
–3
–2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
x
3
4
5
Abbildung 7.12: Graph der Funktion (f ◦ g)(x) = 2x2 − 3
7.2
a) f und g sind bijektiv.
b) f −1 (x) = ln x und g −1 (x) = −x.
10
8
y 46
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
0.5
1
1.5
2
2.5
x
3
3.5
4
4.5
5
Abbildung 7.13: Graph der Funktion f −1 (x) = ln(x)
7-12
Lösungen
Funktionen einer Variablen
10
8
y 46
2
–10 –8
–6
–4
0
–2
–4
–6
–8
–10
2
4
x6
8
10
Abbildung 7.14: Graph der Funktion g −1 (x) = −x
c) (f ◦ g)(x) = e−x und (g ◦ f )(x) = −ex .
10
8
y 46
2
–5
–4
–3
–2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
x
3
4
5
Abbildung 7.15: Graph der Funktion (f ◦ g)(x) = e−x
10
8
y 46
2
–5
–4
–3
–2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
x
3
4
5
Abbildung 7.16: Graph der Funktion (g ◦ f )(x) = −ex
7.3 a = −1; f ((−1, ∞)) = {x ∈ R : −4 ≤ y < ∞};
7.4 D = [−2, 2];
√
f −1 (x) = −1 + 4 + x.
f −1 existiert nicht
f (D) = [−1, 3];
7.5 a) D = {x ∈ R : x 6= 0}, f (D) = R, f ist unbeschränkt, monoton fallend
für x < 0 und monoton wachsend für x > 0.
7-13
Funktionen einer Variablen
Lösungen
10
8
y 46
2
–8
–6
–4
0
–2
–4
–6
–8
–10
–2
2
4
6
x
8
Abbildung 7.17: Graph der Funktion f (x) = ln(x4 )
b) D = {x ∈ R : x > 0}, f (D) = R, f ist unbeschränkt und monoton
wachsend.
10
8
y 46
2
–4 –3 –2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
3
4
x
5
6
7
8
Abbildung 7.18: Graph der Funktion f (x) = ln(x3 )
c) D = R, f (D) = {y ∈ R : y ≥ 5}, f ist nach unten beschränkt, monoton
fallend für x ≤ 0 und monoton wachsend für x ≥ 0.
10
9
8
7
6
y5
4
3
2
1
–8
–6
–4
–2 –1
2
4
x
6
8
Abbildung 7.19: Graph der Funktion f (x) = 3x2 + 5
7-14
Lösungen
Funktionen einer Variablen
d) D = {x ∈ R : |x| ≤ 2}, f (D) = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 2}, f ist beschränkt,
monoton wachsend für x ≤ 0 und monoton fallend für x ≥ 0.
10
9
8
7
6
y5
4
3
2
1
–3 –2.5 –2 –1.5 –1
–1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Abbildung 7.20: Graph der Funktion f (x) =
√
4 − x2
e) D = R, f (D) = {y ∈ R : y > 1}, f ist nach unten beschränkt und
monoton fallend.
10
9
8
7
6
y5
4
3
2
1
–4
–2
2
–1
4
x
6
8
10
Abbildung 7.21: Graph der Funktion f (x) = 1 + e−x
f) D = R, f (D) = {y ∈ R : y ≥ 0}, f ist nach unten beschränkt und
monoton fallend.
10
8
y 46
2
–5
–4
–3
–2
0
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
x
3
4
Abbildung 7.22: Graph der Funktion f (x) =
7-15
5
p
|x| − x
Funktionen einer Variablen
7.6
Lösungen
a) D = {x ∈ R : x ≥ 0}; f (D) = {y ∈ R : −1 ≤ y < 1}
(x+1)2
f −1 (x) = 16 (x−1)
2 ; −1 ≤ y < 1}.
√
b) D = R; f (D) = R; f −1 (x) = 3 x + 2.
x+1
c) D = {x ∈ R : x 6= a}; f (D) = {y ∈ R : y 6= 1}, f −1 (x) = a x−1
; x 6= 1.
7.7
a) f (x)/g(x) = 2x3 − 2x2 − 12x.
b) f (x) = (x − 1)(x − 1)(x + 2)(x − 3)2x.
c)
50
40
y
30
20
10
–5
–4
–3
–2
–1 0
–10
1
2
x
3
4
5
–20
–30
Abbildung 7.23: Graph der Funktion f (x) = 2x5 − 6x4 − 6x3 + 22x2 − 12x
7.8
a) p(−2) = 256
b) p(x) = (x − 2)4 (x + 3);
x⋆ = 2 ist vierfache Nullstelle.
7.9 x0 = − 43 ist dreifache Nullstelle;
√
√
p(x) = 32(x + 34 )3 (x − (1 + 5))(x − (1 − 5)).
7.10 x0 , x1 , x3 sind Nullstellen; x2 ist keine Nullstelle;√
√
p(x) = (x − 1)(x + 1)(x + 1)(x + 2)(x − ( 21 (1 + 3i))(x − 21 (1 − 3i)).
7.11 x1 = 1; x2 = 2; x3 = −3
7.12 a) ungerade, b) gerade, c) ungerade,
weder gerade noch ungerade.
7-16
d) gerade,
e) ungerade, f)
Kapitel 8
Differentialrechnung für
Funktionen einer Variablen
8.1
Grenzwert und Stetigkeit
Definition 8.1 (Grenzwert) Seien D ⊂ R, f : D → R eine Funktion und
x⋆ ∈ R. y ⋆ ∈ R heißt Grenzwert von f im Punkt (oder an der Stelle) x⋆ , wenn
für jede Folge (xn )n∈N0 , xn ∈ D, mit
lim xn = x⋆
n→∞
die Folge der Funktionswerte (f (xn ))n∈N0 gegen y ⋆ konvergiert, d.h. es gilt
lim f (xn ) = y ⋆ .
n→∞
Man schreibt dann
lim f (x) = y ⋆ .
x→x⋆
Definition 8.2 (Rechtsseitiger und Linksseitiger Grenzwert) Seien D ⊂
R, f : D → R eine Funktion und x⋆ ∈ R. yr⋆ ∈ R ( bzw. yl⋆ ∈ R ) heißt
rechtsseitiger (bzw. linksseitiger) Grenzwert von f im Punkt (oder an der Stelle)
x⋆ , wenn für jede Folge (xn )n∈N0 , xn ∈ D, mit
lim xn = x⋆
n→∞
und
xn > x⋆
(bzw. xn < x⋆ )
die Folge der Funktionswerte (f (xn ))n∈N0 gegen yr⋆ (bzw. yl⋆ ) konvergiert, d.h. es
gilt
⋆
⋆
bzw. lim f (xn ) = yl .
lim f (xn ) = yr
n→∞
n→∞
Man schreibt dann
lim f (x) =
xցx⋆
yr⋆
bzw. lim⋆ f (x) =
8-1
xրx
yl⋆
.
Differentialrechnung
Grenzwert und Stetigkeit
Bemerkung 8.1 y ⋆ ist Grenzwert einer Funktion f : D → R im Punkt x⋆ genau
dann, wenn y ⋆ rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert von f im Punkt x⋆ ist,
d.h.,
lim⋆ f (x) = y ⋆ ⇔ lim⋆ f (x) = lim⋆ f (x) = y ⋆ .
x→x
xցx
xրx
Definition 8.3 (Stetigkeit) Seien D ⊂ R, f : D → R eine Funktion und
x⋆ ∈ D. f heißt im Punkt x⋆ stetig, falls
lim f (x) = f (x⋆ ).
x→x⋆
f heißt stetig in D, falls f in jedem Punkt x⋆ ∈ D stetig ist.
Bemerkung 8.2 f : D → R ist in einem Punkt x⋆ ∈ D stetig, genau dann wenn
rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert existieren, und es gilt
lim f (x) = lim⋆ f (x).
xցx⋆
xրx
Satz 8.1 Sei f : [a, b] → R, a, b ∈ R, eine stetige Funktion. Dann ist f beschränkt, und es gibt es Punkte xmin , xmax ∈ [a, b], so daß für alle x ∈ [a, b] gilt
f (xmin ) ≤ f (x) ≤ f (xmax ) .
Man sagt: Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall ihr
”
Minimum und Maximum an.“
Satz 8.2 (Zwischenwertsatz) Sei f : [a, b] → R, a, b ∈ R, eine stetige Funktion, und sei y ⋆ ∈ R ein Wert (eine Zahl) zwischen f (a) und f (b). Dann gibt es
ein x⋆ ∈ [a, b] mit f (x⋆ ) = y ⋆ .
Man sagt: Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall je”
den Zwischenwert an.“
Bemerkung 8.3 Seien f, g : D → R Funktionen, die in x⋆ ∈ D stetig sind,
und sei λ ∈ R. Dann sind auch die Funktionen f ± g : D → R, λf : D → R,
f · g : D → R stetig in x⋆ . Ist zudem g(x⋆ ) 6= 0, dann ist auch die Funktion
f
: D\{x ∈ D : g(x) = 0} → R stetig in x⋆ .
g
Seien f : D → R und g : E → R Funktionen mit g(E) ⊂ D. Ist g in x⋆ ∈ E
stetig, und ist f in g(x⋆ ) ∈ D stetig, dann ist auch die zusammengesetzte Funktion
f ◦ g : E → R in x⋆ stetig.
8-2
Grenzwert und Stetigkeit
Differentialrechnung
Definition 8.4 (Uneigentliche Konvergenz)
i) Sei (an )n∈N0 eine Folge reeller Zahlen. Man schreibt
lim an = ∞
bzw.
n→∞
lim an = −∞,
n→∞
falls für alle m ∈ N0 ein Index n(m) ∈ N0 existiert, so daß für alle n ≥ n(m)
gilt
an ≥ m bzw. an ≤ −m.
ii ) Seien f : D → R eine Funktion und y ⋆ ∈ R. Man schreibt
lim f (x) = y ⋆ ,
x→∞
falls für jede Folge (xn )n∈N0 mit xn ∈ D und limn→∞ xn = ∞ gilt
lim f (xn ) = y ⋆ .
n→∞
Analog ist limx→−∞ f (x) definiert.
iii) Seien f : D → R eine Funktion und x⋆ ∈ R. Man schreibt
lim f (x) = ∞
x→x⋆
bzw.
lim f (x) = −∞,
x→x⋆
falls für jede Folge (xn )n∈N0 mit xn ∈ D und limn→∞ xn = x⋆ gilt
lim f (xn ) = ∞
n→∞
bzw.
lim f (xn ) = −∞.
n→∞
Analog sind limxցx⋆ f (x) = ±∞ und limxրx⋆ f (x) = ±∞ definiert.
Definition 8.5 (Sprungstellen, Polstellen und Lücken) Sei f : D → R eine Funktion.
i) Sei x⋆ ∈ R, und seien yr⋆ , yl⋆ rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert von
f an der Stelle x⋆ . Gilt
yr⋆ = lim⋆ f (x) 6= lim⋆ f (x) = yl⋆ ,
xցx
xրx
dann heißt x⋆ endliche Sprungstelle von f .
ii) Sei x⋆ ∈ R. Gilt limxցx⋆ f (x) = ±∞ und/oder limxրx⋆ f (x) = ±∞, dann
heißt x⋆ Pol der Funktion f .
iii) Sei x⋆ ∈ R, und sei y ⋆ der Grenzwert y ⋆ = limx→x⋆ f (x). Ist x⋆ 6∈ D, dann
heißt x⋆ (hebbare) Lücke von f .
8-3
Differentialrechnung
8.2
Differentiation
Differentiation
Definition 8.6 (Differentialquotient oder 1. Ableitung) Seien D ⊂ R, f :
D → R eine Funktion, und sei x⋆ ∈ D. f heißt im Punkt (oder an der Stelle)
x⋆ ∈ D differenzierbar, falls es eine Zahl f ′ (x⋆ ) ∈ R gibt, so daß für jede Folge
(xn )n∈N0 mit xn ∈ D \ {x⋆ } und limn→∞ xn = x⋆ gilt
f ′ (x⋆ ) = lim
n→∞
f (xn ) − f (x⋆ )
.
xn − x⋆
Man schreibt
f ′ (x⋆ ) =
f (x) − f (x⋆ )
.
x − x⋆
lim⋆
x→x
x∈D\{x⋆ }
Der Grenzwert f ′ (x⋆ ) heißt Differentialquotient oder Ableitung oder Steigung von
f im Punkt x⋆ .
Ist f in jedem Punkt x ∈ D differenzierbar, dann heißt f differenzierbar, und
die Funktion f ′ : D → R mit den Funktionswerten f ′ (x) heißt Ableitung von f .
Beispiel(e) 8.1 (Lineare Funktion) Seien c, d ∈ R und sei f : R → R die
Funktion mit f (x) = c x + d. f ist eine lineare Funktion. Sei nun x⋆ ∈ R, dann
ist für alle x ∈ R \ {x⋆ }
c x + d − (c x⋆ + d)
c(x − x⋆ )
f (x) − f (x⋆ )
=
=
= c.
x − x⋆
x − x⋆
x − x⋆
Also ist f ′ (x⋆ ) = c für alle x⋆ ∈ D, d.h. f ′ : R → R ist die konstante Funktion
f ′ (x) = c. c ist die Steigung der Geraden {(x, c x + d) : x ∈ R}.
2
3
1
2
1
Abbildung 8.1: Steigung der linearen Funktion f (x) = 2 x + 3
8-4
Differentiation
Differentialrechnung
Bemerkung 8.4 (Geometrische Interpretation des Differentialquotienten)
Seien f : D → R, x⋆ ∈ D und x ∈ D \ {x⋆ }. Der Differenzenquotient
f (x) − f (x⋆ )
x − x⋆
gibt die (relative) Veränderung der Funktionswerte im Verhältnis zu den x”
Werten“ an. Er ist gleich der Steigung der Geraden, die durch die Punkte (x, f (x))
und (x⋆ , f (x⋆ )) geht. Beim Grenzübergang x → x⋆ geht diese Gerade in eine Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt (x⋆ , f (x⋆ )) über. f ′ (x⋆ ) ist also (im
Falle der Existenz) die Steigung der Tangente an f im Punkt (x⋆ , f (x⋆ )).
f (x⋆ )
f
x1 x2
f (x2 )
f (x1 )
x⋆
Tangente
Abbildung 8.2: Differenzenquotient und Tangentensteigung
Bemerkung 8.5 Man kann den Differentialquotienten auch schreiben als
f ′ (x⋆ ) = lim
h→0
h6=0
f (x⋆ + h) − f (x⋆ )
,
h
8-5
Differentialrechnung
Differentiation
d.h. f ′ (x⋆ ) ist der Grenzwert von
f (x⋆ + hn ) − f (x⋆ )
n→∞
hn
lim
für jede Folge (hn )n∈N0 mit limn→∞ hn = 0, x⋆ + hn ∈ D und hn 6= 0.
Beispiel(e) 8.2 (Ableitung einiger Grundfunktionen) Für die entsprechenden Definitionsbereiche siehe Beispiel 7.1:
f (x) :
c
xn
xα
ex
ax
ln(x)
loga (x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
f ′ (x) :
0
n · xn−1 , (n ∈ N)
α · xα−1 , (α ∈ R)
ex
ln(a) · ax
1
x
1
1
·
x ln(a)
cos(x)
− sin(x)
1
cos2 (x)
1
.
−
2
sin (x)
Satz 8.3 (Differentiationsregeln) Seien f, g : D → R in einem Punkt x⋆ ∈ D
differenzierbar. Dann sind auch die Funktionen f ± g, f · g : D → R in x⋆
differenzierbar, und es gilt:
Additionsregel:
Produktregel:
(f ± g)′ (x⋆ ) = f ′ (x⋆ ) ± g ′ (x⋆ ),
(f g)′ (x⋆ ) = f ′ (x⋆ ) g(x⋆ ) + f (x⋆ ) g ′ (x⋆ ).
Ist g(x) 6= 0 für alle x ∈ D, dann ist auch die Funktion fg : D → R in x⋆
differenzierbar mit
′
f
f ′ (x⋆ ) g(x⋆ ) − f (x⋆ ) g ′ (x⋆ )
Quotientenregel:
.
(x⋆ ) =
g
g(x⋆ ) g(x⋆ )
Seien f : D → R und g : E → R Funktionen mit g(E) ⊂ D. Sei g in x⋆ ∈ E
differenzierbar, und sei f in g(x⋆ ) ∈ D differenzierbar. Dann gilt
Kettenregel:
(f ◦ g)′ (x⋆ ) = f ′ (g(x⋆ )) g ′ (x⋆ ).
8-6
Differentiation
Differentialrechnung
Bemerkung 8.6
i) Sei f : D → R differenzierbar in x⋆ ∈ D und sei λ ∈ R. Als Spezialfall der
Produktregel (oder aus der Definition der Ableitung) erhält man
(λ · f )′ (x⋆ ) = λ · f ′ (x).
ii) Sei f : D → R eine positive Funktion, d.h f (x) > 0 für alle x ∈ D, und sei
f in x⋆ differenzierbar. Als Spezialfall der Kettenregel erhält man
(ln ◦f )′ (x⋆ ) =
f ′ (x⋆ )
,
f (x⋆ )
bzw.
f ′ (x⋆ ) = f (x⋆ ) · (ln ◦f )′ (x⋆ ).
Ist es einfacher die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ln ◦f zu berechnen, so kann man die obige Beziehung zum Berechnen der Ableitung
von f benutzen. Dieses Vorgehen wird manchmal als logarithmische Differentiation bezeichnet.
Satz 8.4 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei f : D → R, D ⊂ R, eine
bijektive Abbildung, und sei f −1 : f (D) → R die Umkehrfunktion von f . Ist f in
einem Punkt x⋆ ∈ D differenzierbar mit f ′ (x⋆ ) 6= 0, dann ist f −1 in dem Punkt
y ⋆ = f (x⋆ ) differenzierbar, und es gilt
(f −1 )′ (y ⋆ ) =
1
f′
(f −1 (y ⋆ ))
=
1
f ′ (x⋆ )
.
Beispiel(e) 8.3 (Ableitung der Arcusfunktionen)
Funktion f
−π π
,
→ R,
sin :
2 2
Umkehrfunktion f −1
cos : [0, π] → R,
arccos : [−1, 1] → R,
−π π
,
→ R,
tan :
2 2
−π π
,
→ R,
cot :
2 2
arcsin : [−1, 1] → R,
arctan : R → R,
arccot : R → R,
Ableitung von f −1
1
arcsin′ (y) = p
, y ∈ (−1, 1),
1 − y2
−1
arccos′ (y) = p
, y ∈ (−1, 1),
1 − y2
1
,
arctan′ (y) =
1 + y2
−1
.
arccot′ (y) =
1 + y2
Satz 8.5 Ist die Funktion f : D → R im Punkt x⋆ ∈ D differenzierbar, dann ist
f auch stetig im Punkt x⋆ .
8-7
Differentialrechnung
Kurvendiskussion
Definition 8.7 (Ableitungen höherer Ordnung) Sei f : D → R eine differenzierbare Funktion. Ist die Ableitung f ′ : D → R ihrerseits in jedem Punkt
x ∈ D differenzierbar, dann heißt
f ′′ (x) = (f ′ )′ (x)
die zweite Ableitung von f im Punkt x, und die Funktion f ′′ : D → R mit den
Funktionswerten f ′′ (x) heißt zweite Ableitung von f .
Allgemein heißt nun eine Funktion f : D → R n-mal differenzierbar, n ∈ N,
wenn die (n − 1)-te Ableitung differenzierbar ist. Die n-te Ableitung wird auch
mit f (n) : D → R bezeichnet. Insbesondere ist f (1) = f ′ und f (2) = f ′′ .
Beispiel(e) 8.4
1
,
x
1
2
(3)
,
f
(x)
=
,...
x2
x3
(n − 1)!
,
f (n) (x) = (−1)n−1 ·
xn
f (x) = x5 − 2x3 + x2 − 10 :
f ′ (x) = 5x4 − 6x2 + 2x, f ′′ (x) = 20x3 − 12x + 2,
f (x) = ln(x) :
f ′ (x) =
f ′′ (x) = −
f (3) (x) = 60x2 − 12,
f (5) (x) = 120,
f (x) = 3ex :
f (4) (x) = 120x,
f (6) (x) = 0 = f (n) (x), für n ≥ 6,
f ′ (x) = 3ex , f ′′ (x) = 3ex , . . . , f (n) (x) = 3ex .
Bemerkung 8.7 Polynome sind beliebig oft differenzierbar.
8.3
Kurvendiskussion
Um einen quantitativen Eindruck über die Gestalt einer Funktion f bzw. ihres
Graphen zu erhalten, werden neben Nullstellen auch
• Monotonieverhalten,
• (lokale) Extremwerte,
• Konvexitätsverhalten,
• Wendepunkte,
• Verhalten von f für x → ±∞,
• Verhalten von f an Sprung-, Polstellen und Lücken
untersucht. Dabei ist die Differentiation ein nützliches Hilfsmittel.
8-8
Kurvendiskussion
Differentialrechnung
Satz 8.6 (Monotonieverhalten) Sei f : D → R eine differenzierbare Funktion, und sei I ⊂ D ein Intervall. Gilt für alle x ∈ I
f ′ (x) ≥ 0,
f ′ (x) > 0,
f ′ (x) ≤ 0,
f ′ (x) < 0,
f ′ (x) = 0,
dann
dann
dann
dann
dann
ist
ist
ist
ist
ist
f
f
f
f
f
monoton wachsend in I,
streng monoton wachsend in I,
monoton fallend in I,
streng monoton fallend in I,
konstant in I.
Definition 8.8 (ǫ-Umgebung) Für x⋆ ∈ R und ǫ > 0 heißt das Intervall
Uǫ (x) = (x⋆ − ǫ, x⋆ + ǫ)
ǫ-Umgebung von x⋆ .
Definition 8.9 (Lokale/Globale Extremwerte) Seien f : D → R eine Funktion und x⋆ ∈ D. x⋆ heißt lokales (relatives) Maximum (bzw. lokales (relatives)
Minimum) von f , wenn es ein ǫ > 0 mit Uǫ (x⋆ ) ⊂ D und
f (x) ≤ f (x⋆ )
(bzw. f (x) ≥ f (x⋆ ))
für alle x ∈ Uǫ (x⋆ ).
x⋆ heißt globales Maximum (bzw. globales Minimum) von f , falls
f (x) ≤ f (x⋆ )
(bzw. f (x) ≥ f (x⋆ ))
für alle x ∈ D.
Gilt dabei in den Ungleichungen nur für x⋆ Gleichheit, so spricht man von isolierten lokalen oder globalen Minima und Maxima.
Bemerkung 8.8 Die Funktion f : [0, 1] → R mit f (x) = x hat in x⋆ = 1 ein
globales Maximum aber kein lokales Maximum.
Satz 8.7 (Notwendiges Kriterium für lokale Extrema) Sei f : D → R
differenzierbar, und sei x⋆ ∈ D ein lokales Extremum von f . Dann gilt:
f ′ (x⋆ ) = 0.
Bemerkung 8.9 Die Umkehrung des Satzes gilt nicht: z.B. f : R → R mit
f (x) = x3 und x⋆ = 0.
Satz 8.8 Sei f : D → R differenzierbar, und sei x⋆ ∈ D mit f ′ (x⋆ ) = 0. Gibt es
ein ǫ > 0 mit
(
> 0 für x ∈ (x⋆ − ǫ, x⋆ ),
f ′ (x)
< 0 für x ∈ (x⋆ , x⋆ + ǫ),
8-9
Differentialrechnung
Kurvendiskussion
so besitzt f in x⋆ ein isoliertes lokales Maximum.
Ist
(
< 0 für x ∈ (x⋆ − ǫ, x⋆ ),
′
f (x)
> 0 für x ∈ (x⋆ , x⋆ + ǫ).
so besitzt f in x⋆ ein isoliertes lokales Minimum.
Besitzt die Ableitung f ′ keinen Vorzeichenwechsel im Punkt x⋆ , dann hat f an
der Stelle x⋆ kein isoliertes lokales Extremum.
Satz 8.9 Sei f : D → R eine n-mal differenzierbare Funktion, und sei x⋆ ∈ D,
so daß es ein ǫ > 0 gibt mit Uǫ (x⋆ ) ⊂ D.
Weiterhin gebe es ein m ∈ N, 2 ≤ m ≤ n, so daß
f ′ (x⋆ ) = f ′′ (x⋆ ) = · · · = f (m−1) (x⋆ ) = 0,
aber f (m) (x⋆ ) 6= 0.
Ist m gerade, dann besitzt f in x⋆ ein isoliertes lokales Extremum und zwar für
(
< 0 ein isoliertes lokales Maximum,
f (m) (x⋆ )
> 0 ein isoliertes lokales Minimum.
Ist m ungerade, so hat f in x⋆ kein isoliertes lokales Extremum.
Bemerkung 8.10 Für hinreichend oft“ differenzierbare Funktionen gibt der
”
obige Satz ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für isolierte lokale Extrema.
Bemerkung 8.11 Zum Bestimmen der globalen Extrema einer Funktion f : I →
R, wobei I ein abgeschlossenes oder halboffenes Intervall ist, ist es immer notwendig das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls zu untersuchen.
Satz 8.10 (Konvexitätsverhalten) Es sei f : D → R eine zweimal differenzierbare Funktion und sei I ⊂ D. f ist in I genau dann konvex (bzw. konkav),
wenn gilt
f ′′ (x) ≥ 0
(bzw. f ′′ (x) ≤ 0)
für alle x ∈ I.
Definition 8.10 (Wendepunkt) Sei f : D → R eine Funktion. Ein Punkt
x⋆ ∈ D heißt Wendepunkt von f , wenn die Funktion an diesem Punkt ihr Konvexitätsverhalten ändert, d.h. es gibt ein ǫ > 0, so daß f in [x⋆ − ǫ, x⋆ ] konvex
(aber nicht konkav) ist, und in [x⋆ , x⋆ + ǫ] konkav (aber nicht konvex) ist, bzw.
umgekehrt.
Satz 8.11 Sei f : D → R eine n-mal differenzierbare Funktion. Die Funktion f
besitzt genau dann an der Stelle x⋆ einen Wendepunkt, wenn es eine ungerade
Zahl 3 ≤ m ≤ n gibt mit
f ′′ (x⋆ ) = f (3) (x⋆ ) = · · · f (m−1) (x⋆ ) = 0 und f (m) (x⋆ ) 6= 0.
8-10
Kurvendiskussion
Differentialrechnung
Satz 8.12 (Regel(n) von L’Hospital) Seien f, g : D → R differenzierbare
Funktion, und sei x⋆ ∈ R mit
lim f (x) = lim⋆ g(x) = 0, oder
x→x⋆
x→x
lim f (x) = ±∞ und lim⋆ g(x) = ±∞.
x→x⋆
x→x
Dann gilt
lim⋆
x→x
f (x)
f ′ (x)
= lim⋆ ′
.
g(x) x→x g (x)
Die gleichen Aussagen gelten auch für Grenzwerte der Form limxցx⋆
und limx→±∞
f (x)
,
g(x)
limxրx⋆
f (x)
.
g(x)
Beispiel(e) 8.5 Die Regeln von L’Hospital sind vielseitig anwendbar:
•
0
0
Seien f (x) = sin(x), g(x) = x und x⋆ = 0. Dann ist
f (x)
f ′ (x)
cos(x)
sin(x)
= lim
= lim ′
= lim
= 1.
x→0 g(x)
x→0 g (x)
x→0
x→0
x
1
lim
•
∞
∞
Seien f (x) = x3 und g(x) = ex . Iterative Anwendung der Regel von
L’Hospital liefert:
x3
f (x)
f ′ (x)
3x2
=
lim
=
lim
=
lim
x→∞ ex
x→∞ g(x)
x→∞ g ′ (x)
x→∞ ex
f ′′ (x)
6x
f (3) (x)
6
= lim ′′
= lim x = lim (3)
= lim x = 0.
x→∞ g (x)
x→∞ e
x→∞ g (x)
x→∞ e
lim
• 0·∞
Seien f (x) = ln(x), g(x) = x und x⋆ = 0.
lim ln(x) · x = lim f (x) · g(x) = lim
xց0
xց0
= lim
xց0
xց0
ln(x)
1
x
= lim
xց0
1
x
− x12
f (x)
1
g(x)
=
”
∞
∞
“
= lim (−x) = 0.
xց0
• ∞ − ∞ Seien f (x) = x1 und g(x) = ln(x). Dann gilt
!
1
1
1
lim
+ ln(x) = lim f (x) + g(x) = lim
1 + 1
xց0
xց0
xց0
x
f (x)
g(x)
!
1
1
1
+ f (x)
+x
g(x)
ln(x)
0
= lim
= 0 “ = lim
x
1
1
”
xց0
xց0
·
ln(x)
f (x) g(x)
=
−1
+1
ln2 (x) x
lim 1
xց0
− ln21(x)
ln(x)
8-11
= · · · = ∞.
f (x)
g(x)
Differentialrechnung
• 1∞
Kurvendiskussion
Seien f (x) = 1 + x1 und g(x) = x. Dann ist
x
1
= lim f (x)g(x) = lim eln(f (x))·g(x)
lim 1 +
x→∞
x→∞
x→∞
x
1
= lim eln(1+ x )·x .
x→∞
Nun ist der Exponent ln(1 + x1 ) · x für x → ∞ von Typ 0 · ∞ und daher ist
lim ln 1 +
x→∞
1
x→∞ 1 +
= lim
1
x
1
x
x→∞
−1
x2
1+ x1
= lim
−1
x2
x→∞
= 1.
1
x
Also ist
lim
x→∞
• ∞0
ln 1 +
· x = lim
1
x
1
1+
x
x
Seien f (x) = x + 1 und g(x) =
= e1 = e.
2
.
ln(x)
Dann gilt
2
2
lim (x + 1) ln(x) = lim f (x)g(x) = lim eln(f (x))·g(x) = lim eln(x+1)· ln(x) .
x→∞
x→∞
Nun ist der Exponent
x→∞
2 ln(x+1)
ln(x)
x→∞
für x → ∞ von Typ
2 ln(x + 1)
= lim 2 ·
lim
x→∞
x→∞
ln(x)
1
x+1
1
x
Also ist
∞
∞
= lim 2 ·
x→∞
und daher ist
x
= 2.
x+1
2
lim (x + 1) ln(x) = e2 .
x→∞
• 00
Seien f (x) =
lim
xց0
√
√
x3x
x · 3x und g(x) =
1
ln(x)
1
.
ln(x)
= lim f (x)g(x) = lim eln(f (x))·g(x)
xց0
xց0
= lim e
√
1
ln( x3x ) ln(x)
lim
xց0
1
2
1
2
ln(x)+x ln(3)
ln(x)
ln(x) + x ln(3)
= lim
xց0
ln(x)
Also ist
lim
xց0
1
2x
für x ց 0 von Typ
+ ln(3)
1
x
√
= lim e
1 ln(x)+x ln(3)
2
ln(x)
xց0
xց0
Nun ist der Exponent
Dann gilt
x3x
8-12
1
ln(x)
= lim
xց0
=
√
e.
∞
∞
.
und daher ist
1
1
+ x ln(3) = .
2
2
Differential, Änderungsrate und Elastizität
8.4
Differentialrechnung
Differential, Änderungsrate und Elastizität
Definition 8.11 (Differential) Sei f : D → R eine differenzierbare Funktion
und sei x⋆ ∈ D. Unter dem Differential df der Funktion f an der Stelle x⋆ zum
Zuwachs dx 6= 0 versteht man:
df = f ′ (x⋆ ) · dx.
df ist ein Näherungswert für die exakte Funktionsdifferenz
f (x⋆ + dx) − f (x⋆ ).
Beispiel(e) 8.6 Es sei f : R → R mit f (x) = 3x2 (f ′ (x) = 6x), und es sei
x⋆ = 2. Für die Zuwächse dx = 0, 01; 0, 1; 1 erhält man
tatsächliche Funktionsdifferenz
dx Differential df
0, 01 6 · 2 · 0, 01 = 0, 12 f (2 + 0, 01) − f (2) = 12, 1203 − 12 = 0, 1203
0, 1 6 · 2 · 0, 1 = 1, 2
f (2 + 0, 1) − f (2) = 13, 23 − 12 = 1, 23
1
6 · 2 · 1 = 12
f (2 + 1) − f (2) = 27 − 12 = 15.
f
t
df
df
df
x⋆
dx
dx
dx
Abbildung 8.3: Funktion f , Tangente t in x⋆ und Differentiale
Definition 8.12 (Änderungsrate) Seien f : D → R eine differenzierbare
Funktion und x⋆ ∈ D mit f (x⋆ ) 6= 0. Der Ausdruck
f ′ (x⋆ )
f (x⋆ )
8-13
Differentialrechnung
Differential, Änderungsrate und Elastizität
heißt Änderungsrate oder prozentuale Änderung der Funktion f an der Stelle
x⋆ . Sie entspricht der relativen (prozentualen) Änderung der Funktion f an der
Stelle x⋆ bezogen auf den Funktionswert f (x⋆ ).
Definition 8.13 (Elastizität) Seien f : D → R eine differenzierbare Funktion,
x⋆ ∈ D mit f (x⋆ ) 6= 0. Der Ausdruck
εf (x⋆ ) =
x⋆ · f ′ (x⋆ )
f (x⋆ )
wird als Elastizität von f an der Stelle x⋆ bezeichnet. Sie entspricht dem Verhältnis der relativen (prozentualen) Änderungen von Funktionswert f und der Variablen x.
Ist f eine ökonomische Funktion, dann heißt f an der Stelle x⋆
elastisch, wenn |εf (x⋆ )| > 1,
unelastisch, wenn |εf (x⋆ )| < 1.
Bemerkung 8.12
f (x)−f (x⋆ )
x⋆ · f ′ (x⋆ )
⋆
εf (x ) =
= lim⋆ x⋆ x−x⋆
⋆
x→x
f (x )
f (x )
⋆
= lim⋆
x→x
f (x)−f (x⋆ )
f (x⋆ )
x−x⋆
x⋆
.
Beispiel(e) 8.7 Gegeben sei die Nachfragefunktion f (p) = 16 − 2p, wobei p der
Preis sei, p ∈ [0, 8]. Dann ist f ′ (p) = −2, und für die Preiselastizität ergibt sich
εf (p) =
f ′ (p)
−p
·p=
.
f (p)
8−p
Die Nachfrage f ist elastisch, wenn |εf (p)| > 1, d.h. in diesem Fall
εf (p) < −1 ⇔ p > 4.
Analog folgt, daß die Nachfrage unelastisch ist für p < 4. Eine mögliche Interpretation ist, daß für Preise kleiner als 4 eine Erhöhung des Preises zu einem
relativ schwachen Rückgang der Nachfrage führt. Hingegen hat eine Erhöhung
des Preises p für p > 4 einen relativ starken Rückgang der Nachfrage zur Folge.
8-14
Übungsaufgaben
8.5
Differentialrechnung
Übungsaufgaben
Aufgabe 8.1 Man bestimme, sofern existent, den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert und den Grenzwert der Funktion f im Punkt x⋆ .
√
x für 0 ≤ x ≤ 1
a
für x 6= x⋆
,
x⋆ = 1
a) f (x) =
b) f (x) =
2
⋆
x
für x > 1
a + 1 für x = x
x
für x < 1
⋆
c) f (x) = |x|, x = 0
d) f (x) =
, x⋆ = 1
x + 1 für x ≥ 1
Aufgabe 8.2 Man bestimme die folgenden Grenzwerte:
x3 −3x2 +2x
x−2
x→2
a) lim
sin x+cos2 x
x
x→∞
b) lim
1
c) lim e x−1
x→−∞
Aufgabe 8.3 Für die folgenden Funktionen untersuche man ob f in x⋆ stetig ist?
Falls nicht untersuche man ob x⋆ eine (hebbare) Lücke, Polstelle oder Sprungstelle
der Funktion ist ?
a) f (x) =
x2 −1
,
x+1
b) f (x) = |x − 1|,


 ex−1 für x < 1
c) f (x) =
,

 2x
für x ≥ 1
d) f (x) =
x4 +x3
,
x3 −2x2 +x
1
e) f (x) = e x−1 ,
x⋆ = −1
x⋆ = 1
x⋆ = 1
x⋆ = 0 und x⋆ = 1
x⋆ = 1
Aufgabe 8.4 Sind die folgenden Funktionen
a) f (x) = |x − 5| + 6x,
in x⋆
b) f (x) = 5 − |x + 3| − |x|,
in x⋆
sin( π2 + x) für x < 0
c) f (x) =
in x⋆
1 + x2
für x ≥ 0
im Punkt x⋆ differenzierbar?
=5
=3
=0
Aufgabe 8.5 Man bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:
a) f (x) = 2x3 − 5x − 3 sin x + sin π8 b) f (x) = (x4 + 4x) sin x
2 −cos x
d) f (x) = (2x3 − 3x + ln x)4
c) f (x) = x2+sin
x
e) f (x) = p
cos(x3 + 3x2 − 8)4
f ) f (x) = cos4 (x3 + 3x2 − 8)
h) f (x) = ln(x2 + 1)
g) f (x) = sin(ex )
Aufgabe 8.6 Man berechne und vereinfache die Ableitungen folgender Funktionen:
8-15
Differentialrechnung
Übungsaufgaben
a) f (x) = (tan x − 1) cos x
√
c) f (x) = (1 + 3 x)2
b) f (x) = ln
q
1+sin x
1−sin x
Aufgabe 8.7 Man berechne f ′ (x) durch logarithmische Differentiation:
a) f (x) = (tan x)x
c) f (x) =
√
(0 < x < π2 ),
b) f (x) = sin xx−1
(x > 1),
(x+2) x−1
.
x3 (x−2)2
Aufgabe 8.8 Man bilde die dritte Ableitung der Funktionen:
a) f (x) = x2 sin x
b) f (x) = ln(x2 )
c) f (x) = x2 (x + 1)
d) f (x) = (x + 1)ex
Aufgabe 8.9 Gegeben sei die Kostenfunktion K mit K(x) = 4x3 −2x2 +4x+100.
Berechnen Sie die Kostenänderung, die durch eine Erhöhung der Produktion x
von 2 auf 2,5 Einheiten bewirkt wird, näherungsweise mit Hilfe des Differentials
und exakt.
näheAufgabe 8.10 Berechnen Sie für die Nachfragefunktion f mit f (p) = 320
p
rungsweise die Änderung der nachgefragten Menge bei Änderung des Preises von
8 auf 10 DM mit Hilfe des Differentials.
x
Aufgabe
8.11 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = 2e 2 und g mit g(x) =
√
3 x. Man berechne die Änderungsraten der Funktionen und die Elastizitäten
εf (x) und εg (x).
Aufgabe 8.12 Mit den Variablen x > 0 für die Nachfrage und p > 0 für den
2
Preis einer Ware gelte die Preis-Nachfrage-Beziehung f (p) = 1000e−2(p−1) . Man
berechne die Elastizität εf (p). Für welche p ist die Nachfrage elastisch und für
welche unelastisch?
Aufgabe 8.13 Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und das globale Maximum
auf dem Intervall −5 ≤ x ≤ 5 für die folgenden Funktionen:
a) f (x) = x4 − 3x3 + x2 − 5 b) f (x) = 4 − |x − 5|
x2
c) f (x) = e− 2
e) f (x) =
c) f (x) =
x2
x−2
√
x
√
1+ x
Aufgabe 8.14 Man bestimme a und b so, daß die Funktion f mit f (x) = a ln x+
bx2 + x an den Stellen x1 = 1 und x2 = 2 Extremwerte besitzt. Welcher Art sind
die Extrema?
8-16
Übungsaufgaben
Differentialrechnung
Aufgabe 8.15 Für die folgenden Funktionen f bestimme man: größtmöglichen
Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen, Sprünge oder Lücken, Extrema, Monotonieverhalten, Konvexitätsverhalten, Wendepunkte und Verhalten für x → ±∞.
Man skizziere die Graphen der Funktionen.
x2 + 1
a) f (x) =
(x − 2)2
x4 + x3
c) f (x) = 3
x − 2x2 + x
x−2
e) f (x) = ln 2
x
3x2 − 4x
b) f (x) =
−2x2 + x
x2 − 1
d) f (x) =
(x − 2)2
√
3
e) f (x) = 2x2 − x3
Aufgabe 8.16 Man berechne folgende Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hospital:
a)
c)
e)
sin x
x→0 x
b)
lim
1
lim (x2 ) x
d)
x→∞
1
1
f)
lim
−
x→0
x sin x x2
8-17
e2(x−1) − x2
x→1 (x2 − 1)2
lim
lim xx
xց0
1
sin x
ln
.
2
x→0 x
x
lim
Differentialrechnung
8.6
Lösungen
Lösungen
8.1 a) lim⋆ f (x) = a
b) lim f (x) = 1
x→x
x→1
c) lim f (x) = 0
d) lim f (x) = 2; lim f (x) = 1.
x→0
x3 −3x2 +2x
x−2
x→2
8.2 a) lim
xց1
=2
xր1
sin x+cos2 x
x
x→∞
b) lim
=0
1
c) lim e x−1 = 1.
x→−∞
8.3 a) nicht stetig, Lücke;
b) stetig;
c) nicht stetig, Sprungstelle;
⋆
⋆
d) x = 0: nicht stetig, Lücke;
x = 1: nicht stetig, Polstelle;
e) nicht stetig, Polstelle.
8.4 a) nein;
b) ja;
c) ja
8.5 a) f ′ (x) = 6x2 − 5 − 3 cos x
b) f ′ (x) = (4x3 + 4) sin x + (x4 + 4x) cos x
c) f ′ (x) =
4x+2x sin x+2 sin x+sin2 x−x2 cos x+cos2 x
(2+sin x)2
d) f ′ (x) = 4(2x3 − 3x + ln x)3 (6x2 − 3 + x1 )
e) f ′ (x) = −4(x3 + 3x2 − 8)3 (3x2 + 6x) sin(x3 + 3x2 − 8)4
f) f ′ (x) = −4(3x2 + 6x) cos3 (x3 + 3x2 − 8) sin(x3 + 3x2 − 8)
g) f ′ (x) =
x
ex
√cos e ;
2 sin ex
h) f ′ (x) =
2x
.
x2 +1
8.6 a) f ′ (x) = sin x + cos x;
b) f ′ (x) = cos1 x ;
8.7 a) f ′ (x) = ln(tan x) + sin xxcos x (tan x)x
b) f ′ (x) = (ln x + 1 − x1 )xx−1 cos(xx−1 )
√
x−1
1
1
+ 2(x−1)
− x3 −
c) f ′ (x) = (x+2)
x3 (x−2)2
x+2
8.8 a) f (3) (x) = 6 cos x − 6x sin x − x2 cos x
c) f (3) (x) = 6
2
x−2
2
1
c) f ′ (x) = 32 (x− 3 + x− 3 ).
.
b) f (3) (x) =
4
x3
d) f (3) (x) = (x + 4)ex .
8.9 Näherung: dK(x) = (12x2 − 4x + 4)dx = 22 für x = 2 und dx = 0, 5
Exakt:
K(x + 0, 5) − K(x) = 28 für x = 2.
8.10 f ′ (p) = − 320
p2
Mit p = 8 und dp = 2 ergibt sich näherungsweise eine Verringerung der
nachgefragten Menge um 10 Einheiten.
8.11
f ′ (x)
f (x)
= 21 ;
g ′ (x)
g(x)
=
1
;
2x
εf (x) = 21 x;
8-18
εg (x) = 21 .
Lösungen
Differentialrechnung
8.12 εf (p) = −4(p − 1)p
√
Die Nachfrage x ist elastisch für p > 21 (1 + 2) und unelastisch für 0 < p <
√
1
(1 + 2); p 6= 21 , (εf ( 21 ) = 1).
2
8.13 a)
lokale Minima in P1 (0; −5) und P2 (2; −9);
lokales Maximum in P3 (0.25; −4.98);
globales Maximum im RandpunktP4 (−5; 1020)
b) lokales und globales Maximum in P1 (5; 4)
c)
lokales und globales Maximum in P1 (0; 1)
d) lokales Minimum in P1 (4; 8); lokales Maximum in P2 (0; 0)
globales Maximum existiert nicht
e)
globales Minimum in P0 (0; 0);
globales Maximum im Randpunkt P1 (5; 0.69)
8.14
lokales Minimum in P1 (1; 65 ); lokales Maximum in P2 (2; 23 (2 − ln 2))
für a = − 23 ; b = − 16 .
8.15
a) D = R\{2}; keine Nullstelle; Polstelle in x = 2; lokales Minimum
); lim f (x) = 1; f monoton
in P0 (− 12 ; 51 ); Wendepunkt in P1 (− 47 ; 13
45
x→±∞
fallend für x ∈ (−∞; − 21 ) ∪ (2; ∞); f konvex für x > − 74 .
10
8
y 46
2
–10 –8
–6
–4
0
–2
–4
–6
–8
–10
2
4
x6
8
10
Abbildung 8.4: Graph der Funktion f (x) =
8-19
x2 +1
.
(x−2)2
Differentialrechnung
Lösungen
b) D = R\{0; 12 }; Nullstelle: x⋆ = 43 ; Lücke: x1 = 0; Polstelle: x2 = 21 ;
lim f (x) = − 32 ; f monoton fallend in D; f konvex für x > 12
x→±∞
10
8
y 46
2
–10 –8
–6
0
–2
–4
–6
–8
–10
–4
2
4
x6
8
10
3x2 −4x
.
−2x2 +x
Abbildung 8.5: Graph der Funktion f (x) =
c) D = R\{0; 1}; Nullstelle: x⋆ = −1; Lücke: x1 = 0; Polstelle: x2 = 1; lokales Minimum in P3 (3.56; 8.82); lokales Maximum in P4 (−0.56; 0.06);
Wendepunkt in P5 (0.20; 0.02); lim f (x) = −∞; lim f (x) = ∞; f
x→−∞
x→∞
monoton fallend in (−0.56; 0) ∪ (1; 3.56); f konvex für x > −0.2.
14
12
10
y8
6
4
2
–2
0
–2
2
4
x
6
8
10
Abbildung 8.6: Graph der Funktion f (x) =
8-20
x4 +x3
.
x3 −2x2 +x
Lösungen
Differentialrechnung
d) D = R\{2}; Nullstellen: x1 = 1; x2 = −1; Polstelle: x3 = 2; lokales
5
Minimum in P4 ( 21 ; − 13 ) Wendepunkt in P5 (− 14 ; − 27
); lim f (x) = 1;
x→±∞
f monoton fallend in (−∞; 21 ) ∪ (2; ∞); f konvex für x > − 14 .
20
15
y 10
5
–10 –8
–6
–4
–2 0
2
4
x6
8
10
–5
Abbildung 8.7: Graph der Funktion f (x) =
x2 −1
.
(x−2)2
e) D = {x ∈ R|x > 2}; keine Nullstelle; lokales Maximum in P1 (4; −3 ln 2);
Wendepunkt in P2 (6.83; −2.27); lim f (x) = −∞; lim = −∞; f mox→∞
x→2+0
noton fallend für x > 4; f konvex für x > 6.83
1
x
0
–1
–2
–3
y –4
–5
–6
–7
–8
).
Abbildung 8.8: Graph der Funktion f (x) = ln( x−2
x2
8-21
Differentialrechnung
Lösungen
f) D(x) = R; Nullstellen: x1 = 0; x2 = 2; lokales Maximum in P3 (1.33; 1.06);
lokales Minimum mit Spitze in P2 (0; 0) (Ableitung ex. nicht) Wendepunkt in P4 (2; 0); lim = ∞; lim = −∞; f monoton fallend in
(−∞; 0) und
x→−∞
4
( 3 ; ∞); f konvex
x→∞
für x > 2.
10
8
y 46
2
–10 –8
–6
–4
0
–2
–4
–6
–8
–10
2
4
x6
8
Abbildung 8.9: Graph der Funktion f (x) =
8.16 a) 1;
b) 41 ;
c) 1;
d) 1;
8-22
e) 16 ;
10
√
3
f) − 16
2x2 − x3 .
Kapitel 9
Integralrechnung für Funktionen
einer Variablen
9.1
Das unbestimmte Integral
Definition 9.1 (Stammfunktion) Es sei f : D → R eine Funktion. Eine differenzierbare Funktion F : D → R heißt Stammfunktion von f , falls
F ′ (x) = f (x)
für alle x ∈ D, d.h. F ′ = f.
Die Funktion f heißt dann integrierbar.
Beispiel(e) 9.1
i) Sei f : R → R gegeben durch f (x) = xn , n ∈ N0 . Dann ist F : R → R
1
mit F (x) = n+1
xn+1 eine Stammfunktion von f , da F ′ (x) = f (x) für alle
x ∈ R.
ii) Sei f : R → R gegeben durch f (x) = x2 − 3x + 5. Dann ist F : R → R
gegeben durch F (x) = 31 x3 − 32 x2 + 5x eine Stammfunktion von f . Aber auch
G : R → R mit G(x) = 13 x3 − 32 x2 + 5x+2 ist eine Stammfunktion von f .
Satz 9.1 Sei f : D → R eine integrierbare Funktion, und seien F, G : D → R
Stammfunktionen von f . Dann gibt es eine Konstante c ∈ R mit
G(x) = F (x) + c
für alle x ∈ D.
Ist also F eine Stammfunktion von f , dann sind alle Stammfunktionen von f
durch die Menge
{G(x) = F (x) + c für alle x ∈ D : c ∈ R}
beschrieben.
9-1
Integralrechnung
Das unbestimmte Integral
Definition 9.2 (Unbestimmtes Integral) Sei f : D → R eine integrierbare
Funktion. Durch das Symbol
Z
f (x) dx
beschreibt man eine beliebige Stammfunktion von f , und es wird unbestimmtes
Integral der Funktion f genannt. Sprechweise: Integral von f (x) dx.“
”
Ist F eine Stammfunktion von f , dann schreibt man auch manchmal
Z
f (x) dx = F (x) + c,
wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.
Beispiel(e) 9.2 (Unbestimmte Integrale einiger Grundfunktionen) Im folgenden sei c ∈ R eine beliebige Konstante.
i) f : R → R, f (x) = xn , n ∈ N0
Z
Z
1
xn+1 + c,
f (x) dx = xn dx =
n+1
ii) f : {x ∈ R : x > 0} → R, f (x) = xα , α ∈ R, α 6= −1,
Z
Z
1
f (x) dx = xα dx =
xα+1 + c,
α+1
1
iii) f : {x ∈ R : x 6= 0} → R, f (x) = ,
x
Z
Z
1
f (x) dx =
dx = ln(|x|) + c,
x
iv) f : R → R, f (x) = ex ,
Z
Z
f (x) dx = ex dx = ex + c,
v) f : R → R, f (x) = ax , a > 0, a 6= 1,
Z
Z
1 x
a + c,
f (x) dx = ax dx =
ln(a)
vi) f : R → R, f (x) = sin x,
Z
Z
f (x) dx = sin x dx = − cos x + c,
vii) f : R → R, f (x) = cos x,
Z
Z
f (x) dx = cos x dx = sin x + c,
π
viii) f : {x ∈ R : x 6= (2k + 1) , k ∈ Z} → R, f (x) = tan x,
2
Z
Z
f (x) dx = tan x dx = − ln(| cos x|) + c,
9-2
Das unbestimmte Integral
Integralrechnung
ix) f : {x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z} → R, f (x) = cot x,
Z
Z
f (x) dx = cot x dx = ln(| sin x|) + c,
π
1
x) f : {x ∈ R : x 6= (2k + 1) , k ∈ Z} → R, f (x) =
,
2
cos2 x
Z
Z
1
dx = tan x + c,
f (x) dx =
cos2 x
1
xi) f : {x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z} → R, f (x) =
,
sin2 x
Z
Z
1
f (x) dx =
dx = cot x + c,
sin2 x
1
,
xii) f : (−1, 1) → R, f (x) = √
2
1
−
x
Z
Z
1
√
f (x) dx =
dx = arcsin x + c,
1 − x2
−1
xiii) f : (−1, 1) → R, f (x) = √
,
2
1
−
x
Z
Z
−1
√
dx = arccos x + c,
f (x) dx =
1 − x2
1
xiv) f : R → R, f (x) =
,
2
Z
Z 1+x
1
f (x) dx =
dx = arctan x + c,
1 + x2
−1
,
xv) f : R → R, f (x) =
2
1
+
x
Z
Z
−1
f (x) dx =
dx = arccotx + c.
1 + x2
Aus der Umkehrung von Differentiationsregeln ergeben sich nun Integrationsregeln.
Bemerkung 9.1 Seien f, g : D → R integrierbare Funktionen, und sei λ ∈ R.
Dann gilt:
Z
Z
λ · f (x) dx = λ f (x) dx,
Z
Z
Z
f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx.
Als Umkehrung der Produktregel beim Differenzieren ergibt sich die sogenannte partielle Integration.
9-3
Integralrechnung
Das unbestimmte Integral
Satz 9.2 (Partielle Integration) Seien f, g : D → R differenzierbare Funktionen. Dann gilt
Z
Z
′
f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) − f ′ (x) · g(x) dx.
R
Beispiel(e) 9.3 Gesucht ist ln x · x dx. Dazu seien f (x) = ln x und g ′ (x) = x.
2
Also ist etwa g(x) = x2 . Dann gilt nach Satz 9.2:
Z
Z
Z
′
ln x · x dx = f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) − f ′ (x) · g(x) dx
Z
x2
1 x2
= ln x ·
−
·
dx
2
x 2
Z
1
x
x2 x2
x2
x2
ln x −
+ c,
−
dx = ln x ·
−
+c=
= ln x ·
2
2
2
4
2
2
wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.
Dieses Beispiel läßt sich wie folgt verallgemeinern: Seien f (x) = ln x und
1
g ′ (x) = xn für ein n ∈ N0 . Dann ist z.B. g(x) = n+1
xn+1 und es gilt
Z
Z
Z
n
′
ln x · x dx = f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) − f ′ (x) · g(x) dx
Z
xn+1
1 xn+1
= ln x ·
−
·
dx
n+1
x n+1
Z
xn
xn+1
−
dx
= ln x ·
n+1
n+1
xn+1
1
xn+1
xn+1
= ln x ·
ln x −
+ c.
−
+c=
n + 1 (n + 1)(n + 1)
n+1
n+1
Insbesondere folgt daraus (für n = 0)
Z
ln x dx = x ln x − x + c.
P
Ist p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = ni=0 ai xi ein Polynom vom Grad n,
so folgt aus dem bisher gezeigten:
!
!
Z
Z
Z X
n
n
X
i
i
ln x · p(x) dx =
ln x ·
ai x dx =
ln x · ai x dx
=
=
n Z
X
"i=0n
X
i=0
i=0
i=0
ln x · ai xi dx =
i+1
x
ai ·
i+1
n
X
i=0
1
ln x −
i+1
9-4
ai
Z
#
ln x · xi dx
+ c.
Das unbestimmte Integral
Integralrechnung
R
Beispiel(e) 9.4 Seien n ∈ N und λ ∈ R \ {0}. Gesucht ist xn · sin(λx)dx. Sei
. Dann gilt
f (x) = xn und g ′ (x) = sin(λx), also g(x) = − cos(λx)
λ
Z
Z
Z
n
′
x · sin(λx)dx = f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) − f ′ (x) · g(x) dx
Z
xn
cos(λx)
n−1
= − cos(λx) − n · x
−
dx
λ
λ
Z
xn
n
= − cos(λx) +
xn−1 cos(λx) dx.
λ
λ
Insbesondere ist also für n = 1
Z
1
x
x · sin(λx)dx = − cos(λx) +
λ
λ
Z
sin(λx)
x
+ c.
cos(λx) dx = − cos(λx) +
λ
λ2
Beispiel(e) 9.5 Seien n ∈ N und λ ∈ R \ {0}. Gesucht ist
Analog wie in dem Beispiel 9.4 folgt
Z
Z
xn
n
n
x · cos(λx)dx =
sin(λx) −
xn−1 sin(λx) dx,
λ
λ
R
xn · cos(λx)dx.
und für n = 1 ergibt sich
Z
x · cos(λx)dx =
cos(λx)
x
sin(λx) +
+ c.
λ
λ2
R
Beispiel(e) 9.6 Sei λ ∈ R \ {0}. Gesucht ist x3 · sin(λx)dx. Mit Hilfe von
Beispiel 9.4 und 9.5 folgt
Z
Z
x3
3
3
x · sin(λx)dx = − cos(λx) +
x2 cos(λx) dx
λ
λ
Z
x3
3 x2
2
= − cos(λx) +
sin(λx) −
x sin(λx) dx
λ
λ λ
λ
Z
x3
3x2
6
= − cos(λx) + 2 sin(λx) − 2 x sin(λx) dx
λ
λ
λ
2
3
x
3x
6
sin(λx)
x
+ c̃
= − cos(λx) + 2 sin(λx) − 2 − cos(λx) +
λ
λ
λ
λ
λ2
2
3
3x
x
6x
6
=
− 3 cos(λx) + c,
− 4 sin(λx) −
λ2
λ
λ
λ
wobei c̃, c beliebige Konstanten sind.
9-5
Integralrechnung
Das unbestimmte Integral
R
Beispiel(e) 9.7 Seien n ∈ N und λ ∈ R \ {0}. Gesucht ist xn · eλx dx. Seiλx
en f (x) = xn und g ′ (x) = eλx , also g(x) = eλ . Wie in den vorangegangenen
Beispielen folgt
Z
Z
λx
n
n
λx
ne
x · e dx = x
−
xn−1 · eλx dx.
λ
λ
R
Beispiel(e) 9.8 Gesucht ist ex sin x dx. Seien f (x) = sin x und g ′ (x) = ex ,
also g(x) = ex . Es folgt
Z
Z
Z
x
′
e sin x dx = f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) − f ′ (x) · g(x) dx
Z
x
= e sin x − ex cos x dx.
R
Für das unbestimmte Integral ex cos x dx erhält man analog
Z
Z
x
x
e cos x dx = e cos x + ex sin x dx.
Somit ist
Z
e sin x dx = e sin x −
Z
ex sin x dx = ex sin x − ex cos x + c
Z
ex sin x dx =
x
x
Z
ex cos x dx
Z
x
x
x
= e sin x − e cos x + e sin x dx
Z
x
x
= e sin x − e cos x − ex sin x dx.
Also
2
bzw.
ex
(sin x − cos x) + c.
2
Als Umkehrung der Kettenregel beim Differenzieren erhält man die
Satz 9.3 (Substitutionsregel) Sei f : D → R eine integrierbare Funktion,
und sei F : D → R eine Stammfunktion von f . Weiterhin sei g : E → R eine
differenzierbare Funktion mit g(E) ⊂ D. Dann gilt
Z
f (g(x)) g ′ (x) dx = F (g(x)) + c,
wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.
9-6
Das bestimmte Integral
Integralrechnung
Beispiel(e) 9.9 Sei f : D → R eine integrierbare Funktion mit Stammfunktion
F , und sei g : E → R differenzierbar mit g(E) ⊂ D.
R
a 6= 0, b ∈ R.
i) f (ax + b) dx = a1 F (ax + b) + c,
ii)
iii)
iv)
v)
R
R
R
R
(g(x))n g ′ (x) dx =
g ′ (x)
g(x)
1
n+1
(g(x))n+1 + c,
n ∈ N0 .
dx = ln (|g(x)|) + c.
g ′ (x)
(g(x))n
dx =
−1
(n−1)(g(x))n−1
+ c, n ∈ N, n ≥ 2.
g ′ (x)eg(x) dx = eg(x) + c.
R 2
Beispiel(e) 9.10 Gesucht ist 3x−1
dx. Sei g(x) = 3x − 1, dann ist g ′ (x) = 3
und daher
Z
Z ′
Z
2 g ′ (x)
2
g (x)
2
2
dx =
dx =
dx = ln (|g(x)|) + c
3x − 1
3 g(x)
3
g(x)
3
p
2
= ln (|3x − 1|) + c = ln 3 (3x − 1)2 + c.
3
9.2
Das bestimmte Integral
Gegeben sei eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R auf einem abgeschlossenen
Intervall [a, b], a < b. Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die durch den Graphen
der Funktion und der x-Achse begrenzt wird.
y
a
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
f
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
x
b
Abbildung 9.1: Fläche, die durch f und die x-Achse eingeschlossen wird.
9-7
Integralrechnung
Das bestimmte Integral
Idee: Approximation des Flächeninhalts durch kleine Rechtecke“: Sei n ∈ N.
”
Das Intervall [a, b] wird nun in n gleichgroße Teilintervalle
[a, x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xi−1 , xi ], . . . , [xn−1 , b]
eingeteilt. Desweiteren sei x0 = a und xn = b. Für die Länge eines solchen
Intervalls erhält man
b−a
|xi − xi−1 | =
.
n
Da die Funktion beschränkt ist, gibt es für jedes Intervall [xi−1 , xi ] einen Punkt
xmin
∈ [xi−1 , xi ], so daß
i
f (x) ≥ f (xmin
i ) für alle x ∈ [xi−1 , xi ].
y
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
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11111
000000
111111
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000000
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00000
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00000
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00000
11111
000000
111111
00000
11111
a = x0 x1
x2
x3
xmin
1
xmin
2
xmin
3
f
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
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111111
000000
111111
xi−1
x
xi
b = xn
xmin
i
Abbildung 9.2: Approximation durch kleine Rechtecke von unten“ .
”
Der Flächeninhalt des Rechtecks bzgl. dem Intervall [xi−1 , xi ] ist gleich
min
f (xmin
i ) · |xi − xi−1 | = f (xi ) ·
b−a
.
n
Die Summe über all die Flächeninhalte dieser Rechtecke ist sicherlich eine untere
Schranke für den wahren“ Flächeninhalt I der Fläche, die durch den Graphen
”
der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird. Es gilt also
I≥
Inmin
=
n
X
i=1
f (xmin
i )
· |xi − xi−1 | = (b − a)
n
X
f (xmin )
i
i=1
Der Wert Inmin heißt auch Riemannsche Untersumme bzgl. n.
9-8
n
.
Das bestimmte Integral
Integralrechnung
y
11111
00000
000000
111111
00000
11111
000000
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00000
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00000
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000000
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00000
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000000
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00000
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00000
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11111
00000
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00000
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000000
111111
00000
11111
00000
11111
000000
111111
00000
11111
00000
11111
000000
111111
00000
00000 max 11111
11111
a = x 0 x1 x2 x2
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
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000000
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000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
x3
f
xi−1
xi
max
xi
xmax
xmax
1
3
x
b = xn
Abbildung 9.3: Approximation durch kleine Rechtecke von oben“ .
”
Ebenso existiert für jedes Intervall [xi−1 , xi ] ein Punkt xmax
∈ [xi−1 , xi ], so
i
daß
f (x) ≤ f (xmax
) für alle x ∈ [xi−1 , xi ].
i
Die Summe über all die Flächeninhalte dieser Rechtecke ist sicherlich eine
obere Schranke für den wahren “Flächeninhalt I. Es gilt also
”
n
n
X
X
f (xmax
)
i
max
max
I ≤ In =
f (xi ) · |xi − xi−1 | = (b − a)
.
n
i=1
i=1
Der Wert Inmax heißt auch Riemannsche Obersumme bzgl. n.
Definition 9.3 (Bestimmtes Integral) Sei f : [a, b] → R eine beschränkte Funktion. Existieren für n → ∞ die Grenzwerte der Folgen (Inmin )n∈N und
(Inmax )n∈N und gilt
lim Inmin = lim Inmax
n→∞
n→∞
dann heißt die Funktion (Riemann)-integrierbar. Der gemeinsame Grenzwert wird
mit
Z
b
f (x)dx
a
bezeichnet und heißt das bestimmte Integral von f im Intervall [a, b]. x heißt
die Integrationsvariable, f (x) bezeichnet man als Integranden, und a, b heißen
Integrationsgrenzen.
Bemerkung 9.2 Ist f : [a, b] → R eine Riemann-integrierbare Funktion mit
Rb
f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann ist a f (x) dx der Flächeninhalt der Fläche, die
durch den Graphen und die x-Achse eingeschlossen wird.
9-9
Integralrechnung
Das bestimmte Integral
y
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
+
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
+
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
x2 xi−1
xi
a 111111111111111111111111111111
= x0 x1
x3
b=
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
x
xn
Abbildung 9.4: negative Flächenstücke “ .
”
Ist f in einigen Bereichen negativ, so sind die entsprechenden Bereiche negativ
in Ansatz zu bringen.
Satz 9.4 (Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung) Sei
f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Dann ist f Riemann-integrierbar, und es gibt
eine Stammfunktion F von f . Ferner gilt
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Bezeichnung: Man schreibt auch
Z b
b
f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a).
a
a
Bemerkung 9.3 (Eigenschaften bestimmter Integrale)
Z a
f (x) dx = 0,
i)
a
Z a
Z b
f (x) dx = −
f (x) dx,
ii)
a
b
Z c
Z c
Z b
f (x) dx.
f (x) dx =
f (x) dx +
iii)
a
a
b
Satz 9.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] → R eine
stetige Funktion. Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit
Z b
1
f (x) dx.
f (ξ) =
b−a a
9-10
Uneigentliche Integrale
9.3
Integralrechnung
Uneigentliche Integrale
Ist eine der Integrationsgrenzen unendlich, oder ist die zu integrierende Funktion
an den Integrationsgrenzen unbeschränkt, dann spricht man von uneigentlichen
Integralen. Man unterscheidet drei Fälle:
Definition 9.4 (Uneigentliche Integrale I.) Sei f : [a, ∞) → R eine stetige
Funktion. Falls der Grenzwert
Z R
f (x) dx
lim
R→∞
a
existiert, so setzt man
Z
∞
Z
f (x) dx = lim
R→∞
a
R
1
Somit erhält man
R∞
1
1
x2
f (x) dx.
a
Beispiel(e) 9.11 Gesucht ist, falls existent,
Z
R
R∞
1
1
x2
dx. Es ist
−1 R
1
1
dx
=
=1− .
2
x
x 1
R
dx = 1.
Bemerkung 9.4 Analog definiert man das Integral
tion f : (−∞, b] → R.
Rb
−∞
f (x) dx für eine Funk-
Definition 9.5 (Uneigentliche Integrale II.) Sei f : (a, b] → R eine stetige
Funktion. Falls der Grenzwert
Z b
f (x) dx
lim
ǫց0
a+ǫ
existiert, dann setzt man
Z
b
f (x) dx = lim
ǫց0
a
Z
ǫ
Somit erhält man
1
f (x) dx.
a+ǫ
Beispiel(e) 9.12 Gesucht ist, falls existent,
Z
b
R1
0
√1
x
dx. Es ist
√
1 1
1
√ dx = 2x 2 = 2 1 − ǫ .
x
ǫ
Z
0
1
1
√ dx = 2.
x
9-11
Integralrechnung
Uneigentliche Integrale
Bemerkung 9.5 Analog definiert man das Integral
f : [a, b) → R.
Rb
a
f (x) dx für eine Funktion
Definition 9.6 (Uneigentliche Integrale III.) Sei f : (a, b) → R eine stetige
Funktion, wobei a, b reelle Zahlen sein können oder aber auch gleich ±∞. Sei nun
c ∈ (a, b). Falls die beiden Grenzwerte
lim
αցa
Z
c
f (x) dx
und
α
lim
βրb
Z
β
f (x) dx
c
existieren, dann setzt man
Z
Z c
Z b
f (x) dx + lim
f (x) dx = lim
a
αցa
βրb
α
Beispiel(e) 9.13 Gesucht ist, falls existent,
R1
−1
β
f (x) dx.
c
√ 1
1−x2
dx. Es ist
Z β
1
1
√
√
dx + lim
dx
lim
2
βր1 0
αց−1 α
1−x
1 − x2
= lim (arcsin(0) − arcsin(α)) + lim (arcsin(β) − arcsin(0))
Z
0
αց−1
βր1
π
π
= − lim arcsin(α) + lim arcsin(β) = −(− ) + = π.
αց−1
βր1
2
2
Somit erhält man
Z
1
−1
√
1
dx = π.
1 − x2
9-12
Übungsaufgaben
9.4
Integralrechnung
Übungsaufgaben
Aufgabe 9.1 Man berechne durch partielle Integration:
Z
Z
2 x
a) x e dx,
b) ex cos x dx,
Z
Z
x
dx, d) sin2 x dx.
c)
cos2 x
Aufgabe 9.2 Folgende Integrale sind durch Substitution zu lösen:
R 5
R
R
c) 1−4x
dx
a) esin x cos x dx
b) lnxx dx
R
d)
R
g)
1
e3−2x
dx
e2x −2ex
dx
e2x +1
R
e)
h)
R
√ x
x2 +1
dx
√ 1
2−9x2
dx
Aufgabe 9.3 Man berechne die bestimmten Integrale:
a)
R2
x2 dx
−1
π
R2
d) sin3 x dx
0
π
R2
g) sin x cos2 x dx
0
e)
0
h)
R0
−1
R
i)
dx
cos3 x
dx
sin2 x
1√
1+ x
dx
π
dx
1
x2 +2x+2
3
√x
1+x2
0
0
√ x
1+2x
R
R4
c)
R2π
b) sin x dx
R4
f)
f)
R2
cos2 x dx
− π2
dx
Aufgabe 9.4 Ein Unternehmen beabsichtigt, die Entwicklung von Kosten, Umsatz und Gewinn für ein neues Produkt in den ersten fünf Jahren nach seiner Markteinführung im voraus zu bestimmen. Folgende Schätzungen werden in
Abhängigkeit von der Zeit t (Jahre nach der Markteinführung) zugrundegelegt:
K (t) = 1.000 (1 − t2 e−t )¤
2
U (t) = 10.000 te−t ¤
für die Kosten pro Zeiteinheit im Jahr t
für den Umsatz pro Zeiteinheit im Jahr t
Berechnen Sie für den Zeitraum von 5 Jahren
a) die Gesamtkosten, den Gesamtumsatz und den Gesamtgewinn,
b) den mittleren Umsatz und die mittleren Kosten pro Zeiteinheit,
c) die Entwicklung des Gewinns in Abhängigkeit von der Zeit t.
9-13
Integralrechnung
Übungsaufgaben
Aufgabe 9.5 Der Durchsatz q(t) (produzierte Menge je Zeiteinheit) einer kontinuierlich arbeitenden Produktionsanlage wird in Abhängigkeit von der Zeit t
durch
"
2 #
t
q(t) = q0 1 −
10
beschrieben, d. h. der Durchsatz q(t) sinkt vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt 10
von q0 auf 0 ab. Zu einem Zeitpunkt tI erfolgt im Zeitintervall [0, T ] mit T < 10
eine Instandsetzung der Anlage, wodurch wieder der ursprüngliche Durchsatz q0
erreicht wird. Danach nimmt der Durchsatz wieder nach der obigen Gesetzmäßigkeit ab.
a) Stellen Sie den Durchsatz unter Berücksichtigung der Instandsetzung graphisch dar.
b) Berechnen Sie die Produktionsmenge im Zeitraum [0, T ] unter Berücksichtigung einer Instandsetzung zum Zeitpunkt tI = 4.
c) Zu welchem Zeitpunkt tI muß die Instandsetzung erfolgen, damit die
Produktionsmenge maximal wird?
Aufgabe 9.6 Man berechne, falls existent, die uneigentlichen Integrale:
a)
R0
ex dx
−∞
R∞
d) λxe−λx dx
0
b)
R∞
1
1
x2 +2x+1
dx
R∞
e) λx2 e−λx dx
0
9-14
R∞
c) λe−λx dx
0
Lösungen
9.5
Integralrechnung
Lösungen
9.1 a) ex (x2 − 2x + 2) + c
c)
x tan x + ln | cos x| + c
b)
1 x
e (sin x
2
d)
1
(− sin x cos x
2
+ x) + c
b)
1
(ln x)2
2
+c
d)
1 −3+2x
e
2
+c
x2 + 1 + c
f)
1
3
ln(e2x + 1) − 2 arctan ex + c
h)
1
3
9.2 a) esin x + c
c)
+ cos x) + c
− 54 ln |1 − 4x| + c
e)
√
g)
1
2
i)
− sin1 x − sin x + c
9.3 a)
3
b) 0
d)
2
3
e)
10
3
g)
1
3
h)
π
4
c)
4 − 2 ln 3
f)
π
2
√
x2 + 1(x2 − 2) + c
arcsin √32 x + c
9.4 a)
Gesamtkosten Kg = 3.249, 3; Gesamtumsatz Ug = 5.000;
Gesamtgewinn Gg = 1.750, 7
b) mittlere Kosten Km = 649, 8; mittlerer Umsatz Um = 1.000
2
c) G(t) = −5.000 e−t − 1.000 e−t (t2 + 2t + 2) − 1.000 t + 7.000
9.5
a)
q(t)
q0
t
tI
9-15
Integralrechnung
b) q0 T 1 −
c) x =
9.6 a)
c)
Lösungen
T 2 −12 T +48
300
T
2
1
b)
1
2
1; λ > 0
d)
1
;
λ
λ>0
e)
2
λ2
; λ>0
0; λ = 0
0; λ = 0
0; λ = 0
−∞ ; λ < 0
−∞ ; λ < 0
−∞ ; λ < 0
9-16
Kapitel 10
Vektoren
10.1
Der n-dimensionale Raum Rn
Definition 10.1 (Rn und Vektoren) Sei n ∈ N. Die Menge der geordneten
n-Tupel
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} = R
| ×R×
{z· · · × R}
n-mal
heißt n-dimensionaler (euklidischer) Raum. Ein Element x ∈ Rn wird als Vektor
bezeichnet. Man unterscheidet zwei verschiedene Darstellungsformen von Vektoren: Üblicherweise versteht man unter x ∈ Rn den Spaltenvektor
 
x1
 x2 
 
x =  .. 
.
xn
mit den Koordinaten oder Komponenten xi . Hingegen bezeichnet man die Darstellung
x = (x1 , x2 , . . . , xn )
als Zeilenvektor mit Koordinaten oder Komponenten xi .
Bemerkung 10.1
i) R1 = {(x1 ) : x1 ∈ R} ist die Menge der reellen Zahlen R, und geometrisch
kann man den R1 als die Zahlengerade interpretieren.
ii) R2 = {(x1 , x2 ) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ 2} ist die Menge der geordneten Paare
reeller Zahlen. Geometrisch entspricht diese Menge der (x,y)-Ebene“.
”
10-1
Der n-dimensionale Raum Rn
Vektoren
x2
5
8
8
−9
−2
−9
−2
x1
5
Abbildung 10.1: Der 2-dimensionale Raum R2
iii) R3 = {(x1 , x2 , x3 ) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ 3} entspricht unserem 3-dimensionalem
”
0 1
Anschauungsraum“.
6
@12A
11
x3
11
x2
12
x1
6
Abbildung 10.2: Der 3-dimensionale Raum R3
10-2
Der n-dimensionale Raum Rn
Vektoren
iv) Für n = 1, 2, 3 kann man sich Vektoren x ∈ Rn
als gerichtete Pfeile“ vom
”
x1
 
Nullpunkt zu dem Punkt mit den Koordinaten  ...  vorstellen.
xn
v) Für x ∈ Rn wird mit xi die i-te Koordinate bezeichnet.
Beispiel(e) 10.1 (Spezielle Vektoren)
i) Der Vektor, dessen Koordinaten alleNull
 sind, heißt Nullvektor und wird
mit 0 bezeichnet, also
0
0
 
0 =  ..  .
.
0
ii) Unter dem i-ten Einheitsvektor ei ∈ Rn versteht man den Vektor, dessen
i-te Koordinate gleich 1 ist, und alle anderen Koordinaten sind 0, also
 
 
 
1
0
0
0
1
0
 
 
 
0
0
 
1
2
n
e =   , e =   , . . . , e =  ...  .
 .. 
 .. 
 
.
.
0
0
1
0
Definition 10.2 (Relationen zwischen Vektoren) Seien x, y ∈ Rn .
i) x und y heißen gleich (Schreibweise: x = y), wenn sie koordinatenweise
gleich sind, d.h.
x = y ⇐⇒ xi = yi
für i = 1, . . . , n.
ii) x heißt kleiner als y (Schreibweise: x < y), wenn x koordinatenweise kleiner als y ist, d.h.
x < y ⇐⇒ xi < yi
für i = 1, . . . , n.
iii) x heißt kleiner oder gleich als y (Schreibweise: x ≤ y), wenn x koordinatenweise kleiner oder gleich als y ist, d.h.
x ≤ y ⇐⇒ xi ≤ yi
für i = 1, . . . , n.
iv) Analog sind die Relationen > und ≥ definiert.
Vektoren werden also koordinatenweise verglichen.
10-3
Der n-dimensionale Raum Rn
Vektoren
Bemerkung 10.2 Nicht alle Vektoren
sind bzgl.
den Relationen =, >, ≥ mitein
−1
1
ander vergleichbar, z.B. x = −1 und y = 1 . Dann gilt weder
x=y
noch
x≤y
noch
y ≤ x.
Definition 10.3 (Skalare) Reelle Zahlen λ ∈ R werden auch als Skalare bezeichnet.
Definition 10.4 (Rechenregeln für Vektoren) Seien x, y ∈ Rn . Zwei Vektoren x, y ∈ Rn werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie koordinatenweise
addiert bzw. subtrahiert, d.h.

    
x1 ± y1
y1
x1
 x2   y2   x2 ± y2 

    
x ± y =  ..  ±  ..  = 
.
..

. . 
.
xn + yn
yn
xn
Ein Vektor x ∈ Rn wird mit einem Skalar λ ∈ R multipliziert, indem man jede
Koordinate von x mit λ multipliziert, d.h.

  
λ · x1
x1
 x2   λ · x2 

  
λ · x = λ ·  ..  =  ..  .
.  . 
λ · xn
xn
Für die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit Skalaren gelten die
folgenden Gesetze: Seien x, y, z ∈ Rn und λ, µ ∈ R
Kommutativgesetze:
x+y =y+x
Assoziativgesetze:
(x + y) + z = x + (y + z)
(λµ)x = λ(µx)
Distributivgesetze:
λ(x + y) = λx + λy
(λ + µ)x = λx + µx.
Bemerkung 10.3 Jeder Vektor x ∈ Rn läßt sich auch schreiben als
 
x1
 x2 
 
x =  ..  = x1 · e1 + x2 · e2 + · · · + xn · en .
.
xn
Definition 10.5 (Betrag) Für x ∈ Rn heißt
v
u n
uX
kxk = t (xi )2
i=1
der Betrag (oder Länge oder Norm) von x.
10-4
Der n-dimensionale Raum Rn
Vektoren
x2
x=
5
8
kx
k
8
5
x1
Abbildung 10.3: Der Betrag eines Vektors (kxk =
√
89)
Definition 10.6 (Skalarprodukt) Seien x, y ∈ Rn . Die Zahl (Skalar)
hx, yi =
n
X
i=1
xi · yi
heißt Skalarprodukt der Vektoren x und y.
Bemerkung 10.4 Für x ∈ Rn kann man also auch schreiben
p
kxk = hx, xi.
Satz 10.1 Seien x, y ∈ Rn \ {0}, und sei γ der Winkel der von diesen beiden
Vektoren eingeschlossen wird. Dann gilt
hx, yi = kxk · kyk · cos(γ).
Satz 10.2 (Eigenschaften des Skalarprodukts) Seien x, y, z ∈ Rn und sei
λ ∈ R. Dann gilt
i) hx, yi = hy, xi.
ii) hλ · x, yi = hx, λ · yi = λ · hx, yi.
iii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi.
iv) |hx, yi| ≤ kxk · kyk.
10-5
Vektoren
Lineare (Un)Abhängigkeit
x2
x
y
γ
x1
Abbildung 10.4: Der Winkel γ zwischen den Vektoren x und y
v) kλxk = |λ| · kxk.
vi) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0.
vii) kx + yk ≤ kxk + kyk.
viii) kx + yk ≥ kxk − kyk.
Definition 10.7 (Orthogonal) Zwei Vektoren x, y ∈ Rn heißen orthogonal,
falls
hx, yi = 0.
Bemerkung 10.5 Sind x, y ∈ Rn \{0} orthogonal, dann ist der Winkel zwischen
den Vektoren x und y gleich π2 (= 90◦ ).
10.2
Lineare (Un)Abhängigkeit
Definition 10.8 (Linearkombination) Seien x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn . Ein Vektor
x ∈ Rn heißt Linearkombination der Vektoren x1 , x2 , . . . , xm , falls es Skalare
λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ R gibt mit
1
2
m
x = λ1 x + λ2 x + · · · + λ m x =
m
X
λi xi .
i=1
Bemerkung 10.6 Jeder Vektor x ∈ Rn ist Linearkombination der Einheitsvektoren e1 , . . . , en .
10-6
Vektorräume
Vektoren
Definition 10.9 (Lineare Unabhängigkeit) Seien x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn . Die
Vektoren x1 , x2 , . . . , xm heißen linear unabhängig, falls die Gleichung
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm = 0
nur für
λ1 = λ2 = · · · = λ m = 0
erfüllt ist. (Man sagt auch 0 läßt sich nur auf triviale Art und Weise als Line”
arkombination der Vektoren x1 , x2 , . . . , xm darstellen“.)
Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig. In diesem Fall gibt es also
Skalare λ1 , . . . , λm ∈ R, die nicht alle 0 sind, mit λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm = 0.
Satz 10.3 Die Vektoren x1 , . . . , xm ∈ Rn sind genau dann linear abhängig, wenn
einer der Vektoren xi als Linearkombination der übrigen Vektoren x1 , . . . , xi−1 ,
xi+1 , . . . , xm dargestellt werden kann.
10.3
Vektorräume
Definition 10.10 (Vektorraum) Eine Teilmenge V ⊂ Rn , V 6= ∅, heißt Vektorraum, falls die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind
i) Für alle v, w ∈ V gilt v + w ∈ V .
ii) Für alle v ∈ V und λ ∈ R gilt λv ∈ V .
Beispiel(e) 10.2
i) Der Rn ist ein Vektorraum.
ii) Sei x ∈ Rn . Die Menge aller Vektoren
{v ∈ Rn : hx, vi = 0}
ist einen Vektorraum.
iii) Sei x ∈ Rn . Die Menge aller Vektoren
{λx : λ ∈ R}
bildet einen Vektorraum.
iv) Seien x1 , . . . , xm ∈ Rn . Die Menge aller Vektoren
{λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm : λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m}
bildet einen Vektorraum.
v) {0} ist ein Vektorraum.
10-7
Vektoren
Vektorräume
Bemerkung 10.7 Sind v1 , v2 , . . . , vm Elemente eines Vektorraums V ⊂ Rn ,
dann ist auch jede Linearkombination dieser Vektoren ein Element von V , d.h.,
für alle λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, ist
m
X
i=1
λi vi ∈ V.
Insbesondere ist 0 ∈ V und mit v ∈ V ist auch −v ∈ V .
Definition 10.11 (Erzeugendensystem und Basis) Sei V ⊂ Rn ein Vektorraum, und seien v1 , . . . , vm ∈ V , so daß sich jedes v ∈ V als Linearkombination
dieser Vektoren v1 , . . . , vm darstellen läßt, d.h. für alle v ∈ V gibt es Skalare
λ1 , . . . , λm ∈ R mit
1
m
v = λ1 v + · · · + λ m v =
m
X
λi v i .
i=1
Dann nennt man die Vektoren v1 , . . . , vm ein Erzeugendensystem von V . Sind die
Vektoren v1 , . . . , vm zudem noch linear unabhängig, dann nennt man die Vektoren
v1 , . . . , vm eine Basis von V .
Satz 10.4 Sei V ⊂ Rn ein Vektorraum, und sei b1 , . . . , bm eine Basis von V .
Dann läßt sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig als Linearkombination der Vektoren
b1 , . . . , bm darstellen.
Satz 10.5 (Austauschsatz von Steinitz) Sei V ⊂ Rn ein Vektorraum mit
Basis b1 , . . . , bm , und sei v ∈ V . Es gibt also (eindeutige) Skalare λ1 . . . , λm ∈ R,
so daß
v = λ1 b1 + λ2 b2 + · · · + λm bm .
Ist λk 6= 0, dann bilden die Vektoren
b1 , b2 , · · · , bk−1 , v, bk+1 , · · · , bm
ebenfalls eine Basis dieses Vektorraumes.
(Der Vektor bk kann in der Basis gegen den Vektor v ausgetauscht werden.)
Korollar 10.1 Sei V ⊂ Rn ein Vektorraum mit Basis b1 , . . . , bm .
i) Sind v1 , . . . , vl ∈ V linear unabhängig, dann gilt l ≤ m.
ii) Ist b̃1 , . . . , b̃l eine weitere Basis von V , dann gilt m = l.
Definition 10.12 (Dimension) Sei V ⊂ Rn ein Vektorraum mit Basis v1 , . . . , vm .
Die Anzahl der Vektoren in der Basis heißt die Dimension des Vektorraumes V
und wird mit dim(V ) bezeichnet, also
dim(V ) = m.
10-8
Vektorräume
Vektoren
Beispiel(e) 10.3
i) dim(Rn ) = n.
ii) dim({0}) = 0 (Vereinbarung).
iii) Sei x ∈ Rn , x 6= 0, und V = {λx : λ ∈ R}. Dann ist dim(V ) = 1.
Satz 10.6 Die Dimension eines Vektorraumes V ⊂ Rn ist gleich der maximalen
Anzahl von linear unabhängigen Vektoren in V .
Bemerkung 10.8
i) Für einen Vektorraum V ⊂ Rn ist stets dim(V ) ≤ n.
ii) Sind b1 , . . . , bn ∈ Rn linear unabhängig, dann bilden sie eine Basis des Rn .
10-9
Vektoren
10.4
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 10.1 Gegeben sind die Vektoren
 




2
1
2
a =  1  , b =  −4  , c =  2  .
6
−2
−1
a) Berechnen Sie a + b − c, a + 3b, b − 4a + 2c, a + 3(b − 2c).
b) Untersuchen Sie, für welche Vektoren die Relationen > oder ≥ gelten.
c) Berechnen Sie ha, bi, ha, ci, hb, ci.
Welche Vektoren sind orthogonal?
Welchen Winkel bilden die Vektoren b und c?
d) Berechnen Sie ha, bi c und a hb, ci.
e) Vergleichen Sie kb + ck und kbk + kck sowie |hb, ci| und kbk · kck.
Aufgabe 10.2 Für welche Werte von α und β sind die Vektoren




β
2
a =  −1  und b =  4 
−2
α
orthogonal?
Aufgabe 10.3 Interpretieren Sie im R2 :
a ≥ b und kak ≥ kbk.
−1
1
2
1
.
und a =
Aufgabe 10.4 Gegeben sind die Vektoren a =
1
0 0
2
−2
Linearund
,
Untersuchen Sie, welche der Vektoren
0, 5
3
1
kombination von a1 und a2 sind.

 
  
5
1
1
Aufgabe 10.5 Sind die Vektoren  0  ,  −2  ,  4  linear unabhängig?
−2
1
0
Aufgabe 10.6 Bilden die Vektoren
  
0
1
 0   0
 ,
 0   1
0
1
eine Basis des Vektorraumes R4 ?
 
1
0
  1   0
, ,
  0   1
0
1
 
10-10




Übungsaufgaben
Vektoren
Aufgabe 10.7 Stellen Sie den Vektorraum mit dem Erzeugendensystem
−4
2
,
2
−1
graphisch dar.
Welche Dimension hat der Vektorraum? Bildet das Erzeugendensystem eine Basis?

    
1
0
1
Aufgabe 10.8 Die Vektoren  0  ,  1  ,  0  sind eine Basis des
−1
0
3
3
R.


3
a) Stellen Sie den Vektor a =  3  als Linearkombination der Basisvek−3
toren dar.
b) Mit welchen der Basisvektoren bildet der Vektor a ebenfalls eine Basis des
R3 ?
10-11
Vektoren
10.5
Lösungen
Lösungen



5
1
a + 3b =  −11 ;
a) a + b − c =  −5 ;
−7 
−9



−7
−3
a + 3(b − 2c) =  −23 .
b − 4a + 2c =  −4 ;
−43
14

10.1
b) a > b;
c ≥ a;
c>b
c) ha, bi = 0; ha, ci = 0; hb, ci = −18
a, b orthogonal; a, c orthogonal; Winkel b, c ≈ 126, 3◦ .


 
−36
0
d) ha, bic =  0 ; ahb, ci =  −18 
18
0
√
√
√
e) kb + ck = √ 29;√ kbk + kck = 21 + 44; |hb, ci| = 18;
kbkkck = 21 44.
10.2 α = β − 2; β ∈ R.
10.3 a ≥ b :
M ={
a1
a2
kak ≥ kbk : M = {
∈ R2 : a1 ≥ b1 ∧ a2 ≥ b2 };
a1
a2
∈ R2 :
p
a21 + a22 ≥
p
b21 + b22 }.
10.4 Alle Vektoren sind Linearkombinationen von a1 und a2 .
10.5 nein
10.6 ja
10.7 Der Vektorraum hat die Dimension 1. Das Erzeugendensystem bildet keine
Basis.
6
q
q
q
q
q
q q q q Hq q q q q q -4 -3 -2 -1 H
1H
q H
j2 3 4 5
q
5
4
3
2
YH
H
HH 1
H
10-12
Lösungen
10.8
Vektoren


 
 

1
0
1
3
a)  3  = 0  0  + 3  1  + 3  0 
−1
0
3
−3

b) a bildet mit dem 1. und 2. Basisvektor, sowie mit dem 1. und 3. Basisvektor jeweils eine Basis.
10-13
Vektoren
Lösungen
10-14
Kapitel 11
Matrizen und Determinanten
11.1
Matrizen
Definition 11.1 (Matrix) Unter einer m×n-Matrix A versteht man ein rechteckiges Zahlenschema von m · n Zahlen ai j ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, bestehend
aus m Zeilen und n Spalten:


a1 1 a1 2 a1 3 · · · a1 j · · · a1 n
 a2 1 a2 2 a2 3 · · · a2 j · · · a2 n 
 .
..
..
..
.. 
 .

.
.
···
.
···
. 
 .
A=

 ai 1 ai 2 ai 3 · · · ai j · · · ai n  ← i-te Zeile
 .
.. 
..
..
..
 ..
. 
.
···
.
···
.
am 1 am 2 am 3 · · · am j · · · am n
↑
j-te Spalte
Die Elemente ai j ∈ R heißen Komponenten der Matrix A, der erste Index i
(1 ≤ i ≤ m) heißt Zeilenindex, der zweite Index j (1 ≤ j ≤ n) heißt Spaltenindex.
Beispiel(e) 11.1

1
2 3 4
A = −2 3 0 5 
6 −2 21 −10

A ist eine 3 × 4-Matrix, bestehend aus 3 Zeilen und 4 Spalten. Z.B. ist a2 3 = 0,
a3 1 = 6, a3 3 = 21 und a3 4 = −10.
Bemerkung 11.1
i) Üblicherweise bezeichnet man Matrizen mit Großbuchstaben A, B, C, . . .
und die Komponenten mit Kleinbuchstaben ai j , bi j , ci j , . . . .
11-1
Matrizen und Determinanten
Matrizen
ii) Für eine m × n-Matrix A sind auch die folgenden Schreibweisen gebräuchlich:
A(m,n) ;
(ai j )(m,n) ;
(ai j ),
mit 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Definition 11.2 (Quadratische Matrizen) Eine n × n-Matrix A heißt quadratische Matrix. Für eine quadratische Matrix ist also die Anzahl der Zeilen
gleich der Anzahl der Spalten. Die Komponenten a1 1 , a2 2 . . . , an n heißen Diagonalelemente.
Beispiel(e) 11.2


2 4 8
A = 3 9 27
4 16 64
ist eine quadratische 3 × 3-Matrix mit den Diagonalelementen 2, 9, 64.
In Analogie zu Vektoren vergleicht man Matrizen komponentenweise.
Definition 11.3 (Relationen zwischen Matrizen) Seien A und B m × nMatrizen, also beide Matrizen haben m Zeilen und n Spalten.
i) A und B heißen gleich (Schreibweise: A = B), wenn sie komponentenweise
gleich sind, d.h.
A = B ⇐⇒ ai j = bi j für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
ii) A heißt kleiner als B (Schreibweise: A < B), wenn A komponentenweise
kleiner als B ist, d.h.
A < B ⇐⇒ ai j < bi j für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
iii) A heißt kleiner oder gleich als B (Schreibweise: A ≤ B), wenn A komponentenweise kleiner oder gleich B ist, d.h.
A ≤ B ⇐⇒ ai j ≤ bi j für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
iv) Analog sind A > B und A ≥ B definiert.
Definition 11.4 (Transponierte Matrix) Sei A eine m × n-Matrix. Durch
Vertauschen der Zeilen und Spalten von A erhält man eine n × m-Matrix A⊺
(Sprechweise: A transponiert), die sogenannte transponierte Matrix zu A.




a1 1 a1 2 · · · a1 j · · · a1 n
a1 1 a2 1 · · · ai 1 · · · am 1
 a2 1 a2 2 · · · a2 j · · · a2 n 
 a1 2 a2 2 · · · ai 2 · · · am 2 
 .
 .
..
..
.. 
..
..
.. 
 .

 .

.
···
.
···
. 
.
.
·
·
·
.
·
·
·
. 
 .

⊺
A=
⇒A =
.
 ai 1 ai 2 · · · ai j · · · ai n 
 a1 j a2 j · · · ai j · · · am j 
 .
 .
..
..
.. 
..
..
.. 
 ..
 ..
.
···
.
···
. 
. ···
. ···
. 
am 1 am 2 · · · am j · · · am n
a1 n a2 n · · · ai n · · · am n
11-2
Matrizen
Matrizen und Determinanten
Beispiel(e) 11.3 Für die 3 × 4-Matrix


1
2 3 4
A = −2 3 0 5 
6 −2 12 −10
ist A⊺ die 4 × 3-Matrix mit


1 −2 6
2 3 −2 

A⊺ = 
1 .
3 0
2
4 5 −10
Bemerkung 11.2 Es ist (A⊺)⊺ = A.
Definition 11.5 (Symmetrische Matrizen) Eine quadratische Matrix A heißt
symmetrisch, falls A = A⊺. Für eine symmetrische Matrix A gilt also ai j = aj i
für i 6= j.
Beispiel(e) 11.4 Die folgende Matrix A ist

1
1
2
1
A =  2 −4
−3 7
symmetrisch

−3
7 .
0

x1
 x2 
 
Bemerkung 11.3 Ein (Spalten-)Vektor x ∈ Rm , also x =  .. , entspricht
 . 

xm
einer m × 1-Matrix. Somit ist
x⊺ = (x1 x2 . . . xm )
(= (x1 , x2 , . . . , xm ))
der entsprechende Zeilenvektor und eine 1 × m-Matrix. Analog kann man die
Zeilen und Spalten einer m × n-Matrix als Vektoren auffassen.
Bemerkung 11.4 (Spezielle Matrizen)
i) Eine m × n-Matrix, deren Komponenten sämtlich Null sind, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet,also


0 0 ··· 0
0 0 · · · 0


0 =  .. ..
..  .
. . · · · .
0 0 ··· 0
11-3
Matrizen und Determinanten
Operationen mit Matrizen
ii) Eine quadratische n×n-Matrix A, deren sämtliche Nicht-Diagonalelemente
gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix, also


a1 1 0
0
···
0
 0 a2 2 0
···
0 


 ..
.
.
.
.
.. ..
..
.. 
A= .
.


 0 · · · 0 an−1 n−1 0 
0
0 ···
0
an,n
Zur Abkürzung schreibt man auch A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an,n ).
iii) Die n × n-Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente
Einheitsmatrix und wird mit In bezeichnet, also

1 0
0
0 1
0

 .. . . . .
In = diag(1, 1, . . . , 1) =  .
.
.

0 · · · 0
0 0 ···
alle gleich 1 sind, heißt

··· 0
· · · 0

. . . .. 
.
.

1 0
0 1
iv) Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Komponenten oberhalb (unterhalb) der Diagonalen gleich Null sind, heißt untere (obere) Dreiecksmatrix.
Also ist die Matrix


l1 1
0
0
···
0
 l2 1
l2 2
0
···
0 


 ..
.. 
..
...
...
L= .
. 
.


ln−1 1 ln−1 2 · · · ln−1 n−1 0 
ln 1
ln 2 · · · ln n−1 ln n
eine untere Dreiecksmatrix

u1 1
 0


U= 0

 0
0
eine obere Dreiecksmatrix.
11.2
und

u1 2 · · · u1 n−1
un n
u2 2 · · · u2 n−1
u2 n 

..
..  .
... ...
. 
.

···
0 un−1 n−1 un−1 n 
0 ···
0
un n
Operationen mit Matrizen
Definition 11.6 (Addition von Matrizen) Zwei m × n-Matrizen A und B
werden addiert bzw. subtrahiert (Schreibweise: A + B bzw. A − B), indem man
11-4
Operationen mit Matrizen
Matrizen und Determinanten
sie komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, d.h.

 
a1 1 a1 2 · · · a1 n
b1 1 b1 2
 a2 1 a2 2 · · · a2 n   b2 1 b2 2

 
A ± B =  ..
..
..  ±  ..
..
 .
.
···
.   .
.
am 1 am 2 · · · am n
bm 1 bm 2

a1 1 ± b1 1
 a2 1 ± b2 1

=
..

.
a1 2 ± b1 2
a2 2 ± b2 2
..
.
···
···
···
···

b1 n
b2 n 

.. 
. 
···
· · · bm n
a1 n ± b1 n
a2 n ± b2 n
..
.
···
am 1 ± bm 1 am 2 ± bm 2 · · · am n ± bm n



.

Es werden nur Matrizen mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten addiert oder
subtrahiert.
Definition 11.7 (Multiplikation mit einem Skalar) Sei A eine m×n-Matrix,
und sei λ ∈ R. Die Matrix A wird mit dem Skalar λ multipliziert, indem man
jede Komponente von A mit λ multipliziert, d.h.,
 


a1 1 a1 2 · · · a1 n
λa1 1 λa1 2 · · · λa1 n
 a2 1 a2 2 · · · a2 n   λa2 1 λa2 2 · · · λa2 n 
 


λ · A = λ ·  ..
..  =  ..
..
..  .
..
 .
.   .
.
···
. 
.
···
am 1 am 2 · · · am n
λam 1 λam 2 · · · λam n
Bemerkung 11.5 (Rechengesetze) Seien A, B, C m × n-Matrizen und seien
λ, µ ∈ R Skalare.
Kommutativgesetze:
A+B=B+A
Assoziativgesetze:
(A + B) + C = A + (B + C)
(λµ)A = λ(µA)
Distributivgesetze:
λ(A + B) = λA + λB
(λ + µ)A = λA + µA
(A ± B)⊺ = A⊺ ± B⊺
(λA)⊺ = λ A⊺.
Definition 11.8 (Multiplikation von Matrizen) Sei A eine m × n-Matrix,
und sei B eine n × k-Matrix. Man beachte, daß die Anzahl der Spalten von A
gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Unter dem Produkt A · B versteht man
die m × k-Matrix C, deren Komponente ci j gleich dem Skalarprodukt aus i-ter
Zeile von A und j-ter Spalte von B ist, d.h.

  
b
a
1
j
i
1
n
X

  
ci j =
ai p bp j = h ...  ,  ... i.
p=1
bn j
ai n
11-5
Matrizen und Determinanten
Operationen mit Matrizen
Beispiel(e) 11.5

−1 5
0 ,
A= 3
2 −1

B=
1 5 −3 6
2 −2 3 4
C=A·B


−1 · 1 + 5 · 2
−1 · 5 + 5 · (−2)
−1 · (−3) + 5 · 3
−1 · 6 + 5 · 4
3 · 5 + 0 · (−2)
3 · (−3) + 0 · 3
3·6+0·4 
= 3·1+0·2
2 · 1 + (−1) · 2 2 · 5 + (−1) · (−2) 2 · (−3) + (−1) · 3 2 · 6 + (−1) · 4


9 −15 18 14
= 3 15 −9 18
0 12 −9 8
Die Matrizenmultiplikation A · B läßt sich übersichtlich durch das Falksche
”
Schema“ darstellen:
Bemerkung 11.6 (Falksche Schema) Sei A eine m × n-Matrix, und sei B
eine n × k-Matrix.
B
b1 1
b2 1
..
.
a1 1
...
ai 1
..
.
a1 2
...
ai 2
..
.
· · · a1 n
. . . ..
.
· · · ai n
. . . ..
.
· · · b1 j
· · · b2 j
.
· · · ..
bn 1 · · ·
c1 1 · · ·
..
.
···
ci 1 · · ·
..
.
···
· · · b1 k
· · · b2 k
.
· · · ..
bn j · · ·
c1 j · · ·
..
...
.
ci j · · ·
..
...
.
bn k
c1 k
..
.
ci k
..
.
am 1 am 2 · · · am n cm 1 · · · cm j · · · cm k
C=A·B
A
mit ci j =
n
X
ai p bp j
für i = 1, 2, . . . , m
und
j = 1, 2, . . . , k.
p=1
Im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B steht deren
Skalarprodukt als entsprechendes Element ci j der Produktmatrix C = A · B.
11-6
Operationen mit Matrizen
Matrizen und Determinanten
Bemerkung 11.7
i) Das Produkt A · B, wobei A eine m × n- und B eine l × k-Matrix ist,
existiert nur falls n = l.
ii) Für das Produkt von zwei Matrizen A und B gilt i.a.
A · B 6= B · A.
iii) Sei A eine m × n-Matrix, und seien In , Im die Einheitsmatrizen, dann gilt
A · In = A = Im · A.
Auch die Multiplikation von mehreren Matrizen kann mit dem Falkschen Schema
dargestellt werden
Bemerkung 11.8 Seien A1 , A2 , . . . , Al Matrizen, so daß das Produkt A1 ·A2 · · · Al
existiert.
A2
A3
···
Al
.
A1 A1 · A2 A1 · A2 · A3 · · · A1 · A2 · · · Al
Satz 11.1 (Rechenregeln für Matrizenmultiplikation) In den folgenden Summen und Produkten seien A, B, C Matrizen, so daß die entsprechenden Summen
und Produkte auch existieren. Weiterhin sei λ ∈ R ein Skalar.
Assoziativgesetze:
(A B) C = A (B C) = A B C
λ (A B) = (λ A) B = A (λ B)
Distributivgesetze: A (B + C) = A B + A C
(A + B) C = A C + B C
(A B)⊺ = B⊺ A⊺
A 0 = 0 A = 0.
Definition 11.9 Für eine quadratische n × n-Matrix A ist die k-te Potenz Ak ,
k ∈ N, definiert als das Produkt
Ak = A
| · A{z· · · A} .
k-mal
Satz 11.2 Sei A eine n × n- obere oder untere Dreiecksmatrix, bei der zusätzlich
alle Diagonalelemente gleich 0 sind, d.h. a1 1 = a2 2 = · · · = an n = 0. Dann gilt
für alle k ≥ n
Ak = 0.
11-7
Matrizen und Determinanten
Determinanten
Bemerkung 11.9 Seien a, b ∈ Rn zwei Vektoren. Dann ist a⊺ eine 1×n-Matrix
und b eine n × 1 Matrix. Somit existiert das Produkt a⊺b, und es gilt
a b=
⊺
n
X
j=1
aj bj = ha, bi.
Bemerkung 11.10 Seien A eine m × n-Matrix und x ∈ Rn ein Vektor mit den
Koordinaten xi , 1 ≤ i ≤ n. Dann existiert das Produkt A x und es ist

  

a1 1 x1 + a1 2 x2 + · · · + a1 n xn
x1
a1 1 a1 2 · · · a1 n
a2 1 a2 2 · · · a2 n   x2   a2 1 x1 + a2 2 x2 + · · · + a2 n xn 

  

A x =  ..

.. .. ..
..
..   ..  = 





 .
. . .
.
.
···
.
am 1 x1 + am 2 x2 + · · · + am n xn
xn
a1 1 am 2 · · · am n





a1 n
a1 2
a1 1
 a2 n 
 a2 2 
 a2 1 






= x1  ..  + x2  ..  + · · · + xn  ..  .
 . 
 . 
 . 

11.3
am n
am 2
am 1
Determinanten
Definition 11.10 (Streichungsmatrix) Sei A eine n × n-Matrix, und seien
i, j ∈ {1, . . . , n}. Unter der Streichungsmatrix Ai j versteht man die (n − 1) ×
(n − 1)-Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte
entsteht,d h.


a1 1 · · · a1 j−1
a1 j
a1 j+1 · · · a1 n
..
..
..
.. 
 ..
···
.
.
.
···
. 
 .


ai−1,1 · · · ai−1 j−1 ai−1 j ai−1 j+1 · · · ai−1 n 


ai j
ai j+1 · · · ai n 
Ai j =  ai,1 · · · ai j−1


ai+1,1 · · · ai+1 j−1 ai+1 j ai+1 j+1 · · · ai+1 n 
 .
.. 
..
..
..
 ..
. 
.
···
.
.
···
an,1 · · · an j−1
an j
an j+1 · · · an n

a1 1
 ..
 .

a
=  i−1,1
ai+1,1
 .
 ..
an,1
···
a1 j−1
..
.
a1 j+1
..
.
···
· · · ai−1 j−1 ai−1 j+1
· · · ai+1 j−1 ai+1 j+1
..
..
···
.
.
· · · an j−1
an j+1
11-8
···
···
···
···
···
···

a1 n
.. 
. 

ai−1 n 

ai+1 n 
.. 
. 
an n
Determinanten
Matrizen und Determinanten
Definition 11.11 (Determinante) Unter der Determinante einer quadratischen
n × n-Matrix A (Schreibweise det(A)) versteht man die folgende reelle Zahl:
Für n = 1, d.h. A = (a1 1 ), ist det(A) = a1 1 ,
n
X
Für n > 1 ist
det(A) =
(−1)1+j a1 j det(A1 j ).
j=1
Beispiel(e) 11.6
i) n = 2:
A=
a1 1 a1 2
a2 1 a2 2
:
det(A) = a1 1 det(A1 1 ) − a1 2 det(A1 2 ) = a1 1 a2 2 − a1 2 a2 1 .
ii) n = 3: (Regel von Sarrus)


a1 1 a1 2 a1 3
A = a2 1 a2 2 a2 3  :
a3 1 a3 2 a3 3
det(A) = a1 1 det(A1 1 ) − a1 2 det(A1 2 ) + a1 3 det(A1 3 )
= a1 1 (a2 2 a3 3 − a2 3 a3 2 ) − a1 2 (a2 1 a3 3 − a2 3 a3 1 ) + a1 3 (a2 1 a3 2 − a2 2 a3 1 )
= a1 1 a2 2 a3 3 + a1 2 a2 3 a3 1 + a1 3 a2 1 a3 2 − a1 3 a2 2 a3 1 − a1 2 a2 1 a3 3 − a1 1 a2 3 a3 2 .
Satz 11.3 (Entwicklungssatz von Laplace) Sei A eine quadratische n × nMatrix. Dann gilt für jedes i ∈ {1, . . . , n}
det(A) =
n
X
(−1)i+j ai j det(Ai j ), (Entwicklung nach der i-ten Zeile)
j=1
und für jedes j ∈ {1, . . . , n}
det(A) =
n
X
(−1)i+j ai j det(Ai j ). (Entwicklung nach der j-ten Spalte)
i=1
Satz 11.4 Sei A eine quadratische n × n-Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen
a1 1 , . . . , an n . Dann gilt
det(A) = a1 1 a2 2 · · · an n .
Bemerkung 11.11 Insbesondere ist det(In ) = 1.
11-9
Matrizen und Determinanten
Determinanten
Zur praktischen Berechnung von Determinanten wird nun versucht eine beliebige
n × n-Matrix durch geeignete Umformungen, die den Wert der Determinante
(fast) nicht ändern, auf Dreiecksgestalt zu bringen.
Notation 11.1 Für eine m × n-Matrix A bezeichne im folgenden aj ∈ Rm den
j-ten Spaltenvektor von A und ai ∈ Rn den i-ten Zeilenvektor von A. Also

a1 j


aj =  ... 
am j

ai = (ai 1 , . . . , ai n )
und A kann auch geschrieben werden
A = a1 a2 . . . an
bzw.

a1
 a2 
 
A =  ..  .
 . 

am
Satz 11.5 Die Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn ein beliebiges Vielfaches einer Zeile (oder Spalte) zu einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert wird:
Sei A eine quadratische n × n-Matrix und λ ∈ R. Dann gilt für i, k ∈
{1, . . . , n}, i 6= k,



a1
a1
..


 .. 


 . 
.


 
ai + λak 
 ai 


 . 
..
.


det A = det 
.

 ..  = det 

 a
a 


 k
k


 . 
.
.
.


 . 
.
am
am

Ebenso gilt für j, l ∈ {1, . . . , m}, j 6= l,
det A = det a1 . . . aj . . . al . . . an = det a1 . . . aj + λal . . . al . . . an .
Satz 11.6 Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen (Spalten)
vertauscht werden:
11-10
Determinanten
Matrizen und Determinanten
Sei A eine quadratische n × n-Matrix. Dann gilt für i, k ∈ {1, . . . , n}, i 6= k,
 
 
a1
a1
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 
 
 ai 
 ak 
 . 
 . 

 
det A = det 
 ..  = − det  ..  .
a 
a 
 k
 i
 . 
 . 
 .. 
 .. 
am
am
Ebenso gilt für j, l ∈ {1, . . . , m}, j 6= l,
det A = det a1 . . . aj . . . al . . . an = − det a1 . . . al . . . aj . . . an .
Satz 11.7 Die Determinante einer Matrix A ist gleich Null, wenn zwei Zeilen
(oder Spalten) linear abhängig sind.
Korollar 11.1 Ist ein Zeilenvektor oder ein Spaltenvektor einer quadratischen
n × n-Matrix A gleich dem Nullvektor, dann ist det(A) = 0.
Mit Hilfe der in Satz 11.5 und Satz 11.6 beschriebenen Umformungen läßt
sich eine beliebige n × n Matrix auf Dreiecksgestalt bringen.
Beispiel(e) 11.7

1
3 5 −4
−1 −3 6 9 

A=
2
5 3 1
3
7 2 1

Addition der 1.ten Zeile zur 2.ten Zeile
Addition des (−2)-fachen der 1.ten Zeile zur 3.ten Zeile
Addition des (−3)-fachen der 1.ten Zeile zur 4.ten Zeile
11-11

1
0

2
3

3 5 −4
0 11 13 

5 3 1
7 2 1


1 3
5 −4
0 0 11 13 


0 −1 −7 9 
3 7
2
1


1 3
5 −4
0 0
11 13 


0 −1 −7 9 
0 −2 −13 9
Matrizen und Determinanten
Determinanten

1 3
5 −4
0 −1 −7 9 


0 0
11 13 
0 −2 −13 9
Vertauschen der 2.ten Zeile mit der 3.ten Zeile

Addition des (−2)-fachen der 2.ten Zeile zur 4.ten Zeile

Vertauschen der 3.ten Zeile mit der 4.ten Zeile


1 3
5 −4
0 −1 −7 9 


0 0 11 13 
0 0
1 17

1 3
5 −4
0 −1 −7 9 


0 0
1 17 
0 0 11 13

1 3
5
−4
0 −1 −7
9 

Addition des (−11)-fachen der 3.ten Zeile zur 4.ten Zeile 
0 0
1
17 
0 0
1 −174
Es haben zwei Zeilenvertauschungen stattgefunden, und daher ist


1 3
5
−4
0 −1 −7
9 
 = 1 · (−1) · 1 · (−174) = 174.
det(A) = (−1) · (−1) · det 
0 0
1
17 
0 0
1 −174

Satz 11.8 Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn die Matrix transponiert wird:
Sei A eine quadratische n × n-Matrix. Dann gilt:
det(A) = det(A⊺).
Satz 11.9 Wird in einer quadratischen Matrix A eine Zeile (oder Spalte) mit
einem Skalar λ ∈ R multipliziert, so ist der Wert der Determinante dieser Matrix
gleich λ det(A):
Seien A eine quadratische n × n-Matrix und λ ∈ R. Dann gilt für i ∈
{1, . . . , n}


 
a1
a1
.
 . 
 .. 
 . 
.


 
det λ · ai  = λ · det  ai  = λ det(A).
 . 
.
 .. 
 .. 
an
an
Ebenso gilt für j ∈ {1, . . . , n},
det a1 . . . λaj . . . an = λ det a1 . . . aj . . . an = λ det(A).
11-12
Determinanten
Matrizen und Determinanten
Korollar 11.2 Sei A eine quadratische n × n-Matrix, und sei λ ∈ R ein Skalar.
Dann gilt
det(λA) = λn det(A).
Satz 11.10 Seien A, B quadratische n × n-Matrizen. Dann gilt
det(A · B) = det(A) · det(B).
Bemerkung 11.12 Seien A, B quadratische n×n-Matrizen. Im allgemeinen ist
det(A + B) 6= det(A) + det(B).
Definition 11.12 (Reguläre (Singuläre) Matrizen) Eine quadratische n ×
n-Matrix A mit det(A) 6= 0 heißt reguläre Matrix. Ist det(A) = 0, dann heißt A
singulär.
Satz 11.11 (Cramersche Regel) Sei A eine reguläre n × n-Matrix, und sei
b ∈ Rn . Dann gibt es genau einen (Lösungs-)Vektor x ∈ Rn mit A · x = b. Für
die Koordinaten des Vektors x gilt
xj =
det( Aj (b) )
,
det(A)
j = 1, . . . , n.
Dabei ist Aj (b) die n × n-Matrix, die aus A entsteht, indem man den j-ten
Spaltenvektor von A (also aj ) durch den Vektor b ersetzt.
Beispiel(e) 11.8 Sei b = (1, 2, 3)⊺ ∈ R3


0 −4 −6
A = 1 0 −1 ,
0 1
2


1 −4 −6
A1 (b) = 2 0 −1 ,
3 1
2


0 1 −6
A2 (b) = 1 2 −1 ,
0 3 2


0 −4 1
A3 (b) = 1 0 2 ,
0 1 3
und
es ist det(A) = 2.
es ist det(A1 (b)) = 17.
Es ist det(A2 (b)) = −20.
es ist det(A3 (b)) = 13.
Man erhält die Lösung
x=


det( A1 (b) )
 det(det(A)

 A2 (b) ) 
 det(A)

det( A3 (b) )
det(A)
11-13

17
2

= −10 ,
13
2
Matrizen und Determinanten
also
11.4
Die inverse Matrix
  17   
0 −4 −6
1
2
1 0 −1 · −10 = 2 .
13
3
0 1
2
2

Die inverse Matrix
Satz 11.12 (Inverse Matrix) Sei A eine reguläre n × n-Matrix. Dann gibt es
genau eine n × n-Matrix, bezeichnet mit A−1 , so daß gilt
A · A−1 = In = A−1 · A.
(11.1)
A−1 heißt die inverse Matrix (oder Inverse) von A.
Bemerkung 11.13 Für nicht quadratische Matrizen oder singuläre Matrizen A
existiert keine inverse Matrix. Das bedeutet, für solche Matrizen gibt es keine
Matrix B, so daß
A · B = B · A = In .
Bemerkung 11.14 Sei A eine reguläre n × n-Matrix, und sei A−1 die Inverse.
Dann gilt wegen A · A−1 = In
1 = det(In ) = det(A · A−1 ) = det(A) · det(A−1 ).
Also muß gelten det(A−1 ) =
1
.
det(A)
Satz 11.13 Sei A eine reguläre n × n-Matrix, und seien Ai j die entsprechenden
Streichungsmatrizen. Dann gilt


(−1)1+1 det(A1 1 ) (−1)2+1 det(A2 1 ) · · · (−1)n+1 det(An 1 )
 (−1)1+2 det(A1 2 ) (−1)2+2 det(A2 2 ) · · · (−1)n+2 det(An 2 ) 
1


−1
A =

.
..
..
..
det(A) 

.
.
···
.
1+n
2+n
n+n
(−1)
det(A1 n ) (−1)
det(A2 n ) · · · (−1)
det(An n )
Für 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, ist die (i, j)-te Komponente (Zeilenindex i, Spaltenindex j) von A−1 also gleich
det(Aj i )
.
(−1)j+i
det(A)
Bemerkung 11.15 (Rechenregeln für die inverse Matrix) Seien A, B reguläre n × n-Matrizen, und sei λ ∈ R, λ 6= 0. Dann gilt
−1
A−1
= A,
⊺
(A⊺)−1 = A−1 ,
(A · B)−1 = B−1 · A−1 ,
1
(λA)−1 = A−1 ,
λ
1
.
det A−1 =
det(A)
11-14
Lineare Abbildungen
Matrizen und Determinanten
Bemerkung 11.16 Mit Hilfe von regulären Matrizen kann man Matrizenglei”
chungen“ umformen. Seien C, C̃ m × n-Matrizen, und seien A eine reguläre
m × m-Matrix, B eine reguläre n × n-Matrix. Dann gilt
C = C̃ ⇐⇒ A · C = A · C̃ ⇐⇒ C · B = C̃ · B.
Bemerkung 11.17 Sei b ∈ Rn , und sei A eine reguläre n × n-Matrix. Dann ist
der eindeutige (Lösungs)-Vektor x ∈ Rn mit A x = b gegeben durch
x = A−1 b.
11.5
Lineare Abbildungen
Definition 11.13 (Lineare Abbildungen) Eine Abbildung A : Rn 7→ Rm heißt
linear, wenn gilt:
A x1 + x2 = A x1 + A x2
für alle x1 , x2 ∈ Rn , und
A (λx) = λ A (x)
für alle λ ∈ R und x ∈ Rn .
Es muß also gelten, daß das Bild der Summe gleich der Summe der Bilder ist,
und das Bild eines Vielfachen gleich dem Vielfachen des Bildes ist.
Satz 11.14 (Lineare Abbildungen und Matrizen) Zu jeder linearen Abbildung A : Rn 7→ Rm gibt es genau eine m × n-Matrix A, so daß gilt
A(x) = A · x für alle x ∈ Rn .
Umgekehrt impliziert jede m × n-Matrix A eine lineare Abbildung A : Rn 7→ Rm ,
indem man setzt A(x) = A · x für x ∈ Rn .
Lineare Abbildungen und Matrizen sind im wesentlichen das gleiche“.
”
Satz 11.15 Seien A : Rn → Rk und B : Rk → Rm lineare Abbildungen mit
zugehörigen Matrizen A und B. A ist also eine k × n-Matrix und B ist also eine
m × k-Matrix, so daß
A(x) = A · x für alle x ∈ Rn
und B(x) = B · x für alle x ∈ Rk .
Die zusammengesetzte Abbildung B ◦ A : Rn → Rm ist ebenfalls eine lineare
Abbildung, und es gilt
(B ◦ A)(x) = (B · A) x.
Die lineare Abbildung B ◦A wird also durch das Produkt der zugehörigen Matrizen
beschrieben.
11-15
Matrizen und Determinanten
Lineare Abbildungen
Definition 11.14 (Kern einer Abbildung) Sei A : Rn → Rm eine lineare
Abbildung mit A(x) = A x für alle x ∈ Rn , wobei A eine m × n-Matrix ist. Die
Menge der Punkte
kern(A) = {x ∈ Rn : A(x) = 0} = {x ∈ Rn : A x = 0}
heißt Kern der Abbildung A und wird mit kern(A) bezeichnet.
Satz 11.16 (Inverse Abbildung) Sei A : Rn → Rn eine lineare Abbildung mit
A(x) = A x für alle x ∈ Rn , wobei A eine n × n-Matrix ist. Ist die Matrix A
regulär, dann existiert die Umkehrabbildung A−1 : Rn 7→ Rn der Abbildung A,
und es gilt
A−1 (x) = A−1 x.
Hierbei ist A−1 die inverse Matrix von A.
11-16
Übungsaufgaben
11.6
Matrizen und Determinanten
Übungsaufgaben
Aufgabe 11.1 Gegeben sind

 die Matrizen
2 1
3 4
1
; B= 1 2 
A=
1 2 −2
−1 0
3 1 0
1 0 −1
; D=
C=
4 2 2
−1 1
1
a) Für welche Paare der der folgenden Matrizen A, B, C, D, A⊺, B⊺, C⊺, D⊺
gelten die Relationen =, ≤ oder <?
b) Bilden Sie A + D, A − D, AT − B, C − D.
c) Berechnen Sie A + 3(BT − 2D).
Aufgabe 11.2 Gegeben seien eine 2×3-Matrix A, eine 3×5-Matrix B und eine
4 × 2-Matrix C.
In welcher Reihenfolge lassen sich die drei Matrizen multiplizieren und welches
Format hat das Produkt?
Aufgabe 11.3 Berechnen Sie die möglichen Produkte der beiden Matrizen A
und B:
3 5 −1
4 2
, B=
a) A =
7 6
2
3 2


1
2
6
 4 2 3 
4 3 5 3

, B=
b) A =
 4 5 2 
2 5 0 1
3 4 5


−3
 6 

c) A = 2 3 4 5 , B = 
 −3 
2


2
3
2 −1
3
0 
, B= 1
d) A =
−4
2 −6
−1 −2
 
x
2 3 1
, B =  y .
e) A =
1 5 2
z
11-17
Matrizen und Determinanten
Übungsaufgaben
Aufgabe 11.4 Für die unter Aufgabe 11.3 d) angegebenen Matrizen berechne
man AT · BT und BT · AT auf zwei verschiedene Weisen, d.h. man berechne auch
(A · B)⊺ und (b · A)⊺.
Aufgabe 11.5 Gilt A · B = B · A für die folgenden Matrizen A und B?
a) A =
b) A =
5 4
6 5
2 1
0 3
,
,
B=
B=
4 3
4 3
1 −2
0 −1
.
Aufgabe 11.6 Gegeben sind die drei Matrizen




−1
1
0
 2 
−2
0
1
0


A =  7 −4 , B = 
.
, C=
0 
0 3 0 6
5
3
7
a) Welches Produkt läßt sich aus diesen drei Matrizen bilden? Geben Sie das
Format an.
b) Berechnen Sie das Produkt auf zwei verschiedene Weisen und bestätigen Sie
damit das Assoziativgesetz.
Aufgabe 11.7

0 2
 0 0
a) A = 
 0 0
0 0
Berechnen Sie alle Potenzen der gegebenen Matrizen:

8 1
7 3 
cos
α
sin
α
, b) B =
.
0 5 
sin α − cos α
0 0
Aufgabe 11.8 Ein Betrieb stellt aus zwei Rohstoffen R1 und R2 drei Zwischenprodukte Z1 , Z2 und Z3 und aus diesen zwei Endprodukte E1 und E2 her. Die Materialeinsatzkoeffizienten (d.h. eingesetzte Mengeneinheiten der Rohstoffe (bzw.
Zwischenprodukte) pro erzeugter Einheit Zwischenprodukt (bzw. Endprodukt) sind
durch folgenden Tabellen gegeben:
R1
R2
Z1
2
5
Z2 Z3
3
5
4
1
Z1
Z2
Z3
E1
6
1
3
E2
0
4
2
a) Welche Rohstoffmengen werden benötigt, wenn von E1 1000 Einheiten und
von E2 2000 Einheiten hergestellt werden sollen?
11-18
Übungsaufgaben
Matrizen und Determinanten
b) Die Preise der Rohstoffe betragen 3 ¤ pro Einheit für R1 und 5 ¤ pro Einheit für R2 . Wie schlagen sich diese Preise auf Zwischen- und Endprodukte
nieder?


2 3 0
Aufgabe 11.9 Gegeben ist die Matrix A =  −1 2 4 .
0 5 1
a) Geben Sie die Streichungsmatrizen A1 2 und A2 2 an.
b) Berechnen Sie die Determinanten det(A1 2 ) und det(A2 2 ).
c) Berechnen Sie die Determinante von A.
Aufgabe 11.10 Berechnen Sie die



1
2 1 6
 2
a) det  −1 0 3 ; b) det 
 0
3 2 9
0

2
 3
d) det 
 5
2

3
 3


f ) det  3
 ..
 .
3
7
1
1
0
4
4
0
0

1
0 
;
0 
0
3 3 ···
0 3 ···
3 0 ···
.. .. . .
.
. .
3 3 ···
3
3
3
..
.
3
folgenden Determinanten:


1
2 0 0


1
1 2 0 
; c) det 


4
2 1 2
2
0 2 1
0
2
3
1

−1
2
4
3
 2 −4 −8 −6 
;
e) det 
 7
1
5
0 
1
5
0
1

3
3 

3 
.
.. 
. 
0

1
3
2
4

2
4 
;
1 
0
Aufgabe
x aus den

 folgenden Beziehungen:

 11.11 Man berechne
x 1
2
−1
x
x
2  = 27, b) det  3 x −1  = 2
a) det  2 −1
4 x −2
2
2 −1
Aufgabe 11.12 Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems mit
Hilfe der Cramerschen Regel.
2x1 +4x2 +3x3 =
1
3x1 −6x2 −2x3 = −2
−5x1 +8x2 +2x3 =
4
Aufgabe 11.13 Die drei Gleichungssysteme
11-19
Matrizen und Determinanten
Übungsaufgaben
u1 =
v1 −v2 +v3 v1 = −w1
+w3 w1 =
x1 −x2 −x3
u2 = 2v1 −v2 −v3 v2 =
w1 +2w2 −w3 w2 = −x1 −2x2 +3x3
u3 = −v1 +v2 +2v3 v3 =
w2 −2w3 w3 = 2x1
+x3
beschreiben je eine Abbildung vom R3 in den R3 .
Beschreiben Sie die zusammengesetzte Abbildung, die den Vektor x in den Vektor
u abbildet.

3 1 0
Aufgabe 11.14 Die Matrix A =  −1 2 4  beschreibt eine Abbildung A
4 1 5
3
3
vom R in den R .
Geben Sie den Kern der Abbildung an.

Aufgabe 11.15 Ein Betrieb stellt vier Erzeugnisse her, die teilweise zur Herstellung der anderen Erzeugnisse dieses Betriebes wieder benötigt werden. Die
Größen ai j der Matrix A geben an, wieviel Einheiten des Erzeugnises i zur Herstellung einer Einheit des Erzeugnises j benötigt werden. Die im Betrieb produzierten Mengen der vier Erzeugnisse werden im Vektor p zusammengefaßt, die
für den Absatz verfügbaren Mengen stehen im Vektor q.


0 0, 2 0, 1 0, 3
 0 0
0, 2 0, 5 

A=
 0 0
0
0 
0 0, 4 0
0
a) Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Vektoren p und q als lineare
Abbildung von der Menge der Produktionsvektoren in die Menge der Absatzvektoren an.
b) Was muß vom Definitionsbereich und vom Wertebereich dieser Abbildung
gefordert werden?

100
 200 

c) Ist ein Produktionsvektor p = 
 200  sinnvoll?
400

Aufgabe 11.16 Zu den angegebenen Matrizen berechne man die Inverse, falls
sie existiert:
11-20
Übungsaufgaben
a)
c)
Matrizen und Determinanten

1 0 3
 4 1 2 
0 1 1



1 3 −2
 0 2
4 
0 0 −1
b)
d)

2 −3
1
 3
4 −2 
5
1 −1

1
0 −1
2
 2 −1 −2
3

 −1
2
2 −4
0
1
2 −5





Aufgabe 11.17 Berechnen Sie für die angegebenen Matrizen A und B die Inverse des Produktes A · B auf zwei verschiedene Weisen.
1 4
−2
5
.
,
B=
A=
−2 9
1 −3
Aufgabe 11.18 Berechnen Sie die Inverse der Matrix



A=


1
0
0
0
0

2 −1
0
4
1
2
3
0 

0
1 −3 −1 
.
0
0
1
2 
0
0
0
1
Aufgabe 11.19 Es seien A, B, C reguläre n × n-Matrizen. Man löse die folgenden Matrizengleichungen nach X auf:
a) (X · A)⊺ = B
b) X · A = B − 2X
c) A · X · B = C
d) A(X · B)−1 = C
e) C⊺ · X · A + (X⊺ · C)⊺ = In − 3C⊺ · X.
Aufgabe 11.20 Geben Sie zu der in Aufgabe 11.15 a) geforderten linearen Abbildung die Umkehrabbildung an und interpretieren Sie diese betriebswirtschaftlich.
Aufgabe 11.21 In einem Betrieb werden aus 3 Rohstoffen 5 Produkte hergestellt, wobei einige der Produkte auch zum Teil als Zwischenprodukte betrachtet
werden können. Die quantitativen Verflechtungen der Produktion zeigt die folgende Abbildung 11.1.
Die Zahlen an den Pfeilen geben die Mengeneinheiten der Rohstoffe bzw. Produkte an, die zur Herstellung einer Mengeneinheit der Produkte Pi ; 2i = 1, 2, . . . , 5
(aus den Kästchen austretende Pfeile) benötigt werden. Die für den Absatz zur
Verfügung stehenden Mengen der Produkte Pi werden mit qi bezeichnet, die produzierten Mengen mit pi .
a) Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen produzierten und abzusetzenden
Mengen her. (q in Abhängigkeit von p)
11-21
Matrizen und Determinanten
R1
Übungsaufgaben
R2
1
R3
?
5
? ?
P1
1
p1
3-
3?
?
P2
p2
P3
p3
2-
P4
p4
q3
?
q1
?
1
7
5- ? ?
- P5
2
p5
q4
?
q2
?
q5
?
Abbildung 11.1: Produktionsplan
b) Stellen Sie p in Abhängigkeit von q dar.
c) Welche Rohstoffmengen werden benötigt, wenn q = (50, 40, 30, 20, 10)⊺ ist?
d) Geben Sie allgemein die benötigten Rohstoffmengen in Abhängigkeit von q
an.
11-22
Lösungen
11.7
11.1
Matrizen und Determinanten
Lösungen
a) C < D, Bt rans ≤ D
0
6 5 1
; A−D=
b) A + D =
−3
5 4 0


1
0
−2
T
0 ; C − D =
A −B= 3
−5
2 −2
−9
1 −2
T
.
c) A + 3(B − 2D) =
−20 −4 −14
11.2 C · A · B = ist eine 4 × 5-Matrix.
26 32 0
.
11.3 a) A · B =
23 27 1
45 51 58
.
b) A · B =
25 18 32

−6
 12
c) A · B = 10;
B·A=
 −6
4

0 0
; B·A=
d) A · B =
0 0
2x+3y+ z
.
e) A · B =
x+5y+2z


2 −4
2 1
⊺
⊺


−1
2 ·
11.4 A · B =
3 0
3 −6

2
2 1 −1
⊺
⊺

−1
·
B ·A =
3 0 −2
3
11.5 a) nein
11.6
−4
2
−6
a) A · C · B ist eine 3 × 1-Matrix.
11-23
−1 −1
−1 −1

−9 −12 −15
18
24
30 
.
−9 −12 −15 
6
8
10

−8
4 −12
2 −1
3 .
6 −3
9
−1
−2
b) ja.
3
1
0 −4

−8
2
6
4 −1 −3  = (B · A)⊺
=
−12
3
9

 = 0 0 = (A · B)⊺.
0 0

Matrizen und Determinanten
Lösungen



−1
2
−2
0 1
0
 2 
  −178 
b) (A · C) · B =  −14 −12 7 −24  · 
 0 =
154
−10
9 5
18
7



2
1
0
2
=  −178 .
A · (C · B) =  7 −4  ·
48
154
5
3




0 0 0 70
0 0 14 46
 0 0 0 35  3  0 0 0 0  k



a) A2 = 
 0 0 0 0 ; A =  0 0 0 0 ; A = 0; k ≥ 4.
0 0 0 0
0 0 0 0


11.7
b) B2k = I2 ;
11.8
11.9
B2k−1 = B;

k ∈ N.
a) Es werden von R1 74000 Einheiten und von R2 73000 Einheiten benötigt.
b) Die Preise der Rohstoffe belasten das Zwischenprodukt Z1 mit 31 DM,
Z2 mit 29 DM und Z3 mit 20 DM pro Einheit.
Die Endprodukte werden mit 275 DM pro Einheit E1 und 156 DM pro
Einheit E2 belastet.
2 0
−1 4
.
; A2 2 =
a) A1 2 =
0 1
0 1
b) det(A1 2 ) = −1;
det(A2 2 ) = 2.
c) det(A) = −33.
11.10 a) -6; b) 5; c) 70; d) 8; e) 0; f) (−1)n−1 3n .
11.11 a) x = 2 ;
b) x1 = −2;
x2 = 0.
11.12 x1 = 2; x2 = 3; x3 = −5.




 

x1
1 −1 −1
−1 0
1
1 −1
1
u1
3   x2 
11.13  u2  =  2 −1 −1   1 2 −1   −1 −2
x3
2
0
1
0 1 −2
−1
1
2
u3



x1
−1
4 −1
9 −1   x2 .
=  10
x3
−14 −10
4
11.14
kern(A) = {0}.
11.15
a) Abbildung: (I4 − A)p = q
b) p, q ≥ 0
c) nein
11-24
Lösungen
Matrizen und Determinanten


 4
11.16 a) 
 − 11

4
11

3
11
3
− 11
1
11
10
11
1
− 11
1
11
1
− 11
1 − 32 −8


c) 
 0

0



2 


0 −1
1
2
11.17 (A · B)−1 = B−1 · A−1
11.18 A−1
11.19 a)
d)

1 −2
5
 0
1
−2

0
1
=
 0
 0
0
0
0
0
0
X = BT A−1 ;



 b) Inverse existiert nicht



2 −1 −1
1





1
1
 0
1 −2 
2


.
d) 


 5 −4 −3

2




1
2 − 32 −1
2
−23 −37
1
.
= 17
−7 −12

21 −41
−9
16 

3 −5 
.
1 −2 
0
1
b) X = B(A + 2In )−1 ;
X = C−1 · A · B−1 ;
c) X = A−1 · C · B−1 ;
e) X = [(A + 4In ) · CT ]−1 .
11.20 Umkehrabbildung: p = (I4 − A)−1 q.
Jedem Absatzvektor q wird der zugehörige
net.

0 3 0 0
 0 0 0 0

11.21 a) q = (I5 − A)p mit A = 
 0 0 0 2
 0 0 0 0
0 0 0 0
Produktionsvektor p zugeord1
5
0
2
0



;


ai j : Mengeneinheiten der Produkte Pi ; i = 1, 2, · · · 5, die zur Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes Pj ; j = 1, 2, · · · 5 benötigt
werden.


1 3 0 0 16
 0 1 0 0 5 


−1
−1

b) p = (I5 − A) q mit (I5 − A) = 
 0 0 1 2 4 ;
 0 0 0 1 2 
0 0 0 0 1
11-25
Matrizen und Determinanten
Lösungen
c) Es werden von R1 660 Einheiten, von R2 1740 Einheiten und von R3
70 Einheiten benötigt.


r1
d) r =  r2  = B · p = B(I5 − A)−1 q
r3


1 0 3 0 0
mit B =  5 1 0 0 0 ;
0 0 0 0 7
bi j : Mengeneinheiten der Rohstoffe Ri ; i = 1, 2, 3, die zur Herstellung
einer Einheit Pj ; j = 1, 2 · · · 5 benötigt werden;
ri : benötigte Mengen der Rohstoffe Ri ; i = 1, 2, 3
11-26
Kapitel 12
Eigenwerte und quadratische
Formen
12.1
Eigenwerte von Matrizen
Definition 12.1 Gegeben sei eine n-reihige quadratische Matrix A. Gibt es für
eine Zahl λ eine nichttriviale Lösung x des Gleichungssystems
A · x = λx,
(Eigenwertproblem)
so heißt λ Eigenwert der Matrix A und der zugehörige Lösungsvektor x Eigenvektor zum Eigenwert λ.
Satz 12.1 Das Eigenwertproblem A · x = λx besitzt genau dann eine Lösung
x 6= o, wenn die Determinante
|A − λE| = 0 ist.
Definition 12.2 Die Gleichung
|A − λE| = (−1)n λn + cn−1 λn−1 + · · · + c1 λ + c0 = 0
heißt charakteristische Gleichung des Eigenwertproblems Ax = λx.
Das Polynom (−1)n λn + cn−1 λn−1 + · · · + c1 λ + c0 vom Grade n in λ heißt charakteristisches Polynom.
Satz 12.2 Ist A eine symmetrische Matrix (A = AT ), dann sind alle Eigenwerte
von A reell.
12-1
Eigenwerte und quadratische Formen
12.2
Quadratische Formen
Quadratische Formen
Definition 12.3 Ist A = (aij ) eine n-reihige quadratische Matrix und xT =
(x1 , x2 , . . . , xn ) ein variabler Vektor, dann heißt der Ausdruck
Q(x) = xT · A · x
eine quadratische Form.



Q(x) = Q(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , x2 , . . . , xn ) 

a11 a12
a21 a22
..
..
.
.
an1 an2

. . . a1n

. . . a2n 


.
... .  

.
. . . ann
a11 x1 x1 + a12 x1 x2 + . . . + a1n x1 xn
+a21 x2 x1 + a22 x2 x2 + . . . + a2n x2 xn
.................................
+an1 xn x1 + an2 xn x2 + . . . + ann xn xn
n
n P
P
aij xi xj
=
x1
x2
..
.
xn



=

i=1 j=1
Satz 12.3 Eine quadratische Form xT A x einer beliebigen quadratischen Matrix
A lässt sich immer als quadratische Form xT A∗ x einer symmetrischen Matrix A∗
darstellen, d. h.
xT A x = xT A∗ x
12.3
1
mit A∗ = (A + AT )
2
Definitheit
Definition 12.4 Eine quadratische Matrix A bzw. die zugehörige quadratische
Form xT A x heißt
positiv definit
positiv semidefinit
negativ definit
negativ semidefinit
indefinit
genau dann, wenn xT A x > 0, ∀x 6= o
genau dann, wenn xT A x ≥ 0, ∀x 6= o
genau dann, wenn xT A x < 0, ∀x 6= o
genau dann, wenn xT A x ≤ 0, ∀x 6= o
in allen anderen Fällen.
Satz 12.4 Eine symmetrische Matrix A ist genau dann
positiv definit,
positiv semidefinit,
negativ definit,
negativ semidefinit,
indefinit,
wenn
wenn
wenn
wenn
wenn
alle Eigenwerte λi > 0 sind;
alle Eigenwerte λi ≥ 0 sind;
alle Eigenwerte λi < 0 sind;
alle Eigenwerte λi ≤ 0 sind;
sie positive und negative Eigenwerte besitzt.
12-2
Definitheit
Eigenwerte und quadratische Formen
Satz 12.5 Eine symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle
Hauptminoren der Determinante von A positiv sind; d. h.
a11 > 0
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a31 a32
·········
|A| > 0.
= a11 a22 − a12 a21 > 0
a13 a23 > 0
a33 Sie ist genau dann negativ definit, wenn alle Hauptminoren der Determinante
von A im Vorzeichen alternieren:
a11 < 0
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a31 a32
·········
= a11 a22 − a12 a21 > 0
a13 a23 < 0
a33 (−1)n |A| > 0.
Für semidefinite Matrizen sind die Bedingungen des vorangehenden Satzes nur
notwendig; d. h.
Satz 12.6 Ist eine symmetrische Matrix A positiv semidefinit, dann sind alle
Hauptminoren von |A| größer oder gleich Null; ist sie negativ semidefinit, dann
sind alle Hauptminoren von |A| alternierend ≤ und ≥ 0.
12-3
Eigenwerte und quadratische Formen
12.4
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 12.1
Gegeben seien die Matrizen
2
2
1
, B=
A=
−2
4 −1



2
−3 −2 4
2 3 , D =  2
C =  −3
−1
−2 −2 3
1
4
,

0
0
1 −2 
0
2
Ermitteln Sie alle Eigenwerte und alle Eigenvektoren dieser Matrizen.
Aufgabe 12.2
Ein Unternehmen produziert zwei Güter I, II, die in der Folgeperiode teilweise als
Rohstoffe wieder verwendet werden und zwar gemäß folgender Tabelle:
benötigte Einheiten von Gut
I
II
zur Herstellung einer Einheit vom Gut I 0,3 0,4
zur Herstellung einer Einheit vom Gut II 0,4 0,9
a) Berechnen Sie für die Matrix A =
und alle zugehörigen Eigenvektoren.
0, 3 0, 4
0, 4 0, 9
den größten Eigenwert
b) Interpretieren Sie das Ergebnis von a) im Sinne der obigen Aufgabenstellung.
c) Zu Beginn des Planungszeitraumes sollen insgesamt 6.000 Einheiten produziert werden. Wie ist dieses Gesamtproduktionsniveau auf beide Güter
aufzuteilen, damit ein gleichförmiges Wachstum eintritt? Welche Produktionsquantitäten können bei gleichförmigem Wachstum für beide Güter in
den folgenden zwei Perioden erreicht werden?
Aufgabe 12.3
Gegeben seien die Matrizen
A=
3 −1
−1
1
2
, B=
2



1
5 1
0
1


0
1 5
0 , D=
C=
2
2
0 0 −8
a) Es sind alle Eigenwerte zu ermitteln.
12-4
2
1
,

0 2
1 0 
0 5
Übungsaufgaben
Eigenwerte und quadratische Formen
b) Mit Hilfe der Hauptminoren ist zu untersuchen, welche der zu den obigen
Matrizen gehörigen quadratischen Formen positiv bzw. negativ definit sind.
c) Die in a) und b) erhaltenen Resultate sind zu vergleichen.
Aufgabe 12.4

c1 2 2
Für die Matrix A =  2 c2 1  sei x = (1, 0, −2)T ein Eigenvektor zum
2 1 c3
Eigenwert λ1 = 1.

a) Was folgt hieraus für die Konstanten c1 , c2 , c3 ?
b) Nennen sie einen weiteren Eigenvektor zu λ1 .
c) Kann man zusätzlich zu den Ergebnissen aus a) Bedingungen für die Konstanten angeben, so dass A außerdem positiv definit ist?
d) Kann man für den Fall, dass A positiv definit ist, die Konstanten auch noch
so bestimmen, dass λ2 = −3 ein weiterer Eigenwert von A ist?
12-5
Eigenwerte und quadratische Formen
12.5
Lösungen
1 Matrix A :
Matrix B :
1
t2
1−i
λ1 = 3;
λ2 = −2; x
λ1 = 3 + i;
Matrix C : λ1 = 1; λ2 =2;
1
(1)

0 ;
x = t1
1
MatrixD :
λ1 = 1;
(1)
= t1
1
1
λ2 = 3 − i; x
x(2)
;x
(1)
λ3 = −1;

2
= t2  −1  ;
2
λ2 = λ3 = 2;
t1 , t2 , t3 ∈ R; t1 , t2 , t3 6= 0
2
Lösungen
x(1)

(2)
= t2
= t1
x(3)

0
= t1  1  ;
0
1
−4
1
1+i
, x(2) =

3
= t3  1 
2

x(2)

0
= t2  −2 
1

a) λ1 = 1,1 größter Eigenwert; zugehöriger Eigenvektor x = (a, 2a)T ; a 6=
0
b) Ausgehend vom Produktionsniveau x1 = a und x2 = 2a (a > 0) in der
Periode t, ergibt sich für die Periode t+1 ein gleichförmiges Wachstum
um 10% mit x1 = 1,1a; x2 = 2,2a.
c) Beginn: x1 = 2.000; x2 = 4.000;
nächste Periode: x1 = 2.200; x2 = 4.400;
übernächste Periode: x1 = 2.420; x2 = 4.840
3
a) Matrix A :
Matrix B :
Matrix C :
Matrix D :
√
λ1,2 = 2 ± 2;
√
λ1,2 = 21 (3 ± 17);
λ1 = −4; λ2 = 2; √λ3 = 3;
λ1 = 1; λ2,3 = 3 ± 8
b) A und D sind positiv definit, B und C sind indefinit.
4
a) c1 = 5;
c2 bel.; c3 = 2
b) Jeder Vektor x(1) = (t, 0, −2t)T mit t ∈ R; t 6= 0 ist Eigenvektor.
12-6
Lösungen
Eigenwerte und quadratische Formen
c) c2 > 65 ;
d) nein
12-7
Eigenwerte und quadratische Formen
12-8
Lösungen
Kapitel 13
Lineare Gleichungs- und
Ungleichungssysteme
13.1
Grundbegriffe
Definition 13.1 Das System
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
·······························
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
heißt lineares Gleichungssystem mit dem Koeffizienten aij , den rechten Seiten bi
und den Variablen xj .
Definition 13.2 Sind in einem linearen Gleichungssystem alle rechten Seiten
bi = 0; i = 1, 2, . . . , m, so heißt das System homogen, ist mindestens ein bk 6= 0,
so heißt es inhomogen.
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: Ax = b
 


x1
a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n   x2  
 


 ..
..   ..  = 
..
...


 .
.  
.
.
xn
am1 am2 · · · amn
Gleichungssystem in Vektorschreibweise:



x1 

a11
a21
..
.
am1






 + x2 


a12
a22
..
.
am2
n
P
j=1

bm





xj a(j) = b





 + . . . + xn 


13-1
b1
b2
..
.
a1n
a2n
..
.
amn


 
 
=
 
b1
b2
..
.
bm





Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme Lösbarkeitsbedingungen
Definition 13.3 Ein Vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn , der das Gleichungssystem Ax = b erfüllt, heißt Lösung; die Menge aller x ∈ Rn , die das Gleichungssystem erfüllen, heißt Lösungsmenge, allgemeine Lösung oder Lösungsmannigfaltigkeit.
13.2
Lösbarkeitsbedingungen
Definition 13.4 Gegeben sei eine (m, n) - Matrix A. Die Maximalzahl p von
linear unabhängigen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) von A heißt Rang der Matrix A.
Rg (A) = p ≤ min (m, n)
Satz 13.1 Der Rang einer Matrix A ist gleich der Ordnung der größten von Null
verschiedenen Unterdeterminante von A.
Satz 13.2 Ein Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn gilt:
Rg (A) = Rg (A|b)
(Die Matrix A|b entsteht aus der Koeffizientenmatrix A durch Hinzufügen des
Vektors b der rechten Seiten als (n + 1)-te Spalte.)
Folgerung: Ein homogenes Gleichungssystem Ax = o ist stets lösbar. Es besitzt
immer die triviale Lösung x = o.
Satz 13.3 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax = b. Die Matrix A sei
vom Typ (m, n).
Gilt Rg (A) = Rg (A|b) = n, so ist die Lösung x eindeutig,
gilt Rg (A) = Rg (A|b) = p < n, so ist die Lösungsmenge (n − p) - dimensional.
13.3
Äquivalente Umformungen, Lösungsverfahren
Äquivalente Umformungen:
Satz 13.4 Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt unverändert,
wenn
• eine Gleichung mit einer Zahl λ 6= 0 multipliziert oder durch λ 6= 0 dividiert
wird,
• zwei Gleichungen vertauscht werden,
• ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen Gleichung addiert wird.
13-2
Äquivalente Umformungen, Lösungsverfahren
Ungleichungssysteme
Lineare Gleichungs- und
Definition 13.5 Ein lineares Gleichungssystem, das in jeder linear unabhängigen Gleichung genau eine eliminierte Variable besitzt, d. h. eine Variable, die
nur in dieser Gleichung auftritt und deren Koeffizient +1 ist, heißt lineares Gleichungssystem in kanonischer Form.
Die eliminierten Variablen heißen Basisvariablen (BV), die restlichen
Nichtbasisvariablen (NB).
Grundidee der Lösungsverfahren:
Durch elementare Umformungen wird das lineare Gleichungssystem in eine Form
transformiert, aus der sich die Lösung leicht bestimmen lässt.
• Dreiecksform
(Gaußscher Algorithmus)
• kanonische Form (Austauschverfahren, Pivotisierung)
Austauschverfahren (Pivotisierung):
Die Variable xl soll Basisvariable in der k-ten Gleichung werden.
Tabellenform:
x1
a11
a21
..
.
x2
a12
a22
..
.
···
···
···
xl
a1l
a2l
..
.
···
···
···
xn
a1n
a2n
..
.
b1
b2
..
.
k
..
.
ak1
..
.
ak2 · · ·
..
.
akl
..
.
···
akn
..
.
bk
..
.
m
am1 am2 · · · aml · · · amn bm
Zeile BV
1
2
..
.
akl 6= 0
Pivotelement (Hauptelement)
Zeile k
Pivotzeile (Hauptzeile)
Spalte l
Pivotspalte (Hauptspalte)
Transformationsformeln:
13-3
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Äquivalente
Umformungen, Lösungsverfahren
1. Pivotzeile k:
akj =
akj
akl
bk =
bk
akl
j = 1, 2, . . . , n
(Die Elemente der Pivotzeile werden durch das Pivotelement dividiert.)
2. Übrige Zeilen i 6= k:
akj
a
akl il
aij = aij −
bi = bi −
bk
a
akl il
= aij − akj ail
j = 1, 2, . . . , n
= bi − bk ail
(Von den Elementen der i-ten Zeile (i 6= k) werden die mit ail multiplizierten
entsprechenden Elemente der transformierten Pivotzeile subtrahiert.)
Zeile BV
1
2
..
.
k
..
.
xl
· · · xl · · ·
··· 0 ···
··· 0 ···
..
.
x1
a11
a21
..
.
x2
a12
a22
..
.
ak1
..
.
ak2 · · ·
..
.
1 ···
..
.
am1 am2 · · ·
m
xn
a1n
a2n
..
.
b1
b2
..
.
akn
..
.
bk
..
.
0 · · · amn bm
Ist Rg (A) = p, so erhält man nach p Iterationen (und eventueller Umordnung
von Zeilen und Spalten) die folgende kanonische Form:
Zeile BV xB1 xB2
1
xB1 1
0
2
xB2 0
1
..
..
..
..
.
.
.
.
p
xBp 0
0
p+1
0
0
..
..
..
.
.
.
m
0
0
· · · xBp
···
0
···
0
..
...
.
···
1
···
0
..
.
···
0
xN 1 xN 2
r1N 1 r1N 2
r2N 1 r2N 2
..
..
.
.
rpN 1 rpN 2
0
0
..
..
.
.
0
0
···
···
···
xN n−p
r1N n−p r1
r2N n−p r2
..
..
.
.
· · · rpN n−p rp
···
0
0
..
..
.
.
···
Allgemeine Lösung:
xBi
xN j
= ri −
bel.
n−p
P
riN j xN j
i = 1, 2, . . . , p
j=1
j = 1, 2, . . . , n − p
13-4
0
0
Berechnung der inversen Matrix
Ungleichungssysteme
Lineare Gleichungs- und
Die Nichtbasisvariablen xN j ; j = 1, 2, . . . , n − p können beliebig gewählt werden.
Wählt man speziell xN j = 0; j = 1, 2, . . . , n − p, so erhält man eine Basislösung
xBi = ri ; i = 1, 2, . . . , p.
Die zu den Basisvariablen gehörenden Spaltenvektoren von A bilden eine Basis
des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Vektorraumes.
Satz 13.5 Die allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems
ist gleich der Summe aus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems und
der allgemeinen Lösung des homogenen Systems (Kern der linearen Abbildung
A).
13.4
Berechnung der inversen Matrix
Wir betrachten zunächst zwei Gleichungssysteme mit gleicher Koeffizientenmatrix A und unterschiedlichen rechten Seiten:
Ax = b(1)
und Ax = b(2) .
Beide Probleme können gleichzeitig in einer Tabelle gelöst werden:
Zeile BV
1
2
..
.
m
···
···
···
...
xn
a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · ·
amn
x1
a11
a21
..
.
x2
a12
a22
..
.
(1)
(2)
b1 b1
(1)
(2)
b2 b2
..
..
.
.
(1)
(2)
bm bm
Berechnung der inversen Matrix:
Für die Inverse A−1 gilt A · A−1 = E, d. h. gesucht ist eine Matrix X = A−1 , die
der Matrizengleichung A · X = E genügt.
Bezeichnet man die Spaltenvektoren der Matrix X mit





x1n
x12
x11
 x2n
 x22 
 x21 





x(1) =  ..  , x(2) =  ..  , . . . x(n) =  ..
 .
 . 
 . 
xnn
xn2
xn1
so lässt sich die Matrizengleichung A · X = E als
A(x(1) x(2) . . . x(n) ) = (e1 e2 . . . en )
13-5



 ,

Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Lineare
Ungleichungssysteme
interpretieren, was äquivalent ist zu den n-Gleichungssystemen
Ax(1) = e1
Ax(2) = e2
·········
Ax(n) = en
Zur gleichzeitigen Lösung dieser n Gleichungssysteme und damit zur Berechnung
der inversen Matrix benutzt man die Tabelle
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
..
..
...
.
.
.
an1 an2 · · · ann
0 ··· 0
1 ··· 0
.. . . ..
. .
.
0 0 ··· 1
1
0
..
.
Nach n Pivotisierungen erhält man die Tabelle
0 · · · 0 x11 x12 · · · x1n
1 · · · 0 x21 x22 · · · x2n
..
.. . . .. ..
..
...
. . .
.
.
.
0 0 · · · 1 xn1 xn2 · · · xnn
1
0
..
.
die die Inverse A−1 = X = (xij ) enthält.
13.5
Lineare Ungleichungssysteme
Definition 13.6 Das System
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn {≤, =, ≥} b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn {≤, =, ≥} b2
·······································
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn {≤, =, ≥} bm
heißt lineares Ungleichungssystem mit den Koeffizienten aij , den rechten Seiten
bi und den Variablen xij .
({≤, =, ≥} bedeutet, dass eine der drei Relationen gelten soll; weiterhin setzen
wir voraus, dass nicht alle Bedingungen echte Gleichungen sind.)
Definition 13.7 Die speziellen Ungleichungen
xj ≥ 0
j ∈ J ⊆ {1, 2, . . . , n}
bezeichnen wir als Nichtnegativitätsforderungen.
(Sie werden wegen ihrer speziellen Gestalt meist gesondert neben dem allgemeinen
Ungleichungssystem betrachtet.)
13-6
Lineare Ungleichungssysteme
Ungleichungssysteme
Lineare Gleichungs- und
Ungleichungssystem und Nichtnegativitätsforderung in Matrizenschreibweise:
Ax {≤, =, ≥} b,
x≥o
Definition 13.8 Ein Vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn , der das Ungleichungssystem Ax {≤, =, ≥} b erfüllt, heißt Lösung, erfüllt er zusätzlich auch die Nichtnegativitätsforderung, so heißt er zulässige Lösung.
Die Menge aller zulässigen Lösungen M = {x ∈ Rn | Ax {≤, =, ≥} b, x ≥ o} heißt
zulässiger Bereich.
Definition 13.9 Eine Menge M heißt konvex, wenn mit zwei beliebigen Elementen (Vektoren) x(1) und x(2) ∈ M auch jede konvexe Linearkombination
λx(1) + (1 − λ)x(2) , 0 ≤ λ ≤ 1, zu M gehört.
Definition 13.10 Ein Punkt (Vektor) x ∈ M heißt Eckpunkt (Extremalpunkt)
einer konvexen Menge M , wenn er sich nicht als echte konvexe Linearkombination zweier anderer Punkte aus M darstellen lässt.
Satz 13.6 Der zulässige Bereich eines linearen Ungleichungssystems ist, wenn
er nicht leer ist, eine konvexe Menge mit höchstens endlich vielen Eckpunkten.
Satz 13.7 Ist der zulässige Bereich eines linearen Ungleichungssystems beschränkt,
so lässt er sich als konvexe Linearkombination seiner Eckpunkte beschreiben:
M = {x
| Ax {≤, =, ≥} b, x ≥ o}
q
P
(1)
(2)
(q)
=
x | x = λ1 x + λ2 x + · · · λq x ; 0 ≤ λi ≤ 1, λi = 1
i=1
wobei x(1) , x(2) , . . . , x(q) die Eckpunkte von M sind.
Satz 13.8 Jedem Eckpunkt des zulässigen Bereichs eines linearen Ungleichungssystems entspricht mindestens eine zulässige Basislösung, und umgekehrt entspricht jeder zulässigen Basislösung genau ein Eckpunkt.
Grundidee zur Lösung linearer Ungleichungssysteme:
(1) Ungleichungen werden in Gleichungen mit zusätzlichen Nichtnegativitätsforderungen überführt.
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn
≤ bi
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn + ui = bi
ui ≥ 0
ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn
(Schlupfvariable)
≥ bk
ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn − uk = bk
uk ≥ 0
13-7
(Überschussvariable)
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Lineare
Ungleichungssysteme
(2) Ausgehend von einer zulässigen Basislösung muss das Pivotelement so ausgewählt werden, dass die neue Basislösung wieder zulässig ist.
Wenn z. B. ein Ungleichungssystem in der Form
Ax ≤ b , x ≥ o mit b ≥ o
gegeben ist, so ist
x
u
=
o
b
eine zulässige Basislösung des äquivalenten Gleichungssystems
x
x
≥o
=b
mit
(A, E) ·
u
u
Zeile BV
1
u1
2
u2
..
..
.
.
k
uk
..
..
.
.
m
um
x1
a11
a21
..
.
x2
a12
a22
..
.
···
···
···
xl
a1l
a2l
..
.
···
···
···
xn
a1n
a2n
..
.
ak1
..
.
ak2 · · ·
..
.
akl
..
.
···
akn
..
.
am1 am2 · · · aml · · · amn
u1 u2
1 0
0 1
..
..
.
.
0 0
..
..
.
.
· · · um
··· 0
··· 0
..
.
···
0
..
.
bk
..
.
0
···
1
bm
0
Q
b1
b2
..
.
Für eine neue zulässige Basislösung mit xl als Basisvariable muss gelten:
(1)
(2)
k ≥ 0
bk = abkl
⇒ akl > 0,
d. h. das Pivotelement akl muss positiv sein.
k
k ≥ 0, i 6= k
⇒ abili ≥ abkl
für alle ail > 0,
bi = bi − abkl
d. h. nach der Auswahl der Pivotspalte l ist die Pivotzeile k durch
bk
bi
=
ail >0 ail
akl
min
(Q-Spalte der Tabelle)
bestimmt.
Kurze Tabellenform:
Da die zu den Basisvariablen gehörenden Spalten in der Tabelle stets Einheitsvektoren sind, können sie auch weggelassen werden. Die für die Pivotisierung
wichtigen Informationen enthalten die Spalten der Nichtbasisvariablen. Deshalb
13-8
Lineare Ungleichungssysteme
Ungleichungssysteme
Lineare Gleichungs- und
wird nachfolgend eine kurze Tabellenform verwendet, bei der die Spalten den
Nichtbasisvariablen und die Zeilen den Basisvariablen zugeordnet sind.
Spalte
Zeile
1
2
..
.
xB1
xB2
..
.
k
..
.
xBk
..
.
m
xBm
1
2
xN 1 xN 2
r11 r12
r21 r22
..
..
.
.
rk1 rk2
..
..
.
.
···
···
···
···
l
xN l
r1l
r2l
..
.
··· n − m
· · · xN n−m
· · · r1n−m
· · · r2n−m
..
.
···
rkl
..
.
···
rm1 rm2 · · ·
rml · · ·
rkn−m
..
.
Q
r1
r2
..
.
rk
..
.
rmn−m rm
Beim Austausch der Nichtbasisvariablen xN l aus Spalte l gegen die Basisvariable xBk aus Zeile k erscheint diese dann in der Spalte l. Damit ändern sich auch
die Transformationsformeln für die Pivotspalte l einschließlich des Pivotelements.
rkl =
1
rkl
il
ril = − rrkl
,
i 6= k
(Das Pivotelement wird durch seinen reziproken Wert ersetzt und die übrigen
Elemente der Pivotspalte werden durch das negative Pivotelement dividiert.)
13-9
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
13.6
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 13.1
Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix und untersuchen Sie, ob das
folgende Gleichungssystem lösbar ist:
2x1 + x2 − x3
= 1
3x1 − x2 − 2x3 + x4 = 2
x1 + 3x2
− x4 = 3
Aufgabe 13.2
Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme durch Pivotisierung (Austauschverfahren):
3x1
4x1
b)
x1
4x1
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
a) 2x1 + 3x2 + x3 = 8
3x1 + x2 + 2x3 = 5
3x1
3x1
c)
8x1
6x1
+
+
+
+
4x2
8x2
5x2
2x2
+ x3
+ 6x3
+ 6x3
+ 5x3
+
+
+
+
6x4
5x4
7x4
3x4
=
=
=
=
8
7
6
5
1x
8x
d) 4x
5x
1x
+
−
−
−
+
+
+
+
+
x2
x2
x2
x2
2y
7y
5y
4y
4y
+ x3
+ 2x3
+ x3
+ 2x3
+
+
+
+
+
3z
6z
9z
2z
1z
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3
4
1
5
16
74
49
43
22
a x + (a + b) y + b z = 3a + 5b
ab y + a z = a(2b + 3) + b
e) b x +
ax +
b y + b z = a + 5b
Aufgabe 13.3
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung und geben Sie zwei verschiedene Basislösungen an:
4x1 − x2 − 3x3 + 5x4 = −2
4
a) −x1 + x2 + x3 − x4 =
2x1 − x2 − x3 − 2x4 =
1
x1
x1
b)
2x1
3x1
+
+
−
+
2x2
4x2
2x2
2x2
−
x3
− 5x3 + x4
+ 10x3 + x4
+ 5x3 + 2x4
+ 4x5
+ 3x5
− x5
+ 2x5
= 2
= 1
= 11
= 12
Aufgabe 13.4
Für welche Werte von a besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? Ge13-10
Übungsaufgaben
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
ben Sie diese in Abhängigkeit von a an.
3x + 4y + 4z = 2
3x + 2y + 3z = 3
4x + 5y + az = 4
Aufgabe 13.5
Für welche Werte von λ hat das Gleichungssystem
3x + 2y + z = 0
6x + 4y + λz = 0
a) keine Lösung
b) genau eine Lösung
c) mehrere Lösungen? Geben Sie diese an.
Aufgabe 13.6
Gegeben ist das Gleichungssystem


x1
1 0
0 −1
  x2
 0 1 −1
1


 0 0
a
0   x3
0 1
0
b
x4



2
  3 
= 
  1 
0
a) Für welche Werte von a und b besitzt das Gleichungssystem
• keine Lösung
• genau eine Lösung
• mehrere Lösungen?
b) Geben Sie für den Fall mehrerer Lösungen die allgemeine Lösung an.
c) Geben Sie für a = 1 und b = 0 die Lösung des Gleichungssystems an.
Aufgabe 13.7

2 −2
Durch die Matrix A =  5 −1
3 −1
Geben Sie den Kern der Abbildung

2
7  ist eine lineare Abbildung beschrieben.
4
an.
Aufgabe 13.8
Gegeben sind die beiden Gleichungssysteme
1x1 + 2x2 + 3x3 = 5
3x1 + 1x2 + 2x3 = 5
2x1 + 3x2 + 1x3 = 8
und
1x1 + 2x2 + 3x3 = 14
3x1 + 1x2 + 2x3 = 21
2x1 + 3x2 + 1x3 = 13
Lösen Sie beide Systeme gleichzeitig in einer Tabelle.
13-11
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Übungsaufgaben
Aufgabe 13.9
Berechnen Sie zu folgenden Matrizen die Inversen durch Pivotisierung:




1 4 6
1
3
2
5
3 
b) B =  3 2 1 
a) A =  2
7 8 8
−3 −8 −4


1
0 −1
2
 2 −1 −2
3 

c) C = 
 −1
2
2 −4 
0
1
2 −5
Aufgabe 13.10
Bestimmen Sie die Lösungen folgender Matrizengleichungen:


−1
3
2
1
−4
2
5
3  und B =
a) X · A = B mit A =  2
3
3 −2
−3 −8 −4
3 2
2 1
, C =
, B =
b) A · X · B = C
mit A =
4 3
−1 2
0 1
1 0


−3 1
1
2 −4
0


−1 0
1
und B =
c) X·A = −2(X+B) mit A =
1
3 −2
2 1 −2
Aufgabe 13.11
Vier Zweige einer Volkswirtschaft sind untereinander durch die Lieferung von
Leistungen verflochten (siehe Matrix X = (xij )). Dabei bedeutet xij die Menge
der Leistungen, die vom Zweig i an den Zweig j geliefert werden; xii bezeichnet
den Eigenbedarf des Zweiges i. Die für Verbraucher außerhalb dieser vier Zweige
bereitgestellten Leistungen sind im Vektor q angegeben.

5
 25
X = (xij ) = 
 10
10
15
25
20
30
15
10
20
15

10
30 

20 
25
,

5
 10 

q=
 30 
20

Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass die Zulieferleistungen durch die
Zweige i an den Zweig j auch bei Veränderungen der Größen proportional zur
Gesamtleistung des Zweiges j bleiben, welche Gestalt die Matrix X haben muss,
wenn sich geänderte Anforderungen durch die Verbraucher außerhalb dieser vier
Zweige ergeben, die durch den Vektor
13-12
Übungsaufgaben
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme

10
 20 

q∗ = 
 20 
15

beschrieben sind. (Rechnen Sie mit 2 Stellen nach dem Komma.)
Aufgabe 13.12
Ein Schiff mit einer Ladefähigkeit von 7.000 t und einer Laderaumkapazität von
10.000m3 soll drei Güter G1 , G2 und G3 in solchen Mengen laden, dass der Frachtertrag größer oder gleich 210.000 DM ist.
Die Tabelle enthält für jedes Gut Gi die maximal vorhandene Menge in t, den
benötigten Laderaum in m3 /t und den Frachtertrag in DM/t:
G1
G2
G3
vorhandeneM enge
3.500 4.000 2.000
benötigterLaderaum 1, 2
1, 1
1, 5
F rachtertrag
25
30
35
Beschreiben Sie das Problem durch ein lineares Ungleichungssystem.
Aufgabe 13.13
Gegeben ist eine beschränkte konvexe Menge mit den Eckpunkten


 
 
 
−1
2
1
2
x(4) =  3 .
x(3) =  0 ,
x(2) =  1 ,
x(1) =  1 ,
1
0
 1
1 
1
2
Gehören die Punkte a = 12  3  und b =  0  zur konvexen Menge?
2
1
Aufgabe 13.14
Ein Unternehmen will zusätzlich zwei Güter A und B in den Mengen xA und
xB verkaufen. Dazu werden die Güter auf Maschine I produziert und auf der
Maschine II abgepackt. Die für die einzelnen Güter benötigten Zeiten pro Tonne
sind in der folgenden Tabelle angegeben:
Gut A Gut B
M aschine I 4 M in. 10 M in.
M aschine II 6 M in. 3 M in.
Die Maschine I ist 40 Stunden, die Maschine II ist 20 Stunden verfügbar. Welche
Mengen der einzelnen Produkte lassen sich unter diesen Bedingungen produzieren
und abpacken?
13-13
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Übungsaufgaben
a) Formulieren Sie das Problem als lineares Ungleichungssystem.
b) Geben Sie die allgemeine Lösung an.
c) Stellen sie die Lösung graphisch dar.
Aufgabe 13.15
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Ungleichungssysteme:
a)
2x1 + 5x2 − 2x3
4x1 + x2 + x3
x1 , x2 , x3
≤
≤
≥
5
3
0
b)
Benutzen Sie die kurze Tabellenform.
13-14
x1 + x2 + x3
x1
+ 5x3
x1 , x2 , x3
≤
≤
≥
3
3
0
Lösungen
13.7
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Lösungen
1 Rg(A) = 2,
Rg(A, b) = 3,
2 a) x1 = 1; x2 = 2; x3
c) keine Lösung
e) x = 1;
y = 2;
x = 1;
y = t;
x = 4 − t;
y = 2;
x = −2 + t; y = 2;
nicht lösbar.
=0;
z
z
z
z
b) keine Lösung
d) x = 5; y = 4; z = 1
=3
für a 6= 0, |a| =
6 |b|
= 5 − t; t ∈ R; für a = 0, b 6= 0
= t;
t ∈ R; für a 6= 0, a = b
= t;
t ∈ R; für a 6= 0, a = −b
13
x2 = 52 − 25 t; x3 = 13
2 + 2 t;
Basislösungen: (5, 52 , 13
2 , 0) , (2, 5, 0, −1)
3 a) x1 = 5 + 3t;
x4 = t;
b) x1 = 4 − 3t1 − 2t2 ; x2 = −1 + 2t1 − t2 ; x3 = t1 ;
t1 , t2 ∈ R
Basislösungen: (4, −1, 0, 1, 0) , (6, 0, 0, −2, −1)
4 a 6= 31
6 :
− 46
x = 8a
6a − 31 ;
+ 12
y = −3a
6a − 31 ;
t∈R
x4 = 1 + 3t2 ;
7
z = 6a −
31
5 Das Gleichungssystem hat für jedes λ ∈ R mehrere Lösungen.
λ=2:
λ 6= 2 :
x = − 31 z − 23 y; y, z ∈ R
x = − 32 y; y ∈ R; z = 0
6 a) keine Lösung: a = 0; b bel. oder a 6= − 13 ; b = 1
genau eine Lösung: a 6= 0; b 6= 1
mehrere Lösungen: a = − 13 ; b = 1
b) x1 = 2 + t; x2 = −t : x3 = −3; x4 = t; t ∈ R
c) x1 = 6;
x2 = 0;






x3 = 1;
x4 = 4






x
 1 


7 Kern(A) = x =  x2  ∈ R3 | x1 = −3t, x2 = −t, x3 = 2t; t ∈ R










x3
13-15
x5 = t2 ;
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Lösungen
8 Lösungen: System 1 : x1 = 1;
x2 = 2;
x3 = 0
System 2 : x1 = 5;
x2 = 0;
x3 = 3

−4


9 a) A−1 = 

c) C −1
4
1



1 −2 −1 ;

1
1
1

b) B −1 existiert nicht

2 −1 −1
1




1
1
 0
1 −2 
2

=


 5 −4 −3
2 


3
1
2 − 2 −1
2

−6
10 a) X = 19 

c) X = 

78
51
−11 −52 −40
−10
10 −2
15 −11
5, 79


28, 99
11 X = 

11, 59

11, 59
1




b) X = 15 

17, 80
14, 19
29, 67
9, 46
23, 73
18, 52
35, 60
14, 19
10, 18



30, 54 


20, 36 

25, 46
12 xj : Menge des Gutes j; xj ≥ 0; j = 1, 2, 3
≤
3.500
≤
4.000
x3 ≤
2.000
1, 2x1 + 1, 1x2 + 1, 5x3 ≤
10.000
x3 ≤
7.000
x1
x2
x1 +
x2 +
25x1 +
30x2 +
35x3 ≥ 210.000
13-16
−11
8
2 −1


Lösungen
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
13 a gehört zur konvexen Menge, b nicht.
14
a) xA bzw. xB : Mengen der Güter A bzw. B
4xA +
10xB ≤ 2.400
6xA +
3xB ≤ 1.200

b) 
4
P
xA
xB
xA , xB ≥ 0





 


100
0
200
0

 + α4 
 + α3 
 = α1   + α2 
200
240
0
0
αi = 1;
i=1
xB 6
r
aa
200 r
r
100 r
r
αi ≥ 0;
i = 1, 2, 3, 4
A
A
A
aa A
aa
Aa
A aaa
A
A
A
A
A
A
A
A
A
r
r
r
Ar
100
c)
r-
xA
200
15 a)



x
 1 




 x2  = λ1 



x3
6
P
i=1
λi = 1;


3
0
0

 

 4 


 


0 +λ2  0 +λ3  0 +λ4 


 


0
0
3

λi ≥ 0;



i = 1, 2, . . . , 6
13-17
5
9
7
9
0





0
0


 

 11 

 
+λ5 
+λ6  1 
 7 

 
10
0
7
Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme
b)

x1


3


0


0

Lösungen


 

 
 


 

 
 

 x2  = λ 1  0  + λ 2  0  + λ 3  3  + λ 4 

 

 
 

x3
0
0
0
5
P
i=1
λi = 1;
λi ≥ 0;
i = 1, 2, . . . , 5
13-18
0
12
5
3
5


0







 + λ5  0 



3
5
Kapitel 14
Differentialrechnung für
Funktionen von mehreren
Variablen
14.1
Funktionen von mehreren Variablen
f : y = f (x)
f : z = f (x, y)
f : u = f (x, y, z)
···
f : z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x)
R →R
R2 → R
R3 → R
···
Rn → R
Funktion einer Variablen
Funktion zweier Variablen
Funktion von 3 Variablen
Funktion von n Variablen oder
Funktion eines n − dimensionalen Vektors
Jedem n-tupel (x1 , x2 , . . . , xn ) bzw. jedem Vektor x ∈ Df ⊆ Rn wird eindeutig
eine reelle Zahl zugeordnet. Geometrische Interpretation für n = 2:
Eine Funktion von zwei Variablen kann als Fläche im (dreidimensionalen) Raum
dargestellt werden. Jedem Punkt (x, y) in der Ebene wird eindeutig durch z =
f (x, y) eine Höhe z im Raum zugeordnet.
Verbindet man alle Punkte in der (x, y)-Ebene, die den gleichen Funktionswert
z = f (x, y) = konst. besitzen, so erhält man Höhenlinien der Funktion f .
14.2
Partielle Ableitungen, Gradient, totales Differential
Definition 14.1 Die Funktion f mit z = f (x, y) sei in einer Umgebung des
Punktes (x0 , y 0 ) ∈ Df definiert. Bei festgehaltenem y = y 0 sei die Funktion
ϕ mit ϕ(x) = f (x, y 0 ) an der Stelle x = x0 im gewöhnlichen Sinne nach x
14-1
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Partielle
Ableitungen, Gradient, totales Differential
differenzierbar. Dann heißt die Ableitung
ϕ(x0 + △x) − ϕ(x0 )
f (x0 + △x, y 0 ) − f (x0 , y 0 )
= lim
△x→0
△x→0
△x
△x
ϕ′ (x0 ) = lim
die partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (x0 , y 0 ).
Wir verwenden dafür die Symbole
∂f (x0 , y 0 )
∂x
oder
f x(x0 , y 0 ).
Analog erhält man bei festgehaltenem x = x0 durch Differentiation nach y die
partielle Ableitung von f (x, y) nach y an der Stelle (x0 , y 0 ):
∂f (x0 , y 0 )
∂y
oder
f y(x0 , y 0 ).
Die Definition lässt sich analog auf mehr als zwei Variable übertragen:
Definition 14.2 Die Funktion f mit z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) sei in einer Umgebung
des Punktes x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) ∈ Df definiert.
Der Grenzwert
f (x01 , . . . , x0i−1 , x0i + △xi , x0i+1 , . . . , x0n ) − f (x01 , x02 , . . . , x0n )
△xi →0
△xi
lim
heißt partielle Ableitung (1. Ordnung) der Funktion f nach xi an der Stelle
x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) und wird mit
∂f (x01 , x02 , . . . , x0n )
= fxi (x0 )
∂xi
bezeichnet.
Berechnung der partiellen Ableitung:
Eine Funktion f mit z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) wird partiell nach xi differenziert,
indem alle Variablen xk 6= xi als konstant angesehen werden und f nach xi differenziert wird.
Partielle Ableitung höherer Ordnung:
Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung einer Funktion f mit z = f (x1 , x2 , . . . , xn )
sind
i. a. ebenfalls wieder Funktionen von n Variablen x1 , x2 , . . . , xn . Sie können wieder partiell differenziert werden.
14-2
Partielle Ableitungen, Gradient, totales Differential
für Funktionen von mehreren Variablen
Beispiel (n = 2) :
Differentialrechnung
f ist eine Funktion mit dem Funktionswert z = f (x, y)
fx =
∂f
∂x
=ϕ
fxx =
∂2f
∂x2
fxy =
∂2f
∂y∂x
=
fy =
∂ϕ
∂x
=
= ϕx
∂ϕ
∂y
= ϕy
∂f
∂y
=ψ
fyy =
∂2f
∂y 2
fyx =
∂2f
∂x∂y
=
∂ψ
∂y
=
= ψy
∂ψ
∂x
= ψx
Satz 14.1 Sind die partiellen Ableitungen fxy und fyx stetig, so gilt:
fxy (x, y) = fyx (x, y)
Definition 14.3 Ordnet man die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f
mit z = f (x) zu einem Vektor an, so heißt dieser Vektor Gradient der Funktion
f.


fx1 (x)
 fx2 (x) 

grad f (x) = ▽f (x) = 
 ········· 
fxn (x)
Der Gradient einer Funktion f mit z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) gibt in jedem Punkt
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) die Richtung an, in der die Funktion f am stärksten wächst.
Definition 14.4 Der Ausdruck
dz = fx1 (x0 ) dx1 + fx2 (x0 ) dx2 + · · · + fxn (x0 ) dxn
heißt totales Differential der Funktion f an der Stelle x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ).
Die Ausdrücke fxi (x0 ) dxi , i = 1, 2, . . . , n heißen partielle Differentiale.
Sie beschreiben näherungsweise die Änderung des Funktionswertes z bei der
Änderung der i-ten Variablen um dxi an der Stelle x0 .
Anwendung der Differentiale zur Fehlerabschätzung:
Zu berechnen ist der Wert z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) der Funktion f an der Stelle
x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ). Dann gilt:
△z ≤
n
X
i=1
| fxi (x0 ) | △xi
△xi absoluter Fehler der Variablen xi an der Stelle x0i
△z absoluter Fehler des Funktionswertes an der Stelle x0 .
14-3
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Verallgemeinerte Kettenregel, Richtungsableitungen
14.3
Verallgemeinerte Kettenregel, Richtungsableitungen
Sind die Variablen xi ; i = 1, 2, . . . , n wiederum Funktionen einer Variablen t, d.
h.
x1 = x1 (t)
x2 = x2 (t)
···
xn = xn (t),
dann gilt:
z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) = z(t).
Satz 14.2 (Verallgemeinerte Kettenregel)
Gegeben sei die stetig partiell differenzierbare Funktion f mit
z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) und es gilt
x1 = x1 (t)
x2 = x2 (t)
······
xn = xn (t),
wobei die xi (t); i = 1, 2, . . . , n ebenfalls stetig differenzierbar sind. Dann ist auch
z(t) = f (x(t)) = f (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) stetig nach t differenzierbar und es gilt
dz
dx1
dx2
dxn
= fx1 (x)
+ fx2 (x)
+ . . . + fxn (x)
dt
dt
dt
dt
Bisher wurden nur Änderungen der Funktion f in Richtung der Koordinatenachsen betrachtet. Jetzt wollen wir Änderungen der Funktion f in einer beliebigen
Richtung r betrachten, die durch den Vektkor r = (r1 , r2 , . . . , rn )T gegeben ist.
Definition 14.5 Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion f mit
z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) und eine Richtung r = (r1 , r2 , . . . , rn )T mit |r| = 1.
Der Ausdruck
grad f (x)T · r = ▽f (x)T · r = fx1 (x) · r1 + fx2 (x) · r2 + . . . + fxn (x) · rn
heißt Richtungsableitung der Funktion f in Richtung r an der Stelle x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
14.4
Partielle Änderungsrate und partielle Elastizität
Definition 14.6 Der Ausdruck
ρf,xi (x) =
14-4
fxi (x)
f (x)
Implizite Funktionen
Variablen
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren
heißt partielle Änderungsrate und der Ausruck
εf,xi (x) = xi · ρf,xi (x) = xi
fxi (x)
f (x)
partielle Elastizität von f bezüglich xi im Punkt x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Spezialfall für homogene Funktionen:
Definition 14.7 Eine Funktion f von n Variablen mit der Eigenschaft
f (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) = λr f (x1 , x2 , . . . , xn )
für alle
(x1 , x2 , . . . , xn )
heißt homogen vom Grade r.
Satz 14.3 (Eulersche Homogenitätsrelation)
Die Funktion f mit z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) sei stetig partiell differenzierbar
und homogen vom Grade r. Dann gilt:
fx1 (x) · x1 + fx2 (x) · x2 + . . . + fxn (x) · xn = r · f (x)
Satz 14.4 Für eine homogene Funktion f mit z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ist
die Summe der partiellen Elastizitäten gleich dem Grad der Homogenität.
εf,x1 (x) + εf,x2 (x) + . . . + εf,xn (x) = r
14.5
Implizite Funktionen
implizit: F (x, y) = 0
F (x1 , x2 , . . . , xn , z) = 0
explizit: y = f (x)
z = f (x1 , x2 , . . . , xn )
oder als System:
F1 (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
F2 (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
···
Fm (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
y1 = f1 (x1 , x2 , . . . , xn )
y2 = f2 (x1 , x2 , . . . , xn )
···
ym = fm (x1 , x2 , . . . , xn )
Unter welchen Bedingungen lässt sich ein implizit gegebenes System eindeutig
explizit auflösen?
Satz 14.5 Gegeben sei das System
F1 (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
F2 (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
...........................
Fm (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
14-5
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Implizite
Funktionen
von implizit gegebenen Funktionen, wobei die Fj ; j = 1, 2, . . . , m stetig partiell
differenzierbar sind.
0
(x0 ; y 0 ) = (x01 , x02 , . . . , x0n ; y10 , y20 , . . . , ym
) sei ein Punkt, der das System erfüllt.
Dann lässt sich das System in einer Umgebung des Punktes (x0 ; y 0 ) eindeutig
durch m explizite Funktionen f1 , f2 , . . . , fm mit
y1 = f1 (x1 , x2 , . . . , xn )
y2 = f2 (x1 , x2 , . . . , xn )
...............
ym = fm (x1 , x2 , . . . , xn )
darstellen, wenn die Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen Fj nach
den Variablen yk an der Stelle (x0 ; y 0 ) regulär ist, d. h.
∂Fj (x0 ; y 0 )
det
6= 0
(Jacobische Determinante)
∂yk
Differentiation implizit gegebener Funktionen:
Satz 14.6 Durch F (x; z) = F (x1 , x2 , . . . , xn ; z) = 0 sei in der Umgebung von
(x0 ; z 0 ) = (x01 , x02 , . . . , x0n ; z 0 ) eine Funktion f implizit gegeben.
Ist F stetig partiell differenzierbar, so gilt:
fxi = −
Fxi
Fz
Speziell für F (x, y) = 0 gilt:
f′ =
dy
Fx
=−
dx
Fy
Extremwerte einer durch F (x, y) = 0 implizit gegebenen Funktion f :
Satz 14.7 Die Funktion f ist implizit durch F (x, y) = 0 gegeben.
Sie hat an der Stelle (x0 , y 0 ) mit y 0 = f (x0 ) ein relatives Extremum, wenn gilt:
F (x0 , y 0 ) = 0
Fx (x0 , y 0 ) = 0
Fy (x0 , y 0 ) 6= 0
Fxx (x0 , y 0 ) 6= 0
Für
Fxx (x0 ,y 0 )
Fy (x0 ,y 0 )
> 0 liegt ein Maximum vor, für
14-6
Fxx (x0 ,y 0 )
Fy (x0 ,y 0 )
< 0 ein Minimum.
Uneingeschränkte Extrema
mehreren Variablen
14.6
Differentialrechnung für Funktionen von
Uneingeschränkte Extrema
Satz 14.8 (Notwendige Bedingung für relative Extrema)
Die Funktion f mit z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) sei stetig partiell differenzierbar.
Besitzt f in x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) ein relatives Extremum, dann gilt:

fx1 (x0 ) = 0



fx2 (x0 ) = 0
grad f (x0 ) = grad f (x01 , x02 , . . . , x0n ) = o , d.h.
......



fxn (x0 ) = 0
d. h. die Funktion f besitzt in x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) einen stationären Punkt.
Definition 14.8 Die Matrix

fx1 x1 (x) fx1 x2 (x) · · · fx1 xn (x)
 fx x (x) fx x (x) · · · fx x (x)
2 n
2 2
 2 1
Hf (x) = 
..
..
..
.
.

.
.
.
.
fxn x1 (x) fxn x2 (x) · · · fxn xn (x)





heißt Hesse-Matrix der Funktion f an der Stelle x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Satz 14.9 (Hinreichende Bedingung für relative Extrema)
Die Funktion f mit z = f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) sei zweimal stetig partiell differenzierbar und besitze an der Stelle x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) einen stationären Punkt.
Ist die Hesse-Matrix Hf (x0 ) negativ (bzw. positiv) definit, so besitzt f in x0 ein
relatives Maximum (bzw. Minimum).
Ist Hf (x0 ) indefinit, so besitzt f in x0 kein relatives Extremum.
Ist Hf (x) negativ (bzw. positiv) definit für alle x ∈ Df , so ist x0 auch globales
Maximum (bzw. Minimum) im Definitionsbereich Df .
Satz 14.10 (Spezialfall für n = 2)
Es sei (x0 , y 0 ) ein stationärer Punkt der Funktion f mit z = f (x, y).
Ist die Determinante
2
|Hf (x0 , y 0 )| = fxx · fyy − fxy
|(x0 ,y0 ) > 0,
dann besitzt f in (x0 , y 0 ) ein relatives Extremum, und zwar
für fxx (x0 , y 0 ) < 0 oder fyy (x0 , y 0 ) < 0 ein Maximum,
für fxx (x0 , y 0 ) > 0 oder fyy (x0 , y 0 ) > 0 ein Minimum.
Gilt |Hf (x0 , y 0 )| < 0, so liegt kein Extremum vor,
bei |Hf (x0 , y 0 )| = 0 ist keine Aussage möglich.
14-7
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Extrema
unter Nebenbedingungen
Methode der kleinsten Quadratsumme:
Gegeben sind n Punkte (xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n.
Gesucht ist eine Funktion f einer vorgegebenen Klasse von Funktionen, so dass
y = f (x) den Zusammenhang zwischen x und y möglichst gut“ beschreibt.
”
Kriterium für möglichst gut“: Die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen
”
yi und f (xi ) soll minimal werden. (Gauß)
n
X
(f (xi ) − yi )2 → M in
Q=
i=1
linearer Trend:
f (x) = ax + b
Q(a, b) =
n
X
i=1
(axi + b − yi )2 → M in
Notwendige Bedingungen:
n
X
Qa = 2
(axi + b − yi )xi = 0
i=1
Qb = 2
n
X
i=1
(axi + b − yi ) = 0
Daraus ergeben sich die Parameter a und b als
n
a=
n
P
i=1
n
xi yi −
n
P
i=1
14.7
x2i
−
n
P
xi
i=1
i=1
n
P
n
P
xi
i=1
yi
2
n
P
xi
xi yi
i=1
i=1
i=1
i=1
b=
n 2
n
P
P
2
xi
n xi −
n
P
x2i
n
P
yi −
i=1
n
P
i=1
Extrema unter Nebenbedingungen
Es werden Aufgaben der Form
z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) → Extremum
unter den Bedingungen
g1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
g2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
.........
gm (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
14-8
betrachtet.
Extrema unter NebenbedingungenDifferentialrechnung für Funktionen von
mehreren Variablen
(1) Lassen sich die Bedingungen gj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, j = 1, 2, . . . , m nach m
der Variablen auflösen, dann gilt:
x1
x2
xm
= ϕ1 (xm+1 , xm+2 , . . . , xn )
= ϕ2 (xm+1 , xm+2 , . . . , xn )
.........
= ϕm (xm+1 , xm+2 , . . . , xn )
Einsetzen in f (x1 , x2 , . . . , xn ) liefert Φ(xm+1 , xm+2 , . . . , xn ) → Extremum.
(2) Allgemeingültiges Vorgehen:
Mit der Lagrange-Funktion
L(λ1 , . . . , λm ; x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) +
m
X
j=1
(λj
λj · gj (x1 , . . . , xn )
Lagrange-Multiplikatoren)
können wir die folgende notwendige Bedingung angeben:
Satz 14.11 Sind die Funktionen f und gj , j = 1, 2, . . . , m partiell differenzierbar
und besitzt f an der Stelle x0 = (x01 , . . . , x0n ) ein relatives Extremum unter den
Bedingungen gj (x01 , . . . , x0n ) = 0; j = 1, 2, . . . , m, so besitzt die Lagrange-Funktion
L(λ; x) an der Stelle (λ01 , . . . , λ0m ; x01 , . . . , x0n ) einen stationären Punkt; d. h. es
gilt:
Lλj (λ0 ; x0 ) = gj (x01 , . . . , x0n ) = 0 ; j = 1, 2, . . . , m
m
X
∂gj (x01 , . . . , x0n )
0
0
0
0
Lxi (λ ; x ) = fxi (x1 , . . . , xn ) +
λj
= 0 ; i = 1, 2, . . . , n.
∂xi
j=1
Satz 14.12 (Hinreichende Bedingung)
Besitzt die Lagrange-Funktion L(λ; x) an der Stelle (λ0 ; x0 ) einen stationären
Punkt und sind die Funktionen f und gj zweimal stetig partiell differenzierbar,
dann sind die folgenden Bedingungen hinreichend dafür, dass die Funktion f an
der Stelle x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n )
a) ein relatives Minimum
b) ein relatives Maximum
c) kein Extremum
unter den Bedingungen gj (x01 , x02 , . . . , x0n ) = 0 für j = 1, 2, . . . , m besitzt:
Die Hauptminoren der Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion


Lλ1 λ1 · · · Lλ1 λm Lλ1 x1 · · · Lλ1 xn
..
. . . ..
. . . ..
 ..

.
.
.
 .



L
·
·
·
L
L
·
·
·
L

λm x1
λm xn 
λm λm
HL (λ; x) =  λm λ1

 Lx1 λ1 · · · Lx1 λm Lx1 x1 · · · Lx1 xn 
 .

..
. . . ..
. . . ..
 ..

.
.
.
Lxn λ1 · · · Lxn λm Lxn x1 · · · Lxn xn
14-9
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Extrema
unter Nebenbedingungen
deren Ordnung größer als 2 m ist, besitzen an der Stelle (λ0 ; x0 )
a) alle das Vorzeichen (−1)m
b) alternierende Vorzeichen, wobei die Determinante von HL das Vorzeichen
(−1)n hat
c) nicht die unter a) oder b) angegebene Vorzeichenfolge.
14-10
Übungsaufgaben
Variablen
14.8
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren
Übungsaufgaben
Aufgabe 14.1
Man skizziere zu folgenden Funktionen f mit z = f (x, y) den maximalen Definitionsbereich und die Höhenlinien für z = 1 und z = 2.
p
√
a) z = xy b) z = 9 − x2 − y 2
c) z =
xy
x−y
d) z = x2 + 4x + 2y
Aufgabe 14.2
Man bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktionen f mit z = f (x, y)
2
a) z = x2 sin2 y
c) z = xy + y x
)
b) z = x(y √
√
d) z = ln ( x y)
Aufgabe 14.3
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:
p
2
2
2
a) f (x, y, z) = 2xex +y +z
b) f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23
Aufgabe 14.4
Man berechne alle zweiten partiellen Ableitungen der Funktionen f mit
a) f (x1 , x2 , x3 ) = x31 + 3x1 x22 x33 + 2x2 + ln(x1 x3 )
b) f (x, y) =
1+xy
1−xy
x+y
c) f (x, y) = ln x−y
Aufgabe 14.5
Bilden Sie das totale Differential der folgenden Funktionen mit dem Funktionswert
z = f (x, y):
a) z = sin xy
2
2
c) z = e(x +y )
b) z = x2 + xy 2 + sin y
d) z = ln(xy)
Aufgabe 14.6
Absoluter und relativer Fehler bei der Berechnung von Volumen und Oberfläche
eines Kreiszylinders sind mit Hilfe des totalen Differentials abzuschätzen. Radius
r und Höhe h sind mit r = 2 ± 0, 05 m und h = 5 ± 0, 10 m angegeben.
Aufgabe 14.7
Man berechne den Gradienten der Funktion f mit z = f (x, y) allgemein und an
der Stelle (x0 , y0 ) = (1, 0):
a) z = ax + by
b) z = x2 + xy 2 + sin y
14-11
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Übungsaufgaben
Aufgabe 14.8
Durch die Gleichung z = x2 sin2 y wird eine räumliche Fläche über der x −
y−Ebene beschrieben. Über dem Punkt (1,1) liegt eine Kugel auf dieser Fläche.
In welche Richtung beginnt sie zu rollen?
Aufgabe 14.9
Gegeben sei die Funktion f : y = f (x1 , x2 ) = x21 ex2 mit x1 = x1 (t), x2 = x2 (t).
a) Geben Sie die Ableitung
dy
dt
an.
b) Ermitteln Sie y ′ (t) mittels Kettenregel, wenn
(1) x1 = t2 ; x2 = ln t2
(2) x1 = ln t2 ; x2 = t2
c) Bestimmen Sie y ′ (t) für die Fälle (1) und (2) nach Einsetzen von x1 (t) und
x2 (t) in die Ausgangsfunktion.
Aufgabe 14.10
Gegeben sei die Kostenfunktion K mit dem Funktionswert
K(x1 , x2 , x3 ) = 20 + 2x1 x2 + 8x3 + x2 ln x3 + 4x1
für die in den Mengen x1 , x2 , x3 herzustellenden Produkte P1 , P2 , P3 .
a) Berechnen Sie für den Funktionswert K(3, 2, 1) den Gradienten und die
Richtungsableitung in Richtung rT = (1, 2, 3). Um wieviel % verringert sich
der Kostenanstieg in Richtung r gegenüber der Gradientenrichtung?
b) Der Unternehmer will die Produktion um insgesamt 6 Einheiten erhöhen.
Ist es für ihn kostengünstiger, eine Erhöhung im Verhältnis 1:2:3, d.h.
Erhöhung von P1 um 1 Einheit, von P2 um 2 Einheiten und von P3 um
3 Einheiten, oder im Verhältnis 3:2:1 vorzunehmen, wenn von P2 mindestens 4 Einheiten produziert werden und x1 ≥ 1 und x3 ≥ 1 sind?
c) Untersuchen sie die Funktion K : z = K(x) = K(x1 , x2 , x3 ); x ∈ R3 ; x3 > 0
auf relative Extrema!
Aufgabe 14.11
Die Absatzwirkung y einer Werbekampagne für ein Produkt hängt von den für
zwei Medien eingesetzten Werbebudgets x1 und x2 in folgender Weise ab:
√
y = f (x1 , x2 ) = 10 x1 + 20 In(x2 + 1) + 50, x1 , x2 ≥ 0.
Man berechne die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten der Absatzwirkung
bzgl. der beiden Werbebudgets für (x1 , x2 ) = (100, 150).
14-12
Übungsaufgaben
Variablen
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren
Aufgabe 14.12
p
Für die Funktion f mit z = f (x1 , x2 ) =
x31 + 2x1 x22 + x32 ermittle man die
partiellen Elastizitäten. Es ist zu entscheiden, ob die Funktion homogen ist und
gegebenenfalls der Homogenitätsgrad mit Hilfe der Elastizitäten bzw. der Eulerschen Homogenitätsrelation zu ermitteln. Interpretieren Sie das Ergebnis!
Aufgabe 14.13
Man berechne die Ableitung der implizit gegebenen Funktionen
2
2
a) F (x, y) = xa2 − yb2 − 1 = 0 (y ≥ 0)
b) F (x, y) = xy − sin 3x = 0
Aufgabe 14.14
Gegeben ist die Gleichung der Ellipse
(x − 1)2 (y − 2)2
+
− 1 = 0.
4
9
1
x2
1
x1
=
und P2 :
=
Weisen Sie nach, dass in P1 :
−1
y2
5
y1
Extrema der implizit gegebenen Funktion vorliegen und geben Sie deren Art an.
F (x, y) =
Fertigen Sie eine Skizze an!
Aufgabe 14.15
3 2
Man prüfe, ob die
Stelle
Funktion f mit z = f (x, y) = x y (1 − x − y) an der
1 1
1 1
(x1 , y1 ) = 2 , 3 ein relatives Maximum und an der Stelle (x2 , y2 ) = 7 , 7 ein
relatives Minimum besitzt.
Aufgabe 14.16
Man bestimme die lokalen Extremwerte der Funktionen f mit:
a)
z = f (x, y) = x2 y + y 2 − y
b)
z = f (x, y) = x2 y − 2xy + 34 ey
Aufgabe 14.17
Zwischen den Ausgaben für Werbung x und dem Umsatz y eines Unternehmens
wird aufgrund der folgenden Beobachtungswerte von 10 Monaten ein linearer Zusammenhang angenommen.
xi 20 20 24 25 26 28 30 30 33 34
yi 180 160 200 250 220 250 250 310 330 280
a) Man gebe mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratsumme den linearen
Zusammenhang an.
b) Welchen Umsatz lassen danach Werbungsausgaben in Höhe von 18 und von
36 Einheiten erwarten?
14-13
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Übungsaufgaben
Aufgabe 14.18
Gesucht sind Extremwerte folgender Funktionen unter Nebenbedingungen:
a)
z = f (x, y) = x2 + xy + 2y 2
b)
z = f (x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 2x2 − x1 x2 x3
mit 2x + y = 8
mit x1 + x2 = 3 und 2x1 x3 = 5
Aufgabe 14.19
Prüfen Sie, ob die Funktion f mit f (x, y, z) = x2 − xz + y 3 + y 2 z − 2z unter den
Bedingungen g1 (x, y, z) = x − y 2 − z − 2 = 0 und g2 (x, y, z) = x + z − 4 = 0 im
Punkt
P ∗ = (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (11, −4, −7) ein relatives Extremum besitzt.
Aufgabe 14.20 Welche Abmessungen muss ein quaderförmiger Karton für 3.000 cm3
Waschpulver haben, wenn der Boden doppelt sein muss aber insgesamt möglichst
wenig Pappe verbraucht werden soll? (Kleberänder werden nicht berücksichtigt.)
Aufgabe 14.21 Man bestimme alle Punkte der Ellipse 4x2 + y 2 = 4, die vom
Punkt
P0 = (2, 0) extremalen Abstand haben.
Lösen Sie das Problem mit beiden Ihnen bekannten Verfahren.
Aufgabe 14.22 Ein Raum habe eine Grundfläche von 3 × 3 m. Die gesamte
Dachfläche ist schräg, so dass die Höhe an der einen Wand 4, 5 m und an der
gegenüberliegenden Wand nur 1, 3 m beträgt. Ist es möglich, in diesem Raum
einen stehenden zylindrischen Öltank mit einem Fassungsvermögen von 9.300
Litern aufzustellen?
14-14
Lösungen
14.9
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Lösungen
1 Definitionsbereiche und Höhenlinien
a)
4
3
2
1
q
q
-2 -1
c)
4
3
2
1
q
q
-2 -1
b)
6
q
q
q
q
q q q q q qq 1 2 3 4 5
q
q
q
q
6
q
q
q
q
q q q q q qq 1 2 3 4 5
q
q
q
q
d)
6
q
q
q
q
q q q q q q q q-2 -1 q 1 2 3 4 5
q
q
q
q
4
3
2
1
2 a) zx = 2x sin2 y
b) zx = y 2 x(y
2 −1)
2
zy = 2x2 sin y cos y
c)
6
q
q
q
q
q q q q q q q q-2 -1 q 1 2 3 4 5
q
q
q
q
4
3
2
1
zy = 2y x(y ) ln x
zx = yx(y−1) + y x ln y
d) zx =
zy = xy ln x + xy (x−1)
zy =
14-15
1
2x
1
2y
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Lösungen
3 a) fx = ex
2 +y 2 +z 2
b) fx1 = √
x1
x21 +x22 +x23
2 +y 2 +z 2
fx2 = √
x2
x21 +x22 +x23
2 +y 2 +z 2
fx3 = √
x3
x21 +x22 +x23
fy = 4xyex
fz = 4xzex
4 a)
(2 + 4x2 )
fx1 x2 = fx2 x1 = 6x2 x33
fx1 x3 = fx3 x1 = 9x22 x23
fx2 x3 = fx3 x2 = 18x1 x2 x23
fx1 x1 = 6x1 − x−2
1
fx2 x2 = 6x1 x33
fx3 x3 = 18x1 x22 x3 − x−2
3
b) fxx =
4y 2
(1−xy)3
fyy =
c)
4xy
(x2 −y 2 )2
fyy = fxx
5 a)
fxx =
dz =
1
y
cos xy dx −
x
y2
4x2
(1−xy)3
fxy = fyx =
2xy+2
(1−xy)3
fxy = fyx =
−2(x2 +y 2 )
(x2 −y 2 )2
cos xy dy
b) dz = (2x + y 2 ) dx + (2xy + cos y) dy
c)
dz = (2x dx + 2y dy)ex
d) dz =
1
x
2 +y 2
dx + y1 dy
6 Der absolute Fehler des Volumens beträgt 4,4 m3 , der der Oberfläche 4,08
m3 . Der relative Fehler beträgt beim Volumen 7% und bei der Oberfläche
4,6%.
7 a) grad z =
a
b
b) grad z =
2
1
8 Die Kugel rollt in Richtung −grad z(1, 1) =
9
a)
dy
dt
−1, 416
−0, 909
1
2
= 2x1 ex2 dx
+ x21 ex2 dx
dt
dt
b) (1) y ′ = 2x1 ex2 2t + x21 ex2 2t = 6t5
2
(2) y ′ = 2x1 ex2 2t + x21 ex2 2t = 8et ( 1t + t ln t) ln t
c) (1) y = t6 ; y ′ = 6t5
2
2
(2) y = (ln t2 )2 et ; y ′ = 8et ( 1t + t ln t) ln t
14-16
.
Lösungen
10
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

8
(3, 2, 1) = 13, 36;
a) gradK(3, 2, 1) =  6 ; ∂K
∂r
10
Verringerung des Kostenanstieges um 5,52%.

b) Die 1.Variante ist mindestens so kostengünstig wie die zweite.
c) Kein Extremum im stationären Punkt P (ln 2; −2; 14 ).
11 ρf,x1 = 0, 002 ; ρf,x2 = 0, 00053 ; εf,x1 = 0, 2 ; εf,x2 = 0, 079
12 Partielle Elastizitäten:
εf,x1 =
x1 (3x1 2 +2x2 2 )
2(x1 3 +2x1 x2 2 +x2 3 )
; εf,x2 =
x2 (4x1 x2 +3x2 2 )
2(x1 3 +2x1 x2 2 +x2 3 )
Homogenitätsgrad r = 32 ; d.h. Erhöhung mit steigenden Zuwachsraten.
13 a) y ′ =
√ bx
a x2 −a2
b) y ′ =
3x cos 3x−sin 3x
x2
14 P1 : Maximum; P2 : Minimum
15 Relatives Maximum in (x1 , y1 ) = ( 12 , 31 ) ; kein Extremum in (x2 , y2 ) = ( 17 , 71 )
16 a) lokales Minimum in (x1 , y1 ) = (0, 12 ) mit zmin = − 14
b) lokales Minimum in (x1 , y1 ) = (1, ln 43 ) mit zmin = 1 − ln 43
17 a) y = 10, 05x − 28, 25
b) y(18) = 152, 6; y(36) = 333, 5
18 a) Maximum in (x1 , y1 ) = (4, 0) mit zmax = 16 ;
1 37
73
b) Minimum in (x01 , x02 , x03 ) = (− 12
, 12 , −30) mit zmin = − 48
19 Notwendige Bedingung mit λ∗ = −13 und µ∗ = −16 erfüllt.
Hinreichende Bedingung für relatives Maximum erfüllt.
20 Länge = Breite =12,6 cm; Höhe =18,9 cm.
21 lokales = globales Maximum des Abstandes Amax =
√
√
in (x1 , y1 ) = (− 23 , 32 5) und (x2 , y2 ) = (− 23 , − 23 5);
84
9
lokales Minimum des Abstandes A1min = 3 in (x3 , y3 ) = (−1, 0)
lokales = globales Minimum des Abstandes A2min = 1 in (x4 , y4 ) = (1, 0)
14-17
Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Lösungen
22 Ja; maximal mögliches Fassungsvermögen: 9.319 l.
14-18
Kapitel 15
Differentialgleichungen
15.1
Differentialgleichungen 1. Ordnung
Definition 15.1 Eine Beziehung F (x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0 zwischen der unabhängigen Variablen x, einer Funktion y und deren Ableitungen heißt
(gewöhnliche) Differentialgleichung.
Eine Funktion y mit den Funktionswerten y(x), die die Differentialgleichung identisch
(d. h. für alle x) erfüllt, heißt Lösung der Differentialgleichung.
Die höchste Ordnung der in der Differentialgleichung vorkommenden Ableitung
bestimmt die Ordnung der Differentialgleichung.
Differentialgleichungen 1. Ordnung:
F (x, y, y ′ ) = 0 oder explizit y ′ = f (x, y)
Geometrische Interpretation:
Jedem Punkt (x, y) ist durch die Funktion f mit y ′ = f (x, y) eindeutig der Anstieg
y ′ der Tangente an die Lösungskurve y(x) in Punkt (x, y(x)) zugeordnet. Daraus
kann man sich einen Überblick über den Verlauf der Lösungskurven verschaffen.
Spezialfall:
y ′ = f (x, y) = h(x) · g(y)
15-1
Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Trennung der Variablen:
dy
= h(x) · g(y)
dx
dy
= h(x) dx
g(y)
Z
Z
dy
=
h(x) dx + C
g(y)
G(y) = H(x) + C
Durch Auflösen nach y erhält man die Lösungen y(x) in Abhängigkeit von x und
der Integrationskonstanten C.
15.2
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
y (n) + an−1 (x) y (n−1) + . . . + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = q(x)
q(x) ≡ 0
q(x) 6≡ 0
homogene Dgl.
imhomogene Dgl.
Satz 15.1 Sind y1 (x), y2 (x), . . . , ym (x) Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung, so ist auch die Linearkombination
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cm ym (x)
eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung.
Definition 15.2 Die Lösungen y1 (x), y2 (x), . . . , ym (x) einer homogenen Differentialgleichung heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung
c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cm ym (x) = 0 für alle x
nur möglich ist, wenn c1 = c2 = . . . = cm = 0 gilt.
Andernfalls heißen die Lösungen linear abhängig.
Satz 15.2 Die (m − 1)-mal differenzierbaren Funktionen y1 (x), y2 (x), . . . , ym (x)
sind genau dann linear unabhängig, wenn die Wronskische Determinante
y1 (x)
y1′ (x)
..
.
W (x) =
(m−1)
y1
y2 (x)
y2′ (x)
..
.
(m−1)
(x) y2
nicht identisch gleich Null ist.
15-2
···
···
...
(x) · · ·
ym (x)
′
ym
(x)
..
.
(m−1)
ym
(x)
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Differentialgleichungen
Satz 15.3 Sind y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) n linear unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung n-ter Ordnung, so hat die allgemeine
Lösung die Form
yH (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x).
Die Funktionen y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) bilden ein Fundamentalsystem der
Differentialgleichung.
Satz 15.4 Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung yH (x) der zugehörigen
homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung y ∗ (x) der inhomogenen.
y(x) = yH (x) + y ∗ (x)
Spezialfall: konstante Koeffizienten
ai (x) = ai
y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = q(x)
Lösung der homogenen Dgl.:
Ansatz:
= eλx
= λ eλx
···
= λn eλx
y
y′
y (n)
Einsetzen in die Dgl. führt auf die charakteristische Gleichung
Pn (λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0.
Pn (λ) besitzt n Nullstellen λ1 , λ2 , . . . , λn .
Fallunterscheidungen:
Nullstelle λk
linear unabhängige Lösungen
λk
einfach reell
eλk x
λk
r-fach reell
eλk x , xeλk x , . . . , xr−1 eλk x
λk , λk
konjugiert komplex
λk = αk + βk i, λk = αk − βk i
15-3
eαk x cos βk x, eαk x sin βk x
Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl.:
Ansätze bei speziellen Störfunktionen q(x):
Störfunktion q(x)
Ansatz y ∗ (x)
a ebx
A ebx
a cos α x + b sin α x
(a oder b können auch Null sein)
A cos α x + B sin α x
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 An xn + An−1 xn−1 + . . . + A1 x + A0
Bestimmung der Koeffizienten A, B bzw. Ai durch Einsetzen von y ∗ (x) in die
Dgl. und anschließendem Koeffizientenvergleich.
15.3
Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
y1′ (x) = a11 y1 (x) + a12 y2 (x) + . . . + a1n yn (x) + q1 (x)
y2′ (x) = a21 y1 (x) + a22 y2 (x) + . . . + a2n yn (x) + q2 (x)
...................................................
yn′ (x) = an1 y1 (x) + an2 y2 (x) + . . . + ann yn (x) + qn (x)
Satz 15.5 Ein System von n linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung ist
äquivalent zu einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung.
Lineares Dgl.-System in Matrizenschreibweise:
 
 
 

a11 a12 · · · a1n
y1′ (x)
q1 (x)
y1 (x)
 y ′ (x)   a21 a22 · · · a2n   y2 (x)   q2 (x)
 
 
 
 2
 ..  =  ..
..
..  ·  ..  +  ..
.
.
 .   .
.
.   .   .
.
′
qn (x)
yn (x)
yn (x)
an1 an2 · · · ann
Ansatz zur Lösung des homogenen Systems:
 

α1
y1 (x)
 y2 (x)   α2
 

 ..  =  ..
 .   .
αn
yn (x)
15-4


 λx
e






Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
führt auf das Eigenwertproblem

(a11 − λ)
a12
···
a1n

a21
(a22 − λ) · · ·
a2n


..
..
..
.
.

.
.
.
.
an1
an2
· · · (ann − λ)
Differentialgleichungen





α1
α2
..
.
αn



 = 0.

(i)
(i)
(i)
Die Eigenwerte λi und die zugehörigen Eigenvektoren α(i) = (α1 , α2 , . . . , αn )T
liefern im Fall, dass alle λi reell und voneinander verschieden sind, die allgemeine
Lösung
 (1) 


 (2) 
 (n) 
α1
α1
α1
y1 (x)
 α(1) 
 y2 (x) 
 α(2) 
 α(n) 
 2 


 2 
 2 
 ..  = C1  .  eλ1 x + C2  .  eλ2 x + . . . + Cn  .  eλn x .
 .. 
 . 
 .. 
 .. 
(1)
(2)
(n)
yn (x)
αn
αn
αn
(Die anderen Fälle werden analog zur Dgl. n-ter Ordnung behandelt.)
Die Ermittlung einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems erfolgt analog
zur Dgl.
n-ter Ordnung mit einem speziellen Ansatz, wobei alle auftretenden Störfunktionen q1 (x), . . . , qn (x) in jedem yi∗ (x) - Ansatz berücksichtigt werden müssen.
15-5
Differentialgleichungen
15.4
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 15.1
Gesucht ist die Lösung der folgenden Differentialgleichungen:
a)
y ′ = ex−y
b)
(1 + ex ) yy ′ = ex ; Anfangsbed. y(0) = 1
Aufgabe 15.2
Gesucht ist eine Kurve, die durch den Punkt (1, 1) geht, so dass der Anstieg
der Tangente an die Kurve in jedem beliebigen Kurvenpunkt dem Quadrat der
Ordinate dieses Punktes proportional ist.
Aufgabe 15.3
Der zeitliche Ablauf des Bestandsaufbaus (Erst- und Ersatzbedarf ) eines Industrieproduktes kann durch die Differentialgleichung
y ′ (t) = ay
T −t
;
t
0 < t ≤ T;
a > 0, const.
beschrieben werden. Dabei sind y(t) der vorhandene Bestand, T die Prozessdauer
und t die Prozesszeit. Man löse die Differentialgleichung für a = 21 und T = 200
und gebe den Bestand y(t) an.
Aufgabe 15.4
1 ein Fundamentalsystem für
Untersuchen Sie, ob y1 = x, y2 = x In x, y3 = x
die Differentialgleichung x3 y ′′′ + 2x2 y ′′ − xy ′ + y = 0 bilden und geben Sie die
allgemeine Lösung der Differentialgleichung an.
Aufgabe 15.5
Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen:
a)
c)
y ′ − 2y = sin x
2y ′′ + y ′ − y = 2ex
b)
d)
y ′′ − 2y ′ + y = 0
y ′′ − 2y ′ + 10y = 10x2 + 18x + 7, 6
Aufgabe 15.6
Die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungssysteme ist jeweils
durch Lösung des Systems und durch Überführung in eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zu ermitteln.
a) y1′ = ay1 − y2
y2′ = y1 + ay2
b) y1′ =
y1 − 2y2 − y3
y2′ = −y1 + y2 + y3
y3′ =
y1
− y3
15-6
Lösungen
15.5
Differentialgleichungen
Lösungen
b) y 2 = 1 + 2 ln 1 +2 e
1 a) y = ln |ex + c|
x
2 ky(x − 1) − y + 1 = 0
t
3 y = Ct100 e− 2
4 Die Funktionen y1 , y2 , y3 bilden ein Fundamentalsystem.
1
y = C1 x + C2 x ln x + C3 x
5 a) y = Ce2x − 15 cos x − 52 sin x
b) y = C1 ex + C2 xex
x
c) y = C1 e−x + C2 e 2 + ex
d) y = ex (C1 cos 3x + C2 sin 3x) + x2 + 2, 2 x + 1
6 a)
b)
7 (a)
y1 = C1 eax cos x − C2 eax sin x
y2 = C1 eax sin x + C2 eax cos x
y1 = C1 + C2 3e2x
y2 =
− C2 2e2x + C3 e−x
y3 = C1 + C2 e2x − C3 2e−x
yt = (1 + b)2t − b
(b) streng monoton wachsend für b > −1
streng monoton fallend für b < −1
(c)
q
6
q
r
5q
b = 1/2
4q
q
3
r
2q
1 rq
q q qr q q q q 1 2 3 4 5
-1 q
r
-2 q
q
-3
b = −2
-4 q
q
q
r
15-7
Differentialgleichungen
Lösungen
15-8
Appendix X
X.1
Summen und Produkte
P
Definition X.1 (Summen ) Seien m ≤ n ganze Zahlen und seien am , am+1 , . . . ,
an−1 , an Zahlen. Dann schreibt man
n
X
i=m
ai = am + am+1 + · · · + an−1 + an .
Sprechweise: Summe der Zahlen ai von i = m bis i = n.
Für m > n definiert man
n
X
ai = 0.
i=m
Beispiel(e) X.1
5
X
i = 3 + 4 + 5,
i=3
n
X
i=1
−1
X
2
2
2
2
2
2
i = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n ,
1
1
1
1
=
+
+ ··· +
,
i
−5 −4
−1
i=−5
3 X
4
X
i=1 j=1
n
X
1 = n,
i=1
i·j =1·1+1·2+1·3+1·4 + 2·1+2·2+2·3+2·4
+ 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + 3 · 4.
Q
Definition X.2 (Produkte ) Seien m ≤ n ganze Zahlen und seien am , am+1 , . . . ,
an−1 , an Zahlen. Dann schreibt man
n
Y
i=m
ai = am · am+1 · · · · · an−1 · an .
X-1
Summen und Produkte
Sprechweise: Produkt der Zahlen ai von i = m bis i = n.
Für m > n setzt man
n
Y
ai = 1.
i=m
Beispiel(e) X.2
5
Y
i=3
n
Y
i=1
−1
Y
i = 3 · 4 · 5,
2
2
2
2
2
2
i = 1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1) · n ,
1
1
1
1
=
·
· ··· ·
,
i
−5 −4
−1
i=−5
3 Y
4
Y
i=1 j=1
n
Y
1 = 1,
i=1
i + j = (1 + 1) · (1 + 2) · (1 + 3) · (1 + 4) · (2 + 1) · (2 + 2) · (2 + 3) · (2 + 4)
· (3 + 1) · (3 + 2) · (3 + 3) · (3 + 4).
X-2
Vollständige Induktion
X.2
Vollständige Induktion
Zum Beweis von Allaussagen ∀n : A(n), wobei n = k, k + 1, . . . ganzzahlig ist,
verwendet man üblicherweise das Beweisverfahren der vollständigen Induktion:
i) Induktionsanfang: Man zeigt, daß die Aussage für n = k gilt, also A(k).
ii) Induktionsschritt: Sei m ≥ k eine beliebige ganze Zahl. Es wird nun angenommen:
Induktions-Voraussetzung: Die Aussagen A(n) sind richtig für alle
k ≤ n ≤ m.
Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen:
Induktions-Behauptung: Es gilt A(m + 1).
Beispiel(e) X.3 Für n = 1, 2, 3, · · · sei
n
X
A(n) :
i=
i=1
n(n + 1)
.
2
Es soll nun gezeigt werden, daß die Allaussage ∀n : A(n) wahr ist, d.h. es soll
bewiesen werden
Es gilt
n
X
i=1
i=
n(n + 1)
2
für n = 1, 2, 3, . . . .
Beweis: Die Allaussage wird mittels vollständiger Induktion gezeigt:
i) Induktionsanfang: Für n = 1 ist
1
X
i=1=
i=1
1(1 + 1)
.
2
Somit ist die Aussage A(1) wahr.
ii) Induktionsschritt: Sei nun m ≥ 1 eine beliebige Zahl.
n
X
Induktions − Voraussetzung :
i=1
m+1
X
Induktions − Behauptung :
i=1
i=
n(n + 1)
2
i=
(m + 1)(m + 2)
.
2
für n = 1, 2, . . . , m
Beweis der Induktions-Behauptung: Nach Induktions-Voraussetzung gilt
m
X
i=1
i=
m(m + 1)
.
2
X-3
Vollständige Induktion
⇒
m
X
⇒
⇒
⇒
i=1
m+1
X
i=1
m+1
X
i=1
m+1
X
i=1
i + (m + 1) =
m(m + 1)
+ (m + 1)
2
i=
m(m + 1)
+ (m + 1)
2
i=
m(m + 1) + 2(m + 1)
2
i=
(m + 1)(m + 2)
.
2
Damit ist die Induktions-Behauptung bewiesen, und die vollständige Induktion ist abgeschlossen.
X-4
Sinus und Cosinus
X.3
Sinus und Cosinus
Bemerkung X.1
i) π ≈ 3.141592...
ii) In der Einheit Radiant (rad) gemessen entsprechen π rad einem Winkel von
180◦ (Grad).
-15
-10
-5
0
5
10
sin(x)
−3π
−2π
−3
π
2
−π
−1
π
2
0
1
π
2
π
3
π
2
2π
3π
Abbildung X.1: Sinus Kurve
Es gilt
sin φ = sin(φ + m · 2π),
für m ∈ Z,
X-5
und
sin(φ + π) = − sin φ.
15
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Sinus und Cosinus
-15
-10
-5
0
5
10
cos(x)
−3π
−2π
−3
π
2
−π
−1
π
2
0
1
π
2
π
3
π
2
2π
3π
Abbildung X.2: Cosinus Kurve
Es gilt
cos φ = cos(φ + m · 2π),
für m ∈ Z,
und
cos(φ + π) = − cos φ.
Bemerkung X.2 Es gilt
π
π
+ φ = cos φ,
cos
+ φ = − sin φ,
sin
2
2
sin(φ ± ψ) = sin φ cos ψ ± sin ψ cos φ,
cos(φ ± ψ) = cos φ cos ψ ∓ sin φ sin ψ,
(cos φ + sin φ i)n = cos nφ + sin nφ i.
X-6
15
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Potenzieren und Logarithmieren
X.4
Potenzieren und Logarithmieren
Bemerkung X.3 Seien a, b ∈ R mit 0 < a < b, und sei u ∈ R. Dann gilt
0 < au < bu ,
bu > au > 0,
logc (a) < logc (b),
logc (a) > logc (b),
falls u > 0,
falls u < 0,
für alle c ∈ R, c > 1,
für alle c ∈ R, 0 < c < 1.
Bemerkung X.4 Seien T1 , T2 zwei mathematische Ausdrücke“ und sei n ∈ N
”
ungerade. Dann gilt
T1 = T2 ⇐⇒(T1 )n = (T2 )n ,
p
p
T1 = T2 ⇐⇒ n T1 = n T2 .
Beispiel(e) X.4
1
i) (x − 1) 3 = 2 ⇐⇒ (x − 1) = 23 ⇐⇒ x = 9.
√
ii) (2x + 1)5 = 32 ⇐⇒ (2x + 1) = 5 32 = 2 ⇐⇒ x = 12 .
!!) (x − 5)4 = 256
eine Lösung.
6⇒
⇐
√
4
(x − 5) =
256 = 4 ⇐⇒ x = 9, aber x = 1 ist auch
Bemerkung X.5 Seien T1 , T2 zwei mathematische Ausdrücke“ und sei a ∈ R
”
mit a > 0 und a 6= 1. Dann gilt
T1 = T2 ⇐⇒aT1 = aT2 .
Beispiel(e) X.5
2
log2 (x
i) log2 (x
√ 2
√ − 1) = 4 ⇐⇒
x = 17 ∨ x = − 17.
2 −1)
= 24 = 16 ⇐⇒ (x2 − 1) = 16 ⇐⇒
ii) log10 (x) = 3 ⇐⇒ 10log10 (x) = 103 ⇐⇒ x = 103 .
Bemerkung X.6 Seien T1 , T2 zwei mathematische Ausdrücke“ mit T1 , T2 > 0
”
und sei a ∈ R mit a > 0 und a 6= 1. Dann gilt
T1 = T2 ⇐⇒ loga (T1 ) = loga (T2 ).
Beispiel(e) X.6
1
i) e x = ex
ii) ax
2 −1
2 +1
1
⇐⇒ ln(e x ) = ln(ex
= b ⇐⇒ loga (ax
2 −1
2 +1
) ⇐⇒
1
x
= x2 + 1 ⇐⇒ x3 + x − 1 = 0.
) = loga (b) ⇐⇒ x2 − 1 = loga (b).
X-7
Horner Schema
X.5
Horner Schema
Bemerkung X.7 (Nullstellen und Horner-Schema) Sei p : R → R ein Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten a0 . . . , an , d.h.
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Weiterhin sei x⋆ ∈ R eine Nullstelle von p, d.h. p(x⋆ ) = 0, und seien A1 (x⋆ ),
A2 (x⋆ ), . . . , An−1 (x⋆ ) die Werte aus dem Horner Schema an der Stelle x⋆ . Dann
gilt
p(x) : (x − x⋆ )
= an xn−1 + An−1 (x⋆ ) xn−2 + An−2 (x⋆ ) xn−3 + · · · + A2 (x⋆ ) x + A1 (x⋆ )
= an x
n−1
+
n−2
X
Ai+1 (x⋆ ) xi .
i=0
Beispiel(e) X.7 Sei p : R → R gegeben durch
p(x) = −2x5 + 6x4 + 18x3 − 62x2 + 72
und sei x⋆ = −1. Das Horner-Schema liefert
−2
6
18
−62
0
72
+
0 −2 · (−1) 8 · (−1) 10 · (−1) −72 · (−1) 72 · (−1)
−2
8
10
−72
72
0
Somit ist
p(x) : (x − x⋆ ) = −2x5 + 6x4 + 18x3 − 62x2 + 72 : (x + 1)
= −2x4 + 8x3 + 10x2 − 72x + 72.
X-8
Probe-Klausuraufgaben
X.6
Probe-Klausuraufgaben
Aufgabe X.1 Seien A und B Aussagen. Man bestimme die Wahrheitswerttabelle der Aussage (A ⇒ B) ∨ A.
Aufgabe X.2 Seien A und B die beiden folgenden Mengen
A = {0, 2, 3, 4}
und
B = {1, 2, 8, 15, 24}.
Weitehin sei R ⊂ A × B gegeben durch
R = {(a, b) ∈ A × B : b = a! }.
i) Man bestimme die Mächtigkeiten der Potenzmengen |P (A)| und |P (B)|.
ii) Wieviele Teilmengen von B bestehen aus höchstens 3 Elementen?
iii) Man bestimme die Elemente von R.
iv) Man bestimme die Elemente der Potenzmenge P (R).
Aufgabe X.3 Seien z1 und z2 die folgenden komplexen Zahlen
z1 =
5
5√
3+ i
2
2
und
√
z2 = 5 − 5 3 i.
i) Man bestimme |z1 |, |z2 | und die trigonometrischen Darstellungen von z1 , z2 .
ii) Man berechne Re(z1 · z2 ), (z1 )3 , (z2 )6 .
Aufgabe X.4 Aus vier verschiedenen Weinen soll ein Präsentkorb bestehend
aus 10 Flaschen zusammengestellt werden.
i) Wieviele unterschiedliche Zusammenstellungen für solch einen Präsentkorb
gibt es?
ii) Wieviele unterschiedliche Zusammenstellungen gibt es, wenn von jedem
Wein mindestens zwei Flaschen in dem Präsentkorb vorkommen sollen?
Aufgabe X.5 Sei f : R → [0, +∞) gegeben durch f (x) = |x| − x für x ∈ R.
i) Ist f injektiv?
ii) Ist f surjektiv?
X-9
Probe-Klausuraufgaben
Aufgabe X.6 Seien (an )n∈N0 und (bn )n∈N0 Folgen mit
3n4 + 3n3 − 2n2 + 5
7 + 5n
und bn =
für n ∈ N0 .
4
3
5n + 6n − 7
3n + 1
Weiterhin sei cn = an · bn , n ∈ N0 . Man bestimme (falls existent)
an =
i) lim an ,
n→∞
ii) lim bn ,
n→∞
iii) lim cn .
n→∞
Aufgabe X.7 Sei (an )n∈N0 die Folge mit
n+1
für n ∈ N0 .
an = 2
n +1
i) Man bestimme (falls existent) lim an .
n→∞
ii) Man zeige, daß (an )n∈N0 eine monoton fallende Folge ist.
ii) Man zeige, daß die Reihe
n
X
(−1)k ak
k=0
konvergent ist.
!
n∈N0
Aufgabe X.8 Ein Kredit von 250.000, − ¤ soll bei i = 7% p.a. in 11 Jahren
mit gleichhohen Annuitäten zurückgezahlt werden.
i) Man bestimme die Annuitätenhöhe.
ii) Man bestimme die Tilgungsraten der ersten 3 Jahre.
iii) Man bestimme die insgesamt gezahlten Zinsen.
Aufgabe X.9 Es sei p das Polynom mit
p(x) = x5 − 2x4 − x3 + 8x2 − 10x + 4.
Es ist p(1 + i) = 0 und p(1) = 0.
i) Man bestimme die Vielfachheit der Nullstelle 1.
ii) Man bestimme alle (auch komplexe) Nullstellen des Polynoms p(x).
Aufgabe X.10 Sei f : (0, +∞) → R gegeben durch
2
f (x) = .
x
i) Ist f streng monoton fallend?
ii) Ist f konvex?
X-10
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
X.7
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
X.1
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
B A⇒B
f
f
w
w
f
w
w
w
(A ⇒ B) ∨ A
w
w
w
w
X.2
i) Nach Satz 2.1 ist |P (A)| = 24 = 16 und |P (B)| = 25 = 32.
ii) Nach Vorlesung ist die Anzahl
der k-elementigen Teilmengen einer nn
elementigen Menge gleich k . Somit ist die Lösung
5
5
5
5
+
+
+
= 1 + 5 + 10 + 10 = 26.
0
1
2
3
X.3
iii) R = {(0, 1), (2, 2), (4, 24)}.
iv) P (R) = ∅, {(0, 1)}, {(2, 2)}, {(4, 24)},
{(0, 1), (2, 2)}, {(0, 1), (4, 24)},
{(2, 2), (4, 24)}, {(0, 1), (2, 2), (4, 24)} .
i) |z1 | =
|z2 | =
q
q
√ 2
√
25
25
5
5 2
3
25
=
3
+
=
+
2
4
4
√
√ 2
52 + 52 3 = 100 = 10. Somit ist
= 5.
!
3 1
π
π z1 = 5
+ i = 5 cos( ) + sin( ) i ,
2
2
6
6
√ !
3
1
5π
5π
z2 = 10
−
i = 10 cos( ) + sin( ) i .
2
2
3
3
√
√
√
ii) Es ist z1 · z2 = 25 3 − 25 i und daher Re(z1 · z2 ) = 25 3. Mit Satz 3.1
erhält man
h π
π i3
π π
(z1 )3 = 5 cos( ) + sin( ) i
= 53 cos(3 · ) + sin(3 · ) i
6 6
6
6π
π
= 125 cos( ) + sin( ) i = 125 i.
2
2
6
5π
5π
5π
5π
6
6
(z2 ) = 10 cos( ) + sin( ) i
= 10 cos(6 ) + sin(6 ) i
3
3
3
3
6
= 10 (cos(10π) + sin(10π) i) = 1.000.000.
X-11
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
X.4
i) Die Anzahl der verschieden Zusammenstellungen entspricht einer Kombination mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Mit n = 4, k = 10 und Satz 4.5 ii) ist die gesuchte Anzahl gleich
13!
n+k−1
13
13 · 12 · 11
=
=
=
= 13 · 22 = 286.
k
10
3! · 10!
1·2·3
X.5
ii) Wenn man von jedem Wein zwei Flaschen in den Korb legt, entspricht
die Auswahl der letzten“ beiden Flaschen ebenfalls einer Kombination
”
mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit n =
4 und k = 2. Also gibt es 52 = 10 Möglichkeiten.
i) f ist nicht injektiv, denn es gilt z.B. f (0) = 0 − 0 = 0 und f (1) =
|1| − 1 = 1 − 1 = 0.
X.6
ii) f ist surjektiv, denn: Sei y ∈ [0, +∞) und x = − 12 y.
1 1
1
f (x) = |x| − x = − y − − y = y +
2
2
2
Dann gilt
1
y = y.
2
i) Es ist
3n4 + 3n3 − 2n2 + 5
=
an =
5n4 + 6n3 − 7
3n4 +3n3 −2n2 +5
n4
5n4 +6n3 −7
n4
=
3 + n3 − n22 +
5 + n6 − n74
5
n4
.
Nach Vorlesung ist limn→∞ n1k = 0 für jedes k ∈ N. Also folgt mit Satz
6.2
1
1
1
2
5
3
lim 3 + − 2 + 4 = lim 3 + 3 lim − 2 lim 2 + 5 lim 4
n→∞
n→∞ n
n→∞ n
n→∞ n
n→∞
n n
n
= 3 + 0 − 0 + 0 = 3,
6
1
1
7
lim 5 + − 4 = lim 5 + 6 lim − 7 lim 4
n→∞
n→∞ n
n→∞
n→∞ n
n n
= 5 + 0 − 0 = 5.
Somit ist (wieder Satz 6.2)
lim an =
n→∞
3n4 +3n3 −2n2 +5
n4
5n4 +6n3 −7
limn→∞
n4
limn→∞
X-12
3
= .
5
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
ii) Es ist
bn =
7
+5
7 + 5n
= n 1
3n + 1
3+ n
und mit Satz 6.2 ergibt sich
1
7
+ 5 = 7 lim + lim 5 = 0 + 5 = 5,
lim
n→∞
n→∞
n
n n→∞
1
1
lim 3 +
= lim 3 + lim = 3 + 0 = 3.
n→∞
n→∞
n→∞ n
n
Somit ist (wieder Satz 6.2)
limn→∞ n7 + 5
5
1 = .
3
limn→∞ 3 + n
lim bn =
n→∞
iii) Da (an )n∈N0 und (bn )n∈N0 konvergente Folgen sind, folgt mit Satz 6.2
3 5
· = 1.
5 3
lim cn = lim an · lim bn =
n→∞
n→∞
n→∞
X.7
i) Es ist
an =
n+1
=
n2 + 1
Nach Vorlesung ist limn→∞
limn→∞ 1 + n12 = 1 und so
lim an =
n→∞
1
n
n+1
n2
n2 +1
n2
= limn→∞
limn→∞ n1 +
limn→∞ 1 +
1
n2
1
n2
=
+ n12
.
1 + n12
1
n2
= 0, und mit Satz 6.2 folgt
1
n
=
0+0
= 0.
1+0
ii) Es ist zu zeigen an+1 ≤ an für alle n ∈ N0 .
n+2
n+1
≤
(n + 1)2 + 1
n2 + 1
2
⇔ (n + 2)(n + 1) ≤ (n + 1)((n + 1)2 + 1)
⇔ n3 + 2n2 + n + 2 ≤ (n + 1)(n2 + 2n + 2)
⇔ n3 + 2n2 + n + 2 ≤ n3 + 3n2 + 4n + 2
⇔ 0 ≤ n2 + 3n.
an+1 ≤ an ⇔
Wegen n ≥ 0 ist n2 + 3n ≥ 0, und daher ist auch an+1 ≤ an für alle
n ∈ N0 .
X-13
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
X.8
iii) Offensichtlich ist (an )n∈N0 eine Folge nichtnegativer Zahlen. Nach i)
konvergiert diese Folge gegen 0, undPnach ii) ist sie monoton fallend.
Somit zeigt Satz 6.6, daß die Reihe ( nk=0 (−1)k ak )n∈N0 konvergent ist.
i) Nach Satz 6.9 gilt
(250.000 ¤ )(1, 07)11 = A
(1, 07)11 − 1
, bzw.
0, 07
A = (250.000 ¤ )(1, 07)11
0, 07
= 33.339, 23 ¤ .
(1, 07)11 − 1
Die konstanten Annuitäten betragen 33.339, 23 ¤ .
ii) Nach Satz 6.9 beträgt die Tilgungsrate Tm im (m + 1)-ten Jahr
Tm−1 (1 + i) und T0 = A − K0 · i. Also ist
T0 + T1 + T2 = T0 + T0 (1 + i) + T1 (1 + i) = T0 (1 + 1 + i + (1 + i)2 )
= T0 (1 + 1 + 0, 07 + (1, 07)2 ).
Nun ist
T0 = 33.339, 23 ¤ − 250.000 ¤ · (0, 07) = 15.839, 23 ¤
und daher
T0 + T1 + T2 = 15.839, 23 ¤ (1 + 1 + 0, 07 + (1, 07)2 ) = 50.921, 54 ¤ .
iii) Die insgesamt gezahlten Zinsen sind gleich den insgesamt gezahlten
Annuitäten minus dem Kredit, also
11 · 33.339, 23 ¤ − 250.000 ¤ = 116.731, 53 ¤ .
X.9
i) Mit dem Horner Schema wird das Polynom p(x) : (x − 1) bestimmt:
1
−2
−1
8
−10
4
+ 0 1 · (1) (−1) · (1) (−2) · (1) 6 · (1) (−4) · (1)
1
−1
−2
6
−4
0
Also ist e
p(x) = p(x) : (x − 1) = x4 − x3 − 2x2 + 6x − 4. Mit Hilfe des
Horner-Schemas ergibt sich für e
p(1):
1
−1
−2
6
−4
+ 0 1 · (1) 0 · (1) (−2) · (1) 4 · (1)
1
0
−2
4
0
Also ist auch e
p(1) = 0, und es ist b
p(x) = e
p(x) : (x − 1) = x3 − 2x + 4.
Nun ist b
p(1) = 3 6= 0 und nach Definition 7.10 ist 1 eine 2-fache
Nullstelle von p(x).
X-14
Lösungen der Probe-Klausuraufgaben
ii) Nach i) ist
p(x) = (x − 1)2 · b
p(x) = (x − 1)2 · (x3 − 2x + 4).
Nach Voraussetzung ist p(1 + i) = 0. Somit ist b
p(1 + i) = 0 und
b
nach Satz 7.3 ist auch p(1 − i) = 0. Mit Bemerkung 7.5 folgt, daß
(x − (1 + i)) · (x − (1 − i)) = x2 − 2x + 2 ein Faktor von b
p(x), d.h.,
3
2
man kann x − 2x + 4 durch x − 2x + 2 dividieren
(x3 − 2x + 4) : (x2 − 2x + 2) = x + 2
−(x3 − 2x2 + 2x)
2x2 − 4x + 4
− (2x2 − 4x + 4)
0
Insgesamt folgt also
p(x) = (x − 1)2 · (x3 − 2x + 4) = (x − 1)2 · (x2 − 2x + 2) · (x + 2).
Somit ist auch −2 Nullstelle von p(x), und da ein Polynom vom Grad
5 fünf (komplexe) Nullstellen hat, sind die Nullstellen von p(x) gleich
{1 + i, 1 − i, −2, 1}.
Man kann natürlich auch direkt p(x) durch (x2 − 2x + 2) und (x − 1) dividieren und erhält dann ein Polynom vom Grad 2 mit den beiden Nullstellen
1 und −2.
X.10
i) f ist streng monoton fallend. Denn seien x1 , x2 > 0 mit x1 < x2 , dann
gilt
1
1
2
2
>
und so auch
> .
x1
x2
x1
x2
Also ist f (x1 ) > f (x2 ).
ii) f ist konvex, denn seien x1 , x2 > 0:
1
1
1
1
2
1
1
≤
x1 + x2 ≤ f (x1 ) + f (x2 ) ⇔ 1
+
f
1
2
2
2
2
x1 x2
x + 2 x2
2 1
4
x2 + x1
⇔
≤
x1 + x2
x1 · x2
⇔ 4 (x2 · x1 ) ≤ (x2 + x1 ) · (x1 + x2 )
⇔ 4 x2 x1 ≤ (x1 )2 + 2x1 x2 + (x2 )2
⇔ 0 ≤ (x1 )2 − 2 x1 x2 + (x2 )2
⇔ 0 ≤ (x1 − x2 )2 .
Die letzte Ungleichung ist sicherlich immer wahr, und somit ist die
Funktion konvex.
X-15
Integrationsregeln
X.8
Integrationsregeln
Bemerkung X.8 (Partielle Integration für bestimmte Integrale) Seien f, g :
[a, b] → R zwei differenzierbare Funktionen. Dann gilt
Z b
b Z b
′
f ′ (x)g(x) dx.
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) −
a
a
a
R3
Beispiel(e) X.8 Gesucht ist 1 ln x·x dx. Dazu seien f (x) = ln x und g ′ (x) = x.
2
Also ist etwa g(x) = x2 .
Z 3
Z 3
3 Z 3
′
ln x · x dx =
f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) −
f ′ (x) · g(x) dx
1
1
1
1
3 Z
3
2
2
1 x
x ·
dx
= ln x · −
2
2
1 x
13 Z
3
3
3
x2 x2 x
x2 = ln x · −
dx = ln x · − 2
2
4
1 2
1
1
1
9
9
9 1
1
−
= ln(3) − 2 ≈ 2.9438.
= ln(3) − ln(1)
−
2
2
4 4
2
Bemerkung X.9 (Substitutionsregel für bestimmte Integrale) Sei f : [a, b] →
R eine integrierbare Funtion, und sei g : [c, d] → R eine differenzierbare Funktion
mit g(c) = a, g(d) = b und g([c, d]) = [a, b]. Dann gilt
Z b
Z g(d)
Z d
f (x) dx =
f (x) dx =
f (g(t)) · g ′ (t) dt.
a
g(c)
c
R4
Beispiel(e) X.9 Gesucht ist 0 1+1√x dx. Sei f (x) = 1+1√x und g(t) = (t − 1)2 .
Dann ist g(1) = 0, g(3) = 4 und daher g([1, 3]) = [0, 4]. Weiterhin ist g ′ (t) =
2(t − 1) und es folgt
Z 4
Z 4
Z g(3)
1
√ dx =
f (x) dx =
f (x) dx
x
0 1+
0
g(1)
Z 3
Z 3
1
′
p
· g ′ (t) dt
f (g(t)) · g (t) dt =
=
g(t)
1 1+
1
Z 3
Z 3
1
1
p
· 2(t − 1) dt
=
· 2(t − 1) dt =
(t − 1)2
1 1+
1 t
Z 3
Z 3
Z 3
1
2(t − 1)
t−1
1 − dt
dt = 2
dt = 2
=
t
t
t
1
1
1
3 !
= 2 (t − ln(t)) = 2 (3 − ln(3) − (1 − ln(1))) = 4 − 2 ln(3).
1
X-16
Integrationsregeln
Bemerkung X.10 Es gilt
(sin(x))2 + (cos(x))2 = 1
R 1/2
Beispiel(e) X.10 Gesucht ist 0 √x+4
dx. Sei f (x) = √x+4
und g(t) = sin(t).
1−x2
1−x2
π
1
1
Dann ist g(0) = 0, g(π/6) = 2 , g([0, 6 ]) = [0, 2 ] und g ′ (t) = cos(t).
Z
0
1
2
x+4
√
dx =
1 − x2
Z
1
2
Z
f (x) dx =
0
Z
g( π6 )
f (x) dx
g(0)
π
6
Z
π
6
sin(t) + 4
p
· cos(t) dt
1 − (sin(t))2
0
0
Z π
Z π
6 sin(t) + 4
6
· cos(t) dt =
sin(t) + 4 dt
=
cos(t)
0
0
π
6
π
π
= (− cos(t) + 4t) = − cos( ) + 4 − (− cos(0) + 4 · 0)
6
6
0
√
3 2
+ π ≈ 2.2283.
=1−
2
3
=
′
f (g(t)) · g (t) dt =
X-17
Klausur Mathematik A
X.9
Klausur Mathematik A
Aufgabe X.11 Familie Lucky erhält aus einem Lotteriegewinn 10 Jahresraten
zu je 100.000,–¤ . Die Auszahlungen erfolgen jeweils am Anfang eines Jahres
und beginnen am 01.01.2002.
I Familie Lucky entschließt sich, die Raten aus dem Lotteriegewinn in einen
Sparvertrag mit einem Zinssatz von 8% (p.a.) einzuzahlen, beginnend am
01.01.2002.
a) Wie hoch ist das angesparte Vermögen am 31.12.2011?
(2 Punkte)
b) Wie hoch ist das angesparte Vermögen am 01.01.2011 (nach Einzahlung der letzten Rate des Lotteriegewinns in den Sparvertrag)?
(3 Punkte)
II Familie Lucky entschließt sich, einen Kredit aufzunehmen und die anfallenden Annuitäten durch den Lotteriegewinn zu begleichen.
c) Wie hoch könnte bei einem Zinssatz von 12,4% (p.a.) die Kreditsumme
eines Annuitätenkredits sein, den Familie Lucky am 01.01.2001 aufnimmt und mit den Raten aus dem Lotteriegewinn zurückzahlt?
(2 Punkte)
d) In wie vielen Jahren der Kreditzurückzahlung beträgt die Tilgung mehr
als 68.000,–¤ ?
(3 Punkte)
Lösung:
I
a) Vorschüssige Rente, siehe Bemerkung 6.11: n = 10, i = 0, 08, R =
100.000 und K0 = 0.
(1 + i)n − 1
Kn = R · (1 + i)
und für n = 10
i
(1, 08)10 − 1
K10 = (100.000) · (1, 08)
= 100.000 · (15, 6454875)
0, 08
= 1.564.548, 75 ¤
b) Die Lösung ist gegeben durch K9 + R. Es ist
(1 + i)9 − 1
K9 + R = R · (1 + i)
+R
i
(1 + i)10 − 1
=R
= 100.000 · (14, 4865625)
i
= 1.448.656, 25 ¤
X-18
Klausur Mathematik A
II
a) n = 10, i = 0, 124, A = 100.000 ¤ . Mit Satz 8.9 ergibt sich
(1 + i)n − 1
⇒
i
(1 + i)n − 1
K0 = A ·
⇒
i · (1 + i)n
(1, 124)10 − 1
K0 = 100.000
= 100.000 · (5, 5588961)
0, 124 · (1, 129)10
= 555.889, 62 ¤
K0 · (1 + i)n = A ·
Das Kreditvolumen beträgt 555.889, 62 ¤ .
b) Sei Tm die Tilgung in (m + 1)-ten Jahr. Mit Satz 8.9 folgt:
T0 = A − K0 · i = 100.000 − 555.889, 62 · 0, 124 = 31.069, 69
Tm = Tm−1 · (1 + i) ⇒ Tm = T0 · (1 + i)m ⇒
Tm > 68.000
(1 + i)m >
68.000
T0
⇔
T0 · (1 + i)m > 68.000
⇔
m>
⇔
log(68.000) − log(T0 )
≈ 6, 700.
log(1 + i)
Somit beträgt 3 Jahre lang die Tilgung mehr als 68.000¤ .
Aufgabe X.12
Für n ∈ N0 sei
an =
n4 + n3 − n2 + 1
.
(n + 1)2 · (3n2 + 5)
a) Man bestimme (falls existent): limn→∞ an .
Für n ∈ N0 sei
cn =
b) Man zeige, daß für n ≥ 3 gilt:
c) Ist die Reihe (
Pn
k=0 ck )n∈N0
(3 Punkte)
3n
.
(n + 2)!
|cn+1 | ≤
konvergent?
X-19
1
2
· |cn |.
(2 Punkte)
(2 Punkte)
Klausur Mathematik A
Für n ∈ N0 sei
bn =
d) Man zeige:
(−2)n
.
3n−1
∞
X
9
bk = .
5
k=0
(3 Punkte)
Lösung:
a)
n4 + n3 − n2 + 1
n4 + n 3 − n2 + 1
=
(n + 1)2 · (3n2 + 5)
(n2 + 2n + 1) · (3n2 + 5)
n4 + n3 − n2 + 1
n4 + n3 − n2 + 1
=
= 4
3n + 6n3 + 3n2 + 5n2 + 10n + 5
3n4 + 6n3 + 8n2 + 10n + 5
1 + 1/n − 1/n2 + 1/n4
=
3 + 6/n + 8/n2 + 10/n + 5/n4
an =
Wegen limn→∞
= 0 folgt mit Satz 6.2 limn→∞ an = 13 .
1
nk
b)
n+1 3
1
|cn+1 | ≤ |cn | ⇔ 2
(n + 3)! 1
≤
2
3n (n + 2)! ⇔
3n+1
1
3n
1
≤ ·
⇔ 3 ≤ (n + 3)
(n + 3)!
2 (n + 2)!
2
⇔
6≤n+3
⇔
n ≥ 3.
c c) Mit θ = 12 , n0 = 3 gilt nach Teil b) n+1
≤ θ für n ≥ n0 , und es ist cn 6= 0
cnn P
für n ≥ n0 . Mit Satz 6.7 folgt, daß
konvergent ist.
ck
k=0
(−2)n
−2
n−1 = 3 ·
3
3
n∈N0
n
. Mit q = −2/3 und a0 = 3 ist bn = 3 · q n eine
n P
geometrische Folge, und daher ist
bk
eine geometrische Reihe.
d) bn =
k=0
Mit Satz 6.5 folgt
∞
P
k=0
1 =3·
bk = 3 · 1 −
q
X-20
n∈N0
1
1
9
2 = 3 · 5 = 5.
1+
3
3
Klausur Mathematik A
Aufgabe X.13 Es sei
p(x) = x4 − 3x2 − 14x − 12.
√
z1 = −1 und z2 = −1 − 3 i sind Nullstellen von p.
a) Man bestimme alle Nullstellen des Polynoms p(x).
(4 Punkte)
b) Man bestimme die trigonometrischen Darstellungen der komplexen Nullstellen des Polynoms.
(3 Punkte)
c) Man bestimme
(x2 − 9)(x + 5)
.
x→3
p(x)
lim
(3 Punkte)
Lösung:
a) Horner-Schema: Für die Nullstelle z1 = −1 erhält man:
0
−3
−14
−12
1
+0 1 · (−1) (−1) · (−1) (−2) · (−1) (−12) · (−1)
1
−1
−2
−12
0
√
Somit ist p(x) = (x + 1) · (x3 − x2 − 2x − 12). Nach Vor. muß z2 = −1 − 3i
3
2
auch Nullstelle
√ von x − x − 2x 3− 12,2 und mit Satz 7.3 folgt, daß auch
z1 = (−1 + 3i) Nullstelle von x − x − 2x − 12 ist. Nach Bem. 7.5 ist
daher (x − z1 ) · (x − z1 ) = x2 + 2x + 4 ein Faktor von x3 − x2 − 2x − 12.
Polynomdivision leifert:
x3 − x2 − 2x − 12 : (x2 + 2x + 4) = x − 3
−(x3 + 2x2 + 4x)
− 3x2 − 6x + 12
− 3x2 − 6x − 12
0
Also ist p(x) = (x + 1) · (x − 3) · (x2 + 2x + 4), und da nach Satz 7.2
ein Polynom 4.ten
4√
Nullstellen
hat, sind die Nullstellen
√
Grades höchstens
gegeben durch −1, 3, −1 − 3i, −1 + 3i .
√
√
b) Sei z1 = −1 − 3i ⇒ |z1 | = 1 + 3 = 2 ⇒
√ 1
◦
z1 = 2 · − 2 − 23 i
⇒ arg z1 = 4π
3 (= 240 )
√ √
1
z1 = −1 − 3i ⇒ |z1 | = 2 und z1 = 2 − 2 + 23 i
⇒
◦
arg z = 2π
3 (= 120 )
X-21
Klausur Mathematik A
c)
(x2 − 9) · (x + 5)
(x − 3) · (x + 3) · (x + 5)
=
p(x)
(x − 3) · (x + 1) · (x2 + 2x + 4)
(x + 3) · (x + 5)
=
(x + 1) · (x2 + 2x + 4)
(x + 3) · (x + 5)
(x2 − 9)(x + 9)
= lim
x→3 (x + 1) · (x2 + 2x + 4)
x→3
p(x)
48
12
6·8
=
= .
=
4 · (9 + 6 + 4)
4 · 19
19
⇒ lim
Aufgabe X.14
Sei f : R → R gegeben durch
f (x) = (x + 2) · (x − 2)3 .
a) Man bestimme alle isolierten lokalen Minima und Maxima der Funktion f .
(3 Punkte)
b) Man bestimme die Wendepunkte von f und alle Intervalle, in denen die
Funktion f konvex bzw. konkav ist.
(3 Punkte)
Für eine ungerade Zahl k ∈ N sei g : R → R gegeben durch
g(x) = (x + 2) · (x − 2)k , und es sei x⋆ = 2
1−k
.
k+1
c) Man zeige: g ′ (x⋆ ) = 0.
(2 Punkte)
d) Man zeige, daß x⋆ ein isoliertes lokales Minimum von g ist.
(2 Punkte)
Lösung:
a)
f ′ (x) = (x − 2)3 + (x + 2) · 3(x − 2)2
= (x − 2)2 · ((x − 2) + 3(x + 2)) = (x − 2)2 · (4x + 4)
⇒ f ′ (x) = 0 für x = 2 und x = −1
f ′′ (x) = 2(x − 2) · (4x + 4) + (x − 2)2 · (4)
= 2(x − 2) · (4x + 4 + 2x − 4) = 2(x − 2) · (6x)
′′
⇒ f (−1) = 2 · (−3) · (−12) = 72 > 0
Somit ist x⋆ = −1 ein isoliertes lokales Minimum (Satz 8.9). Weiterhin ist
f ′′ (2) = 0, f ′′′ (x) = 2 · 6x + 2(x − 2) · 6 = 24x − 24 und f ′′′ (2) = 24 6= 0.
Daher ist nach Satz 8.9 x⋆ = 2 kein isoliertes lokales Extremum.
X-22
Klausur Mathematik A
b) Es ist f ′′ (x) = 2(x − 2)6x ⇒ f ′′ (x) = 0 ⇔ x ∈ {2, 0}. Es ist
f ′′′ (x) = 24x − 24 und f ′′′ (2) = 24 > 0 und f ′′′ (0) = −24. Nach Satz 8.11
sind 2,0 die Wendepunkte von f .
Weiterhin folgt mit f ′′ (x) = 12(x2 − 2x)
f ′′ (x) ≥ 0
⇔
x2 −2x ≥ 0
⇔
x(x−2) ≥ 0
⇔
x ≥ 2 oder x ≤ 0.
Und es ist f ′′ (x) ≤ 0 für x ≤ 2 und x ≥ 0. Daher ist f konvex in den
Intervallen (−∞, 0] und [2, ∞) und f ist konkav in [0, 2].
c) g(x) = (x + 2) · (x − 2)k ⇒
g ′ (x) = (x − 2)k + (x + 2)k(x − 2)k−1
= (x − 2)k−1 ((x − 2) + kx + 2k) = (x − 2)k−1 ((k + 1)x + 2(k − 1))
Mit x∗ = 2 1 − k folgt g ′ (x∗ ) = 0.
k+1
d) Für k = 1 ist g ′′ (x⋆ ) = 2, und daher ist in diesem Fall x⋆ ein isoliertes
lokales Minimum. Sei nun k ≥ 3. Dann gilt:
g ′′ (x) = (k − 1) · (x − 2)k−2 ((k + 1) · x + 2(k − 1)) + (x − 2)k−1 · (k + 1).
Somit ist
′′
⋆
⋆
k−1
g (x ) = (k + 1)(x − 2)
k
= (k + 1) −4
k+1
k−1
.
Wegen k ungerade ist g ′′ (x⋆ ) > 0, und x⋆ ist ein isoliertes lokales Minimum.
Aufgabe X.15
a) Man bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich D ⊂ R, so daß
f : D → R mit
4x − 8
f (x) =
ln (x2 − 3)
eine Funktion ist.
(4 Punkte)
b) Man zeige
lim
x→2
4x − 8
= 1.
ln (x2 − 3)
c) Sei g : R → R definiert durch

4x − 8 ,


 ln x2 − 3
g(x) =


 3
x − 3x2 + 5,
Ist g eine stetige Funktion?
X-23
(3 Punkte)
für x > 2,
für x ≤ 2.
(3 Punkte)
Klausur Mathematik A
Lösung:
2
a) ln(x)√ist nur definiert für
√ positive Zahlen. Also muß gelten x − 3 > 0 ⇔
x > 3 oder x < − 3. Weiterhin muß der Nenner von Null verschieden
sein, und es ist
ln(x2 − 3) = 0 ⇔ x2 − 3 = 1 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2.
√ √ Der maximale Definitionsbereich ist R \ −2, 2, − 3, 3 .
b) Mit der Regel von l’Hospital folgt (Satz 8.12)
4x − 8
4(x2 − 3)
4
=
lim
=
lim
= 1.
x→2 ln(x2 − 3)
x→2
x→2 22x
2x
x −3
lim
c) Es ist g(2) = 1 und es gilt nach Teil b)
lim g(x) = lim g(x) = 1.
xր2
xց2
Also ist g an der Stelle x⋆ = 2 stetig. Desweiteren sind f für x > 2 und
x3 − 3x2 + 5 für x ≤ 2 stetige Funktionen, so daß mit Bem. 8.3 folgt, daß
g stetig ist.
X-24
Index
Rn und Vektoren, 10-1
ǫ-Umgebung, 8-9
ggt, 3-1
Abbildungen, 5-3
Ableitung der Arcusfunktionen, 8-7
Ableitung der Umkehrfunktion, 8-7
Ableitung einiger Grundfunktionen, 8-6
Ableitungen hoherer Ordnung, 8-8
Addition von Matrizen, 11-4
Allaussage, 1-3
Anderungsrate, 8-13
Annuitat, 6-9
Annuitatentilgung, 6-10
Aquivalenz, 1-2
Aquivalenzklassen, 5-2
Aquivalenzrelation, 5-2
Arithmetische und Geometrische Folgen,
6-2
Arithmetische und Geometrische Reihen,
6-4
Aussagen, 1-1
Austauschsatz von Steinitz, 10-8
Barwert, 6-8
Beschranktheit, 6-2, 7-6
Bestimmtes Integral, 9-9
Betrag, 10-4
Bijektiv, 5-4
Bild und Urbildbereich, 5-3
Binomialkoeffizienten, 4-1
Binomischer Lehrsatz, 4-1
Cramersche Regel, 11-13
Determinante, 11-9
Differential, 8-13
Differentialquotient oder 1. Ableitung,
8-4
Differentiationsregeln, 8-6
Differenz, 2-2
Dimension, 10-8
Durchschnitt, 2-2
Eigenschaften bestimmter Integrale, 910
Eigenschaften des Skalarprodukts, 10-5
Elastizitat, 8-14
Elementare Funktionen, 7-1
Entwicklungssatz von Laplace, 11-9
Erzeugendensystem und Basis, 10-8
Existenzaussage, 1-3
Fakultat, 4-1
Falksche Schema, 11-6
Fundamentalsatz der Algebra, Gaus (1799),
7-8
Fundamentalsatz der Differential- und
Integralrechnung, 9-10
Ganze Zahlen Z, 3-1
Gerade und Ungerade, 7-6
Grenzwert, 8-1
Grenzwert (Limes), Folgen, 6-3
Grenzwert geometrischer Reihen, 6-5
Grenzwert(Limes), Reihe, 6-4
Horner-Schema, 7-7
Identitat, 5-4
Imaginare Einheit i, 3-5
Implikation, 1-2
Injektiv, 5-3
Intervalle, 7-5
Z-1
INDEX
Partielle Integration, 9-4
Permutationen, 4-2
Polynome, 7-6
Potenzieren, 3-3
Kapitalbetrage zu unterschiedlichen Zeit- Potenzmenge, 2-2
Q
punkten, 6-8
Produkte , X-1
Kern einer Abbildung, 11-16
Produktmenge, 2-3
Kombination mit Wiederholung, 4-3
Kombination ohne Wiederholung, 4-2 Quadratische Matrizen, 11-2
Kombinationen mit Wiederholung, 4-3 Quotientenkriterium, 6-5
Kombinationen ohne Wiederholung, 4Radizieren, 3-4
3
Ratentilgung, 6-9
Komposition von Abbildungen, 5-4
Rationale Zahlen Q, 3-2
Konvex, Konkav, Linear, 7-6
Rechengesetze, 3-3, 11-5
Konvexitatsverhalten, 8-10
Rechenregeln fur Bruche, 3-3
Leere Menge ∅, 2-2
Rechenregeln fur die inverse Matrix, 11Lineare (Einfache) Verzinsung, 6-6
15
Lineare Abbildungen, 11-15
Rechenregeln fur MatrizenmultiplikatiLineare Abbildungen und Matrizen, 11on, 11-7
15
Rechenregeln fur Vektoren, 10-4
Lineare Funktion, 8-4
Rechenregeln in C, 3-5
Lineare Unabhangigkeit, 10-7
Rechtsseitiger und Linksseitiger GrenzLineare Verzinsung, 6-6
wert, 8-1
Linearkombination, 10-6
Reelle Zahlen R, 3-2
Logarithmieren, 3-4
Reellwertige Funktion, 7-1
Lokale/Globale Extremwerte, 8-9
Regel(n) von L’Hospital, 8-11
Regulare (Singulare) Matrizen, 11-13
Matrix, 11-1
Relationen, 5-1
Mengen, 2-1
Relationen zwischen Matrizen, 11-2
Mittelwertsatz der Integralrechnung, 9Relationen zwischen Vektoren, 10-3
10
Rente, 6-8
Monotonie, 6-2, 7-5
Monotonieverhalten, 8-9
Skalare, 10-4
Multiplikation mit einem Skalar, 11-5
Skalarprodukt, 10-5
Multiplikation von Matrizen, 11-5
Spezielle Matrizen, 11-3
Spezielle Vektoren, 10-3
Naturliche Zahlen N, 3-1
Notwendiges Kriterium fur lokale Ex- Sprungstellen, Polstellen und Lucken, 83
trema, 8-9
Stammfunktion, 9-1
Nullstellen, 7-6
Stetigkeit, 8-2
Nullstellen und Horner-Schema, X-8
Streichungsmatrix, 11-8
Nullstellen und Linearfaktoren, 7-7
Substitutionsregel,
9-6
P
Summen , X-1
Orthogonal, 10-6
Inverse Abbildung, 11-16
Inverse Matrix, 11-14
Inverse Relation, 5-2
Z-2
INDEX
Surjektiv, 5-3
Symmetrische Matrizen, 11-3
Teilmenge, 2-1
Tilgung, 6-9
Transponierte Matrix, 11-2
Umkehrabbildung, 5-4
Unbestimmte Integrale einiger Grundfunktionen, 9-2
Unbestimmtes Integral, 9-2
Uneigentliche Integrale I., 9-11
Uneigentliche Integrale II., 9-11
Uneigentliche Integrale III., 9-12
Uneigentliche Konvergenz, 8-3
Unendliche Folgen, 6-1
Unendliche Reihen, 6-4
Unterjahrige Verzinsung, 6-7
Vektorraum, 10-7
Vereinigung, 2-2
Vergleiche von reellen Zahlen, 3-3
Verknupfungsregeln fur Mengen, 2-3
Vielfachheit von Nullstellen, 7-8
Vorschussige und Nachschussige Rente,
6-8
Wendepunkt, 8-10
Wurzelsatze von Vieta, 7-9
Zinseszinsrechnung oder Exponentielle
Verzinsung, 6-6
Zwischenwertsatz, 8-2
Z-3