Nullstellen und Vorzeichen

3. Mehrfache Nullstellen und Vorzeichenverhalten
Bei einer vollständig gekürzten ganzrationalen Funktion liefern die
•
Nullstellen des Zählers :
Nullstellen des Graphen (inkl. Vielfachheit und VZW)
•
Nullstellen des Nenners:
Definitionslücken sowie
Stellen mit senkrechten Asymptoten sowie
Polstellen (inkl. Vielfachheit mit/ohne VZW)
Zum Zeichnen/Skizzieren der Graphen, insbesondre ihres Vorzeichen-Verhaltens
• überlegt man sich das Grenzwertverhalten für f(x) → ∞ (wie bei Polynom-Fuen) oder
• geht man von einer beliebigen Stelle x0 (z. B. x0 = 0) aus,
und berechnet dort f(x0) mit S(x0|f(x0) ) als Startpunkt
und vervollständigt von dort aus den Graphen mit Hilfe der Nullstellen und Polstellen
einschließlich ihrer Vielfachheiten und VZW.
Beispiel:
f(x) =
10( x + 2)
( x + 1)(x − 3)
2
; x0 = 0 ∈ D = IR \ {−1; 3} , f(x0 = 0) =
20
9
, also S(0| 20
) als Startpunkt.
9
Nullstellen:
ZNST: x1 = −2
einfache NST mit VZW
NNST: x2 = −1
einfacher Pol mit VZW, x3 = 3 doppelter Pol ohne VZW
y
3
*S
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
Verfahren Sie ebenso mit:
f1(x) =
x 2 −1
( x + 3) 3 ( x + 4)
8 − x3
f4(x) = −
4
3
x + x − 2x
2
5
f7(x) =
−
x+3 x +9
6 + x + 9x
f10(x) =
f2(x) =
4
3
( x + 3) 2 ( x + 4)
1
1
+
x x +1
2
1
f8(x) = 2 −
x +1 x
f5(x) =
2
x + 4x − x − x
x ( x − 2)
2
f11(x) =
f3(x) =
x3 +1
x 4 − 2x 2 − 8
1
1
−
x 1+ x
1
1
4
f9(x) = +
+
x x + 1 2x
f6(x) =
2
2
+
( x + 3)( x − 4) x 3 − 12x − x 2
8 x