GRUPPENTHEORIE 4. ¨UBUNGSBLATT

Universität Bielefeld
WS 2012/13
GRUPPENTHEORIE
4. ÜBUNGSBLATT
DR. PHILIPP LAMPE
Zwei mal drei macht vier, widdewiddewitt, und drei macht neune.
Astrid Lindgren (Pippi Langstrumpf)
Aufgabe 4.1 (Zahlentheoretisches).
(a) Bestimme die Primfaktorzerlegungen der Zahlen 100, 101, 102, 103, 104 und 105.
(b) Berechne ggT(5050, 9999) und ggT(−3344, 4433).
(c) Berechne kgV(55, 66) und kgV(66, −666).
Aufgabe 4.2 (Restberechnungen).
(a)
(b)
(c)
(d)
Berechne den Rest von 123456789 bei Division durch 3.
Berechne den Rest von 2012 bei Division durch 13, 14 und 15.
Berechne die Reste der Dreierpotenzen 1, 3, 9, 27, 81 und 243 bei Division durch 16.
Berechne den Rest von 32012 bei Division durch 16.
Aufgabe 4.3 (Endziffern von Quadratzahlen). Sei {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 81, . . . , 1936, 2025, . . .}
die Menge der Quadratzahlen. Für jeden möglichen Rest x mod 10 bestimme den Rest x2 mod 10.
Folgere, dass Quadratzahlen niemals mit den Ziffern 2, 3, 7 oder 8 enden.
x mod 10
x2 mod 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Aufgabe 4.4 (Zusatzaufgabe für Interessierte). Die alternierende Quersumme einer Zahl n, die
im Dezimalsystem durch die Ziffernfolge as · · · a3 a2 a1 a0 geschrieben wird, ist die Zahl
a0 − a1 + a2 − a3 + . . . + (−1)s as .
Beispielsweise ist die alternierende Quersumme von 12345 gleich 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3.
(a) Zeige, dass die Zahl n genau dann durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme
durch 11 teilbar ist.
(b) Welche der Zahlen 2012, 2013 und 2014 ist durch 11 teilbar?
Die Aufgaben 1,2,3 sind jeweils 10 Punkte wert und bis Dienstag, den 6. November 2012, 14.15 Uhr in das
Postfach des Tutors Sophiane Yahiatene in V3-128 zu werfen. Aufgabe 4 ist eine nicht abzugebende Aufgabe.
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