12¨Ubungen zu ”Gauß-Algorithmus”
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Aufgaben zum Vorkurs B S. 13 12 Übungen zu ”Gauß-Algorithmus” Aufgabe 1: 2x1 −x2 = 1 −7x1 +3, 5x2 = 7 Aufgabe 2: 2x1 −x2 = 1 −x1 +2x2 = 2 Aufgabe 3: 2x1 −x2 = 1 −7x1 +3, 5x2 = −3, 5 Aufgabe 4: 3x1 −2x2 = −1 −x1 +3x2 = 5 2x1 +x2 = 4 Aufgabe 5: 3x1 −2x2 = −1 −x1 +3x2 = 5 x1 +4x2 = 2 Aufgabe 6: x1 2x1 3x1 x1 +3x2 −5x3 +3x2 −4x3 +2x2 −x3 +4x2 −7x3 +4x4 +4x4 −2x4 +6x4 = 1 = 1 = −4 = 2 Aufgabe 7: −x1 +x2 = −4 x1 +x2 +2x3 = 3 2x1 +x2 +3x3 = 7 Aufgabe 8: 2x1 +x2 +x3 = 6 2x1 −2x2 = 6 x1 +x3 = 5 Aufgabe 9: −u 2u +v −x +y −v −w +x −v +2w −x 2u −v −w +2x −y −u +2v −w −y = 5 = 3 = 1 = 2 = −14 Aufgaben zum Vorkurs B S. 14 13 Übungen zu ”Vektoren” Aufgabe 1: −→ −→ −→ −→ −−→ Drücken Sie für ein Parallelogramm ABCD mit AB = a und AD = b die Vektoren AC, CB, BD mit Hilfe von a und b aus. Aufgabe 2: Beweisen Sie: Verbindet man die Mittelpunkte der benachbarten Seiten eines beliebigen Vierecks in der Ebene miteinander, so erhält man ein Parallelogramm. Aufgabe 3: a, b seien Vektoren, die nicht beide Null sind. Diskutieren Sie Bedingungen für das Bestehen folgender Beziehungen: (i) ka + bk = kak + kbk (ii) ka + bk = kak − kbk (iii) ka + bk > kak + kbk (iv) ka + bk < kak + kbk (v) ka + bk = kak (vi) ka + bk = 0 14 Übungen zu ”Matrizen” Aufgabe1: 1 −2 1 −1 Sei A = ,v= und w = . 4 6 2 −1 Berechnen Sie Av und Aw. Aufgabe 2: 1 −1 1 2 3 Sei A = und B = 1 −1 . 4 5 6 1 0 Berechnen Sie die Produkte AB und BA. Aufgabe3: 3 4 Sei A = . 2 3 Berechnen Sie A2 , A3 und die inverse Matrix zu A. Aufgabe 4: Welche Matrix beschreibt eine Rotation um 90◦ ? Aufgabe 5: 1 2 3 Berechnen Sie die inverse Matrix zu A = 0 1 4 und bestimmen Sie damit die Lösung zu 0 0 1 1 Ax = 1 . 1 Aufgaben zum Vorkurs B S. 15 15 Übungen zu ”Skalar- und Vektorprodukt” Aufgabe 1: Sei α der Winkel bei A in dem Dreieck 4ABC mit A = (2; −1; 1) , B = (1; −3; −5) , C = (3; −4; −4) Bestimmen Sie cos α (nicht berechnen). Aufgabe 2: Beweisen Sie den Satz des Thales vektoriell. Aufgabe 3: 1 0 1 Bestimmen Sie einen Vektor x, der linear abhängig von 1 und 1 ist, senkrecht steht auf 0 1 1 0 und die Länge 1 hat. Aufgabe 4: Wo liegen alle Vektoren, die mit einem festen Vektor a 6= 0 ein festes Skalarprodukt haben? Aufgabe 5: Berechnen Sie 3 1 (i) Das Kreuzprodukt 0 × 2 . 11 2 −1 1 0 1 , b = 1 und c = 2 (ii) Das Spatprodukt (a, b, c) für a = 2 1 3 Aufgabe 6: Geben Sie alle Lösungen von x × a = b an für 1 0 (i) a = 0 , b = 1 1 0 1 0 (ii) a = 0 , b = 1 1 1 16 Übungen zu ”Determinanten” Aufgabe 1: Berechnen Sie die Determinanten 2 −3 (i) −4 6 2 3 (ii) −4 6 Aufgaben zum Vorkurs B S. 16 1 0 1 (iii) 1 1 1 −1 0 1 Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Lösung von 2x1 −x2 = 1 mit Hilfe der Cramerschen Regel. −x1 +2x2 = 2 17 Übungen zu ”Komplexe Zahlen” Aufgabe 1: Vereinfachen Sie folgende komplexen Zahlen: i2 , i5 , i8 , i 2n , i 2n+1 , i3 − i4 , i 3 (i + i 6 ) , i + i2 + i3 Aufgabe 2: Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in ihrer Normalform“a+bi dar und zeichen Sie die Zahlen ” in die komplexe Ebene ein: 1 + 3i + 2 − 4i − 3 + 2i , (2 − 3i )(1 + 2i ) , (2 + 5i )2 , (2 − 5i )2 , (3 + 2i )2 + (7 − 3i )(−2 + i ) , (1 + 2i )4 , 2 + 6i , 3 − 5i 2−i , 3i 1 , 1−i 3 + 2i , (1 − 2i )(3 + i ) (6 − 3i )(2 + 4i ) 3 − 4i Aufgabe 3: Berechnen Sie die komplexe Zahl z, die Lösung folgender Gleichung ist: (i) (1 + 3i )z + 3 + i = z 1+i 1 − iz = 1 + iz 1−i −3 + 11i −11 + 10i (iii) + z = 24 − 10i 3−i 1 − 4i (ii) Aufgabe 4: Bestimmen Sie alle z mit z 2 = 5+12i (nicht mit Formel der Vorlesung, sondern mit Ansatz z = a+bi ). Aufgabe 5: Lösen Sie durch quadratische Ergänzung die quadratische Gleichung: (i) z 2 − 4z + 7 = 0 (ii) z 2 − 2αz + α2 + β 2 = 0 Aufgaben zum Vorkurs B S. 17 18 Übungen zu ”Komplexe Ebene” Aufgabe 1: Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten der folgenden komplexen Zahlen, und zeichnen Sie die Zahlen als Punkte in die komplexe Zahlenebene ein: (a) i 3 + i 4 , (b) 3i , (c) (3 + 2i ) · (2 − 3i ) , (d) (1 + 2i ) · (1 − 2i ) , 5 − 5i 1 1 1 , (f) , (g) + . 2+i i 1+i 1−i Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in C, und skizzieren Sie die zugehörige Punktmenge in der komplexen Ebene: (a) z + z̄ = 6 , (b) z − z̄ = 6i , (c) z · z̄ − z + z̄ = 1 , (e) (d) z · z̄ − z − z̄ = 0 , (e) (z − i )2 = (z + i )2 . Aufgabe 3: Tragen Sie die Zahlen z als Punkte in die komplexe Ebene ein, und geben Sie den Betrag, das Argument und die Polarkoordinatendarstellung an: (a) z = −3 , (b) z = −3i , (c) z = 1 − i , (d) z = −1 + i , (e) z = |1 + i | . Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen: i . (a) z = i , (b) z = −i , (c) z = 2 + 2i , (d) z = 1−i Aufgabe 5: Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Punktmenge, die beschrieben wird durch folgende Gleichung bzw. Ungleichung: (a) |z| = 2 , (b) |z − 2i | = 1 , (c) |z + 2| = 1 , (d) |z + 2| < 1 , π π (e) |z + 1 − i | ≥ 1 , (f) arg z − ≤ , 4 2 π . 2 Lösen Sie diese Aufgabe rechnerisch, und skizzieren Sie dann die Lösungsmenge oder bestimmen Sie die Lösungsmenge direkt durch geometrische Argumentation. (g) |arg(z − 1)| ≤ Aufgabe 6: Lösen Sie die Ungleichung, und skizzieren Sie dann die Lösungsmenge in der komplexen Ebene: (a) |z + 1| < |z − 1| , (b) |z − (1 + i )| ≤ |z| . Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellungen von: (a) √ 15 i , (b) 1 + 3i , (c) (1 + i ) · (1 − i ) . 1−i Aufgaben zum Vorkurs B S. 18 Aufgabe 8: Lösen Sie die in der komplexen Ebene: Ungleichungen, und skizzieren Sie die Lösungsmenge π z − i π z ≤ 1 , (b) | arg((1 + i )z)| ≤ , (c) arg < . (a) z +i 4 i 4 Aufgabe 9: Geben Sie die Exponentialdarstellung folgender komplexen Zahlen an: (a) 1 ± i , (b) −1 ± i , (c) −1 , (d) 2i . Aufgabe 10: Bestimmen Sie die Polarkoordinaten und die Real- und Imaginärteile folgender komplexen Zahlen: π π (a) 2e ± 6 i , (b) e (1+i) 6 , (c) 1 + √ −πi π π 3i e 6 , (d) cos − i sin . 6 6 Aufgabe 11: Geben Sie die trigonometrische Darstellung folgender komplexen Zahlen an: (a) 3e (2+5i)x (x ∈ R) , (b) 3e (2−5i)x (x ∈ R) . Aufgabe 12: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 4 = 1 (Veranschaulichen Sie am Einheitskreis die Lösungen, und erläutern Sie, warum diese die Lösungen sind). 19 Übungen zu ”Geraden und geometrischen Objekten” Aufgabe 1: (i) Geben Sie die Parameterdarstellung an a) der Geraden durch die Punkte P = (1; 2), Q = (−2; 5) b) der Geraden mit der Gleichung y = −x + 3 c) der Strecke von A = (−1; 2) nach B = (3; 1) (ii) Geben der Geraden mit der Parameterdarstellung Siedie Normalenform −2 −1 +t an. x= 3 2 (iii) Welche der Geraden mit den Parameterdarstellungen 14 −6 4 4 g1 : x = −1 + t 4, 5 , g2 : x = 6, 5 + t −3 15 −9 0 6 6 −3 g3 : x = 9 + t 0 4 4 sind parallel? , 3 −6 g4 : x = −6 + t 1 10 8 Aufgaben zum Vorkurs B S. 19 (iv) Liegen die drei Punkte A = (2; 2; 3), B = (−2; 3; 1), C = (−6; 4; 1) auf einer Geraden? Diskutieren Sie verschiedene Möglichkeiten, dies zu prüfen. (v) Beweisen Sie vektoriell, daß die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) eines Dreiecks durch einen Punkt gehen. Berechnen Sie diesen Schwerpunkt für das Dreieck mit den Ecken (−1; −1), (3; 0), (−2; 4). (vi) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten auf der Strecke mit den Endpunkten A = (2; 1), B = (−1; 3). Aufgabe 2: (i) Liegen die vier Punkte A = (0; 2; 2) , B = (2; 0; −1) , C = (3; 4; 0) , D = (0; −1; 1) in einer Ebene? (ii) Geben Sie die Normalenform der Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise an, wenn die Ebene die Gleichung 2x − y + 2z = 12 hat. (iii) Durch folgende Gleichungen sind vier Ebenen gegeben: e1 : x + 2y − 2z = 5 , e2 : 3x − 6y + 3z = 2 , e3 2x + y + 2z = −1 , e3 : x − 2y + z = 7 Stellen Sie fest, welche der Ebenen parallel bzw. senkrecht zueinander sind. Aufgabe 3: (i) Welche Punktmenge beschreibt die Gleichung x + y = 3 a) in der Ebene, b) im Raum? 3 −1 (ii) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden x = −3 + λ 3 8 0 2 −1 2 und der Ebene x = 1 + µ 0 + ν −1 , 1 1 2 indem Sie die Ebene zunächst in Normalenform bringen. Aufgabe 4: Haben die Geraden mit den Parameterdarstellungen 6 3 −3 −6 x = 9 + t 0 , x = −6 + s 1 4 4 10 8 einen Schnittpunkt?
