Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann
Version 9. Dezember 2009
Thermodynamik
Zustandsgleichung für ideale Gase:
pV = νRT
R = universelle Gaskonstante = 8.31 J/(mol K)
p = Druck, V = Volumen, T = Temperatur, ν = Anzahl Mole
Mikroskopisch gesehen bestehen ideale Gase aus Atomen oder Molekülen, deren Eigenvolumen vernachlässigbar klein ist. Die Wechselwirkung zwischen den Atomen besteht nur
aus kurzen Stössen, die relativ selten sind. Die ideale Gasgleichung beschreibt nur den
gasförmigen Aggregatszustand.
Zustandsgleichung für reale Gase: (van der Waals Gleichung)
(V − νb)(p +
aν 2
) = νRT
V2
f ür ν Mole
a und b sind empirische Konstanten.
Mikroskopisch gesehen bestehen van der Waals Gase aus Atomen oder Molekülen mit
einem Eigenvolumen von der Grössenordnung von b. Die Atome üben auch langreichweitige
Kräfte aufeinander aus (parametrisiert durch a). Die van der Waals Gleichung beschreibt
den gasförmigen und den flüssigen Aggregatszustand.
Thermische Energie der ungeordneten Molekülbewegung:
Translation eines einzelnen Moleküls :
E=
m 2 3
v = kT
2
2
k = Boltzmann Konstante = 1.38 × 10−23 J/K =
R
N0
N0 = Avogadro0 sche Zahl = 6.023 × 1023 mol−1
m
3
EKin = N0 v 2 = RT
Translation eines Mols :
2
2
Diese Formeln gelten für einatomige Gase. Für mehratomige Gase, die Schwingungen und
Rotationen ausführen können, gilt allgemeiner das
Äquipartitionstheorem :
E=
fth
kT
2
f ist die Anzahl thermodynamischer Freiheitsgrade, d. h. die Anzahl Orts-, Impuls- und
Drehimpulskoordinaten, die im Ausdruck für die totale Energie quadratisch vorkommen.
z. B. einatomiges Gas
z. B. zweiatomiges Gas (starr)
E=
E=
1 2
(p + p2y + p2z )
2m x
fth = 3
1
1
1 2
(px + p2y + p2z ) + J1 ω12 + J2 ω22
2m
2
2
0.1
fth = 5
1 2
m
(px + p2y + p2z ) + ω 2 (x2 + y 2 + z 2 ) fth = 6
2m
2
Für ein ideales Gas ist die innere Energie U identisch mit der oben gegebenen kinetischen
Energie. Für ein Mol
fth
U=
RT
2
z. B. dreidimensionaler Oszillator
E=
Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung: Die Wahrscheinlichkeit P (v) in
einem Gas bei der Temperatur T ein Atom mit dem Betrag der Geschwindigkeit v zu
finden, ist gegeben durch
P (v) ≡
1 dN
m 3/2 2 −mv2 /2kT
= 4π(
) v e
N0 dv
2πkT
dN ist die Anzahl Moleküle (von total N0 Molekülen) im Schnelligkeitsintervall dv. Die
Verteilungsfunktion ist wie folgt normiert:
Z ∞
P (v)dv = 1,
0
Z ∞
dN
dv
0
dv = N0
Die Wahrscheinlichkeit nimmt für kleine v quadratisch mit v zu, für grosse v nimmt sie
exponentiell ab. Dazwischen liegt bei vmax ein Maximum. Die mittlere Schnelligkeit ist
1
v=
N0
Z ∞
dN
v
0
dv
s
Z ∞
vP (v)dv =
dv =
0
0.2
8kT
πm
s
>
vmax =
2kT
m