Unabhängigkeitserklärung - Bezirksregierung Düsseldorf

2015
Unabhängigkeitserklärung
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Unabhängigkeitserklärung
Stochastische Unabhängigkeit bedingt Proportionalität ohne Winkelzüge
Düsseldorf, den 9. April 2015 Unabhängigkeit ist ein durchaus schillernder Begriff, vor allem was ihre politische, soziologische aber auch
psychologische Dimension betrifft. Demnach
lässt sie sich unter anderem erklären, bewahren,
behaupten, erkämpfen, ausrufen sowie erlangen.
Wegen ihrer großen Bedeutung widmen ihr die
Nordamerikaner – wie wir alle wissen – seit
1776 jedes Jahr am 4. Juli sogar einen Feiertag.
Unabhängigkeit die Rede wäre.
Bei der aktuellen didaktischen Aufbereitung
werden die Weichen auf dem Weg zu ihrer Definition schon weit im Vorfeld gestellt. Im Rahmen „bedingter“ Wahrscheinlichkeiten erklärt
man zunächst, was unter der Abhängigkeit von
Ereignissen und darüber hinaus unter der Abhängigkeit von Zufallsgrößen zu verstehen sei.
Im Allgemeinen signalisiert der Übergang in
die Unabhängigkeit eine Überwindung gegebener Formen der Abhängigkeit und Fremdbestimmung. Dass daraus nicht zwangsläufig ein Plus
an Autonomie für alle Beteiligten resultiert, ist
dabei eher Standard. Man betrachte in diesem
Zusammenhang etwa den Ablöseprozess von Jugendlichen von ihren Eltern während der Adoleszenz-Phase.
Im Vergleich zu diesen gesellschaftlichen und
individuellen Phänomenen erweisen sich die
Ambitionen der Mathematiker in Hinblick auf
Unabhängigkeit1 auf jeden Fall als weitaus bescheidener. Um Missverständnissen vorzubeugen und den Begriff bezogen auf die umgangssprachliche Bedeutung im Vergleich zur Fachsprache besser zu differenzieren, definierten Mathematiker respektive Statistiker selbstverständlich irgendwann2 einmal, was sie in Zukunft darunter verstehen wollten und brachten dabei vorsorglich ein zusätzliches Adjektiv ins Spiel, womit unterstrichen werden sollte, dass nun vorzugsweise von so genannter „stochastischer“
1
2
Um zu betonen, dass die sogenannte „stochastische“ Unabhängigkeit gemeint ist, erfolgt – sofern diese angesprochen
wird – die Darstellung in kursiv.
Den so genannten Produktsatz für unabhängige Ereignisse
formulierte bereits Abraham de Moivre (1667-1754).
© 09.04.2015 Bezirksregierung Düsseldorf, Dezernat 46, Rolf Mantyk
Abbildung 1: Wassergasse in Regensburg (2015).
Unterschiedliche Bedingungen führten zu unterschiedlichsten
Giebelformen. Offensichtliche Abhängigkeiten ergeben sich aus
der gemeinsamen Funktionalität zum Schutz der Häuser.
Wegen ihrer unmittelbaren Evidenz erfreuen
sich in diesem Kontext Baumdiagramme, die in
ihrer Stufung dabei meistens ein zeitgebundenes
Management favorisieren, größter Beliebtheit.
Die zweite Ziehung aus einer Urne, die im Anschluss an einen ersten Zug realisiert wird – allerdings ohne die erste Entnahme zuvor zurückzulegen – ist augenscheinlich vom Ausgang dieser vorherigen Auswahl abhängig.
Es ist die erste Pfadregel, die sich auf diese
Weise manifestiert:
P( A∩B)= P( A)⋅P A (B)
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Das Ereignis A erhält man durch das Ergebnis
des ersten und das Ereignis B durch das des
zweiten Zuges, während „P“ die Wahrscheinlichkeit bezogen auf den gesamten Ergebnisraum Ω (≈100%) sowie „PA“ die Wahrscheinlichkeit bezogen auf den Teilraum A (≈100%)
von Ω darstellen.
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) definiert sind,
dadurch erklärt, dass für alle xi, yi folgende Gleichung gelten soll, wobei sämtliche xi und yi für
(i=1...n) als Werte beider Zufallsvariablen untersucht werden.
Ziehen mit Zurücklegen liefert hingegen
P( A∩B)= P( A)⋅P( B) ,
was hier gleichbedeutend ist mit
P(B)= P A (B)
und weiter zu der ebenfalls äquivalenten Gleichung
P(B∩ A)= P(B)⋅P B ( A )
leitet, die direkt aus der Kommutativität der
Durchschnittsbildung resultiert und damit der
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen ein – im
Gegensatz zur oben angesprochenen allgemeinen Bedeutung des Begriffes3 – symmetrisches
Szenario beschert.
Betrachten wir als ein Beispiel die Zufallsvariable S, die jedem Mitglied eines Turnvereins
einer Stadt eine 1 zuordnet, falls sie/er sich als
Schwimmer betätigt und ansonsten den Wert 0
annimmt. Ferner ziele die Zufallsvariable J auf
die 1, falls die betreffende Person sich zu den
Joggern des Vereins rechnet und ansonsten auf
die 0.
P ( X=x i∧Y = yi )=P( X =xi )⋅P (Y = y i )
Schw ja
Schw nein
(☼)
Jo ja Jo nein
24
48
72
8
16
24
32
64
96
Abbildung 2: Schwimmer / Jogger
Die vorliegende Verteilung wird anhand der
Wir besitzen somit drei äquivalente Gleichungen, die jede für sich die Unabhängigkeit der Tabelle in Abbildung 2 dargestellt und zeigt bei
näherer Betrachtung die Unabhängigkeit des Inbeiden Ereignisse A und B festschreiben.
teresses am Schwimmen vom Interesse am Joggen innerhalb des Vereins. Denn die Produkte
P( A∩B)= P( A)⋅P( B)
aus den so genannten Rand- bzw. Marginalwahrscheinlichkeiten liefern an allen Positionen dieP(B)= P A (B)
selben Wahrscheinlichkeiten, die sich über die
unmittelbare Gewichtung der relevanten PersoP( A)= P B ( A )
nenkreise ergeben. So erhalten wir zum Beispiel
Neben dem daraus resultierenden mitnichten über das Produkt von 32 zu 96 respektive 72 zu
trivialen Konflikt mit der umgangssprachlichen 96 in Relation zur Grundgesamtheit von 96 Perund im Allgemeinen nicht symmetrischen Inter- sonen, denselben Wert wie über den direkten
pretation des Begriffs Unabhängigkeit irritiert Bezug zu den 24 Personen, die joggen und
hinsichtlich unabhängiger Ereignisse ferner die schwimmen.
Tatsache, dass diese Symmetrie eine UnterscheiIm Detail haben wir 24 Schwimmer und Jogdung bei der zeitlichen Abfolge der einzelnen
ger4 unter den insgesamt 96 beteiligten PersoUrnenziehungen überflüssig macht.
nen, was eine Wahrscheinlichkeit von 25% für
Schließlich wird die Unabhängigkeit von diesen Kreis festschreibt. Betrachten wir andezwei Zufallsgrößen X und Y, die auf demselben
4
3
Z.B. bzgl. der Adoleszenz-Phase
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24 Personen, die schwimmen und joggen, sind angesprochen. Die Konjunktion und wird hier im aussagelogischen
Sinne von et bzw. and verwendet.
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rerseits die 72 Schwimmer bzw. die 32 Jogger
unter allen 96 Personen, so ergeben sich Anteile
von einem Drittel und drei Viertel, deren Produkt ebenfalls zu einem Viertel bzw. 25% führt.
100
80
60
40
20
0
1
2
3
Abbildung 3: Datenreihe 1 bis 3 für Schwimmer (blau, vorne)
und Nicht-Schwimmer (rot, mittig) im Vergleich mit ihrer Summe (gelb, hinten).
Seite 3
tion bzgl. der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen7 wird man feststellen, dass die dort geforderte Gleichung weder für die Fußgänger, noch
für die Pkw-Fahrer und deren Unterscheidung in
Schwimmer und Nicht-Schwimmer Gültigkeit
hat. Folglich sind die Zufallsgrößen Schwimmer
und Anreise in dieser Verteilung nicht unabhängig.
Die Unabhängigkeit der beiden Zufallsgrößen
in der Tabelle in Abbildung 2 lässt sich allerdings auch mit weniger Aufwand aus dem
Gleichgewicht bringen, indem man die Situation
wie folgt – eher geringfügig – modifiziert.
Schw ja
Schw nein
Dabei problematisieren wir nicht, ob es einen
realen Zusammenhang5 zwischen der Neigung
zum Schwimmen oder Joggen gibt, sondern berufen uns, was die Unabhängigkeit anbelangt,
allein auf die Gültigkeit der oben notierten Definition der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen6.
Jo ja Jo nein
23
49
72
9
15
24
32
64
96
Abbildung 5: Schwimmer / Jogger
Wir erhalten nun direkt
P( A∩B)=
Rad Fuß Pkw
Schw ja
24 48
0
72
Schw nein 8
12
4
24
32 60
4
96
23
=0,2356
96
bzw. über die Randwahrscheinlichkeiten
Abbildung 4: Schwimmer / Anreise
P( A )⋅P( B)=
Falls sich die Verteilung im Turnverein etwas
änderte, zum Beispiel im Sinne der Tabelle in
Abbildung 4, die ja die Schwimmer und NichtSchwimmer in Bezug auf Ihre Anreise zur
Sportstätte hin klassifiziert, so ergäbe sich zwar
hinsichtlich der Schwimmer, die mit dem Rad
kommen, vordergründig eher eine Unabhängigkeit von Schwimmen und Radfahren, da hier das
Produkt der Randwahrscheinlichkeiten ebenso
wie in Abbildung 2 zum Beispiel die 25% lieferte, analog zum Quotienten aus 24 und 96.
5
6
32 72
⋅ =0,25
96 96
Wie gehabt, stehen das Ereignis A für den
Personenkreis der Schwimmer, entsprechend
dem Ereignis (S=1) und das Ereignis B für die
Jogger, entsprechend dem Ereignis (J=1). Die
Schnittmenge von A und B erhalten wir hingegen durch das Ereignis
( A∩B)=(S=1∧J =1)
Letztendlich stellt sich natürlich die Frage, ob
sich neben diesen Berechnungsmöglichkeiten –
Doch bei sorgfältigerer Beachtung der Definidie von der Diktion her stellenweise schlecht zugänglich sind – ein besser überschaubares und
Hiermit bleiben wir im Fahrwasser, was wir über die Regresdeutlich augenfälligeres Kriterium finden lässt,
sion kennen, wo eine vorhandene Korrelation keine zwingenden Rückschlüsse auf vorliegende reale Ursachen zulässt.
Vgl. Formel (☼) auf Seite 2 oben rechts.
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7
Vgl. Formel (☼) auf Seite 2 oben rechts.
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was die Unabhängigkeit von Ereignissen signalisieren bzw. transparenter machen könnte.
An dieser Stelle verweisen wir auf den Aufsatz8 „Von Veedels- und Winkelzügen“, in dem
die Bedingtheit bzw. Abhängigkeit von Ereignissen anhand von Flächen demonstriert wird, die
in Form eines Winkels bzw. in der Art eines
Winkeleisens angeordnet sind.
Zur Diskussion stehen die beiden Merkmale
Wohnort und Kostümierung und die Frage, ob
jemand, der in der Karnevalszeit von einem kostümierten Kölner spricht, dann unter den Kölnern jemanden fokussiert, der kostümiert ist?
Oder erkundigt sich der Sprecher gerade bei einer Gruppe von Kostümierten, ob da jemand aus
Köln dabei sei? Oder denkt er an all die Narren,
die zum Rosenmontag den Karnevalszug säumen und überlegt sich, mit welcher Wahrscheinlichkeit man unter diesen Menschen einen kostümierten Kölner treffe?
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wendeten Vier-Felder-Tafeln als unmittelbare
Abstraktionen der involvierten Flächensegmente
zu interpretieren bzw. zu verstehen. Betrachtet
wird hierzu folgendes Beispiel:
In Köln findet man am Rosenmontag
unter den Karnevalisten bzw. Narren
entlang des Zugweges 7mal so viele
Touristen wie Einheimische. 80% der
Einheimischen tragen ein Kostüm.
Darunter versteht man hier im Allgemeinen etwas mehr als eine Pappnase.
Dagegen ist nur jeder vierte Tourist –
in Köln auch „Imi“ genannt – in diesem Sinne kostümiert. Kaum haben wir
uns in den Trubel auf der Domplatte
gestürzt, winkt uns bereits ein LappenClown entgegen.
Kölner
Imis
Abbildung 7: Im Veedelszoch in Köln, Karnevalssonntag 2013
Abbildung 6: Es gibt 7mal so viele Imis wie Kölner
Im besagten Artikel wird ein Lösungsansatz
vorgestellt, der die in diesem Kontext beteiligten
Grundgesamtheiten, sprich die 100%-Anteile
bzw. die so genannten Grundwerte9, mit Hilfe
von Flächensegmenten modelliert, die im Falle
von zwei unterschiedlichen Merkmalen einerseits in einen „horizontal orientierten“ Kontext
(in Form von Streifen) eingebunden sind, andererseits aber auch „vertikal notierten“ Strukturierungen (in Form von Spalten) genügen müssen.
Damit gelingt es, die bei der Berechnung ver8
9
Vgl. unter www.mathetreff.nrw.de und dort Magazin/Mehr
Mathematik
Im Sinne des 100%-Anteils innerhalb der Prozentrechnung.
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Eine erste Frage lautet nun:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er
ein Kölner bzw. ein Imi?
Um die Antwort nachvollziehbar zu formulieren, betrachten wir ein geeignet eingefärbtes
Rechteck, vgl. Abbildung 6, wo zunächst nur die
Anteile der Kölner, respektive der Imis übersichtlich und horizontal orientiert darstellt sind.
Anschließend ergänzen wir Abbildung 6 hinsichtlich des vertikal orientierten Merkmals Kostümierung durch die Ausprägungen mit bzw.
ohne Kostüm, wobei wir den jeweils vorliegenden Anteil ebenfalls durch die Größe der Segmente illustrieren (vgl. Abbildung 8).
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Offenbar können wir – dann, wo sämtliche
Anteile bekannt sind – die oben notierte Frage
beantworten. Ausschließlich unter den Kostümierten suchen wir nach einem Kölner bzw.
nach einem Imi. Die graphische Verdeutlichung
der relevanten Grundgesamtheit geschieht dabei
weder durch einen vertikalen, noch durch einen
horizontalen Streifen sondern durch eine Kombination beider Darstellungsformen in Gestalt
eines roten Winkels (100%)10.
Zeile ↓
So weit, so gut. Der interessierte Leser, den
die weiteren Überlegungen hinsichtlich der Beantwortung der Frage nach der Wahrscheinlichkeit, unter den Kostümierten einen Kölner zu
treffen und darüber hinausgehende Überlegungen beim Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten interessieren sollten, sei nochmals auf
den angesprochenen Artikel verwiesen.
Für unser Ziel, die Unabhängigkeit von Er-
2
Spalte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Kölner m m m m m m m m m m m m m m m m o o o o Kostüm
m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o
3
m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o
4
m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o
1
5
6
Seite 5
Imis m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o Kostüm
m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o
7
m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o
8
m m m m m o o o o o o o o o o o o o o o
Abbildung 8: Der rote Winkel (m)verdeutlicht sämtliche Kostümierten unter Kölnern und Imis
Wir finden schließlich11:
P(Kölner|mit Kostüm ≈ 100%) =
16
16
= = 31,37%
1635 51
bzw.
P(Imi|mit Kostüm ≈ 100%) =
35
35
= = 68,63%
1635 51
Entsprechend erhalten wir bezogen auf den
blauen Winkel (100%):
4
4
=
=3,67%
4105 109
105
105
=
P(Imi|ohne Kostüm ≈ 100%) =
= 96,33%
4105 109
P(Kölner|ohne Kostüm ≈ 100%)=
10 Die Gesamtheit aller Kostümierten wird in Abbildung 8
durch einen roten Winkel (≈ 100%) symbolisiert.
11 Die Schreibweise „P(Kölner|Kostümiert)“ lesen wir als
„Wahrscheinlichkeit für einen Kölner unter der Bedingung,
wir haben einen Kostümierten (100%) vor uns“. Kurz: Das
Zeichen „|“ lesen wir als „unter der Bedingung“, womit wir
natürlich explizit die betreffende Grundgesamtheit bzw. den
relevanten Grundwert (≈ 100%) ansprechen. De facto reden
wir jedoch meistens nur über den Anteil unter, etwa in der
Form P(Anteil der Kölner unter den Kostümierten).
Daneben verwenden wir Schreibweisen wie
P(Kölner|Kostümiert ≈ 100%) bzw. PKostümiert(Kölner)
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eignissen transparenter zu machen, fragen wir
nun nach einem geeigneten Modell, das vom roten – oder auch blauen – Winkel ausgehend, signalisieren könnte, wann statt der hier vorliegenden Abhängigkeiten12 tatsächlich Unabhängigkeit gegeben wäre.
Hierzu müssten wir uns von der vorliegenden
„Winkelsituation“ verabschieden, die ja dadurch
zustande kam, dass der Anteil der Kostümierten
unter den Kölner deutlich höher ist als unter den
Imis. Wäre dem nicht so und hätte man es entgegen der Bemerkung in Fußnote 12 durchgehend
mit gleichen Anteilen zu tun, etwa 40% bei Kölnern und Imis, so mutierte damit nicht nur der
Winkel zur bloßen Säule, sondern dieses Verhältnis von Kostümierten zu Narren ohne Kostüm läge auch innerhalb der Grundgesamtheit
aller Narren augenscheinlich bei 40%.
12 Selbstverständlich wären dies nur theoretische Erwägungen,
denn niemand würde ernsthaft bezweifeln, dass speziell in
Köln andere Regeln für die Kostümierung während der Karnevalszeit gelten, als sie im sonstigen Umland Brauch sind.
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Etwas allgemeiner formuliert hat man eine
Damit reduziert sich der rote Winkel aus AbGrundgesamtheit Ω vorliegen, in der ein erstes bildung 8 auf eine rote Säule und es gelten die
Merkmal mit einer Wahrscheinlichkeit von p für bereits bekannten, nachstehend nochmals notierAusprägung13 A bzw. von 1–p für Ausprägung A ten und einander äquivalenten Bedingungen:
vorkommt (vgl. Abbildung 9). Aufgrund eines
P( A∩B)= P( A )⋅P( B)
zweiten Merkmals gibt es eine weitere Auswahl
P(B)= P A (B)
B bzw. B in Form von Teilmengen dieser Grundgesamtheit.
P( A)= P B ( A )
Ausprägung A des 1. Merkmals
Denn wir haben hier im Einzelnen:
Ausprägung A des 1. Merkmals
Abbildung 9: Bezogen auf das 1. Merkmal tritt Ausprägung A
(Kölner) 7mal häufiger als Ausprägung B (Imis) auf: P(A)=1/8
Allerdings bleiben dabei die Verhältnisse
bzw. Proportionen, unter denen sich das zweite
Merkmal innerhalb der Grundgesamtheit insgesamt manifestiert, beim Übergang zu den Teilmengen, die durch das erste Merkmal festgelegt
sind, durchgängig erhalten.
B B BB B
B B B B B
B B B B B
B B B B B
B B B B B
B B B B B
B B B B B
B B B B B
Abbildung 10: Für das 2. Merkmal tritt Ausprägung B unabhängig vom jeweils vorliegenden Anteil der Gesamtmenge bzw. Ereignis des Wahrscheinlichkeitsraumes gleich oft auf.
Um dies zu gewährleisten, müssen sich diese
in der Grundgesamtheit vorliegenden Anteile
von B und B bei Einschränkung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die betrachteten Teilmengen A bzw. A proportional übertragen lassen.
13 Aus Gründen der Ökonomie unterscheiden wir hier nicht
zwischen einer Ausprägung, hier A, als definierende Eigenschaft und dem daraus resultierenden Ereignis A aus Ω.
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5
20 5
=
⋅ = P(A)·P(B)
160 160 20
40
5
= = P A(B)
P(B) =
160 20
20
5
=
P(A) =
= P B(A)
160 40
P(A∩B) =
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von
B ist demnach sowohl in der Grundgesamtheit
als auch in den angesprochen Teilmengen A bzw.
A eine Konstante14. Somit sind die angesprochenen Merkmale bzw. Ereignisse – bezogen auf
die vorliegende Grundgesamtheit Ω nebst Wahrscheinlichkeitsverteilung P – unabhängig.
Mithilfe dynamischer Geometriesoftware
(hier: GeoGebra15) lässt sich der Übergang von
der Abhängigkeit (vgl. Abbildung 11) zur Unabhängigkeit (vgl. Abbildung 13) sehr feinschrittig
dosieren.
Sofern man die Wahrscheinlichkeitsverteilung
bzgl. einer Grundgesamtheit kennt und außerdem weiß, welchen Stellenwert irgendein bestimmtes Merkmal dort einnimmt, lassen sich
diese Ausprägungen des Merkmals in jeder anderen Teilmenge der Grundgesamtheit im selben
Maße wiederentdecken, sofern diese Teilmenge
dabei über ein Merkmal definiert wurde, welches vom ersten unabhängig ist.
14 Hier 40%. Präziser formuliert haben wir sowohl bzgl. der
Wahrscheinlichkeitsverteilung P für Ω als auch bzgl. der Verteilungen PA für relevante Teilmengen A von Ω jeweils das
gleiche Maß in Form eines Anteils von 40%.
15 siehe www.geogebra.org
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Abbildung 11: Die Winkelform (rot punktiert) signalisiert die
existierenden Abhängigkeiten. Exakte Daten in Abbildung 12.
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Abbildung 13: Der Anteil der Kostümierten beträgt in allen betrachteten Teilmengen von Ω, das heißt unter den Kostümierten,
den Imis und in Ω selbst, jeweils 40%. Vgl. Abbildung 14.
Alle Positionen der Vier-Felder-Tafel können
somit direkt über die Produkte der passenden
Randwahrscheinlichkeiten berechnet werden16.
Abbildung 12: Legende zu Abbildung 11
Insbesondere resultiert daraus eine proportional verlaufende Reduktion beim Übergang von
Abbildung 14: Legende zu Abbildung 13
P(B) zu P A(B)
bzw. von
P(A) zu P B(A).
Da der Übergang – wie oben erwähnt – vom
„Winkel“ zur „Säule“ durchaus fließend erfolgen kann, ist es sinnvoll, die stochastische SiDie Erstarrung zum „Säulenmodell“ aufgrund cherheit für möglicherweise vorliegende Unabder Unabhängigkeit von A und B erklärt im sel- hängigkeit per Rechnung einzugrenzen. In dieben Atemzug aufgrund der Proportionalität ent- sem Sinne erweist sich die notwendige Proporsprechender Säulenmaße auch die Unabhängig16 Innerhalb des grünen Streifens, der in Abbildung 13 den Ankeit von A und B, A und B sowie A und B.
teil der Kölner verdeutlicht, symbolisiert das Flächenmaß
des rot gepunkteten Rechtecks die Wahrscheinlichkeit Koelner anzutreffen, die kostuemiert sind. Die Marginalwahrscheinlichkeiten liefern Breite bzw. Höhe dieses Rechtecks.
Somit ergibt sich P( A ∩B )=P ( A )⋅P(B ), wie es in Abbildung 14 für die Koelner und Kostuemierten beschrieben wird.
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tionalität – natürlich innerhalb gewisser Grenzen
Die möglichen Ausfälle20 liefern die Wahr– als relativierbar17.
scheinlichkeitsverteilung P1 in Abbildung 16.
Auf jeden Fall muss Unabhängigkeit stets als
ein Phänomen hinsichtlich der Grundgesamtheit
Ω und der vorliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung P gesehen werden. So wird – falls sich
die Verteilung bzgl. der Grundgesamtheit nur
geringfügig ändert18 – eine zuvor existierende
Unabhängigkeit wahrscheinlich verloren gehen
bzw. nicht mehr in der geforderten Schärfe 19
weiter bestehen bleiben.
Ausfälle
P1 für Rad1
bb
0,25
bg
0,25
gb
0,25
gg
0,25
Abbildung 16: Rad1: Ausfälle und Wahrscheinlichkeiten
Abbildung 17: Rad2: P(rot)=1/3 und P(grau)=2/3
Rad2 wird ebenfalls zweimal gedreht und
präsentiert für die möglichen Ausfälle die nachstehende Wahrscheinlichkeitsverteilung P2:
Abbildung 15: Rad1, P(blau)=0,5 und P(grau)=0,5
Ausfälle
rr
rg
gr
gg
P2 für Rad2 0,1111 0,2222 0,2222 0,4444
Abbildung 18: Rad2: Ausfälle und Wahrscheinlichkeiten
Interessant verhalten sich in diesem Zusammenhang wechselnde Szenarien, die beim ersten, vordergründigen Eindruck von unveränderten Grundvoraussetzungen auszugehen scheinen.
Die folgenden Überprüfungen zur Unabhängigkeit versuchen die Aufmerksamkeit für diese oft
schwer überschaubaren Zusammenhänge weiter
zu sensibilisieren.
Wir untersuchen zunächst das Ereignis A1
bzgl. Rad1, welches bei seinem ersten Drehen
grau liefert. Hier erhalten21 wir P1(A1) =
P1(gb,gg) = 0,5. Außerdem betrachten wir
A2={bg,gg}, wo es darum geht, beim zweiten
Drehen grau zu treffen. Auch hier gilt P1(A2) =
P1(bg,gg) = 0,5. Somit ergibt das Produkt
P1(A2)·P1(A2) = 0,5·0,5 = 0,25. Das ist jedoch
Hierzu schauen wir uns zwei Glücksräder an, derselbe Wert, den P1(A1∩A2) = P1(gg) = 0,25
wobei das erste im Verhältnis 1:1 in blau und liefert. Somit sind A1 und A2 unabhängig.
grau und das zweite im Verhältnis 2:1 in grau
Mit analogen Überlegungen bieten sich für
und rot in Sektoren aufgeteilt ist.
B1 = {gr,gg} und B2 = {rg,gg} folgende Wahrscheinlichkeiten22 an. P2(B1) = 2/9 + 4/9 = 2/3
Rad1 wird nun zweimal gedreht.
= 0,6667. Ebenso ist P2(B2) = 2/9 + 4/9 = 2/3 =
0,6667. Zusätzlich produziert P2(B1∩B2) =
P2(gg) = 4/9 = 0,4444, was sich vom Produkt
17 Als relevantes Überprüfungsinstrument konnte sich in dieP1(B2)·P1(B2) = 2/3·2/3 = 4/9 = 0,4444 offensem Zusammenhang zum Beispiel der Chi-Quadrat-Test etablieren.
18 Vgl. Abbildung 5 bzgl. der Schwimmer und Jogger.
19 Vgl. Abbildung 13 bzgl. möglicherweise gleitenden Übergangs von Abhängigkeit in Unabhängigkeit.
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20 Ausfall wird hier im Sinne von Ergebnis verwendet.
21 Aus ökonomischen Gründen – und weil keine Missverständnisse zu befürchten sind – notieren wir P(bb) statt P({bb}).
22 Rundung der Dezimaldarstellung auf 4 signifikante Stellen.
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Unabhängigkeitserklärung
bar nicht unterscheidet und demnach auch B1
und B2 als unabhängig einstuft.
Nun schränken wir den unmittelbaren Zugriff
auf die Glücksräder ein, indem wir vorab einen
Laplace-Würfel werfen, der den Fortgang des
Experiments beeinflusst. Fällt eine gerade Augenzahl (G), arbeiten wir mit Rad1, bei ungerader (U) dagegen mit Rad2 weiter. Damit konzipieren wir eine neue Wahrscheinlichkeitsverteilung P in Form folgender Tabelle:
Ausfälle
Gbb
Gbg
Ggb
Ggg
P mit Rad1 0,125
0,125
0,125
0,125
Ausfälle
Urr
Urg
Ugr
Ugg
P mit Rad2 0,0556 0,1111 0,1111 0,2222
Abbildung 19: Rad1 und Rad2.
Ausfälle und Wahrscheinlichkeiten
Während ohne Vorschaltung der Würfelergebnisse für jedes Rad eine separate Verteilung vorlag, bringt die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung23 P alle relevanten Ausfälle „unter einen
gemeinsamen Hut“. Wir bekommen diesmal24
folgende Werte: P(C1) = P(Ggb,Ggg,Ugr,Ugg)
= (1/8 + 1/8) + (1/9 + 2/9) = (0,125 + 0,125) +
(0,1111 + 0,2222) = 7/12 = 0,5833. Außerdem
betrachten wir C2={Gbg,Ggg,Urg,Ugg}, wo es
darum geht, beim zweiten Drehen grau zu treffen. Hier gilt P(C2) = P(Gbg,Ggg,Urg,Ugg) =
(1/8 + 1/8) + (1/9 + 2/9) = (0,125 + 0,125) +
(0,1111 + 0,2222) = 7/12 = 0,5833. Somit ergibt
das Produkt P(C1)·P(C2) = 7/12·7/12 = 49/144
= 0,3403. Das ist jedoch nicht derselbe Wert,
den P(C1∩C2) = P(Ggg,Ugg) = 1/8 + 2/9 =
27/72 = 0,375 liefert. Somit sind C1 und C2
nicht unabhängig.
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P ( A∩B)=P( A )⋅P(B)
(∆)
Hier ist sofort erkennbar, dass eine Disjunktheit der Ereignisse A und B zur Folge hat, dass
entweder P(A) oder P(B) den Wert Null annehmen muss, damit oben aufgeführte definierende
Gleichung (∆) Bestand hat, da die Disjunktheit25
die linke Seite der Gleichung auf jeden Fall mit
dem Wert Null belegt.
Die andere Grenzsituation haben wir bei
Gleichheit beider Ereignisse, also A = B, gegeben. Dann muss aber entweder
oder
sein, damit Gleichung (∆) zum Tragen
kommen kann. Denn nur für die Wahrscheinlichkeiten 0 und 1 bekommt man nach dem Quadrieren, das heißt mit P(A)·P(A) = (P(A))2 denselben Wert P(A) zurück.
Abbildung 20: Regensburg 2015: Verschiedene Dachkonstruktionen konkurrieren in diesem Ensemble unter anderem bzgl. ästhetischer Kriterien abhängig voneinander um eine Rangfolge.
Überlegungen zur Unabhängigkeit von mehr
als zwei Ereignissen sollen – aufgrund der dabei
deutlich zunehmenden Komplexität hinsichtlich
ihrer Überprüfung – an dieser Stelle nicht weiter
thematisiert werden. Beachtenswert ist in diesem
Fall die Tatsache, dass selbst aus der paarweisen
Unabhängigkeit von Teilmengen des ErgebnisWerfen wir einen abschließenden Blick auf raumes nicht notwendigerweise die Unabhänrm
die Formel für die Unabhängigkeit von Ereignis- gigkeit aller beteiligten Ereignisse folgt.
sen A und B.
23 Von daher erübrigt sich in Abbildung 19 eigentlich die zweifarbige Kennzeichnung von P.
24 – für die Wahrscheinlichkeit beim ersten Drehen „grau“ zu
treffen – gleichgültig, ob es sich um das erste oder das zweite Glücksrad handelt –
© 09.04.2015 Bezirksregierung Düsseldorf, Dezernat 46, Rolf Mantyk
25 Falls A und B unvereinbar sind, falls also A∩B=∅ ist, gilt
der Summensatz für Wahrscheinlichkeiten:
P ( A∪B)=P( A )+P (B)
Sind A und B dagegen unabhängig, gilt der Produktsatz für
Wahrscheinlichkeiten:
P( A∩B)=P ( A)⋅P (B)