Vordiplomskurs Mathematik - Formelsammlung

Vordiplomskurs Mathematik - Formelsammlung
Thomas Kathriner
Mathematik I & II
BeW + S, BIOL-B, PHARM
ETH Zürich
Sommer 2007
BeW + S, BIOL-B, PHARM
Mathematik I & II VDK
Thomas Kathriner
[email protected]
Sommer 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Rechenregeln
1.1 Exponentialfunktion
1.2 Logarithmus . . . . .
1.3 Betrag . . . . . . . .
1.4 Grenzwerte . . . . .
1.5 Komplexe Zahlen . .
1.6 Trigonometrie . . . .
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2
2
2
2
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2
3
2 Kurvendiskussion
2.1 Definitions- und Wertebereich . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Symmetrie (gerade, ungerade oder weder noch?) . . .
2.3 Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, Terrassenpunkte
2.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Asymptoten für t → ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
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4
4
4
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4
4
5
5
5
6
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3 Summen
3.1 Arithmetische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Cauchy-Riemann Summen, Integrale . . . . . . . . . . .
3.4 Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Taylorreihe, Taylorpolynom, Potenzreihe, Linearisierung
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4 Funktionen mehrerer Variablen
4.1 Taylorapproximation, Linearisierung . . . . . . . . . . .
4.2 Operatoren: Gradient, Divergenz, Rotation. Niveaulinien
4.3 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Lokale Minima und Maxima . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Globale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
7
7
7
7
5 Mehrdimensionale Integrale: 2d
5.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . .
5.2 Tangentialvektor, Normalenvektor
5.3 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Länge der Kurve . . . . . . . . . .
5.5 Fluss, Satz von Gauss . . . . . . .
6 Mehrdimensionale Integrale: 3d
6.1 Parametrisierung einer Kurve γ
6.2 Arbeit, Linienintegral, Satz von
6.3 Länge der Kurve . . . . . . . .
6.4 Fluss, Satz von Gauss . . . . .
6.5 Gradientenfelder, Potentiale . .
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8
8
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9
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Stokes
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9
9
10
10
10
10
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7 Lineare Algebra
11
7.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.2 Diagonalisieren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.3 Systeme partieller Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Trigonometrische Werte
12
1
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Rechenregeln
1.1
Exponentialfunktion
e ≈ 2.718. Manchmal ist es nützlich, x(t) = et als Reihe zu schreiben:
t
e =
∞ k
X
t
k=0
1.2
(1)
k!
Logarithmus
Definition:
bx = a
⇔
logb a = x.
Speziell:
log10 a =: log a, loge a =: ln a.
• logb (uv ) = v logb u
u
v
• logb (u · v) = logb u + logb v, logb
• ax = ea ln x
• Basiswechsel: logb a =
1.3
log a
log b
=
ln a
ln b
= logb u − logb v
=
für ein beliebiges c > 0
logc a
logc b
Betrag
• |x| ≥ 0 für alle möglichen x ∈ C. |x| = 0 genau dann, wenn x = 0.
• |x · y| = |x| · |y|
• Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y|
P
P
• Aus der letzen Ungleichung folgt nk=1 ak ≤ nk=1 |ak |
• Ableitung des Betrages:
d
|x(t)| = sgn(x(t)) · x0 (t),
dt
1.4
wobei sgn(u) :=
(
1,
u>0
−1, u < 0
(2)
Grenzwerte
Hast du bei einem Grenzwert die Situation ” 00 “ oder ” ∞
∞ “, dann musst du Zähler und Nenner
ableiten, um ein vernünftiges Resultat zu erhalten:
f (t)
f 0 (t)
= lim 0 .
t→a g(t)
t→a g (t)
lim
1.5
(3)
Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl z ∈ C kann auf 2 Arten geschrieben werden:
z = a + ib = reiϕ ,
2
mit a, b, r, ϕ ∈ R
wobei i = −1
(4)
a =: Re(z) ist der Realteil, b =: Im(z) der Imaginärteil von z. z konjugiert komplex ist
z̄ = a − ib. Es gilt
p
a = r cos(ϕ)
|z| := r = a2 + b2
(5)
b
b = r sin(ϕ)
arg(z) := ϕ = tan−1
a
2
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Formel von Euler: Für t ∈ R ist
eit = cos(t) + i sin(t).
Daraus folgt
cos(t) =
1 it
e + e−it
2
und
sin(t) =
(6)
1 it
e − e−it .
2i
(7)
Fundamentalsatz der Algebra: Ein (reelles) Polynom n-ten Grades Pn (t) = an tn +an−1 tn−1 +
. . . + a1 t + a0 hat genau n (eventuell mehrfache) Nullstellen zk ∈ C :
Pn (t) = an (t − z1 )(t − z2 ) . . . (t − zn ).
1.6
(8)
Trigonometrie
y
P (x, y)
b
r
x
y
b
α α
y
b
x
x
Zeichne einen Kreis mit Radius r um den Ursprung. Wähle
dann einen beliebigen Punkt P (x, y) auf der Kreislinie. Fälle
das Lot auf die x-Achse und verbinde P mit dem Ursprung.
Der Winkel α wird durch die positive x-Achse und diese Verbindungslinie aufgespannt. Die trigonometrischen Funktionen
sind dann so definiert:
y
r
y
tan(α) :=
x
sin(α) :=
r
b
P (x, y)
2
x
r
x
cot(α) := .
y
cos(α) :=
(9)
(10)
Kurvendiskussion
Ziel einer Kurvendiskussion ist es eigentlich, eine Funktion x(t) zeichnen zu können.
2.1
Definitions- und Wertebereich
• Definitionsbereich D: Welche reellen Zahlen darfst du nicht in die Funktion einsetzen?
Beispielsweise darfst du nicht durch 0 teilen oder etwas negatives unter einer Wurzel bekommen. Wenn z.B. die Zahl a verboten ist, dann ist D = R/{a}.
• Wertebereich W: Welche Werte kann deine Funktion annehmen? Dazu benötigst du ein
Bild der Funktion, gezeichnet mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkten, Polstellen und Asymptoten für t → ±∞.
2.2
Symmetrie (gerade, ungerade oder weder noch?)
Du hast 2 Möglichkeiten, die Symmetrie einer Funktion x(t) zubestimmen:
1. Zeichnerisch: Ist das Bild von x(t) spiegelsymmetrisch bezüglich der senkrechten Achse, so
ist x(t) gerade. Ist x(t) punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunktes, so ist sie ungerade.
Ansonsten hat x(t) keine Symmetrie.
2. Rechnerisch: Berechne x(−t) = . . . Ist x(−t) = x(t), so ist x(t) gerade. Ist x(−t) = −x(t),
so ist x(t) ungerade. Ansonsten ist x(t) weder noch.
3
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2.3
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Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, Terrassenpunkte
Eine Funktion x(t) kann ganz spezielle Punkte P(t0 , x(t0 )) haben. Berechne dazu die Nullstellen
von x0 (t) und eventuell von x00 (t).
• Hochpunkte: x0 (t0 ) = 0. Zusätzlich x00 (t0 ) < 0 oder x0 (t) > 0 ganz wenig links und
x0 (t) < 0 ganz wenig rechts der betreffenden Stelle.
• Tiefpunkte: x0 (t0 ) = 0. Zusätzlich x00 (t0 ) > 0 oder x0 (t) < 0 ganz wenig links und x0 (t) > 0
ganz wenig rechts der betreffenden Stelle.
• Wendepunkte: x00 (t0 ) = 0 und x0 (t0 ) 6= 0.
• Terrassenpunkte: x00 (t0 ) = 0 und x0 (t0 ) = 0.
Allgemein ist die erste Ableitung x0 (t) gleich der Steigung der Kurve x(t) an der Stelle t. Die
zweite Ableitung x00 (t) ist die Krümmung von x(t) an der Stelle t.
2.4
Monotonie
Mit den kritischen Stellen x0 (t0 ) = 0 kannst du sofort Aussagen über die Monotonie von x(t)
machen. Zwischen zwei verschiedenen Stellen a und b mit x0 (a) = x0 (b) = 0 ist die Kurve von
x(t) streng monoton steigend/fallend, wenn dazwischen keine andere Nullstelle der Ableitung
ist. Zeichne!
2.5
Polstellen
Diejenigen t0 , wo du in der Funktion x(t) durch 0 teilen würdest, verursachen Polstellen. x(t)
”schiesst“ dann ganz nah bei t0 entweder gegen +∞ oder gegen −∞. Wenig links und rechts von
t0 musst du dir jeweils überlegen, ob x(t) positiv oder negativ ist.
2.6
Asymptoten für t → ±∞
3
2
−t+1
, machst du eine
• Bei rationalen Funktionen, also Funktionen der Art x(t) = t +2t
2t2 −1
Polynomdivision bis die höchste Potenz im Zähler um eins kleiner ist als die höchste Potenz
. Dann ist 12 t + 1 das asymptotische Verhalten von
im Nenner. Hier: x(t) = 21 t + 1 + −0.5t+2
2t2 −1
x(t) für t → ±∞.
• Bei trigonometrischen Funktionen musst du aufpassen. Beispielsweise kann sin(t) für
t → ∞ jeden beliebigen Wert zwischen -1 und 1 annehmen (Einheitskreis!). Also ist
limt→∞ sin(t) nicht definiert.
• Versuche ansonsten direkt limt→±∞ x(t) zu berechnen. ±∞ ist jeweils nicht die Lösung,
gesucht ist vielmehr der Term, der x(t) bei t → ±∞ dominiert.
3
Summen
3.1
Arithmetische Folge
Eine Folge ak von Zahlen ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenz d := ak+1 − ak zweier
benachbarter Glieder konstant ist für jedes beliebige k (z.B.: 2, 6, 10, 14, . . . ). Dann gilt:
• ak+1 = ak + d,
• ak = a1 + (k − 1)d,
(rekursive Definition einer arithmetischen Folge)
(explizite Definition)
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Pn
a1 +an
•
k=1 ak = a1 + a2 + . . . + an = n ·
2
P∞
•
k=1 ak = ∞
3.2
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Geometrische Folge
Eine Folge ak von Zahlen ist eine geometrische Folge, wenn der Quotient q :=
benachbarter Glieder konstant ist für jedes beliebige k (z.B.: 2, 6, 18, 54, . . . ).
• ak+1 = qak ,
3.3
P∞
k=1 ak
zweier
(rekursive Definition)
• ak = a1 q k−1 ,
(explizite Definition)
Pn
Pn
1−q n
k
•
k=1 ak = a1 + a2 + . . . + an = a1 1−q . Oder
k=0 q =
•
ak+1
ak
1
= a1 1−q
, wenn |q| < 1 aber
P∞
k=1 ak
1−q n+1
1−q .
= ∞ wenn |q| ≥ 1.
Cauchy-Riemann Summen, Integrale
Die Fläche A unter dem Graphen einer Funktion f (x) zwischen den Stellen x = a und x = b
ist gegeben durch die Cauchy-Riemann Summe
Z b
n−1 X
b−a b−a
f (x) dx.
=:
A = lim
f a+k·
n→∞
n
n
a
(11)
k=0
Dies ist gerade die Definition des Integrals von f (x) zwischen a und b.
3.4
Fourierreihe
Eine Funktion x(t), die T -periodisch ist, lässt sich als eine Summe von verschiedenen Cosinus
und Sinus Funktionen schreiben:
∞ a0 X
2πk
2πk
x(t) =
+
t + bk sin
t
(12)
ak cos
2
T
T
k=1
Du musst nur die ak und bk berechnen. Vorgehen:
1. Bestimme, ob x(t) gerade oder ungerade ist oder aber keine Symmetrie hat.
• x(t) ist gerade ⇒ Alle bk = 0.
• x(t) ist ungerade ⇒ Alle ak = 0, inklusive a0 = 0.
• x(t) hat keine Symmetrie ⇒ Du musst leider ak und bk berechnen.
2. Berechne die verbleibenden Fourierkoeffizienten, die nicht Null sind, mit diesen Formeln:
2πk
t dt.
T
T
T
T
(13)
R
Periode T integrierst. Wenn eine Periode zwischen
T bedeutet, dass du über eine einzige
R2
−3 und 2 liegt, wird also daraus −3 und du setzt überall T = 5 – die Länge der Periode –
ein. Benutze Symmetrien bei der Berechnung der Integrale (Cosinus ist gerade, Sinus ist
ungerade)!
a0 =
2
T
Z
x(t) dt,
ak =
2
T
Z
x(t) cos
5
2πk
t dt,
T
bk =
2
T
Z
x(t) sin
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3. Benutze den Einheitskreis! Beispiel:
cos(kπ) = (−1)k .
sin(kπ) = 0,
(14)
Wenn du diese Beziehungen einsetzt, können ak oder bk Null werden für alle geraden/ungeraden k.
Beispiel:
1
2a (−1)k
0,
k gerade
−
ak =
=
(15)
−4a
,
k
ungerade
kπ
k
k
2
k π
4. Du hast die Fourierreihe von x(t) berechnet – sie ist gleich (12) oben!
5. Beseitige allfällige Klammern wie in (15). Du musst ”k gerade“ und ”k ungerade“ anders
aufschreiben. Es gilt:
• k gerade ⇔ k = 2n für ein n ∈ N0
• k ungerade ⇔ k = 2n + 1 für ein n ∈ N0
Achtung bei den Grenzen der Summe! Beispiel von oben:
∞
∞
−4a
aπ X
aπ X
0,
k gerade
cos(kt) ·
+
+
cos([2n + 1]t) (16)
=
x(t) =
−4a
, k ungerade
2
2
(2n + 1)2 π
k2 π
n=0
k=1
3.5
Taylorreihe, Taylorpolynom, Potenzreihe, Linearisierung
Eine (fast) beliebige Funktion x(t) kann durch eine Potenzreihe – die sogenannte Taylorreihe –
ausgedrückt werden. Man sagt, dass man x(t) um eine beliebige Stelle t0 entwickelt. Dann gilt
#
" ∞
X x(k) (t0 )
x00 (t0 )
x0 (t0 )
(17)
(t − t0 ) +
(t − t0 )2 + . . . =
(t − t0 )k .
x(t) = x(t0 ) +
1!
2!
k!
k=0
x(k) (t
ist die k-te Ableitung von x(t) an der Stelle t0 ausgewertet (x(0) (t0 ) = x(t0 ) und 0! = 1).
Beim Taylorpolynom n-ten Grades Pn (t) bricht man die Summe bei n ab. Pn (t) ist dann nur
noch eine Approximation von x(t) in der Nähe von t0 . Je grösser n und je näher t bei t0 ,
desto besser die Approximation.
"
#
n
(k) (t )
(n) (t )
X
x
x00 (t0 )
x
x0 (t0 )
0
0
(t−t0 )+
(t−t0 )2 +. . .+
(t−t0 )n =
(t − t0 )k .
x(t) ≈ Pn (t) = x(t0 )+
1!
2!
n!
k!
k=0
(18)
Wählt man die Approximation n = 1 so spricht man von einer Linearisierung `(t) von x(t) um
die Stelle t0 :
x(t) ≈ `(t) = x(t0 ) + x0 (t0 )(t − t0 ).
(19)
0)
Du hast wahrscheinlich höchstens mit einem P2 (t) zu tun:
x(t) ≈ P2 (t) = x(t0 ) + x0 (t0 )(t − t0 ) +
4
4.1
x00 (t0 )
(t − t0 )2 .
2
(20)
Funktionen mehrerer Variablen
Taylorapproximation, Linearisierung
Analog zur 1d Taylor Approximation kann man eine Funktion f (x, y) um eine Stelle (x0 , y0 )
annähern. Die Approximation ist umso genauer, je näher (x, y) an (x0 , y0 ) liegt. Die Linearisierung ist
f (x, y) ≈ `(x, y) = f (x0 , y0 ) +
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
(x − x0 ) +
(y − y0 ).
∂x
∂y
6
(21)
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Das Taylorpolynom 2. Grades ist
f (x, y) ≈ P2 (x, y) = f (x0 , y0 ) +
4.2
∂f (x0 , y0 )
1 ∂ 2 f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
(x − x0 ) +
(y − y0 ) +
(x − x0 )2
∂x
∂y
2
∂x2
1 ∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
2
+
(x − x0 )(y − y0 ).
(y
−
y
)
+
0
2
∂y 2
∂x∂y
(22)
Operatoren: Gradient, Divergenz, Rotation. Niveaulinien
∂
∂
∂ T
Mit der ∇ := ( ∂x
, ∂y
, ∂z
) (Nabla) Schreibweise definiert man folgende Operationen auf die
~ (x, y, z):
skalare Funktion f (x, y, z) und die vektorielle Funktion F
Gradient:
Divergenz:
Rotation:
∂f ∂f ∂f T
,
,
∂x ∂y ∂z
∂F2 ∂F3
∂F1
+
+
div(F~ ) ≡ ∇ · F~ :=
∂x
∂y
∂z


∂F3
∂F2
− ∂z
 ∂y1 ∂F
3 
rot(F~ ) ≡ ∇ × F~ :=  ∂F
∂z − ∂x 
∂F1
∂F2
∂x − ∂y
grad(f ) ≡ ∇f :=
(23)
∇f (~x) ist ein Vektor und zeigt in Richtung der maximalen Änderung von f im Punkt ~x. ∇f (~x)
steht senkrecht auf den Niveaulinien, die durch ~x gehen. (Die Niveaulinie zum Wert c ist die
Lösungskurve der Gleichung f (x, y) = c.)
4.3
Richtungsableitung
Die Richtungsableitung einer Funktion f (x, y) in Richtung eines Vektors ~v an der Stelle (x0 , y0 )
ist
~v
∇f (x0 , y0 ) ·
.
(24)
|~v |
4.4
Lokale Minima und Maxima
Für die lokalen Extremas Pk (xk , yk ) einer Funktion f (x, y) muss der Gradient 0 sein:
∇f (xk , yk ) = 0.
(25)
Zur Unterscheidung zwischen Maxima, Minima und Sattelpunkten:
∂2f
(xk , yk )
∂x2
Pk (xk , yk ) lokales Maximum
Pk (xk , yk ) lokales Minimum
Pk (xk , yk ) Sattelpunkt
4.5
2
∂2f
(xk , yk ) · ∂∂yf2 (xk , yk )
∂x2
<0
>0
egal
>0
>0
<0
−
2
∂2f
∂x∂y (xk , yk )
Globale Extrema
Suchst du globale Extremas, so ist der Definitionsbereich D von f (x, y) beschränkt. Unter
folgenden kritischen Punkten musst du das globale Extrema finden:
1. Die lokalen Minimas und Maximas (siehe oben).
7
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2. f (x, y) kann aber auch auf dem Rand von D extremal sein. Also musst du die Randkurven
von D als Funktionen y = g(x) ausdrücken (es gibt mindestens 2 Kurven g1 (x) und g2 (x)!).
Die möglichen Extremas von f (x, y) auf diesem Teil des Randes von D sind dann die
Extremalpunkte Pk (xk , g(xk )) der Funktion f (x, g(x)), die man durch
∂
!
f (xk , g(xk )) = 0
∂x
(26)
findet.
3. Die letzten Kandidaten für Maximal- und Minimalpunkte sind alle Ecken von D .
Setze alle bis dahin gefunden Punkte Pk (xk , yk ) in die Funktion f (x, y) ein. Das globale Maximum ist schlussendlich jener Punkt Pk , wo f (xk , yk ) am grössten ist. Das globale Minimum
ist der Punkt Pk , wo f (xk , yk ) am kleinsten ist.
5
5.1
Mehrdimensionale Integrale: 2d
Polarkoordinaten
Einen Punkt P (x, y) in der Ebene kann man auch über Polarkoordinaten P (r, ϕ) definieren.
Dabei gilt
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ)
(27)
oder umgekehrt
p
x2 + y 2
y .
(28)
x
Nützlich sind Polarkoordinaten beim Berechnen von bestimmten Doppelintegralen der Form
x
f (x, y) dxdy.
(29)
r=
ϕ = arctan
D
R2
Wenn die Menge D ⊂
einfacher durch Polarkoordinaten ausgedrückt werden kann, beispielsweise wenn D wie ein Kuchenstück aussieht, dann vereinfacht sich auch die Berechnung des
Integrals erheblich. Ersetze einfach alle x, y in f (x, y) mit Hilfe der Formeln oben durch r, ϕ. Das
Integral wird zu
x
x
f (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) · r drdϕ.
(30)
f (x, y) dxdy =
D
D
Achtung! Das zusätzliche r nicht vergessen!
5.2
Tangentialvektor, Normalenvektor
Der Tangentialvektor an einen ”horizontalen“ Graphen y = g(x) ist
1
~t(x) =
.
g0 (x)
Der Normalenvektor, der auf demselben Graphen senkrecht steht, ist
−g0 (x)
~n(x) =
.
1
Hast du aber einen ”senkrechten“ Graphen mit x = g2 (y), dann ist der Tangentialvektor
0
g
(y)
2
~t(y) =
1
und der Normalenvektor
~n(y) =
1
−g20 (y)
8
.
(31)
(32)
(33)
(34)
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5.3
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Arbeit
~ (~x) =
Die Arbeit W , die du in einem Vektorfeld F
Kurve γ = { (x, g(x)) | x ∈ [a, b] } leisten musst, ist
W =
Z
b
a
F1 (x, y)
F2 (x, y)
entlang einer ”waagrechten“
F~ (x, g(x)) · ~t(x) dx.
(35)
Bei einer ”senkrechten“ Kurve γ = { (g2 (y), y) | y ∈ [c, d] } ist die Arbeit
Z
W =
d
c
5.4
~ (g2 (y), y) · ~t(y) dy.
F
(36)
Länge der Kurve
Die Länge L der Kurve γ ist
L=
Z bp
a
5.5
1+
[g0 (x)]2 dx
respektive
L=
Z
c
dq
1 + [g20 (y)]2 dy
(37)
Fluss, Satz von Gauss
F1 (x, y)
F2 (x, y)
{ (x, g(x)) | x ∈ [a, b] } von unten nach oben ist
Der Fluss Φ eines Vektorfeldes F~ (~x) =
Φ=
Z
b
a
durch eine ”waagrechte“ Kurve γ =
~ (x, g(x)) · ~n(x) dx.
F
(38)
Hast du eine ”senkrechte“ Kurve γ = { (g2 (y), y) | y ∈ [c, d] }, so ist der Fluss von links nach
rechts
Z d
Φ=
F~ (g2 (y), y) · ~n(y) dy.
(39)
c
Hast du eine zusammenhängende Fläche B ⊂ R2 mit Rand γ = ∂B, so kannst du den Gesamtfluss eines Vektorfeldes F~ aus der Fläche B hinaus in 99% aller Fälle einfacher berechnen mit
dem Satz von Gauss:
I
x
~ · ~n =
∇ · F~ dxdy.
(40)
F
Φtotal =
∂B
6
6.1
B
Mehrdimensionale Integrale: 3d
Parametrisierung einer Kurve γ
Irgendeine Kurve γ im R3 (und analog im R2 ) kann man parametrisieren:
γ : [a, b] ⊂ R
t
−→
R3


x(t)
7 → ~r(t) =  y(t) 
−
z(t)
(41)
t durchläuft das Intervall [a, b] und produziert für jedes t einen Vektor ~r(t), der die Kurve quasi
nachzeichnet. ~r(a) ist also der Startpunkt, ~r(b) der Endpunkt der Kurve γ.
9
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6.2
Sommer 2007
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Arbeit, Linienintegral, Satz von Stokes
~ (~x) entlang einem Weg γ leistest, ist
Die Arbeit W , die du in einem Vektorfeld F
W =
Z
~ (~x) · d~` =
F
γ
Z
b
a
~ (~r(t)) · ~r˙ (t) dt.
F
(42)
Ist der Weg γ geschlossen, oder umschliesst γ irgendeine Fläche A (damit γ = ∂A), so kann man
den Satz von Stokes verwenden:
I
x
~
∇ × F~ (~x) · dS.
(43)
F~ (~x) · d~` =
γ=∂A
6.3
A
Länge der Kurve
Die Länge L der Kurve γ ist
Z b
˙ L=
~r(t) dt.
(44)
a
6.4
Fluss, Satz von Gauss
Der Fluss Φ eines Vektorfeldes F~ (~x) durch eine Fläche A ist
x
~
F~ (~x) · dS.
Φ=
(45)
A
~ ist der Normalenvektor eines ganz kleinen Flächenstücks, steht also senkrecht auf A. Ist die
dS
Fläche geschlossen, d.h. die Fläche schliesst irgendein Volumen V ein, dann ist A = ∂V . Dann
kannst du in 99% der Fälle den Gesamtfluss aus dem Volumen V hinaus einfacher berechnen mit
dem Satz von Gauss:
y
{
~=
∇ · F~ (~x) dxdydz.
(46)
F~ (~x) · dS
Φ=
V
A=∂V
6.5
Gradientenfelder, Potentiale
Ein Vektorfeld F~ (~x) ist ein Gradientenfeld, wenn es ein sogenanntes Potential f (~x) zu F~ (~x) gibt,
so dass
~ (~x) = ∇f (~x).
F
(47)
Dann gilt:
Z
F~ (~x) · d~` = f (b) − f (a),
(48)
F~ (~x) · d~` = 0,
(49)
∇ × F~ (~x) = 0.
(50)
γ
I
γ
Der Wert eines Kurvenintegrals in einem Gradientenfeld ist also nicht vom Weg γ sondern nur
von den Start- und Endpunkten der Kurve abhängig.
Wann ist F~ (~x) ein Gradientenfeld? Du hast 2 Möglichkeiten:
1. Du findest gleich ein passendes f (~x) mit ∇f (~x) = F~ (~x).
10
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2. Wenn der Definitionsbereich von F~ (~x) keine ”Löcher“ aufweist (d.h. keine Division durch
Null!) kannst du die Integrabilitätsbedingungen überprüfen. Für ein Gradientenfeld
muss gelten
∂F2
∂F1
=
∂y
∂x
∂F
∂F
3
2
(51)
oder
∇ × F~ (~x) = 0
=
∂z
∂y
∂F3
∂F1
=
∂x
∂z
7
Lineare Algebra
7.1
Eigenwerte und Eigenvektoren
Der Eigenvektor ~vk zum Eigenwert λk einer Matrix A ist definiert als
A~vk = λk~vk .
(52)
Zuerst musst du die Eigenwerte λk finden. Sie sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms PA (λ),
PA (λ) := det(A − λ1).
(53)
Die Eigenvektoren ~vk findest du mit Hilfe des Gleichungssystems (52) für jeden einzelnen Eigenwert λk .
7.2
Diagonalisieren einer Matrix
Eine symmetrische Matrix A (d.h. AT = A) kannst du diagonalisieren. Gehe so vor:
1. Finde alle Eigenwerte λk und die zugehörigen Eigenvektoren ~vk von A.
, schreibe also die auf die Länge 1 normierten Eigenvektoren
in die Spalten einer neuen Matrix T .
2. Setze T :=
3. Setze
~v1
~
v2
~v3
|~
v1 | , |~
v2 | , |~
v3 |


λ1 0 0
D :=  0 λ2 0  .
0 0 λ3
(54)
Schreibe also die Eigenwerte in derselben Reihenfolge in die Diagonale einer neuen
Matrix, wie du die Eigenvektoren in T eingesetzt hast.
4. Dann hast du auch schon die Lösung. Es gilt jetzt nämlich (mit T −1 = T T ):
T T AT = D.
11
(55)
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7.3
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Systeme partieller Differentialgleichungen
Gegeben ist ein System von n partiellen Differentialgleichungen:
a b
x(t)
ẋ(t)
˙
A~x = ~x
←→
=
.
c d
y(t)
ẏ(t)
(56)
Für die Lösung musst die die Eigenwerte λk und Eigenvektoren ~vk der Matrix A berechnen.
Unterschieden werden dann 3 Fälle (c1 und c2 sind Konstanten, die durch Anfangswertprobleme
bestimmt werden können):
1. Die zwei Eigenwerte sind voneinander verschieden und reell, λ1 6= λ2 . Dann ist die Lösung
~x(t) = c1~v1 eλ1 t + c2~v2 eλ2 t .
(57)
2. Die zwei Eigenwerte sind identisch, λ := λ1 = λ2 . Dann ist
x(t) = (c1 + c2 t)eλt
und
y(t) =
1
ẋ(t) − ax(t) .
b
(58)
3. Die Eigenwerte sind konjugiert komplex, λ1 = α + iω, λ2 = α − iω. Dann ist
h
i
x(t) = eαt c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt)
8
ϕ
sin
cos
tan
und
y(t) =
1
ẋ(t) − ax(t) .
b
(59)
Trigonometrische Werte
π
6
1
√2
3
2
√1
3
π
4
√1
2
√1
2
1
π
√3
3
2
1
√2
3
π
2
1
0
±∞
2π
√3
3
2
− 12
√
− 3
3π
4
√1
2
− √12
−1
5π
6
1
2√
− 23
− √13
12
π
0
−1
0
7π
6
− 12
√
− 23
√1
3
5π
4
− √12
− √12
1
4π
3√
− 23
− 12
√
3
3π
2
−1
0
±∞
5π
3√
− 23
1
2
√
− 3
7π
4
− √12
√1
2
−1
11π
6
− 12
√
3
2
− √13