Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker

Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme, Ungleichungen, Beträge
Dr. Karin Melzer
28.11.2008
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Aufbau des Zahlensystems (I)
I
Natürliche Zahlen N = {1, 2, 3, . . . }
=⇒
Summe
m + n und Produkt m · n natürlicher Zahlen sind
wieder natürliche Zahlen.
Aber: Das Ergebnis von 3
− 5 = −2
liegt nicht in den
natürlichen Zahlen.
I
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }
I
Ganze Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Erweiterung von
=⇒
N
um 0 und negative Zahlen
Subtraktion uneingeschränkt durchführbar.
Aber: Das Ergebnis von
−3
5 liegt nicht in den ganzen Zahlen.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Reelle Zahlen
Ungleichungen und Beträge
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Lineare Optimierung
Aufbau des Zahlensystems (II)
I
Rationale Zahlen
=⇒
(Brüche)
Q = { pq : p ∈ Z, q ∈ N}
Division uneingeschränkt durchführbar (auÿer durch 0).
Bsp.:
x = 0, 43 = 0, 434343 . . . = 43
99
ist eine rationale Zahl.
Aber: Umkehr des Quadrierens nicht immer möglich.
x 2 = 2 ⇐⇒ x =
√
2 ist keine rationale Zahl (kann nicht als
Bruch dargestellt werden).
I
Reelle Zahlen
R = {a, b1 b2 b3 . . . : a ∈ Z
und
b1 , b2 , b3 , · · · ∈ {0, 1, . . . , 9}}
Alle Zahlen, die sich auf dem Zahlenstrahl darstellen lassen.
Reelle Zahlen, die nicht abbrechend und nicht periodisch sind,
√
heiÿen irrationale zahlen.
2 = 1, 414213 . . . bzw.
1
= lim 1 +
= 2, 7182818 . . . sind irrationale Zahlen.
e
m→∞
I Es gilt
m
m
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Der Computer rechnet mit Zahlen nicht im Dezimalsystem
(Zehnersystem) wie wir, sondern er verwendet als Darstellung das
Dualsystem bzw. das Hexadezimalsystem.
Zahlensystem
Basis
zulässige Ziern
Dualsystem
2
0,1
Oktalsystem
8
0,1,2,3,4,5,6,7
Hexadezimalsystem
16
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Dezimalsystem
10
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
A−F
stehen dabei für die Zahlen 10
Dr. Karin Melzer
− 15.
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Darstellung als Dualzahl: Beispiele
Zählen im Dualsystem:
dezimal
dual
dezimal
dual
1
1
6
110
2
10
7
111
3
11
8
1000
4
100
9
1001
5
101
10
1010
Wert der (Dual-)Zahl 1101 im Dezimalsystem:
11012
= 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 4 + 1 = 1310
Der Index gibt die Basis des verwendeten Zahlensystems an.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Reelle Zahlen
Ungleichungen und Beträge
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Lineare Optimierung
Darstellung als Dualzahl
Die Basis ist der Schlüssel für den Wert einer Zahl:
Beispiel: 59, 16310
5
9
x
1
10
0
10
=
50 +
9 +
,
1
6
3
−1
10
−2
10
0,1 +
0,06 +
10
−3
0,003
= 59, 16310
Beispiel: 10, 1012
1
x
=
2
1
2 +
0
0
2
0 +
,
1
2
−1
0,5 +
0
2
−2
0 +
1
2
−3
0,125
= 2, 62510
Wie lassen sich Dezimalzahlen als Dualzahl darstellen?
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl (I)
Beispiel: Umwandlung von 41, 812510 in eine Dualzahl.
Es wird zwischen dem ganzen und dem gebrochenen Teil
(Nachkommastellen) unterschieden.
Ganzer Teil: 41 (Divisionsmethode)
41
20
10
5
2
1
:2
:2
:2
:2
:2
:2
=
=
=
=
=
=
20
Rest
10
Rest
5
Rest
2
Rest
1
Rest
0
Rest
1

0

0

1

0

1
x
Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der
errechneten Reste von unten nach oben: 1010012 .
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl (II)
Gebrochener Teil: 0,8125 (Multiplikationsmethode)
0, 8125
0, 625
0, 25
0, 5
0, 0
·2
·2
·2
·2
·2
=
=
=
=
=
1, 625
Wert vor dem Komma
1, 25
Wert vor dem Komma
0, 5
Wert vor dem Komma
1, 0
Wert vor dem Komma
0, 0
Wert vor dem Komma
1

1

0

1

0y

Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der
errechneten Reste von oben nach unten: 0, 11012 .
Insgesamt ergibt sich: 41, 812510
Dr. Karin Melzer
= 101001, 11012
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Reelle Zahlen
Ungleichungen und Beträge
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Lineare Optimierung
Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl (III)
Kontrolle:
zi
1
i=
2
zi · 2i
5
X
i =−4
2
5
0
4
2
1
2
3
0
2
2
0
2
1
1,
2
0
1
2
−1
32
16
8
4
2
1
1
2
32
0
8
0
0
1,
0, 5
zi · 2i
1
2
−2
1
4
0, 25
0
−3
2
1
8
0
1
2
1
16
0, 0625
= 41, 8125
Dr. Karin Melzer
−4
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Umwandlung einer Dualzahl in eine Oktal- bzw.
Hexadezimalzahl (I)
I Dualzahlen sind im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang
und schwer zu überschauen. Dies hat zur Verbreitung des
Hexadezimalsystems geführt (Basis 16).
I Da 16 eine Potenz von 2 ist (16
= 24 ),
ist es besonders einfach
möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen.
I Dazu werden je
vier Stellen der Dualzahl durch eine
Hexadezimalstelle ersetzt. Die Länge der dargestellten Zahlen
verringert sich dadurch um den Faktor vier.
I Analog geht man bei der Umrechnung ins Oktalsystem vor: 8
3
ist 2 , daher werden je
drei Stellen der Dualzahl durch eine
Oktalstelle ersetzt.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Reelle Zahlen
Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem
Umwandlung einer Dualzahl in eine Oktal- bzw.
Hexadezimalzahl (II)
Beispiel:
41, 812510
=
101001, 11012
Dualzahl
= |{z}
101 001 , 110 100 2 = 51, 648
|{z} |{z} |{z}
5
1
6
= 0010
|{z}, 1101
|{z} 2 = 29, D16
|{z} 1001
2
9
Oktalzahl
4
Hexadezimalzahl
13=
bD
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Ungleichungen (I)
Anders als bei Gleichungen sind Terme der linken und der rechten
Seite einer Ungleichung durch ein Ungleichheitszeichen
(<, ≤, oder
>, ≥)
verbunden. Oft ist es ratsam sich eine
Ungleichung an einem Zahlenstrahl zu veranschaulichen.
I Beim Vergleich reeller Zahlen gilt stets genau einer der drei
a < b , a > b , a = b.
a < b bedeutet a liegt auf dem Zahlenstrahl links von b.
Fälle:
I
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Ungleichungen (II)
I Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung
dasselbe addiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl rutschen
nach rechts, der Abstand bleibt derselbe, linke Seite bleibt
kleiner als rechte Seite.
I Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung
dasselbe subtrahiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl
rutschen nach links, der Abstand bleibt (wie bei der Addition)
derselbe, linke Seite bleibt kleiner rechte Seite.
=⇒
Addition und Subtraktion sind Äquivalenzumformungen, bei
denen sich nichts am Abstand ändert (das
Ungleichheitszeichen bleibt unverändert).
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Ungleichungen (III)
I Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit
derselben positiven Zahl multipliziere bzw. durch dieselbe
positive Zahl dividiere? Die Bildpunkte ändern ihre Entfernung,
der Bildpunkt von
von
b.
a liegt aber weiterhin links vom Bildpunkt
I Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit (1)
multipliziere? Dies bedeutet eine Spiegelung der Punkte am
a liegt nun rechts vom Bildpunkt
b. Das bedeutet, dass sich das Ungleichheitszeichen
ändert: a < b
=⇒ −b < −a
Nullpunkt, der Bildpunkt von
von
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
Als Fazit ergeben sich beim Multiplizieren und Dividieren
Unterschiede zum Umgang mit Gleichungen:
Gleichungen
⇐⇒
⇐⇒
a
a±c
ac
=
=
=
b
b±c
bc (für c 6= 0)
Ungleichungen
⇐⇒
FU
⇐⇒
a < b
a± c < b ± c
ac < bc für c > 0
ac > bc für c < 0
Merke: Wird eine Ungleichung mit einer Variablen multipliziert, so
ist eine Fallunterscheidung (FU) notwendig.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Rechnen mit Ungleichungen
Ungleichungen und Beträge
Rechnen mit Beträgen
Lineare Optimierung
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel I
Berechne die Lösungsmenge von
Fallunterscheidung:
I
x − 1 > 0 bzw. x > 1
⇐⇒
2
3
⇐⇒
I
x
≤ −
x
≤ −
=⇒
⇐⇒
2
3
x
x
(x 6= 1).
x + 2 ≤ 13 (x − 1) = 13 x − 13
7
3
7
Widerspruch zu
2
x − 1 < 0 bzw. x < 1
⇐⇒
x +2 1
≤
x −1 3
≥ −
≥ −
=⇒
x > 1 =⇒ La = ∅
x + 2 ≥ 13 (x − 1) = 13 x − 13
7
3
7
2
Dr. Karin Melzer
Lösungsmenge
7
Lb = − , 1
2
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel I (Forts.)
Bezeichnungen für Intervalle:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
(a, ∞) = {x ∈ R : a < x }
Runde Klammer: Randpunkt gehört nicht zum Intervall
Eckige Klammer: Randpunkt gehört zum Intervall
Für unser Beispiel gilt damit die Lösungsmenge:
7
L = La ∪ Lb = − , 1
2
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Rechnen mit Ungleichungen
Ungleichungen und Beträge
Rechnen mit Beträgen
Lineare Optimierung
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel II
Welche Lösung besitzt die Ungleichung
1
x 2 < 4?
Tipp: Bringe Ausdruck in die Form einer Quadratischen Gleichung.
1
x2
1
Die Gleichung 4
<4
< 4x 2
x 2 = 1 ist erfüllt für x1 = 12 ; x2 = − 12 . Die
Ungleichung ist erfüllt für alle x, die kleiner als
sind.
Test:
x = −1
x =0
x =1
⇒ x2 = 1
⇒ x2 = 0
⇒ x2 = 1
>
<
>
Dr. Karin Melzer
− 21
und gröÿer als
1
4
1
4
1
4
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
1
2
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel III mit zwei Variablen
Welche Lösung besitzt die Ungleichung
x +7−y
⇐⇒
x −y
⇐⇒
−y
⇐⇒
y
≤
x + 7 − y ≤ 3?
3
≤ −4
≤ −4 − x
≥
4
+x
=⇒ L = {(x , y ) : y ≥ 4 + x }
Randgerade:
y =4+x
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Oft interessiert nur die absolute Abweichung von einem Wert, nicht
das Vorzeichen (Bsp.: Messgenauigkeit von Instrumenten).
Denition: Betrag von a
|a| =
oder
a
−a
|a| =
Merke:
√
a≥0
falls a < 0
falls
a2
Fallunterscheidungen sind notwendig!
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Beispiel: Betragsfunktion
f (x ) = |x 2 − 1|
Kritische Stellen sind Stellen, an denen der Betrag das Vorzeichen
wechselt, hier:
x 2 = 1 bzw. x = 1 oder x = −1. Anhand dieser
Stellen kann die Fallunterscheidung vorgenommen werden.
Fallunterscheidung:
2
x − 1 =
x2 − 1
−(x 2 − 1)
Dr. Karin Melzer
x ≤ −1 und x ≥ 1
für − 1 < x < 1
für
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen: Beispiel (I)
Gesucht: alle Zahlen, die sich von 5 um weniger als 0,5
− x | < 0, 5.
x =5
unterscheiden. |5
Kritische Stelle:
Fallunterscheidung:
1)
2)
x ≤5:
x >5:
− x < 0, 5
⇐⇒ x > 4, 5 =⇒ L1 = (4, 5; 5]
−(5 − x ) < 0, 5 ⇐⇒ x < 5, 5 =⇒ L2 = (5; 5, 5)
5
Für die Lösungsmenge
L gilt damit:
L = L1 ∪ L2 = (4, 5; 5, 5)
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen: Beispiel (II)
Gesucht: alle Lösungen der Ungleichung |3
Kritische Stellen:
x1 = −1 und x2 = 0.
x | ≤ |x + 1| − x
Fallunterscheidung:
a)
b)
c)
x ≥0:
−1 ≤ x < 0 :
x < −1 :
x ≤ x + 1 − x ⇔ x ≤ 13
−3x ≤ x + 1 − x ⇔ x ≥ − 13
−3x ≤ −(x + 1) − x ⇔ 1 ≤ x
3
=⇒ La = [0; 13 ] =⇒ Lb = − 13 ; 0
=⇒ Lc = ∅
Bei der Lösungsmenge muss die Annahme über den Wertebereich
von
x
berücksichtigt werden.
1 1
L = La ∪ Lb ∪ Lc = − ;
3
Dr. Karin Melzer
3
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen: Beispiel (III)
Gesucht: alle Lösungen von
a)
b)
c)
d)
x ≥ 0, y ≥ 0 :
x ≥ 0, y < 0 :
x < 0, y ≥ 0 :
x < 0, y < 0 :
|y | = |x |
y=x
−y = x
y = −x
−y = −x
Dr. Karin Melzer
Fallunterscheidung:
⇔ y = −x
⇔y=x
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen: Beispiel
|y − 2| + x 2 ≤ 2
Kritische Stelle:
y =2
Fallunterscheidung:
a)
b)
y ≥ 2 bzw. y − 2 ≥ 0:
y − 2 + x 2 ≤ 2 ⇐⇒ y ≤ 4 − x 2
La = {(x , y ) : 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 }
y < 2 bzw. y − 2 < 0:
−(y − 2) + x 2 ≤ 2 ⇐⇒ y ≥ x 2
Lb = {(x , y ) : x 2 ≤ y < 2}
L = La ∪ Lb = {(x , y ) : x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 }
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen/Ungleichungen: Zusammenfassung
Wann wird eine Fallunterscheidung notwendig?
Funktion enthält . . .
Fallunterscheidung (FU)
Ungleichung:
FU bei Multiplikation; falls Zahl neg.,
Ungleich-Zeichen dreht sich um
Beträge:
FU, wo Betrag das Vorzeichen wechselt
f (|x − a|, |x − b|):
kritische Stellen:
(drei Fälle)
Annahme:
f (|x |, |y |):
x ≥ 0, y ≥ 0
x ≥ 0, y < 0
f (|x |):
(vier Fälle)
x ≥ 0; x < 0
x = a; x = b
a<b
x ≤ a; a < x < b ; x ≥ b
Dr. Karin Melzer
x < 0, y ≥ 0
x < 0, y < 0
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Lineare Optimierung
I Bei der
linearen Optimierung handelt es sich um ein
Verfahren zur Bestimmung des Minimums oder Maximums
einer linearen Zielfunktion, wobei zusätzlich einschränkende
Bedingungen (so genannte Randbedingungen in Form linearer
Gleichungen oder Ungleichungen) erfüllt sein müssen.
I Lineare Optimierung gehört zu den am meisten in der Praxis
eingesetzten Entscheidungsmodellen, da eine Vielzahl
praktischer Probleme zumindest angenähert durch eine Menge
linearer Gleichungen und Ungleichungen beschrieben werden
können.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Erstellung eines Linearen Programms
Bei der Formulierung/Erstellung linearer Programme sind
Schritte
drei
zu vollziehen:
1. Identizierung der entscheidenden Variablen und Benennung
jeder Variablen mit einem Symbol.
2. Identizierung der zu beachtenden Nebenbedingungen als
Funktionen der Variablen.
3. Identizierung der Zielfunktion als Funktion der Variablen.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Problemstellung
graphische Lösung
Ungleichungen und Beträge
verallgemeinerte Lösung
Lineare Optimierung
Erstellung eines Linearen Programms: Beispiel (I)
Mischungsproblem: Ein Unternehmen produziert zwei Produkte A
und
B
mit Hilfe von zwei Rohstoen, die nur in begrenzten Mengen
verfügbar sind. Es soll aber möglichst viel Gewinn erzielt werden.
Produkt
A
Produkt
B
Verfügbar
Rohsto 1
6
4
24
Rohsto 2
1
2
6
Gewinn
5
4
I Aus einer Marktanalyse weiÿ man, dass die maximale
Nachfrage für Produkt
B
höchstens 2 Mengeneinheiten
beträgt.
I Auÿerdem soll die Produktionsmenge für Produkt
B
höchstens
eine Mengeneinheit mehr als die Produktionsmenge von
Produkt
A betragen.
Um diese Problemstellung nun in die Form eines LP-Modells zu
bringen, geht man wie folgt vor:
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Erstellung eines Linearen Programms: Beispiel (II)
Mischungsproblem:
1. Identizierung und Benennung der Variablen:
x1 : Produktionsmenge Produkt A
x2 : Produktionsmenge Produkt B
2. Identizierung der Nebenbedingungen (NB):
NB I:
NB II:
NB III:
NB IV:
NB V:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (Verfügbarkeit von Rohsto 1)
1x1 + 2x2 ≤ 6 (Verfügbarkeit von Rohsto 2)
x2 ≤ 1 + x1 (Obergrenze für Produktionsmenge von B )
1x2 ≤ 2 (Maximale Nachfrage für Produkt B )
Nichtnegativitätsbedingungen: x1 , x2 ≥ 0 (Mengen sind gröÿer
Null)
3. Zielfunktion:
Z
= 5x1 + 4x2
Dr. Karin Melzer
(Gewinn)
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Erstellung eines Linearen Programms: Beispiel (III)
Mischungsproblem: Das Lineare Programm lautet dann wie folgt:
u. d.
Max. Z = 5x1 + 4x2


3x1 + 2x2 ≤ 12


 x1 + 2 x2 ≤ 6
−x1 + x2 ≤ 1
B.


x2
≤ 2



x1 , x2 ≥ 0
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Lösung eines Linearen Programms (graphisch)
Wir interpretieren die Zahlenpaare
(x1 , x2 )
als Punkte der
xy -Ebene. Zur Lösung eines linearen Programms werden folgende
Schritte durchgeführt:
1. Einzeichnen des zulässigen Bereichs.
2. Einzeichnen einer Isoniveaulinie (Isoquante) für die
Zielfunktion.
I
I
Falls Maximum gesucht wird: Parallelverschieben der
Isoniveaulinie bis zum Maximum.
Falls Minimum gesucht wird: Parallelverschieben der
Isoniveaulinie bis zum Minimum.
3. Berechnen der exakten Koordinaten des Optimums.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Der zulässige Bereich
I Der zul. Bereich wird aus den Nebenbedingungen erstellt.
I Jede Gleichung beschreibt eine Gerade in der
xy -Ebene.
I Jede Ungleichung (der Nebenbedingungen) beschreibt eine
Halbebene in der
xy -Ebene.
I Den Rand dieser Halbebene erhalten wir aus der Ungleichung,
wenn wir das ≤- oder ≥-Zeichen durch = ersetzen.
I Durch Einsetzen eines Testpunkts in die Ungleichung erhalten
wir die gesuchte Halbebene.
Beispiel:
Der Rand der Halbebe-
x1 + 2x2 ≤ 6 ist gegeben durch
x1 + 2x2 = 6. Durch Einsetzen er-
ne
hält man: der Ursprung
(0, 0)
ge-
hört zur gesuchten Halbebene.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Der zulässige Bereich
In unserem Beispiel sieht der zulässige Bereich folgendermaÿen aus:
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Die Isoniveaulinie
I Gegeben: Zielfunktion, im Beispiel:
I Für jeden Wert
c
Z
= 5 x1 + 4 x2 .
x
bestimmt die Funktion 5 1
+ 4x2 = c eine
= c ,
Gerade. Alle Punkte dieser Geraden erfüllen Zielwert
diese Gerade heiÿen Isoniveaulinien.
c ∈ R) sind parallel.
eine Isoniveaulinie, z. B. für c = 0 zu zeichnen. Alle
I Alle Isoniveaulinien (d.h. Geraden für
I Es genügt
anderen Isoniveaulinien erhalten wir durch
Parallelverschiebung.
= 5x1 + 4x2 :
= − 54 x1
= 5 − 54 x1
= 10 − 54 x1
Beispiel: Isoniveaulinien der Zielfunktion
c =0:
c = 20 :
c = 40 :
x + 4 x2 = 0
x + 4x2 = 20
5x1 + 4x2 = 40
5 1
5 1
=⇒
=⇒
=⇒
Dr. Karin Melzer
x2
x2
x2
Z
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Parallelverschieben
I Eine gezeichnete Isoniveaulinie wird solange parallelverschoben,
bis der Rand des zulässigen Bereichs erreicht wird.
⇒
Maximum oder Minimum (Test: ist der Zielwert eines anderen
Punktes des zulässigen Bereichts gröÿer oder kleiner).
I Die Isonutzenlinie wird solange in die andere Richtung
parallelverschoben, bis der Rand des zulässigen Bereichs
erreicht wird.
⇒
Minimum oder Maximum.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Parallelverschieben
I Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass das Optimum
entweder in einem
Punkt oder in einer Strecke angenommen
wird. Dieser Punkt (bzw. die Endpunkte dieser Strecke) ist der
Schnittpunkt zweier Begrenzungsgeraden.
I Die (exakte) Lösung wird durch den Schnitt der aus der
Zeichnung ersichtlichen Begrenzungsgeraden berechnet.
I Im Beispiel liegt das gesuchte Maximum im Schnittpunkt der
x
x1 + 2x2 = 6.
x1 = 3 , x2 = 1 , 5
Der max. Gewinn beträgt 5x1 + 4x2 = 5 · 3 + 4 · 1, 5 = 21.
Geraden 3 1
+ 2x2 = 12
und
I Die Koordinaten sind
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Lösbarkeit
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die abhängig sind vom
zulässigen Bereich und von der Zielfunktion:
I Es gibt
I Es gibt
genau eine Lösung (Lösung ist eine Ecke)
unendlich viele Lösungen (sind zwei benachbarte
Punkte Lösung, so auch die gesamte Verbindungsstrecke)
I Es gibt
keine
Lösung, weil der zulässige Bereich in Richtung
Optimum unbeschränkt ist.
I Es gibt
keine
Lösung, weil der zulässige Bereich leer ist (d. h.
es gibt keinen Punkt, der alle Nebenbedingungen erfüllt.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Lösung eines Linearen Programms allgemein
I Die graphische Lösung ist nur dann möglich, wenn man den
zulässigen Bereich und die Zielfunktion zeichnen kann. Dies
geht mit zwei, max. drei Entscheidungsvariablen.
I Bei mehreren Variablen muss eine analytische Lösung gefunden
werden.
Für die allgemeine Lösung halten wir fest:
I Das Optimum liegt stets (auch) auf einer Ecke.
I Bei zwei Entscheidungsvariablen sind die Ecken Schnittpunkte
von zwei Geraden, d. h. Lösung eines linearen
Gleichungssystems mit zwei Variablen.
n Variablen sind die Eckpunkte Lösungen eines Systems
von jeweils n Gleichungen.
I Bei
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Allgemein: Lineares Programm mit zwei Variablen
Ein lineares Programm mit zwei Entscheidungsvariablen ist
allgemein gegeben durch
u. d.
Max. Z = αx1 + β x2

a1 x1 + b1 x2 ≤ c1





a2 x1 + b2 x2 ≤ c2
a3 x1 + b3 x2 ≤ c3
B.

.
.
.

.
.
.

.
.
.



a n x1 + b n x2 ≤ cn
Zielfunktion
I Lösungsmenge jeder Ungleichung ist eine Halbebene, also der
Bereich unter oder über der Gerade
Dr. Karin Melzer
ai x1 + bi x2 = ci .
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Allgemein: Lineares Programm mit zwei Variablen
I Die Eckpunkte ergeben sich als Schnitt zweier Grenzgeraden,
d.h. als Lösung von
ai x1 + bi x2
aj x1 + bj x2
=
=
ci
cj
I Durch die Zielfunktion werden Geraden bestimmt, für die die
Z = γ ).
αx1 + β x2 = γ ergibt
Zielfunktion den gleichen Wert annimmt (
I Die optimale Lage der Geraden
sich
durch Parallelverschiebung.
I Die Lösung liegt in einem Eckpunkt (falls die Lösungsmenge
beschränkt ist) oder auf der Strecke zwischen zwei Ecken.
I
Rechenstrategie: Berechne Zielfunktion in allen Eckpunkten
und vergleiche die Werte. Im optimalen Punkt ist die
Zielfunktion maximal.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Beispiel: Lösung durch Berechnung der Eckwerte
Eckenmethode für das Beispiel Mischungsproblem:
Die Werte der Zielfunktion
5x1 + 4x2 an den Eckpunkten
stehen in folgender Tabelle:
0
(0|0)
(0|1)
4
(1|2)
13
(2|2)
18
(3|1, 5) 21
(4|0)
20
Als Optimum erhält man den Punkt
Dr. Karin Melzer
(3|1, 5)
mit dem Wert 21.
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Allgemein: Lineares Programm mit
I Bei
n
Variablen
n Variablen werden die zulässigen Bereiche durch
Hyperebenen im
Rn
begrenzt.
n Gleichungen.
n = 2: bei zwei Variablen sind die Ecken Lösungen
I Die Eckpunkte sind Lösungen von jeweils
(Spezialfall
von jeweils zwei Gleichungen.)
I Eine Lösungsstrategie ist es, die Zielwerte an allen Eckpunkten
zu berechnen.
I Da dieses Verfahren rasch zu aufwändig wird (je mehr
Variablen und je mehr Nebenbedingungen, desto mehr Ecken),
gibt es Verfahren, um das Aunden der richtigen Ecke zu
beschleunigen.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Beispiel: Lineares Programm mit drei Variablen
Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem:
Z = g (x1 , x2 , x3 ) = 45x1 + 36x2 + 20x3

−5x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 2 (1)




 10x1 − 11x2 + 3x3 ≥ 2 (2)
5x1
− x2 + 3x3 ≤ 22 (3)
B.


2x2
− x3 ≥ 1 (4)



−10x1 + 12x2 + 4x3 ≤ 21 (5)
Max.
u. d.
Bemerkung: durch Multiplikation mit
gewünscht in
≤
(−1)
kann das
Zielfunktion
≥
falls
umgewandelt werden.
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Beispiel: Lineares Programm mit drei Variablen Ecken
Eckpunkte:
x x x
I Das lineare Programm hat drei Variablen ( 1 , 2 , 3 ). Daher
ergeben sich die Eckpunkte des zulässigen Gebiets als
Schnittpunkt von
jeweils drei Ebenen.
I Bei fünf Nebenbedingungen ergeben sich 9 Kombinationen
(1/2/3, 1/2/4, 1/2/5, 1/3/4, 1/3/5, 1/4/5, 2/3/4, 2/3/5,
3/4/5) bzw. neun Ecken.
I Zu den Eckpunkten wird jeweils der Wert der Zielfunktion
berechnet.
I Die Lösung ist der Eckpunkt mit dem maximalen Wert.
Ecke
g (x1 , x2 , x3 )
Ecke
g (x1 , x2 , x3 )
P1 (1|1|1)
101
P4 (2, 5|2, 5|4)
282,5
P2 (4|4|2)
364
P5 (3, 5|3, 75|2, 75)
Dr. Karin Melzer
347,5
P3 (3|2|3)
267
P6 (1, 5|2|3)
199,5
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker
Zahlensysteme
Ungleichungen und Beträge
Lineare Optimierung
Problemstellung
graphische Lösung
verallgemeinerte Lösung
Beispiel: Lineares Programm mit drei Variablen Ecken
Beispiel für die Berechnung eines Schnittpunkts aus drei Ebenen:
−5x1 +
10x1
−
x
x
2 x2
4 2
11 2
+
+
−
x
x
x3
3 3
3 3
=
=
=
2
2
1
(1)
(2)
(4)
 
 

−5 4
3 2
−5 4 3 2
−5
4
3 2
 10 −11 3 2 ∼  0 −3 9 6 ∼  0 −1 3 2
0
2 −1 1
0
2 −1 1
0
0 5 5

=⇒ x3 = 1, x2 = 1, x1 = 1
Dr. Karin Melzer
Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker