Definition 3.3 (Vektorgleichheit, Vektoraddition, Skalarmultiplikation

Vektoren und Matrizen
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Satz 3.4
Definition 3.3 (Vektorgleichheit, Vektoraddition, Skalarmultiplikation)
0 1
0 1
v1
w1
B .. C
B .. C
~ = @ . A aus Rn und c 2 R definiert man
Für ~v = @ . A , w
wn
vn
~v = w
~
genau falls
0
vi = w i
1
v1 + w 1
B
C
..
~v + w
~ := @
A
.
vn + w n
0
1
c · v1
B
C
c · ~v := @ ... A
c · vn
~ , u~ 2 Rn und a, b 2 R gilt:
Für alle ~v , w
~ ) + u~ = ~v + (w
~ + u~)
1. (~v + w
~ =w
~ + ~v
2. ~v + w
~
3. ~v + 0 = ~v
für alle i = 1, . . . , n
4. Zu ~v ex.
(Kommutativgesetz)
(Neutrales Element)
~v := ( 1) · ~v mit ~v + ( ~v ) = ~0
(Inverses Element)
5. a(b~v ) = (ab)~v
6. 1 · ~v = ~v
(Vektoraddition)
(Skalarmultiplikation)
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7. (a + b)~v = a~v + b~v
(Distributivgesetz 1)
~ ) = a~v + aw
~
8. a(~v + w
(Distributivgesetz 2)
Definition 3.5 (R-Vektorraum)
(Elemente c 2 R heißen Skalare.)
G. Skoruppa (TU Dortmund)
(Assoziativgesetz)
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Ist in einer Menge V eine Verknüpfung +“ von Elementen und eine
”
Skalarmultiplikation ·“ von reellen Zahlen mit Elementen aus V erklärt,
”
die beide wieder Elemente aus V liefern, so heißt V ein R-Vektorraum,
wenn (mit einem gewissen ~0 2 V ) in V die Aussagen des Satzes 3.4 gelten.
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Beispiel 3.6 (R-Vektorräume)
Geometrisch:
Addition:
Pfeilaneinandersetzung,
Skalarmulti. mit c 2 R:
Streckung um |c| und falls
c < 0: Richtungsänderung.
Rn ,
I
F(R, R) sei die Menge aller reellwertigen und auf ganz R definierten
Funktionen. Man schreibt diese symbolisch so: f : R ! R.
Verwende als +“ die übliche Addition von Funktionen f , g :
”
f + g ist die Funktion, die x 2 R den Wert f (x) + g (x) 2 R zuordnet:
(f + g )(x) := f (x) + g (x).
Beispiel: Auf einem kostenpflichtigen Parkplatz liegt die Tagesgebühr für
PKWs bei 4 e und für Busse bei 7 e. Parkaufkommen:
Montag
Dienstag
Mittwoch
PKW
30
25
35
Busse
5
5
15
Verwende Vektorrechnung, um eine Tabelle mit Gesamteinnahmen jew. für
Montag, Dienstag, und Mittwoch zu erstellen.
(Lösung: (155, 135, 245)> )
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I
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Verwende als ·“ die übliche Multiplikation von 2 R mit einer
”
Funktion f : f ist die Funktion, die x 2 R den Wert · f (x) 2 R
zuordnet:
( · f )(x) :=
· f (x).
Die Vektorraumnull ~0 ist hier die konstante Funktion f mit f (x) = 0.
Man prüft problemlos alle 8 Eigenschaften eines Vektorraums, z.B.
gilt die Gleichheit f + g = g + f (als Funktionen), weil für alle x 2 R
auf Zahlenebene f (x) + g (x) = g (x) + f (x) gilt, etc.
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Ein weiteres wichtiges Beispiel für Vektorräume wird durch folgende
Definition gegeben:
Definition 3.9 (Matrizenmultiplikation)
Definition 3.7 (Matrizen, Matrizenoperationen)
1. Eine (m ⇥ n)-(Zahl-)Matrix A ist ein
in m Zeilen und n Spalten
0
a11 a12
B a21 a22
B
A=B .
..
@ ..
.
rechteckiges Schema von Zahlen
···
···
..
.
am1 am2 · · ·
1
a1n
a2n C
C
.. C
. A
A 2 Rm⇥n und B 2 Rn⇥p (d.h. Spaltenzahl A = Zeilenzahl B) lassen sich
miteinander multiplizieren. Das Produkt ist eine (m ⇥ p)-Matrix:
A·B
d.h.
amn
Symbolisch (falls Zeilen- und Spaltenanzahlen klar sind):
A = (aij ).
Rm⇥n := Menge aller reellen Matrizen der Dimension (m ⇥ n).
Statt Dimension sagt man auch Format.
cij
:= (cij ) 2 R
m⇥p
mit
cij :=
n
X
aik bkj
k=1
= ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj .
Das Element an Position ij des Produkts AB ergibt sich durch
komponentenweise Multiplikation der i-ten Zeile von A und j-ten Spalte
von B und anschließende Summation der n Produkte.
Die aij heißen Elemente, Koordinaten oder Komponenten der Matrix.
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Beispiel 3.10 (Falk-Schema, Spezialfall Matrix-Vektormultiplikation)
Für Matrizen gleichen Formats A = (aij ), B = (bij ) aus Rm⇥n definiere:
2. A = B
:,
aij = bij für alle i, j.
3. A + B 2 Rm⇥n entsteht durch elementweise Addition von A, B:
A + B := (aij + bij )
4. A wird mit ↵ 2 R multipliziert, indem man dies elementweise tut:
↵A := (↵aij )
Beispielsweise:
Rm ,
5. Eine (m ⇥ 1)-Matrix kann als Spaltenvektor aus
eine
m
(1 ⇥ m)-Matrix als Zeilenvektor aus R aufgefasst werden.
20 = 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 5,
15 = 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 4.
2) BA läßt sich für obige Matrizen nicht berechnen!
3) Matrix-Vektormultiplikation:
Satz 3.8
A (m ⇥ n)-Matrix, ~v 2 Rn .
Fasse Spalten von A als Vektoren a~1 bis a~n auf. Dann
Rm⇥n
ist ein R-VR. Also gilt all das für Matrizen, was in Satz 3.4 für
Vektoren zusammengestellt wurde. Dabei hat die nur Nullen enthaltende
Nullmatrix aus Rm⇥n die Rolle des neutralen Elements.
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1) Falk-Schema zur Berechnung eines Matrixproduktes: Links unten
steht A, rechts oben B, rechts unten entsteht AB:
0
1
1 3 2
@2 0 1A
·
✓
◆ ✓ 5 4 0 ◆
1 2 3
20 15 4
0 4 1
13 4 4
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A~v = v1 a~1 + v2 a~2 + · · · + vn ~an .
Animation
4) Man berechne Ab für obiges A und b = (2, 1, 1)> .
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Beispiel 3.11 (LGS im Matrixschreibweise)
Satz 3.13 (Rechenregeln für Matrizen, Unterschiede zu Zahlen)
Das LGS in m Gleichungen und n Unbekannten (vgl. Def. 2.4) kann jetzt
in der Form
A~x = ~b
geschrieben werden, wobei
Für einen Skalar c 2 Rund Matrizen A, B, C (mit für die Multiplikationen
passenden Formaten) gilt:
0
a11
B a21
B
A = B .
@ ..
a12
a22
..
.
···
···
..
.
am1 am2 · · ·
1
a1n
a2n C
C
.. C ,
. A
amn
0
1
x1
B .. C
~x = @ . A ,
xn
0
1. (AB)C = A(BC )
1
2. c(AB) = (cA)B = A(cB)
b1
. C
~b = B
@ .. A
bn
(A Koe↵.matrix, ~x Vektor der Unbekannten, ~b Vektor der rechten Seiten.)
Mit Beispielzahlen:
5x
x
y
+ 3y
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=
=
6
1
)
✓
5
1
1
3
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3. A(B + C ) = AB + AC
(Distributivgesetz 1)
4. (A + B)C = AC + BC
(Distributivgesetz 2)
5. Das Produkt aus einer Matrix und einer Nullmatrix (oder umgekehrt)
ist eine Nullmatrix.
6. Das Produkt aus einer Matrix A und einer Einheitsmatrix E (oder
umgekehrt) ist wieder A.
(Neutralelement bzgl. ·)
7. I.a. gilt nicht die Kommutativität, also:
◆✓ ◆ ✓ ◆
x
6
=
y
1
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Definition 3.12 (Quadratische Matrix, Diagonalmatrix, Einheitsmatrix)
1. Eine (n ⇥ n)-Matrix heißt quadratisch, die Elemente aii einer
quadratischen Matrix A heißen Diagonalelemente. Sie bilden die
Hauptdiagonale der Matrix.
Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der
Hauptdiagonalen 0 sind, nennt man Diagonalmatrix.
2. Die Diagonalmatrix, die nur Einsen auf der Hauptdiagonalen hat,
heißt Einheitsmatrix En 2 Rn⇥n (manchmal kurz E oder gar I ).
0
1
1 0 0
Beispielsweise: E3 = @ 0 1 0 A.
0 0 1
Bew.: Nachrechnen mittels
Definitionen.
✓
◆
✓Für 7),
◆ 8) nehme man
0 0
1 0
beispielsweise A :=
, B :=
(vgl. Vorlesung).
1 0
0 0
Definition 3.14 (Transponierte Matrix)
0
a11
B a21
B
Für A = B .
@ ..
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a12
a22
..
.
1
a1n
a2n C
C
.. C
. A
···
···
..
.
am1 am2 · · ·
amn
0
a11 a21 · · ·
B a12 a22 · · ·
B
heißt A> := B .
..
..
@ ..
.
.
a1n a2n · · ·
1
am1
am2 C
C
.. C
. A
amn
die zu A transponierte Matrix (aus Rn⇥m ): i-te Zeile wird zur i-ten Spalte
und umgekehrt.
Gilt A = A> für eine (n ⇥ n)-Matrix A so heißt A symmetrisch.
Beispiel:
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AB 6= BA.
8. I.a. gilt nicht die Nullteilerfreiheit, also:
Aus AB = 0 folgt nicht A = 0 oder B = 0.
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(Assoziativgesetz)
✓
1 2 3
4 5 6
G. Skoruppa (TU Dortmund)
◆>
0
1
1 4
= @ 2 5 A.
3 6
0
1
1 2 3
@ 2 4 5 A ist symmetrisch.
3 5 6
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