1 Binomische Formeln I 2 Summenzeichen Σ 3 Binomische Formeln II

1
1.1
Binomische Formeln I
Binomische Formeln mit zwei Variablen
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
2
(a − b) = a − 2ab + b
2
2
⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ 1 ≥
2
(2)
2ab
a2 +b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
1.2
(1)
(3)
Binomische Formeln mit 3 und n Variablen
(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2 +2(a+b)c+c2 = a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
An diesem Beispiel und unter Berücksichtigung der bekannten Binomischen
Formeln mit zwei Variablen kann man leicht erkennen wie eine Binomische Formel mit n Variablen aussehen muss.
n
n
n
X
X
X
2
2
ai =
ai + 2
ai aj
(4)
i=1
2
i=1
i=1
2≥j≥n
j>i
Summenzeichen Σ
n
X
ai = a1 + a2 + . . . + an−1 + an
(5)
i=1
Zeichen
ai
i
1
n
Σ
3
3.1
Bedeutung
Allgemeiner Summenterm
Summentermindex
untere Summentermgrenze
obere Summentermgrenze
Summenzeichen
Binomische Formeln II
Binomische Formeln der Grade null bis vier
Definition: (a + b)0 = 1
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(6)
(7)
(8)
(9)
Anschaulich: (a + b)3 = 1 · a3 b0 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + a0 · 1 · b2
⇒ (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 3ab3 + b4
(10)
Die Koeffizienten der Lösung einer Binomischen Formel mit 2 Variablen nten
Grades entsprechen den Binomialkoeffizienten nten Grades des Pascal’schen
Dreiecks.
1
3.2
Grad
0
1
2
3
4
5
3.3
Pascal’sches Dreieck der Binomialkoeffizienten
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Binomische Formel fünften Grades
Nach dem Prinzip des Pascal’schen1 Dreiecks folgt:
⇒ (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
3.4
(11)
Summe der Binomialkoeffizienten
Die Summe einer Reihe der Binomialkoeffizienten im Pascal’schen Dreieck ist
immer (Grad)2 der Reihe.
3.4.1
Beispiel: Grad 4
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
24 = 16
3.5
Berechnen der Binomialkoeffizienten (am Beispiel des
fünften Grades)
5
Definition:
=0
0
5
5
= =5
1
1
5
5·4
=
= 10
2
1·2
5
5·4·3
=
= 10
3
1·2·3
5
5·4·3·2
=
=5
4
1·2·3·4
5
5·4·3·2·1
=
=1
5
1·2·3·4·5
3.6
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Allgemeine Formel für Binomialkoeffizienten der Ordnung n
n
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
=
k
k!
0<k≤n
(18)
1 Pascal, Blaise, französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph. ∗ 19.Juni 1623, †19.
August 1662
2
3.7
Bildungsgesetz des Pascal’schen Dreiecks
k sei die Spalte in der sich der gewählte Binomialkoeffizient befindet und n sei
der Grad.
n
n
n+1
+
=
(19)
k
k+1
k+1
3.8
Symmetrie des Pascal’schen Dreiecks
k sei die Spalte in der sich der gewählte Binomialkoeffizient befindet und n sei
der Grad.
4
4
5
5
5
5
=
=
=
1
3
1
4
2
3
n
n
Allgemein:
=
(20)
k
k−n
3.9
Binomischer Satz
(a + b)n =
n X
n
i
i=0
4
4.1
4.2
Allgemeine quadratischer Gleichung
a, b, c ∈ Q ∧ a 6= 0
(22)
quadratischer Term
linearer Term
absolutes Glied
Normierte quadratische Gleichung
c
b
x2 + x + = 0
a
a
a, b, c ∈ Q ∧ a 6= 0
⇒ x2 + px + q = 0
4.3
(21)
Quadratische Gleichungen
ax2 + bx + c = 0
ax2
bx
c
an−i bi
Herleitung der pq–Formel
x2 + px + q = 0
p2
p2
+q =
4
4
p 2
p2
x+
=
−q
2
4
r
p2
p −q
x + =
4
2
r
p
p2
⇒ x1 = − −
−q
2
4
x2 + px +
3
(23)
p
⇒ x2 = − +
2
4.4
r
p2
−q
4
Definition: Diskriminante
Der Ausdruck p2 − 4q ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.
4.5
Allgemeines zur pq–Formel
x1/2
p
=− ±
2
r
p2
−q
4
(24)
1. Ist der Radikand genau gleich null (p2 −4q = 0), dann hat die quadratische
Gleichung eine Lösung im Bereich reeller Zahlen.
2. Ist der Radikand größer als null (p2 − 4q > 0), dann hat die quadratische
Gleichung zwei Lösungen im Bereich der reellen Zahlen.
3. Ist der Radikand kleiner als null (p2 − 4q < 0), dann hat die quadratische
Gleichung zwei Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen.
5
Vieta’scherWurzelsatz I
Viète2
5.1
Herleitung des Vieta’schen Wurzelsatzes I
Durch Addition der zwei Gleichungen der pq–Formel
5.1.1
Bedingung
x1 und x2 seien Lösungen einer quadratischen Gleichung.
5.1.2
Herleitung
I
II
III
5.1.3
x1 = − p2 +
q
q
p2
4
p2
4
−q
−q
x2 = − p2 −
x1 + x2 = −p
| +I
Beispiel:
f (x) = x2 + 7x + 10
x1 = −2
2 Viète,
x2 = −5
p=7
François, französischer Mathematiker, ∗ 1540, †13. Dezember 1603
4
(25)
5.1.4
Anwendung
x1 + x2 = −p
−2 − 5 = −7 = −p
5.2
Herleitung des Vieta’schen Wurzelsatzes II
Durch Multiplikation der zwei Gleichungen der pq–Formel
5.2.1
Bedingung
x1 und x2 seien Lösungen einer quadratischen Gleichung.
5.2.2
Herleitung
I
II
III
5.2.3
x1 = − p2 +
x2 =
q
q
− p2
p2
4
p2
4
−
x1 x2 = q
−q
−q
| ·I
(26)
Gleichung III ausführlich errechnet
!
!
r
p2
p
p2
p
x1 x2 =
−q−
−
−q−
4
2
4
2
! r
!
r
p2
p
p2
p
=−
−q−
−q−
4
2
4
2
2
p
p2
=−
−q−
=q
4
4
r
5.2.4
Beispiel
f (x) = x2 + 7x + 10
x1 = −2
5.2.5
x2 = −5
q = 10
Anwendung
x1 · x2 = −p
−2 · (−5) = 10 = q
5.3
Zusammenfassung
Es gibt zwei Vieta’sche Wurzelsätze, wobei der Erste aus dem Produkt und der
Zweite aus der Summe der zwei Gleichungen der pq–Formel entstehen.
x1 + x2 = −p
x1 · x2 = q
5
(27)
6
Polynome
6.1
Definition: Polynom nten Grades
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a0 x0 =
n
X
ai xi
(28)
i=0
ai , xi ∈ Q
6.2
0≤i≤n
Definition: Normiertes Polynom nten Grades
p(x) = xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a0 x0 = xn +
n−1
X
ai xi
(29)
i=0
xi ∈ Q
0≤i≤n
ai ∈ Q
6.3
0≤i≤n−1
Allgemeines
Sind alle ai ∈ Q, dann ist das Ergebnis des Polynoms eine algebraische Zahl.
Sind alle ai 6∈ Q, dann ist das Ergebnis des Polynoms eine transzendente Zahl.
6.4
Auflistung der Polynome 0ten bis 4ten Grades
Grad
n=0
n=1
Bezeichnung
linear
Formel
p0 = an
p1 = an x + a0
n=2
quadratisch
p2 = an x2 + a1 x + a0
n=3
-
n=4
-
3
2
p3 = an x + a2 x + a1 x + a0
p4 = an x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
Formel mit Σ
2
P
ai xi
i=0
3
P
i=0
4
P
ai xi
ai xi
i=0
6.4.1
Auflistung der normierten Polynome 0ten bis 4ten Grades
Die normierten Polynome erhält man, wenn man an = 0 in der Tabelle aus
Kapitel 6.4 setzt.
7
Vieta’scher Wurzelsatz II
7.1
Anwendung auf normierte Polynome mit n Variablen
n = 2, 3, 4
7.1.1
Bedingung
x1 , x2 , . . . , xn seien Nullstellen eines normierte Polynoms nten Grades.
6
7.1.2
Auflistung
Grad
n=2
Variablen
x1 , x2
n=3
x1 , x2 , x3
n=4
x1 , x2 , x3 , x4
Vieta’scher Wurzelsatz
a0 = (−1)n x1 x2
a1 = (−1)n−1 (x1 + x2
a0 = (−1)n x1 x2 x3
n−1
a1 = (−1)
(x1 x2 ) + (x1 x3 ) + (x2 x3 )
a2 = (−1)n − 2 (x1 + x2 + x3 )
a0 = (−1)n x1 x2 x3 x4
a1 =(−1)n−1 (x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 )3
a2 =(−1)n−2 (x1 x2 x + x1 x3 x + x1 x4 x + x2 x3 x + x2 x4 x + x3 x4 x)
a3 = x1 + x2 + x3 + x4
7.2
Konstruktion eines normierten Polynoms 4ten Grades
mit dem Vieta’schen Wurzelsatz
7.2.1
Bedingung
x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x3 = 2 seien die gewählten Nullstellen des Polynoms
7.2.2
Konstruktion
p4 (x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
a0 = (−1)4 x1 x2 x3 x4 = 0
a1 = (−1)3 (x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 ) = −(0 + 0 − 2 + 0) = 2
a2 = (−1)2 (x1 x2 x + x1 x3 x + x1 x4 x + x2 x3 x + x2 x4 x + x3 x4 x) = (0 − 1 − 2 + 0 + 0 + 2) = −1
a3 = x1 + x2 + x3 + x4 = −1 + 0 + 1 + 2 = 2
⇒ p4 (x) = x4 + 2x3 − x2 + 2x
7.3
(30)
Konstruktion eines normierten Polynoms 3ten Grades
mit dem Vieta’schen Wurzelsatz
7.3.1
Bedingung
x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 seien die gewählten Nullstellen des Polynoms
p3 (x) = x3 + a2 x2 + a1 x + a0
a0 = (−1)3 x1 x2 x3 = 2
a1 = (−1)2 (x1 x2 ) + (x1 x3 ) + (x2 x3 ) = −1 − 2 + 2 = −1
a2 = (−1)n − 2 (x1 + x2 + x3 ) = −(−1 + 1 + 2) = −2
3 Wie
⇒ p4 (x) = x3 − 2x2 + x + 2
4
viele Summanden gibt es?
3
=4
7
(31)
7.4
Berechnung der Nullstellen des konstruierten Polynoms p3 (x)
Wir nehmen an, dass die Vorkenntnisse aus Kapitel 7.3 nicht bekannt seien.
p3 (x) = x3 − 2x2 + x + 2
7.4.1
Untersuchung des absoluten Gliedes
2 = a0 a1 a2
z.B.: 2 = 1 · 2 · 1
Probe: p3 (1) = 1 − 2 − 1 + 2 = 0
⇒ Bei x = 1 liegt eine Nullstelle x01 = 1
⇒ p3 (x) ist ohne Rest durch (x − 1) teilbar. p3 (x) = r2 (x) · (x − 1)
7.5
(32)
Darstellung eines Polynoms durch Linearfaktoren
und Beweis der Behauptung p3 (x) ist ohne Rest durch (x − 1) teilbar
7.5.1
Behauptung
Jedes Polynom ist durch Linearfaktoren darstellbar.
7.5.2
Bedingung
x01 , x02 , . . . , x0n seien Nullstellen eines Polynoms nten Grades.
7.5.3
Annahme
pn (x) = xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a0 x0
pn (x) = (x − x01 )(x − x02 ) . . . (x − x0n )
Nun ist leicht zu erkennen, warum p3 durch (x − x0i ) teilbar ist.
7.5.4
3
x
x3
Reduzierung des Grades von p3 (x) durch Polynomdivision
−2x2
−x2
−x2
−x2
−x
−x
+x
−2x
−2x
+2
: (x − 1) = x2 − x − 2
+2
+2
0
r(x) = x2 − x − 2
r
p
p2
x02/03 = ±
−q
4
2
x02 = −1
x03 = −2
8
(33)
7.5.5
Beweis
p3 (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2) = x3 − 2x2 − x + 2
(34)
Die Gleichung 34 ist der Beweis, der Annahme aus Kapitel 7.5.1, dass jedes
Polynom durch Linearfaktoren darstellbar ist.
8
8.1
1a
1b
2
3
4
5
8.2
8.2.1
Komplexe Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}
I/Z = {. . . , −10, −9, . . . , −1, 0, 1, 2, . . .}
Q = {x | x = pq , p, q ∈ Z, q 6= 0}
R = {x | x = pq ∨ x 6= pq }
√
C = {z = x + iy | x, y ∈ R, i = −1}
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen inkl. 0
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
Mengentheoretisches Zeichen ⊂
Sprechweise
N⊂Z
N ist enthalten in Z
8.2.2
Beispiel
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
8.3
Einführung der Komplexen Zahlen
√
√
i = −1
√
i5 = i = −1
8.4
x2 + 1 = 0
x2 = −1
√
x1/2 = ± −1
√
−1 = i
2
−1 = i = −1
i = −i
i4 = 1
i7 = −i
i8 = 1
2
3
i = −1
i6 = −1
(35)
2
(36)
(37)
Real- und Imaginärteil
einfache Gleichung mit komplexen Zahlen: Z = 5 + 4i
<Z = 5
=Z = 4
Realteil <
Imaginärteil =
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn der Real- und der Imaginärteil der Zahl
gleich sind.
Beispiel: a + ib = (α + γ) + iβ 2
⇒a=α+γ
b = β2
9
8.5
Vieta’scher Wurzelsatz im Zahlenraum C
8.5.1
Voraussetzung
x1 = 2 + i
x2 = 2 − i seien die Lösungen f (x) = 0 einer quadratischen
Gleichung f (x).
8.5.2
Beweis der Gültigkeit des Vieta’schen Wurzelsatzes in C
p = x1 + x2 = (2 + i) + (2 − i) = 4
q = x1 · x2 = (2 + i)(2 − i) = 4 − i2 = 5 | 4
⇒ f (x) = x2 − 4x + 5
8.5.3
(38)
Probe
r
√
16
− 5 = 2 ± −1
4
x1 = 2 + i
x2 = 2 − i
x1/2 = 2 ±
8.5.4
(39)
Ergebnis
⇒ Der Vieta’sche Wurzelsatz gilt auch in C.
8.6
Grundrechenarten in C
In den folgenden Beispielen werden immer die Werte z1 = 2 + 3i und z2 = 4 + 5i
zugrunde gelegt.
8.6.1
8.6.2
8.6.3
8.6.4
Addition
z1 + z2 = 6 + 8i
(40)
z1 − z2 = −2 − 2i
(41)
z1 · z2 = (2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 10i + 12i − 15 = −7 + 22i
(42)
Subtraktion
Multiplikation
Division
2 + 3i 5
z1
=
|
z2
4 + 5i
z1
2 + 3i 4 − 5i
(2 + 3i)(4 + 5i)
23 + 2i
1
=
·
=
=
=
(23 + 2i)
z2
4 + 5i 4 − 5i
16 + 25
21
41
23
2
=Z =
<Z =
41
41
4 Siehe
auch Formel 36 im Kapitel 8.3
i2 = −1
mit Z¯2 = 4 − 5i um den Nenner rational zu machen.
5 erweitern
10
(43)
(44)
8.7
8.7.1
Beweis von
√
a · ib im Bereich in C
Annahme
p
√
ai̇b = z
√
w= z∈C
√
z = α + iβ
w=
8.7.2
Beweis
Ziel: α und β in Abhängigkeit von a und b berechnen
√
a + ib = α + iβ | ()2
a + ib = (α + iβ)2 a + ib = α2 − β 2 + 2αβ
a = α2 − β 2 | 6
b = 2αβ
(45)
(46)
b
in Gleichung 45 einsetzen
2β
b2
a=
− β2
4β 2
b2
aβ 2 =
− β4
4
b2
β 4 + aβ 2 −
=0
4
b2
Substitution von β 2 mit B (β 2 = B) → p(B) = B 2 + aB −
4
r
2
a
a
b2
B1 = − +
+
2
3
4
r
2
a
b2
a
+
B2 = − −
3
4
2
α=
Weil β ∈ R darf nur Bi ≥ 0 genutzt werden. B1 > 0
B2 < 0
s
r
a2
b2
b
a
+
α1 = r
β1 = − +
q
4
4
2
2
2
2 − a2 + a4 + b4
s
r
a
a2
b2
b
β2 = − − +
+
α2 = − r
q
2
4
4
2
2
2 − a2 + a4 + b4
(47)
(48)
6 Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn der Real- und der Imaginärteil gleich sind. Siehe
Kapitel 8.4
11
9
Polarkoordinaten
9.1
Bezugssystem
• festlegen eines Nullpunktes
• von dem Nullpunkt wird eine Gerade mit der Gleichung (bezogen auf ein
cartesisches Koordinatensystem) g(λ) = λ · 10 mit 0 < λ
• Mit dem Nullpunkt werden konzentrische Kreise gelegt.
Mit diesem Koordinatensystem lässt sich außer dem mit dem Nullpunkt jeder
beliebige Punkt im Koordinatensystem beschreiben. Der Punkt wird durch den
Berührungspunkt eines der konzentrischen Kreise mit dem Radius r mit einem
Vektor vom Ursprung aus mit der Länge r mit dem Winkel ϕ zu der gelegten
Gerade g(λ), der entgegen den Uhrzeigersinn angelegt wird.
Die Polarkoordinaten werden mit r und ϕ angegeben.
r≥0
−π <ϕ<π
9.2
Umrechnung von cartesischen- zu Polarkoordinaten
a und b seinen die cartesischen Koordinaten von z = a + i · b
p
r = a2 + b2 | 7
b
ϕ = arctan
a
(49)
(50)
Bei einer komplexen Zahlen nennt z nicht nur die Polarkoordinate ϕ, sondern
auch das Argument von z = arg(z)
9.3
Umrechnung von Polar- zu cartesischen Koordinaten
a = r · cos(ϕ)
b = r · sin(ϕ)
z = r(cos(ϕ) + i · sin(ϕ))
9.4
(51)
(52)
(53)
Quadratwurzeln
√
w= 2z
Z = w2
z = R · eiϕ
w = r · eiψ
w2 = r2 · ei2ψ
Aus w2 = z folgt:
√
r2 = R ⇒ r = R
ϕ
2ψ1 = ϕ ⇒ ψ1 =
2
(54)
Anmerkung: Hier fehlen noch 2 Grafiken...
7 Nach Satz des Pythagoras8 . a und b sind die Katheten des Dreiecks mit dem bekannten
Punkt P = (a/b) und
√ der X-Koordinate Px = (a/0) und der Y-Koordinate Py = (0/b)
a2 + b2 = c2 ⇒ c = a2 + b2
8 Pythagoras, von Samos, griechischer Philosoph, ∗ um 580 v. Chr., †um 496 v. Chr
12
10
Gruppen, Körper und Vektorräume
10.1
Definition: Gruppe
R
Eine Menge G mit den Elementen (a,
R b, c, d, . . .) in der eine Operation (z.B.: +, ·, , . . .)
erklärt ist heißt Gruppe (z.B.:(G, ),wenn
1.
(a) die Operation abgeschlossen ist, das heißt für beliebige a, b, c, . . . ∈ G
Beispiel: ab = c
c∈G
(b) die Operation eindeutig ist, das heißt: Es gibt genau ein Element c mit
c = ab. Die Operation muss nicht kommutativ sein. (z.B.: ab 6= ba)
2. das assoziative Gesetz gilt. (ab)c = a(bc) = abc
3. es bezüglich des Operators ein neutrales Element gibt (meist e)
a)
(z.B.: ae =
4. es zu jedem a ∈ G genau ein inverses Element a−1 gibt. (z.B.: aa−1 )
10.2
Allgemeines zu Gruppen
• Gilt in einer Gruppe G für alle ab = ba, so heißt die Gruppe kommutativ oder
Abelsch9
• Die Ordnung der Gruppe entspricht der Anzahl ihrer Elemente.
10.3
Beispiel einer Gruppe fünfter Ordnung
ϕ0 = 0
ϕ1 =
2π
5
ϕ2 =
10.4
+
/2π
0
4π
{z 5
|
√
5
1·r
ϕ3 =
6π
5
ϕ4 =
8π
5
}
Beispiel einer Multiplikationstabelle einer Gruppe
fünfter Ordnung
0
0
2π
5
2π
5
4π
5
6π
5
8π
5
4π
5
4π
5
6π
5
8π
5
6π
5
6π
5
8π
5
8π
5
8π
5
2π
2π
0
5
5
2π
4π
4π
0 5
5
5
6π
6π
4π
0 2π
5
5
5
5
8π
8π
2π 4π 6π
0
5
5
5
5
5
Anmerkung: Wenn die Ordnung einer Gruppe eine Primzahl ist, so sind alle
Gruppen dieser Ordnung isomorph, das heißt: alle Gruppen haben vom Prinzip
her die gleiche Multiplikationstabelle.
10.5
Restklasse
Betrachtet werden nur Zahlen aus I
I
/n =Restklassen mod(n) (Sprich: modulo n) → Einteilung der ganzen Zahlen
I nach dem Rest der bei der Division durch n bleibt.
9 Abel,
Niels Henrik, norwegischer Mathematiker ∗ 05. August 1802, †06. April 1829
13
10.5.1
I
/2
Nullklasse
Einsklasse
10.5.2
I
/3
Nullklasse
Einsklasse
Zweiklasse
10.6
~0 = {. . . , −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . . .}
~1 = {. . . , −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, . . .}
~0 = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . .}
~1 = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . .}
~2 = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, . . .}
Klassenteilung (Partition)
Eine Klassenteilung der Menge M liegt vor, wenn M in Teilmengen k1 , . . . , kn
so zerlegt werden kann, dass jedem Element von M in genau eine Teilmenge
von ki liegt.
M = k1 ∪ k2 ∪ k3 ∪ . . . ∪ kn−1 ∪ kn =
n
[
kn
(55)
1≤i≤j≤n
(56)
i=1
ki ∩ kj =6 o
10.7
Restklasse mod(4)
Der Einfachheit halber wird die doppelte Spalte, die durch das neutrale Element entsteht nicht mehr mit aufgeschrieben. Siehe auch Kapitel 10.4 für eine
Multiplikationstabelle mit Berücksichtigung des neutralen Elements.
10.7.1
+
Multiplikationstabelle
+
/4
/5
~0 ~1 ~2 ~3
~1 ~2 ~3 ~0
~2 ~3 ~0 ~1
~3 ~0 ~1 ~2
Wie an der Multiplikationstabelle von + /4 zu erkennen ist, ist mod(4) für die
Operator ,,+” eine Gruppe.
In jeder Zeile und Spalte kommt jedes Element und das neutrale Element genau
ein mal vor.
10.7.2
·
Multiplikationstabelle · /4
/5
~0 ~1 ~2 ~3
~1 ~1 ~2 ~3
~2 ~2 ~0 ~2
~3 ~3 ~2 ~1
Wie an der Multiplikationstabelle von · /4 zu erkennen ist, ist mod(4) für die
Operator ,,·” keine Gruppe.
In den Zeilen und Spalten kommen einige Elemente doppelt oder gar nicht vor.
14
10.7.3
·
Multiplikationstabelle · /5
/5
~0 ~1 ~2 ~3 ~4
~1 ~2 ~3 ~4 ~0
~2 ~3 ~4 ~0 ~1
~3 ~4 ~0 ~1 ~2
~4 ~0 ~1 ~2 ~3
Wie an der Multiplikationstabelle von + /5 zu erkennen ist, ist mod(5) für die
Operator ,,+” eine Gruppe.
In jeder Zeile und Spalte kommt jedes Element und das neutrale Element genau
ein mal vor.
10.8
Definition: Körper
Eine Menge K in der zwei Operatoren + und · erklärt sind heißt Körper, wenn
1. (K, +) eine kommutative Gruppe ist
2. (K, ·) eine kommutative Gruppe ist
3. Die distributiven Gesetze gelten
z.B.: (a + b)c = ac + bc
a, b, c ∈ K
Beispiel: Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind Beispiele für unendliche Zahlenkörper.
10.9
Definition: Vektorraum
Eine Menge V heißt Vektorraum, wenn
1. (V, +) eine kommutative Gruppe ist.
2. mit jedem α ∈ K und jedem v ∈ V der Ausdruck (αv) ∈ V definiert ist.
3. die distributiven Gesetze gelten.
(a) α(v1 + v2 ) = αv1 + αv2
(b) v3 (β + γ) = βv3 + γv3
Die Elemente der Menge V heißen Vektoren.
10.9.1
Beispiele für Schreibweisen für Vektoren
Es gibt mehrere Arten Vektoren zu schreiben. Es ist also das gleiche mit a und
~a gemeint.
Vektoren werden gewöhnlicher Weise mit kleinen Buchstaben dargestellt. (z.B.:
~a). Die einzelnen Elemente eines Vektors werden ebenfalls mit kleinen
Buchstaben dargestellt, allerdings wird hier oft ein Index genutzt. (z.B. aa12 )
Die Variablen werden im Zusammenhang mit Vektoren mit kleinen griechischen
Buchstaben dargestellt. (z.B.: λ oder auch µ)
b1
Globales Beispiel: g : x = ~a + λ
b2
15
10.10
Definition von neuen Operatoren
10.10.1
Beispiel: oplus für Addition von Vektoren
V =
a1
b1
c1
,
,
,...
a2
b2
c2
a, b, c, . . . ∈ R
In dem Vektorraum V wird ein + definiert.
a1
b1
a1 + a2
⊕
=
a2
b2
b1 + b 2
Die zu definierende Vektorsumme ⊕ wurde zurückgeführt auf die definierte Summe zweier reeller Zahlen. Damit ist die Vektorsumme ⊕ vollständig definiert.
10.10.2
Beweis: mathbf R ist mit dem definierten ⊕ und ein Vektorraum über den reellen Zahlen
10.10.3
Beispiel: für Multiplikation reeller Zahlen mit Vektoren
α
a1
αa1
=
a2
αa2
α, a1 , a2 ∈ R
Auch bei der Multiplikation von einer reellen Zahl α mit einem Vektor aa12 wurde der zu definierende Operator auf den bekannten Operator ,,·” im Bereich
der reellen Zahlen zurückgeführt.
10.10.4
Vektorraum der Paare reeler Zahlen R × R
~a =
10.10.5
a1
a2
~b =
b1
b2
α∈R
a1 + b1
~a + ~b :=
a2 + b2
αa1
α~a :=
∈R×R
αa2
(57)
(58)
Beweis: R2 ist mit dem definierten oplus und ein Vektorraum über den reellen Zahlen
1. ⊕ und sind erklärt und abgeschlossen.
2. Es gilt das assoziative Gesetz
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
a1 + b1
c1
a1 + b1 + c1
a1
b1 + c1
+
=
=
+
a2 + b2
c2
a2 + b2 + c2
a2
c2 + b2
3. Es gibt ein neutrales Element für den Operator ⊕ ~0 = 00 und für ~0 = 0 .
0
16
4. Es gibt ein inverses Element −~a =
a1
a2
5. Es gelten die distributiven Gesetze
a1
b1
a1 + b1
α(a1 + b1 )
~
α~a + b = α
+
=α
=
a2
b2
a2 + b1
α(a2 + b2 )
αa1 + αb1
αa1
αb1
a1
b1
=
=
+
=α
+α
= α~a + α~b
αa2 + αb2
αa2
αb2
a2
b2
6. Es ist zusätzlich eine abelsche Gruppe
10.10.6
Beweis: 2 Polynome dritten Grades bilden einen Vektorraum über R
I
II
III
1.
a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3
a(x) + b(x) =
⊕I
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + (a3 + b3 )x3
⇒ Die Addition ⊕ von Polynomen ist definiert und abgeschlossen.
2. Das kommutative und das assoziative Gesetz gelten, da nur reelle Zahlen
addiert werden.
3. Es gibt ein neutrales Element: Das Nullpolynom 0(x) = 0
4. Es gibt ein inverses Element: −a(x) = −a0 + −a1 x + −a2 x2 + −a3 x3
5. Das distributive Gesetz gilt:
αa(x) = αa0 + αa1 x + αa2 x2 + αa3 x3
10.10.7
11
11.1
Veranschaulichung der Paare reeller Zahlen
Lineare Algebra
Lineare Un und Anhängigkeit
~b heißt Linearkombination von (a1 , a2 , . . . , an ), wenn gilt:
~b = α1~a1 + α2~a2 + . . . + αn~an
11.1.1
Der Nullvektor ~0 als Linearkombination
~0 = α1~a1 + α2~a2 + . . . + αn~an
1. alle ai = 0
2. Gibt es noch andere Möglichkeiten? Siehe folgende Kapitel
11.1.2
Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren (a1 , a2 , . . . , an ) heißen linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor
nur kombinieren lässt, wenn alle αi = 0 sind.
⇒ nur wenn alle αi = 0 sind kann der Nullvektor linear kombiniert werden.
17
11.1.3
Lineare Abhängigkeit
Die Vektoren (a1 , a2 , . . . , an ) heißen linear abhängig, wenn es mindestens einen
Satz ai gibt mit mindestens einen ai 6= 0 gibt der die Linearkombination des
Nullvektors ist. wenn alle αi = 0 sind.
⇒ Es gibt neben der trivialen Linearkombination des Nullvekors mit allen ai =
0, mindestens eine weitere Linearkombination des Nullvektors.
11.1.4
Beispiel I: Lineare Unabhängigkeit
Sind die Vektoren a~1 = 11 und a~2 = 10 linear abhängig?
0
= α1 a~1 + α2 a~2
0
0
1
1
= α1
+ α2
0
1
0
I
II
III
α1 + α2 = 0
α1 = 0
α2 = 0
−II
11.1.5
Beispiel I: Lineare Abhängigkeit
Sind die Vektoren a~1 = 11 und a~2 = 22 linear abhängig?
0
= α1 a~1 + α2 a~2
0
0
1
2
= α1
+ α2
0
1
2
I
II
α1 + 2α2 = 0
α1 + 2α2 = 0
Lösungen
1. α1 = 0
α2 = 0
2. α1 = 2α2
11.1.6
Lineare Abhängigkeit in Systemen mit dem Nullvektor ~0
Behauptung: Ein Vektorsystem, dass den Nullvektor ~0 enthält ist stets linear
abhängig.
Voraussetzung: V = {a~1 = ~0, a~2 , . . . , a~n }
Beweis: ~0 = α1 a~1 + α2 a~2 + . . . + αn a~n
Beispiel: α1 = 1
α2 = 0
...
αn = 0
18
11.1.7
Lineare Abhängigkeit in Systemen ohne den Nullvektor ~0
Voraussetzung: v sei ein linear abhängiges Vektorsystem {a~1 , . . . , a~n } ohne
den Nullvektor ~0
Behauptung: Da das Vektorsystem linear abhängig ist, ist mindestens einer
der Vekoren als Linearkombination der anderen darstellbar.
Beweis:
~0 = α1 a~1 + α2 a~2 + . . . + αn a~n
| ·α1−1
~0 = a~1 + α1 a~2 + α1 a~3 + . . . + α1 a~n
α2
α3
αn
α1
α1
α1
a~1 = − a~2 −
a~3 − . . . −
a~n
α2
α3
αn
11.1.8
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Zwei Vektoren a~1 6= 0 und a~2 6= 0 sind linear abhängig, wenn a~1 = λa~2
a~1 − λa~2 = ~0
11.2
11.2.1
(59)
λ 6= 0
(60)
Erzeugende Systeme
Voraussetzung
~b =
n
X
ai ∈ V, α ∈ R
αi a~i
i=1
~b sei die Linearkombination von {a~1 , . . . , a~n }
11.2.2
Definition
Das Vektorsystem {a~1 , . . . , a~n } heisst erzeugendes System, wenn sich jeder Vektor vecbi als Linearkombination von {a~1 , . . . , a~n } darstellen lässt.
11.2.3
Beispiel
V = {a~1 , . . . , a~n } sei ein linear abhängiges, erzeugendes System.
Das heißt: Es gibt mindestens einen Vektor vecan in V , der sich als Linearkombination der anderen Vektoren aus V darstellen lässt.
Der Vektor vecan wird aus dem Vektorsystem entfernt.
1. Vn−1 {a~1 , . . . , ~an−1 } ist linear abhängig, dann wird wieder ein Vektor ~an−1
der sich als Linearkombination der anderen Vektoren aus Vn−1 darstellen
aus dem System entfernt. Dieser Schritt wird wiederholt, bis Punkt zwei
eintritt.
2. Vn−1 {a~1 , . . . , ~an−1 } ist linear unabhängig. Dann ist r die Anzahl der entfernten Vektoren. Und das neue Vektorsystem Vn−r {a~1 , . . . , ~an−r }
Dieses System nennt man minimales Erzeugenden System oder Basis
Wird ein Vektor aus einer Basis entfernt, so verliert sie ihre Eigenschaft
als Basis
19
11.2.4
Definition: Basis
Die Basis von V ist ein minimales Erzeugenden System, oder anders ausgedrückt
ein maximal linear unabhängiges System.
11.2.5
Maximal linear unabhängiges System
a~1 6= ~0
a~1 , a~2 6= ~0
..
.
{a~1 }
{a~1 , a~2 }
..
.
a~1 , . . . , a~r {a~1 , . . . , a~r }
a~r sei der letztmögliche linear unabhängige Vektor von V . Damit ist V eine
Basis.
11.2.6
Definition: Dimension
Die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis.
Die Invarianz der Dimensionen tritt ein, wenn die Basis von V unendlich viele
Elemente hat.
11.2.7
Beispiel: Basis der Dimension 2
V =R
2
~b =
b1
b2
~b sei bekannt
1
0
1
Erzeugenden System: V =
,
,
2
1
1
I
II
Ii
Iii
α1
α2
+α3
+α3
α1
α2
= b1
= b2
= b1 − α3
= b2 − α3
−II
−I
Das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar. ⇒ V ist kein minimales erzeugenden
System und V ist linear abhängig.
1
ist
die
Linearkombination von 10 + 01 .
1
⇒ 11 ist nicht notwendig für das erzeugenden System uns wird daher aus
V entfernt. Das neue erzeugenden
System Vi besteht nun aus zwei linear unabhängigen Vektoren 10 und 01 .
⇒ Vi ist eine 2–dimensionale Basis.
11.3
11.3.1
Lineare Gleichungssysteme
Inhomogene Gleichungssysteme
Ein inhomogenes Gleichungssystem hat m Gleichungen und n Variablen. Wobei
gilt: n ≥ m
20
Allgemeines inhomogenes Gleichungssystem
12
a11 x1
a21 x1
..
.
+a12 x2
+a22 x2
+...
+...
..
.
+a1n xn
+a2n xn
= b1
= b2
..
.
am1 x1
a~1 x1
+am2 x2
+a~1 x1
+ . . . +amn xn
+ . . . +a~1 x1
= bm
b~n
Beweise
12.1
Direkter Beweis
Aus Aussage A (Voraussetzung) folgert man die Aussage B (Behauptung).
Aus A ⇒ B (Aus A folgt B)
A ist hinreichend für B und B ist notwendig für A. (Aus B muss nicht zwangsweise A gefolgert werden können)
12.1.1
Beispiel
Behauptung: Das Produkt zweier gerade Zahlen ist stets ungerade.
Voraussetzung: Zwei ungerade Zahlen U1 und U2
U1 = 2a + 1
a∈Z
U2 = 2b + 1
a∈Z
Behauptung:
U1 U2 = 2c + 1
c∈Z
Beweis:
U1 U2 = (2a + 1)(2b + 1) = 2ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1 = 2c + 1
|
{z
}
c
12.2
Beweis durch Äquivalenzumformung
Aus der Voraussetzung wird eine Behauptung gefolgert und aus der Behauptung
die Voraussetzung.
12.2.1
Beispiel
Behauptung: Für a, b ∈ R gilt stets 2ab ≤ a2 + b2
Beweis:
2ab ≤ a2 + b2
| −2ab
2
0 ≤ a − 2ab + b2
0 ≤ (a − b)2
Die Behauptung ist sicher richtig, da ein Quadrat reeller Zahlen immer größer
oder gleich Null ist.
Der eigentlich Beweis muss rückwärts gelesen werden. Es wird also aus einer
definitiv richtigen Voraussetzung (0 ≤ (a − b)2 ) durch umkehrbare Schritte
etwas sicher richtiges gefolgert.
21
12.3
Indirekter Beweis
Es wird eine Behauptung versucht zu beweisen. Zum Beispiel: Aus A folgt B.
Im indirekten Beweis wird angenommen, dass B falsch ist und daraus gefolgert
dass A nicht gilt. Wenn dies gilt ist die Behauptung bewiesen, da A als richtig
vorausgesetzt wurde.
12.3.1
Beweis
√
Behauptung:
2 6∈ R
√
Annahme:
2∈R
√
Voraussetzung:
2 = pq , wobei p und q teilerfremd sind und p, q ∈ Z, q 6= 0
Beweis:
√
2=
2=
p
q
p2
q2
2q 2 = p2
2q 2 ist gerade ⇒ p ist gerade
Das ist der Widerspruch, da wenn beide Seiten gerade wären, wären sie
nicht teilerfremd.
12.4
Beweis durch vollständige Induktion
Bei einer vollständigen Induktion wird aus der Voraussetzung durch erlaubte
mathematische Operatoren die Richtigkeit von (n + 1) gefolgert.
12.4.1
Beweis von
n
P
i=
i=1
n
2 (n
+ 1)
Behauptung:
n
X
i=
i=1
n
(n + 1)
2
Induktionsanfang: n = 1
1
X
i=1=
i=1
1
(1 + 1) = 1
2
Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für n ≥ 1
Induktionsschritt:
n
(n + 1)
| +(n + 1)
2
n
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) = (n + 1) + (n + 1)
2
1 + 2 + 3 + ... + n =
22
n
+ 1)
2
n+2
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) = (n + 1)(
2
n+1
(n + 2)
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) =
2
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) = (n + 1)(
12.4.2
Beweis des Binomischen Satzes (a + b)n =
n
P
i=0
n
i
an−i bi
Behauptung:
n
(a + b) =
n X
n
i=0
i
an−i bi
Induktionsanfang: n = 1
1 1
1 1
(a + b) =
a +
b =a+b
0
1
1
Induktionsvoraussetzung: Für n ≥ 1 gilt:
n n 0
n n−1 1
n 0 n
(a + b)n =
a b +
a
b + ... +
a b
0
1
n
Induktionsschritt:
n n 0
n n−1 1
n 0 n
(a + b)n =
a b +
a
b + ... +
a b
0
1
n
(a + b)n+1 =
(a + b)n+1 =
12.4.3
n
0
an+1 +
n+1
0
an+1 +
n
an b+
1
n
an b+
1
n+1
an b+
1
...+
...+
...+
n
ab n
ab1 +
n
n
n
n
n−1
n+1
n
a b
(61)
| ·(a + b) (62)
n n+1
b
n
n+1 n+1
b
n+1
Beweis von: 2n > n für n ≥ 0
Probe: n = 0
20 > 0
1>0
1
n=1
2 >1
2>1
n=2
22 > 2
4>2
Induktionsanfang: n = 2
22 > 2
Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für n ≥ 2
Induktionsschritt:
2n > n
| ·2
(63)
?
2n+1 > 2n > n + 1
?
2n > n + 1
| ·n−1
?
2 > 1 + n−1
1 > n−1
da 2n > n + 1 stimmt die Behauptung.
23
(64)
12.4.4
Beweis von 2n > n2 für n ≥ 5
Probe: n = 0
n=1
21
n=2
22
n=3
23
n=4
24
n=5
25
n=6
26
20 > 02
> 12
= 22
< 32
= 42
> 52
> 62
1>0
2>1
4=4
8<9
16 = 16
32 = 25
64 > 36
Induktionsanfang: n = 2
2n > n2
25 = 32 > 52 = 25
(65)
Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für festes n ≥ 5
Induktionsschritt:
2n > n2
| ·2
(66)
?
2n+1 > 2n2 > n2 + 2n + 1
?
2n2 > n2 + 2n + 1
?
n2 > 2n + 1
| +(2n + 1)
2
(n + 1) > 4n + 2
Richtig, da die Aussage für n ≥ 5 zutrifft.
12.4.5
Beweis von
n
P
ν=1
ν 2 = 61 n(n + 1)(2n + 1)
Probe: n = 1
1 = 16 · 1 · 2 · 3 = 1
2
n=2
1 + 22 = 16 · 2 · 3 · 5 = 5
n=3
12 + 22 + 32 = 16 · 3 · 4 · 7 = 14
2
Induktionsanfang: n = 1
12 = 16 · 1 · 2 · 3 = 1
Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für feste n ≥ 1
Induktionsschritt:
12 + 22 + . . . + n2 =
1
(n)(n + 1)(2n + 1)
6
| +(n + 1)2
1
(n)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
6
1
12 + 22 + . . . + n2 + (n + 1)2 = (n + 1) n(2n + 1) + (n + 1)
6
12 + 22 + . . . + n2 + (n + 1)2 =
n(2n + 1) + 6n + 6
6
1
12 + 22 + . . . + n2 + (n + 1)2 = (n + 1) 2n2 + n + 6n + 6
6
12 + 22 + . . . + n2 + (n + 1)2 = (n + 1)
24
(67)
1
(n + 1) 2n2 + 7n + 6
(68)
6
(n + 2)(2(n + 1) + 1) ist der zu suchende Teil im Induktionsschluss.
12 + 22 + . . . + n2 + (n + 1)2 =
1
(n + 1) stimmt mit Ziel überein
6
da: (n+2)(2(n+1)+1) = (n+2)(n+3) = 2n2 +3n+4n+6 = 2n2 +7n+6
12.4.6
Beweis von
n
P
ν=1
ν 3 = 14 n2 (n + 1)2
Probe: n = 1
13 = 41 · 1 · 22 = 1
3
n=2
1 + 23 = 14 · 4 · 32 = 9
n=3
13 + 23 + 33 = 14 · 9 · 42 =
9
4
· 16 = 36
Induktionsanfang: n=1
13 =
1
· 1 · 22 = 1
4
(69)
Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für feste n ≥ 1
Induktionsziel: 13 + 23 + . . . + n3 + (n + 1)3 = 14 (n + 1)2 (n + 2)2
Induktionsschritt:
13 + 23 + . . . + n3 =
1 2
n (n + 1)2
4
| +(n + 1)3
(70)
1 2
n (n + 1)2 + (n + 1)3
4
1 2
3
3
3
3
2
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = (n + 1)
n + (n + 1)
4
2
n + 4n + 4
3
3
3
3
2
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = (n + 1)
4
13 + 23 + . . . + n3 + (n + 1)3 =
13 + 23 + . . . + n3 + (n + 1)3 =
13
13.1
1
(n + 1)2 · (n2 + 4n + 4)
4
Ungleichung und Beträge
Betrag
|a| =
a wenn a ≥ 0
−a wenn a < 0
1.
a + b − |b − a|
= min(a, b) ,wenn a < b
2
(a) a = b
a+a−0
=a=b
2
25
(71)
(b) a > b ⇒ b = min(a, b)
a + b − |b − a|
a + b − (b − a)
a+b+b−a
=
=
=b
2
2
2
(c) a < b ⇒ a = min(a, b)
a + b − |b − a|
a + b − (b − a)
=
=a
2
2
2.
a + b − |b − a|
= max(a, b) ,wenn a > b
2
(a) a = b
a + b + |b − a|
=a=b
2
(b) a > b ⇒ a = max(a, b)
a + b − (b − a)
a + b + |b − a|
=
=a
2
2
(c) a < b ⇒ b = max(a, b)
a+b+b−a
a + b + |b − a|
=
=b
2
2
26