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Nordrhein-Westfalen Abitur 2015 | Grundkurs
Abitur
Aufgabe 5: Stochastik
zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner
Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie
strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine
Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,2 „2. Wahl“ (d. h. mit der
Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen. Jede Packung
enthält 20 Fliesen.
(2)
a) (1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier
„2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.
(3)
(2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens 90 %
der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.
(4)
(3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der
„2. Wahl“-Fliesen höchstens um 2 von der erwarteten Anzahl abweicht.
b) Die 20 Fliesen einer Packung wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt.
(2)
(1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit pe dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe
nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.
[Kontrollergebnis pe = 0,32768]
(5)
(2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die
nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.
(6)
(3) In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinanderliegen.
c) Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die
nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.
Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen
ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal
funktioniert:
Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 und
sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von
0,05 zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.
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(8)
(1) Stellen Sie die Situation grafisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten).
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällige ausgewählte
Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).
(4)
(2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung
nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.
d) Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“Wahrscheinlichkeit von p = 0,2 zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test
überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils
geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig 100 Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.
(11)
(1) Ermitteln Sie einen geeigneten Hypothesentest (geben Sie geeignete Hypothesen an,
begründen Sie die Wahl von H0 und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens
5 %.
(5)
(2) Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf p = 0,15 gesenkt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu
einer Fehlentscheidung führt.
(50)
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Tabellen
Tabelle 1: σ-Regeln für Binomialverteilungen
Eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgröße X hat den
q
Erwartungswert µ = n · p und die Standardabweichung σ = n · p · (1 − p) .
Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, gelten die σ-Regeln:
P(µ − 1,64σ ≤ X ≤ µ + 1,64σ) ≈ 0,90
P(µ − 1,64σ ≤ X ) ≈ 0,95
P(X ≤ µ + 1,64σ) ≈ 0,95
P(µ − 1,96σ ≤ X ≤ µ + 1,96σ) ≈ 0,95
P(µ − 1,96σ ≤ X ) ≈ 0,975
P(X ≤ µ + 1,96σ) ≈ 0,975
P(µ − 2,58σ ≤ X ≤ µ + 2,58σ) ≈ 0,99
P(µ − 2,58σ ≤ X ) ≈ 0,995
P(X ≤ µ + 2,58σ) ≈ 0,995
P(µ − 1σ ≤ X ≤ µ + 1σ) ≈ 0,683
P(µ − 1σ ≤ X ) ≈ 0,841
P(X ≤ µ + 1σ) ≈ 0,841
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0,954
P(µ − 2σ ≤ X ) ≈ 0,977
P(X ≤ µ + 2σ) ≈ 0,977
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 0,997
P(µ − 3σ ≤ X ) ≈ 0,999
P(X ≤ µ + 3σ) ≈ 0,999
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Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n = 10 und n = 20
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
p
n
10
k
0,02
0,05
0,08
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,5
0
0,8171
0,5987
0,4344
0,3487
0,1969
0,1074
0,0563
0,0282
0,0010
9
1
0,9838
0,9139
0,8121
0,7361
0,5443
0,3758
0,2440
0,1493
0,0107
8
2
0,9991
0,9885
0,9599
0,9298
0,8202
0,6778
0,5256
0,3828
0,0547
7
3
0,9990
0,9942
0,9872
0,9500
0,8791
0,7759
0,6496
0,1719
6
4
0,9999
0,9994
0,9984
0,9901
0,9672
0,9219
0,8497
0,3770
5
0,9999
0,9986
0,9936
0,9803
0,9527
0,6230
4
0,9999
0,9991
0,9965
0,9894
0,8281
3
0,9999
0,9996
0,9984
0,9453
2
0,9999
0,9893
1
0,9990
0
5
6
7
8
Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000
9
20
0
0,6676
0,3585
0,1887
0,1216
0,0388
0,0115
0,0032
0,0008
0,0000
19
1
0,9401
0,7358
0,5169
0,3917
0,1756
0,0692
0,0243
0,0076
0,0000
18
2
0,9929
0,9245
0,7879
0,6769
0,4049
0,2061
0,0913
0,0355
0,0002
17
3
0,9994
0,9841
0,9294
0,8670
0,6477
0,4114
0,2252
0,1071
0,0013
16
4
0,9974
0,9817
0,9568
0,8298
0,6296
0,4148
0,2375
0,0059
15
5
0,9997
0,9962
0,9887
0,9327
0,8042
0,6172
0,4164
0,0207
14
6
0,9994
0,9976
0,9781
0,9133
0,7858
0,6080
0,0577
13
7
0,9999
0,9996
0,9941
0,9679
0,8982
0,7723
0,1316
12
0,9999
0,9987
0,9900
0,9591
0,8867
0,2517
11
0,9998
0,9974
0,9861
0,9520
0,4119
10
10
0,9994
0,9961
0,9829
0,5881
9
11
0,9999
0,9991
0,9949
0,7483
8
0,9998
0,9987
0,8684
7
0,9997
0,9423
6
0,9793
5
0,9941
4
0,9987
3
0,9998
2
0,5
k
8
9
12
13
14
15
16
Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000
17
n
0,98
0,95
0,92
0,9
0,85
0,8
0,75
0,7
p
Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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n
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20
n
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Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n = 50
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
p
n
50
k
0,02
0,05
0,1
0,125
0,15
0,2
0,25
0,3
0,4
0,5
0
0,3642
0,0769
0,0052
0,0013
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
49
1
0,7358
0,2794
0,0338
0,0103
0,0029
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
48
2
0,9216
0,5405
0,1117
0,0418
0,0142
0,0013
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
47
3
0,9822
0,7604
0,2503
0,1138
0,0460
0,0057
0,0005
0,0000
0,0000
0,0000
46
4
0,9968
0,8964
0,4312
0,2346
0,1121
0,0185
0,0021
0,0002
0,0000
0,0000
45
5
0,9995
0,9622
0,6161
0,3935
0,2194
0,0480
0,0070
0,0007
0,0000
0,0000
44
6
0,9999
0,9882
0,7702
0,5637
0,3613
0,1034
0,0194
0,0025
0,0000
0,0000
43
7
0,9968
0,8779
0,7165
0,5188
0,1904
0,0453
0,0073
0,0001
0,0000
42
8
0,9992
0,9421
0,8339
0,6681
0,3073
0,0916
0,0183
0,0002
0,0000
41
9
0,9998
0,9755
0,9121
0,7911
0,4437
0,1637
0,0402
0,0008
0,0000
40
10
0,9906
0,9579
0,8801
0,5836
0,2622
0,0789
0,0022
0,0000
39
11
0,9968
0,9817
0,9372
0,7107
0,3816
0,1390
0,0057
0,0000
38
12
0,9990
0,9928
0,9699
0,8139
0,5110
0,2229
0,0133
0,0002
37
13
0,9997
0,9974
0,9868
0,8894
0,6370
0,3279
0,0280
0,0005
36
14
0,9999
0,9991
0,9947
0,9393
0,7481
0,4468
0,0540
0,0013
35
15
0,9997
0,9981
0,9692
0,8369
0,5692
0,0955
0,0033
34
16
0,9999
0,9993
0,9856
0,9017
0,6839
0,1561
0,0077
33
17
0,9998
0,9937
0,9449
0,7822
0,2369
0,0164
32
18
0,9999
0,9975
0,9713
0,8594
0,3356
0,0325
31
19
0,9991
0,9861
0,9152
0,4465
0,0595
30
20
0,9997
0,9937
0,9522
0,5610
0,1013
29
21
0,9999
0,9974
0,9749
0,6701
0,1611
28
22
0,9990
0,9877
0,7660
0,2399
27
23
0,9996
0,9944
0,8438
0,3359
26
24
0,9999
0,9976
0,9022
0,4439
25
25
0,9991
0,9427
0,5561
24
26
0,9997
0,9686
0,6641
23
27
0,9999
0,9840
0,7601
22
28
0,9924
0,8389
21
29
0,9966
0,8987
20
30
0,9986
0,9405
19
31
0,9995
0,9675
18
32
0,9998
0,9836
17
33
0,9999
0,9923
16
0,9967
15
0,9987
14
36
0,9995
13
37
0,9998
12
0,5
k
34
Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000
35
n
n
0,98
0,95
0,9
0,875
0,85
0,8
0,75
0,7
0,6
50
p
Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n = 100
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
n
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
100 29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
n
0,05
0,0059
0,0371
0,1183
0,2578
0,4360
0,6160
0,7660
0,8720
0,9369
0,9718
0,9885
0,9957
0,9985
0,9995
0,9999
0,07
0,0007
0,0060
0,0258
0,0744
0,1632
0,2914
0,4443
0,5988
0,7340
0,8380
0,9092
0,9531
0,9776
0,9901
0,9959
0,9984
0,9994
0,9998
0,9999
0,1
0,0000
0,0003
0,0019
0,0078
0,0237
0,0576
0,1172
0,2061
0,3209
0,4513
0,5832
0,7030
0,8018
0,8761
0,9274
0,9601
0,9794
0,9900
0,9954
0,9980
0,9992
0,9997
0,9999
0,15
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0016
0,0047
0,0122
0,0275
0,0551
0,0994
0,1635
0,2473
0,3474
0,4572
0,5683
0,6725
0,7633
0,8372
0,8935
0,9337
0,9607
0,9779
0,9881
0,9939
0,9970
0,9986
0,9994
0,9997
0,9999
1/6
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0013
0,0038
0,0095
0,0213
0,0427
0,0777
0,1297
0,2000
0,2874
0,3877
0,4942
0,5994
0,6965
0,7803
0,8481
0,8998
0,9369
0,9621
0,9783
0,9881
0,9938
0,9969
0,9985
0,9993
0,9997
0,9999
p
0,2
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0009
0,0023
0,0057
0,0126
0,0253
0,0469
0,0804
0,1285
0,1923
0,2712
0,3621
0,4602
0,5595
0,6540
0,7389
0,8109
0,8686
0,9125
0,9442
0,9658
0,9800
0,9888
0,9939
0,9969
0,9984
0,9993
0,9997
0,9999
0,9999
0,25
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0010
0,0025
0,0054
0,0111
0,0211
0,0376
0,0630
0,0995
0,1488
0,2114
0,2864
0,3711
0,4617
0,5535
0,6417
0,7224
0,7925
0,8505
0,8962
0,9307
0,9554
0,9724
0,9836
0,9906
0,9948
0,9973
0,9986
0,9993
0,9997
0,9999
0,9999
0,27
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0006
0,0014
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0,0068
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0,0420
0,0684
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0,1552
0,2172
0,2909
0,3737
0,4620
0,5516
0,6379
0,7172
0,7866
0,8446
0,8909
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0,9697
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0,9940
0,9968
0,9983
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
0,3
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
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0,0755
0,1136
0,1631
0,2244
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0,5491
0,6331
0,7107
0,7793
0,8371
0,8839
0,9201
0,9470
0,9660
0,9790
0,9875
0,9928
0,9960
0,9979
0,9989
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999
1/3
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
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0,0024
0,0048
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0,0164
0,0281
0,0458
0,0715
0,1066
0,1524
0,2093
0,2766
0,3525
0,4344
0,5188
0,6019
0,6803
0,7511
0,8123
0,8630
0,9034
0,9341
0,9566
0,9724
0,9831
0,9900
0,9943
0,9969
0,9983
0,9991
0,9996
0,9998
0,9999
0,4
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0006
0,0012
0,0024
0,0046
0,0084
0,0148
0,0248
0,0398
0,0615
0,0913
0,1303
0,1795
0,2386
0,3068
0,3822
0,4621
0,5433
0,6225
0,6967
0,7635
0,8211
0,8689
0,9070
0,9362
0,9577
0,9729
0,9832
0,9900
0,9942
0,9968
0,9983
0,9991
0,9996
0,9998
2/3
0,6
Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000
0,95
0,93
0,9
0,85
5/6
0,8
p
0,75
0,73
0,7
n
99
98
97
96
95
94
93
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70 100
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
k
n
Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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Tabelle 5: Kumulierte Binomialverteilung für n = 200
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
p
n
200
n
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
0,02
0,0176
0,0894
0,2351
0,4315
0,6288
0,7867
0,8914
0,9507
0,9798
0,9925
0,9975
0,9992
0,9998
0,9999
0,04
0,0003
0,0027
0,0125
0,0395
0,0950
0,1856
0,3084
0,4501
0,5926
0,7192
0,8200
0,8925
0,9401
0,9688
0,9848
0,9930
0,9970
0,9988
0,9995
0,9998
0,9999
0,05
0,0000
0,0004
0,0023
0,0090
0,0264
0,0623
0,1237
0,2133
0,3270
0,4547
0,5831
0,6998
0,7965
0,8701
0,9219
0,9556
0,9762
0,9879
0,9942
0,9973
0,9988
0,9995
0,9998
0,9999
0,1
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
0,0014
0,0035
0,0081
0,0168
0,0320
0,0566
0,0929
0,1431
0,2075
0,2849
0,3724
0,4655
0,5592
0,6484
0,7290
0,7983
0,8551
0,8995
0,9328
0,9566
0,9729
0,9837
0,9905
0,9946
0,9971
0,9985
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
0,15
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0010
0,0021
0,0043
0,0082
0,0149
0,0255
0,0415
0,0645
0,0959
0,1368
0,1876
0,2480
0,3166
0,3914
0,4697
0,5485
0,6247
0,6958
0,7596
0,8150
0,8613
0,8987
0,9280
0,9502
0,9665
0,9780
0,9860
0,9913
0,9947
0,9969
0,9982
0,9990
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
1/6
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0006
0,0013
0,0027
0,0052
0,0094
0,0163
0,0269
0,0426
0,0648
0,0945
0,1329
0,1803
0,2366
0,3007
0,3711
0,4454
0,5210
0,5953
0,6658
0,7305
0,7877
0,8369
0,8777
0,9106
0,9362
0,9556
0,9699
0,9801
0,9872
0,9919
0,9950
0,9970
0,9983
0,9990
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,2
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
0,0010
0,0020
0,0036
0,0064
0,0110
0,0179
0,0283
0,0430
0,0632
0,0899
0,1239
0,1656
0,2151
0,2717
0,3345
0,4019
0,4718
0,5422
0,6108
0,6758
0,7355
0,7887
0,8349
0,8738
0,9056
0,9310
0,9506
0,9655
0,9764
0,9843
0,9897
0,9934
0,9959
0,9975
0,9985
0,9991
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000
0,98
0,96
0,95
0,9
0,85
5/6
0,8
0,25
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0008
0,0014
0,0026
0,0044
0,0073
0,0117
0,0182
0,0276
0,0405
0,0578
0,0804
0,1089
0,1438
0,1852
0,2332
0,2870
0,3458
0,4083
0,4729
0,5379
0,6017
0,6626
0,7192
0,7707
0,8162
0,8555
0,8885
0,9157
0,9375
0,9546
0,9677
0,9774
0,9846
0,9897
0,9932
0,9956
0,9972
0,9983
0,9990
0,9994
0,9996
0,9998
0,9999
0,9999
0,75
n
199
198
197
196
195
194
193
192
191
190
189
188
187
186
185
184
183
182
181
180
179
178
177
176
175
174
173
172
171
170
169
168
167
166
165
164
163
162 200
161
160
159
158
157
156
155
154
153
152
151
150
149
148
147
146
145
144
143
142
141
140
139
138
137
136
135
134
133
132
131
130
129
128
127
126
125
k
n
p
Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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Tabelle 6: Kumulierte Binomialverteilung für n = 400
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
p
n
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
400 32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
n
0,01
0,0180
0,0905
0,2366
0,4325
0,6288
0,7859
0,8904
0,9498
0,9792
0,9922
0,9973
0,9992
0,9998
0,9999
0,02
0,0003
0,0028
0,0131
0,0410
0,0973
0,1885
0,3109
0,4515
0,5926
0,7179
0,8179
0,8903
0,9381
0,9673
0,9838
0,9924
0,9966
0,9986
0,9994
0,9998
0,9999
0,05
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0006
0,0017
0,0042
0,0094
0,0190
0,0355
0,0614
0,0990
0,1499
0,2145
0,2912
0,3771
0,4680
0,5591
0,6459
0,7246
0,7927
0,8490
0,8935
0,9274
0,9520
0,9693
0,9810
0,9886
0,9933
0,9962
0,9979
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
Nicht aufgeführte Werte
sind (auf 4 Dez.) 1,0000
0,99
0,98
0,95
0,1
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0009
0,0017
0,0031
0,0054
0,0092
0,0149
0,0235
0,0357
0,0524
0,0746
0,1030
0,1382
0,1805
0,2296
0,2849
0,3453
0,4095
0,4756
0,5420
0,6067
0,6682
0,7251
0,7763
0,8214
0,8600
0,8924
0,9188
0,9399
0,9564
0,9689
0,9783
0,9851
0,9900
0,9934
0,9957
0,9973
0,9983
0,9989
0,9994
0,9996
0,9998
0,9999
0,9999
0,9
n
399
398
397
396
395
394
393
392
391
390
389
388
387
386
385
384
383
382
381
380
379
378
377
376
375
374
373
372
371
370
369
368
367 400
366
365
364
363
362
361
360
359
358
357
356
355
354
353
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351
350
349
348
347
346
345
344
343
342
341
340
339
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k
n
p
Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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Tabelle 7: Kumulierte Binomialverteilung für n = 1000
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
n
k
0
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
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15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
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26
27
28
29
30
31
32
1000
33
34
35
36
37
38
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41
42
43
44
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49
50
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54
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57
58
59
60
61
62
63
64
65
n
0,01
0,0000
0,0005
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0,2189
0,3317
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0,7925
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0,9993
0,9997
0,9999
0,015
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0008
0,0026
0,0073
0,0174
0,0364
0,0684
0,1166
0,1828
0,2657
0,3618
0,4649
0,5681
0,6649
0,7501
0,8211
0,8769
0,9186
0,9482
0,9683
0,9813
0,9894
0,9942
0,9969
0,9984
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
0,02
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0007
0,0019
0,0047
0,0102
0,0204
0,0376
0,0642
0,1025
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0,4694
0,5591
0,6446
0,7222
0,7895
0,8455
0,8901
0,9242
0,9493
0,9671
0,9793
0,9874
0,9925
0,9957
0,9976
0,9987
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
p
0,025
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
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0,5529
0,6304
0,7020
0,7658
0,8207
0,8662
0,9027
0,9311
0,9524
0,9680
0,9790
0,9865
0,9916
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0,9969
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0,9990
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0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
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0,1110
0,1534
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0,4009
0,4746
0,5484
0,6197
0,6866
0,7472
0,8005
0,8461
0,8838
0,9142
0,9381
0,9563
0,9698
0,9796
0,9865
0,9912
0,9944
0,9965
0,9979
0,9987
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
0,9999
0,035
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
0,0010
0,0020
0,0038
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0,0116
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0,0302
0,0458
0,0670
0,0948
0,1299
0,1725
0,2225
0,2793
0,3416
0,4079
0,4763
0,5448
0,6114
0,6743
0,7321
0,7839
0,8289
0,8672
0,8989
0,9246
0,9448
0,9603
0,9721
0,9807
0,9869
0,9913
0,9943
0,9964
0,9977
0,9986
0,9991
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,97
0,965
Nicht aufgeführte Werte
sind (auf 4 Dez.) 1,0000
0,99
0,985
0,98
0,975
p
0,04
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0003
0,0006
0,0012
0,0022
0,0039
0,0067
0,0110
0,0175
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0,0402
0,0580
0,0812
0,1105
0,1463
0,1887
0,2374
0,2919
0,3511
0,4135
0,4777
0,5419
0,6046
0,6642
0,7196
0,7698
0,8142
0,8526
0,8851
0,9119
0,9337
0,9509
0,9643
0,9745
0,9821
0,9876
0,9916
0,9944
0,9963
0,9976
0,9985
0,9991
0,9994
0,9996
0,9998
0,9999
0,9999
0,96
n
999
998
997
996
995
994
993
992
991
990
989
988
987
986
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983
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980
979
978
977
976
975
974
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972
971
970
969
968
967
1000
966
965
964
963
962
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959
958
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Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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Kumulierte Binomialverteilung für n = 1000
 
 
n
n
F (n; p; k) = B(n; p; 0) + · · · + B(n; p; k) =  p 0 (1 − p)n−0 + · · · +  p k (1 − p)n−k
0
k
p
n
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250
251
252
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260
261
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270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
1000 282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
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296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
n
0,2
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,8
0,25
0,5170
0,5460
0,5747
0,6031
0,6308
0,6579
0,6842
0,7095
0,7338
0,7571
0,7791
0,8000
0,8196
0,8380
0,8550
0,8708
0,8854
0,8987
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0,9219
0,9319
0,9408
0,9488
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0,9936
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0,9972
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0,9982
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0,9989
0,9991
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9997
0,9998
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0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
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1,0000
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1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,75
0,3
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0,0003
0,0004
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0,0169
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0,0238
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0,0329
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0,0516
0,0594
0,0682
0,0779
0,0886
0,1003
0,1132
0,1271
0,1422
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0,1759
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0,2142
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0,2569
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0,3036
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0,6744
0,6988
0,7223
0,7448
0,7663
0,7868
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0,8415
0,7
0,35
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
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0,0000
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n
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952
951
950
949
948
947
946
945
944
943
942
941
940
939
938
937
936
935
k
n
p
Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p ≥ 0,5, gilt: F (n; p; k) = 1 − abgelesener Wert.
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Tabelle 8: Normalverteilung
Φ(z) = 0, ...
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
0
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
2
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
3
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
4
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
Beispiele für den Gebrauch:
Φ(2,32) = 0,9898
Φ(−0,9) = 1 − Φ(0,9) = 0,1841
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5
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
6
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
7
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
8
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
9
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
Φ(z) = 0,994 =⇒ z = 2,51
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Bemerkungen der TOUCHDOWN-Redaktion:
1) Die Werte in Tabelle 1 beziehen sich auf eine Normalapproximation ohne
Stetigkeitskorrektur.
2) Die Beispiele zum Gebrauch von Tabelle 8 sind nicht als exakte Gleichungen
zu verstehen, sondern sie gelten nur innerhalb der angegebenen Genauigkeit (Eingangswerte von Φ auf 2 Nachkommastellen, Funktionswerte auf 4
Nachkommastellen).
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