Übungsblatt 15
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Fakultät für Elektrotechnik Technische Informatik Prof. Dr. phil. nat. habil. B. Klauer und Mitarbeiter Informatik für Ingenieure A2 - WT 2017 15. Übung mit Lösung Ziel der Übung ist es, dass der Student/die Studentin • Boolesche Algebra und die Gesetze nach De Morgan praktisch anwendet, • das Umrechnen von Zahlen aus einer gegebenen Basis in die gleiche Zahl einer anderen Basis durchführen kann, • Addition und Multiplikation mit Dualzahlen durchführen kann. • Dezimalzahlen in das B-Komplement oder (B-1)-Komplement überfuhren kann, damit rechnen und anschließend in eine Dezimalzahl zurück verwandeln kann. 1. Themenabschnitt Gesetze nach De Morgan a∨b = a∧b a∧b = a∨b (1) (2) ≥1 & & ≥1 (a) Ermitteln Sie die Formel für eine Schaltung, die a ∨ b ∧ c als Signal liefert. Verwenden Sie dazu ausschließlich NAND-Verknüpfungen. Beachten Sie, dass die Signale a, b und c nur in der nicht negierten Form vorliegen. Eine mögliche Lösung a ∨ b ∧ c = a ∨ b ∧ c (zweifache Negation hebt sich auf) = a ∨ (b ∧ c) (UND bindet stärker als ODER) = a ∧ b ∧ c (der untere lange Strich nach De Morgan (2)) = a ∧ a ∧ b ∧ c (a wird erzeugt mit a ∧ a) = a ∧ a ∧ b ∧ b ∧ c (b wird erzeugt mit b ∧ b) b b Nur zur Illustration: a a & & & & c Informatik für Ingenieure A2 - WT 2017 15. Übung mit Lösung 2. Themenabschnitt Rechnen Sie die folgenden Zahlen in das vorgegebene Zahlensystem um. (a) 18910 im Dualsystem (Basis 2)? Eine mögliche Lösung Wiederholtes dividieren durch 2! 18910 = 101111012 (b) 25110 im Dualsystem (Basis 2)? Eine mögliche Lösung Wiederholtes dividieren durch 2! 25110 = 111110112 (c) 18910 im 5er-system? Eine mögliche Lösung Wiederholtes dividieren durch 5! 18910 = 12245 (d) 25110 im 5er-system? Eine mögliche Lösung Wiederholtes dividieren durch 5! 25110 = 20015 (e) 18910 im Hexadezimalsystem (Basis 16)? Eine mögliche Lösung 1 Möglichkeit: Wiederholtes dividieren durch 16: 18910 = bd16 2. Möglichkeit: Aus der Binärdarstellung ermitteln; dafür von rechts (hinten) beginnend 4er Gruppen zusammenfassen (da 24 = 16) und in Hex-Ziffern umwandeln: 18910 = 1011 11012 = b d16 (f) 25110 im Hexadezimalsystem (Basis 16)? Eine mögliche Lösung 1 Möglichkeit: Wiederholtes dividieren durch 16: 25110 = f b16 2. Möglichkeit: Seite 2 Informatik für Ingenieure A2 - WT 2017 15. Übung mit Lösung Aus der Binärdarstellung ermitteln; dafür von rechts (hinten) beginnend 4er Gruppen zusammenfassen und in Hex-Ziffern umwandeln: 25110 = 1111 10112 = f b16 (g) 18910 im Okalsystem (Basis 8)? Eine mögliche Lösung 1 Möglichkeit: Wiederholtes dividieren durch 8: 18910 = 2758 2. Möglichkeit: Aus der Binärdarstellung ermitteln; dafür von rechts (hinten) beginnend 3er Gruppen zusammenfassen (da 23 = 8) und in Oktal-Ziffern umwandeln: 18910 = 10 111 1012 = 2 7 58 (h) 25110 im Oktalsystem (Basis 8)? Eine mögliche Lösung 1 Möglichkeit: Wiederholtes dividieren durch 8: 25110 = 3738 2. Möglichkeit: Aus der Binärdarstellung ermitteln; dafür von rechts (hinten) beginnend 3er Gruppen zusammenfassen und in Oktal-Ziffern umwandeln: 25110 = 11 111 0112 = 3 7 38 (i) ab16 im 5er-System? Eine mögliche Lösung Zwischenschritt über 10er System. ab16 = a16 ∗ 16110 + b16 ∗ 16010 = 1010 ∗ 16110 + 1110 ∗ 16010 = 17110 Nun vom 10er System in das Zielsystem durch wiederholtes Dividieren. 17110 = 11415 (j) 7a18 im 7er System? Eine mögliche Lösung Seite 3 Informatik für Ingenieure A2 - WT 2017 15. Übung mit Lösung Zwischenschritt über 10er System. 7a18 = 718 ∗ 18110 + a18 ∗ 18010 = 710 ∗ 18110 + 1010 ∗ 18010 = 13610 Nun vom 10er System in das Zielsystem durch wiederholtes Dividieren. 13610 = 2537 3. Themenabschnitt Rechnen Sie die folgenden Aufgaben im Dualsystem. Prüfen Sie ggf. über den Umweg Dezimalsystem das Ergebnis. (a) Addieren Sie 5810 (1110102 ) und 4210 (1010102 ): 5810 Eine mögliche Lösung (1110102 ) + 4210 (1010102 ) = 10010 (11001002 ) (b) Addieren Sie 2310 (101112 ) und 9910 (11000112 ): 2310 Eine mögliche Lösung (101112 ) + 9910 (11000112 ) = 12210 (11110102 ) (c) Multiplizieren Sie 1510 (11112 ) und 510 (1012 ): 1510 Eine mögliche Lösung (11112 ) * 510 (1012 ) = 7510 (10010112 ) (d) Multiplizieren Sie 2310 (101112 ) und 810 (10002 ): 2310 Eine mögliche Lösung (101112 ) * 810 (10002 ) = 18410 (101110002 ) (e) Multiplizieren Sie 910 (10012 ) und 4510 (1011012 ): 910 Eine mögliche Lösung (10012 ) * 4510 (1011012 ) = 40510 (1100101012 ) Seite 4 Informatik für Ingenieure A2 - WT 2017 15. Übung mit Lösung 4. Themenabschnitt B-Komplement (a) Stellen Sie die Zahl −2610 im 8-Bit B-Komplement dar. Eine mögliche Lösung 2610 = 24 + 23 + 21 = 000110102 invertiert : 111001012 + 12 = 111001102 (b) Stellen Sie 3710 im 8-Bit B-Komplement dar. Eine mögliche Lösung 3710 = 25 + 22 + 20 = 001001012 (c) Subtrahieren Sie 3710 von −2610 im 8-Bit B-Komplement. Eine mögliche Lösung Umwandeln der 37 in −37, dann addieren: 3710 = 001001012 invertiert : 110110102 + 12 = 110110112 Addieren: 11011011 +11100110 −−−−− 1 11000001 Zurückumwandeln: 11000001 invertiert : 00111110 + 1 = 00111111 = −6310 Seite 5 Informatik für Ingenieure A2 - WT 2017 15. Übung mit Lösung (d) Rechnen Sie die drei vorherigen Aufgaben im 8-Bit (B-1)-Komplement Eine mögliche Lösung 2610 = 24 + 23 + 21 = 000110102 invertiert : 111001012 5 3710 = 2 + 22 + 20 = 001001012 invertiert : 110110102 Addieren: 11011010 +11100101 −−−−− 1 10111111 Addieren der Übertrags-Eins: 10111111 − 1 −−−−− 11000000 Umwandeln: invertiert Seite 6 : 00111111 = −6310