Inhaltsverzeichnis - MPG

Inhaltsverzeichnis
Vorwort
3
Jens Gierke/
Tom Jakobs
Die Sorgen des Feldherrn
4
Jonas Scherer
Unser Internet-Tipp
7
Esther Hans/
8
Anna Vilter
Das Quadrat-Problem
Hans Willkomm
Mathequiz
13
Andreas Dixius/
Jonas Scherer
Der Sierpinski-Prozess
14
Nachwort
19
Zum Titelbild: Knoten beschäftigen nicht nur Seeleute, sondern auch
die Mathematiker. Ein paar Beispiele sollen die Schönheit solcher
Knoten zeigen. Deshalb tauchen sie auch oft als Verzierung in
Ornamenten auf.
Im Vorwort von unserem VIII. Mad Max möchten wir
euch erstmal ein Zitat vom Mathematiklehrer R.
Schneider präsentieren:
„Drei plus vier ist sieben, addiert ist ääh... sieben.“
(Kurz davor warf er der Klasse vor, die leichtesten
Dinge nicht im Kopf rechnen zu können)
Doch nun zu den Themen:
Wir retten einen Feldherren und seine Mannschaft
(Kreis-Sehnen-Problem), füllen Strecken mit
Strecken, Quadrate mit Quadraten und Würfel mit
Würfeln u.a. Natürlich haben wir auch Rätsel für
euch. Mehr wollen wir noch nicht verraten.
Euer Mathe-Team
PS: Neue Mitglieder sind immer willkommen.
Ein Feldherr zog mit seinem Heer, genauer gesagt mit 10
Kohorten, in den Krieg. Ein gegnerisches Heer nahm ihn
und sein Gefolge gefangen.
Der König, zu dem er gebracht wurde, sagte zu ihm, dass
er einen Teil der Männer freiließe. Dafür stellte er eine
Bedingung: „Ihr müsst mit dem Schwert Euren Schild
fünfmal ritzen. Dabei entstehen auf dem Schild einzelne
Bereiche. Die Anzahl der Bereiche , die Ihr schafft, ist
gleich der Anzahl Eurer Männer, die ich frei lasse.“
Der arme Feldherr wollte so viele Männer wie möglich
frei bekommen und bat um eine Nacht Bedenkzeit. Auf
Pergament begann er mit seinen Überlegungen.
1. Sein erster Versuch ist nicht gerade das Beste für seine
Mannen:
2. Der nächste Versuch lief schon besser! Er erkannte,
dass durch Schneiden der ersten vier Sehnen mehr
Bereiche entstehen, zehn Mann waren sicher frei:
3. Hastig zeichnete er neu: 14 Männer
4. Er hat die ideale Lösung gefunden! Nun bekommt er 16
Männer frei. Der Feldherr ist jedoch enttäuscht, dass er
nur einen winzigen Teil des Heeres freibekommt, aber es
gibt keine bessere Lösung.
Der Kaiser war über die Leistung des Feldherrn sichtlich
beeindruckt. „Wenn Ihr mir noch eine Frage beantwortet,
lasse ich eure restlichen Männer frei.“
Der Feldherr willigte ein, denn er wollte unbedingt sein
ganzes Heer befreien. „Wie viele Mannen kommen frei,
wenn Ihr 8 Sehnen einritzen könntet?“
Der Feldherr wurde in ein Gemach gebracht und
überlegte: Man erhält die höchste Anzahl an Bereichen,
wenn jede neue Sehne alle anderen schneidet. Die erste
Sehne liefert 2 Bereiche. Durch die zweite kommen 2,
durch die dritte 3 Bereiche usw. hinzu.
Also hat man bei 5 Sehnen:
N(s)=2+2+3+4+...+s
=1+(1+2...+s)
=1+s*(s+1)
2
Hier verwendet er eine Formel, die erst sehr viel später
dem berühmten Mathematiker Carl-Friedrich Gauß (der
auf dem 10-Markschein) wieder einfiel. Bei 8 Sehnen
macht das 37 Bereiche und ein gerettetes Heer.
Mit diesem Artikel wollen wir euch anregen, im Internet
etwas über Mathematik herauszufinden. Ganz besonders
gefiel
uns
die
Seite:
www.
Mathespass.de/kinder/index.htm. Man kann dort mehr oder
weniger schwierige Knobelaufgaben machen, Zahlenraten
(u.a. „Ostfriesenabitur“), man kriegt gezeigt, wie man
ohne Taschenrechner geschickt rechnen kann und vieles
mehr.
Viel Spaß!!!!
Mathematiker lieben Rätselfragen, bei denen
offensichtliche Antwort falsch ist.
Ein sehr beliebtes Rätsel ist z.B. die Frage:
„Wie viele Quadrate sieht man in diesem Bild?“
die
Bei diesem Beispiel antwortet man schnell 9. Andere
kommen auch auf 10, wenn sie das große Quadrat (siehe
unten) dazuzählen. Aber in Wirklichkeit sind es noch mehr:
9 kleine
4 mittlere
1 großes
Wenn man lange nachdenkt, kann man auch auf diese
Lösung kommen, aber wie ist es mit einem größerem
Quadrat?
Natürlich könnte man auch jetzt wieder nachzählen, aber wir
haben uns gedacht, dass es auch einfacher gehen muss.
Deshalb fangen wir noch einmal ganz klein an:
1
1+4
1+4+9
...
Es ist auffällig, dass nur Quadratzahlen addiert werden.
1 + 4 + 9 + 16
= 1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4
= 12 + 2 2 + 32 + 4 2
Das kann man für n Quadrate auch so schreiben:
A=12+22+32+ ....... +(n-1) 2+ n
n
=
∑i
2
i =1
Da das aber z.B. für n=100000000 etwas viel Arbeit wäre,
suchte der Mathematiker nach einer Formel. Zum Glück
mussten wir das nicht machen, da wir in einem
Mathematikbuch der Oberstufe diese Formel fanden:
n
∑i
i =1
2
=
n∗ n1 ∗ 2n1 
6
Ein paar Proben:
1.Beispiel: n=5
Nach Formel:
5∗51 ∗2∗51 
255 ∗101 
330
=
=
=
6
6
6
55
„von Hand“:
12 +22+32+42
= 1+4+9+16+25
= 55
2.Beispiel: n=10
Nach Formel:
10∗101 ∗2∗101 
10010 ∗201 
=
=
6
6
2310
¿
6
¿
= 385
„von Hand“:
12 +22+32+42+52+62+72+82+92+102
= 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100
= 385
Ihr könnt (wenn ihr uns jetzt immer noch nicht glaubt) gerne
noch weitere Proben machen! Doch alle, die jetzt gerne
einen Beweis hätten können das mit Hilfe der vollständigen
Induktion beweisen (fragt eure Mathelehrer).
Wir haben uns nun gedacht, dass das Prinzip auch in
anderen Dimensionen funktionieren muss. Also gingen wir
in die 1. Dimension. Hier lautet die Frage: „Wie viele
Strecken sind versteckt?“
1 Strecke
1+2=3 Strecken
1+2+3=6 Strecken
3 kurze
2 mittlere
1 lange
1+2+ ..... +n
n-Teile
Man könnte natürlich auch 11+21+ ..... +n1 schreiben.
Also:
n
A=
∑i
1
i =1
Und weil das natürlich mit hohen Zahlen wie 10000000 o.ä.
Nicht gut zu rechnen ist haben wir mit Hilfe einer Idee des
Mathematikers Gauß (fragt noch einmal euren Mathelehrer)
folgende Formel aufgestellt:
n
A=
∑i
i =1
1
=
n∗ n1 
2
n
Natürlich Funktioniert das Prinzip
∑i
x
(wobei x jeweils
i =1
für die Dimension steht) z.B. auch in der 3. Dimension!
Viel Spaß beim ausprobieren!!!!!!!!
Mathequiz
Vor einiger Zeit machte die Uni Ulm auf kleinen, gelben
Kärtchen Werbung für den Fachbereich Wirtschaftsmathematik (www.mathematik.uni-ulm.de). Auf der
Rückseite der Kärtchen gab es jeweils als Zugabe eine
interessante Knobelaufgabe. Zwei davon wollen wir euch
heute vorstellen, vielleicht hat ja jemand eine originelle
Lösung, die wir dann im nächsten Heft abdrucken
könnten.
Problem 1:
Du besitzt keine Uhr, aber zwei Zündschnüre. Von diesen
ist bekannt, dass beide genau eine Stunde lang brennen,
aber wahrscheinlich nicht homogen sind (also vielleicht
anfangs schneller und später langsamer abbrennen).
Wie kannst du allein durch Abbrennen beider Schnüre
eine Zeitspanne von 45 Minuten abmessen?
Problem 2:
Eine junge Frau fährt auf einem kreisrunden See in einem
Ruderboot, während eine furchteinflößende Gestalt sich
am Ufer aufhält. Diese Gestalt kann viermal so schnell
laufen, wie die Frau rudern kann. Sie ist allerdings sicher,
dass sie, sobald sie das Ufer erreicht hat, schneller als ihr
unheimlicher Kontrahent laufen kann. Welchen Ruderweg
soll sie einschlagen, um sicher an Land zu gelangen?
Genauer: Gibt es eine Strategie, die ihr gestattet, an
irgendeiner Stelle des Ufers an Land zu gehen, an der sich
die gefährliche Person in diesem Moment gerade nicht
befindet?
+11
Bei einem unserer letzten Treffen schrieb Herr
Willkomm folgende Zahlenreihe an die Tafel:
17,81,28,92,39
Er fragte uns, was uns dazu einfällt. Sebastian
sagte, dass diesen Zahlen erst 1 hinzugefügt wurde
und sie dann gespiegelt wurden.
Tabelle:
Zahl
+1
Spiegeln
14
15
51
51
52
25
+11
25
26
62
62
Hier sieht man direkt, dass jeweils zwei Schritte
durch eine Addition von 11 ersetzt werden könnten.
+1
Uns interessierte natürlich sofort, ob es bei jeder
Startzahl so ist. Als gute Mathematiker gingen wir
systematisch vor, d.h. wir begannen bei 1-stelligen
Zahlen. Hier sieht das ganze allerdings anders aus.
Man könnte 1 addieren und es entsteht ein Zyklus:
Zahl
+1
Spiegeln
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
+1
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
01 Î 1
+11
Anschließend
haben
wir
Startzahlen untersucht:
Zahl
+1
a)
10
11
11
12
+11
21
22
22
23
32
33
33
34
43
44
44
45
54
55
55
56
65
66
66
67
76
77
77
78
87
88
88
89
98
99
99
100
1
„Zyklus“
b)
11
21
22
c)
12
22
...(siehe oben)
die
zweistelligen
Spiegeln
11
21
22
32
33
43
44
54
55
65
66
76
77
87
88
98
99
001 Î 1
21
22
+11
12
31
23
42
34
53
45
64
56
75
67
86
78
97
89
9
+11
13
32
24
43
35
54
46
65
57
76
68
87
79
98
90
„Zyklus“
31
23
42
34
53
45
64
56
75
67
86
78
97
89
09 Î 9
Hier gilt offensichtlich wieder die „11er-Regel“.
Begründung für die Addition von 11, alle zwei
Schritte:
73
74
(Einerstelle um 1 erhöht)
47
(Einerstelle wird in „Sicherheit“ gebracht)
48
(Zehnerstelle (!) der ursprünglichen Zahl wird
um 1 erhöht)
84
(Nach dem Spiegeln erhalten wir die
ursprüngliche Zahl mit erhöhter 1er- und
10er-Stelle = Addition von 11)
Im ersten Beispiel erkennt man, dass man bei 99,
und damit im 1er-Zyklus landet. Dies gilt für alle 2-
stelligen Zahlen:
Irgendwann wird die 1er-Stelle zu 9. Die
Zehnerstelle sei a. Dann geschieht mit der Zahl a9
folgendes:
a9 Î (a+1)0 Î 0(a+1)
Î Man erhält eine 1-Stellige Zahl.
Jetzt interessierte uns natürlich, ob man, wenn man
mit 3-stelligen Zahlen beginnt, auch im 1er-Zyklus
landet, und welche Zahl man hier alle zwei Schritte
addiert.
Zahl
+1
Spiegeln
101
102
201
+101
201
202
202
+101
202
203
302
302
303
303
303
304
403
403
404
404
404
405
504
504
505
505
505
506
605
605
606
606
606
607
706
706
707
707
707
708
807
807
808
808
808
809
908
908
909
909
909
910
019 Î 19
19
20
02 Î 2
2
„Zyklus“
Hier liegt aber keine Addition von 11, sondern eine
von 101 vor.
Die Begründung hierfür ist, wie bei den 2-Stelligen
Zahlen ganz banal:
101
102
(Die Einerstelle wird um 1 erhöht)
201
(Die Einerstelle wird in „Sicherheit“ gebracht)
202
(Die 100er-Stelle (!) der ursprünglichen Zahl
wird um 1 erhöht)
(Nach dem Spiegeln erhalten wir die
ursprüngliche Zahl mit erhöhter 100er- und
1er-Stelle)
202
Das Gleiche gilt bei 4-,5-,x-Stelligen Zahlen.
Allgemein:
+1
1-Stellig
Zyklus
+1
+11
2-Stellig
...a9Î(a+1)
(einstellig)
+11
+101
3-Stellig
+101
…ab9Î(b+1)a
(zweistellig)
...
Andreas Dixius & Jonas Scherer
Ganz zum Schluss wollen wir euch noch ein
paar Zitate von H. Schneider präsentieren
die gerade neu eingetroffen sind:
1) Er fasste zusammen:
27
4
31
X X=
27
27
27
(Upps, wo ist das „X“?)
2) Er kürzte:
7X 1 64 7X 1 3
⋅ =
⋅
48
1
4
1
( ??? )
3) And the best:
10 1
9
1
− =
…ääh
(Hmm?)
50 50 50
50
Bis zum nächsten Mal,
;-)
Mathe-Team!
euer