Skript

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Mathematik für Sek I und Sek II
Grundlagen der Mathematik
8. Das trigonometrische Verhältnis, der Schlüssel zur Kartographierung des Himmels
08:36 Minuten
00:31 Wussten die Priester im Altertum, wann es regnen wird?
00:39 Wenn ja, wie taten sie dies? …
Sie studierten die Sterne, um Vorauszusagen, wann es regnen wird.
00:48 Saat- und Erntezeit wurden gemäss den Bewegungen der Sterne bestimmt. Das Wetter der unmittelbaren Zukunft wurde auf die gleiche Weise vorhergesagt.
00:59 Deshalb war es für Priester im Altertum von äusserster Wichtigkeit, die Sterne zu analysieren.
01:03 Das trigonometrische Verhältnis war ein mathematisches Konzept, das aus der Notwendigkeit resultierte, Veränderungen am Himmel zu deuten.
01:21 Die alten Völker glaubten, dass die Sterne über einer riesigen
Halbkugel schweben, deren Mitte die Erde ist.
01:29 Sie versuchten, die Bewegungen der Sterne zu deuten, indem
sie die Distanz zwischen ihnen massen.
01:39 Es gab aber keine mathematische Methode, um die Distanz
zwischen den Sternen oder den Mittelpunktwinkel ihrer Kreisbögen zu
messen. Sie hatten auch keine Ahnung, wie sie herausfinden konnten,
wie viel Grad ein Kreisbogen hat.
01:55 Aber dann hatten sie folgende Idee:
02:01 Sie streckten ihre Arme in Richtung Himmel aus, je auf einen
Stern gerichtet. Anhand der Länge und des Winkels zwischen ihren
Armen konnten sie die Distanz zwischen den Sternen messen.
02:10 Aber auch hier gab es ein offensichtliches Problem.
02:12 Die berechnete Distanz zwischen den Sternen variierte entsprechend der Armlänge der jeweiligen Person.
02:19 Ihre Suche nach einer Antwort führte sie schliesslich zu den
Verhältnissen.
02:27 Ist der Mittelpunktswinkel, unabhängig davon, wer ihn misst,
immer gleich lang, dann ist das Verhältnis zwischen Armlänge und
dem Abstand der Handspitzen konstant.
02:43 Bei zwei Kreisbögen eines gleichgrossen Winkels ist das Verhältnis zwischen dem Radius und dem Kreisbogen konstant.
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Grundlagen der Mathematik: 8. Das trigonometrische Verhältnis, der Schlüssel zur Kartographierung des Himmels
03:01 Sternenforscher haben nach der Messung dieser Verhältnisse
eine Tabelle erstellt.
03:06 Ihre Bemühungen wurden im Buch «Almagest» festgehalten,
dass vom griechischen Astronomen Claudius Ptolemäus zusammengestellt wurde. Dieses ist heute noch relevant.
03:20 Daraus wurde die ursprüngliche Sinus-Tabelle, die Grundlage
für die heutige Trigonometrie, erstellt.
03:36 Doch was bedeutet das trigonometrische Verhältnis?
03:44 Rechnerische Zusammenhänge der Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken.
03:48 Zwei rechtwinklige Dreiecke, die einen weiteren, gleich grossen
Winkel haben, sind ähnlich.
03:53 Aus diesem Grund ist das Seitenverhältnis zwischen den zwei
rechtwinkligen Dreiecken konstant.
04:05 Das Seitenverhältnis, die Grundlage der Trigonometrie, kann
folgendermassen dargestellt werden:
04:15 Das Verhältnis von Höhe zu Hypotenuse, das Verhältnis von
Basis zu Hypotenuse und das Verhältnis von Höhe zu Basis.
04:26 Diese drei Verhältnisse sind als Sinus, Cosinus und Tangens
bekannt. Sie werden in verschiedenen Situationen eingesetzt.
04:44 Einmal Sinus und Cosinus, bitte.
04:53 Der Mond bewegt sich manchmal direkt über dem Horizont. Da
die Erde rund ist, gibt es aber auch Zeiten, in denen der Mond genau
über unseren Köpfen steht.
05:03 Der griechische Astronom Hipparchos hat diese Tatsache entdeckt und durch Verwendung der Trigonometrie die Lösung für ein
weiteres Rätsel des Weltraums gefunden.
05:13 Es handelte sich dabei um die Berechnung der Distanz zwischen Erde und Mond.
05:17 Um es mit einfachen Worten auszudrücken…
05:20 Wenn man den Mond horizontal bei Punkt C auf der Erde betrachtet, zieht man eine Gerade bis zu seinem Mittelpunkt. Somit hat
man eine Tangente von B nach C.
05:31 Der Winkel zwischen der Tangente und dem Erdradius ist stets
ein rechter Winkel.
05:41 Wenn der Mond senkrecht zu einer Geraden steht, die durch
den Punkt D geht, kann man zugleich eine Gerade von D zum Mittelpunkt des Mondes B ziehen.
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Grundlagen der Mathematik: 8. Das trigonometrische Verhältnis, der Schlüssel zur Kartographierung des Himmels
05:53 Da man diese Gerade bis zur Mitte der Erde bei Punkt A weiterziehen kann, ergibt sich ein riesiges Dreieck ABC, dessen Hypotenuse
die Strecke zwischen Erde und Mond ist.
06:04 Nun da man den Wert von Cosinus A und den Radius der Erde
kennt, kann man die Distanz zwischen Erde und Mond berechnen.
06:12 Das Verhältnis des Kreisbogens CD zum Erdumfang ist gleich
dem Verhältnis des Winkels bei Punkt A zu 360 Grad. Der Winkel A
kann so problemlos berechnet werden. Er entspricht 89.3 Grad.
06:33 Mit der Hilfe von trigonometrischen Grundsätzen konnte
Hipparchos als erster Mathematiker annähernd die Distanz zwischen
Mond und Erde berechnen.
06:52 Das hier ist der höchste Berg der Welt.
06:55 Weisst du, warum er Mount Everest heisst?
07:01 Irgendwann begannen die Menschen die im Sternenhimmel
verwendeten Verhältnisse auf die Erdlandschaft anzuwenden.
07:08 Auf der Grundlage von einfach zu messenden Strecken wurde
Trigonometrie zur Bestimmung von grossen Distanzen verwendet.
Durch Wiederholung des Vorgangs wurde die Gesamtdistanz berechnet.
07:31 Es gab sogar jemanden, der die Distanz quer über den indischen Subkontinent korrekt gemessen hat. Mittels Verwendung eines
Systems namens Triangulation.
07:40 Zu ehren dieses Meisters der Trigonometrie, George Everest,
wurde der höchste Berg der Welt Mount Everest benannt.
07:54 Trigonometrie begann mit der Untersuchung des Himmels.
07:59 Sie ist in vielen Bereichen anwendbar und hat uns geholfen,
Entfernungen zu messen, die man früher für unmessbar hielt.
08:14 In der heutigen Zeit werden trigonometrische Funktionen in verschiedensten Gebieten angewendet, von Musik über Psychologie bis
hin zur Bauplanung.
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