Skript zum Brückenkurs Mathematik

Hochschule für
Technik und Wirtschaft
des Saarlandes
Brückenkurs WS 06/07
Mathematik, Physik
University of Applied Sciences
Vorwort
Bei vielen Studiengängen sehen sich Studienanfänger mit dem Fach Mathematik konfrontiert. Je nach
Stand der eigenen Vorkenntnisse löst dies bei den Betroffenen häufig Abwehrhaltungen und Angst
hervor.
Häufig fehlt den Studierenden die Vertrautheit mit elementaren mathematischen Konzepten und der
sichere Umgang bei der Anwendung mathematischer Regeln. So werden in diesem Skript die
elementare mathematischen Begriffe und Methoden vorgestellt und an Hand von Beispielen erläutert.
Übungsaufgaben dienen zum Einüben der gelernten Techniken und sind zum Selbststudium gedacht.
Bewusst wird der Inhalt nicht über den Lehrplan der Klassenstufen 12 der Fachoberschulen
hinausgeführt, lediglich das Kapitel 2 ist im Lehrplan der FOS nicht vorgesehen und soll dem
Studienanfänger helfen , sich schneller in der mengentheorethischen Begrifflichkeit zurechtzufinden.
Angelehnt habe ich mich bei den Darstellungen durch das Büchlein „Vorkurs Mathematik“ von
Michael Knorrenschild aus dem Fachbuchverlag Leipzig, durch das Buch „In Mathe war ich immer
schlecht“ von Albrecht Beutelsbacher, erschienen im Viewegverlag und durch den „Vorkurs Analysis“
von Josef Molitor, erschienen bei Softfrutti.
Ich habe mir erlaubt, an einigen frei geblieben Stellen im Skript Mathematikerwitze bzw.
Professorensprüche einzubauen. Dadurch wird hoffentlich nicht die Ernsthaftigkeit des Skriptes
berührt, vielmehr sagen auch die charakteristischen Mathematikerwitze sehr viel Spezifisches über die
Mathematik und natürlich auch über Mathematiker aus.
Im Kapitel 8 werden einige Grundbegriffe aus der Physik aufgegriffen, soweit sie in diesem Jahr im
Rahmen des Brückenkurses behandelt werden. Dieser Teil soll im nächsten Jahr ausgebaut werden.
Alban. Hoffmann
Saarbrücken, im August 2006
Achtung Witz
Es gibt drei Sorten von Mathematikern: Solche, die bis 3 zählen können und solche, die dies nicht
können.
-2-
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Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Grundlagen, Gleichungen und Ungleichungen................................................................................6
1.1
Die Grundrechenarten..............................................................................................................6
..............Binomische Formeln..............................................................................................................8
..............Quadratische Ergänzung ........................................................................................................9
1.2
Das Vorzeichendiagramm......................................................................................................12
1.3
Die p, q-Formel......................................................................................................................16
1.4
Bruchrechnen.........................................................................................................................16
1.5
Prozentrechnen.......................................................................................................................19
1.6
Potenzgesetze, Wurzeln und Logarithmen ............................................................................20
1.7
Rechnen mit Beträgen............................................................................................................23
1.8
Summen- und Produktzeichen ...............................................................................................28
1.9
Lösen von Gleichungssystemen.............................................................................................30
Aussagen und Mengen...................................................................................................................34
2.1
Aussagenlogik........................................................................................................................34
2.2
Quantifizierung von Aussageformen .....................................................................................36
2.3
Mengenlehre ..........................................................................................................................36
Funktionen .....................................................................................................................................38
3.1
Der Funktionsbegriff..............................................................................................................38
3.2
Injektivität, Surjektivität, Bijektivität ....................................................................................39
3.3
Verkettung von Funktionen ...................................................................................................40
3.4
Umkehrung von Funktionen ..................................................................................................40
3.5
Achsparallele Verschiebungen und Dehnungen von Funktionsgraphen ...............................41
3.6
Symmetrien und Spiegelungen ..............................................................................................45
3.7
Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ..................................................................47
...............Das Hornerschema..............................................................................................................51
3.8
Entwickeln von Polynomfunktionen......................................................................................55
3.9
Gebrochenrationale Funktionen.............................................................................................57
3.10
Trigonometrische Funktionen................................................................................................58
.............. Arkusfunktionen .................................................................................................................61
.............. Goniometrische Gleichungen..............................................................................................63
3.11 Exponentialfunktionen...........................................................................................................65
.............. Die e-Funktion ....................................................................................................................67
.............. Logarithmische Skalen .......................................................................................................68
Grenzwerte.....................................................................................................................................71
4.1
Grenzwert einer Folge ...........................................................................................................71
4.2
Grenzwert einer Funktion ......................................................................................................75
...............Stetigkeit einer Funktion.....................................................................................................79
Elementare Geometrie ...................................................................................................................80
5.1
Satz des Pythagoras ...............................................................................................................80
...............Die Strahlensätze ................................................................................................................81
Differential- und Integralrechnung ................................................................................................83
6.1
Das Tangentenproblem ..........................................................................................................83
................Wichtige Ableitungsregeln: ...............................................................................................86
6.2
Die Differentialrechnung als Hilfsmittel zur Untersuchung von Funktionen........................87
6.3
Das unbestimmte Integral ......................................................................................................92
6.4
Das bestimmte Integral ..........................................................................................................94
................Stammfunktionen wichtiger Funktionen............................................................................97
Einführung in die Vektorrechnung ................................................................................................98
7.1
Komponentendarstellung von Vektoren ................................................................................98
7.2
Gleichheit, Addition, Subtraktion und Vielfachbildung von Vektoren .................................99
7.3
Der Betrag eines Vektors a ...............................................................................................100
7.4
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ....................................................................................101
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7.5
Das Vektorprodukt...............................................................................................................103
Physik ..........................................................................................................................................105
8.1
Volumen, Masse, Dichte, Einheiten ....................................................................................105
8.2
Kraft, Druck.........................................................................................................................108
8.3
Arbeit und Leistung .............................................................................................................111
Achtung Witz
Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker werden jeweils in ein Zimmer eingesperrt, in dem
sich lediglich Esskonserven, Papier und Stifte befinden. Es soll ihre Überlebensfähigkeit getestet
werden.
Der Ingenieur greift gleich nach den Konserven, drückt sie, prüft sie auf Festigkeit und beginnt auf
ihnen herum zu hauen, bis sie platzt und er davon essen kann. Das Papier benutzt er als Serviette.
Der Physiker erkennt das Problem, er gliedert sich in einen theoretischen Physiker, der mit Hilfe des
Papiers und des Schreibers eine Bahnkurve berechnet, mit der die Konservendose fliegen muss, damit
sie beim Aufprall platzen kann; der experimentelle Physiker in ihm probiert diese Bahn und beim 200.
Versuch gelingt das Experiment.
Der Mathematiker setzt sich vor das Blatt Papier und die Dose. Selbst nach Tagen steht auf seinem
Blatt nur: „Angenommen die Dose sei geöffnet“
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Symbolverzeichnis:
IN
IN 0
ℚ
IR
IR+
Z
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der natürlichen Zahlen einschl. 0
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der reellen Zahlen, die ≥ 0 sind
Menge der ganzen Zahlen
ist definiert als
Summenzeichen
:=
∑
∏
Produktzeichen
n!
n
k 
 
¬
∨
∧
⇔
⇒
∀
∃
∈
⊂
∅, {
{x ...
[ a , b]
( a, b )
n Fakultät
n über k, Binomialkoeffizient
}
}
lim f ( x )
x → x0
logische Negation
logisches ODER
logisches UND
äquivalent
Implikation, logische Folgerung, wenn – dann
Allquantor, für alle... gilt:
Existenzquantor, es gibt (mindestens) ein ..für das gilt:
ist Element von
ist Teilmenge von
leere Menge
die Menge aller x, für die gilt: ....
abgeschlossenes Intervall, einschließlich der Grenzen a und b
offenes Intervall, ohne die Grenzen a und b
limes (Grenzwert) für x gegen x0 von f ( x )
Achtung Witz
Ein Mathematiker soll ein Bild aufhängen. Er holt dazu Hammer und Nagel. Er betrachtet
nachdenklich den Nagel, dessen Spitze auf ihn zeigt und der Kopf zur Wand, dann strahlt er und sagt,
„Ah, das ist ein Nagel für die gegenüberliegende Wand“.
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1 Grundlagen, Gleichungen und Ungleichungen
1.1 Die Grundrechenarten
Die einfachste Verknüpfung zweier Zahlen a und b ist die Addition. Die an der Addition beteiligten
Zahlen nennt man Summanden. Das Ergebnis heißt Summe:
a+b=c
a,b heißen Summanden, c heißt Summe
Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.
a–b=d
a heißt Minuend, b heißt Subtrahend, d heißt Differenz
Die Subtraktion der Zahl b ist nichts anderes als die Addition der Gegenzahl von b, nämlich –b.
Also: a – b = a + (-b)
Wenn b eine positive Zahl ist, dann ist –b negativ; der Ausdruck –b wird umgekehrt positiv, wenn b
selbst eine negative Zahl ist.
Addition und Subtraktion sind also auf das engste miteinander verbunden und meist spricht man nur
von der Addition, wobei die Subtraktion stillschweigend mit eingeschlossen ist.
Häufig müssen Klammern benutzt werden, um die Vorrangigkeit der Rechenschritte festzulegen.
Beim Auflösen ist besonders aufzupassen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht.
Klammerregel:
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so müssen beim Auflösen der
Klammern die Vorzeichen aller Summanden in der Klammer umgekehrt werden:
− ( a + b ) = −a − b oder − (a − b) = −a + b oder − ( −a − b) = a + b
Klammern können ineinander verschachtelt auftreten, dabei kann man einander zugehörige
Klammernpaare benutzen; dies ist aber keineswegs immer notwendig oder möglich (z.B. in
Programmiersprachen)
Beispiel 1.1:
{
Lösen Sie die Klammern in dem Ausdruck: − a − b + c − ( 5 − ( a + 3) )  +b} − c auf und
vereinfachen Sie soweit wie möglich.
Lösung: Man löst die Klammern von innen nach außen auf:
{
− a − b + c − ( 5 − ( a + 3) ) +b} − c
{
= − a − b + c − ( 5 − a − 3)  + b
= − {a − [b + c − 5 + a + 3] + b
}− c
= − {a − b − c + 5 − a − 3 + b} − c
= −a + b + c − 5 + a + 3 − b − c
= −2
1.1.1
Aufgaben :
a.
b − a + 2 − (c + d − (3 − a )) + b
b.
c.
d.
(
)
c + {−3 − d −  − ( −4 − b )  − c − ( d − 2 )}
− (b + a − ( c − 3 − d + b − ( a + c + b − d ) ))
a + c − ( d + a + 2 − ( b + c − ( −d + c ) ) )
-6-
}− c
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Die Multiplikation zweier Zahlen a und b wird durch das Malzeichen ⋅ beschrieben.
a ⋅b = p
a und b heißen Faktoren, p heißt das Produkt
Die Division kann als eine Multiplikation mit dem Kehrwert betrachtet werden, wobei
1
der zu b
b
gehörende Kehrwert ist. Die Zahl Null ist hierbei nicht zulässig.
a
=q
b
a heißt Dividend oder Zähler
b heißt Divisor oder Nenner
q heißt der Quotient
Durch die Division zweier ganzen Zahlen entsteht eine neue Zahlenmenge, die man als Menge der
rationalen Zahlen ℚ bezeichnet. Dies ist die Menge aller Zahlen, die man durch Brüche darstellen
kann.
Multiplikation und Division stellen relativ zur Addition gesehen höhergestellte Rechenoperationen
dar. Deshalb gilt, wenn keine Klammerregelung etwas anderes ausdrückt, immer:
Punktrechnung geht vor Strichrechnung
Also: 2 ⋅ 5 + 3 heißt, es muss zuerst das Produkt aus 2 und 5 berechnet werden, dann wird zum
Ergebnis die Zahl 3 addiert.
Andernfalls müssen Klammern gesetzt werden, um die geänderte Priorität zu beschreiben.
2 ⋅ ( 5 + 3) = In dem Ausdruck berechnet man erst die Summe und multipliziert den gefundenen
Wert mit der Zahl vor der Klammer.
Beachte: Bei der Division benutzt man meistens den Bruchstrich als Rechenzeichen. Zähler und
Nenner sind dabei wie Klammerausdrücke zu sehen. Vorsicht ist angesagt vor allem beim Rechnen
mit dem Taschenrechner, weil man hier leicht die nichtvorhandene Klammer unberücksichtigt lässt.
10
= 10 ÷ ( 2 + 3) = 10 ÷ 5 = 2
2+3
Beim unüberlegten Rechnen mit dem Taschenrechner wird daraus häufig: 10 ÷ 2 + 3 = 8 , was
natürlich eine ganz andere Rechnung darstellt.
Treten Multiplikation und Addition gemeinsam in einem Ausdruck auf, dann kann dieser Ausdruck
mit Hilfe des Distributivgesetzes umgeformt werden.
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Von links nach rechts gelesen liefert das Gesetz eine Regel zum Ausmultiplizieren einer Klammer,
oder ein Rezept dafür, wie man aus einem Produkt eine Summe macht.
Umgekehrt, von rechts nach links, liefert das Gesetz eine Vorschrift, wie man aus einer Summe wieder
ein Produkt herstellen kann. Diesen Vorgang nennt man Faktorisieren einer Summe.
Beispiel:
12a ⋅ b + 5b ⋅ c = b ⋅ (12a + 5c ) Der gemeinsame Faktor b in beiden Summanden wird
ausgeklammert.
Bestehen in einem Produkt beide Faktoren aus Summen, so gilt:
( a + b) ⋅ ( c + d ) = a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d
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Jeder Summand der ersten Klammer wird vorzeichenrichtig mit jedem Summanden der zweiten
Klammer multipliziert und alle entstandenen Produkte sind zu addieren.
Die Umwandlung der rechts stehenden Summe in ein Produkt ist jetzt wesentlich schwerer zu
erkennen.
1.1.2
Aufgaben
a. Addiere zu dem Produkt der Zahlen 2 und 5 den Quotient der Zahlen 8 und 2.
b. Dividiere die Summe aus 5 und (–6) mit dem Produkt der Zahlen 4 und 5.
c. a ( c + b ) − c ( b + a ) + b ( c − a )
d.
e.
f.
g.
h.
a ( c + b ( a − c ) ) − c ( b ( a − 1) + a ) − b ( c − a ( b − a ) )
( a + b) ⋅ ( a − c ) − (a − b) ⋅ (b + c )
(a + b − c) ⋅ (a + c) − (a − c) ⋅ (b + a + c)
( a + b) ( a − c ⋅ (b − c ) ) − ( a − b ( c − a ) ) (b − c )
( a + b − c )( a + c − b ) + ( a − c − b )( b + a + c )
Binomische Formeln
Für alle a, b gilt:
1.
2.
3.
( a + b ) = a 2 + 2ab + b2
2
( a − b ) = a 2 − 2ab + b2
( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b2
2
Die binomischen Formeln bieten eine ganz wichtige Möglichkeit, um Summen in Produkte
umzuwandeln. Es ist wichtig, dass man die Bedeutung von Produkttermen richtig wahrnimmt. An
Produkten können viele Eigenschaften relativ einfach ermittelt werden, wie zum Beispiel:
Wann wird der Term Null? Mit der Antwort, der Term wird genau dann Null, wenn einer der
beteiligten Faktoren null wird.
Eng damit verbunden ist auch die Frage: Für welche Werte wird der Term positiv oder
negativ? Die Antwort spielt vor allem bei der Untersuchung von Ungleichungen eine Rolle. Es
lassen sich in faktorisierten Termen leicht Vorzeichendiagramme erstellen, aus denen man die
Antwort ablesen kann.
1.1.3
Beispiele:
a. Wandeln Sie den folgenden Term in ein Produkt um: ( a + 2b ) + ( 2b − a )( 2b + a )
2
Lösung:
( a + 2b )
2
+ ( 2b − a )( 2b + a ) =
(
)
a 2 + 2 ⋅ a ⋅ 2b + ( 2 b ) + ( 2 b ) − a 2 =
2
2
a 2 + 4ab + 4b2 + 4b 2 − a 2 = 4ab + 8b 2 =
4 b ⋅ ( a + 2b )
Hier wurde zunächst die einzelnen Terme aufgelöst, zusammengefasst und anschließend wurde durch
Ausklammern ein Produkt gebildet. Je nach Aufgabenstellung, wenn es nur um Vereinfachung geht,
könnte der letzte Umwandlungsschritt auch entfallen.
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Das Produkt hätte man auch direkt durch Ausklammern gewinnen können:
( a + 2b ) + ( 2b − a )( 2b + a ) =
( a + 2b ) ⋅ ( a + 2b ) + ( 2b − a )  =
( a + 2b ) ⋅ 4b
2
b. Wandeln Sie den Ausdruck 16a 2 − 25b 2 um in ein Produkt.
Lösung:
16a 2 − 25b2 =
( 4a )
2
− ( 5b ) = ( 4a + 5b ) ⋅ ( 4a − 5b )
2
c. Wandeln Sie den Ausdruck 4a 2 + 12ab + 9b 2 um in ein Produkt:
Lösung:
4a 2 + 12ab + 9b2 =
( 2a ) + 2 ⋅ ( 2a ) ⋅ ( 3b ) + ( 3b )
2
( 2a + 3b )
2
2
=
Beachten Sie: Eine Faktorisierung durch Binome ist nicht immer möglich!
1.1.4
Aufgaben
Bilden Sie Produkte für die folgenden Ausdrücke unter Verwendung der binomischen Formeln:
a.
4a 2 + 20ab + 25b 2 =
169 x 2 − 312 xy + 144 y 2
b.
c.
d.
x 2 + 2 xy + y 2 − 9 z 2
x 2 + 6 xz − y 2 + 9 z 2
Quadratische Ergänzung
Oft lassen sich Terme nicht vollständig in Faktoren zerlegen, sondern nur in einen quadratischen
Ausdruck und in einen Rest. Auch diese Form ist für viele Anwendungen sehr nützlich. Die Methode,
die dies als Ziel hat heißt auch „quadratische Ergänzung“. Ihre Wirkung sei am folgenden Beispiel
gezeigt:
1.1.5
Beispiel
Der Ausdruck 4a 2 + 24ab + 9b 2 ist mit Hilfe der quadratischen Ergänzung umzuwandeln.
Lösung:
Man konzentriert sich zunächst auf die beiden ersten Ausdrücke, die ja alle Informationen enthalten ,
wie der binomische Ausdruck aussehen müsste, wenn es ihn gäbe.
Also: 4a 2 + 24ab + 9b 2 = ( 2a ) + 2 ⋅ ( 2a ) ⋅ ( 6b ) + 9b 2 =
2
Das Binom, das mit Hilfe der beiden ersten Terme hergestellt werden kann lautet: ( 2a + 6b )
2
Wenn man die Probe macht erkennt man: ( 2a + 6b ) = 4a 2 + 24ab + 36b 2
2
Durch Verwenden des Binoms entsteht zusätzlich der Ausdruck 36b 2 , der in dem Ausgangsterm nicht
vorhanden ist. Wir müssen also bei Verwendung des Binoms durch eine Korrektur diesen „Fehler“
wieder ausgleichen. Wir dürfen also schreiben:
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4a 2 + 24ab + 9b2 = ( 2a ) + 2 ⋅ ( 2a ) ⋅ ( 6b ) + 9b2 =
2
( 2a + 6b ) − 36b2 + 9b2 =
2
( 2a + 6b ) − 27b2
2
1.1.6
Aufgaben
Wandeln Sie um unter Verwendung der quadratischen Ergänzung:
a. 64 x 2 + 112 x + 64
b. 4 x 2 − 36 xy + 36 y 2
c. 16 x 2 − 56 xy + 196 y 2
d. 16 x 2 − 40 xy + 100 y 2
Betrachten wir nochmals unsere Ergebnisse, so stellen wir fest: Eine Zerlegung der Summe in der
obigen Form, lässt sich immer in einen Klammerausdruck, der im Quadrat steht umformen und einem
Restterm. Es entstehen also Ausdrücke der Form:
( a ± b)
2
±c
Einen solchen Ausdruck kann man doch auch als 3. Binom betrachten und daraus unter bestimmten
Umständen ein Produkt herstellen. Man muss dabei die gesamte Klammer als eine Variable betrachten
und c als das Quadrat der zweiten Variablen.
Am Beispiel wird dies vorgerechnet:
x 2 − 2 x − 15 = ( x − 1) − 1 − 15 = ( x − 1) − 16
2
2
= ( x − 1) − 42 = ( x − 1) + 4 ⋅ ( x − 1) − 4 
= ( x + 3)( x − 5)
2
Bei der letzten Umformung muss man beachten, dass dieser Schritt nur möglich ist, wenn vor der
zweiten Variablen, also hier bei 4 2 ein Minuszeichen steht. Nur für diese Beziehung gilt ja die 3.
binomische Formel.
Schon der franz. Freizeitmathematiker François Viète (1540-1603) erkannte einen Zusammenhang
zwischen den an der Umformung beteiligten Größen, der als Satz von Vieta bekannt geworden ist:
Satz von Vieta:
Ist ein Term in der Form: x 2 + px + q gegeben, dann lässt sich eine
Umformung finden der Form:
x 2 + px + q = ( x − x1 )( x − x2 ) , wobei für die Zahlen x1 und x2 gilt:
x1 + x2 = − p und x1 ⋅ x2 = q
Es kommt häufig vor, dass Wurzelwerte entstehen. Diese bleiben zunächst genau so stehen und
werden nicht durch Näherungswerte ersetzt:
Also:
x 2 − 4 x + 1 = ( x − 2) − 4 + 1 = ( x − 2) − 3 =
2
2
( 3 ) = ( x − 2) + 3  ⋅ ( x − 2) −
= ( x − 2 + 3 )( x − 2 − 3 ) =
=  x − ( 2 − 3 ) ⋅  x − ( 2 + 3 )

 

= ( x − 2) −
2
2
3  =
Damit wird x1 = 2 − 3 und x2 = 2 + 3
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1.1.7
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Aufgaben
Formen Sie die folgenden Terme, sofern es geht, mit Hilfe der quadratischen Ergänzung um in ein
Produkt und überprüfen Sie die Richtigkeit des Satzes von Vièta:
a. 64 x 2 + 112 x + 64
b. 4 x 2 − 36 xy + 36 y 2
c. 16 x 2 − 56 xy + 196 y 2
d. 16 x 2 − 40 xy + 100 y 2
e. 5 x 2 − 4 x − 105
f. 5 x 2 + 20 x − 1600
g. x 2 − ax − 1 + a
h. x 2 + a 2 − 2ax − 1
i. x 2 + ax − bx − ab
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1.2 Das Vorzeichendiagramm
Das Vorzeichendiagramm ist ein häufig einsetzbares Hilfsmittel in der Mathematik, wenn es darum
geht, zu erkennen an welchen Werten ein Term sein Vorzeichen wechselt.
Die Grundidee ist folgende:
Ein gegebener Term wird faktorisiert, bis er nur noch Faktoren enthält, bei denen man die Stelle des
Vorzeichenwechsels sofort erkennen kann. Besonders gut gelingt dies bei linearen Termen, denn ein
linearer Term der Form (x-a) wechselt sein Vorzeichen nur einmal, nämlich an der Stelle x = a.
Ein Term der Form (x² +1) ist nicht weiter zerlegbar, macht aber für das Vorzeichendiagramm keine
Probleme, da dieser Term für alle x-Werte positiv ist. Ähnlich ist es bei Ausdrücken der Form:
[(x ± a)² +b], b>0. Ein solcher Faktor ist für alle x-Werte positiv.
1.2.1
Beispiel
Gegeben ist der faktorisierte Term: t ( x) = 2 ⋅ (x − 2 ) ⋅ ( x + 1)
Es ist zu untersuchen, für welche x-Werte der Term positiv, bzw. negativ wird.
Es gibt 3 Faktoren:
2
ist unabhängig von x und damit für alle x positiv
(x-2) ist für x<+2 negativ, und für x>+2 positiv
(x+1) ist für x< −1 negativ und für x>−1 positiv
Für alle Faktoren werden jetzt in einer Grafik nur die Bereiche mit Linien gekennzeichnete, bei denen
ein negatives Vorzeichen vorhanden ist. Denn nur bei negativen Faktoren kann es durch das
Zusammentreffen mehrerer Minuszeichen zu einem Wechsel im Vorzeichen kommen.
+
−
+
x = −1
x = +2
Aus diesem Diagramm kann man folgendes Ergebnis ablesen:
Für x< −1 , also links von −1, sind beide Faktoren negativ, d.h. ihr Produkt ist positiv.
Für x> −1 und x< +2 ist nur der Faktor (x-2) negativ und damit das Produkt negativ
Für x> +2 sind alle Faktoren positiv und damit auch das Produkt.
Um zu erkennen, welches Vorzeichen das Produkt in einem Bereich annimmt, zählt man die in diesem
Bereich vorhandenen Linien, wobei bei einer ungeraden Anzahl ein negatives und bei einer geraden
Anzahl ein positives Vorzeichen entsteht.
Für das Vorzeichendiagramm interessieren also nur die Faktoren, bei denen das Vorzeichen wechselt
oder die für alle x-Werte negativ sind. Beim Faktorisieren des zu untersuchenden Terms sollte man
dringend immer die gleiche Form benutzen, nämlich: Jeder erzeugte lineare Klammerterm hat immer
die Form ( x − a ) .
1.2.2
Beispiel
t ( x ) = −2 x + 5 Durch Ausklammern des Koeffizienten bei x lässt sich die gewünschte Form
herstellen:
5

t ( x ) = −2 x + 5 = −2  x −  Diesem umgewandelten Produktterm sieht man jetzt wieder sofort die
2

5
x-Stelle an, bei der das Vorzeichen wechselt, nämlich bei x = , links davon positiv, rechts davon
2
negativ.
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1.2.3 Beispiel
Gegeben ist der Term: t ( x ) = −3 ⋅ ( x − 2 ) + 3 ⋅ ( x − 5 ) ⋅ ( x + 4 )
2
2

Es gibt 4 Faktoren:
1.
2.
3.
4.

-3:
ist für alle x negativ ( erhält im Diagramm eine durchgehende
Linie)
( x − 2 )2 + 3 ist für alle x positiv ( erhält im Diagramm keine Linie)


2
( x − 5)
ist für alle x positiv (erhält im Diagramm keine Linie)
(x + 4)
ist für x<−4 negativ (erhält Linie bis −4)
−
+
x = −4
Der Term ist also für alle x< −4 negativ, sonst positiv.
An den grundsätzlichen Überlegungen ändert sich nichts, wenn der Term durch einen Quotienten
dargestellt wird. Es muss nur zusätzlich beachtet werden, dass die x-Werte, die einen Faktor im
Nenner zu Null werden lassen von der jeweiligen Lösungsmenge ausgenommen werden.
Eine solche Stelle wird im Vorzeichendiagramm durch einen zusätzlichen Kringel gekennzeichnet.
1.2.4
Beispiel
Gegeben ist der Term: t ( x) =
x−2
(x − 3) ⋅ (x + 1)
2
Der Term enthält 3 Faktoren:
1.
2.
= (x − 2) ⋅
(x − 2)
1
( x − 3)
2
⋅
1
(x + 1)
für alle x<+2 negativ (Linie bis zur +2)
1
für x=3 verboten, sonst immer positiv, keine
( x − 3) 2
waagerechte Linie, aber senkrechte Linie mit
Kringel bei x = 3
3.
1
(x + 1)
für x< −1 negativ, also Linie bis −1 und dort
mit Kringel
−
+
x = −1
+
x = +2
+
x = +3
Der Term liefert also für alle x< −1 positive Werte, ist für x zwischen −1 und +2 negativ und für alle
x>2 positiv, wobei x= 3 ausgenommen wird.
- 13 -
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Hinweis:
Das Faktorisieren eines gegebenen Terms ist Voraussetzung für die Anwendung dieses Verfahrens.
Das Faktorisieren kann unter Umständen Schwierigkeiten bereiten.
Möglichkeiten bieten:
2


3

2
t ( x) = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)
Ausklammern: t ( x) = 3 x + 2 = 3 ⋅  x +
Binome:
3
3


t ( x) = 4 x 2 − 9 = (2 x − 3) ⋅ (2 x + 3) = 2 ⋅  x −  ⋅ 2 ⋅  x + 
2
2


Quadratische
Ergänzung:
t ( x) = x 2 + 2 x − 3 = ( x + 1) − 1 − 3 = ( x + 1) − 4 = ( x + 1 − 2 ) ⋅ ( x + 1 + 2 ) =
= ( x − 1) ⋅ ( x + 3)
2
2
1.2.5 Aufgaben
Faktorisiere die folgenden Terme und zeichne das Vorzeichendiagramm:
a. t ( x) = 3 x − 4
b. t ( x) = −2 x + 1
c. t ( x) = 2 x 2 − 4 x
d. t ( x) = −
c. t ( x) =
1 2
x + 3x
4
1
2
x+
2
3
e. t ( x) = − x +
1 2
x
5
1.2.6 Aufgaben
Faktorisiere die folgenden Terme und zeichne das Vorzeichendiagramm:
a. t ( x) = 4 x 2 + 12 x + 9
b. t ( x) = 4 x 2 − 4
c. t ( x) = 9 x 2 − 6 x + 1
c. t ( x) =
1 2
x − x +1
4
1.2.7 Aufgaben
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen.
Hinweis: Man bringt alles auf die linke Seite und ermittelt dann durch Faktorisieren und mit Hilfe des
Vorzeichendiagramms die Lösungsmenge!
a. 4 x + 3 < x − 7
b. 2 x + 1 ≤ 3 x + 2
c. x 2 + 4 x − 2 ≤ − x 2 + x
d. 2 x 2 + 3 x + 5 ≤ x 2 + x + 4
1.2.8 Aufgaben
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
Hinweis: Man bringt alles auf die linke Seite und ermittelt dann durch Faktorisieren und mit Hilfe des
Vorzeichendiagramms die Lösungsmenge!
a.
2x 2 + 2x = 4
c. 2 x 2 = 7 x + 10
b. 2 x 2 + 6 = 8 x
d.
1 2 1
x − x −1 = 0
3
2
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1.2.9 Aufgaben
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen.
Hinweis: Man bringt alles auf die linke Seite und ermittelt dann durch Faktorisieren und mit Hilfe des
Vorzeichendiagramms die Lösungsmenge!
a.
2
3
≤
x +1 x − 2
b.
x +1
≤2
x−2
c.
x+2
≥0
x+5
d.
6x + 7
2x
− 2x ≤
+ 11
5
x+6
e. 1 −
x2
1
≤
f. 2
x + 5x + 6 x + 3
3
≤0
2
x −1
Mit Hilfe des Vorzeichendiagramms hat man ein mächtiges Instrument an der Hand, wenn es gilt
Ungleichungen auf ihre Lösungsmenge zu untersuchen.
Möchte man Ungleichungen lieber mit anderen Methoden lösen, muss man sich darüber klar werden,
dass man Fallunterscheidungen durchführen muss, wenn eine Multiplikation einer Ungleichung mit
einer Variablen erfolgt:
Beachten Sie folgendes Beispiel:
x2 − 4x > 0 ÷ x
x − 4 > 0 oder x > 4
Die so gefundene Lösung ist zwar richtig, beschreibt aber nicht die gesamte Lösungsmenge. Die
Umformung der Ungleichung gilt nur unter der Voraussetzung, dass x positiv ist. Denn angenommen
x ist negativ, dann wird die Division mit einer negativen Größe zu einer anderen Ungleichung führen,
nämlich:
x 2 − 4 x > 0 ÷ x und x < 0
x − 4 < 0 oder x < 4 und x < 0, also x < 0
Bei Division und Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das
Ungleichheitszeichen um.
Um auch die zweite Lösungsmenge zu erhalten, müssen also beide Situationen getrennt untersucht
werden. Die Methode mit dem Vorzeichendiagramm liefert einen geschlossenen Lösungsansatz:
x2 − 4 x > 0 ⇔ x ⋅ ( x − 4) > 0
+
-
+
x=0
x=4
Die Lösungsmenge lässt sich anschaulich aus dem Diagramm ablesen. Das Produkt liefert immer das
positive Vorzeichen außer von 0 bis 4. Als Lösungsmenge erhält man:
{
}
{
}
IL = x x ∈ IR − [0, 4 ]
Wenn in der Ausgangsgleichung an Stelle des > -Zeichens, das Zeichen ≥ benutzt wird, gehören die
Intervallgrenzen zur Lösungsmenge und es gibt folgende Schreibweise:
IL = x x ∈ IR − ]0, 4[
- 15 -
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1.3 Die p, q-Formel
Wenn man eine quadratische Gleichung in der Form gegeben hat: x 2 + px + q = 0 , dann kann man
eine allgemeingültige Formel herleiten, die sofort die beiden reellen Lösungen der Gleichung angibt:
2
x1,2 = −
p
 p
±   −q
2
2
Falls die quadratische Gleichung einen von 1 verschiedenen Faktor besitzt, muss durch Division mit
diesem Faktor die obige Form hergestellt werden.
1.3.1
Aufgaben
Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen mit Hilfe der Lösungsformel:
a. 4 x 2 + 12 x + 9 = 0
b. 4 x 2 − 4 = 0
c. 9 x 2 − 6 x + 1 = 0
2
d.
2
2
 3
 5

x + 5 −  x − 4  =  x + 2 
3
 4
 6

2
1 2
x − x +1 = 0
4
e. 
f. ( 3x − 5) − 8 ( 3 x − 5) + 7 = 0
g. x 2 − ( a + b ) x + ab = 0
h. x 2 − ax = 1 − a
i. x 2 − b 2 = 2ax − a 2
j. x 2 + ax − ab = bx
(
k. x 2 − 2 ( a + b ) x + 10ab = 3 a 2 + b 2
)
2
l. a 2 − x 2 = ( a − x )( b + c − x )
1.4 Bruchrechnen
Es gibt bei der Bruchrechnung einige wichtige Regeln, die man unbedingt beachten muss. Eine
Besonderheit ist z.B. die gemischte Zahl. Eine solche Zahl setzt sich wie der Name schon andeutet aus
einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen. Beide Teile der Zahl bilden als Summe den Wert
dieser Zahl.
Also: 4
2
2
14
ist die Kurzform von 4 + , entspricht also dem Bruch
3
3
3
Diese Besonderheit gibt es nur im Zusammenhang mit ganzen Zahlen. Vergleicht man eine ähnliche
Schreibweise mit allgemeinen Variablennamen, so gilt:
b
a , wobei in dieser Schreibweise der Bruchwert durch Multiplikation ermittelt wird. Der Term kann
c
a ⋅b
a
also auch in der Form:
= b ⋅ geschrieben werden.
c
c
Kürzen von Brüchen
Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden.
Hilfreich ist es, wenn Zähler und Nenner in faktorisierter Form vorliegen. Durch gemeinsam
vorhandene Faktoren kann dann gekürzt werden durch Herausstreichen dieser Faktoren.
Auch wenn es noch so verführerisch ist, in Summen und Differenzen darf man dies nicht, wie das
nachstehende Beispiel zeigt:
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7 2 + 5 1+ 5 6
=
≠
=
10
10
5
5
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Hier liegt ein verbotenes Kürzen der 2 in der Summe vor.
Dieses Fehlverhalten wird in dem knappen und einprägsamen Sprichwort festgehalten:
In Summen kürzen nur die Dummen.
Erweitern von Brüchen
Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert.
Durch Erweitern kann man den Nenner eines Bruches verändern, ohne seinen Wert zu verändern.
Also:
3 3 ⋅ 2 6 6 xy
=
= =
usw
4 4 ⋅ 2 8 8 xy
Dies nutzt man aus, wenn man Brüche addieren oder subtrahieren muss. Denn man darf nur Brüche
mit gleichem Nenner, also gleichnamige Brüche, zusammenfassen.
Addition, Subtraktion gleichnamiger Brüche
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und
den Nenner beibehält.
1.4.1 Beispiele
2 3 2 ⋅ 4 3⋅ 3 8
9 8 + 9 17
+
= +
=
=
a. + =
3 4 3 ⋅ 4 4 ⋅ 3 12 12
12
12
2
2
3a 2 x 3a ⋅ a 2 x ⋅ x 3a − 2 x
−
=
−
=
b.
bx ba bx ⋅ a ba ⋅ x
abx
Den Hauptnenner mehrerer Brüche findet man als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der
Einzelnenner.
Bei zwei Brüchen ist immer das Produkt beider Nenner ein möglicher Hauptnenner, wenn auch nicht
immer der kleinstmögliche.
Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner
miteinander multipliziert.
Es gibt für die Multiplikation also nicht die Einschränkung für gleichnamige Brüche.
a x a ⋅ x ax
⋅ =
=
b y b ⋅ y by
Division von Brüche
Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten mit dem Kehrwert des
zweiten multipliziert
Damit wird die Division auf die Multiplikation mit dem Kehrwert zurückgeführt. Aufpassen muss
man, dass man den Kehrwert richtig bildet. Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für Nenner und
Zähler. Bei der Kehrwertbildung, werden Nenner und Zähler getauscht:
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a x a y ay
÷ = ⋅ =
b y b x bx
Die Division von Brüchen kann auch in der Schreibweise von Doppelbrüchen erscheinen:
a
a x
a⋅ y
Also: ÷ = b =
x
b y
b⋅ x
y
Bei Doppelbrüchen muss man sorgsam darauf achten, welche Klammerung, d.h. welche
Vorrangsrechnung gültig ist.
Zusammenstellung von Rechenregeln zur Bruchrechnung
Erweitern von Brüchen
Kürzen von Brüchen
a a∗n
=
b b∗n
a a÷n
=
b b÷n
( n ≠ 0)
Multipliziert man Zähler und Nenner mit
derselben Zahl (ungleich 0), so ändert sich
der Wert des Bruchs nicht.
Dividieret man Zähler und Nenner durch
dieselbe Zahl (ungleich 0), so ändert sich der
Wert des Bruchs nicht.
1. Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche
a b a±b
± =
n n
n
Mann addiert (subtrahiert) die Zähler und lässt den gemeinsamen Nenner unverändert stehen.
2. Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche
Man addiert und subtrahiert ungleichnamiger Brücke in dem Sie auf den
gleichen Nenner bringt und wie bei Nr.1 vorgeht
3. Multiplizieren von Brüchen mit
ganzen Zahlen
4. Dividieren von Brüchen durch ganze
Zahlen
a
a∗n
∗n =
b
b
a
a÷n
a
÷n =
=
b
n
b∗n
Bei der Multiplikation eines Bruchs mit
einer ganzen Zahl, wird nur der Zähler
multipliziert. Der Nenner bleibt gleich.
Bei der Division einer Bruchs durch eine ganze
Zahl, wird entweder der Zähler dividiert, oder
der Nenner mit der Zahl multipliziert.
5. Multiplizieren von Brüchen mit
Brüchen
a c a∗c
∗ =
b d b∗d
6. Dividieren von Brüchen mit Brüchen
Multipliziert man einen Bruch mit einem
Bruch, so multipliziert man Zähler mit
Zähler und Nenner mit Nenner.
Dividiert man einen Bruch durch einen Bruch so
multipliziert man den einen Bruch mit dem
Kehrwert des anderen.
a c a d
÷ = ∗
b d b c
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1.4.2 Aufgaben
3 1
a. − =
4 3
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1
2
b. 3 + 2
2
=
3
c.
3x
2y
2x + y
+
−
=
x+ y x+ y x+ y
a b c
+ − =
xy x y
d.
3x
÷ (4 + y ) =
4− y
e.
2x
+2=
x−a
f.
g.
x+3 x−3
+
=
x2 − 4 x − 2
h.
3− x
2x + 1
+ 2
=
2
x − 4 x − 4x + 4
i.
3  3
1 5
x − 102
1 ⋅9 + 2 ⋅
3
4  8
4  14
+ x − 4 = k.
=
j.
1
2
x+3
x+3
5 ⋅1
16 3
x−2
x
7− x
+ 2
=
x − 9 x − 6x + 9
x−2
x −1
2
5  1
5
 1
7 − 5  ÷ 5 +1 
2
8  4
6
l. 
=
1  1
4
 1
2
3
4
2
+
÷
−

 

4  2
5
 2
1.5 Prozentrechnen
Bei der Prozentrechnung handelt es sich um eine Sonderform der Bruchrechnung, nämlich mit dem
Nenner „Hundertstel“. Hierfür wird abkürzend das Zeichen % verwandt.
Es wird ein Anteil ins Verhältnis zu einer Bezugsgröße gesetzt und dieser Zahlenwert wird
umgerechnet in Hunderstel. Das Verhältnis 3 von 4 liefert den Bruch 3
4
den man durch Erweitern
mit 25 auf den Nenner Hundert bringt. Als Zähler erhält man dann 75.Also entspricht das
Zahlenverhältnis 3 der Prozentzahl 75.
4
Entsprechend ist Promille ein Zahlenwert in Vielfachen von „ein Tausendstel“; darüber hinaus gibt es
noch die aus dem englischen Sprachraum stammende Vereinbarung „ppm“, was „parts per million“
bedeutet und Zahlenwerte benennt, die sich auf „ ein Millionstel“ beziehen.
1.5.1
Beispiele
Bei einer Klausur bestehen von 120 Teilnehmern genau 80 diese Klausur. Wie hoch ist die
Durchfallquote?
Lösung: 120 – 80 = 40 haben nicht bestanden. Also 40 von 120. Als Bruch:
40 1
= = 0, 33 . Also
120 3
etwa 33%.
1.5.2
Aufgaben
a. Der Preis für ein Elektrogerät das vorher 284.60 € kostete, verteuert sich um 4%. Wie ist der
neue Preis.
b. Für Preise der Bahn gilt derzeit ein Mehrwertsteuersatz von 16%. Wie viel Mehrwertsteuer ist
in einem Fahrkartenpreis von 29,00€ enthalten?
c. Sie eröffnen bei einer Bank ein Sparkonto mit wachsendem Zins mit einem Kapital von
1000€. Die Bank zahlt einen jährlichen Zins von 1% im ersten, 2% im zweiten und 2,5% im
dritten Jahr. Wie hoch ist der Zinsertrag nach 3 Jahren, wenn der Zins jährlich dem Kapital
gutgeschrieben wird und weiter mitverzinst wird?
d. Wie viel kg Zink (Zn) müssen mit 160 kg Kupfer (Cu) zusammengeschmolzen werden, um
eine Sorte Messing zu erhalten, die 64% Kupfer und 36% Zink enthält?
- 19 -
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1.6 Potenzgesetze, Wurzeln und Logarithmen
Das Potenzieren ist eine Abkürzung für die Multiplikation. Soll man n-mal eine Zahl a mit sich
selbst multiplizieren, so schreibt man abkürzend:
a n := a
⋅ a
⋅ ...
⋅a
n − mal
a heißt dabei Basis und n Exponent
Während diese Schreibweise zunächst nur einen Sinn macht, wenn n eine natürliche Zahl ist, kann
man die Rechengesetze verallgemeinern, indem man für n auch beliebige reelle Zahlen zulässt.
Es gelten die folgenden Rechengesetze für Potenzen:
Jede Zahl, - selbst null - hoch null liefert den Zahlenwert 1
Also: a 0 = 1, a beliebig
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert oder dividiert , indem man die Basis
beibehält und die Exponenten addiert bzw. subtrahiert.
Also: a m ⋅ a n = a m + n , konkret: 35 ⋅ 310 = 315
und
am
107
m−n
= 107 −3 = 104
=
a
,
konkret:
an
103
für m = 0 in der oberen Zeile erhält man sofort die Beziehung
Klammerregeln:
1
= a−n
n
a
a n ⋅ b n = ( a ⋅ b ) , d.h. in einem Produkt dürfen gleiche Exponenten bei den Faktoren
n
ausgeklammert werden. Entsprechend gilt bei einem Quotienten:
an  a 
= 
bn  b 
n
Leider gibt es keine solche Regel für Summen! Also ( a + b ) ≠ a n + b n , wie man von
den binomischen Formeln her hoffentlich noch weiß.
Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten miteinander
multipliziert.
n
( )
Also: a n
m
= a n⋅m , konkret: ( 23 ) = 26 = 64
2
Vorsicht: Wenn keine Klammern gesetzt sind, müssen erst die Exponenten potenziert
werden:
Also: a n = a
m
1.6.1
(n )
m
, konkret: 23 = 29 = 512
2
Aufgaben:
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich. Wenn möglich sind die Ausdrücke zu
faktorisieren.
a. 2
 x5 
b.  −5 
x 
0.5−3
e. ( −2 ) + 3 ( −4 ) + ( 0,5 )
4
g.
2
−1
a+b
⋅ ( a2 − b2 )
a−b
−4
−1
 a3 x5 
c.  −2 3 
a x 
4
d. ( 2a ) + ( − a )
7
f. 7 ( a − b ) + 3 ( b − a )
3
(
)(
)
h. a 8 − 1 a 4 + 1
7
3
−1
Für das Rechnen mit Wurzeln braucht man keine eigenen Regeln, wenn man sich folgenden
Zusammenhang in der Schreibweise zwischen Wurzeln und Potenzen klar macht.
1
n
x = x n für x ≥ 0
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Wenn n = 2 ist, spricht man auch von der Quadratwurzel; im Wurzelzeichen wird die 2 nicht
geschrieben.
1
Es gilt:
n
1
1
 1 n
 1 m
m
x =  x m  = x n⋅m =  x n  = m n x und
 
 
n
m
xn = x m =
( x)
m
n
Wurzeln im Nenner von Bruchtermen werden meist durch geschicktes Erweitern beseitigt.
1.6.2
Beispiele:
1
1
2
2 1
2
=
⋅
=
=
2
2
2
2 2
(
)
(
)
(
)
3⋅ 2 + 2
3⋅ 2 + 2
3⋅ 2 + 2
3
3
2+ 2
3
=
⋅
=
=
=
= ⋅ 2+ 2
2
2
2
2− 2 2− 2 2+ 2
2− 2 ⋅ 2+ 2
22 − 2
(
1.6.3
)(
)
( )
(
)
Aufgaben:
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: x, y ∈ IR+ / {0}
a.
3
x6 ( 2 y )
12
1
e.
3
⋅ 6 xy
b.
3
(
f.
(
x 33 y
x⋅3 y
c.
x⋅ y
9 y x3
y x
1.6.4
x⋅3 y
)
)
4
d.
3
x⋅ y
3
27 y 2 x 6
3
2
g.
(
3
y x
)
3
3
h.
4
x
y
x⋅3 y
−
1
3
−
1
4
Aufgaben:
Die folgenden Brüche sind durch geschicktes Erweitern (mit Hilfe der 3. binomischen Formel) so
umzuwandeln, dass keine Wurzeln mehr im Nenner vorhanden sind.
a.
2+3 5
4 − 15
b.
3− 7
5− 2
e.
3− 2
1+ 2 − 6
f.
1− 2
6 −2 3+ 2
c.
3 7 −7 3
7− 3
d.
6 − 14 2
4−3 2
Rechnen mit Logarithmen
Auch Logarithmen haben viel mit Potenzen zu tun. Sie werden erforderlich beim Lösen einer
Gleichung mit folgender Gestalt:
10 x = 1000 , also welche Hochzahl muss man zur Basis 10 benutzen, damit sich die Zahl 1000 als
Ergebnis einstellt. In diesem einfachen Fall ist uns das Ergebnis x = 3 noch bekannt, zumal es sich
sofort überprüfen lässt. Wenn nun auf der rechten Seite eine beliebige positive Zahl stehen kann, wird
die Sache schon schwieriger. Wir brauchen die Umkehrrechnung zum potenzieren, nämlich das
logarithmieren.
Allgemein gilt:
Die Lösung der Gleichung: a x = b liefert der Ausdruck: x = log a (b)
gesprochen: x ist der Logarithmus von b zur Basis a
Für das praktische Rechnen mit Logarithmen haben folgende Basen eine besonders wichtige Rolle.
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Basis a = 10 führt zum Begriff dekadischer Logarithmus. Diese Basis ist besonders gut
geeignet, wenn sich um das Umgehen mit reinen Zahlen handelt, weil man durch die Basis 10
auch eine Ordnung in den Logarithmen erhält, die leicht überschaubar wird.
Zahlen von 1 bis 10 bewegen sich als Logarithmen im Bereich von 0 bis 1
Zahlen von 10 bis 100 bewegen sich als Logarithmen im Bereich von 1 bis 2
Zahlen von 100 bis 1000 bewegen sich als Logarithmen im Bereich von 2 bis 3
Anwendungen hierfür findet man in logarithmisch strukturierten Koordinatensystemen, bei denen ein
sehr großer Zahlenbereich dargestellt werden soll. In solchen Koordinatensystemen hat man jeweils
für eine Dekade den gleichen Platz; d.h. der Darstellungsbereich der Zahlen von 10 bis 100 wird
genauso breit dargestellt wie der Zahlenbereich von 1000 bis 10 000 usw.
Man schreibt: log10 (b) oder verkürzt lg(b) . Bei Taschenrechner steht oft nur log , wenn der
Logarithmus zur Basis 10 gemeint ist.
Basis a = e ( e ≈ 2, 71...) Die Zahl e heißt auch die Eulersche Zahl. Die so gebildeten
Logarithmen heißen natürliche Logarithmen. Die Zahl e ist vergleichbar mit der Zahl π und
wie diese nicht durch einen Bruch darstellbar. Für viele Darstellungen in den Natur- und
Wirtschaftswissenschaften spielt sie eine besonders wichtige Rolle.
Man schreibt: log e (b) oder verkürzt ln(b)
Die Logarithmengesetze sind unabhängig von der benutzten Basis, deshalb wird keine angegeben. Es
gilt:
log ( a ⋅ b ) = log ( a ) + log ( b ) Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen.
a
log   = log ( a ) − log ( b )
b
log ( a n ) = n ⋅ log ( a )
log
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus
Exponent und dem Logarithmus der Basis
( a ) = 1n log ( a )
n
Ferner gilt: log (1) = 0 Logarithmenwerte für Null oder negative Zahlen existieren nicht.
log a ( a ) = 1 insbesondere ln ( e ) = 1
Logarithmenwerte für Zahlen zwischen 0 und 1 sind negativ.
Man kann Logarithmen verschiedener Basen umrechnen mit der Beziehung:
log a ( b ) =
log c ( b )
Diese Formel braucht man, wenn man mit Hilfe des Taschenrechners
log c ( a )
Logarithmen zu beliebigen Basen (a) berechnen muss.
1.6.5
(
Beispiele:
)
1
1 1 1
1
1
⋅ lg ( 0,1) = ⋅ lg   = ⋅ ( lg (1) − lg (10 ) ) = ⋅ ( 0 − 1) = −
2
2  10  2
2
2
b. lg ( 5 ) + lg ( 20 ) = lg ( 5 ⋅ 20 ) = lg (100 ) = 2
a. lg
1
0,1 = lg ( 0,1) 2 =
1
 1
1
= ln  e ⋅ 2  = ln   = ln ( e −1 ) = −1 ⋅ ln ( e ) = −1
2 
e 
 e 
e
c. ln ( e ) + ln 
- 22 -
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( )
University of Applied Sciences
=e ( )
lg (10 )
1
e. log 7 (10 ) =
=
≈ 1,1833
lg ( 7 ) lg ( 7 )
d. a x = e
1.6.6
ln a x
x⋅ln a
Aufgaben
Vereinfachen Sie die nachstehenden Ausdrücke ohne Taschenrechner:
a. lg ( 4 ) + 2 ⋅ lg ( 5 )
b. lg ( 3000 ) − lg ( 3)
d. log 2 (16 )
e. log 6
 a 3b 
g. lg  2 
 c 
 ( ab )2 c3
h. lg 

ad


x4 

 ( yz )2 


j. lg  3
(
(
3
216
k. lg ( a + b )
2
c. e
)
5⋅ln ( 2 )
f. log 5 ( 625 )




i. lg
)
(
3
a 4b 2
)
(
l. log a a 2 − b 2
)
1.7 Rechnen mit Beträgen
Der Sachverhalt bei Beträgen ist eigentlich ganz einfach: Der Term, der zwischen den
Betragsstrichen steht, darf unabhängig von seinem Vorzeichen nur einen positiven Wert nach
außen erzeugen. Bei Zahlen sieht man sofort, was zu tun ist. Der Betrag einer positiven Zahl ist
die positive Zahl selbst, also +4 ist 4 und der Betrag einer negativen Zahl ist ebenfalls der
positive Wert der Zahl, also −4 = 4 . Um aus der negativen Zahl −4 die positive Zahl 4 zu
erzeugen, ersetzt man die Betragsstriche durch eine Minusklammer, also −4 = − ( −4 ) = 4 .
Dieses Rezept gilt als Regel für jedes Auflösen eines Betragsterms.
Definition:
 x, falls x ≥ 0
d.h. Ist x positiv, kann man die Betragsstriche weglassen, ist x selbst
x =
 − ( x ) , falls x < 0
negativ, werden die Betragsstriche ersetzt durch eine Minusklammer.
Sind Betragsterme in Gleichungen oder Ungleichungen enthalten, müssen in Fallunterscheidungen
diese Situation untersucht werden..
1.7.1
Beispiel:
4 x − 2 − x + 10 > 0
Um diese Gleichung nach x auflösen zu können, muss man den Betragsterm auflösen, wodurch sich
die angesprochenen zwei Fälle ergeben:
1. Fall: ( 4 x − 2 ) ≥ 0
2. Fall: ( 4 x − 2 ) < 0
( 4 x − 2) ≥ 0 ⇔ 4 x ≥ 2 ⇔ x ≥
1
2
Im 1. Fall werden also nur Lösungen
akzeptiert, die die Fallbedingung
x≥
( 4 x − 2) < 0 ⇔ 4 x < 2 ⇔ x <
Im 2. Fall werden also nur Lösungen
akzeptiert, die die Fallbedingung
1
2
erfüllen. Unter dieser Bedingung kann
1
2
x<
1
2
erfüllen. Unter dieser Bedingung kann
- 23 -
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der Betrag aufgelöst werden. Man erhält:
( 4 x − 2 ) − x + 10 > 0
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der Betrag aufgelöst werden. Man erhält:
4 x − 2 − x + 10 ≥ 0
3 x ≥ −8
8
x≥−
3
− ( 4 x − 2 ) − x + 10 > 0
− 5 x + 12 > 0
5 x < 12
12
x<
5
Diese gefundenen Aussagen müssen nun
noch mit der Fallbedingung abgeglichen
werden. Lösungen sind nur die x-Werte,
die beide Aussagen erfüllen.
Diese gefundenen Aussagen müssen nun
noch mit der Fallbedingung abgeglichen
werden. Lösungen sind nur die x-Werte,
die beide Aussagen erfüllen.
x≥−
8
1
und die Fallbedingung x ≥
3
2
x<
12
und die Fallbedingung
5
x<
1
2
1

IL2 =  − ∞, 
2

1 
IL1 =  ; ∞ 
2 
Bei dieser Aufgabe liegen also Lösungen in beiden Fällen vor, deren Vereinigung die Gesamtlösung
ausmacht. Man muss besondere Sorgfalt darauf verwenden, ob die Intervallgrenze jeweils zur
Lösungsmenge gehört oder nicht. Im 1. Fall gehört x =
Intervallklammer nach innen. Im 2. Fall gehört x =
1
zur Lösungsmenge, also zeigt die
2
1
nicht zur Lösungsmenge, also zeigt die
2
Intervallklammer nach außen.
1


1
Für die Gesamtlösung erhält man die Darstellung: IL =  , ∞  ∪  − ∞,  = R .
2
2  
Beachten Sie:
Löst man einen Betragsterm auf, so bildet der Wert, bei dem das Vorzeichen
im Betragsterm wechselt, die Fallbedingung.
Ist der Betragsterm linear, erkennt man den Vorzeichenwechsel sofort, wenn der Term die Form hat:
x − a , denn das Vorzeichen wechselt bei x = a . Eine Umformung in diese Form ist bei einem
linearen Term immer möglich, wobei folgende Regeln zu beachten sind:
a = −a
a ⋅b = a ⋅ b
Beachten Sie die folgende Umformung:
4 − 2 x = −2 x + 4 = −2 ⋅ ( x − 2 ) = −2 ⋅ x − 2 = 2 ⋅ x − 2 Dem letzten Term kann man sofort
ablesen, dass sein Vorzeichen wechselt für x = 2 .
Kommen in einer Gleichung mehr als nur ein Betragsterm vor, hilft eine systematische
Vorgehensweise:
1. Für jeden Term zwischen den Betragstrichen wird die Stelle bestimmt (x-Wert), an
dem der Term sein Vorzeichen wechselt. Dies kann durch Umformen wie oben
gezeigt erfolgen.
- 24 -
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2. Auf der Zahlengerade markiert man alle vorkommenden Wechselstellen und erzeugt
so Untersuchungsintervalle, in denen keine weiteren Vorzeichenwechsel mehr
stattfinden.
3. Für jedes dieser Intervalle kann jetzt jeder Betragsterm durch einen Klammerausdruck
ersetzt werden.
4. Innerhalb eines jeden Intervalls werden Lösungen der Gleichung oder Ungleichung
ermittelt, sofern es welche gibt.
5. Die Vereinigung aller Lösungen in den Intervallen ergibt die Gesamtlösung.
1.7.2
Beispiel:
3x + 2 − − x + 1 < x + 1
2
− 1⋅ x − 1 < x + 1
3
2
(1) Vorzeichenwechsel in den Termen erfolgt bei x = − und bei x = 1
3
Nach dem Umformen erhält man: 3 x +
(2) Markieren der Stellen auf der Zahlengerade:
I1
I2
x=−
2
3
I3
x =1
Also:
2

 2 
I 1 =  − ∞,−  , I 2 =  − ; 1  und I 3 = [ 1 ; ∞[
3
 3 

(3) Man erhält so die folgenden Gleichungen für die Intervalle:
2
I1 : −3( x + ) + ( x − 1) < x + 1
3
2
I 2 : 3( x + ) + ( x − 1) < x + 1
3
2
I 3 : 3( x + ) − ( x − 1) < x + 1
3
(4) Für die einzelnen Intervalle findet man folgende Lösungen:
2
I1 : −3( x + ) + ( x − 1) < x + 1
3
⇔ −3 x − 2 + x − 1 < x + 1 ⇔ −3 x < 4 ⇔ x > −
Es gibt Zahlen im Intervall, die diese Bedingung erfüllen:
2
 4
IL1 =  − ; − 
3
 3
2
I 2 : 3( x + ) + ( x − 1) < x + 1 ⇔ 3x + 2 + x − 1 < x + 1 ⇔ 3x < 0 ⇔ x < 0
3
Es gibt Zahlen im Intervall, die diese Bedingung erfüllen:
 2 
IL2 =  − ; 0 
 3 
- 25 -
4
3
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2
I 3 : 3( x + ) − ( x − 1) < x + 1 ⇔ 3 x + 2 − x + 1 < x + 1 ⇔ x < −2
3
Diese Zahlen liegen nicht im Intervall und deshalb ist die Lösungsmenge leer. IL3 = {
}
Die gesamte Lösungsmenge besteht aus den Lösungsmengen :
 4 
IL = IL1 ∪ IL2 =  − ,0 
 3 
Beachten Sie: Wenn man für die Betragsterme die umgewandelten Formen benutzt, werden für die
Intervalle links der Vorzeichenwechselstelle immer die Minusklammern benutzt und in den rechts
liegenden die Plusklammern. Das erleichtert den Überblick.
1.7.3
Aufgaben:
Wandeln Sie die folgenden Beträge so um, dass sie diese Form haben: x − a
a. 4 x − 2 =
d.
2 1
+ x
3 2
b. 2 x − 4
1
3
e. − x +
c. −3 x + 6

4
5

1 
f.  2 x −  3 x +  
2 


Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und Gleichungen:
h. x + 1 > x − 1 + 2
g. − x + 4 > 2
i. x − 1 > x + 6
3
x −1
2
j. x − 2 + x − 1 + x = x + 1
k. x + 3 − 3 x − 4 ≥
l. x 2 + 4 > 1
m. x 2 − x − 2 = x + 3
Achtung Witz
Ein zerstreuter Mathematikprofessor: Er sagt A, schreibt B, meint C, rechnet D, aber E wäre richtig
gewesen.
- 26 -
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Zeichnerische Lösungen:
In vielen Fällen verschafft eine grafische Darstellung der Betragsgleichung einen guten Überblick über
die Lösungen einer Betragsgleichung oder Ungleichung. Dies gilt vornehmlich dann, wenn nur ein
Betragsterm vorhanden ist.
1.7.4
Beispiel:
Gesucht ist die Lösungsmenge der Betragsungleichung: x − 2 − x 2 + 2 x < −1
Man isoliert den Betragsterm und erhält:
x − 2 < x2 − 2 x + 1
Betrachtet man beide Seiten dieser Ungleichung als Funktionen, so erkennt man auf der rechten Seite
durch Umformen x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) eine Normalparabel, deren Scheitel um 1 nach rechts
2
verschoben wurde. Auf der linken Seite kann man sich die Betragsfunktion als zwei Teilgeraden
zusammengesetzt denken. Der negativ verlaufende Teil der Gerade y = x − 2 wird an der X – Achse
ins positive gespiegelt. Zeichnet man die so gefundenen Graphen beider Funktionen in ein
Koordinatensystem, so liefern die x-Werte, für die die Parabelwerte oberhalb der Geradenabschnitte
liegen, die Lösungen.
An der Grafik kann man die Lösungsbereiche
ablesen
Links von x1 und rechts von x2 ist die Bedingung
erfüllt.
Rechnerisch können die Werte für x1 und x2
ermittelt werden als Schnittpunkte der Parabel mit
der Geraden:
x1
x2
y = − ( x − 2) = − x + 2
1 1
−
5 ≈ −0, 618
2 2
1 1
x2 = +
5 ≈ 1, 618
2 2
x1 =
x1
x2
Achtung Witz
Ein Mathematiker, ein Maschinenbauer und ein BWLer werden in einer Prüfung befragt:
"Was ist 2 + 2 ?" Der Mathematiker wie aus der Pistole geschossen:"4!"
Der Maschinenbauer etwas zögernd: "Irgendwas zwischen 3,8 und 4,2"
Der BWLer ganz vertraulich: "Was soll denn 'rauskommen? Wir kriegen das schon hin!"
Achtung Witz
Prof.:. "Also, es haben sich einige beschwert dass meine Vorlesung zu theoretisch sei, deshalb bringe
ich jetzt ein praktisches Beispiel: Stellen wir uns einen Zylinder mit unendlich großem Durchmesser
vor..."
- 27 -
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1.8 Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen sind eine Kurzform für eine Addition von Summanden, die sich durch einen
Laufindex beschreiben lassen.
n
∑x
i
= x1 + x2 + ... + xn
i =1
Der Startwert wird gebildet durch die Zuordnung unter dem Summenzeichen, also i = 1 , damit
wird für den X-Wert an Stelle von i, der Wert 1 zugewiesen und man erhält x1 . Im Folgenden wird
der Laufindex i jeweils um 1 erhöht und man erhält die nächsten Summanden. Dies geschieht
solange, bis man den letzten Wert, der oberhalb des Summenzeichenzeichens steht erreicht hat.
Sobald i den Wert n erreicht hat erhält man den letzten Summanden xn und die Summe ist beendet.
1.8.1
Beispiele:
5
a.
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
i =1
4
b.
∑ 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
i=1
3
c.
∑( x − i)
i
i =0
4
d.
∑ ( −1)
i =1
i
= 1 + ( x − 1) + ( x − 2 ) + ( x − 3)
2
3
xi
x2 x3 x4
= −x + − +
2
3 4
i
Oft ist es sinnvoll den Index i von einem anderen Startwert anfangen zu lassen. Um den Wert der
Summe dadurch nicht zu verändern, muss folgendes beachtet werden:
Indexverschiebung:
l
∑ xi =
i =k
l +a
∑x
i=k +a
i −a
Das Funktionieren dieser Regel soll am Beispiel a gezeigt werden
5
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Diese Summendarstellung soll nun beginnen mit dem Wert i = 4 , damit
i =1
erhält man eine Verschiebung um a = 3
5+ 3
∑ (i − 3) = ( 4 − 3) + (5 − 3) + ( 6 − 3) + ( 7 − 3) + (8 − 3) =
i =1+ 3
=
1
+
2
+
+
3
+
4
5
= 15
Viele Probleme beim Umgang mit dem Summenzeichen verschwinden, wenn man sich die
Summanden der Reihe nach hinschreibt. Natürlich heißt auch der Laufindex nicht immer i!
1.8.2
Aufgaben
Schreiben Sie die Summen jeweils aus und berechnen Sie einen Zahlenwert, soweit dies möglich ist:
3
4
a.
d.
∑ 2i
b.
∑ ( −1) x 2 j
i=1
j =0
2
6
∑x
i =−2
−i
e.
∑ (x
i =3
j
i −2
+ xi )
- 28 -
4
c.
∑( x − x )
i
i =1
0
i
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Schreiben Sie die folgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens:
f. 1 +
1 1
1
+ 2+ 3
x x
x
g. 1 + x + x 3 + x 5 + x 7
Das Produktzeichen:
In ähnlicher Weise verwendet man das Produktzeichen als abkürzende Darstellung für Produkte:
Die einzelnen Faktoren werden wieder gebildet indem man die Laufvariable i vom Startwert
i = 1 bis zum Schlusswert i = n erhöht.
1.8.3
Beispiele:
3
a.
∏i
2
= 12 ⋅ 2 2 ⋅ 32 = 1 ⋅ 4 ⋅ 9 = 36
i =1
3
b.
∏ i = 0 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 0
i =0
n
Für das Produkt der ersten n Zahlen, also
∏ i = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) ⋅ n hat man eine weitere
i =1
Schreibweise vereinbart. Man bezeichnet das so definierte Produkt als „n Fakultät“, geschrieben n!
Für den Spezialfall 0! setzt man den Wert 1.
n
n !:= ∏ i = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) ⋅ n und 0!:= 1
i =1
n
k 
Mit dieser Festsetzung erhält man für den Binomialkoeffizienten   ,gesprochen n über k, die
folgende Definition:
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( k + 1)
n
n!
 k  := k !⋅ n − k ! = n − k ⋅ n − k − 1 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 , wobei gilt: n, k ∈ IN 0 , n ≥ k
(
) (
)(
)
 
Bemerkungen:
• Mit n ! erhält man die Anzahl der möglichen Kombinationen für eine Anordnung bestehend
aus n Elementen. So erhält man genau 3! verschiedene Möglichkeiten, wenn man mit den
Ziffern 2, 6 und 8 alle möglichen Zahlen bildet: 268; 286; 628; 682; 826 und 862. Dies sind 3!
= 6 Möglichkeiten.
• Mit Hilfe des Binomialkoeffizienten können die Koeffizienten berechnet werden, die beim
Berechnen des Ausdruckes ( a + b ) benötigt werden. Für n = 2 sind dies Koeffizienten
n
allgemein bekannt. Durch Anwenden folgenden Satzes können die Koeffizienten für jedes n
berechnet werden:
Für alle a , b ∈ IR, n ∈ IN 0 gilt : ( a + b ) =
n
n
n
∑ i  ⋅ a
i =0
 
i
⋅ b n −i
Die Exponenten von a und b ergeben in der Summe immer n. Die Exponenten laufen
gegensinnig, der Exponent von a beginnt mit Null und steigt bis n, während gleichzeitig der
Exponent von b bei n beginnt und bis Null absteigt.
- 29 -
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1.8.4
Beispiel
( a + b)
3
1.8.5
Aufgaben:
University of Applied Sciences
3
 3
 3
 3
 3
 3
= ∑   a i b3−i =   a 0b3−0 +   a1b3−1 +   a 2b3−2 +   a 3b3−3 =
i =0  i 
0
 1
2
 3
b3 + 3 a1b2
a3
+ 3a 2b1
+
Berechnen Sie:
8
 3
 12 

3
a.  
 150 

 2 
b. 
c. 
d. Geben Sie die Formel an zur Berechnung von ( a − b )
e. Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel: ( x + y )
n
5
1.9 Lösen von Gleichungssystemen
Bei vielen Problemstellungen gibt es mehr als eine unbekannte Größe und man erhält mehrere
Aussagen, in denen diese Größen miteinander verknüpft sind.
1.9.1
Beispiel:
Von zwei Personen, nämlich Peter und Monika ist folgendes bekannt: Peter ist i nächsten Jahr doppelt
so alt wie Monika dann ist und heute ist Monika 8 Jahre jünger als Peter.
Zunächst müssen diese Aussagen in Gleichungen umgewandelt werden und man muss exakt festlegen,
welche Bedeutung die benutzten Variablennamen haben. Hier bietet sich an folgendes zu benutzen:
P:= jetziges Alter von Peter und M := jetziges Alter von Monika
Damit lassen sich die Aussagen in Gleichungen umwandeln:
(1) P + 1 = 2 ⋅ ( M + 1)
(2) ( P − 8) = M
Beide Gleichungen dürfen nicht unabhängig voneinander gelöst werden, was zu unendlich vielen
Lösungen führen würde, sondern beide Gleichungen bilden ein System, das nur dann gelöst ist, wenn
für M und P Zahlenwerte gefunden werden, die in beiden Gleichungen eine Lösung darstellen. In
diesem einfachen Fall kann man durch Ersetzen des Wertes M in der 1. Gleichung durch die linke
Seite der 2. Gleichung folgende Darstellung gewinnen:
P + 1 = 2 ⋅ ( ( P − 8 ) + 1) = 2 ⋅ ( P − 7 ) = 2 P − 14
P = 15
Mit diesem Wert lässt sich dann durch Einsetzen in der 2. Gleichung direkt der Zahlenwert für
M bestimmen:
M = P − 8 = 15 − 8 = 7
Damit ist das Gleichungssystem gelöst: Peter ist 15 Jahre alt und Monika 7.
Systeme von solchen linearen Gleichungen und auch Ungleichungen können sehr groß werden und
man benötigt zuverlässige Verfahren, um sie zu lösen. Im Folgenden wird ein Verfahren vorgestellt,
dass unter dem Namen „Gaußscher Algorithmus“ bekannt ist.
Dieses Verfahren benutzt die Tatsache, dass man innerhalb eines Gleichungssystems bestimmte
Aktionen mit den Gleichungen durchführen darf, ohne dass sich dadurch die Lösungsmenge ändert.
Diese äquivalenten Umformungen sind:
1
Zwei Gleichungen dürfen miteinander vertauscht werden
- 30 -
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2
Eine Gleichung darf jederzeit mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder dividiert
werden.
3 Zu einer Gleichung kann zu jedem Zeitpunkt ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert bzw.
subtrahiert werden.
Mit Hilfe dieser 3 Umformungsmöglichkeiten wird ein gegebenes Gleichungssystem in eine
„Dreiecksform“ umgewandelt. Hat man diese Form erreicht, lassen sich die Variablen der Reihe nach
bestimmen.
Hält man sich an eine feste Reihenfolge der einzelnen Summanden innerhalb der Gleichungen, so
kann man sich das Hinschreiben der Variablennamen für die Dauer der Umformungen ersparen. Man
weiß, dass immer x, y, z usw. in der gleichen Reihenfolge auftreten.
Also wird ein Gleichungssystem zunächst umgeformt in ein reines Zahlenschema:
Gegebenes Gleichungssystem:
x
−y
3x
4x
+2 z =
−z =
−y =
0
6
3
Nicht vorhandene Variablen werden durch Nullen aufgefüllt
und man erhält folgendes Zahlenschema:
x
y
z
=
1
0
2
0
4 −1 −1
6
3 −1 0
3
rechte Seite
In vielen Anwendungen sind immer genauso viele Gleichungen vorhanden, wie es Variable gibt und
damit erhält man immer ein quadratisches Zahlenschema, was die Koeffizienten anbelangt. Dies
erkennt man an der Anordnung der 9 Zahlen unterhalb und links neben den Strichen. Denkt man sich
eine Diagonale in dieser quadratischen Anordnung von links oben nach rechts unten, so verläuft diese
von der Zahl 1 über −1 zur 0 .
Ziel ist es, alle Zahlen unterhalb dieser Diagonalen durch die erwähnten Umformungen zu Null
werden zu lassen. Es sind dies in der ersten Spalte die Zahlen 4 und 3 . In der zweiten Spalte die Zahl
−1 . Dies ist immer möglich, wenn man sich an eine Reihenfolge beim Vorgehen hält:
Man benutzt die oberste Zahlenreihe für alle Aktionen, die notwendig sind, um die
erste Spalte auf Null zu bringen.
Anschließend die so entstandene 2. Zahlenreihe für die Behandlung der 2. Spalte usw.
Die benötigten Schritte notiert man sich in Kurzform neben der zugehörigen Zeile.
Um die Zahl 4 in der ersten Spalte zu Null zu machen muss man von der zweiten Reihe das Vierfache
der ersten Reihe subtrahieren oder – weil die Addition am allgemeinen leichter fällt – das ( −4 ) -fache
der ersten Zeile addiert. Entsprechendes gilt für die Behandlung der Zahl 3 in der ersten Spalte, die
dadurch zu Null wird, indem man zu diese Zeile das ( −3) -fache der ersten Zeile addiert. Man notiert
die Rechenoperationen im Gleichungssystem:
x y z = rechte Seite
1 0 2
0
, wobei die römische Ziffer I für die erste Zeile steht
4 −1 −1 6 + ( −4 ) ⋅ I
3 −1 0
3 + ( −3) ⋅ I
Nach Durchführen dieser Rechnungen erhält man das folgende umgeformte System:
x
y
z
=
1
0
2
0
0 −1 −9
6
0 −1 −6
3
rechte Seite
Die erste Spalte ist damit in der gewünschten Form.
- 31 -
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Es muss nur noch die Zahl −1 in der letzten Zeile auf Null gebracht werden, wobei man jetzt die 2.
Zeile benutzen muss. (Benutzte man die erste, würde man sich in der ersten Spalte wieder eine von
Null verschieden Zahl einhandeln.). Man addiert also zu der 3. Zeile das ( −1) -fache der zweiten und
notiert dies.
x y z
= rechte Seite
1 0 2
0
0 −1 −9 6
0 −1 −6 3 + ( −1) ⋅ II
Man erhält durch Ausrechnen:
x
y
z
=
1
0
2
0
rechte Seite
0 −1 −9
6
0 0
−3
3
Das Ziel ist erreicht: Das Zahlenschema besitzt die Dreiecksform.
In der letzten Zeile kann man sofort das Ergebnis für die Variable z ablesen: 3 z = −3 → z = −1
Setzt man diesen gefundenen Wert in der Zeile darüber ein, lässt sich die nächste Variable
y berechnen:
−1⋅ y − 9 ⋅ ( −1) = 6 oder − y = −3 → y = 3
Setzt man die Werte für z und y in der ersten Zeile ein, kann x berechnet werden.
1⋅ x + 0 ⋅ ( 3) + 2 ⋅ ( −1) = 0 oder x = 2 .
Es liegt in der Natur dieser Dreiecksstruktur, dass sich durch Einsetzen der gefundenen Werte in der
darüber liegenden Zeile immer nur eine neue Variable befinden kann, die berechnet werden kann.
Als Lösung des Gleichungssystems erhält man also:
x = 2, y = 3, z = −1
Dieses Verfahren kann beliebig viele Gleichungen ausgedehnt werden, wobei man sich der obigen
Reihenfolge der Operationsschritte bedienen muss.
Bemerkung:
Die Rechenoperationen werden wie im Beispiel besonders einfach, wenn als erste Zahl in der
Zeile mit der man arbeitet eine 1 steht. Dies kann durch Tauschen von Zeilen oder durch
Division immer erreicht werden.
1.9.2
Aufgaben:
Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus.
4 x +2 y − z
a
= 3
2 x −4 y −2 z = 2
x +3 y +3 z = 8
x
b.
x
x
= 1 c.
2x
= 6
3x
−y = 1
y −z
x +z
+y
+2 y
−3 y
−y
+z
+3 z
−2 z
+z
+u
−u
+4u
+2u
=
=
=
=
7
6
7
10
Bemerkung:
Es ist keineswegs „normal“, dass ein Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Das
Gleichungssystem kann auch keine Lösung besitzen, dann führt der Algorithmus zu einem
Widerspruch der Art: 0 = 3 oder ähnlich. Ferner besitzen viele Systeme unendlich viele
Lösungen. Dies ist dann der Fall, wenn nicht in jeder gegeben Gleichung eine von den anderen
Gleichungen unabhängige Information steckt. In diesem Fall entstehen durch den Algorithmus
Zeilen, die insgesamt nur Nullen enthalten. Die Lösungen lassen sich dann in Abhängigkeit von
einem frei wählbaren Parameter darstellen. Die Umwandlung in die Dreiecksform wird also nicht
- 32 -
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bis zur Spitze des Dreiecks möglich sein, sondern nur bis zur vorletzten Zeile , die dann natürlich
noch 2 Variablen enthält. Eine davon darf als Parameter gewählt werden.
Achtung Witz
"Wer einem Konkurrenten ans Bein pinkeln will, braucht ausreichende Liquidität."
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2 Aussagen und Mengen
2.1 Aussagenlogik
In mathematischen Skripten werden häufig Aussagen oder Sätze benutzt, die meist häufig miteinander
verknüpft sind. Was versteht man unter einer mathematischen Aussage?
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist. Steht in der
Aussage eine Variable, so spricht man von einer Aussageform. Je nachdem welchen Wert die
Variable annimmt, wird die Aussage wahr oder falsch.
2.1.1
Die Verneinung einer Aussage:
A sei eine beliebige Aussage.
¬A (lies: „nicht A“) ist genau dann wahr, falls A falsch ist und falsch, falls A wahr ist.
Dies lässt sich in einer Wahrheitstabelle darstellen:
A ¬A
w f
f w
Mit zwei Aussagen A und B lassen sich folgende Verknüpfungen festlegen:
2.1.2 Die UND-Verknüpfung A ∧ B
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr sind und sonst falsch. Die Wahrheitstabelle liefert
also folgende Kombinationen:
A B
A∧ B
w w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
f
Die Verknüpfung ist wahr, wenn A wahr und B wahr ist.
2.1.3 Die ODER-Verknüpfung A ∨ B
A ∨ B ist wahr, wenn A oder B (mindestens also eine von beiden) Wahr sind. Die zugehörige
Wahrheitstabelle sieht dann so aus:
A B
A∨ B
w w
w
w
f
w Die Verknüpfung ist wahr, wenn eine der Aussagen A oder B wahr ist.
f
w
w
f
f
f
Achtung Witz
Kommt ein Mathematik- Student in ein Fotogeschäf: ."Guten Tag! Ich möchte diesen Film
entwickeln lassen."
Verkäuferin: "9x13?"
„117 . Wieso ?"
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2.1.4 Die Äquivalenz-Verknüpfung A ⇔ B
A ⇔ B , gelesen „A äquivalent zu B“ ist genau dann wahr, wenn A und B den gleichen
Wahrheitsgehalt haben, sonst falsch.
A B
A⇔ B
w w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
w
Die Verknüpfung liefert wahr, wenn A und B gleichen Wahrheitswert haben.
2.1.5 Die Implikation-Verknüpfung A ⇒ B
A ⇒ B , gelesen „ aus A folgt B“, „wenn A dann B“, „A impliziert B“ liefert ein
Verknüpfungsergebnis entsprechend der Tabelle:
A B
A⇒ B
w w
w
w
f
f
f
w
w
f
f
w
Versuchen wir, uns diese wichtige Verknüpfung an einem Beispiel zu verdeutlichen:
Nehmen wir folgende Aussagen:
Aussage A:
Die Funktion f besitzt für x0 ein lokales Maximum
Aussage B:
Die 1. Ableitung von f ist für x0 null.
Betrachten wir damit die Aussagen in der Wahrheitstabelle:
1. Zeile: Wenn die Funktion für x0 ein lokales Maximum besitzt, dann ist die 1. Ableitung für x0 null.
Diese Aussage ist wahr.
2. Zeile: Wenn die Funktion für x0 ein lokales Maximum besitzt, dann ist die 1. Ableitung für x0
ungleich null
Diese Aussage ist falsch.
3. Zeile: Wenn die Funktion für x0 kein lokales Maximum besitzt, dann ist die 1. Ableitung für x0
null.
Diese Aussage ist wahr, denn es gibt z.B. die Funktion f ( x ) = x3 , bei der für x0 = 0 kein
lokales Maximum vorliegt, aber die 1. Ableitung trotzdem null ist.
4. Zeile: Wenn die Funktion für x0 kein lokales Maximum besitzt, dann ist die 1. Ableitung für x0
ungleich null.
Diese Aussage ist offensichtlich wahr, denn Punkte, in denen kein Maximum vorliegt und
1. Ableitung von null verschieden ist gibt es viele.
Bei vielen mathematischen Sätzen benutzt man Aussagen vom Typ „wenn A, dann B“, wobei die
Aussage A die Voraussetzung und B die Behauptung darstellt.
Der Wahrheitsgehalt des Satzes wird in einem Beweis durchgeführt. Bei der Beweisführung
unterscheidet man zwischen den zwei Arten:
direkter Beweis:
Man nimmt A an, und folgert daraus unter Benutzung bereits bekannter Sachverhalte die
Aussage B.
indirekter Beweis
Man nimmt A und zugleich die Negation von B, also ¬B an und folgert daraus einen
Widerspruch. Man zeigt damit also, dass es mindestens eine Situation gibt, bei der die
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Aussage A ∧ ¬B falsch ist. Wenn dies gelingt, muss also die Negierung der Aussage richtig
sein, was wiederum der Behauptung entspricht.
2.1.6
Beispiel:
Nehmen wir die Aussagen aus der Seite zuvor:
Aussage A:
Die Funktion f besitzt für x0 ein lokales Maximum
Die 1. Ableitung von f ist für x0 null.
Aussage B:
Wir behaupten: Es gilt die Verknüpfung: A ⇒ B
indirekter Beweis:
Wir zeigen, dass die Aussage: A ∧ ¬B falsch ist.
Die Aussage lautet in dieser Form: Die Funktion f besitzt für x0 ein lokales Maximum und die 1.
Ableitung ist ungleich null. Diese Aussage ist offensichtlich falsch, wie man an der Normalparabel für
x0 = 0 überprüfen kann.
2.2 Quantifizierung von Aussageformen
Bei Aussageformen muss in vielen Fällen sorgfältig unterschieden werden, ob eine von einer
Variablen x abhängige Aussage für alle anzunehmenden Werte von x gelten soll, oder ob es
mindestens einen Wert gibt, für den die Aussage richtig ist. Man schreibt beide Aussagen in folgender
Form:
Für alle x gilt: A ( x ) oder in Kurzform: ∀x A ( x ) Das Symbol ∀ heißt auch Allquantor
Es gibt (mindestens) ein x, für das gilt A ( x ) oder in Kurzform ∃x A ( x ) . Das Symbol ∃
heißt auch Existenzquantor.
Für die Negationen der Quantifizierungen gilt:
Die Negation der Aussage : Für alle x gilt: A ( x ) lautet, es gibt mindestens ein x, für das die Aussage
¬A ( x ) gilt.
Die Negation der Aussage: Es gibt (mindestens) ein x, für das gilt A ( x ) lautet entsprechend, dass für
alle x gilt ¬A ( x ) .
2.3 Mengenlehre
Definition:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte. Diese Objekte heißen Elemente.
Man schreibt bei zwei Mengen A, M :
x ∈ M ,(lies: „x ist Element von M ), x ∉ M , (lies: x ist kein Element von M
A ⊂ M , (lies: A ist Teilmenge von M oder A ist in M enthalten), falls für alle x ∈ A
gilt: x ∈ M
∅ oder { } sind Symbole für die leere Menge
Beschreibungen für Mengen erfolgen, indem man die Menge mit einem Buchstaben oder Begriff
benennt und die zugehörigen Eigenschaften der Elemente kennzeichnet.
M = { x x ist eine gerade Zahl} M ist die Menge aller x, für die gilt: x ist eine gerade Zahl
oder allgemeiner
{
}
M = x A ( x ) M ist die Menge aller x, für die gilt: A ( x )
Die Elemente der Menge können auch durch Aufzählen gekennzeichnet werden:
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M = {2, 4, 6,8,...} Das Aufzählen ist vor allem dann sinnvoll, wenn die Menge nicht viele
Elemente besitzt. So beschreiben die folgenden Schreibweisen dieselbe Menge.
M = {2,3, 4,5, 6, 7} und M = x ∈ IN x < 8 und x > 1
{
}
Zwei Mengen können auf unterschiedliche Arten miteinander in Beziehung gesetzt werden, man kann
die Elemente zweier Mengen vereinigen oder interessiert sich für gemeinsame Elemente aus den
beiden Mengen. Im Folgenden sind Operationen von Mengen beschrieben:
Es seien A und B Mengen.
A ∩ B := { x x ∈ A ∧ x ∈ B} Schnittmenge: A geschnitten B
A ∪ B := { x x ∈ A ∨ x ∈ B} Vereinigungsmenge: A vereinigt B
A \ B := { x x ∈ A ∧ x ∉ B} Differenzmenge: A ohne B
Intervalle
Speziell zur Beschreibung von Mengen von reellen Zahlen benutzt man die anschauliche
Kennzeichnung durch Intervallschreibweise. Besondere Aufmerksamkeit ist dabei den Rändern zu
widmen. Es wird jeweils unterschieden, ob die Ränder noch zum Intervall gehören oder nicht. Man
unterscheidet dabei folgende Schreibweise und Benennung.
[ a, b] := { x ∈ IR a ≤ x ≤ b} „abgeschlossenes Intervall“ von a
]a, b[ = { x ∈ IR a < x < b} „offenes Intervall“ von a bis b
bis b
An Stelle der nach außen eckigen Klammer verwendet man auch die runde Klammer: ( a, b )
Es gibt auch die halboffenen Intervalle:
[ a, b[ = { x ∈ IR a ≤ x < b} und ]a, b] = { x ∈ IR a < x ≤ b}
Wird als Intervallgrenze das Symbol ∞ benutzt, kann die Intervallgrenze dort nur offen sein.
2.3.1
Aufgaben:
Gegeben sind die Mengen:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {n ∈ IN n ≤ 4}
C = {n ∈ IN n ist gerade}
D = {m ∈ IN m ist ungerade und m ≤ 11}
Bilde:
a. A ∪ B
b. A \ B
f. A ∩ D
e. A ∩ C
i. ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ D )
c. B \ A
d. C ∩ D
g. C \ D
h. D \ C
j. ( A ∪ C ) ∩ ( A ∪ D )
Achtung Witz
Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker beweisen den Satz : Jede ungerade Zahl ist eine
Primzahl. Der Ingenieur beginnt: „3 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl, 7 ist eine Primzahl. Also
ist der Satz richtig!“ Der Physiker geht weiter: 3 ist Primzahl, 5 ist Primzahl, 7 ist Primzahl, 9 ist
Prim-, äh Messfehler, 13 ist Primzahl usw. Also ist der Satz richtig!“ Der angewandte Mathematiker
überlegt ähnlich: „3, 5 und 7 sind Primzahlen, 9 ist näherungsweise auch eine Primzahl, 11 und 13
sind Primzahlen usw. Also ist der Satz richtig!“ Der Mathematikstudent versucht es mit Logik: „sei p
eine Primzahl mit p>2. Dann ist p nicht durch 2 teilbar, also ist p ungerade!“
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3 Funktionen
3.1 Der Funktionsbegriff
Es seien zwei nicht leere Mengen A und B gegeben. Ist in einer bestimmten Weise jedem Element x
aus A genau ein Element y aus B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine
Funktion f mit der Definitionsmenge (Definitionsbereich) A und der Zielmenge B
Schreibweise: f: A →B.
Das dem Element x∈ A zugeordnete Element y ∈ B wird mit f(x) bezeichnet. Das Element f(x) heißt
Wert der Funktion f an der Stelle x oder auch Bildpunkt von x bei der Abbildung f
Unter der Wertemenge (dem Wertebereich) der Funktion : f: A →B versteht man die Menge
W = f ( A) = { y ∈ B
es gibt ein x ∈ A mit f ( x) = y
}
W ist immer eine Teilmenge von B.
Die Definitionsmenge einer Funktion f wird auch mit Df , die Wertemenge mit Wf bezeichnet.
Die Paarmenge Gr ( f ) = ( x / y ) ∈ A × B y = f ( x) } heißt der Graph der Funktion f
{
Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn Definitionsmenge, Zuordnungsvorschrift, Wertemenge
und Zielmenge übereinstimmen.
Wenn keine weiteren Angaben vorliegen, untersuchen wir ausschließlich reelle Funktionen mit einer
Variablen, wobei A und B Teilmenge der reellen Zahlen darstellenIm Allgemeinen ist B = IR und für A ist der maximale Definitionsbereich Dmax zu ermitteln.
Die Darstellungsweise einer Funktion kann verbal, mittels Rechenausdruck, durch ein Pfeildiagramm
oder eine Wertetabelle ausgedrückt sein. In der Regel gibt es eine Funktionsgleichung, in der für jedes
x ein zugehöriges f(x) ausgerechnet werden kann.
3.1.1 Beispiel:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} und B = {2,4,6,8,10,12,14,16,18, 20}
f : A → B, x ֏ y = f ( x ) = 3 x − 1
Wenn man diese Rechenvorschrift auf alle Elemente der Menge A anwendet erhält man die folgenden
Paare:
(1/2); (2/5); (3/8); (4/11); (5/14); (6/17); (7/20); (8/23); (9/26); (10/29)
Die unterstrichenen x-Werte führen zu Zahlen, die keine Elemente von B sind, deshalb gehören sie
nicht zum Definitionsbereich:
Dmax = {1,3,5, 7}
Zum Wertebereich der Funktion gehören nur die Werte, die einen Partner aus der Menge besitzen,
also:
W = {2,8,14, 20}
Der Graph der Funktion wird dargestellt durch die fettgedruckten Paare, die man in einem
Koordinatensystem auch als Punkte darstellen kann.
Achtung Witz
Ein Philologe, ein Physiker und ein Mathematiker reisen nach Schottland. Da sehen sie ein schwarzes
Schaf: „Interessant, ruft der Philologe, in Schottland sind die Schafe schwarz!“ „Nein, Herr
Kollege“, widerspricht der Physiker, „man kann nur sagen, es gibt mindestens ein schwarzes Schaf in
Schottland“. Da meldet sich der Mathematiker ebenfalls zu Wort: „Auch das können wir nicht
behaupten, wir können nur sagen, dass es in Schottland mindestens ein Schaf gibt, das mindestens auf
einer Seite schwarz ist“.
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3.2 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
Diese Begriffe kennzeichnen allgemein Eigenschaften einer Funktion:
Eine Funktion heißt injektiv,
wenn zwei unterschiedliche x-Werte immer auch zwei unterschiedliche y-Werte besitzen oder
umgekehrt ausgedrückt: zu jedem y-Wert darf es nur einen zugehörigen x-Wert geben.
f : A → B heißt injektiv genau dann, wenn für alle x1 , x 2 ∈ A gilt:
wenn x1 ≠ x 2 , dann f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) .
Gegenbeispiel: f: f(x) = x2 ist nicht injektiv, weil es für x1 = −1 und für x2 = +1 denselben
Funktionswert 1 gibt.
Der Graph einer injektiven Funktion hat mit einer beliebigen Parallelen zur x-Achse höchstens einen
Schnittpunkt.
Streng monoton steigende oder streng monoton fallende Funktionen sind injektiv.
Im Pfeildiagramm kommt für jedes Element aus B höchstens ein Pfeil an.
Eine Funktion heißt surjektiv,
wenn jedes Element aus B zum Wertebereich gehört. Jedes y aus B besitzt mindestens einen Partner
aus A, mit dem es über die Zuordnungsvorschrift verbunden ist.
f : A → B heißt surjektiv genau dann, wenn W = f ( A) = B gilt.
Gegenbeispiel: f : IR → IR, x ֏ y = f ( x) = x 2 ist nicht surjektiv, weil alle y-Werte nur positive
Zahlen ergeben und damit der Wertebereich nicht gleich ist mit der Menge IR.
Beispiel: f : IR → IR, x ֏ y = f ( x) = x 3 ist surjektiv, weil es zu jedem, auch zu den negativen
Werten zugehörige x-Werte gibt, d.h. die Gleichung x 3 = y ist für alle y-Werte lösbar.
Der Graph einer surjektiven Funktion f : IR → IR muss den gesamten y - Bereich durchlaufen, also
von − ∞ bis + ∞ .
Eine Funktion heißt bijektiv,
wenn jedes Element aus B zum Wertebereich gehört und genau zu einem x-Wert aus A gehört.
f : A → B heißt bijektiv, genau dann, wenn f : A → B injektiv und surjektiv ist.
Das heißt, die Gleichung f ( x) = y hat für jedes gegebene y ∈ B genau eine Lösung.
3.2.1
Beispiele:
f : IR → IR, x ֏ y = f ( x) = 0,5 x 3 − 2 x
f : IR → IR, x ֏ y = f ( x) = 2 x − 1
Diese Funktion ist injektiv und
und surjektiv, also bijektiv
Diese Funktion ist nicht injektiv, aber
surjektiv
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f : IR → IR, x ֏ y = f ( x) = 3 sin( x)
Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv.
3.3 Verkettung von Funktionen
Es seien f : A → B und g : B → C Funktionen. Dann kann man eine neue Funktion definieren als
Zusammensetzung dieser beiden:
g f : A → C , x ֏ ( g f )( x) := g ( f ( x))
g f heißt die Verkettung von f und g. Man liest „g nach f“ und bezeichnet f als die innere Funktion
und g als die äußere Funktion.
Die Funktion f ordnet also Elementen der Menge A Elemente der Menge B. Die Wertemenge von f
wird jetzt zugeordnet durch die Funktion g den Elementen von C.
3.3.1
Beispiel:
f : IR → IR, x ֏ y = f ( x) = 2 x + 1 und g : IR → IR, x ֏ y = g ( x) = x 2 − 2
Zahlenwerte für g f :
1 ֏ f (1) = 3 ֏ g (3) = 7
2 ֏ f (2) = 5 ֏ g (5) = 23
usw.
Man erhält also eine verkettete Funktion, wobei g die Funktionswerte von f als Ausgangswerte
benutzt. Diese Funktion lässt sich auch schreiben:
g f : IR → IR, x ֏ g ( f ( x )) = (2 x + 1) − 2
2
Für manche Anwendungen ist es nützlich, eine gegebene Funktion in eine Verkettung zweier
Funktionen zu zerlegen:
Beispiele: h : h( x) = sin 2 (2 x − 5) kann zerlegt werden in eine Verkettung f : f ( x) = 2 x − 5 und
g : g ( x) = sin 2 ( x)
h : h( x) = 2 x 2 + x kann zerlegt werden in f : f ( x) = 2 x 2 + x und g : g ( x) = x
3.4 Umkehrung von Funktionen
Es sei f : A → B eine bijektive Funktion. Dann gibt es auch:
f
−1
: B → A, x ֏ f
−1
( x) := y ∈ A , wobei f ( y ) = x ∈ B
-1
Die Funktion f heißt die Umkehrfunktion von f und wird auch „f invers“ gelesen.
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Achtung: f
−1
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( x) darf nicht verwechselt werden mit ( f ( x) ) =
−1
1
f ( x)
Die Verkettung von f f −1 liefert die Identität, d.h. es geschieht eigentlich nichts.
Bei der Ermittlung der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion geht man so vor:
1. Der Definitionsbereich von f −1 ist der Wertebereich von f
2. Der Wertebereich von f −1 ist der Definitionsbereich von f
3. In der Funktionsgleichung für f vertauscht man die Bezeichnungen x und y und
löst nach y auf.
3.4.1 Beispiel:
f : f ( x) = y = 2 x − 4 Der Werte- und Definitionsbereich von f ist IR. Man erhält die
Umkehrfunktion:
f
−1
:f
−1
( x) : y ֏ x = 2 y − 4 Durch Umstellen nach y: f −1 ( x) =
1
x+2
2
Die Graphen von f und f −1 sind an der Winkelhalbierenden im Koordinatensystem y = x
gespiegelt.
Umkehrfunktionen zu wichtigen Funktionen wie sin, exp, und andere erhalten eigene Namen und
müssen durch geeignete Einschränkungen bijektiv gemacht werden, bevor man die Umkehrfunktionen
bilden kann.
3.5 Achsparallele Verschiebungen und Dehnungen von
Funktionsgraphen
Der Graph einer Funktion f : D → IR sei bekannt.
Der bekannte Graph dieser Funktion verändert sich nach 4 Möglichkeiten, deren Wirkung man
getrennt untersuchen kann:
3.5.1
Verschiebung des Graphen in y-Richtung um eine Zahl a
Man erhält diese Verschiebung, indem man zu dem Funktionsterm von f die Zahl a addiert.
g : D → IR, x ֏ g ( x) = f ( x) + a, a ∈ IR
a
f ( x) = x 2
g ( x) = f ( x) + a = x 2 + a, mit a = 2
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3.5.2
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Dehnung des Graphen in y-Richtung mit dem Faktor b, b>0
Man erhält eine solche Dehnung, indem man den Funktionsgraphen mit dem Faktor b multipliziert. Ist
b>1, dann erscheint der Graph enger oder steiler, ist b<1 wird der Graph breiter und weiter.
Für b<0 wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
g : D → IR, x ֏ g ( x) = b ⋅ f ( x)
b=2
b=1/2
f ( x) = x 2
3.5.3
g ( x) = b ⋅ f ( x) = 2 ⋅ x 2bzw g ( x) =
1 2
x
2
3. Verschiebung des Graphen in x-Richtung um eine Zahl c
Man erhält diese Verschiebung, indem man im Funktionsterm von f jeden x-Wert ersetzt durch (x-c).
Ist c eine positive Zahl so wird der Graph um die Zahl (-c) nach links versetzt, ist c negativ, erfolgt
eine Verschiebung nach rechts.
g : D → IR, x ֏ g ( x) = f ( x + c)
f ( x) = x 2
g ( x) = f ( x + c) = ( x + 2) 2
Achtung Witz
Prof: "Integrale sind wie Frauen, jedes ist anders, aber alle sind sie schwierig!"
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3.5.4
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Dehnung des Graphen in x-Richtung mit dem Faktor
1
, d>0
d
Die Dehnung wird erreicht, indem man jedes x der Funktionsgleichung mit dem Faktor d multipliziert.
g : D → IR, x ֏ g ( x) = f (d ⋅ x)
g ( x) = f (2 ⋅ x) = (2 ⋅ x )
1
Man erkennt, dass die Dehnung in x-Richtung mit dem Faktor
in diesem Falle auch durch eine
2
f ( x) = x 2
2
Dehnung in y-Richtung mit dem Faktor 4 identisch ist. Dies ist aber keinesfalls immer!
Um den Unterschied in der Dehnung in y- und x-Richtung besser zu erkennen, sieht man sich den
Graph der Funktion f ( x) = sin( x) und die unterschiedlichen Wirkungen in den Graphen von:
g1 ( x) = 2 ⋅ sin( x)
g 2 ( x) = sin(2 ⋅ x)
f ( x) = sin( x)
g1 ( x) = 2 ⋅ f ( x) = 2 ⋅ sin( x)
g 2 ( x) = f (2 ⋅ x) = sin( 2 ⋅ x)
Dehnung in Richtung der y-Achse
Dehnung in Richtung der x-Achse
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Sind mehrere der in diesen 4 Fällen einzeln dargestellten Veränderungen am Funktionsgraphen
vorgenommen, so ergibt sich eine entsprechende mehrfache Verschiebung und Dehnung des Graphen.
Die Reihenfolge dieser Veränderungen sind allerdings nicht beliebig, wenn in derselben Richtung
sowohl gedehnt als auch verschoben wird.
Zur Ermittlung der richtigen Reihenfolge schreibt man den Funktionsterm in verketteter Form.
• Die Operationen, die vor der Zuordnung von f vorgenommen werden, beziehen sich auf die xRichtung.
• Die Operationen, die nach der Zuordnung vorgenommen werden, beziehen sich auf die yRichtung.
• Die Reihenfolge der Operationen für jede Richtung ergibt sich schließlich, indem man jeweils von
der Zuordnung f ausgeht.
g ( x) = b ⋅ f (d ⋅ x + c) + a beschreibt eine Funktion, die aus der Funktion f entwickelt werden kann,
1
indem man den Graphen von f in x-Richtung um den Faktor dehnt, anschließend um die Zahl c
d
nach links verschiebt, diesen Graphen mit dem Faktor b in y-Richtung dehnt und schließlich um a in
y-Richtung verschiebt.
Die Umformung eines gegebenen Funktionsterms in eine solche Form, bei der sich alle Dehnungen
und Verschiebungen erkennen lassen, ist nicht immer einfach und bedarf der Übung:
3.5.5
Beispiel 1:
Zu zeichnen ist der Graph der Funktion h : IR → IR, x ֏ h( x) =
1 2 5
23
x − x−
8
4
8
Zunächst wird der Funktionsterm soweit umgeformt, dass die Variable x nur noch einmal auftaucht:
[
] [
]
1
1
1
1
2
2
2
h( x) = ( x 2 − 10 x − 23) = ( x − 5) − 25 − 23 = ( x − 5) − 48 = ( x − 5) − 6
8
8
8
8
2
Die Ausgangsfunktion f ( x) = x wird zunächst um 5 nach rechts verschoben, mit dem Faktor 1/8
gedehnt und schließlich um 6 nach unten verschoben.
3.5.6
Beispiel 2
5x + 6
soll so umgeformt werden, dass man den Funktionsgraph als
4x − 7
1
Entwicklung der Grundfunktion f : f ( x) = erkennen und skizzieren kann. Zuerst wird
x
Die Funktion h : h( x) =
ausgeklammert und nach dem Ausklammern wird der Zähler so umgeformt, dass die Klammer
7 35
7 59
5( x − ) + + 6 5( x − ) +
4
4
4
4 . Jetzt wird der
identisch wird mit dem Nenner, also: h( x) =
=
7
7
4( x − )
4( x − )
4
4
5
59
Bruch aufgeteilt in: h( x) = +
7
4
16( x − )
4
7
1
nach
Das heißt, der Graph dieser Funktion ist gegenüber der Grundfunktion f : f ( x) = um
x
4
59
5
rechts verschoben, mit dem Faktor
gedehnt und um den Wert
nach oben verschoben.
16
4
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3.5.7
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Aufgaben:
a. Die Funktion f : f ( x) = x 2 ist gegeben. Gesucht ist die Funktionsgleichung der Funktion, deren
Graph gegenüber f um 3 nach links und 2 nach unten verschoben ist.
b. . Die Funktion f : f ( x) = x 2 ist gegeben. Vergleiche die beiden Graphen:
b1. Der Graph wird mit dem Faktor 3 gedehnt und anschließend um 4 nach oben verschoben.
b2. Der Graph wird um 4 nach oben geschoben und anschließend mit dem Faktor 3 gedehnt.
c. Gegeben ist der Graph der Funktion f : f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 6 . Forme diesen Funktionsterm so um,
dass man die einzelnen Veränderungen gegenüber der Grundfunktion erkennen kann und formuliere
diese Veränderungen.
3.6 Symmetrien und Spiegelungen
Multipliziert man alle Funktionswerte einer Funktion f mit dem Faktor (-1), so entsteht die neue
Funktion g ( x ) = − f ( x ) . d.h. alle vorher positiven Funktionswerte werden negativ und umgekehrt
alle vorher negativen werden positiv. Dies entspricht einer Spiegelung der Funktion an der x-Achse.
f ( x) = 2x −1
g ( x ) = − f ( x ) = − ( 2 x − 1) = −2 x + 1
Die Spiegelung des Graphen an der x-Achse entsteht durch
Multiplikation der Funktionswerte mit dem Faktor (-1)
Ersetzt man die x-Werte einer Funktion f durch die Werte (-x) erhält man eine neue Funktion
g ( x) = f (− x) . Dadurch entsteht das Spiegelbild der Funktion f, gespiegelt an der y-Achse.
Hier erhält man die Funktion g ( x) , indem man in der
Funktion f ( x) jedes x ersetzt durch (-x)
f ( x) = 2x −1
g ( x ) = f ( − x ) = 2 ( − x ) − 1 = −2 x − 1
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Eine Funktion kann nicht zur x-Achse symmetrisch sein, denn dann müssten zu einem x-Wert zwei
verschiedene y-Werte existieren. Man muss den positiven und negativen Ast getrennt betrachten.
Zur y-Achse symmetrische Funktionen müssen die Bedingung erfüllen: f ( x ) = f ( − x ) . Durch
Nachweis der Gültigkeit dieser Bedingung zeigt man die Eigenschaft: Symmetrie zur y-Achse.
Eine weitere häufig anzutreffende Symmetrie ist die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Für das Vorhandensein dieser Symmetrie gilt die Bedingung: f ( x ) = − f ( − x )
Insbesondere lässt sich in der Gruppe der ganzrationalen Funktionen die Eigenschaft der Symmetrie
an den Exponenten der Funktionsvariablen ablesen.
Symmetrie zur y-Achse ist vorhanden, wenn nur gerade Hochzahlen vorhanden sind, wobei
ein absolutes Glied (Hochzahl Null) vorkommen darf.
Punktsymmetrie ist vorhanden, wenn nur ungerade Hochzahlen vorhanden sind. Ein absolutes
Glied darf im Funktionsterm deshalb nicht vorkommen.
Viele ganzrationale Funktionen besitzen Symmetrien zu einem internen Punkt oder zu einer Geraden,
die parallel zur y-Achse liegt. Diese Symmetrien werden durch die obigen Überlegungen nicht erfasst.
3.6.1
Aufgaben:
Formulieren Sie die Funktionsgleichung der y-Achse gespiegelten Funktion und skizzieren Sie
den Verlauf der gespiegelten Funktion:
a. f ( x ) = −3 x + 1
b. f ( x ) = 3 x 2 − 3 x + 4
c. f ( x ) = sin x + 3
Formulieren Sie die Funktionsgleichung der an der x-Achse gespiegelten Funktion und
skizzieren Sie den Verlauf der gespiegelten Funktion:
e. f ( x ) = 3 x 2 − 3 x + 4
f. f ( x ) = sin x + 3
d. f ( x ) = −3 x + 1
Formulieren Sie die Funktionsgleichung der am Punkt (0/0) gespiegelten Funktion und
skizzieren Sie den Verlauf der gespiegelten Funktion:
g. f ( x ) = − x + 1
h. f ( x ) = x 2 − 1
i. f ( x ) = ( x − 2 ) + 1
2
Achtung Witz
Prof: "Wir leben alle unter dem gleichen Himmel, aber wir haben nicht alle den gleichen
Horizont."
- 46 -
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3.7 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Definition:
Funktionen vom Typ: f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 x + a0 heißen ganzrationale Funktionen
(Polynomfunktionen), x ∈ IR . Die reellen Konstanten a0 , a1...an heißen Polynomkoeffizienten
(an ≠ 0) , der höchste Exponent n in der Funktionsgleichung bestimmt den Polynomgrad.
Beispiele:
y=4
y = 2x − 3
Polynom vom Grade 0
Polynom vom Grade 1
Konstante Funktion
Lineare Funktion
y = 2 x 2 − 3x + 5
y = x3 − x
y = x8 + 3 x 2 − 5
Polynom vom Grade 2
Quadratische Funktion
Polynom vom Grade 3
Kubische Funktion
Polynom vom Grade 8
alle Potenzfunktionen der Form f ( x) = x n ,
Funktionsgleichungen für Geraden
n ∈ IN
Ganzrationale Funktionen 1. Grades (lineare Funktionen)
Geradengleichungen:
y = m⋅x +b
y − y1
=m
x − x1
m ist die Steigung, b kennzeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse
(allgemeine Geradengleichung)
( x1 / y1 ) sind die Koordinaten eines Punktes P1
(Punktsteigungsform)
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1
x 2 − x1
( x1 / y1 ) und ( x 2 / y 2 ) sind Koordinaten der Punkte P1 und P2
(Zweipunkteform)
3.7.1
Beispiel:
Eine Gerade soll durch die Punkte P1 (1; 2 ) und den Punkt P2 ( 0;3962 ) verlaufen. Zu bestimmen ist
die Geradengleichung:
a. Zweipunkteform benutzen:
x1 = 1 y1 = 2
x2 = 0 y2 = 3962
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1
x 2 − x1
einsetzen liefert:
y − 2 3962 − 2
=
= −3960 und
x −1
0 −1
y − 2 = −3960 ( x − 1) = −3960 x + 3960
y = −3960 x + 3962
b. allgemeine Geradengleichung y = m ⋅ x + b benutzen, indem man die Punkte einsetzt und so
zwei Gleichungen erhält.
P1 : 2 = m ⋅ 1 + b und P2 = 3962 = m ⋅ 0 + b Aus der 2. Gleichung erkennt man sofort:
b = 3962 und setzt man diesen Wert in die erste Gleichung ein wird: m = 2 − 3962 = −3960
y = −3960 x + 3962
- 47 -
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3.7.2
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Aufgaben:
a. Gegeben sind die Punkte eines Dreiecks: A(−3; −2) B ( 5; −1) C ( 2;3) . Zu bestimmen sind
die Geraden, welche die Seiten des Dreiecks beschreiben.
b. Eine Gerade hat die Steigung m = −
2
und besitzt den Punkt P (−4; 42) . Zu bestimmen ist
3
die Geradengleichung.
Für die Steigung m einer Geraden lässt sich auch ein Winkel zuordnen, der dem Schnittpunkt der
Geraden mit der positiven x-Achse entspricht. Es gilt die Beziehung:
m = tan(α ) oder umgekehrt: α = arctan ( m ) , stehen zwei Geraden aufeinander senkrecht, dann gilt
für ihre Steigungen m1 ⋅ m2 = −1
Schnittpunkte erhält man durch Gleichsetzen von Geradengleichungen.
3.7.3
Beispiele:
a. Eine Gerade besitzt die Steigung m =
2
und schneidet die y-Achse bei ys = −4 . Wo und
3
unter welchem Winkel wird die x-Achse geschnitten.?
2
x − 4 . Im
3
2
Schnittpunkt mit der x-Achse muss der y-Wert null sein (Nullstelle): 0 = x − 4 , nach x
3
2
3⋅ 4
auflösen: x = 4 ↔ x =
= 6 , Für den Winkel gilt:
3
2
2
α = arctan ( m ) = arctan   ≈ 33, 69°
3
b. Eine Gerade ist gegeben durch die Gleichung g1 : 2 x + 5 y − 10 = 0 . Gesucht ist die
Gleichung einer zweiten Gerade, die auf g1 senkrecht steht und die y-Achse in
ys = −25 schneidet.
Aus den Angaben lässt sich sofort die Geradengleichung angeben: y =
Durch Umstellen von g1 kann man die Steigung m ermitteln:
2
2
5 y = −2 x + 10 ↔ y = − x + 2 und damit ist m1 = − . Die Steigung von m2 wird dann
5
5
1
1
5
wegen der Senkrechtbedingung: m1 ⋅ m2 = −1 → m2 = −
=−
=
−2 2
m1
5
5
Damit ist die Funktionsgleichung für g 2 : y = x − 25
2
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden:
Sind zwei Geraden gegeben durch die Gleichungen: g1 : y = m1 x + b1 und
g 2 : y = m2 x + b2 , dann gilt für ihren Schnittwinkel die Beziehung:
m − m1
tan ϕ = 2
1 + m1 ⋅ m2
- 48 -
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3.7.4
University of Applied Sciences
Aufgaben:
a. Eine Gerade schneidet die Y-Achse bei ys = −3 und die x-Achse bei x0 = 10 . Bestimmen
Sie die Funktionsgleichung!
b. Eine Gerade geht durch den Punkt P1 ( −4;3) und schneidet die x-Achse unter einem Winkel
von –45°. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
c. Eine lineare Funktion nimmt für t = 0 den Wert 3 an und wächst bei Zunahme von t um 1
jeweils um 4,5. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
d. Gegeben ist die Gerade g : g ( x ) = 3 x − 1 . Beschreiben Sie, wie man diese Gerade durch
Verschieben und Dehnen aus der Funktion f : f ( x ) = x bestimmen kann.(2 Möglichkeiten)
e. Eine Gerade mit g1 : g ( x ) = −5 x + 1 soll von einer zweiten Gerade bei x = 20 rechtwinklig
f.
geschnitten werden. Bestimmen Sie den Schnittpunkt und die Funktionsgleichung der zweiten
Geraden.
Die Geheimzahl einer EC-Karte sei 4812. Um sich diese Zahl verschlüsselt notieren zu
können, denkt sich ein Student zwei Punkte aus, durch die eine Gerade gelegt werden soll,
deren Schnittpunkt mit der y-Achse dann die Geheimzahl darstellt. Ein Punkt sei (13; 4 ) . Wie
lautet der benötigte zweite Punkt.
Ganzrationale Funktionen 2. Grades (quadratische Funktionen, Parabeln)
Parabelgleichungen
y = ax 2 + bx + c
a bestimmt die Öffnung
a>0, Öffnung nach oben, Scheitelpunkt ist Tiefpunkt
a<0, Öffnung nach unten, Scheitelpunkt ist Hochpunkt
(Normalform oder Hauptform)
y = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) Nullstellenform
der Faktor hat die gleiche Bedeutung wie in der Normalform
x1 und x2 sind Nullstellen der Parabel. Falls es keine reellen Nullstellen gibt, werden x1 und x2 komplexe Zahlen.
(Produktform)
y = a ⋅ ( x − x s ) 2 − y s Scheitelgleichungsform
der Faktor hat die gleiche Bedeutung wie in der Normalform
( x s / y s ) ist der Scheitelpunkt der Parabel
(Scheitelgleichungsform)
Je nach Aufgabenstellung kann jede dieser Funktionsgleichungen besondere Vorteile bieten. Deshalb
bringt ein Umwandeln in die jeweils günstige Form Vorteile.
Eine Polynomfunktion: p : IR → IR, x ֏ y = p ( x) = ax 2 + bx + c. a, b, c ∈ IR, a ≠ 0 heißt
quadratische Funktion.
Der Graph einer jeden quadratischen Funktion lässt sich aus dem Graph der Normalparabel durch
Verschieben und Dehnen ermitteln.
Die Umwandlung in die Darstellung
(
)
(1)
y = p ( x) = a ( x + u ) + v ist immer möglich und zeigt die Veränderungen gegenüber der
Normalparabel an. Durch Ausmultiplizieren erhält man die Scheitelgleichungsform der quadratischen
Funktion:
2
y = p( x) = a( x − x s ) + y s , wobei der Scheitelpunkt S = ( x s / y s ) ist.
Ist der Wert v in (1) positiv, dann haben alle Funktionswerte gleiches Vorzeichen, nämlich dasjenige
von a. In diesem Fall gibt es also keine Nullstelle der Funktion.
(2)
2
- 49 -
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Ist v selbst gleich Null, liegt der Scheitelpunkt der Funktion auf der x-Achse und bildet dort eine
Berührstelle.
Ist v in (1) negativ, dann lässt sich entsprechend des 3. Binoms eine Faktorisierung vornehmen:
(3)
y = p( x) = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) Wie man dem Ausdruck sofort entnimmt, sind x1 und x2
Nullstellen der Funktion.
3.7.5
Beispiel:
Gegeben sei die Funktion : y = −
1 2 5
23
x + x+
8
4
8
Durch Ausklammern und Faktorisieren kann diese Gleichung umgewandelt werden:
(
)
(
)
(
1
5
23
1
1
1
2
2
y = − x2 + x +
= − x 2 − 10 x − 23 = − ( x − 5) − 25 − 23 = − ( x − 5) − 48
8
4
8
8
8
8
)
Diese Darstellung entspricht bereits der Form in Gleichung (1) der vorigen Seite.
Durch Ausmultiplizieren erhält man die Form (2):
1
y = − ( x − 5) 2 + 6 Daraus kann man den Scheitel der Funktion ablesen: S = (5 / 6) und durch
8
1
2
y = − ( x − 5) − 48 erhält man:
Faktorisieren der Gleichung:
8
2
1
1
2
y = −  ( x − 5) − 48  = − x − 5 + 48 ⋅ x − 5 − 48

8
8
und damit die Nullstellen: N 1 = 5 − 48 und N 2 = 5 + 48
(
)
( )
(
)(
)
wobei: 48 = 16 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 gilt:
Das zugehörige Vorzeichendiagramm liefert:
−
+
−
5−4 3
5+ 4 3
1
8
Aus der Gleichung: y = − ( x − 5) 2 + 6 erkennt man, dass für x = 5 + h und x = 5 − h
gleiche y-Werte entstehen. Der Graph ist als symmetrisch zu x = 5
3.7.6
Aufgaben:
a. Gegeben ist die Funktion: p ( x) = 4 x 2 − 2 x − 8
1. Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden quadratischen Funktion durch Umwandeln der
Funktionsgleichung in die Scheitelgleichungsform:
2. Bestimme die Nullstellen der Funktion durch Faktorisieren.
3. Zeichne das Vorzeichendiagramm der Funktion.
4. Zeichne den Graph der Funktion.
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b. Gegeben sind die Funktionen: p ( x) = 2( x − 2) 2 − 3 und die Geraden g : g ( x) =
1
x +1
2
1. Zeichne beide Graphen in ein Koordinatensystem.
2. Zeichne die Differenzfunktion d : d ( x) = p ( x) − g ( x) .
Beobachtung:
Die Nullstellen der Differenzfunktion sind die x-Werte der
Schnittstellen zwischen beiden Funktionen.
3. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch den Schnittpunkt der Parabel mit der yAchse und durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft?
c)
Wandeln Sie die folgenden Funktionsgleichungen von Parabeln um in die jeweilige
Scheitelgleichungsform und geben Sie die Koordinaten des Scheitels an:
i) P1 (x) = 24x 2 - 12x + 36
ii) P2 ( x ) = −4 x 2 + x − 3
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Eine Parabel besitzt die Nullstellen: xN1 = -4 und xN2 = 2,5. Bestimmen Sie den x-Wert des
Scheitelpunktes.
Eine Parabel ist nach oben geöffnet, hat den Scheitel S(2/3) und schneidet die y-Achse bei
ys = 6 .Bestimmen Sie die allgemeine Funktionsgleichung!
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion: p(x) = - 5x²+ 10x +2!
Eine quadratische Funktion ist gegeben durch die Gleichung: p: 3y - x = 5x² - 1
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit der x und y-Achse!
Eine Parabel ist nach unten geöffnet und geht durch die Punkte: P1(-1/2), P2(2/0) und P3(3/-1).
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionen:
g(x) = 2x +1 und p(x) = 3x 2 + x - 2
i)
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionen:
p1 ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 10 und p2 ( x ) = 6 x 2 + 4 x + 10
Ganzrationale Funktionen höheren Grades
Bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades benutzt man gerne das Hornerschema als ein
Hilfsmittel für verschiedene Anwendungen. Das Funktionieren dieses Schemas ist im Folgenden
zusammengefasst:
Das Hornerschema
Ausgangspunkt ist die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms n-ten Grades:
n
p n : IR → IR, x ֏ y = p n ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 = ∑ ai x i
i =0
Diese Darstellung soll so umgewandelt werden, dass für einen Wert x0 ∈ IR sich die Funktion wie
folgt darstellen lässt in der Form:
p n ( x) = ( x − x0 ) ⋅ (bn −1 x n −1 + bn− 2 x n− 2 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0 ) + r0
oder einfacher:
p n ( x) = ( x − x0 ) ⋅ p n −1 ( x) + r0
Es müssen also alle Koeffizienten des Polynoms p n −1 und r0 bestimmt werden. Dazu multipliziert
man die rechte Seite aus und ordnet nach fallenden Potenzen von x:
p n ( x) = bn −1 x n − x0 bn −1 x n −1 + bn − 2 x n −1 − x 0 bn − 2 x n − 2 + ... + b1 x 2 − x0 b1 x + b0 x − x0 b0 + r0
In jeweils benachbarten Termen lässt sich eine x-Potenz ausklammern:
p n ( x) = bn −1 x n + (bn − 2 − x 0 bn −1 ) x n −1 + (bn −3 − x0 bn − 2 ) x n− 2 + ... + (b1 − x0 b2 ) x 2 + ...
+ (b0 − x0 b1 ) x + (r0 − x0 b0 )
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Durch Vergleich mit den Koeffizienten der ursprünglichen Funktionsgleichung lassen sich die
folgenden Zuordnungen angeben:
a n = bn −1
bn −1 = a n
bzw.
a n−1 = bn −2 − x 0 bn −1
bn −2 = a n −1 + x0 bn −1
a n − 2 = bn − 3 − x 0 bn − 2
bn − 3 = a n − 2 + x 0 bn − 2
........
.........
a 2 = b1 − x0 b2
b1 = a 2 + x 0 b2
a1 = b0 − x0 b1
b0 = a1 + x 0 b1
a 0 = r0 − x0 b0
r0 = a 0 + x0 b0
Im rechten Rahmen steht nun ein Rezept, um der Reihe nach alle benötigten Koeffizienten zu
ermitteln.
Der Rechenvorgang hierfür wurde von William George Horner (1786-1837) wie folgt schematisiert:
an
x0
⇓
bn −1
a n−1
an−2
....
a2
a1
a0
+
+
+
+
x0 bn −2
....
....
+
x0 bn−1
x0 b2
x0 b1
x0 b0
bn −2
bn −3
....
b1
b0
r0
Man erkennt: bn −1 entsteht durch Übernehmen von a n .
Der Wert von bn − 2 erhält man, indem man bn −1 mit x0 multipliziert und das Ergebnis zu a n − 2 addiert.
Der so gefundene Wert bn − 2 wird wieder mit x0 multipliziert und zu a n −3 addiert usw.
Die Zwischenzeile wird in der Regel nicht hingeschrieben, sondern nur die oberste Reihe, die alle
Koeffizienten des gegebenen Polynoms enthält und die unterste Reihe, in der sich die Ergebnisse der
beschriebenen Rechnung befinden.
An nachfolgendem Beispiel soll dies verdeutlicht werden.
3.7.7
Beispiel:
Gegeben sei die Funktion: p 4 ( x) = 4 x 4 − 15 x 3 + 14 x 2 − 17 x + 9 und x0 = 3
4
-15
14
-17
9
+3⋅4
+3⋅(-3) +3⋅5
+3⋅(-2)
x0 = 3
4
-3
5
-2
3
Die mittlere Zeile wird meistens weggelassen und es bleibt:
x0 = 3
4
-15
14
-17
9
4
-3
5
-2
3
Damit wird das Polynom darstellbar in der Form:
p 4 ( x) = ( x − 3) ⋅ p3 ( x) + r0 = ( x − 3) ⋅ (4 x 3 − 3 x 2 + 5 x − 2) + 3
Die gefundenen Zahlen in der unteren Zeile bilden also die gesuchten Koeffizienten des Polynoms,
dessen Ordnung um 1 vermindert ist.
Berechnung von Funktionswerten mit Hornerschema:
Berechnet man in der Funktionsgleichung den Funktionswert an der Stelle x = 3 so sieht man, dass
als Ergebnis gerade der Wert r0 übrig bleibt.
- 52 -
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p 4 ( x) = ( x − 3) ⋅ p3 ( x) + r0
Allgemein:
Die mit dem Hornerschema ermittelte Zahl r0 ist der Funktionswert an der eingegebenen
Stelle x0
Auch mit Hilfe des Taschenrechners und dessen Speicher (x0 in den Speicher) können so schnell
Funktionswerte erstellt werden.
Ist der eingesetzte Wert x0 = x n eine Nullstelle der Funktion, so wird entsprechend r0 = 0
und die gefundene Darstellung der Funktion lässt sich als Produkt schreiben:
p n ( x) = ( x − x n ) ⋅ p n −1 ( x)
Weitere Nullstellen der Funktion können anschließend in der Funktion p n−1 ( x) gesucht werden.
Auch bei Kenntnis einer Nullstelle der Polynomfunktion lässt sich entsprechend mit Hilfe des
Hornerschemas die um 1 erniedrigte Polynomfunktion ermitteln.
3.7.8
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion: f ( x) = 3 x 3 − x 2 − 9 x + 3 . Eine Nullstelle dieser Funktion ist mit x =
1
3
angegeben.
Durch Einsetzen dieser bekannten Nullstelle erhält man die Koeffizienten des Polynoms, dessen Grad
um 1 erniedrigt ist:
3
-1
-9
3
x0 =
1
3
3
0
-9
0


1
3
(
Damit ist für die Funktion die Darstellung gefunden: f ( x) =  x −  ⋅ 3 x 2 − 9
)
Das Lösen der quadratischen Gleichung liefert als weitere Nullstellen die Werte: x N 2 = 3 und
xN3 = − 3
Ein anderer Ansatz führt zu der Überlegung:
Wenn x =
1
eine Nullstelle der Funktion ist, dann gibt es folglich eine Darstellung der
3
Gleichung
1

f ( x) = 3 x 3 − x 2 − 9 x + 3 =  x −  ⋅ ( p2 ( x ) ) und die Ermittlung von p2 ( x ) erfolgt durch
3

1

Auflösung der Gleichung indem man f ( x ) dividiert durch  x −  Diese Rechnung erfolgt
3

in der gleichen Form, wie man an der Grundschule das schriftliche Dividieren gelernt hat.
Man nennt diese Form der Division auch Polynomdivision.
Achtung Witz
Zwei Mathematiker stehen vor einem leeren Hörsaal. Sie beobachten, wie ein Student hineingeht und
wie nach kurzer Zeit zwei Studenten herauskommen. Darauf schließt der eine messerscharf: „Wenn
jetzt noch einer hineingeht, dann ist der Hörsaal leer“.
- 53 -
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3.7.9
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Beispiel:
 1
(3x3 − x2 − 9x + 3) ÷  x −  = 3x2 − 9
 3
− ( 3x3 − x2 )
0 + 0 − 9x + 3
− ( 9x − 3)
0
Vorgehen:
Man orientiert sich zunächst an 3x3 und stellt fest mit welcher Zahl man x multiplizieren muss, um
3x3 zu erhalten. Die Antwort 3x 2 wird rechts neben das Gleichheitszeichen notiert. Man multipliziert
nun die Klammer mit diesem Wert und notiert das Ergebnis in der Zeile 2 versehen mit dem
Minuszeichen und der Klammer. Denn dieser Ausdruck muss vom oberen Funktionswert subtrahiert
werden, wie man es von der schriftlichen Division her kennt. Der erste Ausdruck muss dabei immer
null werden, da man diesen ja genau so ausgewählt hat. Der zweite Summand ist hier ebenfalls
verschwunden, was aber kein Regelfall ist.
Mit dem Rest der Subtraktion, der in der 3. Zeile steht, wird die Division entsprechend fortgesetzt.
Man findet den Faktor ( −9 ) , mit dem man x multiplizieren muss, um −9x zu erhalten. Die Zahl wird
in der obersten Zeile notiert und es wird wie am Anfang ausmultipliziert und subtrahiert.


1
3
(
Damit erhält man 3 x 3 − x 2 − 9 x + 3 =  x −  ⋅ 3 x 2 − 9
)
Voraussetzung dafür, dass die Division hier ohne Rest aufgeht, ist die Tatsache, dass x =
1
Nullstelle
3
der Funktion ist. In jedem andern Fall liefert die Polynomdivision ein Ergebnis mit Rest.
3.7.10 Beispiel:
Schreibt man die Division in Bruchform und lässt dann den Rest undividiert stehen erhält man
folgendes Ergebnis der Umwandlung:
6 x 4 + 17 x3 − 13x 2 + 45 x − 24
4x − 3
= 3x2 − 2 x + 5 + 2
2
2x + 7 x − 3
2x + 7 x − 3
Das Hornerschema funktioniert einfacher bei Divisionen durch Terme der Form ( x − x0 ) , also bei
gegebenen Nullstellen. Die Polynomdivision wird benötigt für alle anderen Fälle, vornehmlich wenn
eine gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden soll in einen ganzrationalen Teil und einen Rest.
- 54 -
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3.7.11 Aufgaben:
a.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Hornesschemas die Funktionswerte der Funktion
p ( x ) = 5 x5 − 2 x 3 + 4 x 2 + 6 x − 8 für x1 = −2; x2 = 3; x3 = 5
Zeigen Sie, dass die Funktion p ( x ) = 3 x 3 − 10 x 2 + 9 x − 2 für x = 2 eine Nullstelle
b.
besitzt. Untersuchen Sie, ob es weitere Nullstellen gibt.
Führen Sie folgende Polynomdivisionen p ( x ) ÷ q ( x ) durch
c.
p ( x ) = 2 x5 + 3 x 4 − 2 x3 + 21
q ( x ) = 2 x3 + 5 x 2 − 3x + 7
p ( x ) = 3x 4 + 7 x3 − 7 x 2 − 7 x + 4
q ( x ) = 3x 2 + 7 x − 4
p ( x ) = 12 x5 − 19 x 4 + 35 x3 + 3x 2 + 36
d.
e.
q ( x ) = 3x 2 − 4 x + 4
p ( x ) = 8 x 5 + 34 x 4 − 55 x3 + 4 x
f.
q ( x ) = 4 x4 − 5x3 + 2
3.8 Entwickeln von Polynomfunktionen
Bei der Untersuchung von Polynomfunktionen wurde gezeigt, dass mit Hilfe des Horner-Schemas
jedes Polynom n-ten Grades dargestellt werden kann:
p n ( x) = ( x − x0 ) ⋅ p n −1 ( x) + r0
Durch Fortsetzen dieser Idee kann natürlich auch das Polynom pn −1 ( x) wieder zerlegt werden in ein
solches Produkt und man erhält:
p n ( x) = ( x − x0 ) ⋅ p n−1 ( x) + r0 = ( x − x0 ) ⋅ (( x − x0 ) ⋅ p n −2 ( x) + r01 ) + r0
oder
p n ( x) = ( x − x0 ) 2 ⋅ p n −2 ( x) + ( x − x0 )r01 + r0
Dieses Verfahren kann solange fortgesetzt werden, bis der Grad des Polynoms 0 geworden ist.
Die Koeffizienten der Klammerausdrücke ( x − x0 ) können ebenfalls mit Hilfe des Hornesschemas
ermittelt werden, und man findet die Darstellung:
p n ( x) = rn ⋅ ( x − x 0 ) n + rn −1 ⋅ ( x − x0 ) n −1 + rn− 2 ⋅ ( x − x0 ) n − 2 + ... + r1 ⋅ ( x − x 0 )1 + r0
Diese Form der Polynomdarstellung heißt, die um x = x0 entwickelte Form.
Durch wiederholtes Anwenden des Hornesschemas werden die Koeffizienten von r0 bis rn ermittelt,
wie nachfolgendes Beispiel zeigt:
3.8.1
Beispiel:
Die Funktion f ( x) = 3 x 4 + 20 x 3 + 46 x 2 + 40 x + 3 soll an der Stelle x = −2 entwickelt werden:
Im Hornerschema wird x0 = −2 eingesetzt und man erhält den Koeffizienten r0 = −5
In der nächsten Zeile werden nicht die Zahlen der ersten Zeile benutzt, sondern die der zweiten, da
dort die benötigten Koeffizienten des Polynoms P3 ( x) stehen. Gefunden wird: r1 = 0 .
In diesem Sinne wird die jeweils nächste Zeile aus der vorherigen entwickelt.
3
20
46
40
3
x 0 = −2
3
14
18
4
x 0 = −2
-5 = r0
3
8
2
x 0 = −2
0 = r1
3
2
x 0 = −2
-2 = r2
3
x 0 = −2
-4 = r3
3 = r4
- 55 -
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Damit lautet die entwickelte Form:
f ( x) = 3 ⋅ ( x + 2) 4 − 4 ⋅ ( x + 2) 3 − 2 ⋅ ( x + 2) 2 + 0 ⋅ ( x + 2)1 − 5
f ( x) = 3 ⋅ ( x + 2) 4 − 4 ⋅ ( x + 2) 3 − 2 ⋅ ( x + 2) 2 − 5
oder
Die so gefundene Funktionsgleichung kann interpretiert werden als die um 2 nach links verschobene
Funktion:
f1 ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 − 5
An der entwickelten Form einer Polynomfunktion lassen sich viele Eigenschaften der Funktion an der
Stelle erkennen x0 erkennen.
So kann die Gleichung der Tangenten für die Stelle x0 abgelesen werden als der lineare Teil der
entwickelten Form. Die Differenzfunktion von f(x) und der so gefundenen Tangentenfunktion t(x)
besitzt für x=x0 immer eine mindestens doppelte Nullstelle.
Hier im Beispiel ist die Tangentengleichung: t ( x) = −5
Die Funktion besitzt für x = −2 eine waagerechte Tangente, eine Voraussetzung dafür, dass es dort
ein lokales Minimum oder Maximum geben kann.
Eine Untersuchung der Differenzfunktion soll weitere Erkenntnisse über das Verhalten der Funktion
bringen:
Betrachtet man die zugehörige Differenzfunktion: d ( x) = f ( x) − t ( x)
so gilt: d ( x) = 3( x + 2) 4 − 4( x + 2) 3 − 2( x + 2) 2
oder:
2

2
10 
2
4


2
2
2
1
d ( x) = 3 ( x + 2) − ( x + 2) − (x + 2) = 3  ( x + 2) −  −  ⋅ ( x + 2)


3
9
3
3



4
10  
4
10 
 ⋅ ( x + 2 )2
⋅ x + −
d ( x) = 3 x + +


3
3  
3
3 

Damit liegen die Nullstellen bei x N 1 = −
4
10
4
10
−
≈ −2,39; x N 2 = − +
≈ −0,28; x N 3, 4 = −2
3
3
3
3
Betrachtet man das Vorzeichendiagramm, so erhält man:
+
−
x =−2,39
−
x= −2
+
x = −0,28
Wie man diesem Diagramm entnehmen kann, ändert sich links und rechts von x = −2 das Vorzeichen
nicht.
Weil in diesem Bereich die Differenz d ( x) = f ( x) − t ( x) immer negativ bleibt, muss t (x) oberhalb
von f (x) verlaufen. Das heißt f(x) hat bei x = −2 ein lokales Maximum
Es ist natürlich zu beachten, dass man mit dieser Untersuchung keinesfalls die anderen Stellen der
Funktion mit waagerechter Tangente findet.
Die Darstellung eines Polynoms in der entwickelten Form bietet häufig Vorteile an bei der
Aufgabenstellung: Eine ganzrationale Funktion ist aus Eigenschaften zu ermitteln, wenn sich die
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Eigenschaften für eine Stelle x = x0 häufen. In diesem Fall ist es einfacher, die Funktionsgleichung in
der um x0 entwickelten Form anzusetzen.
3.8.2
Aufgaben
3
a) Gegeben ist die Funktion: f ( x) = x3 − x 2 − 3 x Bestimmen Sie die Gleichung der
2
Tangente für x = −1 .
b) Gegeben ist die Funktion f : f ( x) = x 3 − 2 x 2 − x − 1 . Entwickeln Sie diese
Funktionsgleichung für x0 = −1 und x0 = +1
c) Gegeben ist die Funktion f : f ( x) = x 3 + 2 x + 12 Entwickeln Sie diese Funktion für x = 2!
Geben Sie die Tangentengleichung an für x = 2!
d) Gegeben ist die Funktion f : f ( x ) =
diese Funktion für x0 = −1
1 4 1 3 13 2 15
175
x + x − x − x−
. Entwickeln Sie
16
4
8
4
16
3.9 Gebrochenrationale Funktionen
Definition:
Funktionen, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen g (x) und h(x) darstellbar sind, heißen
gebrochenrationale Funktionen
y=
g ( x) a m x m + a m−1 x m−1 + ...a1 x + a0
=
h( x) bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + b0
n>m: f heißt echt gebrochenrationale Funktion
n<m: f heißt unecht gebrochenrationale Funktion
Zu den echt gebrochenrationalen Funktionen gehören alle Potenzfunktionen mit einem negativen
ganzzahligen Exponenten.
Beispiele:
y = x −1 =
1
x
y = x −2 =
1
x2
Man unterscheidet:
Nullstellen: g ( x) = 0, h( x) ≠ 0 d.h. der Zähler wird an den Nullstellen Null, der Nenner muss von
Null verschieden sein.
Definitionslücken: h( x) = 0 d.h. die Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken. Sie sind dann
behebbar, wenn sie sich beim Faktorisieren herauskürzen lassen. Solche Definitionslücken
sind im Graph nicht sichtbar. Sie werden durch einen Kringel gekennzeichnet
Polstellen: h( x) = 0, g ( x) ≠ 0 Dies sind die auch nach dem Kürzen verbliebenen Nullstellen des
Nenners. Die Funktionswerte wachsen dort über alle Grenzen. Ändert sich das Vorzeichen
der Funktionswerte links und rechts der Polstelle, nennt man die Stelle Pol mit Vorzeichenwechsel, andernfalls ohne VZW.
- 57 -
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Asymptote (Grenzkurve):
Sie beschreibt das Verhalten der Funktion für unendlich große xWerte. Man unterscheidet:
echtgebrochen:
Die Asymptote ist immer die x-Achse.
unechtgebrochen: Durch Polynomdivision zerlegt man die Funktion in einen ganzrationalen Anteil p(x) und in einen echtgebrochenen Anteil
r(x). Für x → ∞ wird r(x) = 0 und y = p (x) ist die Gleichung
der Asymptotenfunktion.
Der Graph der gebrochenrationalen Funktion schneidet den Graph der Asymptoten, wenn r(x) Null
wird. Der Grad der Asymptote ergibt sich als Differenz (m-n) der Grade der Zähler- und
Nennerpolynome.
3.9.1
Beispiel:
Die Funktion f ( x) =
x3
besitzt bei x = −2 eine Definitionslücke.
12 x + 24
Es ist ein Pol mit VZW.
Eine dreifache Nullstelle bei x = 0 und das Verhalten für große x-Werte durch die Asymptote y As =
3.9.2
(
)
1 2
x − 2 x + 4) gekennzeichnet.
12
Beispiel
Die Funktion:
2 x 3 + 2 x 2 − 32 x + 40
lässt sich durch Faktorisieren in die Form bringen:
x 3 + 2 x 2 − 13x + 10
2( x − 2) 2 ( x + 5)
f ( x) =
Damit liegen bei x = 1, x = 2, und x = −5 Definitonslücken
( x − 1)( x − 2)( x + 5)
f ( x) =
vor, von denen 2 behoben werden können. Nach dem Kürzen bleibt:
f ( x) =
2( x − 2)
x ≠1
x −1
Man erkennt die Polstelle mit VZW bei x = 1.
Wandelt man den Funktionsterm um durch Polynomdivision
erhält man: f ( x ) =
2x − 4
2
= 2−
x −1
x −1
In dieser Form lässt sich die Asymptotenfunktion
y = 2 ablesen.
3.10 Trigonometrische Funktionen
y = sin(x)
Die Sinusfunktion:
Definitionsbereich
Wertebereich
Periode
Symmetrie
Nullstellen
rel. Maxima
rel. Minima
- 58 -
−∞< x < ∞
−1 ≤ x ≤ 1
2π
ungerade
xk = k ⋅ π
x k = π 2 + k ⋅ 2π
x k = 3 ⋅ π 2 + k ⋅ 2π
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Die Kosinusfunktion:
y = cos(x)
Definitionsbereich
Wertebereich
Periode
Symmetrie
Nullstellen
rel. Maxima
rel. Minima
−∞< x < ∞
−1 ≤ x ≤ 1
2π
gerade
xk = π 2 + k ⋅ π
x k = k ⋅ 2π
xk = π + k ⋅ π
Die Tangensfunktion:
y = tan(x)
Definitionsbereich
Wertebereich
Periode
Symmetrie
Nullstellen
senkrechte
Asymptoten
x ∈ IR ohne
x k = π 2 + kπ
IR
π
ungerade
xk = k ⋅ π
x k = π 2 + kπ
Die Kotangensfunktion spielt nur eine untergeordnete Rolle in der Mathematik. Ihre Funktionswerte
lassen sich berechnen durch cot( x) =
cos( x)
1
=
sin( x) tan( x)
Spezielle Werte der Winkelfunktionen
Gradmaß
Bogenmaß
sin
cos
tan
0°
0
0
1
0
π
1
2
1
3
2
1
3
3
1
2
2
1
2
2
1
1
3
2
1
2
1
0
30°
45°
60°
90°
6
π
4
π
3
π
2
- 59 -
3
nicht definiert
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Sinus:
+
-
+
-
Kosinus:
-
+
+
Tangens:
+
+
-
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Vorzeichen in den vier Quadranten
Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen:
1.
cos( x) = sin( x +
π
π
2
) und
sin( x) = cos( x − )
2
2.
(sin( x)) 2 + (cos( x)) 2 = sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1 , („trigonometrischer Pythagoras“)
Bitte beachten Sie, dass sich das Quadrat auf den gesamten Funktionswert bezieht!
3.
Additionstheoreme:
3.1
sin( x1 ± x 2 ) = sin( x1 ) ⋅ cos( x 2 ) ± cos( x1 ) ⋅ sin( x 2 )
3.2
3.3
4.
cos( x1 ± x 2 ) = cos( x1 ) ⋅ cos( x 2 ) ∓ sin( x1 ) ⋅ sin( x 2 )
tan( x1 ) ± tan( x 2 )
tan(( x1 ± x 2 ) =
1 ∓ tan( x1 ) ⋅ tan( x 2 )
sin(2 x) = 2 ⋅ sin( x) ⋅ cos( x) und
cos(2 x) = cos 2 ( x) − sin 2 ( x)
5.
1
(1 − cos(2 x))
2
1
cos 2 ( x) = (1 + cos(2 x))
2
sin 2 ( x) =



b 
c
Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion: y = a ⋅ sin(bx + c) + d = a ⋅ sin b  x +  + d

Die Bedeutung der Faktoren entspricht jeweils einer Verschiebung oder Dehnung in Richtung der
Achsen:
b: beeinflusst die Periode p =
2π
p für Periode
b
c : Verschiebung der Sinusfunktion um den Wert c in x-Richtung.
b
b
a: Dehnung der Sinusfunktion in Y-Richtung. Der Wert a stellt den zahlenmäßig
größten Wert der Funktion dar. Bei Schwingungen auch Amplitude genannt.
d: Verschiebung der Sinusfunktion in Richtung der Y-Achse
- 60 -
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3.10.1 Beispiel:
y = 2 sin(0,5 x + 0,5π ) + 1 = 2 sin(0,5( x + π )) + 1
grün: f(x)=sin(x), rot: f(x)=1, schwarz: f(x)=y
Arkusfunktionen
Die Arkusfunktionen geben Antwort auf die Problemstellung, wie kommt man von einem bekannten
Funktionswert zum zugehörigen Winkelwert der Funktion. Wegen der fehlenden
Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen muss man sich beim Bilden der
Umkehrfunktion also auf streng monotone Bereiche beschränken. Mit dieser Beachtung lassen sich
Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen ermitteln.
Die Arkussinusfunktion:
Aus der Sinusfunktion von −
π
2
bis +
π
2
entsteht die Arkussinusfunktion
arcsin(0,5) =
Beispielwerte: arcsin(0) = 0
π
6
= 30°
Eigenschaften:
y = sin(x)
π
y = arcsin(x)
Definitionsbereich
−
Wertebereich
−1 ≤ y ≤ 1
−
Symmetrie
ungerade
ungerade
Nullstellen
x0 = 0
x0 = 0
streng monoton
streng monoton
Monotonie
2
≤x≤
π
2
− 1 ≤ x ≤ +1
π
2
≤y≤
- 61 -
π
2
arcsin(−0,75) = −0,8481
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Die Arkuskosinusfunktion
Die Arkuskosinusfunktion y = arccos(x) ist die Umkehrfunktion, der auf das Intervall
0 ≤ x ≤ π beschränkten Kosinusfunktion y = cos(x)
Graphisch entspricht das Bild der Arkuskosinusfunktion also der an der Winkelhalbierenden
gespiegelten Kosinusfunktion.
y = cos(x)
y = arccos(x)
Eigenschaften
y = cos(x)
y = arccos(x)
Definitionsbereich
0≤ x ≤π
− 1 ≤ x ≤ +1
Wertebereich
−1 ≤ y ≤ 1
0≤ y ≤π
Symmetrie
ungerade
ungerade
Nullstellen
x0 =
Monotonie
streng monoton
fallend
Beispiele:
arccos(0) =
π
2
π
x0 = 1
2
arccos(0,5) =
π
3
streng monoton
fallend
= 60°
arccos(−0,237) = 1,8101
- 62 -
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Die Arkustangensfunktion
Die Arkustangensfunktion y= arctan(x) ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall
−
π
2
<x<
π
2
beschränkten Tangensfunktion y = tan(x).
y = tan(x)
y=arctan(x)
Eigenschaften:
y = tan(x)
π
π
− ∞ < x < +∞
Definitionsbereich
−
Wertebereich
− ∞ < y < +∞
−
Symmetrie
ungerade
ungerade
Nullstellen
x0 = 0
x0 = 0
Monotonie
streng monoton
wachsend
streng monoton
wachsend
Asymptoten
x=±
Beispiele:
arctan(0) = 0
2
<x<
y = arctan(x)
2
π
π
2
<y<
y=±
2
π
arctan( ) = 1,0038
2
π
2
π
2
arctan(1) =
π
4
Goniometrische Gleichungen
In goniometrischen Gleichungen kommt die Variable als Argument von Winkelfunktionen vor. Um
die Lösungen solcher Gleichungen zu bestimmen, sind häufig Umformungen notwendig, bei denen die
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ausgenutzt werden und die Gültigkeit der
Additionstheoreme.
Es ist stets zu beachten, dass die Lösungsmenge unendlich groß sein kann wegen der periodischen
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
In vielen Fällen ist auch eine zeichnerische Darstellung von Nutzen, die relativ schnell einen
- 63 -
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Überblick über die Lösungen verschafft.
In manchen Fällen lässt sich eine Lösung nur mit Hilfe numerischer Verfahren finden.
3.10.2 Beispiele
a)
Es sind alle reellen Lösungen der Gleichungen: 1 − cos ( 2 x ) = 0 zu bestimmen. Durch
Umformen erhält man die Gleichung: cos ( 2 x ) = 1 .Diese Darstellung ist für eine zeichnerische
Betrachtung günstig. Man denkt sich die linke Seite als Funktion: f1 ( x ) = cos ( 2 x ) und die
rechte Seite als Funktion f 2 ( x ) = 1 . Zeichnet man beide Graphen in ein Koordinatensystem,
bilden die Schnittpunkte die Lösungsmenge:
Man erkennt die Darstellung der Kosinusfunktion, die mit doppelter Frequenz schwingt, d.h. die
Periodendauer ist π .Es gibt Berührstellen mit der Konstantenfunktion f 2 ( x ) = 1 , genau dort wo die
Kosinusfunktion den Wert 1 annimmt. Dies ist überall dort der Fall, wo x ein ganzzahliges Vielfaches
von π bildet.
{
}
Lösung: IL = x x = k ⋅ π ; k ∈ Z
b)
Es sind alle reellen Lösungen der Gleichung sin x + sin ( 2 x ) = 0 im Intervall [ 0; 2π ] zu
finden. Auch hier kann durch Umformen in sin(2 x) = − sin x sich ein Überblick über die
Lösung verschafft werden.
Man erkennt die Lösungen bei x = 0; x = π und x = 2π . Zusätzlich existieren 2 weitere Lösungen,
deren Wert man nur ungefähr abschätzen kann. x4 ≈ 2, 2 und x5 ≈ 4, 2 .
Durch Anwenden des Additionstheorems kann man folgende Darstellung gewinnen:
sin x + sin ( 2 x ) = sin x + 2sin x ⋅ cos x = 0
⇔ sin x ⋅ (1 + 2 cos x ) = 0
sin x = 0 ⇔ x = 0 oder x = π oder x = 2π
1
2π
4π
1 + 2 cos x = 0 ⇔ cos x = − ⇔ x =
oder x =
2
3
3
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3.10.3 Aufgaben:
Bestimmen Sie bei den nachfolgenden Gleichungen die Lösungen im Intervall [ 0; 2π ] .
a. cos x + cos(2 x) = 0
b. cos3 x − 2 cos x ⋅ sin 2 x = 0
c. 1 − sin x − cos x = 0
d. sin x − cos(2 x) = 0
e. 2 sin x + sin x = 1
f. 4sin x = 3cos x
g. 2 sin x − tan x = 0
2
h. sin ( 2 x ) + 2sin x = 0
i. 2 cos 2 x = 2 + sin(2 x)
j.
Bestimmen Sie in der nebenstehenden
Skizze das Maß x in Abhängigkeit von
gegebenen Größen α , b und d.
k. Bestimmen Sie in nebenstehender Skizze das Maß x in
Abhängigkeit von a und α .
3.11 Exponentialfunktionen
Bei Wachstumsprozessen in Natur, Ökonomie und in der Technik treten oft Prozesse auf, bei denen
sich ein Bestand jeweils in gleicher Zeitspanne verdoppelt oder verdreifacht oder halbiert usw.
Beispiele hierfür bieten die Vermehrung von Zellen, das Anwachsen eines Kapitals durch Zinseszins
oder der Verlauf der Ladespannung an einem Kondensator.
3.11.1 Beispiel
a)
Bei der Beobachtung von Zellen wurde festgestellt, dass sich der Bestand der Zellen jeweils
innerhalb einer Stunde verdoppelt. Geht man vom Bestand B0 der Zellen zum Zeitpunkt t = 0
aus, erhält man also folgende Zuordnung:
t
f (t )
0
B0
1
2 ⋅ B0
2
4 ⋅ B0
3
4
8 ⋅ B0 16 ⋅ B0
5
32 ⋅ B0
6
64 ⋅ B0
Diese Funktionswerte lassen sich gewinnen durch die Funktionsgleichung: f ( t ) = B0 ⋅ 2t , t ∈ IN
Geht man davon aus, dass der beobachtete Vorgang keine sprunghaften Änderungen zeigen wird,
sondern vielmehr ein stetiges Anwachsen des Funktionswertes zeigt, so kann man für t alles reelle
Zahlen zulassen und der zugehörige Graph hat für B0 = 1 folgendes Aussehen
Achtung Witz
Prof.: "Natürlich kann das vorkommen, aber nur mit der Wahrscheinlichkeit Null!"
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Setzt man für t die Werte aus der Tabelle ein, so erhält man die
zugehörigen Funktionswerte. Es lassen sich zudem
Zwischenwerte berechnen und ablesen.
b)
Die Verzinsung eines Kapitals von 5000€ erfolge mit
einem Zinssatz von 6%. Die Zinsen werden jeweils am
Jahresende zum Kapital hinzugerechnet und ebenfalls im
neuen Jahr mitverzinst.
Man erhält also (Einheiten sind weggelassen):
K ( 0 ) = 5000 zum Zeitpunkt t = 0 (Startwert zum Jahresanfang
K (1) = 5000 + 5000 ⋅ 0,06 = 5000 ⋅ (1 + 0, 06 ) = 5300
K ( 2 ) = 5300 + 5300 ⋅ 0, 06 = 5300
⋅ (1 + 0, 06 ) =
= K (1)
= 5000 ⋅ (1 + 0, 06 ) ⋅ (1 + 0, 06 ) = 5000 ⋅ (1 + 0, 06 ) = 5618
entsprechend für das n − te Jahr
2
K ( n ) = 5000 ⋅ (1 + 0, 06 )
n
Verallgemeinert man diese Berechnungsformel für ein beliebiges Startkapital K 0 und einen
beliebigen Zinssatz p , so erhält man die Darstellung:
p 

K ( n ) = K 0 ⋅ 1 +

 100 
c)
n


p 

100 
Entlädt man einen Kondensator, an dem zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung U = 100V liegt
In jedem Jahr wächst das Kapital jeweils um denselben Wachstumsfaktor 1 +
über einen Ohmschen Widerstand, so stellt man fest, dass sich die Spannung am Kondensator
zu jeweils gleichen Zeitabständen halbiert, wobei die Größe des Zeitabstandes vom Widerstand
abhängt. Bei einem großen Widerstand können die Ladungen nur langsam abfließen, vergrößert
sich also der Abstand. Nehmen wir an, der zeitliche Abstand betrage eine Sekunde, dann wird
man also folgenden Zusammenhang messen können, (wenn man schnell genug gucken kann):
t in s
0
1 2
3
u ( t ) in V 100 50 25 12,5
Berechnen lassen sich diese Funktionswerte durch die Funktionsgleichung: f ( t ) = 100 ⋅ 0,5t , wie
man durch Nachrechnen leicht zeigen kann.
Die Entladespannung wird sich nicht sprunghaft
ändern, sondern stetig. Deshalb macht es Sinn, für t
alle positiven reellen Zahlen zu zulassen.
- 66 -
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Die e-Funktion
Bei der Verzinsung des Kapitals sind wir davon ausgegangen, dass die Zinsen jeweils zum Jahresende
berechnet wurden und dann zum Kapital hinzugefügt wurden. Wie sieht es aus, wenn der Zinssatz
monatlich mit
p
12
angenommen wird und jeweils am Monatsende berechnet und dem Kapital
zugefügt wird. Rechnerisch ergibt sich am Ende des Jahres ein Wert, der nach der Formel von oben
12
berechnet werden kann: K1Jahr
p

= K 0 1 +  Benutzt man die Zahlen aus dem letzten Beispiel mit
 12 
12
 0, 06 
K 0 = 5000 € und p = 6% erhält man: K1Jahr = 5000 1 +
 = 5000 ⋅1, 06168 = 5308, 39
12 

Geht man noch einen Schritt weiter und berechnet die täglich anfallenden Zinsen bei einem Zinssatz
von
p
360
bei diesem Beispiel, so erhält man:
 0, 06 
K1Jahr = 5000 1 +

360 

360
= 5000 ⋅1, 06183 = 5309,16 . Man ahnt, dass sich die Verzinsung bei
einer weiteren Unterteilung in Stunden, Minuten usw. einem Grenzwert nähern wird. Dieser
Grenzwert ist:
K ⋅ e p also im Beispiel: 5000 ⋅ e0.06 = 5309,1827...
Die in diesem Term vorkommende Zahl heißt die Eulersche Zahl, sie ist ebenso wie π unendlich,
nicht-periodisch und kann näherungsweise mit e ≈ 2, 7183 angegeben werden.
n
 1
Die Zahl e erhält man als Grenzwert der Folge. 1 +  Also: Lässt man die Zahl n immer größer
 n
werden, nähert sich der Rechenausdruck dieser Zahl e.
Exponentialfunktionen haben folgende Eigenschaften gemeinsam:
Exponentialfunktionen vom Typ f ( x ) = a x sind nur für positive Werte von a definiert und
haben den Wertebereich W ( f ) = IR >0
Für 0 < a < 1 sind die Exponentialfunktionen streng monoton fallend. Der Graph nähert
sich asymptotisch von oben der positiven x-Achse.
Für a > 1 ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend. Der Graph nähert sich
asymptotisch von oben der negativen x-Achse.
Die Graphen verlaufen nur im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems und haben den
Punkt P ( 0;1) gemeinsam.
Achtung Witz
Mathematiker sterben nicht, sie verlieren nur einige ihrer Funktionen.
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Von allen Exponentialfunktionen ist die e-Funktion f ( x ) = e x die wichtigste. Die Basis bildet die
Eulersche Zahl e .Der Verlauf von f ( x ) = e x und f ( x ) = e − x sollte man sich fest einprägen.
f ( x) = e
f ( x ) = ex
−x
Die e-Funktion ist streng monoton steigend und besitzt damit auch eine Umkehrfunktion, nämlich die
Logarithmusfunktion: y = ln ( x ) . Man erhält ihren Graph durch Spiegelung an der ersten
Winkelhalbierenden. Im nachfolgenden Schaubild sind die e-Funktion, die Spiegelgerade und die
Logarithmusfunktion gemeinsam gezeichnet.
f ( x ) = ex
f ( x ) = ln( x )
Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen den Funktionen:
ln ( e x ) = x für alle x ∈ IR und e
ln ( x )
= x für alle x > 0
Logarithmische Skalen
In manchen Anwendungen ist es nützlich, die y-Achse des Koordinatensystems nicht in
herkömmlicher Bemaßung zu benutzen, sondern dass man in gleichmäßigen Abständen an Stelle der
Zahlen 1, 2, 3, ... die Zahlen 101 , 102 ,103 ,... benutzt. Während bei herkömmlicher Bemaßung jeweils
immer die Differenz zwischen zwei benachbarten Zahlen gleich bleibt, wird im neuen System jeweils
der Quotient konstant. So erhält man die gleiche Darstellungsbreite für die Zahlen zwischen 10 und
100 wie für den Zahlbereich von 1000 bis 10 000. Werden Exponentialfunktionen in diesem
logarithmischen Maßstab gezeichnet, so bilden diese Geraden.
- 68 -
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y = 10 x
y = ex
Für x = 1 kann man jeweils die Funktionswerte y = e bzw. y = 10 , d.h. die Basis der
Exponentialfunktion, ablesen.
Die Bedeutung der e-Funktion soll an einigen Beispielen deutlich gemacht werden:
a)
Ein Waldbestand enthielt 1998 10000 m3 Holz 6 Jahre später wurde der Bestand mit
13000 m3 geschätzt. Wie groß war der jährliche Zuwachs p, wenn organisches Wachstum
berücksichtigt wird?
Lösungsformel: K n = K 0 ⋅ en⋅ x mit x =
p
100
Man erhält also:
13000 = 10000 ⋅ e
6⋅
p
6⋅
100
p
1,3 = e 100 logarithmieren beider Seiten
6⋅ p
100 ⋅ ln(1,3)
⇔ p=
= 4,37%
ln(1,3) =
100
6
b)
Wie lange dauert es, bis sich der Waldbestand verdoppelt bei einer angenommenen jährlichen
Wachstumsrate von 3%?
Der Bestand hat sich dann von K 0 auf 2 ⋅ K 0 erhöht. Die Rechnung liefert:
n⋅3
n⋅3
2 ⋅ K 0 = K 0 ⋅ e100 ⇔ 2 = e100
ln(2) =
c)
100 ⋅ ln ( 2 )
n ⋅3
⇔n=
= 23,10
100
3
Die Bevölkerung einer Insel beträgt 24 000 Personen. Durch eine rätselhafte Krankheit nimmt
die Bevölkerung jährlich um 6 % ab. Wie entwickelt sich Bevölkerung in den nächsten Jahren:
Jahr
0
1
2
3
4
5
6
Einwohner 24000 22560 21206 19934 18738 17614 16557
1
p
6 

K1 = K 0 −
⋅ K 0 = K 0 ⋅ 1 −

100
 100 
- 69 -
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K 2 = K1 − K1 ⋅
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p
p 

= K1 ⋅ 1 −

100
 100 
p  
p 
p 


= K 0 ⋅ 1 −
 ⋅ 1 −
 = K 0 ⋅ 1 −

 100   100 
 100 
2
Nach wie vielen Jahren wird durch die Zahl der Einwohner der Wert auf unter 1500 sinken?
n
6 
15 
6 

1500 = 24000 ⋅ 1 −
= 1 −
 ⇔

240  100 
 100 
6 
 15 

⇔ ln 
 = n ⋅ ln 1 −

 240 
 100 
n
 15 
ln 

−2, 7726
240 

⇔n=
≈
≈ 44,81
6  −0, 0619

ln 1 −

 100 
d)
Einen exponentiellen Zerfall kann man mit Hilfe der e-Funktion beschreiben:
y ( t ) = A0 ⋅ e k ⋅t k < 0 . In dieser Gleichung beschreibt A0 den Wert zum Zeitpunkt t = 0 und k
heißt auch Abklingfaktor oder Zerfallsrate.
Eine besondere Bedeutung hat hierbei die sogenannte Halbwertszeit; sie gibt an, in welchem
Zeitraum sich ein Anfangswert halbiert:
1
1
1
A0 = A0 ⋅ ek ⋅t ⇔ = e k ⋅t ⇔ ln   = k ⋅ t
2
2
 2
⇔ ln (1) − ln ( 2 ) = k ⋅ t
0
⇔t=
− ln(2)
k
aus der Kenntnis der Halbwertszeit, lässt sich damit auch die Zerfallsrate bestimmen.
Wenn bekannt ist, dass die Halbwertszeit von Morphium im Blut 3 Stunden beträgt, dann lässt
sich der Zerfallsfaktor berechnen:
3h =
− ln ( 2 )
− ln ( 2 )
1
⇔k=
≈ −0, 231
k
3h
h
3.11.2 Aufgaben:
a)
b)
c)
 222

Rn  hat eine Halbwertszeit t = 3,8 Tage .Formulieren
 86

Das radioaktive Element Radon 
Sie das Zerfallsgesetz und bestimmen Sie die Masse, die während 7 Tagen verstrahlt wurde,
wenn ursprünglich 5 Gramm vorhanden waren.
Von m0 = 10 g einer radioaktiven Substanz sind nach 5 Jahren 8 g zerstrahlt. Berechnen Sie
aus diesen Angaben
(1) die Zerfallskonstante
(2) die Halbwertszeit
(3) nach welcher Zeit sind 98% von m0 zerstrahlt?
Die Halbwertszeit von Nikotin im Blut ist 2 Stunden. Wie stark sinkt der Nikotinspiegel im
Blut bei einer 6 stündigen Flugreise?
- 70 -
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d)
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Die Entladespannung eines Kondensators mit der Kapazität c , der sich über einen Widerstand
−t
R entlädt, verläuft nach dem Gesetz: u ( t ) = U 0 e R⋅c . Bestimmen Sie die Größe des
e)
Entladewiderstandes R, wenn die Spannung am Kondensator mit der Kapazität c = 47 µ F nach
2 Sekunden von vorher 10V auf 4V abgesunken sein soll.
Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion: y = a ⋅ e − bx + 2 so, dass die Punkte
P1 (0;10) und P2 (5;3) Punkte des Graphen sind.
f)
Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y = a ⋅ e− bx so, dass P1 (3,5 ; 12) und
2
P2 (8 ; 2, 4) auf der Kurve liegen
g)
Der Kolben eines KFZ - Stoßdämpfers bewegt sich nach folgendem Weg – Zeitgesetz:
t
−


0,5 s
Skizzieren Sie den Verlauf des Weges und bestimmen Sie die Zeit,
x ( t ) = 30cm ⋅ 1 − e





h)
in der der Kolben 15,2 cm eingeschoben wurde.
Die Abkühlung eines Biersudes mit der Ausgangstemperatur T0 = 98°C wird durch
Frischwasser mit der konstanten Eingangstemperatur T1 = 10°C durchgeführt. Die
Temperaturabnahme verläuft dabei nach der folgenden Gleichung: T ( t ) = (T0 − T1 ) ⋅ e − kt + T1 .
Nach 20 Minuten wurde dabei die Temperatur von 85°C gemessen.. Bestimmen Sie den
Parameterwert für k und die Zeit, in der sich der Sud auf 12°C abgekühlt hat.
4 Grenzwerte
Das Rechenverfahren „Bilden von Grenzwerten“ ist ein mathematisches Werkzeug, das in vielen
Situationen benötigt wird. Dazu schauen wir uns zunächst eine besondere Gruppe von Funktionen an,
nämlich die Folgen.
4.1 Grenzwert einer Folge
Beispiel:
Lässt man einen Tennisball aus einer Höhe h fallen, so kann man feststellen, dass er anschließend auf
60% der vorigen Höhe wieder steigt.
Ordnet man jedem Aufprall seine zugehörige Fallhöhe zu, so entsteht eine Funktion, bei der den
natürlichen Zahlen jeweils eine reelle Zahl zugeordnet wird:
1 → 200 = a1
2 → 120 = a 2
- 71 -
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3 → 72 = a3
usw.
Allgemein bezeichnet man solche Funktionen mit Folgen
Definition:
Unter einer reellen Zahlenfolge versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen. Die symbolische
Schreibweise lautet:
a n = a1 , a 2 , a3 ,..., a n , ...
(n ∈ IN )
Die Zahlen a1 , a 2 ,... heißen die Glieder der Folge, a n ist das n-te Glied der Folge.
Die Glieder einer Zahlenfolge können auch durch ein Bildungsgesetz erzeugt werden, wie die
folgenden Beispiele zeigen:
a.
b.
c.
1 1 1
1
a n = − ,− ,− ,... Bildungsgesetz: a n = −
und
2 4 6
2n
a n = 13 ,2 3 ,33 ,...
Bildungsgesetz: a n = n 3
und
n ∈ IN
n ∈ IN
1 2 3
1
a n = 0, , , ,.... Bildungsgesetz: a n = 1 −
und n ∈ IN
2 3 4
n
Anschaulich können die Folgen durch einen Graph dargestellt werden (siehe oben), indem jedem
Wertepaar (n; a n ) ein Punkt Pn in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zugeordnet wird. Die
Einzelpunkte dürfen natürlich nicht miteinander verbunden werden, da keine Zwischenwerte
existieren.
Die Glieder einer Folge können sich auch jeweils aus den Werten ihres direkten Vorgängers
berechnen. So wurde im ersten Beispiel angenommen, dass die Sprunghöhe jeweils 60% oder 3/5 der
alten Sprunghöhe beträgt:
Eine solche Definition einer Folge nennt man
rekursiv:
a n+1 = a n ⋅
a1 = 200
3
mit dem Anfangsglied
5
Spezielle Folgen:
Die arithmetische Folge:
Es gilt das Bildungsgesetz: a n +1 = a n + 4 und a1 = 3
Die Differenz zweier nachfolgender Glieder der Folge ist immer 4 und damit konstant.
- 72 -
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Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.
d.h. das allgemeine Bildungsgesetz hat folgendes Aussehen:
a n+1 = a n + d und a1 bekannt
Betrachtet man in diesem Beispiel die Folgeglieder, so kann man erkennen, dass sich jedes Folgeglied
als arithmetischer Mittelwert seiner beiden Nachbarn berechnen lässt.
Es gilt: a n =
a n −1 + a n +1
7 + 15
= 11
wie man für n=3 zeigen kann: a 3 =
2
2
Die Glieder der Folge lassen sich auch berechnen mit :
a n = a1 + (n − 1) ⋅ d also a 4 = 3 + (4 − 1) ⋅ 4 = 15
Mit diesem Bildungsgesetz kann man zeigen, dass sich tatsächlich alle Folgeglieder als arithmetischer
Mittelwert der beiden Nachbarn darstellen.
an =
a n −1 + a n+1 a1 + (n − 2 ) ⋅ d + a1 + (n ) ⋅ d 2a1 d ⋅ n − 2 ⋅ d + d ⋅ n
2(n − 1)d
=
=
+
= a1 +
= an
2
2
2
2
2
In der Graphischen Darstellung erzeugen arithmetische Folgen Punkte, die sich durch eine Gerade
verbinden lassen.
Die geometrische Folge
Der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder ist hier überall 3, d.h. es gilt das rekursive
Bildungsgesetz:
a n+1 = a n ⋅ 3 und a1 = 4
Allgemein nennt man jede Zahlenfolge, bei der jeweils die aufeinander folgenden Glieder eine
Konstante sind eine geometrische Folge.
a n +1
= q und damit lässt sich das n-te Folgeglied berechnen:
an
a n = a1 ⋅ q ( n −1) , wie man leicht nachrechnen kann.
Für jedes Folgeglied gilt: Es ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn.
a n = a n −1 ⋅ a n +1
Dies kann man leicht nachrechnen aus den angegebenen Bildungsgesetzen.
- 73 -
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Grenzwert einer Folge
Ausgangspunkt der Überlegung ist die Folge:
an : an = 1 −
1
n
Eine Wertetabelle liefert folgende Zahlenwerte:
n
1
2
3
...
10
...
100
...
1000
an
0
1
2
2
3
...
0,9
...
0,99
...
0,999
Man entnimmt den Werten:
1.
Die Folgeglieder sind beschränkt: a n < 1
2.
Die Folgeglieder sind monoton wachsend; d.h. der Nachfolger ist jeweils größer
als sein Vorgänger und mit größer werdendem Index n unterscheiden sich die
Folgenglieder immer weniger von 1.
In jeder noch so kleinen Umgebung von 1 liegen also fast alle ( von endlich vielen
Ausnahmen abgesehen) Glieder der Folge.
So erfüllen alle Folgeglieder ab der Nummer 11 die Bedingung, dass ihr Abstand von 1
kleiner ist als 0,1.
Es gilt: a n − 1 < 0,1, für n ≥ 11
Man definiert:
Die reelle Zahl g heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge a n , wenn es zu jedem
ε > 0 eine natürliche Zahl n0 ( ε ) gibt, so dass für alle n>n0 gilt: a n − g < ε
Besitzt eine Folge einen Grenzwert g, so nennt man
sie konvergent und schreibt: lim a n = g
n →∞
Folgen mit dem Grenzwert Null heißen auch
Nullfolgen.
Beispiel: a n =
ε
ε
ε
1
1 1
= 1, , , ...
2 3
n
1
lim  = 0
n →∞ n
 
ε
n0 ( ε )
Die Folge a n
 1
= 1 + 
 n
n
9 64
= 2, , , .... ist
4 27
konvergent mit dem Grenzwert:
n
 1
lim1 +  = 2,171828182... = e wobei e die
n →∞
 n
Eulersche Zahl ist.
Eine Zahlenfolge heißt divergent, wenn sie die uneigentlichen Grenzwerte ± ∞ besitzt.
Jede geometrische Folge a n = a1 ⋅ q ( n −1) ist eine Nullfolge, wenn gilt: q < 1
Jede monoton wachsende Folge, die beschränkt ist besitzt einen Grenzwert.
Jede monoton fallende Folge, die beschränkt ist, besitzt einen Grenzwert.
Ausgehend von dem Grenzwertbegriff einer Folge kann man auch diesen Begriff übertragen auf die
Untersuchung von Funktionen allgemein:
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4.2 Grenzwert einer Funktion
a. Grenzwert einer Funktion für x → ±∞
Betrachtet man den Graph dieser Funktion, so stellt sich die Frage, werden die Funktionswerte y auch
unendlich große Zahlenwerte annehmen, wenn die x-Werte unendlich groß werden, oder nähern sie
sich immer mehr einem Zahlenwert an, der als eine obere Grenze für alle Funktionswerte angesehen
werden kann?
Dazu benötigt man die Information über die Funktionsgleichungen der Funktion, die untersucht
werden soll.
Bildet man mit Hilfe der Funktionsgleichung Folgen, so sagt man, die Funktion ist genau dann
konvergent gegen einen Grenzwert g, wenn jede beliebige Folge gegen g konvergiert.
Definition:
Besitzt eine Funktion y = f (x) die Eigenschaft, dass jede Folge ihrer Funktionswerte f ( x n ) mit
x n ∈ D gegen dieselbe Zahl g strebt, so heißt g der Grenzwert der Funktion für x → ∞ und man
schreibt : lim f ( x) = g
x→∞
Entsprechendes gilt auch für den Grenzwert x → −∞ .
Wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen an, gibt es keinen Grenzwert, bzw. man ordnet diesen
Funktionen die uneigentlichen Grenzwerte + oder - ∞ zu.
4.2.1
Beispiel
Geprüft werden soll das Verhalten der Funktion f : f ( x ) =
2x −1
für große x-Werte.
x
 2x −1 
 Eine Umformung des Funktionsterms liefert
 x 
Formal bildet man also den Grenzwert lim 
x →∞
1
 2x −1 

lim 
= lim  2 −  Diesem Term „sieht“ man jetzt direkt an, wie er sich benimmt für immer

x →∞
x
 x  x→∞ 
1
strebt gegen Null und übrig bleibt die von x
größer werdende x-Werte, nämlich der Summand
x
unabhängige Zahl 2.
Wenn die x-Werte weiter immer größer
werden, so nähern sich die Funktionswerte
immer mehr dem Wert
y=2
Eine Funktion konvergiert genau dann gegen
den Grenzwert g, wenn man bei Vorgabe einer beliebig kleinen Zahl ε > 0 eine Zahl s bestimmen
kann, für die gilt:
- 75 -
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f ( x) − g < ε für alle x > s
b. Grenzwert einer Funktion für x → x0
In vielen Fällen interessiert man sich weniger für das Verhalten einer Funktion für große x-Werte,
sondern man braucht verlässliche Auskunft darüber, wie sich eine Funktion in der Umgebung einer
besonderen kritischen Stelle benimmt.
Betrachtet man zunächst eine einfache Situation. Wir untersuchen die Funktion f ( x ) = x 2 , von der
wir im Voraus wissen, was sie macht und wollen prüfen, welche Informationen das Verfahren
Grenzwertbildung liefert.
Gefragt wird: Was machen die Funktionswerte, wenn sich die x-Werte der Zahl 2 beliebig nähern.
Man nehme die gegen 2 konvergierende Folge:
x n = 1,9;1,99; 1,999; 1,9999; ....
Jedem Glied dieser Folge wird durch die Funktionsgleichung f ( x ) = x 2 genau ein Funktionswert
zugewiesen:
1,9
1,99
1,999
1,9999
xn
f (xn )
3,61
3,9601
3,996001
3,9996001
Auch bei der Wahl einer beliebigen anderen gegen 2 konvergenten Folge wird die Folge der
Funktionswert gegen 4 konvergieren.
Man schreibt: lim f ( x n ) = lim x n = lim x
2
n →∞
n →∞
2
x→2
Man bezeichnet diesen Wert als den linksseitigen Grenzwert der Funktion f ( x ) = x 2 an der Stelle
x0 = 2
In analoger Weise lässt sich auch ein rechtsseitiger Grenzwert erklären, etwa durch Bilden der Folge:
x n = 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001; .... Die zugehörige Folge der Funktionswerte konvergiert gegen 4.
Der so gefundene Grenzwert heißt rechtsseitiger Grenzwert und stimmt mit dem linksseitigen überein.
Wenn dies der Fall ist, so sagt man der Grenzwert der Funktion an der Stelle x0 = 2 ist 4.
Definition:
Eine Funktion y = f (x) sei in einer Umgebung von x0 definiert. Gilt dann für jede im
Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen x0 konvergierende Zahlenfolge x n mit
x n ≠ x0 stets lim f ( x n ) = g , so heißt g auch der Grenzwert von y = f (x) an der Stelle x0 . Die
n →∞
symbolische Schreibweise lautet:
lim f ( x) = g
x → x0
(gelesen: Limes von f(x) für x gegen x0 gleich g)
Es ist hierbei keineswegs gefordert, dass die Funktion an der Stelle x0 definiert ist.
Es ist also möglich, dass die Funktion an einer Stelle einen Grenzwert besitzt, obwohl sie dort nicht
definiert ist.
Achtung Witz
"Mit dem Grenzwert ist es ganz einfach so wie mit Highlander: Es kann nur einen geben."
Achtung Witz
Der allerkürzeste Mathematikerwitz überhaupt: Sei ε < 0
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Formal lässt sich daraus folgende Definition gewinnen.
Die Funktion besitzt für x → x0
den Grenzwert α , wenn alle
Funktionswerte f(x) in einer
beliebig kleinen Umgebung von α
liegen, wenn nur die x-Werte in
einer hinreichend kleinen
Umgebung von x0 liegen.
Definition:
Eine Funktion x → f (x) hat für x → x0 den Grenzwert α , wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt,
so dass f ( x) − α < ε ,
falls
x − x0 < δ
und
x ≠ x0 ist.
Man schreibt dann lim f ( x) = α
x → x0
Die Grenzwerte einfacher Funktionen sind offensichtlich erkennbar. Kompliziertere Funktionen lassen
sich als zusammengesetzte Funktionen schreiben und ihr Grenzwert kann mit Hilfe der folgenden
Grenzwertsätze bestimmt werden.
Rechenregeln für Grenzwerte:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
lim [c ⋅ f ( x)] = c ⋅  lim f ( x)  c: Konstante
 x → x0

lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x)
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] =  lim f ( x)  ⋅  lim g ( x) 
 x → x0
  x → x0

lim
(
)
f
x
 f ( x )  x → x0
=
lim g ( x) ≠ 0
lim 
x → x0  g ( x ) 
g ( x ) x → x0
 xlim

→ x0
x → x0
lim n f ( x) = n lim f ( x)
x → x0
x → x0
lim [ f ( x)]
n
x → x0
(
)
=  lim f ( x) 
 x → x0

n


 lim f ( x ) 

lim a f ( x ) = a  x → x0
x → x0
lim [log a f ( x)] = log a  lim f ( x) 
 x → x0

x → x0
Diese Regeln gelten entsprechend auch für die Grenzwerte vom Typ x → ±∞
Es gibt Funktionen, bei denen eine Untersuchung an bestimmten Stellen von besonderem Interesse ist.
Dies sind einmal die Stellen, an denen eine Definitionslücke existiert, also die Nullstellen der
Nennerfunktion bei gebrochen-rationalen Funktionen und bei zusammengesetzten Funktionen die
Nahtstelle.
Beispiele: f ( x) =
x2 −1
Diese Funktion hat für x = −1 eine Definitionslücke. Wie verhalten sich
x +1
die links- und rechtsseitigen Grenzwerte?
Nähere Auskunft gibt die faktorisierte Form der Funktion:
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f ( x) =
(x − 1) ⋅ (x + 1)
x +1
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für jedes x ≠ −1 darf man kürzen und erhält die völlig
unproblematische Ersatzfunktion:
f E ( x) = x − 1 Diese Funktion verhält sich also absolut identisch mit der Funktion f bis auf
die besondere Stelle x = −1 . Während die Ersatzfunktion an dieser Stelle definiert ist und den
Funktionswert f E (−1) = −2 besitzt, muss überprüft werden, ob die Ausgangsfunktion an dieser Stelle
den Grenzwert besitzt. Man bildet die zugehörigen Grenzwerte und erhält:
( x − 1)( x + 1)
= −2
x +1
( x − 1)( x + 1)
lim f ( x) = lim
= −2
x → −1+
x → −1+
x +1
Das heißt: Die Funktion ist zwar für x = −1 nicht definiert, besitzt dort aber einen Grenzwert.
lim f ( x) = lim
x → −1−
x → −1−
Im Graph der Funktion wird diese Lücke durch einen kleinen Kringel angedeutet.
Man erkennt, dass der Graph der Funktion für x ≠ −1 identisch ist mit der linearen Ersatzfunktion, die
man durch Kürzen erhält.
Nur der Funktionswert an der Stelle x = −1 muss ausgenommen werden.
Da die beidseitigen Grenzwerte aber existieren, nähern sich die Funktionswerte beliebig dicht dem
gekennzeichneten Wert f E (−1) = −2 .
Merke:
Lässt sich nach dem Faktorisieren eine
Nennernullstelle vollständig
herauskürzen, dann erhält man eine
Ersatzfunktion, die man für die weitere
Untersuchung benutzen kann. Die
Ausgangsfunktion besitzt an ihren
Definitionslücken einen Grenzwert, der
mit dem Funktionswert der
Ersatzfunktion übereinstimmt.
4.2.2
Übung:
Untersuchen Sie in gleicher Weise die Funktionen:
a. f ( x) =
x+2
x+2
b. f ( x) =
x2 − 4
x−2
c. f ( x) =
( x 2 − 4) ⋅ x
x+2
d. f ( x) =
( x − 1) x
x2 + x
Achtung Witz
Student: "Sie dürfen mich nicht durchfallen lassen. Das wäre illegal!"
Prof: "Warum?"
Student: "Wenn man die Unwissenheit anderer ausnutzt um ihnen zu schaden, dann nennt man das
Betrug."
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Stetigkeit einer Funktion
Aus der Regelungstechnik ist die sogenannte Sprungfunktion eine häufig vorkommende Funktion,
deren Funktionsgleichung aus zwei Teilen zusammengesetzt wird:
 0 für t < 0
f : u = f (t ) = 
Diese Funktion besitzt keine Definitionslücke, denn auch für t = 0 ist
u 0 für t ≥ 0
der Funktionswert f (0) = u 0 vorgegeben. Für den Grenzwert an dieser Stelle gilt aber, dass die
Annäherung von links, also für t < 0 den Wert 0 liefert, während die Annäherung von rechts u 0
ergibt. Weil der Grenzwert nur dann existiert, wenn
beide existieren und übereinstimmen, gibt es für
t = 0 keinen Grenzwert.
Der zeigt folgendes Aussehen:
Das Verhalten an dieser Stelle der Funktion wird als
nicht stetig bezeichnet.
Die Eigenschaft der Stetigkeit kann also mit Hilfe der
Grenzwertbetrachtung untersucht werden.
Definition:
Eine Funktion f nennt man an einer Stelle x0 ∈ D stetig, wenn gilt: lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0
Das bedeutet mit anderen Worten, die Funktion nähert sich von beiden Seiten dem Funktionswert an,
der an dieser Stelle existiert.
Es ist notwendig, das die beidseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen mit dem
Funktionswert.
Es ist notwendig, dass auch der Funktionswert an der Stelle zugelassen ist.
x2 −1
So ist die Funktion aus dem vorigen Beispiel f ( x) =
an der Stelle x = −1 nicht stetig, denn
x +1
es gibt keinen Funktionswert an dieser Stelle. Die beiden Grenzwerte dagegen existieren.
Man nennt eine solche Stelle eine stetig behebbare Definitionslücke.
Wenn eine Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist, so sagt man: f ist stetig.
Alle ganzrationalen Funktionen sind stetig, ebenso wie alle gebrochen-rationalen Funktionen.
Man muss beachten, dass bei gebrochen-rationalen Funktionen sich die Stetigkeit nur auf die x-Werte
des Definitionsbereiches beschränkt.
Der Graph einer stetigen Funktion ohne Definitionslücken ist durchzeichenbar, d.h. ohne den
Zeichenstift abzusetzen.
4.2.3
Aufgaben:
a)
Zeigen Sie, dass die Betragsfunktion f ( x) = x stetig ist für alle x.
b)
Gegeben ist die Funktion f ( x) = x 2 − 9 . Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Intervall
von [− 4;+4] und untersuchen Sie die Stetigkeit an den Stellen –3 und +3.
c)
Zeichnen Sie den Graph der Funktion f ( x) = x − 1 − 1 und überprüfen Sie die Stetigkeit an
der Stelle 1.
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5 Elementare Geometrie
Im nachfolgenden sind einige wichtige Beziehungen zwischen den Größen in geometrischen Figuren
zusammengestellt. Dabei spielt die Darstellung von Funktionen im rechtwinkligen kartesischen
Koordinatensystem eine besondere Rolle. Systeme, in denen rechte Winkel vorkommen spielen eine
besonders wichtige Rolle und hierbei kommen häufig rechtwinklige Dreiecke ins Spiel.
Für die Bezeichnungen von Winkel und Seiten gelten üblicherweise die folgenden Vereinbarungen:
C
b
A
a
B
c
Die Eckpunkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet, die
Seiten mit Kleinbuchstaben.
Die Reihenfolge geschieht in mathematischer Orientierung, also
gegen den Uhrzeigersinn.
Die Seiten erhalten die Buchstaben von den ihnen
gegenüberliegenden Eckpunkten.
Die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite ist immer die
längste Seite im Dreieck und heißt: Hypotenuse. Die beiden
anderen Seiten werden Katheten genannt
Mit ∢ABC wird der bei B liegende Winkel gekennzeichnet. Häufig benutzt man dafür auch
griechische Buchstaben, etwa α (alpha ), β (beta ) und γ ( gamma ) für die Winkel bei A, B und C.
In der Skizze liegt der rechte Winkel bei C; er wird in der Regel als solcher durch einen Punkt im
Winkelzeichen gekennzeichnet:
5.1 Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck, bei dem der rechte Winkel bei A liegt, gilt für die Seiten die
Beziehung:
a 2 + b2 = c2
in Worten:
Das Quadrat über der Hypotenusenseite ist genauso groß wie die Summe der Quadrate über den
beiden Kathetenseiten.
Der Satz des Pythagoras hat eine Vielzahl von Anwendungen. eine davon liegt darin, den Abstand
zweier Punkte B und C in einer Ebene zu berechnen. Die Koordinaten der Punkte B und C seien
B ( xb ; yb ) bzw. C ( xc ; yc ) . Ergänzt man im Koordinatensystem die Punkte B und C durch den Punkt
A, so erhält man ein rechteckiges Dreieck wie in der Skizze dargestellt. Die Längen der beiden
Katheten erhält man als Differenz der zugehörigen Koordinatenwerte: AB = xb − xc und
AC = yc − yb . Für die Länge der unbekannten Seite BC erhält man dann:
BC =
( xb − xc ) + ( yc − yb )
5.1.1
Beispiel:
2
2
Zu bestimmen sind die Seitenlängen eines Dreiecks, das durch die Punkte:
A(−4; − 3), B ( 5; − 1) und C ( 3;3) gegeben ist.
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Die Strahlensätze
Werden die Schenkel eines Winkels von zwei parallelen Geraden geschnitten, so erhält man die
folgende Figur:
C1
B1
A
B2
C2
Es gelten die folgenden Beziehungen:
AB1 ÷ AB2 = AC1 ÷ AC1 = B1C1 ÷ B2C2
AB1 ÷ AC1 = AB2 ÷ AC2 = B1 B2 ÷ C1C2
B1 B2 ÷ AB2 = C1C2 ÷ AC2 und B1 B2 ÷ AB1 = C1C2 ÷ AC1
Mit Hilfe dieser Beziehungen lassen sich fehlende Streckenlängen berechnen:
5.1.2
Beispiel:
gegeben: AB1 = 5, AB2 = 3, AC1 = 7
Zu bestimmen ist AC2
____
_____
_____
Lösung: AC 2 = AC1 ⋅
AB2
____
AB1
5.1.3
a.
b.
= 7⋅
3 21
=
= 4,2 .
5 5
Aufgaben:
geg.: AB1 = 5, B1 B2 = 4, AC1 = 7 , gesucht ist: C1C2
Der Schatten eines 1,20 m hohen vertikalen Stabes ist 1,40 m lang. Wie hoch ist ein
Baum, dessen Schatten zur selben Zeit 11,20 m lang ist.
Achtung Witz
Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker übernachten im selben Hotel, als in jedem ihrer
Zimmer ein Feuer ausbricht.
Der Ingenieur wacht auf, sieht das Feuer, rennt ins Bad, füllt alle zur Verfügung stehenden Gefäße mit
Wasser und löscht so das Feuer in kürzester Zeit.
Der Physiker wacht auf, ist hoch begeistert von dem Elementarereignis, dessen wichtigste Daten er
schnell in einem Protokoll erfasst, stürzt zu seinem Laptop, beginnt unter Zuhilfenahme aller
möglichen Gleichungen der Strömungslehre zu arbeiten. Nach einigen Minuten ist er fertig, holt einen
Messzylinder aus seinem Gepäck, misst die zum Löschen berechnete Wassermenge ab, schüttet sie ins
Feuer und hat so den Brand gelöscht.
Der Mathematiker wacht auf, sieht das Feuer, stürzt zu seinem Arbeitstisch und beschäftigt sich wie
wild mit Hypothesen, Sätzen und Hilfssätzen. Nach endlich langer Zeit ist er fertig, triumphierend legt
er sich wieder ins Bett und sagt: „Ich habe bewiesen, dass das Feuer löschbar ist“
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6 Differential- und Integralrechnung
6.1 Das Tangentenproblem
Problemstellung:
Wenn eine Funktion gegeben ist, so kann
man Aussagen machen darüber, wie sich
ihre Werte ändern:
Es gibt ein globales Verhalten, wenn man
die mittlere Steigung auf einem Intervall
betrachtet und es gibt ein momentanes
Änderungsverhalten an jeweils einer
Stelle.
Die mittlere Steigung ist dabei die Gerade
durch die Punkte P und Q.
Die Steigung in einem Punkt des Graphen
entspricht der Steigung der Tangente in
diesem Punkt. Je näher dabei der Punkt Q
an den Punkt P heranrückt, umso mehr
nähert sich die Sekante durch die Punkte P und Q der Tangente an:
P
P
Q
Q
Wandert schließlich der Punkt Q auf P, so ist in P die Tangente entstanden.
Achtung Witz
Der geistige Horizont ist der Abstand zwischen Kopf und Brett."
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Dieses Verfahren wird in die Sprache der Mathematik umgesetzt am Beispiel der Funktion y = x 2
Gesucht sei die Steigung im Kurvenpunkt P(0,5 /0,25)
Man wählt einen zweiten Kurvenpunkt, der sich von P durch Zugabe von ∆x unterscheidet:
Sekante
y
2
Q Q
1.5
1
0.5
Tangente
P
Die durch P und Q verlaufende Sekante
hat die Steigung:
ms =
∆y
P
0
P(0,5 / 0,25), Q(0,5 + ∆x /(0,5 + ∆x) 2
∆y f (0,5 + ∆x) − f (0,5)
=
=
∆x
∆x
(0,5 + ∆x )2 − 0,25 = 0,25 + ∆x + (∆x) 2 − 0,25
0.5
1
1.5
∆x
2
∆x
∆x ⋅ (1 + ∆x )
= 1 + ∆x
=
∆x
∆x
Dieser Zahlenwert für die Steigung der Sekanten
stellt eine erste Näherung der gesuchten Tangentensteigung dar und ist wie erwartet von ∆x abhängig.
Man lässt jetzt den Punkt Q auf der Parabel auf P zuwandern. Dabei strebt der Wert ∆x gegen Null.
Beim Grenzübergang geht die Sekante in die Tangente und die Sekantensteigung in die
Tangentensteigung über.
mt = lim
∆x → 0
∆y
= lim (1 + ∆x ) = 1
∆x ∆x →0
Die Kurventangente besitzt also im Punkt P (0,5 / 0,25), die Steigung 1.
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Symbolisch schreibt man dafür:
y ′(0,5) = f ′(0,5) = 1
Gelesen: y Strich, bzw. f Strich an der Stelle 0,5.
Man bezeichnet diesen Grenzwert als die Ableitung der Funktion f an der Stelle 0,5 und nennt die
Funktion an dieser Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert von links und rechts existiert und
übereinstimmt.
Verallgemeinert man das oben beschriebene Verfahren für eine beliebige Stelle x=x0, so erhält man
analog:
P( x0 / f ( x0 ) und Q( x0 + ∆x / f ( x0 + ∆x))
Die Steigung der Sekanten ist durch den Differenzenquotienten gegeben:
ms =
∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
=
∆x
∆x
Durch Annähern des Punktes Q auf P entsteht die gesuchte Tangentensteigung. Die
Tangentensteigung ist also der Grenzwert der Sekantensteigung für ∆x → 0 .
f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 )
∆y
= lim
Man nennt diesen Grenzwert die Ableitung der Funktion.
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x
dy
Schreibweisen: y ′( x0 ), f ′( x0 ),
x= x
dx 0
dy
Der formale Quotient
x = x wird als Differentialquotient der Funktion an der Stelle x0 bezeichnet.
dx 0
mt = lim
(gelesen: dy nach dx an der Stelle x = x0)
Definition:
Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x = x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert:
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
lim
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x
vorhanden ist. Man bezeichnet ihn als erste Ableitung von y = f (x) an der Stelle x = x0 oder als
Differentialquotient an der Stelle x = x0 und schreibt:
y ′( x0 ), f ′( x0 ),
dy
dx
x = x0
Die Ableitungsfunktionen einiger wichtiger Funktionen
Funktion f(x)
Konstante Funktion
Potenzfunktion
Kombinationen
Wurzelfunktionen
Trigonometr. Funktionen
c = const.
x n , (n ∈ IR)
y = c ⋅ f (x)
Ableitung: f ´(x)
0
n ⋅ x n −1 (Potenzregel)
y ′ = c ⋅ f ′(x) , c: konstant
y=
y′ =
f (x)
2 ⋅ f ( x)
y ′ = cos x
y ′ = − sin x
1
y′ =
cos 2 x
y′ = e x
y ′ = (ln a) ⋅ a x
1
y′ =
x
y = sin x
y = cos x
y = tan x
Exponentialfunktionen
y = ex
Logarithmusfunktionen
y = ax
y = ln x
f ′( x)
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Wichtige Ableitungsregeln:
Funktion f(x)
Potenzregel
x , (n ∈ IR)
y = f 1 ( x) + f 2 ( x) + ...
y = u ( x) ⋅ v ( x)
y = u ⋅v⋅w
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
y=
y ′ = f 1′( x) + f 2′( x) + ...
y ′ = u ′( x) ⋅ v( x) + u ( x) ⋅ v ′( x))
y ′ = u ′vw + uv ′w + uvw′
v( x) ⋅ u ′( x) − u ( x) ⋅ v ′( x)
y′ =
v 2 ( x)
dy dy du
y′ =
=
⋅
dx du dx
u ( x)
v( x)
Kettenregel
y = F (u ( x) ) = f ( x)
Umkehrfunktion
y = f ( x) ⇔ x = g ( y )
6.1.1
Ableitung: f ´(x)
n ⋅ x n −1 (Potenzregel)
n
äußere Abl. mal innere Abl.
g ′( y ) =
1
1
dx
⇔
=
f ′( x)
dy dy
dx
Beispiel: (Kettenregel)
y = 3 ( x 2 − 4 x + 10) 2
innere Funktion
u ( x) = x − 4 x + 10 und äußere Funktion y = f (u ) = u
Ableitungen:
u′ =
Ergebnis:
2
du
dy 2
= 2x − 4
f ′(u ) =
= u
dx
du 3
1
4x − 8
dy dy du 2 − 3
=
⋅
= u ⋅ (2 x − 4) =
y′ =
dx du dx 3
3 ⋅ 3 x 2 − 4 x + 10
6.1.2 Beispiel: (Umkehrfunktion)
y = arctan x mit der Umkehrung: x = tan y = g ( y )
1
= 1 + tan 2 y
g ′( y ) =
cos 2 y
1
1
1
y ′ = f ′( x) =
=
=
2
g ′( y ) 1 + tan y 1 + x 2
6.1.3
Aufgaben
Es sind die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen zu bilden:
a. y = 3 x 2 + x
d. y = sin 2 (ω x )
2
3
b. y = x 2 ⋅ 3 x − 1
e. y = 24 ⋅ e
1
x
2
c. y = sin (ω x − π )
f. y = ( 2 x + 1) e − x
2
Achtung Witz
Treffen sich zwei Funktionen. Sagt die eine:
"Verschwinde oder ich differenzier Dich!"
Sagt die andere: "Dumm gelaufen für dich, ich bin e hoch x!"
- 86 -
−1
3
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6.2 Die Differentialrechnung als Hilfsmittel zur Untersuchung von
Funktionen
Bei der Untersuchung von Funktionen gibt es einige typische Eigenschaften, die sich relativ einfach
bestimmen lassen, die ihrerseits wichtige Informationen über den Verlauf des Graphen einer Funktion
geben.
Nachfolgend sind einige dieser Eigenschaften beschrieben und an Beispielen erläutert. Die Beispiele
stammen aus dem Bereich ganzrationaler Funktionen; die beschriebenen Eigenschaften gelten
grundsätzlich für alle Funktionen.
6.2.1
Monotonie einer Funktion
Man unterscheidet zwischen wachsend und fallend.
Steigt der Graph einer Funktion f in einem Intervall ständig an, so nehmen dort alle
Funktionswerte von links nach rechts zu; d.h. für alle x2 > x1 gilt, dass auch der zugehörige
Funktionswerte f(x2) größer ist als der zugehörige Funktionswert f(x1).
Eine Verschärfung der Aussage ist es, wenn auch die Gleichheit zweier Funktionswerte
ausgeschlossen wird. In diesem Fall nennt man die Funktion streng monoton steigend.
M1
M2
M3
Im Intervall M1 ist die Funktion streng monoton steigend, in M2 ist die Funktion M2 konstant und
in M3 ist sie wieder streng monoton steigend. Über alle drei Intervalle gesehen ist die Funktion
monoton wachsend.
Es leuchtet ein, dass die Eigenschaft der Monotonie eine wichtige Aussage über das
Funktionsverhalten beinhaltet. (Man stelle sich einmal vor die Punktzahlen der Matheklausuren
sei streng monoton wachsend.
Die Frage ist, wie kann man möglichst einfach und zuverlässig bei einer gegebenen
Funktionsgleichung die Abschnitte der Funktion bestimmen, bei denen diese Eigenschaft
vorhanden ist?
Die 1. Ableitung der Funktion kann hier weiterhelfen. Da die 1. Ableitung über die Steigung der
Funktion eine Aussage macht, gilt folgender Sachverhalt:
Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einem Intervall M, wenn im ganzen Intervall nur
positive Steigungen vorhanden sind; d.h. die 1. Ableitung immer größer Null ist.
Lässt man auch den Wert Null zu für die 1. Ableitung entfällt das Wort streng in dem Satz.
Zeichnet man zu dem obigen Beispiel die 1. Ableitung in die entsprechende Intervalle, so kann man
folgendes Bild erhalten. Für M1 sei angenommen, die Funktion gehöre zu einer verschobenen Parabel:
M1
M2
In M1 gilt die Ableitung einer verschobenen
Parabel, deren Graph eine Gerade darstellt.
Beispiel: f(x) = -(x-3)² mit f’(x) = -2x + 6.
In M2 ist die Funktion konstant, d.h. die
Ableitung ist Null: (Stück auf der x-Achse)
In M3 ist f(x) eine Gerade: f(x) = mx + c und
damit wird die Ableitung eine Konstante:
f’(x) = m
M3
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Alle Ableitungswerte auf den Intervallen genügen der Forderung: f ′ ( x ) ≥ 0 l, d.h. f ist monoton
steigend. In M1 und M3 gilt sogar: f ′ ( x ) > 0 und damit gilt auch die Aussage, die Funktion ist dort
streng monoton steigend.
Für die Eigenschaft monoton fallend gelten die beschriebenen Eigenschaften entsprechend.
Zusammengefasst:
Muss eine Funktion auf ihre Monotonieabschnitte untersucht werden, so bildet man die 1. Ableitung.
Die Faktorisierung der Ableitung liefert im Vorzeichendiagramm genau die Intervalle, in denen die
Steigung positiv ist bzw. die Steigung negativ ist.
In diesen Intervallen ist der Graph der Funktion streng monoton steigend, bzw. streng monoton
fallend.
Lokale Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion sind ebenfalls ganz bedeutsame Punkte für die Funktion.
Beschreibt eine Funktionsgleichung ein technisches oder ökonomisches Problem, so liegt häufig die
gesuchte Problemstellung in der Ermittlung eines solchen Hoch- oder Tiefpunktes. Solche
Aufgabenstellungen sind auch unter dem Namen Extremwertaufgaben zusammengefasst. Zum
Beispiel die Frage: Gibt es für eine zylindrische Dose ein Minimum im Blechbedarf, um einen
festgelegten Inhalt zu umschließen?
6.2.2
Extremwerte
Der Begriff Extremwerte ist der Oberbegriff für einen Hochpunkt. (Maximum) oder einen Tiefpunkt
(Minimum.) Zur Verdeutlichung, dass es sich nicht um absolute Extremwerte handelt wird häufig das
Wort lokale Extremwerte benutzt.
Kennzeichen der Extremwerte: In einem lokalen Extremwert ist die Steigung Null: f’(x) = 0. Diese
Eigenschaft ist eine notwendige Vorraussetzung für einen Extremwert.
Die Funktion besitzt an den Stellen x1
und x2 eine waagerechte Tangente und
damit die Steigung Null.
x1
x2
Es gibt aber umgekehrt auch Stellen innerhalb einer Funktion, bei denen die Steigung Null ist, aber
trotzdem kein lokaler Extremwert vorliegt:
In x0 = 3 besitzt die Funktion zwar
eine waagerechte Tangente, aber es
gibt dort kein Maximum oder
Minimum
Wendepunkt
Betrachtet man die beiden Beispiele, so kann man den Bildern durch genaues Hinsehen folgende
Information entnehmen.
In einer Umgebung für einen Hochpunkt ist der Graph der Funktion immer rechtsgekrümmt.
Es gilt also: Hochpunkt, wenn f ′( x) = 0 und.
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In einer Umgebung für einen Tiefpunkt gilt umgekehrt, dass dort der Graph eine Linkskrümmung
besitzt.
Es gilt also: Tiefpunkt, wenn f ′( x) = 0 und.
Man kann auch die Differenzfunktion von Tangente und Funktion bilden. In einem Hochpunkt hat die
Differenzfunktion auf beiden Seiten der Untersuchungsstelle einen positiven Wert, denn die Tangente
liegt oberhalb der Funktion. Das zugehörige Vorzeichendiagramm liefert also eine doppelte Nullstelle
mit jeweils einem + Zeichen links und rechts.
Gleiches gilt für den Tiefpunkt, wo das Vorzeichendiagramm der Differenzfunktion eine doppelte
Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel mit beidseitigem Minuszeichen liefert.
Im unteren Fall verläuft die Funktion bis zur Stelle x = 3 rechtsgekrümmt, wechselt aber dort ihr
Krümmungsverhalten und verläuft rechts von x = 3 linksgekrümmt. Ein solcher Punkt heißt
Wendepunkt.
Im zugehörigen Vorzeichendiagramm gibt es für x = 3 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. In
diesem Fall ergibt die Differenz aus Tangentengleichung und Funktionsgleichung links der
Untersuchungsstelle ein positives Vorzeichen und rechts ein negatives.
Wechselt eine Funktion ihr Krümmungsverhalten an einer Stelle mit waagerechter Tangente dann
nennt man diesen Punkt Sattelpunkt (Terrassenpunkt.)
Es gilt dort: f’(x) = 0 und f’’(x) =0 und f’’’(x) ≠ 0
6.2.3
Beispiel:
Eine ganzrationale Funktion 4. Grades die Funktionsgleichung
f ( x) = 2 x 4 − 8 x 3 + 9 x 2 −
27
8
Ermitteln Sie von dieser Funktion:
1.1
Das Extrema und Wendepunkte
1.2
die Monotonieintervalle
Die Ableitungen liefern:
f ' ( x) = 8 x 3 − 24 x 2 + 18 x
f '' ( x) = 24 x 2 − 48 x + 18
3
2
Faktorisieren der 1. Ableitung durch Ausklammern von x führt zu: f ' ( x) = 8 x ⋅ ( x − ) 2
Waagerechte Tangenten gibt es bei den Nullstellen der 1. Ableitung, also xE1 =
3
und xE 2 = 0
2
Die genaue Überprüfung dieser Stellen im Vorzeichendiagramm liefert:
Minus
Plus
Plus
0
1,5
Ein Vorzeichenwechsel in der Steigung von Minus nach Plus ist bei x= 0 der Fall. Also gibt es dort
ein relatives Minimum
oder über die Untersuchung der 2. Ableitung an der Stelle: f '' (0) = 18 und damit ist bei x= 0 ein
relatives Minimum
Bei x = 1,5 gibt es keinen Vorzeichenwechsel für die Steigung.
An dieser Stelle kann sich damit weder ein Hoch, noch ein Tiefpunkt befinden.
Die Monotonieintervalle lassen sich direkt aus dem Vorzeichendiagramm ablesen:
f ist monoton fallend, wo die Ableitung negativ ist, also in ]−∞ ; 0] und monoton steigend in [ 0; ∞[
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Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann abschnittsweise untersucht werden. Anschaulich kann
man eine linksgekrümmte Darstellung gut von einer rechtsgekrümmten Darstellung unterscheiden.
Manchmal ist es hilfreich, sich den Graph der Funktion als eine Straße vorzustellen, die man immer
von links nach rechts durchfährt. Bei Linkskrümmung legt man sich nach links in die Kurve, bei
Rechtskrümmung nach rechts. Besonders bewusst wird man sich in diesem Fall dass es einen Punkt
gibt, an dem das Krümmungsverhalten wechselt.
Im oberen Bild ist der Graph einer
ganzrationalen Funktion dargestellt :
f ( x) = 0,125 x 3 − 0,375 x 2 −
− 1,125 x + 2,375
Man erkennt die Nullstellen der Funktion
und den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Die Funktion besitzt einen Hochpunkt
und einen Tiefpunkt.
Das mittlere Bild zeigt die Darstellung
von f und der 1. Ableitung.
Zur Bestimmung des Hochpunktes
benutzt man die 1. Ableitung, die bei x =
-1 eine Nullstelle besitzt mit
Vorzeichenwechsel.
Entsprechendes gilt für den Tiefpunkt der
Funktion bei x = 3.
Betrachtet man den Tiefpunkt der ersten
Ableitung, so liegt der offensichtlich bei
x = 1.
Für die Funktion hat diese Stelle x = 1
ebenfalls eine besondere Bedeutung: Sie
wechselt dort das Krümmungsverhalten
von rechts nach linksgekrümmt.
Konzentriert man die Aufmerksamkeit
auf die Darstellung von Funktion und die
2. Ableitung, die jetzt ebenfalls
eingezeichnet ist, erkennt man, dass die 2.
Ableitung an der Stelle x = 1 eine
einfache Nullstelle besitzt.
Ist die 2. Ableitung negativ, dann ist die
erste Ableitung fallend und der Graph
von f ist rechtsgekrümmt.
Ist die 2. Ableitung positiv, dann ist die 1.
Ableitung steigend und der Graph von f
ist linksgekrümmt.
Im Wendepunkt wechselt das
Krümmungsverhalten der Funktion und
die Funktion besitzt in der 2. Ableitung
eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Wendepunkt
- 90 -
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6.2.4
University of Applied Sciences
Beispiel:
Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Funktionsgleichung
f ( x) = 2 x 4 − 8 x 3 + 9 x 2 −
27
8
Ermitteln Sie von dieser Funktion:
1.1
die Intervalle in denen die Funktion rechts- bzw. linksgekrümmt ist.
1.2
Bestimmen Sie die Wendepunkte
Zur Untersuchung benötigt man die 2. Ableitung der Funktion:
f ' ( x) = 8 x 3 − 24 x 2 + 18 x
f '' ( x) = 24 x 2 − 48 x + 18
3
2
1
2
Faktorisieren der 2. Ableitung: f " ( x) = 24( x − ) ⋅ ( x − )
Die Darstellung im Vorzeichendiagramm liefert:
Plus
Minus
x=
Plus
1
2
x=
3
2
Die Nullstellen der 2. Ableitung liegen damit bei. x =
3
1
und x = . An diesen x-Werten liegt jeweils
2
2
ein Wendepunkt vor, weil sich das Krümmungsverhalten dort ändert.
Es liegt Linkskrümmung vor in den Intervallen, in denen die 2. Ableitung größer gleich Null ist, also

1
3

in I1 =  −∞ ;  und in I 2 =  ; ∞ 
2

2 
3
2
Die Wendepunkte liegen in W1 ( / 0)
1
W2 ( / − 2) 0,5
2
Auch ohne Darstellung des Vorzeichendiagramms sieht man der faktorisierten Funktionsgleichung
direkt an, dass für beide Werte ein Vorzeichenwechsel stattfindet und damit ein Krümmungswechsel.
6.2.5
Aufgaben
Bestimmen Sie von den nachfolgenden Funktionen die Monotonieintervalle, die Extremwerte und die
Intervalle mit gleicher Krümmung. Verwenden Sie bitte dazu die Vorzeichendiagramme.
a.
f ( x) = 3x 3 − 2 x 2 − x
b.
c.
d.
1 4 1 3
x − x − x2
12
6
3
2
f ( x) = x − 3x + 4
1
1


f ( x ) =  x 3 + x  5 x 2 − x + 11
2
6


f ( x) =
Achtung Witz
Prof (Physiker) fiel in der Vorlesung ein Stück Kreide zu Boden. Sein Kommentar:" Isaac Newton, ich
hasse dich!"
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6.3 Das unbestimmte Integral
Das unbestimmte Integral ist die Umkehrung der Differentiation.
Definition:
Eine Funktion F ( x) heißt Stammfunktion einer Funktion f ( x ) , wenn die Ableitung von F ( x)
wieder f ( x ) ergibt. Also F ′ ( x ) = f ( x ) . Die Menge aller Stammfunktionen von f ( x ) heißt
unbestimmtes Integral von f ( x ) . Man schreibt:
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx
Ähnlich wie bei der Differentiation gibt es Regeln, mit denen man kompliziertere Integrale berechnen
kann.
Faktorregel: a ⋅ f ( x ) dx = a ⋅ f ( x ) dx Konstante Faktoren dürfen vor das Integral
∫
∫
gezogen werden.
Summenregel:
∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Das Integrieren einer Summe
gliedweise durchgeführt werden.
1
⋅ x n +1 + c , n ≠ −1
n +1
1
Für den Fall n = −1 gilt: ∫ x −1dx = ∫ dx = ln x + c
x
Potenzregel:
∫x
n
dx =
Beim Berechnen der unbestimmten Integrale muss immer eine Konstante c berücksichtigt werden.
Viele Funktionen lassen sich nicht mehr durch eine feste Regel integrieren. Durch Beobachtung des
Vorgehens beim Ableiten lassen sich für bestimmte Funktionsarten die Stammfunktionen finden.
a. Integrieren von Funktionen der Form: f ( x) = (ax + b) ⋅ e kx
Wenn man eine solche Funktion ableitet, kann man zeigen, dass die Ableitung auch
grundsätzlich in der obigen Form dargestellt werden kann. Daraus lässt sich umgekehrt
schließen, dass auch die zu f gehörende Stammfunktion F(x) denselben Termaufbau besitzt.
Man formuliert deshalb ganz allgemein eine Stammfunktion mit den Variablen a und b. Die
Größe k kann direkt für den Ansatz aus f genommen werden.
Nach dem Ableiten von F(x) erhält man F’(x) und ermittelt nun durch Vergleich der
Koeffizienten von F’ und f die gesuchten Größen in der Stammfunktion:
Beispiel:
Gesucht ist die Stammfunktion zu f ( x) = (2 x + 5) ⋅ e−4 x
Die Stammfunktion hat sicherlich die Form: F ( x) = (ax + b) ⋅ e −4 x Durch Ableiten dieser
Funktion nach der Produktregel erhält man: F / ( x) = (−4ax + a − 4b) ⋅ e−4 x
1
11
und a − 4b = 5 → b = −
2
8
1
11
Damit lautet die Stammfunktion: F ( x) = (− x − ) ⋅ e−4 x + c
2
8
/
g ( x)
b. Integrieren von Funktionen der Form: f ( x) =
2 ⋅ g ( x)
Der Vergleich zeigt: −4a = 2 → a = −
Beim Ableiten einer Wurzelfunktion der Form: F ( x) = g ( x) erhält man den Wurzelterm im
Nenner, wobei der Faktor 2 ebenfalls entsteht. Wegen der Kettenregel wird anschließend mit
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der inneren Ableitung multipliziert. Damit ist also klar, dass die Funktion F eine
Stammfunktion darstellt.
Wenn der Faktor 2 zunächst nicht vorhanden ist, so kann er leicht durch Umformen erzeugt
werden.
6.3.1
Beispiel
f ( x) =
3x 2 − 2
2 x3 − 4 x
Im Zähler fehlt zur inneren Ableitung der Wurzel der Faktor 2. Erweitert man
Zähler und Nenner mit 2, so entsteht: f ( x) =
6 x2 − 4
2 ⋅ 2 x3 − 4 x
und damit wird
F ( x) = 2 x3 − 4 x + c
c. Integrieren von Funktionen der Form: f ( x) =
g / ( x)
g ( x)
Wie bei b. muss man erkennen bzw. so umformen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners
steht. Kann man dies durch geeignete, nicht immer sofort erkennbare, Umformungen
erreichen, dann erhält man die gesuchte Stammfunktion F ( x) = ln( g ( x)) . Dies kann man
durch „Rückwärtsrechnen“ leicht bestätigen.
6.3.2 Beispiel:
Gesucht sind die Stammfunktionen zu f ( x) = 4 −
16
. Man erweitert die Zahl 4 und
e +4
x
schreibt auf einem Bruchstrich:
4 ⋅ (e x + 4) − 16 4 ⋅ e x
ex
=
=
4
⋅
⇒ F ( x) = 4 ⋅ ln(e x + 4) + c
x
x
x
e +4
e +4
e +4
f ( x) =
d. Integrieren von Funktionen der Form: f ( x) = a ⋅ g ′( x) ⋅ g ( x)
Eine solche Darstellung erhält man, wenn man mit Hilfe der Kettenregel eine „äußere“
Funktion ableitet, die quadratisch ist. Denn die Ableitung einer Funktion der Struktur:
2
1
( g ( x)) ergibt ja bekanntlich: F ′ ( x) = g ( x) ⋅ g ′( x)
2
2
1
Also gilt: ∫ g ( x) ⋅ g ′( x)dx = ( g ( x)) + c
2
F ( x) =
Beispiel:
Gesucht ist die Stammfunktion zu f ( x) = (3 x 2 − 4 x + 2)(6 x − 4)
Der zweite Term enthält die Ableitung des 1. Terms. Also darf die Regel benutzt werden und
es gilt:
2
1
3 x 2 − 4 x + 2) + c
(
2
a
e. Integrieren von Funktionen der Form: f ( x) =
bx + c
∫ (3x
2
− 4 x + 2)(6 x − 4) dx =
Die Ableitung des Nenners ist b und lässt sich immer durch geschicktes Erweitern auch im
Zähler erzeugen:
f ( x) =
a
a
b
= ⋅
Damit hat man einen Ausdruck gebildet, der nach Abschnitt c
bx + c b bx + c
integriert werden kann:
- 93 -
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a
b
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a
∫ b ⋅ bx + c dx = b ln (bx + c) + k
Beispiel:
4
4
3
4
∫ 3x − 5 dx = ∫ 3 ⋅ 3x − 5 dx = 3 ln (3x − 5) + k
f. Integrieren von Funktionen der Form: f ( x) =
a
(bx + c)
2
−2
Durch Umschreiben erhält man einen Ausdruck: f ( x) = a ⋅ (bx + c) . Ein solcher Ausdruck
lässt sich durch Anwenden der Potenzregel integrieren, wobei die entstehende innere
Ableitung kompensiert werden muss. Es entsteht ohne Berücksichtigung der inneren
Ableitung mit der Potenzregel der Ausdruck:
a
−1
(bx + c) . Berücksichtigt man, dass beim
−1
Ableiten dieses Ausdruckes ja mit der inneren Ableitung b multipliziert wird, muss
entsprechend durch die Division von b dies berücksichtigt werden. Also:
a
a
−1
∫ (bx + c) dx = − b (bx + c)
2
a
1
+k =− ⋅
+k
b bx + c
6.4 Das bestimmte Integral
Um die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse in einem Intervall [ a, b ] zu
berechnen, kann man das Intervall in (unendlich) kleine Stücke der Länge dx zerlegen, diese Stücke
mit der Höhe, dem Wert von f ( x ) an der linken (oder auch an der rechten) Seite des Stückes
multiplizieren und erhält so unendliche viele Rechtecke, die aufsummiert der gesuchten Fläche
entsprechen.
y
f ( x)
b
a
x
dx
b
Diese Summe bezeichnet man symbolisch mit
∫ f ( x ) dx und bezeichnet sie als das bestimmte
a
Integral von f ( x ) im Intervall [ a, b ] . Dieses bestimmte Integral kann mit Hilfe der Stammfunktion
F ( x ) , die zum Graphen der Berandungsfunktion f ( x ) gehört, berechnet werden.
b
Es gilt:
∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
a
Der Wert des Integrals liefert nur dann positive Werte, wenn der Graph oberhalb der x-Achse verläuft.
Bei Flächenberechnungen muss man deshalb untersuchen, ob der Graph im Intervall Nullstellen
- 94 -
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besitzt und das Vorzeichen wechselt. Wenn dies geschieht, muss man die Fläche in 2 Teilflächen
zerlegen und die Beträge der bestimmtem Integrale addieren.
Bei der Berechnung des bestimmten Integrals spielt die Konstante c keine Rolle, weil sie sich durch
die Differenzbildung aufhebt.
6.4.1
Beispiel
Zu berechnen ist die gesamte gekennzeichnete Fläche, die
die Funktion f ( x ) = − ( x − 3) + 1 mit der x-Achse im
2
Intervall [ 0,3] bildet.
Weil die Funktionswerte bei x = 2 das Vorzeichen
wechseln, wird die Gesamtfläche in 2 Teilflächen zerlegt.
∫ ( − ( x − 3)
2
A1 =
2
0
∫ ( − ( x − 3)
3
A2 =
2
2
)
+ 1 dx und
)
+ 1 dx
Zum Berechnen der Stammfunktion muss man die
Funktion ausmultiplizieren und anschließend gliedweise
integrieren. Der negative Wert wird durch das vorgestellte
Minus berücksichtigt.
2
2
 1

A1 = − ∫ ( − x + 6 x − 8 ) dx = −  − x3 + 3x 2 − 8 x  =
 3
0
0
2



 1 3


 20 
= −  − 2 + 3 ⋅ 2 2 − 8 ⋅ 2  − ( 0 )  = −  − 
3  3 
 F ( 0) 
 (2)
F




Entsprechend erhält man für:
3
3
 1

A2 = ∫ ( − x + 6 x − 8 ) dx =  − x3 + 3x 2 − 8 x  =
 3
2
2
2



 1 3



1
18  20  2
=  − 3 + 3 ⋅ 32 − 8 ⋅ 3 −  − 23 + 3 ⋅ 22 − 8 ⋅ 2   = − −  −  =
3 3 3  3  3
 
 F (3)
F (2)



Die Gesamtfläche erhält man als Summe der Teilflächen:
A1 + A2 =
20 2 22
+ =
≈ 7,33
3 3 3
In ähnlicher Weise kann auch die in einem Intervall zwischen 2 Graphen liegende Fläche berechnet
werden, wobei beachtet werden muss, dass sich die Graphen im Intervall nicht schneiden dürfen. Es
gilt:
b
A = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
a
- 95 -
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Das Integral liefert einen positiven Wert, wenn f ( x ) oberhalb von g ( x ) verläuft. Der Wert des
Integrals bleibt auch dann positiv, wenn das Flächenstück selbst unterhalb der x-Achse liegt oder
teilweise unterhalb.
In der nachfolgenden Tabelle sind die Stammfunktionen einiger Funktionen zusammengestellt:
Achtung Witz
Die Abkürzung O.B.d.A. heißt eigentlich „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ und bedeutet, dass
nur ein Spezialfall der Behauptung zu beweisen ist. Viele Studenten haben sich über den oft
inflationären Gebrauch dieser Abkürzung lustig gemacht, indem sie neue Bedeutungen erfunden
haben:
ohne Bedeutung für die Allgemeinheit
ohne Begründung der Annahme
ohne Berücksichtigung der Anfängerstudenten
offensichtlich bedingt durch Alkoholeinfluss
Achtung Witz
Der BWLer sagt: Wozu muss ich denn wissen was ein Funktionenpaar ist? So was kauf‘ ich mir ein."
- 96 -
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Stammfunktionen wichtiger Funktionen
x n +1
∫ x dx = n + 1 + c
Potenzregel
n
∫ e dx = e
x
∫ sin x
∫
2
x
1
∫ sin
 arcsin x + c1
dx = 
1 − x2
− arccos x + c2
1
2
x
∫ cosh x
dx = tanh x + c
∫ sinh
x +1
1
2
x −1
6.4.2
dx = − cot x + c
x
dx = cosh x + c
1
2
2
 arctan x + c1
1
=
dx

∫ 1 + x2
− arc cot x + c2
1
∫ cosh
∫
ax
∫ a dx = ln a + c
∫ cos x dx = sin x + c
x
dx = tan x + c
∫ sinh x
∫
+c
dx = − cos x + c
1
∫ cos
x
1
∫ x dx = ln x + c
n ≠ −1
1
2
x
dx = sinh x + c
dx = − coth x + c
dx = arsin h x + c = ln x + x 2 + 1 + c
dx = arcos h x + c = ln x + x 2 −1
+c
x >1
Aufgaben zu Stammfunktionen
Bestimmen Sie Stammfunktionen zu folgenden Funktionen:
a. f ( x ) = x5
d. f ( x ) = 3e x
g. f ( x) =
1
b. f ( x ) = 3 x 3
e. f ( x ) = 3e2 x
c. f ( x ) = 3sin ( x ) − 4 cos ( x )
f. f ( x ) = 3 xe2 x
8 x3 − 6 x
2x4 − 4x2
6.4.3
Aufgaben zu Flächenberechnungen
1
a. Gegeben ist die Funktion: f ( x ) = x 2 Zu bestimmen ist die Fläche, den der Graph mit der x4
Achse in dem Intervall [ 2, 4] einschließt.
b. f ( x ) = 4 − x 2 Der Graph schließt mit der x-Achse ein Flächenstück der Größe A ein. Bestimmen
Sie A.
c. Gegeben sind die beiden Funktionen f ( x ) = − x 2 und die Funktion g ( x ) = ax 2 − 1, a > 0 .
Bestimmen Sie a so, dass die eingeschlossene Fläche den Wert
2
annimmt.
3
Achtung Witz
Ein Statistiker ist jemand, der mit dem Kopf im Gefrierschrank und mit den Beinen im Backofen steckt
und sagt: ‘so meine Durchschnittstemperatur ist eigentlich optimal!‘"
- 97 -
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7 Einführung in die Vektorrechnung
Vektoren sind Rechengrößen, die besonders geeignet sind, physikalische Größen, bei denen es neben
dem Zahlenwert auch auf die Richtung ankommt, zu beschreiben. Dazu gehören Kräfte, Wege,
Geschwindigkeiten und viele weitere Größen.
Anschaulich kann man diese Größen durch Pfeile darstellen, wobei die Information über die Größe in
der Länge des Pfeiles steckt und die Richtung wird durch Winkel in der Ebene oder im Raum
beschrieben.
Zur mathematischen Unterscheidung von Größen, die durch einen Größenwert vollständig beschrieben
sind, - diese Größen nennt man Skalare-, bezeichnet man sie als Vektoren und kennzeichnet sie durch
einen symbolischen Pfeil über dem Buchstaben.
Beispiele: a b r F usw.
Ein Vektor a beschreibt alle Pfeile, die gleiche Länge und gleiche Richtung besitzen.
a
Besonders hilfreich zur Beschreibung von Vektoren ist das rechtwinklige kartesische
Koordinatensystem.
7.1 Komponentendarstellung von Vektoren
Bekannt ist die Beschreibung der Lage eines Punktes in der Ebene durch seine Koordinaten P ( x ; y ) .
Im dreidimensionalen Anschauungsraum kommt eine 3. Angabe zur Lagebeschreibung hinzu.
z
y
Man kann sich die Achsen des
Koordinatensystems in die Ecke eines Würfels
gelegt denken.
x, y –Achsen bilden die Bodenfläche
x, z – Achsen bilden die linke Seitenfläche
y, z –Achsen bilden die Rückfläche
Jeder Punkt im Raum lässt sich so durch Angabe
der Koordinaten P ( x; y; z ) beschreiben, wobei
die Reihenfolge vorgeschrieben ist.
x
z1
P ( x1 ; y1 ; z1 )
y1
x1
- 98 -
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Der Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems ausgeht und am Punkt P endet, heißt
Ortsvektor zum Punkt P . Häufig verwendet man zur Darstellung der Vektoren die
Spaltenschreibweise, bei der die einzelnen Komponenten untereinander angeordnet sind:
 x
_____  
r = OP =  y  , x, y und z bilden hierbei die Koordinaten des Punktes P .
 z
 
Vektoren, die nicht im Koordinatenursprung beginnen, können als Differenzen der Koordinaten des
Endpunktes und des Anfangspunktes beschrieben werden.
So hat ein Vektor von einem Punkt A( xa ; ya ; za ) zu einem Punkt B ( xb ; yb ; zb ) die
 xb − xa 
→


Vektordarstellung: r = AB =  yb − ya 
z −z 
 b a
7.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Vielfachbildung von
Vektoren
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in jeder Komponente übereinstimmen.
Summe von Vektoren:
Vektor b parallel zu sich bis an die Spitze von a
verschiebt. c verbindet dann den Anfang von
a mit dem Ende von b .
c = a +b
Man erhält den Summenvektor c , indem man den
a
c
b
Regel:
Zwei Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten addiert.
1
 −2 
 1   −2  1 + ( −2 )   −1 
 
 
    
  
Beispiel: a =  5  und b =  3  Es wird: c = a + b = 5 + 3 =  5 + 3  = 8
   
 
 −4 
1
 −4   1   −4 + 1   −3 
 
 
    
  
Differenz von Vektoren:
Die Differenz zweier Vektoren lässt sich durch Einführung des Begriffs „Gegenvektor“ besonders
einfach erklären.
Gegenvektor: Zu jedem Vektor a gibt es einen Gegenvektor − a , der dieselbe Länge hat wie a , aber
in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
−a
a
In der Komponentendarstellung erhält jede Komponente einen Vorzeichenwechsel.
Die Differenz zweier Vektoren kann nun auf die Addition mit dem Gegenvektor zurückgeführt
werden.
( )
d = a − b = a + −b
Achtung Witz
"Er war ein virtueller Student. Eigentlich war er gar keiner mehr, aber er wusste es noch nicht. (Prof
über einen Studenten in der mündlichen Prüfung)
- 99 -
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University of Applied Sciences
Beispiel:
1
 −2 
 1   −2   1 − ( −2 )   1 
      
 

a =  5  und b =  3  d = a − b =  5  −  3  =  5 − 3  =  2 
 −4 
1
 −4   1   −4 − 1   −5 
 
 
    
  
d zeigt von der Pfeilspitze von b zur Pfeilspitze von a
d = a −b
a
b
Vektorkette:
Es oft notwendig, einen unbekannten Vektor durch andere bekannte darzustellen. Dabei hilft das
Bilden einer Vektorkette. Von einem beliebigen Startpunkt wählt man einen geschlossenen Weg über
beliebig viele Wege und addiert dabei alle betroffenen Vektoren, die im Umlaufsinn liegen und addiert
den Gegenvektor beim Durchlaufen gegen den Umlaufsinn. Die so gebildete Summe wird immer 0 .
Beispiel:
d
c
a
A
b
Vom Punkt A aus würde also eine Vektorkette so aussehen: b + c + d − a = 0 . Diese
Vektorgleichung kann nach jedem Vektor umgestellt werden.
Die S-Multiplikation (Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar)
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird der Skalar als Faktor mit jeder Komponente
des Vektors multipliziert.
 vx   c ⋅ vx 
  

w = c ⋅ v = c ⋅  v y  =  c ⋅ v y  Der so gebildete Vektor bleibt in der Richtung gleich oder nimmt bei
 v   c ⋅v 
z 
 z 
negativem Wert von c die Gegenrichtung an, in seiner Länge ändert sich der Vektor um das c-fache.
Für c = 0 erhält man den Nullvektor.
7.3 Der Betrag eines Vektors a
Der Betrag eines Vektors a oder in Kurzschreibweise a ist seine Länge. Ist der Vektor in
komponentenschreibweise gegeben, so lässt sich seine Länge durch Anwenden des Satzes von
Pythagoras berechnen:
 ax 
 
a =  a y  = ax2 + a y2 + az2 Bei Vektoren in der x,y – Ebene fällt die z-Komponente weg.
a 
 z
1
 
2
Beipiel: Gegeben ist a =  5  mit dem Betrag: a = 12 + 52 + ( −4 ) = 42
 −4 
 
- 100 -
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7.3.1
University of Applied Sciences
Aufgaben
1
2
 −3 
   
 
Gegeben sind die Vektoren: a =  5  , b =  3  und c =  4 
 −4 
 −1
6
 
 
 
Bestimmen Sie die folgenden Vektoren:
a.
d = a − 2b + 3c
b.
e = a ⋅b + b ⋅ a
Bestimmen Sie die Längen folgender Vektoren:
c.
f =b −a
d.
g = c + 3a
7.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren darf auf keinen Fall verwechselt werden mit der Multiplikation
eines Vektors mit einem Skalar. Hier handelt es sich um eine spezielle Multiplikation, die viele
Anwendungen gerade bei physikalischen Themen hat.
So gilt für die mechanische Arbeit die Beziehung:
W = Kraft ⋅Weg
Wenn man nur die reinen Zahlenwerte einsetzt, gilt diese Formel bekanntlich nur dann, wenn Kraft
und Weg in gleicher Richtung liegen. In jedem anderen Fall muss der zwischen der Kraft und dem
Weg liegende Winkel berücksichtigt werden, denn es leistet nur die Komponente der Kraft einen
Anteil zur Arbeit die in Richtung des Weges zeigt. Mathematisch entspricht die so beschriebene
Produktbildung dem Skalarprodukt der Vektoren „Weg“ und „Kraft“.
W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos (α ) , wobei α der zwischen den Vektoren liegende Winkel ist.
Beachte: Das Ergebnis der Skalarmultiplikation ist ein Skalar, kein Vektor.
Für die Berechnung des Skalarproduktes in Komponentenschreibweise gilt:
 ax   bx 
   
a ⋅ b =  a y  ⋅  by  = ax bx + a y by + az bz
 a  b 
 z  z
Verknüpft man beide Darstellungen, so erhält man eine Möglichkeit, den zwischen zwei Vektoren
liegenden Winkel zu berechnen.
a ⋅b
cos (α ) = a⋅b
Achtung Witz
Ein Priester, ein Physiker und ein Mathematiker stehen in der 13. Etage eines Hotels, als sie
bemerken, dass dieses brennt.
Da sie keine Fluchtmöglichkeit durch das brennende Treppenhaus finden, schauen sie zu Fenster raus
und entdecken zu ihrem Glück einen Swimming-pool.
Der Priester reißt das Fenster auf, lässt ein Stoßgebet ab und springt. Mitten in den Pool!
Der Physiker sieht, das er überlebt hat, stellt sich auf das Fenstersims, führt einige Berechnungen
durch und peilt den Pool Pi*Daumen an, springt und...
...landet mitten im Pool.
Als letzter steigt der Mathematiker auf den Fenstersims, rechnet, rechnet und rechnet. Die Flammen
kommen schon bedrohlich nahe, als er endlich springt, aber nach oben fällt!
Warum? VORZEICHENFEHLER
- 101 -
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7.4.1
University of Applied Sciences
Beispiel:
3
 −1 
   
a =  2  ; b =  3  , gesucht ist der eingeschlossene Winkel α :
 −5 
 
 
4
 3   −1
 2 ⋅ 3 
   
 −5   4 
3 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 3 + ( −5 ) ⋅ 4
−3 + 6 − 20
=
≈ −0,541
cos (α ) =     =
2
2
2
2
2
2
⋅
38
26
 3   −1
3 + 2 + 5 ⋅ ( −1) + 3 + 4
   
⋅
2
3
   
 −5   4 
   
α = arccos ( −0,541) = 122, 7°
Eine oft benötigte Anwendung des Skalarproduktes ist die Eigenschaft, dass es immer dann Null wird,
wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen, weil der cos (α ) Null wird.
7.4.2
Beispiel:
 3
 ; Bestimmen Sie einen Vektor der x,y -Ebene, der auf a senkrecht
 −2 
Gegeben ist der Vektor a = 
steht.
Es gibt unendlich viele Vektoren mit dieser Eigenschaft, weil der Betrag des Vektors nicht zu
berücksichtigen ist. Der gesuchte Vektor muss die Bedingung erfüllen, dass das Skalarprodukt null
wird. Daraus erhält man den Ansatz:
 bx 
 3   bx 
b =   und a ⋅ b =   ⋅   = 0 Jede Lösung der Gleichung 3 ⋅ bx + ( −2 ) ⋅ by = 0 liefert eine
 −2   by 
 by 
Lösung. Da in der Gleichung 2 Variablen stehen, kann eine davon beliebig gewählt werden und die
zweite ergibt sich in Abhängigkeit der gewählten.
 2
2
bx = by . Wählt man by = 3 erhält man für bx = 2 und der Vektor: b =  
3
 3
Bei Vektoren der Ebene findet man immer einen orthogonalen Vektor, indem man die Komponenten
vertauscht und eines der beiden Komponentenvorzeichen ändert.
Achtung Witz
Prof.. "Zwei auf einmal prüfe ich nicht!" (als eine schwangere Studentin den Prüfungsraum betritt)
- 102 -
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University of Applied Sciences
7.5 Das Vektorprodukt
Eine weitere wichtige Verknüpfung von Vektoren ist das sogenannte Vektorprodukt. Das Ergebnis
dieser Verknüpfung liefert im Gegensatz zum Skalarprodukt wieder einen Vektor. Andere
Bezeichnungen sind auch Kreuzprodukt oder äußeres Produkt.
Schreibweise: a × b = c
Eigenschaften des Vektorproduktes:
Der Ergebnisvektor c steht senkrecht zu beiden Vektoren a und b , aus denen er gebildet
wird, d.h. er steht senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
Seine Orientierung ergibt sich durch Rechtszuordnung, d.h. man bewegt a auf kürzestem Weg
nach b . Die Richtung von c liegt dann in Fortsetzung, wie bei einer rechtdrehenden
Schraube.
Der Betrag des Ergebnisvektors c ist eine Maßzahl, für das Parallelogramm, das von
a und b gebildet wird.
Aus dieser Beziehung folgt:
c = a × b = a ⋅ b ⋅ sin (α )
Die letztgenannte Eigenschaft wird auch als Nachweis dafür genutzt, wenn man überprüft, ob
2 Vektoren in gleicher Richtung verlaufen (kollinear sind). In diesem Fall wird nämlich kein
Parallelogramm aufgespannt und der Betrag des Vektorproduktes wird Null.
Das Vektorprodukt in Komponentenschreibweise sieht zunächst kompliziert aus, es lässt sich aber
mit Hilfe von Eselsbrücken einprägen.
 ax   bx   a y bz − az by 
    

a × b =  a y  ×  by  =  az bx − ax bz 
a  b  a b −a b 
y x
 z  z  x y
In jeder Zeile stehen nur Komponenten, die die Eckpunkte eines Rechtecks bilden, das man sich
über das Vektorprodukt legen kann.
 ax   bx 
   
a × b =  a y  ×  by 
 a   b  Die durch die Diagonale verbundenen Komponenten werden
 z  z
multipliziert, wobei man oben links beginnt und dann subtrahiert man die durch Multiplikation
verbundenen Komponenten der anderen Diagonalen. Das Rechteck wird anschließend um eins
nach unten verschoben, wobei die fehlenden Zahlenwerte ergänzt werden.
Am besten Schreibt man sich beide Vektoren doppelt untereinander und streicht jeweils die erste
und letzte Zeile, weil die nicht benötigt werden. Dann verschiebt man das Rechteck der Reihe
nach dreimal und notiert die jeweils entstehenden Differenzausdrücke.
ax
ay
az
ax
ay
az
bx
by
bz
bx
by
bz
→ a y bz − az by
→ az bx − ax bz
→ az by − a y bz
- 103 -
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7.5.1
University of Applied Sciences
Beispiel
3
 −1
 
 
Zu bilden ist das Vektorprodukt der Vektoren: a =  2  und b =  3 
 −5 
4
 
 
3 −1
2 3
2 ⋅ 4 − ( −5 ) ⋅ 3 = 23
 23 
−5 4
 
c = a × b =  −7 
( −5 ) ⋅ ( −1) − 3 ⋅ 4 = −7
3 −1
 11 
 
2 3
3 ⋅ 3 − 2 ⋅ −1 = 11
−5
7.5.2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
( )
4
Aufgaben
 2
 −2 
 0
     
Gegeben sind die Vektoren: u =  1  , v =  5  , w =  1 
 4
0
 3
 
 
 
Berechnen Sie u × v und v × u , was fällt auf?
Berechnen Sie v × w
Berechnen Sie Fläche, des von den Vektoren u und w aufgespannten Parallelogramms
Berechnen Sie ( u × v ) × ( u × w )
Berechnen Sie u × ( v × w ) , was fällt auf?
Bestimmen Sie die Zahl k so, dass die Vektoren orthogonal sind
k
 3
 
 
r =  2  und s =  2k 
1
 
 
k 
Ein Schrägaufzug wird durch ein Drahtseil bewegt. Die auf das Seil wirkende Kraft lässt sich
 6
 
durch den Vektor F =  2  kN ausdrücken. Der tiefste Punkt liegt bei Pu ( 550; 300; 150 )
 3
 
der höchste Punkt bei Po = ( 670; 350; 200 ) . Die Angaben der Punkte sind in Meter und
h)
beziehen sich auf einen Vermessungspunkt.
Welche Arbeit wird für eine Aufzugsfahrt verrichtet?
A (1;3; 4 ) , B ( −2; 2;5) und C ( 4;6;3) bilden die Punkte eines Dreiecks im Raum.
- Drücken Sie die Seiten des Dreiecks durch Vektoren aus
-Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes
-Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck
Achtung Witz
Prof an Bushaltestelle zu Studenten: "Hätte ich gewusst, dass ihre drei Nachfolger noch blöder sind
als Sie, wären Sie nicht durchgefallen!"
- 104 -
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8 Physik
8.1 Volumen, Masse, Dichte, Einheiten
Flächen- und Körperberechnungen
Rechtecke:
A = a ⋅b
Dreiecke:
A=
g
⋅h
2
g: Grundseite, h Höhe auf g
Trapez:
A=
a+b
⋅h
2
a, b: die parallelen Seiten, h Abstand von
a, b
Seitenlängen
a bis b
Kreis:
A=
d ² ⋅π
4
d: Durchmesser des Kreises
U = d ⋅π
Kreisring:
A=
( D ² − d ²) ⋅ π
4
D: äußerer Durchmesser, d innerer
Durchmesser
Würfel:
V = a³
a: Kantenlänge
O = 6 ⋅ a²
Quader:
V = a ⋅b⋅h
Zylinder:
V=
a,b: Seitenlängen der Grundfläche,
h: Höhe des Quaders
O = 2 ⋅ ( a ⋅ b + a ⋅ h + b ⋅ h)
O=
Rohr:
V=
d ² ⋅π
⋅h
4
d: Durchmesser des Zylinders
d ² ⋅π
+ d ⋅π ⋅ h
2
(d a − 2 ⋅ s )² ⋅ π
⋅l
4
Vcu = ( d a2 − d i2 ) ⋅
π
4
h: Höhe des Zylinders
O ist die Oberfläche des Zylinders mit
Boden und Deckel
d a Außendurchmesser,
s Wandstärke
V Innenvolumen des Rohres
⋅l
Vcu Volumen des Kupfers
l ist die Länge des Rohres
- 105 -
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Beispiel:
Ein Kupferrohr ist 10 m lang, sein Außendurchmesser ist 28 mm und die Wandstärke beträgt 1,5 mm.
Die Dichte von Kupfer ist ρ = 8, 9
Fließgeschwindigkeit von 8
a.
b.
c.
d.
e.
Lösung:
a.
kg
. Durch das Rohr strömt Wasser mit einer
dm 3
m
. Folgende Fragen sollen beantwortet werden:
s
Wie viel Liter Wasser sind im Rohrinnern?
Wie groß ist das Leergewicht des Rohres?
Wie groß ist das Gesamtgewicht des Rohres?
Wie groß wird die Oberfläche des Rohres?
Welches Wasservolumen in m3 wird in einer Stunde transportiert?
Das Rohrinnere stellt einen Zylinder dar, mit dem Durchmesser
di = 28 mm − 2 ⋅1,5 mm = 25 mm und der Höhe h = 10 m .
V=
di2 ⋅ π
⋅ h . Die Einheiten werden auf dm umgerechnet, damit das Ergebnis in Liter
4
( dm3 )
entsteht.
2
0, 25 dm ) ⋅ π
(
⋅100 dm = 4,91 Liter
V=
4
b.
Man benötigt zunächst das Volumen des Kupfers, das durch die Wandstärke und
Rohrlänge gebildet wird.
Vcu = ( d a2 − d i2 ) ⋅
= 1, 249 dm
π
4
(
2
2
3
m = V ⋅ ρ = 1, 249 dm3 ⋅ 8,9
c.
) π4 ⋅100 dm
⋅ l = ( 0, 28 dm ) − ( 0, 25 dm ) ⋅
kg
= 11,114 kg
dm3
Zum Leergewicht des Rohres kommt die Masse des Wassers hinzu. Mit der Dichte von
Wasser ρ = 1
kg
müssen 4,91 kg addiert werden. Das Gesamtgewicht ist also
dm3
16, 024 kg
d.
Die Oberfläche des Rohres wird ein Rechteck, dessen Seiten der Umfang des Rohres und
seine Länge bilden.
O = d ⋅ π ⋅ l = 0, 28 dm ⋅ π ⋅100 dm = 87,96 dm2
e.
Der Volumenstrom der Flüssigkeit ist mit der Fließgeschwindigkeit und der inneren
Querschnittsfläche des Rohres verknüpft durch die Formel:
2
0, 25 dm ) ⋅ π m
(
dm
dm3
⋅ 8 = 0, 0491 dm 2 ⋅ 80
= 3,927
V = A⋅ w =
.
4
s
s
s
.
V = V ⋅ t = 3, 927
dm3
⋅ 3600 s = 14137, 2 dm3 = 14,137 m3
s
Achtung Witz
Prof.: "Bei Ihnen geht's beim einen Ohr rein, und beim anderen raus. Und da ist nichts dazwischen,
dass es aufhalten könnte."
- 106 -
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8.1.1
Aufgaben
a.
Ein Rohr mit dem Innendurchmesser d i = 22mm besitzt eine Länge von l = 16m .
1
2
3
Welche Querschnittsfläche hat das Rohr in mm 2 ?
Welches Rohrvolumen besitzt das Rohr in Litern?
Welche Oberfläche in m 2 besitzt das Rohr bei d = 1 mm ?
b.
Die Oberfläche eines Rohres soll 1,4 m 2 betragen bei einem Rohraußendurchmesser
d a = 12mm .
Welche Länge hat das Rohr?
c.
In einem senkrecht stehenden Rohr mit dem Innendurchmesser d i = 120mm steht eine
Flüssigkeit bis auf eine Höhe von 14,6m.
Welche Flüssigkeitsmenge in m3 ist dort vorhanden.
d.
Ein Rohr mit der Länge l = 2, 4m soll ein Volumen von 0, 6dm3 besitzen. Welchen
Innendurchmesser besitzt das Rohr?
e.
Die Masse eines Körpers bestimmt man mit der Formel: m = V ⋅ ρ , wobei ρ die Dichte des
Körpers bedeutet.
1. Bestimmen Sie die Masse eines Rohres mit dem Innendurchmesser d i = 22mm , der
Wandstärke 1 mm und der Länge l = 25m , wenn ρ = 8,9
kg
beträgt.
dm3
2. Bestimme die Gesamtmasse des Rohres, wenn es mit Flüssigkeit der Dichte ρ = 0,83
f.
kg
dm3
gefüllt ist.
Ein Rohr mit dem Innendurchmesser d i = 28mm soll ersetzt werden durch zwei Rohre, die
zusammen die gleiche Querschnittsfläche besitzen wie vorher das eine Rohr. Welcher
Durchmesser benötigt mindestens das 2. Rohr, wenn das eine 15mm Innendurchmesser hat?
Achtung Witz
.
Student: „Ich gehe jetzt ein Byte trinken. Das sind 8 Bit."
- 107 -
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8.2 Kraft, Druck
Die Kraft ist eine wichtige physikalische Größe. Sie ist das Produkt aus der Masse eines Körpers und
der an ihr wirkenden Beschleunigung. Die Einheit der Kraft ist das Newton, wobei die Kraft 1 Newton
vorliegt, wenn an einem Körper mit der Masse 1 kg die Beschleunigung 1
Newton wird damit: 1 N = 1
kg ⋅ m
s2
m
wirkt. Die Einheit
s2
In vielen Fällen wird die Beschleunigung durch die Anziehungskraft der Erde bewirkt. Man redet dann
von der Gewichtskraft einer Masse, wobei zu beachten ist, dass diese nicht an allen Stellen der Erde
gleich ist.
Je nach benötigter Genauigkeit wird der Faktor g entweder mit g = 9,81
überschlägigen Rechnen mit g ≈ 10
m
gerechnet oder beim
s2
m
.
s2
Beispiel:
Eine Masse von 70 kg erfährt auf der Erdoberfläche eine Kraft von
m
= 686, 7 N
s2
Wirkt eine Kraft F auf eine Fläche A , so entsteht dort ein Druck p , dessen Einheit das Pascal
F
Pa ist. Es gilt: p = , damit ist 1 Pascal der Druck, wenn die Kraft von 1 Newton auf die Fläche von
A
2
1 m wirkt. Anschaulich ist das in etwa der Druck einer Tafel Schokolade, die auf die Fläche von
F = m ⋅ g = 70 kg ⋅ 9,81
1 m2 verteilt ist. Für viele Druckangaben vor allem bei Drücken in Gasen benutzt man die Einheit
bar , wobei die Zuordnung gilt: 1bar = 100 000 Pa .
Beispiel:
Eine Maschine hat die Masse m = 2, 7 t , die gleichmäßig verteilt auf 4 Standfüße die Bodenfläche
belasten. Jeder Fuß ist kreisförmig mit einem Durchmesser von 5 cm . Welcher Druck wird dadurch
auf den Bodenbelag unter einem Fuß ausgeübt.
m
F m⋅ g 1
s 2 = 1 ⋅ 26487 N = 3378443, 9 Pa ≈ 33,8 bar
Lösung: p = =
= ⋅
2
4 ( 0, 05m ) ⋅ π
4 0, 00196 m 2
A
A
2700kg ⋅ 9,81
4
Vergleicht man damit den Druck unter dem Stöckelabsatz eines Damenschuhs mit einer
angenommenen Fläche von A = 0,5 cm 2 und einer angenommenen „Masse“ von 65 kg so erhält man:
m
s 2 = 13537800 ≈ 135, 4 bar
p=
0, 00005 m 2
65kg ⋅ 9,81
Für den Bodenbelag bildet der Stöckelabsatz also eine fast vierfach größere Belastung
Man muss auch unterscheiden zwischen den Drücken bei festen Körpern, in Flüssigkeiten und in
Gasen.
Die wichtigsten Eigenschaften sind im Folgenden zusammengestellt:
- 108 -
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Druck entsteht durch eine Kraft auf eine Fläche. Es gibt aber Unterschiede in der Druckausbreitung.
a. bei festen Körpern:
Der Druck entsteht nur im Körper und breitet sich nur unter dem Körper
aus, wenn von oben eine Kraft einwirkt.
b. bei Flüssigkeiten:
A
B
Der Druck, der in einer Flüssigkeit erzeugt wird, ist an
jeder Stelle der Flüssigkeit vorhanden.
Die Querschnitte spielen für die Druckfortpflanzung
keine Rolle.
Deshalb kann man auch mit dünnen Rohren den Druck
für eine hydraulische Kraftübertragung nutzen.
Wird in A ein Druck erzeugt, dann
pflanzt sich der Druck in der ganzen
Flüssigkeit aus.
Prinzip der hydraulischen Kraftübertragung
Auf der rechten Seite wird durch eine Kraft auf die kleine Kolbenfläche B ein großer Druck in der
Flüssigkeit erzeugt, der sich in der gesamten Flüssigkeit fortpflanzt und mit der großen Kolbenfläche
A eine große Kraft bildet. Die an der Stelle B verdrängte Flüssigkeit entspricht dem Anheben an der
Stelle A.
Beispiel:
An der Stelle B wird der Kolben eines Zylinders mit dem Durchmesser d = 1 cm beaufschlagt. Der
Kolben wird dadurch 5 cm nach unten bewegt.
Fragen: Welche Kraft wird bei A wirksam und wie hoch steigt der Kolben?
Lösung: Auf der rechten Seite wird ein Druck erzeugt: p =
F
100 N
=
= 1273239 Pa
A ( 0, 01m ) 2 ⋅ π
4
Dieser Druck pflanzt sich fort über die Flüssigkeit in dem System und bewirkt am Kolben A eine
Kraft:
2
0, 05m ) ⋅ π
(
F = p ⋅ A = 1273239 Pa ⋅
4
= 2500 N
Das Volumen der verdrängten Flüssigkeit ist gleich dem Volumen der anhebenden Flüssigkeit, also
gilt: A1 ⋅ h1 = A2 ⋅ h2 und umgestellt nach h2 : h2 =
A1 ⋅ h1
=
A2
2
( 0, 01 m ) ⋅ π ⋅ 5 cm
4
2
( 0, 05 m ) ⋅ π
4
= 0, 2 cm
Die in Rohren vorhandene Flüssigkeit erzeugt durch ihre eigene Gewichtskraft einen eigenen Druck,
der nur abhängig ist von der Dichte der Flüssigkeit und der Höhe der darüberliegenden
Flüssigkeitssäule. Dieser Druck heißt „hydrostatischer Druck“, phyd = ρ ⋅ g ⋅ h .
So taucht die Masse Schiff genau soweit in die Flüssigkeit Meer, bis die durch den hydrostatischen
Druck auf die Bodenfläche ausgeübte Kraft gleich groß ist mit der Gewichtskraft des Schiffes.
Der hydrostatische Druck wirkt dann als Auftriebskraft für das Schiff und es gilt:
- 109 -
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ρ Fl ⋅ g ⋅ h ⋅ ASchiff = mSchiff ⋅ g = FAuftrieb
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit:
8.2.1
Beispiel:
Eine rechteckförmige Kiste mit der Bodenmaßen 1, 2 m × 2, 4 m soll in Wasser nicht tiefer als
10 cm sinken. Welche Masse darf die Kiste haben.
Lösung: mKiste =
8.2.2
a.
b.
ρ ⋅ g ⋅h⋅ A
g
= ρ ⋅ h ⋅ A = 1000
kg
⋅⋅0,1 m ⋅1, 2m ⋅ 2, 4m = 288kg
m3
Aufgaben
Eine zylindrische Dose mit dem Durchmesser 12 cm besitzt die Masse 800 g. Wie tief
wird die Dose in Wasser eintauchen?
Ein Kolben mit dem Durchmesser 20 cm soll eine Last m = 2t 5cm hochheben. Der
zweite Kolben soll durch die Gewichtskraft eines Menschen ( m = 60kg ) bewegt werden.
Welchen Kolbendurchmesser benötigt der 2. Kolben und wie hoch wird der Hub dieses
Kolbens sein?
c. bei Gasen
Bei Gasen breitet sich der Druck nach allen Seiten
gleichzeitig aus. eine Kraft Wird durch Kraft auf einen
Kolben das Volumen des eingeschlossenen Gases
verkleinert, so gelten bei dieser Einflussnahme die
Gasgesetze, dass heißt, Druck, Temperatur und
Volumen stehen in einem festen Zusammenhang.
Diese Gesetzmäßigkeiten sollen an dieser Stelle nicht
weiter verfolgt werden.
8.2.3
a)
b)
c)
d)
e)
Aufgaben
Der Kolben eines Verdichters hat einen Durchmesser von 110 mm und übt eine Kraft von
13304,6 N aus. Welcher Druck in bar entsteht im Zylinder?
Der Arbeitskolben einer Hydraulikhebebühne hat einen Durchmesser von 35 cm und soll eine
Last von
15000 kg anheben. Mit welchem wirksamen Überdruck muss er beaufschlagt werden.
Eine Kälteanlage kühlt Sole. deren Dichte 1,12 kg/dm³ betragen muss. Um diese Dichte zu
überprüfen, wird ein Aräometer aus einer teilweise mit Sand gefüllten Flasche gebaut. Die
gefüllte Flasche wiegt genau 1 kg und hat einen Außendurchmesser von 9 cm. Wie tief wird die
Flasche in der Sole einsinken, bei der angegebenen Dichte der Sole?
Ein Differenzdruckventil soll bei einer Druckdifferenz von 1,5 bar öffnen. Welchen wirksamen
Durchmesser muss die Absperrkugel haben, wenn sie von einer Feder mit 11,78 N
Vorspannkraft gehalten wird?
Wie groß wird die Kraft F auf ein Schauglas in der Flüssigkeitsleitung, wenn das Glas den
Durchmesser 2,5 cm besitzt und der Druck p = 15 bar beträgt.
Achtung Witz
Prof.: "Mit der Unendlichkeit ist das so eine Sache in der Mathematik. Endlospapier ist auch
nicht unendlich, das habe ich selbst mal geprüft."
- 110 -
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8.3 Arbeit und Leistung
Die Begriffe Arbeit und Leistung können bei physikalischen Fragestellungen in unterschiedlichen
Formen auftreten, je nachdem in welchem Teilgebiet die Aufgabenstellung vorkommt.
8.3.1
Mechanische Arbeit
Wirkt eine Kraft längs eines Weges, so wird Arbeit verrichtet, die man mit der Grundformel:
W = F ⋅ s berechnen kann, wenn Kraft und Weg gleiche Richtung haben. Ist dies nicht der Fall, darf
nur der Teil der Kraft verwendet werden, die in Kraftrichtung liegt.
8.3.1.1 Beispiel:
Eine Masse m = 200kg soll auf einer schiefen Ebene, deren Steigungswinkel α = 30° beträgt
reibungslos den Weg s = 10m bewegt werden.
-
Welche Arbeit wird dabei verrichtet?
Welche Höhe hat die Masse erreicht?
Lösung:
Eine Skizze verdeutlicht den Zusammenhang zwischen dem Steigungswinkel und den Teilkräften.
Hangabtriebs
kraft FH
α = 30°
Fp
Senkrecht wirkt die Gewichtskraft
FG , die sich in zwei zueinander
senkrechte Teilkräfte zerlegen lässt.
In die Hangabtriebskraft FH , die
gegen die Bewegungsrichtung wirkt
und die Kraft Fp senkrecht auf die
Ebene, welche den Druck auf die
Fläche bewirkt.
Fg
Der Winkel α = 30° taucht auch in dem von den Kräften gebildeten rechtwinkligen Dreieck auf. Es
gilt darin die Beziehung:
1
FH
⇔ FH = Fg ⋅ sin 30° = ⋅ Fg
2
Fg
m
1
1
Fg = m ⋅ g = 200kg ⋅ 9,81 2 = 1962 N und FH = ⋅ Fg = ⋅1962 = 981N
s
2
2
sin 30° =
Über den Schiebeweg von 10m wird gegen diese Kraft Arbeit verrichtet, also:
W = 981N ⋅10m = 9810 Nm
Bemerkung: Für die Einheit Newtonmeter ist auch der Begriff Joule möglich oder Wattsekunde. Es
gilt also für das Umrechnen von Einheiten:
1 Nm = 1 J = 1 Ws
1 Newtonmeter = 1 Joule = 1 Wattsekunde
Für die erreichte Höhe muss ebenfalls wieder ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet werden:
10m
Höhe h
Es gilt
sin 30° =
- 111 -
h
⇔ h = 10m ⋅ sin 30° = 5m
10m
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Die Arbeit, die beim Verschieben des Körpers verrichtet wurde, entspricht seiner potentiellen Energie,
die er nun auf Grund seiner neuen Höhenlage erhalten hat.
Wpot = m ⋅ g ⋅ h = 200kg ⋅ 9,81
m
⋅ 5m = 9810 Nm
s2
Sieht man von einer Reibung ab, kann man diese Energie der Lage wieder restlos in kinetische, also
Bewegungsenergie umwandeln:
Wkin =
1
⋅ m ⋅ v2
2
Damit lässt sich nun die Geschwindigkeit v bestimmen, die der Körper beim reibungslosen
herabrollen von der Ebene erreicht, wenn er unten ankommt. Potentielle Energie und kinetische
Energie müssen gleich sein:
1
Wpot = Wkin ⇔ 9810 Nm = ⋅ m ⋅ v 2
2
kg ⋅ m
⋅m
2
m
km
2 ⋅ 9810 Nm
3600 km
= 98,1 s
≈ 9,90 = 9,90 ⋅
= 35, 64
v=
kg
s
h
200kg
1000 h
1
1
km ist und 1s =
h
Beim Umrechnen der Einheiten wurde berücksichtigt, dass 1m =
1000
3600
Der Begriff Arbeit oder Energie ist grundsätzlich ohne den Begriff der Zeit zu sehen. wird eine Arbeit
auf eine bestimmte Zeit bezogen erhält man den Begriff Leistung:
P=
W
.
t
Soll im obigen Beispiel das Hochschieben der Masse innerhalb von 20 Sekunden erfolgen, so muss
dafür folgende aufgebracht werden:
P=
9810 Nm 9810Ws
=
= 490,5W
20 s
20 s
8.3.1.2 Aufgaben:
a.
b.
c.
Ein Radfahrer will eine Bergstrecke mit einer durchschnittlichen Steigung von 9% und
einer Länge von 6 km mit einer Leistung von 350W fahren. Wie lange dauert seine
Bergauffahrt, wenn man die Masse (einschließlich Fahrrad) mit 80 kg ansetzt?
Bei einem Fahrstuhl, der im vollbesetzten Zustand eine Masse von 1200 kg besitzt, soll
die Höhe von 20 m innerhalb von 30s bewältigt werden. Welche Leistung muss der
Motor dafür aufbringen.
Ein Motor mit der Abgabeleistung an der Welle P = 800W zieht reibungslos über eine
schiefe Ebene mit dem Steigungswinkel α = 45° eine Masse m = 170kg auf eine Höhe
von 3 m. Wie lange dauert der Vorgang?
Neben der potentiellen Energie und der kinetischen Energie gibt es weitere Möglichkeiten zur
Beschreibung von Energien.
So wird durch eine Kraft eine Feder verlängert, wobei das Ausmaß der Auslenkung natürlich von der
Feder selbst abhängt und durch eine Federkonstante zu berücksichtigen ist. In vielen Fällen gilt dass
„Hookesche Gesetz“, das aussagt, dass die Auslenkung proportional zur Kraft erfolgt. Als Formel
bekannt in der Form:
- 112 -
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F = D ⋅ s , wobei D die Federkonstante ist in der Einheit
N
oder davon abgeleitete Einheiten
m
N N
,
. Die in einer Feder gespeicherte Energie lässt sich bei einfachen Federn bestimmen durch
cm mm
1
die Formel: W = ⋅ D ⋅ s 2 .
2
8.3.1.3 Beispiel:
Eine Feder mit der Konstanten D = 600
N
wird durch eine Masse m = 25kg ausgelenkt. Zu
m
bestimmen ist die Auslenkung der Feder und die dadurch gespeicherte Energie.
Lösung:
F
F = D⋅s ⇔ s = =
D
W=
25kg ⋅ 9,81
600
N
m
m
s 2 = 0, 409m
1
1
N
⋅ D ⋅ s 2 = ⋅ 600 ⋅ 0,167 m 2 = 50,12 Nm
2
2
m
8.3.1.4 Aufgaben:
a.
b.
Wie groß ist die Federkonstante einer Feder, wenn eine Masse von 3 kg eine Auslenkung
von 8 cm bewirkt.
Die Pufferfeder eines Eisenbahnwagens wird durch die Kraft 12 kN um 32 mm
zusammengedrückt. Bestimmen Sie die Federkonstante und geben Sie die Kraft an, die
die Feder um 10 mm zusammendrückt?
c.
Zwei gleiche Federn mit der Konstanten D = 0, 242
N
werden auf unterschiedliche
cm
Weise belastet. mit einer Masse m = 300 g belastet.
- Welche Auslenkung ergibt sich, wenn die Masse an eine Feder gehängt wird?
- Welche Auslenkung ergibt sich, wenn die beiden Federn parallel verbunden genutzt
werden?.
- Welche Auslenkung ergibt sich, wenn die Federn hintereinandergehängt benutzt
werden?
In der Wärmelehre führt eine Energiezufuhr zu einem Temperaturanstieg, wobei folgende Formel gilt:
W = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ . In dieser Formel ist c die spezifische Wärmekapazität in der Einheit
kJ
, also
kg ⋅ K
Kilojoule pro Kilogramm und Kelvin. ∆ϑ ist die Temperaturerhöhung.
Die spezifische Wärmekapazität gibt als die Energiemenge an, die man einem Kilogramm eines
Stoffes zuführen muss, um seine Temperatur um 1 K zu erhöhen.
8.3.1.5 Beispiel
5kg Wasser mit der spezifischen Wärmekapazität cWasser = 4,19
kJ
werden ausgehend von der
kg ⋅ K
Temperatur ϑ1 = 15°C mit einer Heizleistung von P = 840W 20 Minuten aufgeheizt. Welche
Temperatur besitzt das Wasser nach dieser Zeit?
- 113 -
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Lösung:
Die zugeführte Energie ist W = P ⋅ t = 840W ⋅ 20 min = 840W ⋅ 20 ⋅ 60 s = 1008000Ws = 1008kJ
W
1008kJ
=
= 48,1K
m ⋅ c 5kg ⋅ 4,19 kJ
kg ⋅ K
Die Temperaturerhöhung beträgt also 48,1°C und damit erreicht das Wasser die Temperatur von
ϑ2 = 15°C + 41,1°C = 63,1°C
∆ϑ =
Bemerkung: Da die Kelvinskala und die Celsiusskala gleiche Schrittweite besitzen, ergeben sich für
Temperaturdifferenzen gleiche Zahlenwerte und man kann Kelvin oder Celsiuseinheiten hierfür
benutzen.
8.3.1.6 Aufgaben:
a.
Kupfer besitzt die spezifische Wärmekapazität cCu = 0,385
kJ
und Aluminium den
kg ⋅ K
kJ
. Es wird jeweils 1kg derselben Ausgangstemperatur
kg ⋅ K
ϑ1 = 20°C mit einer Heizleistung von P = 500W über eine Zeit von 10 min aufgeheizt.
Wert cAl = 0,9
b.
Stellen Sie eine Vermutung an über die Endtemperaturen und rechnen Sie nach.
Welche elektrische Leistung benötigt ein Warmwassergerät, das in der Lage sein soll,
5kg Wasser innerhalb von 8 min von ϑ1 = 15°C zum Sieden zu bringen?
Achtung Witz
Prof.: "Dieses Semester ist so schlecht in Mathe, dass sicher 90% dieses Jahr durchfallen werden."
Ein Student im Hintergrund: "Aber so viele sind wir doch gar nicht!"
- 114 -