9. ¨Ubungsblatt ”Theoretische Physik I: Klassische

9. Übungsblatt ”Theoretische Physik I: Klassische Mechanik”
10.01.2012 - 12.01.2012, Universität Wien
26. (a) Betrachten Sie einen dünnen Stab der Masse m mit homogener Dichte, Länge L und
einem Radius, der viel kleiner ist als L. Der Stab ist entlang der x-Achse orientiert und der
Massenmittelpunkt fällt mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen. Berechnen
Sie das Trägheitsmoment Iz für die Rotation um die z-Achse. Berechnen Sie außerdem das
Trägheitsmoment für eine Rotation um eine zu z parallele Achse, die das Ende des Seils
berührt.
(b) Betrachten Sie eine Kugel homogener Dichte mit Gesamtmasse m und Radius R.
Berechnen Sie das Trägheitsmoment für eine Rotation um eine Achse durch den Kugelmittelpunkt. Berechnen Sie außerdem das Trägheitsmoment für eine Rotation um eine Achse,
die die Kugel tangiert.
27. In grober Näherung kann man einen Christbaum als Kreiskegel homogener Dichte mit
Masse m, Bodenradius R und Höhe H beschreiben.
(a) Berechnen Sie die Trägheitsmomente für Rotationen um die x, y und z Achse (mit der
z Achse als Symmetrieachse), wo der Ursprung des Koordinatensystems in der Spitze des
Kegels liegt. Den Kegel umzudrehen könnte ein wenig helfen.
(b) Finden Sie die drei Trägheits-Hauptachsen x′ , y ′ , und z ′ – dafür müssen Sie den Massenmittelpunkt des Kegels bestimmen – und berechnen Sie die Trägheitsmomente für Rotationen um diese Achsen. Benutzen Sie dafür die Resultate aus (a) und den Satz von Steiner
(denken Sie über das Vorzeichen nach).
28. Betrachten Sie eine Billardkugel mit homogener Dichte, Gesamtmasse m und Radius R. Sie
wird mit einem Queue so getroffen, dass sie nur einen Impuls parallel zum Tisch bekommt.
Unmittelbar nach dem Stoß hat der Massenmittelpunkt der Kugel die Geschwindigkeit v0
und sie rotiert nicht. Der Reibungskoeffizient mit dem Billardtisch wird mit µ bezeichnet.
(a) Berechnen Sie die Strecke nach dem Stoß, nach welcher die Billardkugel perfekt am Tisch
rollt. Idealisieren Sie folgendermaßen: Nehmen Sie an, dass die Reibungskraft konstant ist
bis zu dem Moment wo die Kugel perfekt rollt – wann ist das, wo ist der Massenmittelpunkt
und wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit? –, und dass es keine Reibung mehr gibt nach
diesem Moment.
(b) Welcher Anteil der anfänglichen (rein kinetischen) Energie ist in der Bewegung der
Kugel (Translation und Rotation) gespeichert, wenn sie perfekt rollt? Was ist mit dem
Rest der Energie passiert?
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