Umlegung und Gleichgewicht

Gleichgewichte in Netzen
KW Axhausen
IVT
ETH
Zürich
Frühlingssemester 2017
Literaturhinweise
Schnabel / Lohse: Kapitel 10.14.7
Ortúzar / Willumsen: Kapitel 10.1 – 10.5, 11
Vrtic, M. (2005) Verkehrsverteilungsmodelle, Materialien zur
Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich
Vrtic, M. (2005) Best-Wege-Suche, Materialien zur Vorlesung
Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich
2
Heute
• Umlegung und Routenwahl
• Kürzeste Wege in Netzen
• Gleichgewichte in Netzen
• Umlegungsverfahren
• Unterrichtsbeispiel «Gotthard»: Ist-Situation
3
Umlegung und Routenwahl
Die Umlegung ist der letzte Schritt des „Vier-Stufen-Ansatzes“
Umlegung ist die Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten
auf die möglichen Routen zwischen diesen Orten unter
Einhaltung bestimmter Randbedingungen
Routenwahl ist die Modellierung der Wahl der Reisenden
zwischen den möglichen Routen zwischen zwei Orten
Ziel der Umlegung: Gleichgewicht in der Routenwahl
4
Beispiel: Zwei Strecken zwischen A und B
Annahme:
• Nachfrage ist bekannt und fest
Folgerung:
• Gleichgewicht heisst, dass der Nutzen beider
Alternativen gleich ist
5
Beispiel: Strecke 1
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
200
400
600
800
1000
Belastung auf Strecke 1
6
Beispiel: Strecke 1
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
200
400
600
800
1000
Belastung auf Strecke 1
7
Beispiel: Strecke 1
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
200
400
600
800
1000
Belastung auf Strecke 1
8
Beispiel: Strecke 1
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
200
400
600
800
1000
Belastung auf Strecke 1
9
Beispiel: Strecke 2
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
1000
800
600
400
200
0
Belastung auf Strecke 2
10
Beispiel: Strecke 2
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
1000
800
600
400
200
0
Belastung auf Strecke 2
11
Beispiel: Strecke 2
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
1000
800
600
400
200
0
Belastung auf Strecke 2
12
Beispiel: Strecke 2
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
1000
800
600
400
200
0
Belastung auf Strecke 2
13
Mittlere Fahrzeit
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
14
Mittlere Fahrzeit
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
15
Mittlere Fahrzeit
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
16
Mittlere Fahrzeit
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
17
Systemoptimum
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
18
Zum Nutzergleichgewicht
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
19
Nutzergleichgewicht > Systemoptimum
60
Fahrtzeit
45
30
15
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
800
200
1000
0
Belastung auf den Strecken
20
Umlegung: Aufgaben
Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten auf mögliche und
sinnvolle Routen:

• Identifikation der sinnvollen Routen, die die Orte verbinden.
• Festlegung des Verteilungsgrundsatzes für die
Nachfrageverteilung.
21
Kürzeste Wege in Netzen
22
Verkehrsnetze
Strecken – Beispiele:
• Wege
• Strassen
• Eisenbahnen
• Seilbahnen
• Wasserstrassen und Kanäle
• Luftstrassen
Knoten – Beispiele:
• Kreuzungen
• Parkierungsanlagen
• Bahnhöfe und Haltestellen
• Häfen
• Flughäfen
23
Logische Netze
Beschreibung von Netzen als N(k, s)
• Knoten (geographische Orte), i = 1, ... , k
• Strecken, j = 1, ...., s
• Anfangs- und Endknoten
• Richtung
• Länge
• Leistungsfähigkeit
• Zulässige Geschwindigkeit
• Technologie; v = fs(Verkehrsstärke)
24
Logische Netze: Beispiel
1
2
3
4
5
25
Logische Netze: Nachbarschaftsmatrix
Beschreibung der Verknüpfungen durch eine quadratische
Nachbarschaftsmatrix N[k, k], die angibt, ob es eine Verbindung
zwischen zwei Knoten gibt.
N[i,j] = 1, falls Verbindung vorhanden; sonst null
Beispiel:
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
26
Logische Netze: Bewertete Nachbarschaftsmatrix
Die bewertete Nachbarschaftsmatrix gibt an, wie gross die Kosten
auf den vorhandenen Strecken (für eine gegebene Belastung)
sind
Nb[i,j] = k‘s = fs(q‘s), sonst 
Beispiel k‘s = fs(0):
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5


2

4
1

1

2
4
3

3


4


1


5
3

27
Berechnung «kürzester Wege»
Vielzahl von Algorithmen; Annahme k‘s = konstant
Drei Grundklassen:
• Matrixverfahren (Beispiel Floyd)
• Verfahren mit eingeschränkten Kandidatenlisten (Beispiel
Dijkstra)
• Verfahren mit offenen Kandidatenlisten (Beispiel Moore)
Unterschiede in Speicherplatz, Rechenzeit, Komplexität des Kodes
28
Algorithmus von Dijkstra (1)
Grundidee: Schrittweiser Aufbau des Baums der kürzesten Wege
vom Startknoten aus zu allen anderen Knoten
Initialisierung:
1) Setze Startknoten a fest
2) Konstruiere Streckenliste S[s,3] mit S[i,1] = Startknoten, S[i,2] =
Endknoten, S[i, 3] = k‘S[i,1],S[i,2]
3) Initialisiere Matrix mit Wegekosten W[k,2] mit W[k,1] = 
(Kosten) und W[k,2] = 0 (Status: 0 = unbekannt, 1 = auf
kürzestem Weg erreicht)
4) Setze W[a,1] = 0 und W[a,2] = 1 (da Startknoten)
5) Setze i = 0
6) wi = a (Basisknoten)
29
Algorithmus von Dijkstra (2)
Berechnung:
Bis alle W[n,2] = 1
1) Für alle Knoten j, die von wi aus direkt erreichbar sind, und
für die W[j,2] = 0: W[j,1] = min(W[j,1],W[wi,1] + k‘wi,j)
2) Unter allen Knoten n, für die gilt W[n,2] = 0, suche den
Knoten m mit dem minimalen W[m,1]
3) Setze W[m,2] = 1 (auf kürzestem Weg erreicht)
4) wi = m
5) Gehe zu Schritt 1)
30
Beispiel Dijkstra (Initialisierung)
1
w0
=
W[]
1
2
3
4
5
2
1
1
0




2
1
0
0
0
0
3
4
5
31
Beispiel Dijkstra (Schritt 1.1)
1
w0
=
1
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
5


2
1
0
0
0
0
2
1
3
4
5
32
Beispiel Dijkstra (Schritt 1.2)
1
w0
=
1
4
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4


2
1
1
0
0
0
2
1
3
4
5
w1 =
2
33
Beispiel Dijkstra (Schritt 2.1)
1
w1
=
2
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4
5

2
1
1
0
0
0
2
1
3
3
4
4
5
34
Beispiel Dijkstra (Schritt 2.2)
1
w1
=
2
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4
5

2
1
1
1
0
0
2
1
3
3
4
4
5
w3 =
3
35
Beispiel Dijkstra (Schritt 3.1)
1
w2
=
3
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4
5
9
2
1
1
1
0
0
2
1
3
3
4
4
5
5
36
Beispiel Dijkstra (Schritt 3.2)
1
w2
=
3
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4
5
9
2
1
1
1
1
0
2
1
3
3
4
4
5
5
w3 =
4
37
Beispiel Dijkstra (Schritt 4.1)
1
w3
=
4
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4
5
8
2
1
1
1
1
0
2
1
3
3
4
4
5
3
5
38
Beispiel Dijkstra (Schritt 4.2)
1
w3
=
4
5
W[]
1
2
3
4
5
1
0
1
4
5
8
2
1
1
1
1
1
2
1
3
3
4
4
5
3
5
39
Vor- und Nachteile Dijkstra
Vorteile:
• Geringer Speicherplatzbedarf ( s)
• Kürzere Rechenzeiten ( k²)
Nachteil:
• Komplexer Kode
40
Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr (Hypernetze)
Die Suche nach kürzesten Wege muss berücksichtigen:
• Haltestellen ersetzen Knoten
• Unterschied zwischen Bedienung, Linie und Fahrplan
• Unterschiedliche Gewichtung der verschiedenen Elemente
der Kosten, zum Beispiel:
• Umsteigen
• Umsteigezeit
• Wartezeit
• Preise
• Komfort
 Mehrere „kürzeste“ Wege je nach Kriterium
41
Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr
Ebene Bedienung:
•
•
•
•
Abbildung der Bedienung einer Strecke mit dem ÖV
Durchschnittliche und konstante Fahrtzeit für alle Angebote
Wartezeit ist gleich für alle Angebote
Keine weiteren Differenzierungen
Hilfsstrecken zur Abbildung der
durchschnittlichen Wartezeit
42
Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr
Ebene Linie:
• Trennung der Linien
• Mittlere Wartezeiten und Umsteigezeiten können dargestellt
werden
Umsteigezeiten als Strecken
43
Kürzeste Wege im öffentlichen Verkehr
Ebene Fahrplan:
• Verknüpfung mit zeitscheibenfeinen Nachfragematrizen
• Genauere Abbildung der Wartezeiten
• Genaue Abbildung der Umsteigezeiten
• Wiederholte Abbildung „Linie“ für jeden Kurs
44
Bemerkung: Lokalisierung der Nachfrage
Um die Nachfrage in Zonen zu lokalisieren, werden oft zusätzliche
Strecken- und Knotentypen eingeführt:
• Zonenschwerpunkte als geographischer Ort der
Nachfrageentstehung oder Anziehung
• Zonenanbindung als Verknüpfung zwischen Schwerpunkt
und Netz:
• Fixe oder variable Anteile und konstante Kosten auf der
Anbindung
• Variable Anteile und belastungsabhängige Kosten
45
Gleichgewichte in Netzen
46
Wahl Verteilungsgrundsatz
Systemoptimum:
• Minimale Gesamtnutzerkosten
Nutzergleichgewicht:
• Alle verwendeten Alternativen eines Quell-Ziel-Paars haben
die selben generalisieren Kosten (negativer Nutzen), die
nicht genutzten Alternativen haben höhere.
• (In der mathematischen Umsetzung gilt das im Rahmen der
numerischen Genauigkeit der Berechnungen, respektive der
gewählten Toleranzen.)
47
Verteilungsgrundsatz: Systemoptimum (SO)
Die Gesamtreisezeit (Summe der generalisierten Kosten) ist
minimal.
das heisst:
k‘rm = k‘rijm(q‘rijm) + q‘rijm * [k‘rijm(q‘rijm)  q‘rijm],
für alle r zwischen allen i,j mit q‘rijm > 0
48
Systemoptimum: zum Beispiel zwei Strecken
40
Fahrtzeit [min]
30
20
Systemoptimum (SO)
10
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
Belastung auf den Strecken
800
200
1000
0
49
Verteilungsgrundsatz: Wardrop’s Nutzergleichgewicht
Alle Wege, die zwischen einem Quell-Ziel-Paar benutzt werden,
haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten).
Alle nicht benutzten Wege haben eine höhere Reisezeit
(generalisierte Kosten).
k‘ijm = k‘rijm(q‘rijm), für alle Routen r zwischen i und j mit q‘rijm > 0;
für alle i, j
Wardrop (1952)
Das heisst:
• Routen sind „kürzeste“ (kosten-minimale) Routen
50
Wardrop’s Nutzergleichgewicht: z.B. Zwei Strecken
40
Fahrtzeit [min]
30
20
SO
Nutzergleichgewicht (UE)
10
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
Belastung auf den Strecken
800
200
1000
0
51
Verteilungsgrundsatz: Stochastisches
Nutzergleichgewicht
Der Anteil jeder Route zwischen Zonen i und j entspricht der
Wahrscheinlichkeit mit der diese von den Nutzern als die beste
betrachtet wird, d.h. unter Berücksichtigung der nicht direkt
messbaren Nutzenkomponenten.
q‘rijm = q‘ijm * P(r) , für alle r, i und j
P(r) = f(k‘rijm(q rijm)) wird mit einem geeigneten Modell berechnet.
Maher (2001)
Die Reisezeiten auf den Routen müssen nicht gleich sein.
52
Stochastisches Nutzergleichgewicht: z.B. Zwei
Strecken
40
Fahrtzeit [min]
30
20
Stochastisches Nutzergleichgewicht (SUE)
SO
10
UE
0
0
1000
200
800
400
600
600
400
Belastung auf den Strecken
800
200
1000
0
53
Beispiel: Nutzergleichgewicht (DUE)
54
Beispiel: DUE [ nach Distanzklassen]
rot = < 50 km
blau=50-100 km
grün= >100 km
55
Beispiel: Differenz SUE-DUE
grün= mehr; rot= weniger
56
Beispiel: Differenz SO-DUE
grün= mehr; rot= weniger
57
«The Price of Anarchy»
«The Price of Anarchy» (PoA)
ist die systemweite zusätzliche Reisezeit, die im schlechtesten
Nutzergleichgewicht im Vergleich zum Systemoptimum anfällt.
Roughgarden (2003)
PoA = UE-SO
UE
SO
Es kann gezeigt werden (Roughgarden, 2003), dass das PoAVerhältnis von UE zu SO von den Verhältnissen zwischen Fluss
und Reisezeit auf den einzelnen Strecken
(Widerstandsfunktionen) abhängt.
Bsp.:
Lineare Verhältnisse -> PoA = 4/3
Quadratische Verhältnisse -> PoA = 1.626
58
Zusammenfassung Verteilungsgrundsätze
Routenwahrnehmung
Kriterium
Konsistente
Lösung
Ohne Fehler
(objektiv)
Nutzerkosten
Nutzergleichgewicht (DUE)
Soziale Kosten Systemoptimum (SO)
Mit Fehler
(subjektiv)
Nutzerkosten
Stochastisches Nutzergleichgewicht
(SUE) (für gegebenen Satz an
Routen und das verwendete
Entscheidungsmodell)
59
Umlegungsverfahren
60
Verteilung der Nachfrage
Alle Verfahren sollten auf einem Modell des Routenwahlverhaltens
der Reisenden aufbauen
• Explizit durch Verwendung eines Entscheidungsmodells
• Implizit durch eine Zielfunktion, die eine Verhaltensregel
abbildet, zum Beispiel Wardrop‘s Gleichgewicht als
Ausdruck der Nutzenmaximierung
61
Verfahren: „Alles oder Nichts“ - Umlegung
Berechnung:
1)
2)
Berechne die kürzesten Wege zwischen allen i und j
Ermittle die Streckenbelastung als:
q'sm =  q ' rijm  rs
 i, j
 rs =
0, falls s nicht Teil von r
1, sonst
62
Verfahren: UE mit Method of Successive Averages (MSA)
Initialisierung: Zuordnen der Verkehrsströme auf kürzeste Wege
bei unbelastetem Netz («alles oder nichts») und neue Fahrtzeiten
bestimmen.
Iteration bis Abbruchkriterium erfüllt ist:
• Berechnung der kürzesten Wege
• Hilfsflüsse = alle Verkehrsströme auf kürzeste Wegen
• Zuordnung der Verkehrsströme mit:
• Fneu = (1-Φ) * Falt + Φ * Hilfsflüsse
• Berechnen der neuen Reisezeiten auf Grund Belastung
Φ:
F:
nach Bedarf gewählter Parameter: 0 < Φ < 1
zu berechnender Verkehrsstrom auf Strecke
63
Verfahren: Nutzergleichgewicht mit Frank-Wolfe
Vorteil: Legt Umverteilungsfaktor (hier ) optimal fest.
Berechnung nach Initialisierung:
1) Erhöhe Iterationszähler: n = n + 1
2) «alles oder nichts»-Umlegung mit k‘sn ergibt Hilfsflüsse ysn
3) Löse für :
n
n
n
min

Beckmann et al. (1956)
0   1  s
q 's +  ( y s - q 's )

k 's (  ) d
0
4) Neue Belastungen: q‘sn+1 = q‘sn +  (y‘sn - q‘sn)
5) Neue Reisezeiten: k‘sn = k‘sn (q‘sn-1)
6) Zurück zu 1), falls nicht: s | q‘sn+1 - q‘sn |  
64
Reisezeitenberechnung: Widerstandsfunktionen
Widerstandsfunktionen:
• Dienen der Abbildung der Technologie der Strecke
• Repräsentieren Zusammenhang zwischen Belastung und
generalisierten Kosten (Fahrtzeit) auf einer Strecke
• Bei statischen Modellen ist es notwendig, die stochastischen
Schwankungen der Nachfrage innerhalb der Umlegungsperiode
zu berücksichtigen
65
Harte Widerstandsfunktionen
Widerstandsfunktionen mit
harter Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, z.B. Davidson:
qi
)
t i = t 0i (1 + J
Li - q i
t0i: Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke
Li: Leistungsfähigkeit
J: Parameter
q: Verkehrsfluss, Belastung
66
Weiche Widerstandsfunktionen
Widerstandsfunktionen mit
weicher Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, z.B. Bureau
of Public Roads (BPR-Funktion):

 qi 
t i = t 0i (1 +    )
 Li 
t0i: Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke
Li: Leistungsfähigkeit
,: Parameter
q: Verkehrsfluss, Belastung
67
Vergleich harte und weiche Widerstandsfunktion
100
BPR; alpha=0.7, beta=5
Davidson; J=0.07
Leistungsfähigkeit
Fahrtzeit [min]
75
50
25
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1'000
Verkehrsfluss [Fz/h]
68
Umlegung des ÖVs
Grundsätzlich: Obige Verfahren angewandt auf Hypernetze
Hauptproblematik: «Common Lines Problem»
Für die gleiche Strecke bestehen mehrere ÖVAlternativen (inkl. Umsteigen), welche nehmen?
Ortuzar-Willumsen, S.373ff
- Fahrplanbasiertes Angebot mit pünktlichem Dienst
=> Eine klare, beste Route im Hypernetz, d.h.
analog MIV-Umlegung
- Frequenzbasiertes Angebot und/oder unpünktliche
Dienste (weltweit Regelfall)
=> Keine klare, beste Route mehr, sondern
Verhaltensstrategien
Beispiel für Verhaltensstrategie: Wenn Linie A zuerst kommt, dann
in XY Umsteigen auf Linie Z; wenn Linie B zuerst, dann …
69
Umlegung des ÖVs – Vorgehen
Ortuzar-Willumsen, S.373ff, Spiess und Florian (1989)
Umlegung der Nachfrage von Zone A nach Zone B:
1. Identifikation verschiedener, möglicher Verhaltensstrategien
2. Verteilung der Nachfrage auf Verhaltensstrategien nach
Abfahrtsfrequenzen Strategien (Spiess und Florian (1989))
• Annahme: Strategien, die alle x Minuten funktionieren,
werden öfter gewählt als Strategien, die nur alle y > x
Minuten funktionieren.
Hinweise:
• Abbildung der zum Teil sehr komplexen Bezahlsysteme
(Zonen, Zeitkarten etc.) schwierig
• Berücksichtigung von Überlastungen in ÖV-Fahrzeugen
komplex, da nur sehr beschränkte Auswirkungen auf
Reisezeiten
70
Schwächen der obigen Umlegungsverfahren
• Abstraktion der Verkehrsinfrastruktur in Strecken und Knoten
• Kostenberechnung kann nicht alle Aspekte abdecken
• Kostenwahrnehmung nicht uniform in der Bevölkerung
(teilweise abgedeckt durch SUE)
Ortuzar-Willumsen, S.381ff
• Annahme perfekter Information über Verkehrssituation
• Vernachlässigung von Tag-zu-Tag Variationen im
Verkehrsaufkommen
• Widerstandsfunktionen bilden Fluss-Reisezeit-Verhältnis
abstrahiert ab
• Dynamik des Verkehrs wird nicht abgebildet
• Fehlerhafter Input
71
Dynamische Umlegung
Statische Umlegung (obige, klassische Umlegungsverfahren):
• Modellierung der durchschnittlichen Belastung über längere
Zeiträume:
• Spitzenstunden (1h, 2h oder 4h)
• Tag
Dynamische Umlegung:
• Modellierung der Belastungen in kurzen Intervallen
(Sekunden bis Minuten) mit Berücksichtigung der
Wechselwirkungen zwischen den Intervallen
(Warteschlangen)
72
Verfahren Dynamische Umlegung
Detaillierte Abbildung von räumlich-zeitlichen Wechselwirkungen
für grössere Netze ist ein extrem komplexes Problem:
• Fluss auf Strecke hängt nicht nur von Verkehrsaufkommen
auf Strecke ab (Annahme bei Widerstandsfunktionen),
sondern auch von Verkehrsaufkommen auf Strecken flussabwärts und von Kreuzungsdynamiken vor und nach Strecke
• Verkehrsaufkommen auf Strecke hängt über Routenwahlen
von Verkehrssituation in gesamtem Netzwerk ab
• Lichtsignale und Fahrverhalten führen zu Wellenmustern im
Verkehr
Analytische Lösung nicht möglich.
=> Approximation der Lösung mit iterativen Simulationen
73
Dynamische Umlegung mit Simulationen
Beispiel Verkehrssimulation MATSim
Zeitliche Auflösung 1 Sekunde
=> Zeitliche Dynamik des Verkehrs erfasst
Strecken als Warteschlangen von Autos simuliert
Wenn Warteschlange voll, keine neuen Autos mehr auf Strecke
=> Rückstau auf Strecken flussaufwärts
=> Räumliche Dynamik und Wechselwirkungen
74
Unterrichtsbeispiel Gotthard
75
Nationales Verkehrsmodell Schweiz
Modell nach Umlegung und Kalibrierung
76
Verkehrsspinne Gotthard
Basel
Zürich
Luzern
Altdorf
Bellinzona
Quelle: Nationales Personenverkehrsmodell 2010 (UVEK)
Chiasso
77
Wer nutzt den Gotthard?
• täglich 8’750 Fahrzeuge
pro Richtung
Basel
• davon 2’400 Last- und
Lieferwagen
• überregionale
Verbindungsfunktion
(66% Durchgangsverkehr
Korridor Altdorf-Bellinzona)
Zürich
Luzern
Altdorf
• 40% der Last- und
Lieferwagen mit Fahrtziel
in Italien
Quellen: Nationales Personenverkehrsmodell 2010 (UVEK),
Schweizerische automatische Strassenverkehrszählung 2013 (ASTRA)
Bellinzona
Chiasso
78
Verkehrsstärken nicht uniform verteilt: Jahresganglinie 2013
Quelle: Schweizerische automatische Strassenverkehrszählung 2013 (ASTRA)
79
Verkehrsstärken nicht uniform verteilt: Tagesganglinie 2013
Quelle: Schweizerische automatische Strassenverkehrszählung 2013 (ASTRA)
80
Zusammenfassung
• Kürzeste Wege:
Dijkstra-Algorithmus
• Gleichgewichte:
Nutzergleichgewicht vs. Systemoptimum
• Umlegungsverfahren:
• «alles oder nichts»-Umlegung
• Method of Successive Averages
• Umlegung von ÖV, Hypernetze
• Widerstandsfunktionen:
BPR vs. Davidson
81
Literaturhinweise Vorlesung 3 (nächste Vorlesung)
Schnabel / Lohse: Kapitel 9
Ortúzar / Willumsen: Kapitel 3.5
82
Quellen
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Beckmann, M.J., C.B. McGuire und C.B. Winsten (1956) Studies in the
Economics of Transportation, Yale University Press, New Haven.
Maher M. (2001) Stochastic user equilibrium assignment with elastic demand,
Traffic Engineering & Control, 42 (5), 163-167.
Ortuzar, J. de D. und L.G. Willumsen (2011) Modelling Transport, 4th edition,
Wiley, Chichester
Roughgarden, T. (2003) The price of anarchy is independent of the network
topology, Journal of Computer and System Sciences, 67 (2), 341-364.
Sheffi, Y. (1985) Urban Transportation Networks, Prentice-Hall, Inglewood.
Spiess, H. und M. Florian (1989) Optimal strategies: a new assignment model
for transit networks, Transportation Research, 23B, 82-102.
Wardrop, J.G. (1952) Some theoretical aspects of road traffic research,
Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 2 (1), 325-378.
83