1. Wie zeigt man eine Behauptung für alle

1. Wie zeigt man eine Behauptung für alle natürlichen Zahlen?
2. Was sind
n
X
qk
(a + b)n ?
k=0
3. Wie stellt man Zahlen als Brüche dar? Bsp.: 0.523?
4. Was ist Polarform einer komplexen Zahl?
5. Welche Werte dürfen Hauptwerte annehmen?
6. Wie berechnet man komplexe Wurzeln? Bsp.:
√
2i
7. Wie berechnet man z n , wobei n ∈ N und z ∈ C?
8. Wie lautet die Matrix bez. der kanonischen Einheitsbasis, die eine Drehung um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn beschreibt?
#»
#»
9. Gegeben seien zwei Vektoren #»
a und b . Wie zerlegt man #»
a in seinen zu b parallelen und
orthogonalen Anteil?
10. Was ist ein Untervektorraum?
11. Was ist eine lineare Abbildung?
12. Wie zeigt man, dass {v#»1 , . . . , v#»p } ∈ Rn linear unabhängig ist?
13. Seien v#»1 , v#»2 , v#»3 ∈ R3 mit [v#»1 , v#»2 , v#»3 ] = 0. Was heißt das?
14. Wie bestimmt zu einer linearen Abbildung eine Matrix bez. der kanonischen Einheitsbasis?


13x
+
sin(100)x
2
1

11x1
Beispiel: f : R2 → R3 , xx12 7→ 
−4x2 + 2x1


10
15. Stelle  5  als Linearkombination der Vektoren
−18
     
2
1
0
 0  ,  3  , −1
−4
−2
2
16. Wie invertiert man eine Matrix A ∈ R2×2 ?
17. Wie bestimmt man Kern und Bild (sowie ihre Dimensionen) einer Matrix?
18. Wie zeigt man, dass eine Abbildung f : Rn → Rm injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?
19. Wie multipliziert man Matrizen?
20. Vervollständige:

 
−2 −4 −4
1 2 2
 0 1 0 =  0
1
0
0 −1 1
0 0 1



21. Wie geht LU-Zerlegung?
22. Ist jede Matrix, die eine symmetrische Matrix S diagonalisiert, auch orthogonal?
23. Was ist lim
n→∞
n
n+1
n
?
24. Was braucht man oft für den Winkel zwischen 2 Vektoren?
25. Was ist der Abstand eines Punktes D von einer Ebene?
26. Wie betimmt man die Hesse-Normalform einer Ebene?
27. Wie bestimmt man eine Schnittgerade zwischen 2 Ebenen?
1 2 3
3
6
9
28. 1 1 1 =?? · −1 −1 −1
1 1 1
1
1
1
29. Pivotelement?
30. Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
31. Was ist ein Skalarprodukt?
32. Was ist die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung?
33. Wie geht Gram-Schmidt?
34. Was ist ein Hauptachsensystem?
35. Definition: positiv definite Matrix?


1 2 3
36. Ist 2 −1 6  positiv definit?
3 6 e3
37. Was ist eine Teilfolge?
38. Wie ist Stetigkeit definiert? ( − δ oder Folgen)
39. Was ist das Vergleichskriterium?
40. Konvergenzkriterium für Folgen?
41. Wie bestimmt man die Inverse einer Matrix?
42. Wie zeigt man, dass eine Abbildung ein Skalarprodukt ist?

1
0
43. Was ist 
0
0
0
2
0
0
0
1
2
0
2012
0
0
 ?
0
1
44. Wie bestimmt man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge?
1
Frage
Wie ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor definiert?
Kann ich’s?
Ja
Nein
2
Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren?
Ja
Nein
3
Gebe eine Matrix A ∈ C3×3 an, die die Eigenwerte
Ja
Nein
2, 2 und i besitzt.
4
Wie berechnet man Hauptvektoren mit Stufe größer 1?
Ja
Nein
5
Welche Fallunterscheidung gibt es bei
Ja
Nein
Hauptvektoren 2. Stufe zu beachten?
6
Was heißt “Diagonalisieren” und “Jordan-Normalform”?
Ja
Nein
7
Wie diagonalisiert man? Wie bestimmt man eine JNF?
Ja
Nein
8
Welche Eigenschaften besitzen orthogonale Matrizen?
Ja
Nein
Sei A ∈ Cn×n diagonalisierbar, d.h. S −1 AS = D, wobei D
Ja
Nein
diagonal. Ist S automatisch orthogonal?
Ja
Nein
10
Was ist ein Hauptachsensystem?
Ja
Nein
11
Was ist eine Orthonormalbasis?
Ja
Nein
12
Wie orthonormiert man eine beliebige Basis?
Ja
Nein
13
Wie könnte man Ak , k ∈ N, von einer Matrix A berechnen?
Ja
Nein
Für welche A geht das?
Ja
Nein
Welche Informationen liefern mir die algebraische und die geometrische Ja
Nein
Warum heißen sie orthogonal?
9
14
Vielfachheit eines Eigenwerts bei einer JNF?
15
Wie viele Jordan-Blöcke der Größe s gibt es zu einem EW?
Ja
Nein
16
Brauche ich zur Bestimmung einer JNF eine Jordan-Basis?
Ja
Nein
17
Wie lautet die Inverse einer 2 × 2 Matrix?
Ja
Nein
18
Welche ‘Struktur’ besitzt eine allgemeine
Ja
Nein
19
Was heißt komplex konjugieren?
Was sind ii2 und 4 − 2i komplex konjugiert?
Ja
Nein
Ja
Nein
Für welche Matrizen gilt: Eigenvektoren zu unterschiedlichen EWen
Ja
Nein
stehen senkrecht zueinander?
Ja
Nein
20
Warnungen:
Inoffizielle Materialien - nicht autorisiert durch HM1-Team kein Anspruch auf Korrektheit und Vollständigkeit - Verwendung auf eigene Gefahr
Autor: Yuen Au Yeung
Stand: 07.02.2012