SBP Mathe Grundkurs 1 Mengenoperationen

SBP Mathe Grundkurs 1
#0
by Clifford Wolf
#0
Antwort
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SBP Mathe Grundkurs 1
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SBP Mathe Grundkurs 1
#1
by Clifford Wolf
#1
x ∈ A,
A ⊆ B,
A ⊂ B,
Mengenoperationen
SBP Mathe Grundkurs 1
#2
by Clifford Wolf
Logische Operationen
SBP Mathe Grundkurs 1
#3
natürliche Zahlen
by Clifford Wolf
Antwort
x∈
/A
A 6⊆ B
A 6⊂ B
x ist (nicht) Element von A.
A ist (nicht) Teilmenge von B.
A ist (nicht) echte Teilmenge von B.
A∩B
A∪B
A\B
=
=
=
{x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
{x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
{x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
A×B
=
{(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
#2
A⇔B
A⇒B
A∧B
A∨B
¯B
A∨
¬A
∀A : B
∃A : B
#3
=
=
=
Schnittmenge
Vereinigungsmenge
Differenzmenge
=
Produktmenge
Antwort
Äquivalenz
Implikation
Konjunktion
Disjunktion
Antivalenz
Negation
Allquantor
Existenz
(gleichbedeutind mit)
(daraus folgt)
(und)
(oder)
(ungleich, entweder-oder)
(nicht)
(fuer alle A gilt B)
(es gibt ein A fuer das B gilt)
Antwort
N = {0, 1, 2, 3, ...}
(N? = {1, 2, 3, ...})
SBP Mathe Grundkurs 1
#4
by Clifford Wolf
#4
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
ganze Zahlen
SBP Mathe Grundkurs 1
#5
Antwort
(Z− = {..., −3, −2, −1})
by Clifford Wolf
#5
Antwort
Q=
rationale Zahlen
nz
n
|z ∈ Z, n ∈ N?
o
Q+ = {q|q ∈ Q, q > 0}
Q− = {q|q ∈ Q, q < 0}
SBP Mathe Grundkurs 1
#6
by Clifford Wolf
#6
R = alle Zahlen auf der Zahlengerade
reelle Zahlen
SBP Mathe Grundkurs 1
#7
Antwort
−
Untermengen: R+ , R− , R+
0 , R0
by Clifford Wolf
Assoziativgesetze
(Addition und Multiplikation)
#7
Antwort
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
SBP Mathe Grundkurs 1
#8
by Clifford Wolf
#8
a+b=b+a
Kommutativgesetze
(Addition und Multiplikation)
SBP Mathe Grundkurs 1
#9
by Clifford Wolf
a·b=b·a
#9
Distributivgesetz
der Multiplikation
SBP Mathe Grundkurs 1
# 10
# 11
Antwort
a · (b + c) = a · b + a · c
by Clifford Wolf
# 10
Äquivialenzumformungen
der Multiplikation
SBP Mathe Grundkurs 1
Antwort
by Clifford Wolf
Äquivialenzumformungen
der Addition
Antwort
a·b=c ⇔ a=
# 11
c
c
⇔ b=
b
a
Antwort
a+b=c ⇔ a=c−b ⇔ b=c−a
SBP Mathe Grundkurs 1
# 12
by Clifford Wolf
# 12
Antwort
eine lineare Gleichung ist eine Gleichung mit den Variablen xn
der Gestalt
Definition: lineare Gleichung
ax1 + bx2 + ... = k.
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist die
Schnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen.
SBP Mathe Grundkurs 1
# 13
by Clifford Wolf
# 13
Antwort
ax1 + bx2 = c
dx1 + ex2 = f
|·d
⇔
| · −a
adx1 + bdx2 = dc
Gauss’sches Eliminationsverfahren
−adx1 − aex2 = −af
=⇒
(ad − ad)x1 +(bx − ae)x2 = dc − af
⇔
(bx − ae)x2 = dc − af
SBP Mathe Grundkurs 1
# 14
by Clifford Wolf
# 14
|a| =
Definition: Betrag
SBP Mathe Grundkurs 1
# 15
Antwort
by Clifford Wolf
# 15
(
a | a≥0
−a | a < 0
Antwort
f (x) = kx + d
Definition: lineare Funktion
⇒ f (0) = d,
⇒ f (x + 1) − f (x) = k
⇒ der Graph von f ist eine Gerade mit der Steigung k.
SBP Mathe Grundkurs 1
# 16
by Clifford Wolf
# 16
Antwort
f (x) = k · x + d
2-Punkt Formel für lineare Funktion
k=
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
d = f (x) − k · x
SBP Mathe Grundkurs 1
# 17
by Clifford Wolf
# 17
Antwort
direkte Proportionalität:
f (x) = k · x
Definition: direkte und indirekte
Proportionalität
indirekte Proportionalität:
f (x) =
SBP Mathe Grundkurs 1
# 18
by Clifford Wolf
Konstante Faktoren bei direkter und
indirekter Proportionalität
# 18
k
x
Antwort
bei direkter Proportionalität:
f (x) = k · x ⇒ f (a · x) = a · f (x)
bei indirekter Proportionalität:
f (x) = xk ⇒ f (a · x) =
SBP Mathe Grundkurs 1
# 19
by Clifford Wolf
# 19
Antwort
streng monoton steigend (wachsend):
x2 > x1 ⇒ f (x2 ) > f (x1 )
streng monoton fallend (abnehmend):
x2 > x1 ⇒ f (x2 ) < f (x1 )
Definition: (streng) monoton
steigend/fallend
monoton steigend (wachsend):
x2 > x1 ⇒ f (x2 ) ≥ f (x1 )
monoton fallend (abnehmend):
x2 > x1 ⇒ f (x2 ) ≤ f (x1 )
f (x)
a
SBP Mathe Grundkurs 1
# 20
by Clifford Wolf
# 20
Antwort
f : A → R, A ∈ R
Definition: Graph einer reellen
Funktion
G = {(x; y) | x ∈ A, y = f (x)}
G = Graph der reellen Funktion f
SBP Mathe Grundkurs 1
# 21
by Clifford Wolf
# 21
Antwort
Potenzieren von Ungleichungen
a < b ⇔ an < bn
+
wenn a, b ∈ R+
0 und n ∈ R .
SBP Mathe Grundkurs 1
# 22
by Clifford Wolf
# 22
Antwort
M on+:
a<b ⇔ a+c<b+c
Monotoniegesetz der Addition
(a, b, c ∈ R)
SBP Mathe Grundkurs 1
# 23
by Clifford Wolf
# 23
Antwort
M on · pos:
Monotoniegesetze der Multiplikation
a<b ⇔ a·c<b·c | c>0
M on · neg:
a<b ⇔ a·c>b·c | c<0
(a, b, c ∈ R)
SBP Mathe Grundkurs 1
# 24
by Clifford Wolf
# 24
Antwort
1
a
0 < a ⇔ 0 > −a
1
1
0<a<b⇔0< <
b
a
0<a ⇔0<
Kehrwert und Negation bei
Ungleichungen mit 0
(a, b ∈ R)
SBP Mathe Grundkurs 1
# 25
by Clifford Wolf
# 25
Antwort
a<b ∧ c<d ⇒ a+c<b+d
(a, b, c, d ∈ R)
Addition und Multiplikation von
Ungleichungen
a<b ∧ c<d ⇒ a·c<b·d
(a ∈ R ∧ b, c, d ∈ R+ )
SBP Mathe Grundkurs 1
# 26
by Clifford Wolf
# 26
Transitivgesetz der Ordnungsrelation
SBP Mathe Grundkurs 1
# 27
by Clifford Wolf
Antwort
a<b ∧ b<c ⇒ a<c
# 27
Antwort
2
(a + b) = a2 + 2ab + b2
Formeln für Quadrat-Binome
2
(a − b) = a2 − 2ab + b2
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
SBP Mathe Grundkurs 1
# 28
by Clifford Wolf
# 28
Antwort
x2 + px + q = 0 ⇔
⇔ x2 + px = −q ⇔
Lösungsformel und Strategie fuer
x2 + px + q = 0
⇔ x2 + px +
⇔
x+
p 2
2
p 2
2
=
=
p 2
2
... ⇔ x = − p2 ±
SBP Mathe Grundkurs 1
# 29
by Clifford Wolf
# 29
p 2
2
−q ⇔
− q ⇔ ...
q
p 2
2
Antwort
x2 + px + q = 0 ⇔ x = − p2 ±
Wie viele Lösungen hat
x2 + px + q = 0?
2 Lösungen in R wenn
1 Lösung in R wenn
keine Lösung in R wenn
D =
SBP Mathe Grundkurs 1
# 30
by Clifford Wolf
−q
p 2
2
p 2
2
p 2
2
p 2
2
q
p 2
2
−q > 0
−q = 0
−q < 0
− q = Diskriminante
# 30
Antwort
Seien α1 und α2 Lösungen von
x2 + px + q = 0
Satz von VIETA
dann gilt fuer alle x ∈ R:
x2 + px + q = (x − α1 ) · (x − α2 )
mit α1 + α2 = −p und α1 · α2 = q.
SBP Mathe Grundkurs 1
# 31
by Clifford Wolf
# 31
Antwort
ax2 + bx + c = 0
Lösungsformel für
ax2 + bx + c = 0
⇐⇒
x=
√
−b± b2 −4ac
2a
−q
SBP Mathe Grundkurs 1
# 32
by Clifford Wolf
# 32
Antwort
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
Definition von Polynomfunktion
n = Grad der Polynomfunktion
SBP Mathe Grundkurs 1
# 33
by Clifford Wolf
# 33
Antwort
Sei f eine Polynomfunktion n-ten Grades und α ∈ R eine Nullstelle von f , dann gibt es eine Polynomfunktion g (n − 1)-ten
Grades, so dass für alle x ∈ R gilt:
f (x) = (x − α) · g(x)
Abspalten eines Linearfaktors
Methoden zur Ermittlung der Koeffizienten von g:
• Koeffizientenvergleich
• Polynomdivision
SBP Mathe Grundkurs 1
# 34
by Clifford Wolf
# 34
Antwort
Beispiel - allgemeines Polynom dritter Ordnung:
a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − α) · (b2 x2 + b1 x + b0 ) =
= b2 x 3
Methode des Koeffizientenvergleichs
=
+bz x2
−αb2 x2
+b0 x
−αb1 x
−αb0 =
b2 x3 + (b1 − αb2 ) x2 + (b0 − αb1 ) x + (−αb0 )
|{z}
| {z }
| {z }
| {z }
a3
a2
a1
a0
⇒ b2 = a3 , b1 = a2 + αb2 , b0 = a1 + αb1 , αb0 = −a0
| {z }
Kontrolle
SBP Mathe Grundkurs 1
# 35
Satz von Horner
by Clifford Wolf
# 35
Antwort
an − bn = (a − b) · (an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 )
Beweis durch Ausmultiplizieren:
alle Terme in der Mitte fallen weg.
SBP Mathe Grundkurs 1
# 36
by Clifford Wolf
# 36
Antwort
Potenz-Funktion = wiederholtes multiplizieren:
xn = |x · x · x{z· x · · · x}
n mal
Definition der Potenz-Funktion
x = Basis, n = Exponent
SBP Mathe Grundkurs 1
# 37
by Clifford Wolf
# 37
Antwort
Wurzel-Funktion = Umkehrung der Potenz-Funktion:
xn = a ⇔ x =
Definition der Wurzel-Funktion
SBP Mathe Grundkurs 1
# 38
by Clifford Wolf
# 38
Antwort
√
n
ak =
Wurzeln von Potenzen
SBP Mathe Grundkurs 1
# 39
by Clifford Wolf
# 39
k
√
n
a
Antwort
1
an =
Potenzen mit Exponenten kleiner 1
√
n
0
√
n
a
a =1
1
a−n = n
a
a
SBP Mathe Grundkurs 1
# 40
by Clifford Wolf
# 40
Exponenten aus Q
SBP Mathe Grundkurs 1
# 41
Antwort
k
an
by Clifford Wolf
=
# 41
SBP Mathe Grundkurs 1
# 42
by Clifford Wolf
# 42
# 43
by Clifford Wolf
Multiplikation von Potenzen gleicher
Basis
k
√
n
a
n
= ak·n
Antwort
(a · b)n = an · bn
Potenzieren von Produkten
SBP Mathe Grundkurs 1
ak =
Antwort
ak
Potenzieren von Potenzen
√
n
# 43
Antwort
ak · an = ak+n
SBP Mathe Grundkurs 1
# 44
by Clifford Wolf
# 44
Antwort

k−n

a
Brüche von Potenzen gleicher Basis
SBP Mathe Grundkurs 1
# 45
by Clifford Wolf
| k>n
| k<n
| k=n
ak
1
= an−k

an

1
# 45
Antwort
Beispiel mit 5,5% Verzinsung im Jahr:
k0 = ursprünglich eingezahler Betrag
k1 , k2 , k3 , ... = Betrag nach 1, 2, 3, ... Jahren
Verzinsung
k1 = k0 + 0,055 · k0 = 1,055 · k0
k2 = k1 + 0,055 · k1 = 1,0552 · k0
kn = 1,055n · k0
SBP Mathe Grundkurs 1
# 46
by Clifford Wolf
# 46
Antwort
√
n
Wurzeln von Produkten und Brüchen
r
n
SBP Mathe Grundkurs 1
# 47
by Clifford Wolf
Wurzeln von Wurzeln
√
n
a·b =
# 47
a
=
b
a·
√
n
b
√
n
a
√
n
b
Antwort
q
n
√
m
a =
q
m
√
n
a =
√
n·m
a
SBP Mathe Grundkurs 1
# 48
by Clifford Wolf
# 48
Antwort
f (x) = c · ax
Definition der Exponentialfunktion
(c, x ∈ R, a ∈ R+ )
SBP Mathe Grundkurs 1
# 49
by Clifford Wolf
# 49
Antwort
ax = y ⇔ x = loga (y)
Definition der Logarithmusfunktion
loga = Logarithmus zur Basis a
SBP Mathe Grundkurs 1
# 50
by Clifford Wolf
# 50
Antwort
natürliche Exponentialfunktion:
Definition des natürlichen Logarithmus
und der natürlichen
Exponentialfunktion
exp(x) = ex
natürlicher Logarithmus:
ln(x) = loge (x)
e ≈ 2.7183 . . . = die Eulersche Zahl
SBP Mathe Grundkurs 1
# 51
by Clifford Wolf
Logarithmen beliebiger Basis mit dem
natürlichen Logarithmus
# 51
Antwort
loga =
ln(x)
ln(a)
SBP Mathe Grundkurs 1
# 52
by Clifford Wolf
# 52
Antwort
ax = eλ·x
Potenzen belibiger Basis mit der
natürlichen Exponentialfunktion
SBP Mathe Grundkurs 1
# 53
by Clifford Wolf
λ = ln(a)
# 53
Antwort
x
a
Monotonie von Exponentialfunktionen
SBP Mathe Grundkurs 1
# 54
by Clifford Wolf
# 54
# 55
by Clifford Wolf
Logarithmen von Produkten
Antwort
loga (bx ) = x · loga (b)
Logarithmen von Potenzen
SBP Mathe Grundkurs 1
(
streng monoton steigend | a > 1
ist
streng monoton fallend
| a<1
# 55
Antwort
loga (x · y) = loga x + loga y
(Prinzip des Rechenschiebers)
SBP Mathe Grundkurs 1
# 56
by Clifford Wolf
# 56
N (t) = N0 · at = N0 · eλt
Unbeschränktes exponentielles
Wachstum
SBP Mathe Grundkurs 1
# 57
by Clifford Wolf
Antwort
λ > 0,
a>1
= exponentielles Wachstum
λ < 0,
a<1
= exponentielle Abnahme
# 57
Antwort
√
Beweis von
√
√
Warum kann 2 keine
rationale Zahl sein?
2 6∈ Q durch Widerspruch:
2 ∈ Q =⇒ ∃a, b ∈ N? :
a 2
b
⇒
mit λ = ln a
=2 ⇒
a2
b2
√
a
b
2=
∧ a, b teilerfremd
= 2 ⇒ a2 = 2b2
⇒ a2 ist gerade ⇒ a ist gerade
(denn 2 ist eine Primzahl
und muss daher bereits in a als Primfaktor enthalten sein)
⇒ ∃p ∈ N? : a = 2p ⇒ a2 = (2p)2 = 4p2 = 2b2 ⇒ 2p2 = b2
⇒ b2 ist gerade ⇒ b ist gerade
=⇒ Widerspruch zu a, b teilerfremd =⇒
SBP Mathe Grundkurs 1
# 58
by Clifford Wolf
# 58
√
2 6∈ Q
Antwort
f (x)
f (x) = k · x + d
f (a + 1)
k
f (a)
Graph einer lineraen Funktion
1
d
a
−d
k
SBP Mathe Grundkurs 1
# 59
by Clifford Wolf
# 59
x
a+1
Antwort
f (x)
1/3; 3
Sy
m
be
id
en
Graph von 1/x
m
et
ri
sc
M
ed h a
n
ia
ne
n
1/2; 2
1; 1
f (x) =
1
x
2; 1/2 3; 1/3
Bei x = 0 nicht definiert!
-1; -1/2
-1; -1
x
SBP Mathe Grundkurs 1
# 60
by Clifford Wolf
# 60
Antwort
f (x) = 2x
f (x)
8
Graph der Exponentialfunktion
(Am Beispiel von 2x )
4
1 2
−1
SBP Mathe Grundkurs 1
# 61
by Clifford Wolf
1/2
0
1
# 61
2
3
x
Antwort
f (x)
f (x) = exp x
1
Graph der Exponential- und
Logarithmusfunktion
ne
r
lt
ge
e
pi
es
G
an
de
1.
e
M
a
di
f (x) = ln x
x
1