Stichworte zur Vorlesung Mathematik für Physiker und Geophysiker
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Prof. Dr. U. Abresch Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Stichworte zur Vorlesung Mathematik für Physiker und Geophysiker Analysis Zahlbereiche: • natürliche Zahlen: Peanosche Axiome, Induktionsaxiom und Abzählbarkeit • reelle Zahlen: Anordnungsaxiome, archimedisches Axiom und Absolutbetrag; Supremum und Infimum, Vollständigkeit; Überabzählbarkeit • komplexe Zahlen. Folgen, Reihen, Grenzwerte: • vollständige Induktion: Binomialkoeffizienten, Pascalsches Dreieck, Summenformeln für arithmetische und geometrische Folgen • Grenzwerte und (absolute) Konvergenz: geometrische Reihe, Quotienten- und Wurzelkriterium, Umordnungssatz • bestimmte Divergenz und die Symbole +∞ und −∞ • spezielle Grenzwerte: e, π, ln 2, Euler-Mascheronische Konstante. Stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen: • ε-δ-Kriterium; • Intervalle und Zwischenwertsatz • Umkehrsatz für strikt monotone stetige Funktionen • Supremumsnorm und gleichmäßige Stetigkeit, stetige Fortsetzbarkeit • Funktionenfolgen und -reihen, gleichmäßige Konvergenz, 3ε -Schluß. 1 Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen: • Definition der Ableitung • Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten; Kettenregel • Mittelwertsatz (Anwendung: Lösung der Schwingungsgleichung) • Satz von L’Hospital, Sekanten- und Tangentensteigung • Taylorsche Formel und Restglieder; Taylorreihe, C ∞ -Funktionen und reell-analytische Funktionen; Testfunktionen • qualitative Diskussion von Funktionen: lokale Extremwerte, Wendepunkte, Konvexität. Spezielle Funktionen: • Exponentialfunktion und Logarithmus: Potenzreihen, Ableitungen und Stammfunktionen, Interpretation als Gruppenhomomorphismen • trigonometrische und hyperbolische Funktionen: Potenzreihen, Eulersche Formel, Additionstheoreme, Umkehrfunktionen, Ableitungen und Stammfunktionen, Reihendarstellungen für π • Γ-Funktion: Funktionalgleichung und logarithmische Konvexität, n! = Γ(n + 1), Volumina von Bällen. Integralrechnung einer reellen Veränderlichen: • Treppenfunktion, Regelfunktionen, Integration von Regelfunktionen • Mittelwertsatz der Integralrechnung • Stammfunktionen, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung • Integrationsregeln, insbesondere: partielle Integration • Vertauschen von Differentiation und Integration • uneigentliche Integrale • Fourierreihen in einer Veränderlichen: Konvergenz im Fejér-Mittel. 2 ¡ ¢ Metrische Räume X, d : • Axiome, offene Bälle und die Topologie eines metrischen Raumes: offene und abgeschlossene Mengen, Unterräume, Produkte und Quotienten • Grenzwerte, Häufungspunkte, innere Punkte, Randpunkte • Ausblick: innere metrische Räume und (Fast-)Mittelpunkte • stetige Abbildungen • Cauchy-Folgen, Vollständigkeit, Vervollständigungskonstruktion • Hausdorffsches Trennungsaxiom • gleichmäßige Stetigkeit, Stetigkeitsmodul, stetige Fortsetzbarkeit • Lipschitz-stetige Abbildungen, Kontraktionen, (Banachscher) Fixpunktsatz resp. Kontraktionsprinzip. ¡ ¢ Normierte Räume E, k k : • Axiome für Normen, Banachräume; Vervollständigungskonstruktion in der Klasse der normierten Räume • stetige lineare Abbildungen • Kompaktheit und der Satz von Heine-Borel • E∼ = Rn : Satz von der Äquivalenz der Normen, Stetigkeit linearer Abbildungen. Differentialrechnung in Banachräumen (resp. Rn ) : • das Totaldifferential und stetige Differenzierbarkeit, Kettenregel • differenzierbare Wege, Richtungsableitungen, partielle Ableitungen • Differentiationsregeln: Skalarprodukte, Produkte von Matrizen und Vektoren, multilineare Abbildungen, Determinanten, Inverse von linearen Abbildungen (vgl. auch Quotientenregel) • höhere Ableitungen und die Taylorformel, C ∞ -Funktionen, Taylorreihe und reell-analytische Funktionen • lokale und globale Extremwerte, kritische Punkte, Singularitäten (Querverbindung: Konvexität, Kompaktheit) 3 • Banachscher Fixpunktsatz und das Newton-Verfahren (Querverbindung: Kontraktionsprinzip) • Umkehrsatz, Satz über implizite Funktionen • Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen, Lagrange-Multiplikatoren. Untermannigfaltigkeiten: • Karten, Parametrisierungen, Untermannigfaltigkeitsstücke (Querverbindung: Umkehrsatz, Satz über implizite Funktionen) • Kartenwechselabbildungen (Beispiel: Sphäre und stereographische Projektion) • Gramsche Determinante und k-dimensionales Volumen, Integration von Funktionen über Untermannigfaltigkeiten • Längenmessung und Riemannsche Metrik • Ausblick: abstrakte Mannigfaltigkeiten, Ankoppelung der Differentialrechnung an eine Riemannsche Metrik. Gewöhnliche Differentialgleichungen: • explizite Systeme erster Ordnung, erste Integrale, • Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (Querverbindung: Banachscher Fixpunktsatz) • lineare Systeme: globale Lösbarkeit, Wronski-Determinante (Querverbindung: Jordansche Normalform) • Satz über stetige resp. differenzierbare Abhängigkeit der Lösungen von Parametern (Beispiel: Kugelpendel). Ausblick: Variationsrechnung: • Wirkungsprinzipien als Beispiele einer unendlich-dimensionalen Extremwertaufgabe • das Gateaux-Differential, Fundamentallemma der Variationsrechnung, Euler-Lagrange-Gleichung • Konvexität, Minimalfolgen und die Existenz von Extremwerten (schwache Lösungen von partiellen Differentialgleichungen). 4 Maß- und Integrationstheorie: • Mengenringe und Inhalte; Figuren in Rn und die elementargeometrische Volumenfunktion; Zusammenlegen und Zerschneiden und die Eindeutigkeit des Flächeninhalts ebener Figuren • σ-Algebren und Maße, Nullmengen • Fortsetzung von Maßen und das äußere Maß, das Lebesguemaß und die σ-Algebra der Lebesgue-meßbaren Mengen • Borelmengen und die Meßbarkeit von Funktionen • (verallgemeinerte) Treppenfunktionen und das Lebesgue-Integral • Satz über monotone Konvergenz, Fatousches Lemma, Satz von Lebesgue (dominante Konvergenz) • Transformationsformel, Satz von Fubini • Konvergenz punktweise fast überall, Lp -Konvergenz (1 ≤ p < ∞), Konvergenz dem Maß nach, fast gleichmäßige Konvergenz • die Sätze von Egoroff und Lusin. Zentrale Ungleichungen: • archimedische Ungleichung, Bernoullische Ungleichung • Dreiecksungleichung • Skalarprodukte, Parallelogrammgleichung, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung • Youngsche Ungleichung, Hölder-Ungleichung, Minkowskische Ungleichung (vgl. Lp -Normen) • arithmetisches und geometrisches Mittel, geometrisches und harmonisches Mittel • Konvexität und Jensensche Ungleichung. Fourierreihen und Fouriertransformation: • Gitter und duale Gitter, Fourierkoeffizienten für Funktionen f : Rn /Λ −→ R 5 • n = 1 : gleichmäßige Konvergenz (Satz von Fejér) (Querverbindung: Weierstraßscher Approximationssatz) • vollständige Orthonormalsysteme, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, L2 -Konvergenz der Fourierreihen • weitere Beispiele vollständiger Orthonormalsysteme: Tschebyschev-Polynome, Legendre-Polynome, Hermite-Polynome • Fouriertransformation: Schwartz-Raum, Umkehrtransformation; Produkte und Faltung, Multiplikation und Richtungsableitungen; Poissonsche Summationsformel. Alternierende Differentialformen und klassische Vektoranalysis: • homotope Wege, einfach-zusammenhängende und sternförmige Gebiete • Wegintegral, Stammfunktionen rotationsfreier Vektorfelder • Rotation und Divergenz, der Satz von Gauß (Divergenzsatz) • Definition alternierender Differentialformen; äußeres Produkt, äußeres Differential, Pull-Back • Poincarésches Lemma • Randoperatoren, Untermannigfaltigkeiten und der allgemeine Satz von Stokes • der klassische Satz von Stokes in R3 • Anwendung in der Elektrodynamik: Def die Faraday-Form F = E ∧ dt + B auf R3,1 ; Maxwell-Gleichungen, Hodge-∗-Operator und äußere Ableitung; Poincarésches Lemma, Vektorpotential und Coulomb-Eichung. Partielle Differentialgleichungen • Definition, lineare partielle Differentialgleichungen und Systeme • Beispiele: Laplace-Gleichung, Dirac-Gleichung, Wärmeleitungsgleichungen und Wellengleichung • Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Fourrierreihen/Fouriertransformation • elliptische Systeme • Distributionen und schwache Lösungen. 6 Spektralsatz • Spektralsatz für kompakte Operatoren • hermitesche und formal-selbstadjungierte Operatoren • unitäre Operatoren und Cayley-Transformation • Verteilungsfunktionen, Ditstributionen und Lebesgue-Stieltjes-Integral • Spektralschar und Spektralsatz für dicht-definierte hermitesche Operatoren • diskretes Spektrum und vollständige Orthonormalsysteme. Lineare Algebra Grundbegriffe der Gruppentheorie: • Axiome, Untergruppen, Homomorphismen, Normalteiler, Homomorphiesatz • Beispiele: zyklische Gruppen, Diedergruppen, Permutationsgruppen. Vektorräume und lineare Algebra • Axiome, Unterräume, Quotienten und Komplementärräume • lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basen, Dimension • lineare Abbildungen und Matrizen • Basiswechsel, Steinitzscher Austauschsatz, Elementarmatrizen, Gauß-Algorithmus • Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme, Dimensionsformel. elementare multilineare Algebra • Räume multilinearer Abbildungen, natürliche Basen, Basiswechsel • Dualräume, symmetrische und alternierende Multilinearformen • Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren • Skalarprodukte und Normen, Parallelogrammgleichung. 7 Jordansche Normalform: • Eigenwerte, Eigenräume und Haupträume; Hauptraumzerlegung • Struktur nilpotenter Endomorphismen, Jordansche Normalform • Minimalpolynom, charakteristisches Polynom, Satz von Cayley-Hamilton • Charakteristisches Polynom, klassische Adjungierte, Cramersche Regel. Bilinearformen und Sesquilinearformen, klassische Gruppen: • symmetrische Bilinearformen, Sylvesterscher Trägheitssatz, orthogonale Gruppe • hermitesche Sesquilinearformen und die unitäre Gruppe • schiefsymmetrische Matrizen und ihre Normalformen (hyperbolische Ebenen). Funktionentheorie Grundlagen der Funktionentheorie: • komplexe Differenzierbarkeit und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen • Cauchyscher Integralsatz, nullhomotope und nullhomologe Kurven, Cauchysche Integralformel, Residuensatz • Analytizität holomorpher Funktionen. Meromorphe Funktionen: • hebbare Singularitäten, Polstellen und wesentliche Singularitäten • Riemannsche Zahlkugel und meromorphe Funktionen • Laurent-Reihen • Null- und Polstellenverteilungen, konvergenz-erzeugende Summanden/ /Faktoren, Satz von Weierstraß resp. Mittag-Leffler, Beispiel: Partialbruch-Entwicklung von π · cot(πz). 8 Doppelt-periodische Funktionen: • die Weierstraßsche ℘-Funktion und ihre Differentialgleichung • Körper der elliptischen Funktionen • Additionstheorem für ℘ • Gitterabhängigkeit von ℘: J-Invariante und Doppelverhältnis als Funktion auf der oberen Halbebene. Übergreifender Gesichtspunkt Methoden zur Beschreibung von Funktionen: • Polynome, Potenzreihen, Taylorreihen • gewöhnliche Differentialgleichungen • Funktionalgleichung (vgl. z. B. die Γ-Funktion) • gleichmäßig konvergente Folgen von Polynomen (Weierstraßscher Approximationssatz) • Entwicklung bzgl. vollständiger Orthonormalsysteme (z. B. Fourierreihen) • Laurent-Reihen • Partialbruch- und Produktentwicklung. 9
