Diplomprüfung in TM II, SS 2008 - Institut für Technische und

Institut für Technische und Num. Mechanik
Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard
Technische Mechanik II
SS 2008
P2
Aufgabe 1 (6 Punkte) teilweise behandelt
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
26. August 2008
Diplom-Vorprüfung in Technischer Mechanik II
Nachname, Vorname
Matr.-Nummer
Ja
Nein
Drehbewegungen um Hauptträgheitsachsen sind stets stabil.


Die dynamischen Euler-Gleichungen gelten nicht im
Hauptachsensystem.


Präzessionsbewegungen erfordern ein äußeres Moment.


Jede periodische Schwingung ist eine Sinusschwingung.


Das Lehrsche Dämpfungsmaß beeinflusst die Schwingungsdauer eines linearen gedämpften Schwingers.


Die Hüllkurve von Schwebungen ist periodisch.


Fachrichtung
Aufgaben, die nicht zum Stoffumfang TM2/3 gehören, sind
entsprechend markiert
1. Die Prüfung umfasst 7 Aufgaben auf 6 Blättern.
2. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen.
3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken.
4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden.
5. Außer elektronischen Geräten sind alle Hilfsmittel zugelassen.
6. Bearbeitungszeit: 120 Minuten.
7. Unterschreiben Sie die Prüfung erst beim Eintragen Ihres Namens in die
Sitzliste.
Aufgabe 2 (7 Punkte)
 3

Ein Trägheitstensor sei gegeben als J   0

 2

a) Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente und ordnen Sie diese nach ihrem
Betrag (  1   2   3 ).
1 
………………………………………..
(Unterschrift)
∑
Korrektur

,
2 

,
3 

b) Geben Sie die normierten Richtungsvektoren der drei Hauptachsen an.



,
             




w3 
             
w1 
Punkte
0  2 
4
0 .

0
4 

w2 



,
             
Aufgabe 3 (10 Punkte) ohne "Stoß-"Aufgabenteil
Nach einem Eckball beim Radballspiel kommt es im Punkt P zu einem Stoß
zwischen dem Ball (Punktmasse m) und der Felge des Vorderrads (Radius r)
eines Radballrades. Zum Zeitpunkt des Stoßes ist das Fahrrad um den
konstanten Winkel α gegenüber der Horizontalen geneigt. Die Gabel ist um den
ebenfalls konstanten Winkel β gegenüber der Vertikalen des Rahmens geneigt.
Der Lenker wird um den Winkel  ( t )  t verdreht. Der Punkt P liegt auf der
Felge unter einem konstanten Winkel δ gegenüber der Verlängerung der Gabel
und wird im körperfesten Koordinatensystem der Felge K´{O´,x´,y´,z´} durch
rO'P, K' = [-r 0 0] beschrieben. Die Orientierung des
den
Vektor
Koordinatensystems K´ lässt sich vorteilhaft mit Euler-Winkeln beschreiben.
Hinweis: Die Teilaufgaben e)-f) können unabhängig von a)-d) gelöst werden.
γ
L
a) Wie ist die Drehreihenfolge bei Euler-Winkeln mit den Zwischensystemen
K und K  ?
 x  y  z -Achse
 z  y   z  -Achse
 z  x   z  -Achse
Die Euler-Winkel ergeben sich zu      ,  t ,   .
b) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Vorderrads im körperfesten
Koordinatensystem K´.


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 




ω KK´,K´  
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 


c) Bestimmen Sie den Ortsvektor rOO', K dargestellt im Koordinatensystem K.
β
r
z´
x´
rOO', K
O´
P
δ
y´


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _






_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 




 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
d) Bestimmen Sie die Führungsbeschleunigung der Punktmasse dargestellt im
Koordinatensystem K'.
α
r
x
O
z
y
a F, K'


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 






_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 




 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
Im folgenden soll der glatte Stoß (Stoßzahl ε) zwischen Vorderradfelge und Ball
analysiert werden. Die Auftreffgeschwindigkeit des Balls dargestellt im
Koordinatensystem K beträgt vB0, K=[v 0 -4v]. Das Vorderrad wird als
nichtverrückbare Ebene (x´- y´-Ebene) aufgefasst. Sämtliche Winkel haben
konstante Werte und die Transformationsmatrix CKK' ergibt sich zu
C KK'
 1
1
  3
4
6

6 
3

 1  6 .
6
2 

e) Wie groß ist die Auftreffgeschwindigkeit des Balls vB0,
v B0, K'
K’
In
einem
parabelförmigen
Tunnel
2
( y t ( x )  c( 2  x ) ) lehnt eine Leiter
(Länge L). Aufgrund zu geringer
Reibung gerät die Leiter ins Gleiten.
Die Leiter berührt die Tunnelwand
dabei stets im leiterfesten Punkt P und
den Tunnelboden im leiterfesten Punkt
Q.
P
L
y t (x )
dargestellt in K'?


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 






_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 




 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
f) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Balls unmittelbar nach dem Stoß im
Koordinatensystem K'.
v B1, K'
Aufgabe 4 (7 Punkte)


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 






_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 




 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
a) Skizzieren Sie den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P sowie
den
Momentanpol
in
der
nebenstehenden Darstellung und
kennzeichnen Sie den Momentanpol
mit M.
y
x
vQ
Q
b(t )
b) Geben Sie die Ortsvektoren der Punkte P und Q an.


                              

rP  




                              


                              

rQ  




                              
c) Mit welchen Gleichungen lässt sich der Ortsvektor des Momentanpols
berechnen?

v P  rMP  0
v Q  rMQ  0

rMP  ω  v P
rMQ  ω  v P

rP  ω  v P
Aufgabe 5 (15 Punkte)
c) Geben Sie die Massenträgheitsmomente der beiden Zylinder an.
Das Massenträgheitsmoment eines Kegelrades (Dichte  ) bezüglich seiner
Rotationsachse (y-Achse) soll bestimmt werden. Der Zahnkranz wird hierbei
vernachlässigt. Der Radkörper wird als eine Verknüpfung von zwei Vollzylindern
und zwei Kreiskegeln betrachtet.
Hinweis: Das Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders mit Radius r
J Z1 

R (y) 
Grundflächenradius r ist J K  103 mr 2 .

2
h
3
Kegel 1
e) Vervollständigen Sie das Integral zur Berechnung der Masse von Kegel 1.
Kegel 2
m K1 
h
f)
1
h
3
r


0
x
6r

d) Geben Sie den Radius der Mantelfläche des Kegelrades als Funktion der
Koordinate y an.
bezüglich seiner Rotationsachse ist J Z  12 mr 2 , das eines Kreiskegels mit
y
J Z2 
,
R  ( y)

dy
Bestimmen Sie die Massen der beiden Kegel.
m K1 
,
mK2 

2r
Zylinder 1

Zylinder 2
g) Bestimmen Sie die Trägheitsmomente der beiden Kegel.
a) Wie setzt sich das Massenträgheitsmoment des Kegelrades aus den
Massenträgheitsmomenten der Kegel J K1 und J K 2 und der Zylinder J Z1 und
J Z 2 zusammen?
J( J K1 , J K 2 , J Z1 , J Z 2 ) 

b) Geben Sie die Massen der beiden Zylinder an.
m Z1 
,

m Z2 

J K1 
,

JK2 

Aufgabe 6 (21 Punkte)
c) Schneiden Sie das System frei, tragen Sie alle angreifenden Kräfte in die
Skizze ein und benennen Sie diese.
An einer Feder (Federkonstante c, ungespannte Länge L 0 ) ist die Rolle 1
Rolle 2
(Masse m1 , Trägheitsmoment J1 , Radius r) befestigt. Um diese ist ein Seil
geschlungen, dessen eines Ende an der Nabe von Rolle 2 (Masse m 2 ,
Rolle 1
Trägheitsmoment J 2 ) angreift und dessen anderes Ende um Rolle 2
geschlungen und an dieser befestigt ist. Die Rolle 2 ist auf einem horizontal
verschiebbaren Lagerbock (Masse m 3 ) gelagert. Am Ende eines zweiten Seils,
das ebenfalls an der Nabe von Rolle 2 befestigt ist und das über eine kleine
masselose Rolle umgelenkt wird, hängt ein Ausgleichsgewicht (Masse m 4 ). Es
tritt keine Horizontalbewegung des Ausgleichgewichts auf. Zwischen dem Seil
und den Rollen tritt kein Gleiten auf. Alle Seile sind stets gespannt.
x2

m2 , J2
m1 , J1
2r
c, L 0

x4
m4
d) Wie lauten die Impulssätze in horizontaler Richtung für die beiden Rollen und
den Lagerbock und in vertikaler Richtung für das Ausgleichsgewicht?
x1
Rolle 1:

 
Rolle 2:

Lagerbock:

 
g
r
m3
Ausgleichsgewicht:





a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
e) Wie lauten die Drallsätze für die beiden Rollen bezüglich deren Mittelpunkte?
f

b) Geben Sie die Federkraft in Abhängigkeit der Koordinate x1 an.
F

Rolle 1:

Rolle 2:





f) Welcher
kinematische
Zusammenhang
Geschwindigkeiten x 4 und x 2 ?
x 4 ( x 2 ) 

besteht
zwischen
den
g) Welche
kinematischen
Zusammenhänge
bestehen
zwischen
den
b) Mit welcher Amplitude erfolgt die Schwingung in der x-Koordinate?
 und  und den Geschwindigkeiten x 1 und x 2 ?
Drehgeschwindigkeiten 
Cx 
 ( x 1 , x 2 ) 


c) Mit welcher Frequenz erfolgt die Schwingung in der x-Koordinate?
 ( x 1 , x 2 ) 
x 

h) Welche zwei weiteren Schritte sind notwendig um aus
Zwischenergebnissen die Bewegungsgleichungen zu bestimmen?

diesen

d) Welche Geschwindigkeit ergibt sich für die y-Koordinate wenn sich das
System bei t  0 in Ruhe befindet und die x-Koordinate bei x  a
festgehalten wird?
y ( t ) 



e) Das ruhende System wird nun aus der Lage x (0)  a , y(0)  y 0
losgelassen. Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von y( t ) .
y
Aufgabe 7 (10 Punkte)
Für ein dynamisches System mit zwei Freiheitsgraden ergeben sich folgende
Bewegungsdifferentialgleichungen:
13 m x  4 c x  4 c a  3 m g
24 m y  7 c x  7 c a  6 m g
Das System wird aus der Ruhe und der Lage x (0)  a losgelassen und beginnt
zu schwingen.
a) Geben Sie die Gleichgewichtslage für die Schwingung in der x-Koordinate
an.
x0 

t
y0