Fachrechnen für Bauberufe Fachrechnen für Bauberufe 1 Arithmetik – Algebra 2 Proportionalität 3 Trigonometrie 4 Planimetrie 5 Stereometrie 6 Allgemeines Rechnen Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines .......................................................................................................................... 3 1.1 Runden, Fehlerrechnung, Genauigkeit ...................................................................................... 6 1.2 Zahlensysteme ...................................................................................................................... 8 2 Addieren ............................................................................................................................... 9 2.1 Regeln.................................................................................................................................. 9 3 Subtrahieren ....................................................................................................................... 10 3.1 Regeln................................................................................................................................ 10 4 Rechnen mit Klammern, Vermischte Aufgaben......................................................................... 11 4.1 Regeln................................................................................................................................ 11 4.2 Übungen ............................................................................................................................. 12 5 Multiplizieren....................................................................................................................... 14 5.1 Regeln................................................................................................................................ 14 6 Dividieren / Bruchrechnen..................................................................................................... 16 6.1 Regeln: .............................................................................................................................. 16 6.2 Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV)............................................................... 18 6.3 Regeln zum Bruchrechnen..................................................................................................... 19 7 Potenzieren ......................................................................................................................... 22 7.1 Allgemeines ........................................................................................................................ 22 7.2 Regeln zum Potenzieren ....................................................................................................... 24 8 Radizieren (Wurzelziehen) .................................................................................................... 27 8.1 Allgemeines ........................................................................................................................ 27 8.2 Regeln zum Radizieren ......................................................................................................... 28 9 Gleichungen und Formeln ..................................................................................................... 31 9.1 Bestimmungsgleichungen ..................................................................................................... 32 9.2 Formeln .............................................................................................................................. 36 9.3 Gleichungen mit mehreren Variablen ...................................................................................... 37 10 Rechnen mit Einheiten und Grössen ....................................................................................... 39 11 Textgleichungen und vermischte angewandte Aufgaben ............................................................ 40 11.1 Übungen ............................................................................................................................. 41 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1-1: SI – Einheiten ............................................................................................................ 3 Abbildung 1-2: Strecke-Zeit-Masse ..................................................................................................... 4 Bemerkung Ausgabe 2011 Seite 2 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 1 Arithmetik-Algebra Allgemeines Einheiten und Grössen Jede physikalische Grösse ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Beispiel: Ein Gebäude hat eine Länge l = 12.00 m. l 12.00 m Grösse Zahlenwert Einheit Beim Rechnen haben wir es in der Regel nicht ausschliesslich mit Zahlenwerten zu tun, sonder mit physikalischen Grössen. Die Einheiten gehören also unbedingt zu einer Rechnung und zum Resultat. Regeln zum Rechnen mit physikalischen Grössen: Regel: Beispiel: Physikalische Grössen können nur addiert, bzw. subtrahiert werden, wenn die Einheiten gleich sind. 2 m + 8 m – 5 m = (2 + 8 – 5)m = 5 m Man addiert, bzw. subtrahiert, die Zahlenwerte und behält die Einheit bei oder wählt eine gemeinsame Einheit. 3.50 m + 30 cm = 3.50 m + 0.30 m = 3.80 m (sehen Sie auch Kapitel 10, „Rechnen mit Einheiten und Grössen“) SI – Einheiten (système international d’unités) Die zum technischen und physikalischen Rechnen benötigten Einheiten basieren auf dem internationalen Einheitensystem (SI – Einheiten) Wir unterscheiden zwischen: Basiseinheiten Algebraischen Einheiten Basisgrösse Symbol Basiseinheit Zeichen Fläche A Quadratmeter m2 Länge (Strecke) M Meter M Volumen V Kubikmeter m3 Masse m Kilogramm kg Dichte Kilogramm pro Kubikmeter kg/m3 Zeit T Sekunde S Geschwindigkeit v Meter pro Sekunden m/s Temperatur T Celsius ° Beschleunigung a Meter pro Sekunde im Quadrat m/s2 Abbildung 1-1: SI – Einheiten Seite 3 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Abhängigkeit von Strecke - Zeit - Masse Volumen V Dichte 3 [m ] m V Fläche A kg m3 Leistung 2 [m ] W t p J s W Arbeit W F s [J] Strecke s Zeit t Masse m [m] [s] [kg] Geschwindigkeit v s t m s Beschleunigung a v t Kraft m s2 F m a [N] Druck p F A N m2 Impuls Abbildung 1-2: Strecke-Zeit-Masse p m s kg m t s Seite 4 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Dezimale Vielfach und Teile von Einheiten Die ausschliessliche Verwendung der SI – Einheiten führt beim Rechnen meistens zu ungewohnten Zahlenwerten. Abhilfe: Man wendet die Vielfachen und Teile, dargestellt durch vereinbarte Symbole = Vorsätze, auch auf SI – Einheiten an. (sehen Sie auch Kapitel 7, „Rechnen mit Potenzen“) Faktor, mit dem die Einheit multipliziert wird. Vorsatz Name Symbol Faktor, mit dem die Einheit multipliziert wird. Vorsatz Name Symbol 1018 Exa E 10-18 atto A 1015 Peta P 10-15 femto f 1012 Tera T 10-12 piko p 109 Giga G 10-9 nano n 106 Mega M 10-6 mikro 103 Kilo K 10-3 milli m 102 Hekto H 10-2 zenti c 101 Deka da 10-1 dezi d Wie bereits erwähnt, können physikalische Grössen nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die gleichen Einheiten aufweisen. Das führt dazu, dass oft Einheiten umgerechnet werden müssen. Beispiele: 0.5 m 0.07 kN 50 cm 70 N 500 mm Übungen: Rechnen Sie folgende Einheiten um: 1. 0.221 km in _______________ m in _________________ dm 2. 8'000 l in _______________ dm3 in _________________ m3 3. 2.4 kg/dm3 in _______________ kg/m3 in _________________ t/m3 4. 25 N/mm2 in _______________ N/cm2 in _________________ kN/m3 Seite 5 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 1.1 Arithmetik-Algebra Runden, Fehlerrechnung, Genauigkeit Beim Rechnen mit Zahlenwerten ist zu unterscheiden zwischen genauen Zahlenwerten und genäherten (gerundeten) Zahlenwerten. Im formalen Rechnen (reine Mathematik) ist mit genauen Zahlen zu rechnen. In der Praxis jedoch ist es unsinnig, mit beliebigen Kommastellen zu rechnen. Im Normalfall werden Zwischenresultate eine Stelle genauer berechnet als das Endresultat. Viele Taschenrechner nehmen, bei entsprechender Eingabe, diese Resultate genau mit. Je nach Ausführung des Rechners können hier kleine Differenzen im Resultat entstehen. Regel „5/4-Rundung: Die Ziffern 0, 1, 2 , 3 und 4 werden abgerundet. 42.372 42.37 Die Ziffern 5, 6, 7 , 8 und 9 werden aufgerundet. 42.375 42.38 Schliesslich ist beim Runden auch die Grösse des Betrages massgebend. Die Differenz zwischen dem genauen Betrag und der Rundung wird als absoluter Fehler bezeichnet. Dieser ist bei der Fehlerbetrachtung jedoch nicht so wichtig wie der relative Fehler. Das bedeutet, dass beim Vergleich die Grösse des Betrages berücksichtigt wird. Um den relativen Fehler zu erhalten, muss man also den absoluten Fehler durch den genauen Wert dividieren. Oft wird dieser Wert in % angegeben. Beispiel: Folgende Zahlen sollen gerundet werden: absoluter Fehler: relativer Fehler: 1.73433 1.73 1.73433 1.73 0.00433 in %: 0.00433 100 1.73433 0.25% 173' 433 173' 400 173' 433 173' 400 33 in %: 33 100 173' 433 0.02% Dieses Beispiel zeigt, dass die Angabe der Genauigkeit nicht in Kommastellen anzugeben ist, sondern mit der gewünschten Genauigkeit in %. Übungen zu „Runden, Fehlerrechnungen“ 1. Runden Sie die folgenden Zahlen nach der 5/4- Rundung auf Hunderstel: a) 25.774 ______________ e) 0.000784 _______________ b) 0.3278 ______________ f) 0.989 _______________ c) 0.0458 ______________ g) 0.0914 _______________ d) 0.01347 ______________ h) 204.777 _______________ Seite 6 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 2. Arithmetik-Algebra Eine Näherungsformel für das Volumen eines Kegelstumpfes lautet: r1 V r2 2 2 h r1 , r2 h Radien der parallelen Kreisflächen Höhe des Kegelstumpfes Für die genaue Berechnung gilt: V 1 3 h r12 r1 r2 r22 Berechnen Sie jeweils das Volumen mit Hilfe der Näherungsformel und der genauen Formel (ohne Kommastellen) und ermitteln Sie den relativen Fehler in Prozent! (auf 2 Kommastellen) .1 r1 8.0 cm r2 6.2 cm h 11.6 cm .2 r1 5.7 cm r2 3.1 cm h 7.30 cm Berechnungsgang: Seite 7 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 1.2 Arithmetik-Algebra Zahlensysteme Im täglichen Rechnen verwenden wir das Zehnersystem. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis) 10. Das Dezimalsystem ist heute das weltweit verbreiteteste Zahlensystem. Da aber die elektronische Datenverarbeitung mit anderen Zahlensystemen rechnet, dem dualen und hexadezimalen, wird hier kurz auf das duale- und das hexadezimale Zahlensystem hingewiesen. Das duale oder binäre (lateinisch: aus zwei Einheiten bestehend) Zahlensystem verwendet lediglich die Ziffern „0“ und „1“. Alle Zahlen werden als Potenzen der Basis 2 dargestellt. vom Dezimalsystem ins Dualsystem Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode am Beispiel 41(10) beschrieben: 41 : 2 = 20 Rest 1 20 : 2 = 10 Rest 0 10 : 2 = 5 Rest 0 5:2= 2 Rest 1 2:2= 1 Rest 0 1:2= 0 Rest 1 Die entsprechende Dualzahl erhält man, indem man die errechneten Reste von unten nach oben liest: 101001(2). vom Dualsystem ins Dezimalsystem Um aus einer Dualzahl eine Dezimalzahl zu ermitteln, werden die Zweierpotenzen addiert, bei denen in der Dualzahl die Ziffer 1 steht. Beispiel: 1010(2) . Es wird von rechts nach links gerechnet: Die Produkte, die durch eine Null als Stelle zustande gekommen sind, hätten nicht errechnet werden müssen, können aber zur besseren Übersicht notiert werden. 0 · 20 = 0 1 1·2 =2 0 · 22 = 0 1 · 23 = 8 Übungen: 1. Die folgenden Dezimalzahlen sind als Dualzahlen anzugeben 24 ______________ Übungen: 2. Die Summe der Produkte ergibt 10(10). 30 ___________ 100 ____________ 250 ___________ Die folgenden Dualzahlen sind als Dezimalzahlen anzugeben 10101 ____________ 1010101 ______ 11111111 _______ 1110 __________ Seite 8 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 2 2.1 Arithmetik-Algebra Addieren Regeln Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Die Glieder einer Additionsaufgabe heissen Summanden. Mehrere Summanden bilden eine Summe. 3+5=8 Summe Nur Zahlen mit gleichen Variablen können summiert werden. Man addiert bei gleichartigen Summanden die Beizahlen. a+b =c (a, b) (c) = Summanden = Summe Beizahlen 5a + 2b + 6a + b = 5a + 6a + 2b + b = 11a + 3b (5, 2, 6, 1) = Beizahlen Die Summen dürfen vertauscht werden. Kommutativgesetz 3+5=5+3 a+b=b+a Einzelne Glieder können zu Teilsummen zusammengefasst werden. (2 + 5) + 3 = 7 + 3 = 10 (a + b) + c =d 2 + (5 + 3) = 2+ 8 = 10 a + (b + c) =d Additionen können grafisch auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. 3x + 6x = 9x x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6x 3x 9x Übungen: Addieren von gleichartigen und ungleichartigen Zahlen 1. 2x + 15x + x + 3x = _______ 2. 19ab + 13ab + 6ab+17ab = 3. 19a + 17a + 3x + 6x + 4x = _______ 4. 6y + 3x + 5a + 3x + 6a +10y = ________ 5. 10.2bx + 9.6ax + 0.8bx + 0.1ax = _______ 6. 7x1 + 8x1 + 4x2 + 29x2 +4 = ________ ________ Seite 9 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 3 3.1 Arithmetik-Algebra Subtrahieren Regeln Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Die Glieder einer Subtraktionsaufgabe heissen Minuend und Subtrahend. Diese bilden eine Differenz 7-3=4 Differenz Nur Zahlen mit gleichen Variablen können subtrahiert werden. Man subtrahiert die Beizahlen a-b =c (a) (b) = Minuend = Subtrahend Beizahlen 8a - 2b - 5a 8a - 5a - 2b Die Zahlen und Buchstaben dürfen vertauscht werden. 9-7=-7+9 a-b=-b+a Ist der Subtrahend grösser als der Minuend. Ist die Differenz negativ x 7–9=-2 a–b=c -5 -4 -3 = = 3a - 2b Wert für c ist negativ -2 -1 0 1 2 3 4 5 4x 2x 6x Übungen: 1. 16a – 15a = 2. 12x – 5x = 3. 36ax – ax = 4. 7a – 4a – a = 5. 8ab – 3ab - ab = 6. 10.8x – 0.9x = 7. 11.4x – 0.3x – 1.6x = 8. 47a – 58a = 9. 15ab – 28ab = 10. 19d – 21d = 11. 18x – 50x = 12. 12.7ax – 12.8ax = 13. 8a – 5a – 3b = 14. 8b – 3c – 9b = 15. 102ax – 3.1a – 193ax = 16. x –20x = 17. 96.7c – 43.8c – 4.9c = 18. 3.5m – 15dm = Seite 10 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 4 4.1 Arithmetik-Algebra Rechnen mit Klammern, Vermischte Aufgaben Regeln Wie wir bei den Beispielen auf dem Zahlenstrahl gesehen haben, muss bei der Addition und der Subtraktion zwischen Vorzeichen (positiver oder negativer Zahlenwert) und Rechenzeichen (Operationszeichen) unterschieden werden. Die Klammer dient dazu, Vor- und Rechenzeichen zu trennen, oder eine Reihenfolge in der Berechnung festzulegen. Beispiel: 4 .2 0(a ) 1 .7 0(b ) x Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel x = 4.20 – 1.70 – 1.20 x=a–b–c x = 4.20 – (1.70 + 1.20) x = a – (b + c) 1 .2 0(c ) Bei Berechnungen mit verschiedenen Operationen ist die Punkteregel zu beachten: Punkt – Operationen (Multiplikation, Division) müssen vor den Strich – Operationen (Addition, Subtraktion) ausgeführt werden! c = 3 (0.80 + 0.40) c = 3 (a + b) c = 3 1.20 = 3.60 c = 3a + 3b Wird die Klammer nicht gesetzt, erhalten wir gemäss Punkteregel ein falsches Resultat c = 3 0.80 + 0.40 c=3 a+b c = 2.40 + 0.40 = 2.80 c = 3a + b Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, so kann man diese weglassen. 5 + (2 + 4 – 7) = 5+2+4–7 = a + b 8 0 4 0 a b c a b a + (b + c – d) = 5 + (-1) = 5 – 1 = 4 a+ b + c – d Ein Minuszeichen vor der Klammer verändert alle Rechenzeichen in der Klammer. 5 - (2 + 4 – 7) a - (b + c – d) = 5-2-4+7 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6 a-b-c+d Bei mehreren Klammern von innen nach aussen auflösen 5 - {2 + [ 4 - (7 + 3)]} = a - {b + [ c - (d + e)]} = 5 – {2 + [ 4 – 7 – 3]} = a – {b + [ c – d – e]} = 5 – {2 + 4 – 7 – 3} = a – {b + c – d – e} 5–2–4+7+3 a–b–c+d+e = =9 = Seite 11 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 4.2 4.2.1 4.2.2 Arithmetik-Algebra Übungen Pluszeichen / Minuszeichen vor einer Klammer 1. x + 7 + (2x + 5) = 2. 30x + (5x – 2y) = 3. 0.2a + (5b + 0.5a) – b = 4. (2a – 2b) + (3a + 4b) + (5a – 6b) = 5. (8x – 3y) + 9z + (y + 4x – 3z) = 6. 2a + 4b – (4a – 5b) = 7. 6a – 2b + 5c – (-7b + 4c) = 8. 50x – (20y + 24z) + (20x + 23y) – (45x + 11z – 32y) = Klammern in Klammern, vermischte Aufgaben 1. 25a – [36b – (19a – 11b) – 12a] = 2. 18a – [(14a – 8b + 2c) – (8a + 12b – 3c)] = 3. a + b + c + d – [(d + a) – (b + c – a)] = 4. 11a – [(5a + 3b) – 5b – (4a + 5b)] = 5. 6m + 5n – (8p + 6q) – [5m – 3n + (7p + 4q)] = 6. (x – y) + {z + [2x – 3y + (2z – 3x) + p] – y} = 7. 7 – {[(26x + 37y – 25z) + 19y – 16a] – 8x + 9z + 6} = 8. [(-3cd + 5) – 25] – [18 – (7 +3cd)] + [6 – (ay + 10) – (3ay – 9)] = Seite 12 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Aufgaben aus der Praxis 1. Beim Ausmessen eines Sockels in einem Neubau ermitteln Sie folgende Masse: 5.20 m + 7.0 m + 350 cm + 7.80 m + 30 cm + 0.80 m + 0.5 m Abzüge: 120 cm, 0.50 m, 50 cm Berechnen Sie die Länge des Sockels. y 2. Berechnen Sie die Masse x und y in Meter 3 0 2 .2 0 x 3 .7 0 3 0 7 .8 0 x 3. Berechnen Sie die Masse x, y, z: a) mit Hilfe der Variablen a, b b) wenn a = 5.80 m, b = 0.35 m b a b a y mit Hilfe der Variablen b) wenn a = 80 mm, b = 65 mm, c = 43 mm c 5. Berechnen Sie den Umfang des Gebäudes: mit Hilfe der Variablen b) wenn a = 4.00 m, b = 5.00 m c) wenn a = 3.80 m, b = 4.00 m b c b 2a a a) 2a 3b 2b a) z 2a b x b 4. Berechnen Sie den Umfang U des Stahlprofils und die Stegbreite x: b 4a 4.2.3 Arithmetik-Algebra 8a Seite 13 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 5 5.1 Arithmetik-Algebra Multiplizieren Regeln Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Faktor mal Faktor gleich Produkt 2 5 = 10 x y=z Faktoren dürfen vertauscht werden 3 4 5=4 3 5 a b c=b a c 5 3 4=5 4 3 5a 4b 3c = 60abc 3 4 5 a b c Kommutativgesetz Einzelne Faktoren dürfen zu Teilprodukten zusammengefasst werden. = (3 4) 5 = (a b) c 3 (4 5) = (3 4) 5 a (b c) = (b a) c 2 5 Assoziativgesetz Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird das Produkt positiv a x = ax (-2) (-5) = 10 = 10 (-a) (-x) = ax 3 (-8) = -24 a (-x) = -ax (-3) 8 = -24 (-a) x = -ax + mal + = + - mal - =+ Haben zwei Faktoren ungleiche Vorzeichen, so wird das Produkt negativ + mal - =- mal + = - Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert. 7 (4 + 5) = 63 a (b + 2b) = 3ab 7 4+7 5 = 63 a b + a 2b = 3ab Ein Klammerausdruck wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. (3 + 5) (10 – 7) = 24 (a + 2a) (b + c) = 3 10 + 3 -7 + 3a (b + c) Generell gilt: 3 0=0 a 0 10 a 0 b 3 5 + 3 6 = 3 (5 + 6) 3a + 3b = 3 (a + b) au + bu – cu = u (a + b – c) 5 10 + 5 -7 = 24 a b + a c + 2a b + 2a c = 3ab + 3ac Ist in einem Produkt mindestens ein Faktor Null, so ist das ganze Produkt Null Zerlegen in Faktoren: Aus einer Summe kann der gemeinsame Faktor ausgeklammert werden, indem man den Faktor vor die Summe stellt und die Klammern beibehält. = 3ab + 3ac =0 =0 Seite 14 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 5.1.1 Arithmetik-Algebra Übungen Folgende Ausdrücke sind zu multiplizieren: a) ( -6) (+12) = d) (-1) (-1) = g) (-118) (+0.5) = b) (+15) (-15) = e) (-0.38) (-11.7) = h) (-0.5) (-0.5) (-0.5) = c) (-120) (+6.5) = f) (-21.3) (-18.5) = i) (-9.5) (+9.5) (-9.5) = j) 7a 6 = m) -0.4c 5d = p) a b (-5c) = k) 3a 2b = n) 0.75a 0.5b = q) 5a 0.5b 8c = l) 5x 7y = o) 4 5 b = r) x (-y) = g) (a – 5) (6 + b) = Folgende Klammerausdrücke sind zu multiplizieren: a) 6 (a + b) = d) (x + 8) (a + 20) 3 = b) 2a (5a + 3b) = e) (4 + 2a - 3c) (12 – 2d – 5b) – [(12d – 6b) 9a] c) (3x – 2y) a f) (3x + 4y) (6a + 9b) = = = Folgende Faktoren sind zu zerlegen: a) bx - b = d) (a –b) x +(a – b) y = b) ax – 4az + 5ay = e) (4n + 3m) b + 4n + 3m = c) am + bm – cm + xm = f) (4a – 2b) (x + y) – (3a + 4b) (x +y) = Seite 15 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 6 6.1 Arithmetik-Algebra Dividieren / Bruchrechnen Regeln: Regel: Zahlenbeispiel: Dividend : Divisor = Quotient Zähler = Quotient : Nenner 10 : 2 = 10 2 5 Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buchstabe, Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes Glied in der Klammer durch diesen Wert dividiert. (16 – 4) : 4 = Beim Dividieren dürfen Zähler und Nenner (Dividend und Divisor) nicht vertauscht werden. 21 3 16 : 4 – 4 : 4 4–1 Algebraisches Bespiel = a b c (a + b) : c = a c b c a:b = =3 a b b a b b b a 1 b (16 – 4) : 4 = 12 : 4 = 3 3 21 16a 3b 3b 16a Das Kommutativgesetz gilt nicht! Der Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusammen wie eine Klammer. 3 4 2 Ist in einer Summe oder einer Differenz jedes Glied durch den gleichen Faktor teilbar, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden. 28 + 14 = 7 4 + 7 2 ax – ay = a x – a y 7 (4 + 2) a (x – y) Haben Zähler und Nenner (Dividend und Divisor) gleiche Vorzeichen, so wird der Quotient positiv. 15 15 : 3 5 3 a b + geteilt durch + = + - = + geteilt durch - Haben Zähler und Nenner (Dividend und Divisor) ungleiche Vorzeichen, so wird der Quotient negativ. + geteilt durch - = - - = - geteilt durch + a b h h (a b) 2 2 (3 4) : 2 15 3 15 : 3 5 15 3 15 : 3 15 15 : 3 3 5 5 a:b a b a b a b a: b a:b a: b a b a b a b Seite 16 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 6.1.1 Arithmetik-Algebra Übungen Die Ergebnisse sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen zu runden. a) b) c) 560 7 112 16 78 3 = d) = e) = f) 108 6 = g) ( 2.5) ( 3.8) 4 = 132 11 = h) 10.6 3.5 ( 4.5) = 76 4 = i) ( 31.6) ( 4.8) = 3.3 ( 2.8) Die gegebenen Ausdrücke sind zu dividieren. a) 42a : 6 b) 4ab : c) (35abc d) (96x e) (18ax : (9ac f) (16xy g) = 1 a 2 = 28abc 64y 32xz 5x : 3x y 21abc) : 7bcd 16z) : ( 16) 36ad 24by 18ax) 48bz) : (4y = = = 8z) = = Seite 17 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen (ggT) Die Ermittlung des ggT wird bei der Durchführung von Divisionen benötigt. Der ggT ist die grösste Zahl, die in mehreren Faktoren enthalten ist. Um diese Zahl zu finden, zerlegt man die Zahlen in Primfaktoren. Den ggT erhält man aus dem Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der Zahlen. 2 3 48 = 2 2 2 2 3 84 = 2 2 3 120 = 2 2 2 3 ggT = 2 2 3 = 12 Variablen werden als Primzahlen 60abcx behandelt, welche sich nicht 120ax weiter in Faktoren zerlegen las140abx sen. ggT 6.2 2 3 5 = 2 2 3 = 2 2 2 3 = 2 2 5 7 7 5 7 a b c x 5 a b c x 5 a 5 7 x a b x = 2 2 5 a x = 20ax Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV) Die Ermittlung des kgV wird bei Bruchrechnungen bei der Ermittlung des Hauptnenners, beziehungsweise zum „Gleichnamigmachen“ von verschiedenen Brüchen verwendet. 18 Das kgV ist die kleinste Zahl, in der mehrere Zahlen als Faktoren enthalten sind. 12 kgV = 36 2 Um das kgV zu finden, zerlegt man die Zahlen in ihre Primfaktoren. Von jeder vorkommenden Zahl sucht man dann die grösste Anzahl heraus. 6 3 18 = 2 3 6 = 2 3 = 2 2 3 12 kgV 3 = 2 2 3 3 = 36 Eine Zahl ist Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selber ohne Rest teilbar ist. z.b: 2, 3, 5, 7, 11......(Die 1 ist keine Primzahl) Seite 18 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 6.3 Arithmetik-Algebra Regeln zum Bruchrechnen Das Erweitern und Kürzen von Brüchen Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. 1 4 a b Beim Kürzen werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividiert. 6 24 Summen oder Differenzen im Zähler oder Nenner sind vor dem Kürzen oder Erweitern zu berechnen. 18 24 260 20 1 6 4 6 6 24 6:6 24 : 6 1 4 6 280 a c b c ac bc 3 140 c b ac bc (a c) : c (b c) : c a b b c kann nicht gekürzt werden! Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man Zähler addiert oder subtrahiert und den Nenner unverändert lässt. 5 8 2 8 1 8 5 a 3 a 5 2 8 1 5 3 a 1 2 2 3 Bei ungleichnamigen Brüchen muss zuerst der Hauptnenner gebildet werden. Der Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame Nenner, in dem die Nenner aller Brüche ganzzahlig enthalten sind. 3 4 6 8 3 4 a b ? c d 7 a 7 9 a ? Hauptnenner ist 12 Hauptnenner ist b d 1 6 2 6 a d c b b d 6 12 2 4 3 4 8 12 3 3 4 3 9 12 6 8 9 12 ad bc bd 5 12 Seite 19 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Das Multiplizieren von Brüchen Regel: Eine ganze Zahl wird mit einem Bruch multipliziert, indem man den Zähler des Bruches mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt unverändert. Ein Bruch wird mit einem anderen Bruch multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Gemischte Zahlen werden miteinander multipliziert, indem man sie erst in unechte Brüche verwandelt und dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Zahlenbeispiel: 2 3 4 8 3 4 2 3 2 3 2 5 7 2 Algebraisches Bespiel 6 a b 6a b 2 3 3 2 5 7 1 3 3 7 3 3 1 a c b d 6 35 a c b d ac bd 7 3 7 31 Das Dividieren und Umwandeln von Brüchen Regel: Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Zähler bleibt unverändert. Eine ganze Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Zahlenbeispiel: 1 :3 4 5: 3 4 1 4 3 1 12 4 3 20 3 5 Algebraisches Bespiel a :5 b 6 2 3 10 : a 5b y x 10 y x Den Kehrwert erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert, indem man den Bruch im Zähler mit dem Kehrwert des Bruches im Nenner multipliziert. 3 3 : 4 5 Ein gemeiner Bruch wird in einen Dezimalbruch verwandelt, indem Zähler mit Nenner dividiert wird. 3 8 3 5 4 3 15 12 5 4 a c : b d a d b c ad bc 3 : 8 0.375 Seite 20 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 6.3.1 Arithmetik-Algebra Übungen Die folgenden Brüche sind zu addieren bzw. zu subtrahieren: a) 1 5 5 6 b) 3 4 3 9 12 5 7 = c) 13.5 6.5 42.8 12.8 3 7 2 4 5 9 4 8 3 5 = d) 5y 4x 4y 48 12 50 x y 3x 3y = 2x 7x 7y = Die folgenden Brüche sind zu multiplizieren: a) 3 1 ; 4 2 7 ; 7 b) 5a a x 14ax 7x 15a a x 12 1 3 jeweils mit 5 c) 1 ; 6 7 ; 16 9 23 c) 2 7 ; 5 7 8 ; 9 14 jeweils mit 1 3 jeweils mit 3 5 Die folgenden Brüche sind zu dividieren: a) 6 ; 7 12 ; 15 27 35 b) am an ax ay : m x jeweils mit 7 1 6 = Die folgenden Brüche sind zu vereinfachen: a) 1 4ab : a 2 = c) 55ay 66by 45ax 54bx = b) 5x : 3x y = d) 2ab 3ay 2bx 3xy 2ab 3ay 2bx 3xy = Die folgenden Doppelbrüche sind zu vereinfachen: a) 18de 5f 12d 15fg = b) 34a 24d 51b 60d = Seite 21 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Allgemeines Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt geschrieben werden. Die abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz; der Rechenvorgang wird als Potenzieren bezeichnet. Eine Potenz besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Exponent 5 5 5=5 3 = 125 (Potenzwert) Basis Fläche des Quadrates 2 S A = s s = s2 2 5 5 S Beispiele: S A = 5 mm 5 mm = (5 mm)2 A = 25 mm2 S 5 Volumen des Würfels 3 V = s s s = s3 3 S V = 5 mm 5 mm 5 mm = (5 mm)3 5 5 7.1 Potenzieren S 7 Arithmetik-Algebra V = 125 mm3 S S 5 5 Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis von Potenzen sein. Beispiele: Binome: Produkt: (5a)2 = 5a 5a = 25a2 (5a)2 = 52 a2 =5 5 a a Bruch: 33 b3 Klammer: (a + b)2 = (a + b) (a + b) 3 3 3 1 b b1 b1 = 25a2 27 b3 (a + b)2 = a2+2ab+b2 (a - b)2 = a2-2ab+b2 (a + b)(a - b) = a2- b2 Seite 22 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Potenzen mit negativen Exponenten Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch mit einem negativen Exponenten im Zähler geschrieben werden. < 1 W e r t e > 1 1 1 1 1 1 01 0 01 0 0 0 1 0 0 01 0 01 0 Umgekehrt kann eine Potenz mit negativem Exponenten im Zähler, als Potenz mit positivem Exponenten im Nenner geschrieben werden. Beispiele: 31 21 11 01 11 21 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 42 4 2 15 3 1 153 km 15km h 1 15 h 1 an a n 1 min min 1 g (kW h) 1 g kWh Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen) Potenzen mit der Basis 10 werden häufig als verkürzte Schreibweise für sehr kleine oder sehr grosse Zahlen verwendet. Werte grösser 1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden. Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird meist im Bereich zwischen 1 und 10 angegeben. Beispiele: 4'200'000 0.0000042 = 4.2 1'000'000 = 4.2 106 = 4.2 0.000 001 = 4.2 10-6 Merke: Man schreibt also 4.2 106 und nicht 0.42 107 oder 42 105. Zehnerpotenzen Schreibweise als ausgeschriebene Zahl Zehnerpotenz Vorsatz bei Einheiten 1'000'000.00 106 100'000.00 105 10'000.00 104 1'000.00 Mega M 103 Kilo K 100.00 102 Hekto ha 10.00 101 Deka da 1.00 100 0.1 10-1 dezi d 0.01 10-2 centi c 0.001 10-3 milli m 0.0001 10-4 0.00001 10-5 0.000001 10-6 mikro Seite 23 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 7.2 Arithmetik-Algebra Regeln zum Potenzieren Beim Rechnen mit Potenzen sind besonders die folgenden Regeln zu beachten: Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Formel Potenzen dürfen nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie sowohl denselben Exponenten als auch dieselbe Basis haben. 2 52 a3 axn Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und ihre Basis beibehält. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält. 4 52 52 2 2 32 1 32 1 32 3 35 oder: 3 7 4 n d dn n 3 d 3 dn x x x x x x bxn xn a b a xn ax n xm xn xm xn yn xy n x6 oder: 3 3 x4 x2 2 3 x 4 2 x6 35 42 62 4 6 2 6x2 3y2 18x2 y2 18 x y 242 576 43 42 4 4 4 4 4 4 oder: m3 m2 n 2 m m m m m m xm xn xm n an bn a b n oder: 43 4 41 2 x4 x2 3 3 3 3 3 3 2a3 6 52 4 32 33 2 a3 2 43 2 4 152 32 5 5 15 3 2 2 5 m3 m2 m1 m a3 b3 a b m3 3 2 25 Seite 24 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Regel: Zahlenbeispiel: Werden Potenzen mit einem Faktor multipliziert, so muss zuerst die Potenz berechnet werden. 6 103 Algebraisches Bespiel Formel 6 1' 000 6 ' 000 7 10 Jede Potenz mit dem Exponenten Null hat den Wert 1. 7.2.1 Arithmetik-Algebra 104 104 1 2 7 100 104 4 0.07 100 m n 0 a0 1 1 Übungen Die Ausdrücke sind in Potenzform zu schreiben resp. Auszurechnen. a) 4a 2a a = b) 2.5m 6m 1.3m = c) 16dm 2dm 4dm = d) 6a 5b 1 b 2 3a 5 = e) 0.5cm 1 3 cm cm = 10 4 f) 22 ;23 ;24 g) 32 h) 101 ;103 ;0.52 ;33 ;43 Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln. a) 100 ;1000 ;0.01 b) 1' 647 ' 978 c) 0.033 ;0.756 ;0.0021 d) 1 10 ; 33 100 Die folgende Abmessung ist in m umzuwandeln. 12 a) Durchmesser eines Atomkerns d 10 cm b) Durchmesser eines Atomkerns d 3 10 8 cm Seite 25 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen. a) Lichtgeschwindigkeit c = 299'790'000 m/s = b) Umfang des Äquators U = 40'076'594 m = c) Oberfläche der Erde O = 510'100'933 km2 = Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu multiplizieren. a) 5b3 7b3 b) 9m3 c) 15x 4 y 3x2 y3 5x 4 y d) 2.6a2 5.9a3 3.1a3 9n3 3b3 12n3 5m3 n3 19.7a2 a3 Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren. a) 42 43 b) a5 a4 d) 0.5b3 1.3b2 e) 441x6 g) 493 73 h) 6.8a2 0.17a2 21x2 c) 2x2 4x 5x3 f) 51a4b3 17a2b3 i) 4a x ax Die Potenzen sind zu vereinfachen. a) a7 a 6 b) x 5 d) x2 x4 e) y3 y5 x6 3 c) z f) xm xn z 2 Seite 26 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8 8.1 Arithmetik-Algebra Radizieren (Wurzelziehen) Allgemeines Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden und dem Wurzelexponenten. Der Radikand steht unter dem Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen. Der Wurzelexponent steht über dem Wurzelzeichen und gibt an, in wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll. Wurzelexponent 2 16 4 Wert der Wurzel Radikand Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt werden. Der Radikand erhält im Exponenten eine Bruch. Der Zähler entspricht dem Exponenten des Radikanden, der Nenner entspricht dem Wurzelexponenten. 9 Beispiel: 2 9 1 9 1 2 n a n a1 1 an Quadratwurzel 2 16 (sprich Quadrat- Wurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet, man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 16 ergibt. 16 Beispiel: 4, denn 4 4=16 Der Wurzelexponent 2 wird meistens weggelassen. 2 42 4 4 16 4 2 16 16 2 a 2 2 a2 a1 a Kubikwurzel 27 (sprich Kubikwurzel- Wurzel aus 27 oder 3. Wurzel aus 27) bedeutet, man sucht eine Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert 27 ergibt. 3 Beispiel: 3 27 3, denn 3 3 3=27 3 a 3 3 a3 a1 a Seite 27 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8.2 Arithmetik-Algebra Regeln zum Radizieren Regel: Zahlenbeispiel: Algebraisches Bespiel Formel Wurzeln dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche Exponenten und Radikanden haben. Man addiert (subtrahiert) die Faktoren und behält die Wurzel bei. 2 6 8 m a m (2 3) Ist der Radikand ein Produkt, so kann die Wurzel entweder aus dem Produkt oder aus jedem einzelnen Faktor gezogen werden. Ist der Radikand eine Summe oder eine Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden. Ist der Radikand eine Quotient (Bruch), so kann die Wurzel aus dem Quotienten oder aus Zähler und Nenner getrennt gezogen werden. 3 6 6 9 16 5 144 6 12 oder: 9 16 3 4 9 9 12 16 52 42 25 16 9 25 (8 3 m 3) m 3 a b 3 a 3 3 a 4 a b 5 m (a b m b) m n a b n a n a b n a n b b 16 25 5 9 3 0.36 0.6 b 3 4 4 a b (a b) b n n a n b (a b) oder: 9 25 9 25 3 5 0.6 Seite 28 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8.2.1 Arithmetik-Algebra Übungen 1. 1.1 Die Wurzeln sind zu berechnen, bzw. vereinfacht darzustellen. 169 3 (a b)2 1.2 a 8m3 2. Berechnen Sie x2 2.2 Berechnen Sie c2 25 49 225 16 3 0.008 9c2 4b2 x = 10 m, y = 7.5 m 2.3 x = 0.48cm, y = 0.36cm 3.2 b = 1.5 m, c = 2.5 m 3.3 b = 0.16dm, c = 0.20dm Die Wurzelausdrücke sind zu addieren bzw. zu subtrahieren. a 4.1 5. 1.21 b2 ; für 3.1 b = 12, c = 15 4. 1000 y2 ; für 2.1 x = 8, y = 6 3. 3 121 a 4.2 2 m 4.3 2m b 7 m 3n b 4.4 5 9 3 9 4.5 c c 2 c Die Ausdrücke sind teilweise zu radizieren und dann zusammenzufassen. 5.1 2 a 5.2 7 5.3 4 3 3 a 5 3a 54 3 3 16 14 16 3 4 5a 2 5 75 49 5 3 27a 128 12 8 10 2 45a 3 192 3 4 147 192 45 3 25 Seite 29 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 6. Die Ausdrücke sind teilweise zu multiplizieren bzw. zu dividieren. (ohne Taschenrechner) 6.1 4 6.2 42 6.3 5a 6.4 16 49 6.5 4x2 y2 7. Arithmetik-Algebra 9 32 7 6.8 7ax 20a 6.9 3 6 2 3 6.14 6.10 3 3 6.15 3 ab2 6.16 3 16 6.11 28a 81 8 42x 6.7 6.12 7a 7x 6.13 3 7a2 48x 48x 6x 24x a b a 3 3 a2 b 4 Die Wurzelausdrücke sind zu berechnen. 7.1 a3 x b c3 x a 7.7 x6 a2 7.8 ab2 7.9 7.2 3 a3 x 7.3 3 a2 b 3 7.4 a b 7.5 4x2 9 3 9y2 16 a b 3 3 5 2 4 21' 313 mm2 0.7m 2 (0.9m) 6.3 7.10 7.11 20 3 m min 4 2a 3 2 19 0.26m 2 m min 2 2 2 Seite 30 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8 Arithmetik-Algebra Gleichungen und Formeln Mathematische und naturwissenschaftliche Gesetze und Zusammenhänge lassen sich durch Gleichungen und Formeln darstellen. Es gibt eine Vielzahl verschiedener Gleichungsarten, insbesondere im Bereich der Bestimmungsgleichungen (nach Art der Berechnung wie zum Beispiel lineare, quadratische, Exponential- oder Proportionalitätsgleichungen). Die folgende Aufstellung gibt einen grundsätzlichen Überblick über die Gleichungsarten: Gleichungsart Beispiel: Grössengleichungen (Formeln) stellen die Beziehung zwischen Grössen dar. v d n v ks J2 R 3 1. Zahlenwertgleichungen geben die Beziehung von Zahlenwerten und Grössen wieder. 1 2 gilt nur für: 2. Zahlenwertgleichungen geben die Beziehung von Zahlenwerten und Grössen wieder. P v Geschwindigkeit in m/s ks Rauhigkeitswert in ----- R Hydr. Radius in m h g 100 gilt nur für: P hydr. Druck in bar h Tiefe in m Dichte in kg/dm3 g Erdbeschleunigung 9.81m/s2 Bestimmungsgleichungen sind algebraische Gleichungen, bei denen Werte bestimmter Variablen zu berechnen sind. x 3 8 x x 8 5 3 3 Der Wert von x ist durch die übrigen Grössen 3 und 8 eindeutig bestimmt. Seite 31 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8.1 Arithmetik-Algebra Bestimmungsgleichungen Man kann eine Gleichung mit einer Waage im Gleichgewicht vergleichen (= wahre Aussage) Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen steht Eine Gleichung bleibt eine wahre Aussage, wenn man beide Seiten auf gleiche Weise verändert 2 8 = Term 1 + 1 Term 2 5 + 5+ 15 2 = 7 2 -2 = 7–2 5 = 5 Bei den Bestimmungsgleichungen wird der Wert der Variablen (meistens x) berechnet, indem durch Umformung der Variablen x auf der linken Seite alleine steht und positiv ist. Für die Umformung gelten die Rechenregeln der entsprechenden Rechenart. Die Richtigkeit der Lösung kann überprüft werden, indem der x- Wert in die Anfangsgleichung eingesetzt wird. Eine richtige Lösung führt zu einer wahren Aussage. Beispiel: 2 (x – 3) + 4 = 7–x 1. Ausmultiplizieren (Klammern beseitigen) 2x–6+4 = 7–x 2. Zusammenfassen 2x–2 = 7–x 3. Die Variable X auf eine Seite bringen 2x–2+x = 7 4. Die Variable X zusammenfassen 3x -2 = 7 5. Die Variable x isolieren 3x = 7+2 6. Nach der Variablen X auflösen = 9 3 7. Kontrolle ob die Aussage wahr ist Die Aussage ist richtig denn x 2 (3 – 3)+ 4 = 4 = 3 7–3 4 Seite 32 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Übersicht Arithmetik-Algebra „ Umformen von Gleichungen“ Zahlenbeispiel Algebraisches Bespiel Anwendungsbeispiel x a b x 27 3x 6x 22 3x x a b x 3x 27 6x 3x 22 3x 22 3x 3x Addieren x 7 18 x 7 18 x 18 x 11 7 x 7 a b 4x a 4x 3x 27 x x 27 27 27 3x 22 22 27 27 22 x 27 5 Subtrahieren y 5 y 5 9 5 y 9 5 5 14 y c y c y d c c d c c d x 2 x 13 1 2 1 x 2 x 2 1 13 1 13 2 13 x 2 2 15 Multiplizieren 6 x 23 6 a x b 6 x 6 23 6 5 3 6 ax a b a x b a x a Dividieren y 3 y 3 3 7 y c y c c 3 7 3 y 21 d 9 x 9 x c d c y cd 3 x 3 9 3x 9 3 3x 3 x 3 x x 3 Potenzieren x 3 3 64 3 x c 3 3 3 3 x 3 3 4 3 3 x3 3 43 3 x3 3 c3 x 4 x c x3 3x c3 Radizieren x x 2 12 x 2 12 144 2 x x 2 m x 2 m 2 m 2 15 x 15 x 15 2 3 x 2 3 x x 3 x 2 x 6 Seite 33 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8.1.1 Arithmetik-Algebra Übungen Lösen Sie nach x auf: 1. x + 25 = 40 2ab – nx = ax – 2bn 2. 79 + x = 130 10. 9. 2n – nx = mx – 2m 3. 12 + x = 21 11. 4m + nx – 2n = 2mx 4. 27x –21 = 27 + 3x 12. cx – 17nx + 85dn = 5. 8x – 17 = 7x –20 13. 6bc –2bx = 15ac –5ax 6. 7.5 = x – 13.1 14. 39bn – 3bx = 7ax – 91an 7. 3 = 10x – 7 15. 45 – 15x = 9bx – 27b 8. 7.3 x = 87.6 16. 4rx = 4mr + 6sx – 6ms 5cd Zahlengleichungen mit Brüchen; Variable steht im Zähler 6 13 10x 17. x 5 18. x 12 0.4 27. 7 19. 7x 3 14 28. 4 20. x 3 6 29. 5x 4 2 3 7x 6 30. x 18 x 3 x 9 18 2x 21. 22. 23. 24. x 17 16 3 15 2x 26. 40 x 12 31. 3 3 7 2 50x 7 4 18 5 14 5 3x 9 2 41 7x 17 4 4 3 50 8x 3 3x 3 32. 5 2 8x 7 6 6 33. 7 2 x 2 3 2x 3 9 x 1 14x 3 10 3 5x 1 8 Seite 34 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 34. 3 x 2 35. a 36. 37. 38. 3 c x b 19 x 4 x 1 3x 4 2 2 9 3 x abx m abx n x a n n x a 1 x a 10x 6 7 41. cx ab 42. 2x 1 x 43. 2x2 6 1 x2 2x 2 x 1 44. cx c2 45. mx 2mn 46. 4a 2ab x 2a2 x 47. a x b2 b x a2 c x a 2a x c 18 x 2x 5x 1 a n n 9b 3x 19 x 3 4 dx ab c 2x2 6 1 x2 2 dx 1 x 3c 6c 3 x 5x m n mn 40. d 3 7 2b 4c a 2 5x 12c2 4c2 x2 6c 2x 3 4 5 3 39. 48. Arithmetik-Algebra 1 c 1 16 2x 2 d2 2cd m2 8 x nx n2 x cx a Seite 35 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8.2 Arithmetik-Algebra Formeln Alle Formeln sind Gleichungen, die technische oder naturwissenschaftliche Zusammenhänge beschreiben. Für die Umformung gelten die Regeln der Gleichungslehre: Auf beiden Seiten immer die gleichen Veränderungen vornehmen. Die gesuchte Grösse muss bei der Lösung allein auf der linken Seite stehen und positiv sein. Im Gegensatz zur Bestimmungsgleichung kann bei den Formeln jede der Variablen die gesuchte Grösse sein: U = 2(a +b) Seiten a und b bekannt, Umfang U gesucht. Umformen nach a Umfang U und Seite b bekannt, Seite a gesucht U U 2 U b 2 2 a b b a b b U b 2 a 8.2.1 2 a b Übungen Die folgenden Formeln sind nach den einzelnen Grössen umzustellen: 6. V F 3 7. A M F F 1 B 8. V 9. A 1. L l la 2. F 1 F 2 3. F A 4. U d a c 11. sin 12. v l b h 13. F a 1 F b 2 l 1 14. A D d 4 A h d h 2 l 2 b s t Seite 36 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 8.3 Arithmetik-Algebra Gleichungen mit mehreren Variablen Gleichungen mit mehreren Variablen können nur dann gelöst werden, wenn zwei oder mehrere wahre, nicht identische Aussagen über die Variablen vorliegen. Beispiel: 15x + 2y = 126 3x – 4y = 12 bedeutet „und“ Zum Lösen der Gleichungen stehen verschiedene Methoden zur Verfügung: 1. Additionsmethode Man multipliziert eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen, dass beim anschliessenden Addieren entsprechender Glieder eine Variable wegfällt. Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst 15x + 2y = 126 4y = 12 30x + 4y = 252 = 12 = 264 = 8 3x - 3x - 4y 33x x Um die zweite Variable zu finden, setzt man die die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen ein und rechnet sie aus! 3x - 4y = 12 3 8 - 4y = 12 = 3 = 126 = 12 y 2. l 2 l+ l x=8 Gleichsetzungsmethode Die beiden Gleichungen werden nach einer Variablen umgeformt. 15x + 2y 3x - 4y x x Die beiden umgeformten Gleichungen werden einander gleichgesetzt und wie unter 1. beschrieben weiterbearbeitet. 126 2y 15 12 4y 3 126 2y 15 12 126 2y 5 12 4y y 3 3 x x 4y 12 4 3 3 24 3 8 Seite 37 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 3. Arithmetik-Algebra Einsetzungsmethode Man rechnet die eine Variable aus der einen Gleichung aus und setzt sie dann in die andere Gleichung ein. 15x + 2y 3x - 4y = 126 = 12 12 x 4y 3 5 12 4y 15 60 Die zweite Variable wird durch rückläufiges Einsetzen ausgerechnet. x 8.3.1 12 2y 126 2y 126 20y 2y y 12 4y 3 126 3 4 3 3 x 24 3 8 Übungen 1. 2x 2y 20 ^ 2x 2y 4 1 x 4. 1 ^ 2x x 12 7 y 7. 1 2 1 12 x 13 11 y 2x 10 4 x 6x 9y 42 ^ 2x 4y 16 ^ 10. 1 y 1 2y 34 2y 18 y 2. x ^ 2x 14x 5. ^ 3x y 2y 6 y 2 y 65 214 32 4 3x 2y 10 8. 3x y 16 ^ x y 20 11. 5x 2y 27.2 ^ 5x 4y 20.4 18x 3. 2y y 3 ^ 3x 5 x 2 6. 22 ^ x 3 ^3 x 12. 10 10 y 3 11 y 2 2 x 9. 12 10 55 3 y 1 0 2 y 3 2x 2y 2m 2n ^x y m n 2x 1 Seite 38 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 9 Arithmetik-Algebra Rechnen mit Einheiten und Grössen Wie bereits in Kapitel 1.1 erwähnt, besteht jede physikalische Grösse aus dem Produkt des Zahlenwertes und der Einheit. Bei der Berechnung von physikalischen Grössen ist dementsprechend der Zahlenwert und die Einheit mit zu berücksichtigen. Beispiel: Dichte m = 1.2 kg/dm3 Volumen V = 3.5 m3 1.2kg 3.5m3 1dm3 V Die Lösung ist so nicht sinnvoll !! Um dies Berechnung durchzuführen, sind zuerst die gleichen Volumeneinheiten zu bestimmen. 1'200 oder 9.1.1 V kg m3 1'200kg 3.5m3 1m3 m 3'500dm3 1.2kg 3'500dm3 1dm3 m 4'200kg 4'200kg Übungen Berechnen Sie die Volumen in cm3: 1. 312dm3 3 3. 5'234mm3 5 0.101m3 2.37cm3 5 2. 2.374dm3 7 370cm3 4. 12m3 4 4'569dm3 3 6. 2.81m3 439.6dm3 Berechnen Sie die Volumen in Litern l: 5. 743dm3 62.4cm3 1.23m3 23.6dm3 73'246cm3 93.7dm3 In den folgenden Aufgaben sind die Zahlenwerte und Einheiten soweit wie möglich zu vereinfachen: 7. 10. 13. 15 N mm2 24kN kN 2 7 cm2 9.81 25mm2 8. 12N 100m 80m 1' 000kg 3 11. m kg 0.87 6.5dm 120dm2 s2 dm3 m s2 kg m 4 ' 400 s2 9. 0.5km 3' 600 15h 12. 180mm 22.5 360 14. 12 2 ' 094mm3 125mm Seite 39 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra 10 Textgleichungen und vermischte angewandte Aufgaben In der Praxis stellt sich ein mathematisches Problem in der Regel nicht in Form einer fertigen Rechnung dar, sondern eher in Text- oder Skizzenform. Eine solche Aufgabe muss daher als erstes in die mathematische Form gebracht werden. Beispiel: Wie heisst die Zahl, deren Sechsfaches gleich dem Siebenfachen der um zwei verminderten Zahl ist? Vorgehen: 1. Setzen Sie für die gesuchte Grösse eine Variable (in der Regel x). Gesuchte Zahl sei x 2. Legen Sie die Grundmenge für die Variable fest. G = Q (rationale Zahlen) 3. Schreiben Sie alle in der Aufgabe vorkommenden Grössen auf. Sechsfaches der Zahl Siebenfaches der um 2 verminderte Zahl 4. Stellen Sie die Gleichung auf. 6x = 7 (x-2) 5. Lösen Sie die Gleichung 6x -x = 7x – 14 = -14 6x 7 (x-2) x 6. Überprüfen Sie die Richtigkeit der gefundenen Lösung. = 14 6 14 = 7 12 84 = 84 Die Aussage ist also wahr! Seite 40 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra 10.1 Übungen 1. Eine Treppe erhält 20 Stufen. Würde jede Stufe 1.6 cm höher gemacht, könnten 2 Stufen gespart werden. Wie hoch wird eine Stufe? (Resultat in cm auf 2 Stellen) 2. Drei Gemeinden A, B und C haben für den Unterhalt einer Strasse jährlich zusammen Fr. 6'450.00 zu bezahlen. Gemeinde A zahlt Fr. 500.00 mehr als B und nur Fr. 200.00 weniger als C. Welcher Betrag zahlt jede Gemeinde? (auf ganze Fr. runden) 3. In einer Bauunternehmung arbeiten auf der Baustelle A 1/2, auf der Baustelle B 1/4 und auf der Baustelle C 1/7 der gesamten Belegschaft. Im Büro beschäftigt der Betrieb noch 3 Mitarbeiter. Wie viele Angestellte hat dieser Betrieb? 4. Die Länge einer rechtwinkligen Bauparzelle ist um 10.30 m länger als die Tiefe. Der Umfang der Bauparzelle misst 103 m. Wie gross ist die Parzellenfläche? (Resultat in m2 auf 2 Stellen) 5. Von einem Eisenstab schneiden wir 10 gleich lange Stücke ab und es verbleibt ein Reststück von 30 mm Länge. Schneidet man dagegen Stücke ab, die 5 mm kürzer sind, erhalten wir 12 Stücke und ein Reststück von 10 mm. Wie lang sind die Schnittstücke in beiden Fällen?. (Resultate in mm!) 6. Ein Fundamentpfahl von 8 m Länge befindet sich 5 mal weniger tief im Grundwasser als im trockenen Erdreich und dieser Teil ist 2.5 mal länger als der sichtbare, herausragende Pfahlkopf. In welche Masse teilt sich die Pfahllänge auf? 7. Ein 6.3 m langer Fahnenmast wurde im Sturmwetter geknickt. Die Spitze des herabhängenden Teils ist 90 cm vom Boden entfernt. In welcher Höhe liegt der Bruch? 8. In einem viereckigen Grundstück ist jeder Winkel halb so gross wie der Vorangehende. Wie gross sind die vier Winkel? Seite 41 von 43 Fachrechnen für Bauberufe 9. Arithmetik-Algebra Ein rechteckiger Garten von 3'000 m2 Fläche hat eine Länge von 75 m. Er soll in der Länge um 15 m verkürzt werden. Wie breit muss er werden, damit der Flächeninhalt gleich bleibt? 10. Ein quadratischer Bauplatz soll in der einen Richtung um 50 m, in der anderen um 20 m verlängert werden. Die Fläche des Bauplatzes vergrössert sich dadurch um 50'000 m2. Wie gross ist das neue Terrain? (Länge l und Breite b auf ganze m!) 11. In einem Rechteck ist die lange Seite 3.5 mal so lang wie die kurze. Verkürzt man jede Seite um 2 m, so wird der Flächeninhalt um 320 m2 kleiner. Wie gross sind die Seiten des verkleinerten Rechtecks? (Länge l und Breite b auf m) 12. Eine Treppe mit 18 Steigungen bei einer Stufenhöhe von 18 cm soll durch eine Treppe mit 22 Steigungen ersetzt werden. Bestimmen Sie die neue Stufenhöhe. (Resultat in cm auf 2 Stellen) 13. Für das Einzäunen eines rechtwinkligen Grundstücks braucht man 330 m Maschendraht. Der Unterschied zwischen der Länge und der Breite des Grundstücks beträgt 15 m. Berechnen Sie die Abmessungen. (Länge l und Breite b auf ganze m) 14. Ein Balken mit quadratischem Querschnitt soll durch einen Balken mit rechteckigem Querschnitt ersetzt werden. Die Querschnittsfläche muss gleich bleiben. Die Masse des neuen Balkens sind um 2 cm kürzer und um 3 cm länger als die des alten Balkens. Bestimmen Sie die neuen Balkenmasse. (Resultate in cm!) 15. In einem trapezförmigen Grundstück von 896 m2 Fläche und 28 m Tiefe (=Trapezhöhe) verhalten sich die beiden parallelen Grenzen a : c wie 3 : 5. Wie lang sind diese Grenzen?. (Resultate auf ganze m) 16. Von zwei Körpern mit den Volumen V1 = 0.9 m3 und V2 = 1.8 m3 hat der erste eine Dichte von 3.7 kg/dm3. Wie gross ist die Dichte des zweiten, wenn beide zusammen 4.5 t wiegen? 17. Ein rechteckiges Betonelement (Dichte = 2.47t/m3) mit der Masse m= 3'600 kg ist 10 cm stark. Die Seitenlängen verhalten sich wie 2:3. Berechnen Sie die Abmessungen dieses Elementes. (Resultat im m auf ½ cm genau) Seite 42 von 43 Fachrechnen für Bauberufe Arithmetik-Algebra 18. Rohrbündel Berechnen Sie die Abstände der Rohrachsen in Bezug auf die Mitte des Rohrbündels. z z z Alle Zwischenabstände z betragen 80 mm. Masse a, b, c und d in mm. Ø 1’’ = 1 Zoll = 25.4mm (Resultate auf mm genau!) 1 ’’ 2 ’’ c 2 ’’ b a e/2 3 ’’ c e/2 e 19. Treppenberechnung Die Treppe der untersten Höhe a ist einläufig. Auf der Höhe b gibt es drei gleiche Läufe. Die Höhe c wird in zwei gleichen Läufen überwunden. Die gewünschte Steigungshöhe liegt bei 17.5 cm. Berechnen Sie : 1. die Masse OK – OK (a, b und c) 2. die Höhenkoten 3. die genauen Tritthöhen für die verschiedenen Treppenläufe. (Resultate in m auf ½ cm genau) -1.90 b/3 b h1 a h2 b/3 +3.40 b/3 c/2 c h3 c/2 +6.29 -0.80 Seite 43 von 43