Vorkurs Mathematik 2015 - Helmut-Schmidt

Vorkurs zur Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
Univ.–Prof. Dr. W. Krumbholz
Univ.–Prof. Dr. W. Seidel
Dr. R. Eichwede
Dr. R. Hinst
Herbsttrimester 2015
18. unveränderte Auflage
Fakultät für
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Fächergruppe Mathematik/Statistik
Helmut-Schmidt-Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
Holstenhofweg 85
22039 Hamburg
Telefon:
BwKz:
E-Mail:
WWW:
040/6541-2370 (Dr. Martin Schäfer) oder -3632 (Dipl.-Math. Miriam Seifert)
7926-2370 oder -3632
[email protected]
http://www.hsu-hh.de/compstat
Danksagung:
Wir möchten uns herzlich bei Yvonne Schmitz (Köllner), Petra Maaß und Hana Ševčı́ková
für das Schreiben des Manuskriptes und das Erstellen der Graphiken bedanken.
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Mengenlehre
1.1 Der Begriﬀ der Menge und ihre Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . .
1.2 Grundlegende Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
7
7
7
8
8
Zahlenmengen
Die natürlichen Zahlen IN
Die ganzen Zahlen ZZ . . .
Die rationalen Zahlen Q
I .
Die reellen Zahlen IR . . .
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3 Bruchrechnung
11
4 Rechnen mit reellen Zahlen
4.1 Grundlegende Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Abgeleitete Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Die Faktorzerlegung einer Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
20
5 Lineare Gleichungen
23
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
6.1 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Das Lösen von Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Beträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
31
35
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
7.1 Das Quadrieren und die Quadratwurzel . . . . . . . . . . .
7.2 Die reinquadratischen Gleichungen und Ungleichungen . . .
7.3 Die gemischtquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . .
7.4 Der Zusammenhang zwischen Koeﬃzienten und Lösungen .
7.5 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen . . .
7.5.1 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 1. Lösungsweg: Lösung mit Hilfe der Linearfaktoren
7.6.2 2. Lösungsweg: Lösung mit Hilfe von Beträgen . . .
7.6.3 3. Lösungsweg: Graphische Lösung . . . . . . . . . .
41
41
43
44
46
48
48
49
50
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53
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i
Inhaltsverzeichnis
8 Potenzen und Wurzeln
8.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten .
8.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
8.3 Die n-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Potenzen mit rationalen Exponenten . .
8.5 Das Lösen von Potenzgleichungen . . . .
9 Das
9.1
9.2
9.3
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57
57
58
59
60
61
Logarithmische Rechnen
Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln für Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Lösen von Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
65
65
67
10 Summen- und Produktzeichen
10.1 Das Summenzeichen . . . . .
10.2 Doppelsummen . . . . . . . .
10.3 Das Produktzeichen . . . . .
10.4 Die Fakultät . . . . . . . . . .
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71
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11 Funktionen
11.1 Grundbegriﬀe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . .
11.3 Elementare Funktionen und ihre Graphen . . . . . .
11.3.1 Polynome oder ganz-rationale Funktionen . .
11.3.2 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . .
11.3.3 Weitere elementare Funktionen . . . . . . . .
11.4 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Beschränktheit und Monotonie . . . . . . . .
11.5 Diﬀerentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Der Begriﬀ und die Bedeutung der Ableitung
11.5.2 Die Berechnung der Ableitung . . . . . . . .
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83
. 83
. 85
. 86
. 86
. 90
. 91
. 94
. 94
. 99
. 101
. 101
. 103
12 Lösungen
115
Index
126
Literatur
127
ii
Inhaltsverzeichnis
iii
1
1 Grundlagen der Mengenlehre
Das Kapitel wird bewusst sehr kurz gehalten, da die Mengenlehre nur Mittel zum Zweck
ist. Sie sollen am Ende die wesentlichen Mengenoperationen kennen und diese anwenden
können. Dazu sind jedoch einige Definitionen notwendig.
1.1 Der Begriﬀ der Menge und ihre Darstellungsformen
Mit Hilfe der Mengenlehre können umfangreiche und komplizierte Problemstellungen und
deren Lösungen kompakt und übersichtlich dargestellt werden. Die Definitionen gehen auf
den deutschen Mathematiker Georg Cantor (∗1845, †1918) zurück.
Was ist eine Menge ?
Definition 1.1 Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung von bestimmten unterscheidbaren Objekten (Dingen). Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststellbar sein, ob es zur entsprechenden Menge gehört oder nicht. Die einzelnen Objekte,
aus denen sich eine Menge zusammensetzt, heißen Elemente dieser Menge.
Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet :
z.B. A, B, C, . . . , X, Y, Z, A1 , A2 , . . .
Elemente werden i.a. mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet :
z.B. a, b, c, . . . , x, y, z, a1 , a2 , . . .
Ist ein Element a in einer Menge A enthalten, so schreiben wir: a ∈ A. Ist a
jedoch nicht in A, so schreiben wir: a ̸∈ A.
1
1 Grundlagen der Mengenlehre
Wie stellen wir Mengen dar ?
1. Beschreibende Darstellung:
Beispiel 1.1 (Beispiel für beschreibende Mengendarstellungen)
A = Menge, der am 1.10.1997 an der UniBwH immatrikulierten Studenten.
B = Menge aller LKW mit Hamburger Kennzeichen.
2. Aufzählende Darstellung:
Beispiel 1.2 (Beispiel für aufzählende Mengendarstellungen)
G = {2, 4, 6}
U = {1, 3, 5, 7, . . .}
(Menge aller geraden Zahlen eines Würfels.)
(Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen.)
3. Angabe einer charakterisierenden Eigenschaft:
siehe Abschnitt 1, Aufgabe 1.
4. VENN–Diagramme:
2
11
3
7
9
6
10
A
A = {2, 3, 6, 7, 9, 10}
2
1
B
B = {11, 2, 1}
Abbildung 1.1: Beispiel für VENN–Diagramm.
Zwei Spezialfälle gilt es noch zu nennen, die leere Menge und die Grundmenge:
Definition 1.2 Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit
Ø oder { } bezeichnet. Die Grundmenge G enthält alle betrachteten Elemente.
Beispiel 1.3 A sei die Menge der Zahlen kleiner als 10.
1. In der Grundmenge der natürlichen Zahlen IN ist A = {1, 2, . . . , 9}.
2. In der Grundmenge der ganzen Zahlen ZZ ist A = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . , 9}.
Obacht:
{Ø} bezeichnet eine Menge, die die leere Menge enthält. Diese Menge ist also
nicht leer!
2
1.2 Grundlegende Mengenoperationen
1
1.2 Grundlegende Mengenoperationen
In diesem Kapitel sollen grundlegende Mengenoperationen dargestellt werden:
Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen A und B sind gleich, falls beide Mengen aus
genau denselben Elementen bestehen, wenn also jedes Element von A auch in B und
jedes Element von B auch in A enthalten ist:
A = B ⇔ (a ∈ A ⇒ a ∈ B) ∧ (b ∈ B ⇒ b ∈ A).
Bemerkung 1.1:
Das mathematische Zeichen ”∨” ist eine Abkürzung des lat. ”vel” und steht
für das logische ”oder”. Äquivalent dazu bedeutet das Zeichen ”∧” das logische
”und”.
Beispiel 1.4 Hier gilt A = B:
3
32
12
10
9
3
2
3
1
6
5
4
6
A
B
Abbildung 1.2: Beispiel für die Gleichheit von Mengen.
Teilmengen: A heißt Teilmenge von B (A ⊂ B), wenn A in B enthalten ist, d. h.,
falls jedes Element der Menge A auch in der Menge B ist:
A ⊂ B ⇔ (a ∈ A ⇒ a ∈ B).
Beispiel 1.5 Sei X = Menge aller Städte in Bayern,
Y = Menge aller Städte in Europa,
Z = Menge aller Städte in Frankreich.
Es gilt: X ⊂ Y , Z ⊂ Y , X ̸⊂ Z.
Durchschnitt: Der Durchschnitt (Schnittmenge) A ∩ B (lies: A geschnitten B) ist
die Menge derjenigen Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind:
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
(lies: {alle x, für die gilt: x in A und x in B}.)
3
1 Grundlagen der Mengenlehre
B
A
B
A
A∩B
A ∩ B = {}
A und B disjunkt oder
elementfremd
Abbildung 1.3: Beispiele für den Durchschnitt von Mengen.
Vereinigung: Die Vereinigung A ∪ B (lies: A vereinigt B) der Mengen A und B
besteht aus denjenigen Elementen, die zumindest einer der beiden Mengen angehören,
also den Elementen, die entweder zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
(lies: {alle x, für die gilt: x in A oder x in B}.)
B
A
B
A
A∪B
A∪B
Abbildung 1.4: Beispiele für die Vereinigung von Mengen.
Diﬀerenzmenge: Die Diﬀerenzmenge B \ A (lies: B ohne A) besteht aus denjenigen
Elementen, die zu B aber nicht zu A gehören:
B \ A = {x|(x ∈ B) ∧ (x ̸∈ A)}.
(lies: {alle x, für die gilt: x in B und x nicht in A}.)
A
B
A=B\A
A
B
B\A
Abbildung 1.5: Beispiele für die Diﬀerenzmenge.
Komplementärmenge: Falls A eine Teilmenge von B ist, besteht die Komplementärmenge/das Komplement A von A bezüglich B aus denjenigen Elementen, die zu B aber
nicht zu A gehören.
4
1.2 Grundlegende Mengenoperationen
A
1
A
B
G
A=G\A
A=B\A
Abbildung 1.6: Beispiele für die Komplementärmenge.
Die De Morganschen Regeln: Gegeben sei eine Grundmenge G sowie zwei Mengen
A, B mit A ⊂ G, B ⊂ G. Es sei A bzw. B Komplement von A bzw. B bezüglich G. Dann
gilt:
A∩B =A∪B
A∪B =A∩B
De Morgansche Regeln
Die folgenden Graphiken dienen zur Illustration der De Morganschen Gesetze.
A
B
A
A∩B
G
B
A∪B
G
Abbildung 1.7: Zur Veranschaulichung von A ∩ B = A ∪ B.
A
G
B
A∪B
A
B
A∩B
G
Abbildung 1.8: Zur Veranschaulichung von A ∪ B = A ∩ B.
5
1 Grundlagen der Mengenlehre
Aufgaben zu Abschnitt 1
1. Durch welche charakteristischen Eigenschaften können die folgenden Mengen beschrieben werden?
a.) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .}
b.) B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . .}
c.) C = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .}
2. Gegeben sind die folgenden Mengen:
A = { 34 ; 52 ; 8; 94 ; 11
4 }
225 50
C = { 49 ; 256
; 72 }
B = {23 ;
D={
x2
y2
√
81
8
16 ; 25; 6 ; 2, 75}
|x und y sind natürliche Zahlen }
Prüfen Sie, ob folgende Aussagen stimmen:
a.) A = B
b.) C ⊂ D
c.) A ⊂ D
3. Gegeben sind die Mengen:
A = {1, 3, 5, a, q}
B = {2, 4, 6, b, p}
C = {5, 6, a, b, q, p}
Geben Sie die folgenden Mengen an:
a.) A ∪ B
b.) A ∩ B
c.) A \ B
d.) A \ C
e.) B \ C
f.) C \ A
g.) C \ B
h.) C \ (A ∪ B)
i.) C \ (A ∩ B)
4. Gegeben seien die Grundmenge G
G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20},
sowie die Mengen
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20},
C = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
a.) A ∪ B
b.) A ∩ B
6
c.) C \ A ∪ B e.) A ∪ (B
)
d.) A ∩ B
f.) C \ A ∪ B
2
2 Die Zahlenmengen
In diesem Abschnitt werden verschiedene Zahlenbereiche behandelt. Ausgangspunkt sind
die natürlichen Zahlen. Diese Menge weiten wir sukzessive aus, bis wir zu den reellen
Zahlen gelangen.
2.1 Die natürlichen Zahlen IN
Welche Zahlen werden beim Zählen von irgendwelchen Dingen benutzt?
Wie heißen diese Zahlen?
Zum Zählen irgendwelcher Dinge benutzen wir die natürlichen Zahlen IN, mit IN =
{1, 2, 3, 4, . . .}. Die natürlichen Zahlen bilden die Grundlage der gesamten Zahlenlehre.
Beim Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen ergeben sich stets wieder natürliche
Zahlen. Beim Subtrahieren natürlicher Zahlen ergibt sich nur dann wieder eine natürliche
Zahl, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Sind Minuend und Subtrahend
gleich, so ist das Ergebnis Null: a − a = 0 ̸∈ IN.
- IN hat unendlich viele Elemente.
- IN ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation, d.h. die Summe
bzw. das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.
1
2
3
4
5
6
Abbildung 2.1: Veranschaulichung von IN auf dem Zahlenstrahl.
2.2 Die ganzen Zahlen ZZ
Beispiel 2.1 (Negative Zahlen)
Ein Geschäftsmann besitzt bei der Bank ein Guthaben von 3400 DM. Er nimmt ein Darlehen von 6000 DM auf. Wie ist jetzt seine Vermögenslage bei der Bank?
7
2 Die Zahlenmengen
In diesem Fall ist eine Subtraktion auszuführen, bei der der Subtrahend größer als der
Minuend ist. Die Zahlen, von denen wir ausgehen und die Zahl, zu der wir gelangen, unterscheiden sich durch die zusätzliche Bezeichnung ’ – ’ vor dem Resultat: −1, −2, −3, −4, . . ..
Dies führt auf die ganzen Zahlen ZZ = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}.
- ZZ hat unendlich viele Elemente.
- ZZ ist abgeschlossen bezüglich Addition, Multiplikation und Subtraktion.
- IN ⊂ ZZ.
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Abbildung 2.2: Veranschaulichung von ZZ auf dem Zahlenstrahl.
2.3 Die rationalen Zahlen Q
I
Beim Dividieren zweier ganzer Zahlen ergibt sich nur dann wieder eine ganze Zahl, wenn
der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Andernfalls erhalten wir eine
rationale Zahl. Rationale Zahlen können mit Hilfe von Brüchen dargestellt werden,
bei denen im Zähler und im Nenner je eine ganze Zahl steht. Besteht der Nenner des
vollständig gekürzten Bruches nur aus Produkten der Primfaktoren 2 und 5, so ergibt
sich eine endliche Dezimalzahl:
3
4
= 0, 75;
4
5
= 0, 8;
27
20
= 1, 35.
Andernfalls erhalten wir eine sogenannte unendliche periodische Dezimalzahl:
2
3
= 0, 66666 . . . = 0, 6;
7
18
= 0, 38;
15
7
= 2, 142857.
Umgekehrt lassen sich endliche und unendliche periodische Dezimalzahlen in Brüche verwandeln.
-Q
I hat unendlich viele Elemente.
-Q
I ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation, Addition,
Subtraktion und Division.
- IN ⊂ ZZ ⊂ Q
I.
2.4 Die reellen Zahlen IR
Die reellen Zahlen IR erweitern die rationalen √
Zahlen
√ durch unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Solche Zahlen sind z.B. 2, 5, π. Alle auf der Zahlengerade
darstellbaren Zahlen heißen reelle Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir
mit IR. Eine reelle Zahl, welche nicht rational ist, d.h. eine Zahl, die sich nicht als Bruch
ausdrücken lässt, heißt irrational.
8
2.4 Die reellen Zahlen IR
√
Beispiel 2.2 (Beweis, daß√ 2 eine√irrationale Zahl ist)
Wir zeigen √
die Behauptung ( 2 ∈ IR, 2 ̸∈ Q
I ) mit Hilfe eines indirekten Beweises:
Annahme: 2 ∈ Q
I
⇒ Es gibt zwei natürliche Zahlen p, q, welche teilerfremd sind, mit
√
2 =
⇔
2 =
⇔ 2q 2 =
p
q
p2
q2
p2
2
|quadrieren
| · q2
⇒ p2 ist eine gerade Zahl und damit muss auch p gerade sein! Es gibt also ein r ∈ IN
mit p = 2r. Quadrieren ergibt p2 = 4 · r2 . Hieraus erhalten wir mit p2 = 2q 2 :
⇔ 2q 2 = 4r2
⇔
q 2 = 2r2 .
Damit ist auch q eine gerade Zahl und der Bruch pq kann durch 2 gekürzt werden. Dies
ist
√ nach Voraussetzung nicht möglich. Durch diesen Widerspruch muss die Annahme
2√∈ Q
I falsch sein!
⇒ 2 ∈ IR\Q
I.
Bemerkung 2.1:
Wir vereinbaren, dass die Menge IR+ alle reellen Zahlen enthält, die echt
größer als Null sind, d.h. IR+ = {x ∈ IR|x > 0}. IR− definieren wir als:
IR− = {x ∈ IR|x < 0}.
Als Fazit diese Abschnittes halten wir fest:
- IR hat unendlich viele Elemente.
- IR ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation, Addition,
Subtraktion und Division.
Betrachten wir nun alle vorgestellten Zahlenmengen, so ist zu folgern, daß die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen sind. Diese sind ihrerseits wiederum eine
Teilmenge der rationalen Zahlen. Letztere ergeben vereinigt mit den irrationalen Zahlen
die reellen Zahlen. Das nachfolgende Bild veranschaulicht diesen Zusammenhang:
9
2 Die Zahlenmengen
√1
11
π
e
13
5
11
0
2 11
27
-7
2
3
IN
10
ZZ
e2
√
3
21
11
1
2
-21
3
9 71
6
5
7
Q
I
√
2
IR
Abbildung 2.3: Veranschaulichung der Zahlenmengen mit einigen Zahlenbeispielen.
Wie sollten Sie weiter vorgehen?
Im folgenden soll es darum gehen, verlorengegangene und/oder nicht erlernte
Fähigkeiten aufzufrischen bzw. nachzuarbeiten. Wir beginnen dabei mit der
Bruchrechnung und dem Rechnen mit reellen Zahlen, was natürlich sehr leicht
ist, aber sicher beherrscht werden sollte, um die folgenden Kapitel bearbeiten
zu können. Rechnen Sie daher einige der Aufgaben zu den drei nachfolgenden
Abschnitten (am besten die drei bis vier letzten von jedem Aufgabentyp) und
prüfen Sie sich selbst. Wenn Sie sehr unsicher waren oder mehrere Fehler
gemacht haben, dann arbeiten Sie die entsprechenden Passagen nach. Wenn
nicht – dann geht es danach weiter mit Kapitel 6.
10
3 Bruchrechnung
3
Der allgemeine Bruch ab , wenn a und b beliebige reelle Zahlen sind (b ̸= 0), ist eine andere
Schreibweise des allgemeinen Quotienten a : b. Dabei bezeichnen wir a als Zähler bzw.
Dividend und b als Nenner bzw. Divisor. Folgende Regeln der Bruchrechnung sind
seit Adam Ries (ca 16. Jhd.) bekannt:
Erweitern und Kürzen
Beispiel 3.1 (Kürzen)
21
3·7
3
=
= ;
56
8·7
8
a2 · b3
a2 · b · b2
b2
=
=
;
a3 · b
a2 · b · a
a
ax + bx
(a + b)x
x
=
= ;
2a + 2b
2(a + b)
2
ab + ac
a(b + c)
b+c
=
=
.
ad + ae
a(d + e)
d+e
Einen Bruch zu kürzen, bedeutet, Zähler und Nenner durch die gleiche
Zahl zu dividieren. Brüche können aber nur dann gekürzt werden, wenn:
1. Zähler und Nenner sich je in ein Produkt verwandeln lassen!
2. Diese Produkte gemeinsame Faktoren haben!
Obacht:
Falls im Zähler und im Nenner Summen stehen, können gemeinsame Faktoren
ausgeklammert werden, durch die dann gekürzt wird (siehe Beispiel 3.1, 4.
Gleichung). Denn:
Aus Diﬀerenzen und Summen kürzen nur die Dummen!
Beispiel 3.2 (Erweitern)
2
2·3
6
=
= ;
5
5·3
15
17
17 · 5
85
=
= .
6
6·5
30
Einen Bruch zu erweitern, bedeutet, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.
11
3 Bruchrechnung
Addition und Subtraktion von Brüchen
Zwei oder mehrere Brüche heißen gleichnamig, wenn diese den gleichen Nenner besitzen.
Beispiel 3.3 (Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen)
a b
c
a−b+c
− + =
;
5 5 5
5
4
5
4+5
9
+
=
= ;
11 11
11
11
a b
c
a−b+c
− + =
.
d d d
d
Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, in dem wir ihre
Zähler addieren bzw. subtrahieren und dem Ergebnis den gemeinsamen
Nenner geben.
Betrachten wir in einem nächsten Schritt ungleichnamige Brüche, d.h. Brüche, die unterschiedliche Nenner besitzen:
Beispiel 3.4 (Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen)
2·2 5
4 5
9
3
2 5
+ =
+ = + = = ;
3 6
3·2 6
6 6
6
2
1 1
1·q 1·p
q−p
− =
−
=
.
p q
p·q q·p
q·p
Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren bzw. Subtrahieren
gleichnamig gemacht. Dazu erweitern wir diese auf den gemeinsamen
Hauptnenner. Dieser ist das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Nenner.
Beispiel 3.5 (Hauptnenner)
1.
1 + 5 = 1 · 3 + 5 · 2 = 3 + 10 = 13 .
4 6
4·3 6·2
12
12
2.
1
1
a+b + a−b
=
=
=
1 · (a − b)
1 · (a + b)
+
(a + b)(a − b) (a − b)(a + b)
(a − b) + (a + b)
(a − b)(a + b)
2a
.
(a + b)(a − b)
Multiplikation und Division von Brüchen
Beispiel 3.6 (Multiplikation von mehreren Brüchen)
3 5
3·5
15
· =
= ;
4 7
4·7
28
12
x u
x·u
· =
;
y v
y·v
6 10
60
4 · 15
4
·
=
=
= .
25 9
225
15 · 15
15
Brüche werden multipliziert, indem wir das Produkt der Zähler durch
das Produkt der Nenner dividieren (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner).
Beispiel 3.7 (Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl)
a
a·c
·c=
.
b
b
3
3 5
15
·5= · = ;
4
4 1
4
3
Brüche werden mit einer Zahl bzw. einer Unbekannten multipliziert,
indem der Zähler mit dieser Zahl bzw. Unbekannten multipliziert wird.
Beispiel 3.8 (Division von Brüchen)
2 4
: =
3 5
2
3
4
5
=
2 5
10
5·2
5
· =
=
= ;
3 4
12
6·2
6
x u
: =
2.
y v
x
y
u
v
=
x v
x·v
· =
.
y u
y·u
1.
Statt durch einen Bruch zu dividieren, wird mit seinem Kehrwert (hier:
Kehrwert von 45 bzw. uv lautet 45 bzw. uv ) multipliziert.
Aus dem 2. Teil von Beispiel 3.8 lassen sich auch zwei Sonderfälle ableiten:
Für y = 1 erhalten wir:
x:
Für v = 1 erhalten wir:
x
y
u
v
=
x
( uv )
=x·
v
u
=
x·v
u .
·
1
u
=
x
y·u .
(x)
:u=
y
u
=
x
y
Aufgaben zu Abschnitt 3
1. Kürzen Sie möglichst vollständig:
a.)
24
64
f.)
b.)
76a
57b
g.)
c.)
13s
52
h.)
d.)
15ac
25bc
60xy
78x2
i.)
e.)
k.)
x2 +2x−63
7−x
py−qy
ry+ty
6ax−4ay
9bx−6by
g−h
h−g
p2 −pq
q 2 −pq
l.)
(g+2)(g+5)
g+5
q.)
m.)
r.)
n.)
a−3
a2 +3a−18
y 2 −4y−12
y 2 +y−2
s.)
20v 2 −45uv
15v 2 u
py−qy+ry
pz+rz−qz
o.)
u2 +7u+12
u+3
t.)
26m+26n
39m+39n
6m−15n
10n−4m
p.)
k3 −k2 −30k
k2 +5k
u.)
333m3 rs5
851n3 s2 t4
13
3 Bruchrechnung
2. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und kürzen Sie vollständig:
−
a.)
8
15
b.)
d.)
10
8
15
x + x + x
x−y
x+y
2 + 2
e+f
e−f
2 − 2
e.)
c
c−d
c.)
11
15
−
+
7
15
−
1
15
d
c−d
f.) a −
2a
5
−
g.)
a−2b
2a−b
h.)
a
2
−
a
3
i.)
a+b
2
+
k.)
x
15
−
x
6
5a−4b
2a−b
a−b
4
−
x
30
+
x
10
·
yz
55x2
16g
33
−
−
9g
11
25a+9b
a+b
+
l.)
5x
22
m.)
a
b
n.)
18a−13b
a+b
o.)
a
a−b
−
b
a+b
p.)
2c
3ab2
−
5
9abc
+z+
+
5x
6
b
a
−
+
3b
8ac2
10a+25b
a+b
−
7a
12b2 c
3. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a.)
b.)
7
9
5
9
·
27
28
· 12
f.)
33x2
16y 2
·
g.)
x2
c.)
x
y
·
w
v
h.)
d.)
r
s
·
s
t
i.)
e.)
x−y
x+y
y−x
y+x
36xy
z2
3s
8p
·
y2
xz
10qr2
7ps
8
15
:
3
2
a
b
:
x
y
yz
(
k.)
·
·
) (
:
26s
5r3
b
y
·
14p2 r
·
a
x
39qs
)
l.)
1
r
m.)
9a
28b
n.)
a
b
· cb ·
o.)
r
s
:
p.)
2a
c
:r
: 12a
c
a
s
t
·
(
1
x
:
a
y
)
4. Vereinfachen Sie (das Ergebnis sollte ein Bruch sein):
(
a.)
b.)
14
(
a
4x
−
25ax
12by
b
3x
+
+
2c
3x
16bx
3ay
)
)
:
·
24x
3a−4b+8c
8x
21y
(
c.)
d.)
(
a+
x
yz
b2
a
+
)(
y
xz
b−
−
z
xy
a2
b
−
)
2
z
) (
:
x−y
z
)
+1
4 Rechnen mit reellen Zahlen
4
4.1 Grundlegende Rechenregeln
Beispiel 4.1 (Umstellen)
Vergleichen Sie die Summen 12 + 17 und 17 + 12 bzw. die Produkte 13 · 11 und 11 · 13.
Die beiden Summen bzw. die beiden Produkte ergeben jeweils dasselbe Resultat. Es ist
also gleich, in welcher Reihenfolge wir die Summanden einer Summe addieren bzw. die
Faktoren eines Produktes miteinander multiplizieren.
Für eine Summe gilt:
Für ein Produkt gilt:
a + b = b + a.
a · b = b · a.
Diese Regel heißt Kommutativgesetz. Das Kommutativgesetz kann auch auf Summen
bzw. Produkte mit mehr als zwei Summanden bzw. Faktoren angewendet werden. Dabei
dürfen die Summanden bzw. Faktoren beliebig umgestellt werden.
Beispiel 4.2 (Vertauschen von Klammern)
Berechnen Sie 11 + (5 + 8) und (11 + 5) + 8 bzw. 3 · (5 · 7) und (3 · 5) · 7.
Die Klammern geben an, welcher Ausdruck zuerst berechnet werden sollte. Es macht hier
jedoch keinen Unterschied, welcher Ausdruck zunächst berechnet wird. Daher:
Für eine Summe gilt:
Für ein Produkt gilt:
(a + b) + c = a + (b + c).
(a · b) · c = a · (b · c).
Diese Regel heißt Assoziativgesetz, und sie besagt, dass in einer Summe bzw. einem Produkt die Summanden bzw. Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden
dürfen.
15
4 Rechnen mit reellen Zahlen
Beispiel 4.3 (Zusammenfassen von Summanden)
Um die Summe 42 + 41 + 36 + 35 + 34 + 30 + 29 + 23 + 18 möglichst leicht zu berechnen,
stellen wir sie um:
(42 + 18) + (41 + 29) + (36 + 34) +30 + 35 + 23 =
|
{z
60
}
|
+
{z
70
}
|
{z
+
}
70
+30 + 35 + 23 = 130 + 100 + 58 = 288.
Beispiel 4.4 (Multiplizieren einer Summe mit einem Faktor)
Berechnen Sie: 3 · (15 + 9) und (3 · 15) + 9.
Die beiden Ergebnisse sind nicht identisch, die Klammern dürfen hier also nicht vertauscht werden. Sie zeigen in diesem Beispiel an, daß die Summe vor der Multiplikation
zu berechnen ist.
3 · (15 + 9) = 3 · 24 = 72.
Es geht aber auch anders. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir:
3 · (15 + 9) = 3 · 15 + 3 · 9 = 45 + 27 = 72.
Die hier angewandte Regel heißt Distributivgesetz und kann allgemein geschrieben
werden als:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c).
Beispiel 4.5 (Verallgemeinerung des Distributivgesetzes)
(a1 + a2 + . . . + an ) · k = (a1 · k) + (a2 · k) + . . . + (an · k).
Die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung können auch weggelassen werden, da
Punktrechnung vor Strichrechnung geht.
Alle Regeln wurden nur für Addition und Multiplikation eingeführt. Dies genügt auch, da
die Subtraktion als Addition eines negativen Wertes und die Division als Multiplikation
mit dem Kehrwert aufgefasst werden kann:
Beispiel 4.6 (Erweiterung der Regeln)
a−b
=
a + (−b)
a:b
=
a · 1b
(a − b) : c = (a + (−b)) ·
16
1
c
=
(−b) + a.
1
=
b · a.
1
= a · c + 1c · (−b) = a : c − b : c.
(b ̸= 0)
(c ̸= 0)
4.2 Abgeleitete Rechenregeln
4.2 Abgeleitete Rechenregeln
Zunächst erfolgt ein kleiner Exkurs, mit dessen Hilfe danach Spezialfälle des Distributivgesetzes erläutert werden:
Vorzeichenregeln:
Ein Produkt a · b ist positiv, wenn a und b positiv oder a und b negativ
sind. Das Produkt ist negativ, wenn genau einer der beiden Faktoren
negativ ist, also entweder a negativ und b positiv oder a positiv und b
negativ. Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null
ist.
4
Für das Distributivgesetz folgt somit beispielsweise:
Beispiel 4.7 (Vorzeichen (1))
v · (a + b − c) = v · a + v · b − v · c
Sei
Sei
v=1
:
1·a+1·b−1·c
= a + b − c.
v = (−1) : (−1) · a + (−1) · b − (−1) · c = −a−b+c.
Beispiel 4.8 (Vorzeichen (2))
1. 6 + (3 − 2 + 8) = 6 + 3{− 2 + 8 = 6 + 9 = 15.
4 − (6) = −2.
2. 4 − (5 + 7 − 9 + 3) =
4−5−7+9−3 = −2.
Besteht also ein Summand aus einer Klammer, vor der ein ”+” steht, so kann die Klammer ohne Vorzeichenänderung weggelassen werden. Lassen wir die Klammer nach einem
”−”-Zeichen weg, so müssen alle Vorzeichen in der Klammer vertauscht werden. Entsprechendes ist auch, beim Setzen von Klammern zu beachten:
Beispiel 4.9 (Setzen von Klammern)
1. 5 + 7 + 8 − 2 − 3 − 6 = (5 + 7 + 8) − (2 + 3 + 6) = 20 − 11 = 9.
2. −38 − 17 − 45 + 8 + 13 = (8 + 13) − (38 + 17 + 45) = 21 − 100 = −79.
Natürlich kann der Faktor vor der Klammer auch ungleich ”1” sein:
17
4 Rechnen mit reellen Zahlen
Beispiel 4.10 (Distributivgesetz)
5(a + b + c) = 5a + 5b + 5c.
(−4)(a − b − 2c) = −4a + 4b + 8c.
Eine beliebige Zahl wird also mit einer in einer Klammer stehenden Summe multipliziert,
in dem diese Zahl unter Beachtung der Vorzeichenregeln mit jedem Summanden multipliziert wird und die entsprechenden Produkte mit den resultierenden Vorzeichen aufaddiert
werden. Der umgekehrte Vorgang heißt Ausklammern. Dabei werden in einer Summe
von Produkten gleiche Faktoren zusammengefasst und vor die Klammer geschrieben:
Beispiel 4.11 (Ausklammern (1))
2a + 4a + 9a + 15a = a(2 + 4 + 9 + 15)
= 30a.
6xyz + 8axy − 12f xy = 2xy(3z + 4a − 6f ).
Mit Hilfe des Distributivgesetzes ergibt sich auch das Produkt zweier Summen, indem wir
die erste Summe als Zahl auﬀassen und diese dann, wie bisher, mit der zweiten Summe
multiplizieren (siehe Beispiel 4.12 (∗)). Danach muß das Distributivgesetz allerdings noch
einmal angewandt werden (siehe Beispiel 4.12 (∗∗)):
Beispiel 4.12 (Ausmultiplizieren (1))
(∗)
(∗∗)
(a + 4)(b + 2) = (a + 4)b + (a + 4) · 2 = ab + 4b + 2a + 8.
Wir multiplizieren also zwei Summen miteinander, indem wir jedes Glied der ersten Summe mit jedem Glied der zweiten Summe multiplizieren (Achtung Vorzeichen!) und
die entstehenden Teilprodukte addieren:
Beispiel 4.13 (Ausmultiplizieren (2))
2
}|
z
{
1
z }| {
(a + b)(c −d) = ac + a · (−d) + bc + b · (−d) = ac − ad + bc − bd.
(g − h)(h +1) = g · h + g · 1 + (−h) · h − h · 1 = −h2 − h + g · h + g.
| {z }
3
| {z }
4
(a + b)(c + d)(e + f ) = (ac + ad + bc + bd)(e + f )
= ace + ade + bce + bde + acf + adf + bcf + bdf.
18
4.2 Abgeleitete Rechenregeln
Auch hier ist in vielen Rechnungen die umgekehrte Richtung von Interesse. Dabei werden
Terme, die identisch sind, ausgeklammert:
Beispiel 4.14 (Ausklammern (2))
(Terme, die ausgeklammert werden, sind unterstrichen.)
1. ac + ad − bc − bd = a(c + d) − b(c + d) = (a − b)(c + d).
2. 10xu + 6xw − 15yu − 9yw = 2x(5u + 3w) − 3y(5u + 3w)
= (2x − 3y)(5u + 3w).
3. i2 + 2ik + k 2 = i2 + ik + ik + k 2 = i(i + k) + k(i + k) = (i + k)(i + k).
Das letzte Beispiel leitet über zu wichtigen Spezialfällen. Sind nämlich die beiden Klammerausdrücke, die multipliziert werden sollen, identisch, dann ergeben sich die 1. und die
2. Binomische Formel:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 .
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2 .
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
Die 3. Binomische Formel bezieht sich auf einen etwas anderen Fall:
(a + b)(a − b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 .
3. Binomische Formel
Beispiel 4.15 (Anwendung der Binomischen Formeln)
1. (u + 5)2
= u2 + 2 · u · 5 + 52 = u2 + 10u + 25.
2
2. (j − 1)
= j 2 − 2 · j · 1 + 12 = j 2 − 2j + 1.
3. (3 − z)(3 + z) = 9 − z 2 .
Zum Abschluß dieses Abschnitts soll noch auf Ausdrücke eingegangen werden, die von
mehreren Klammern umgeben sind:
Beispiel 4.16 (Ausdrücke mit mehreren Klammern)
1. 3c − (2x − (c + 3d))
= 3c − (2x − c − 3d)
= 3c − 2x + c + 3d
= 4c − 2x + 3d.
2. 4(13 − 3(5x − 2) + 5x)
= 4 · 13 − 4 · 3 · (5x − 2) + 4 · 5x
= 52 − 12 · 5x + 12 · 2 + 20x
= 76 − 40x.
3. 5a − [(4a + 3b) − (b − 3a) − 8a] = 5a − [4a + 3b − b + 3a − 8a]
= 5a − [2b − a]
= 6a − 2b.
19
4
4 Rechnen mit reellen Zahlen
An den Beispielen erkennen wir, dass zwei Strategien möglich sind:
Von Innen nach Außen : Zunächst lösen wir die inneren Klammern auf, dann
die nachfolgenden Äußeren.
Von Außen nach Innen : Hier gehen wir genau entgegengesetzt vor: Wir fangen
mit den äußeren Klammern an und arbeiten uns nach
Innen vor.
Obacht:
Lösen Sie nur Klammern auf, die auch tatsächlich zusammengehören, d. h.
zur Klammer, die als letztes aufgeht, gehört diejenige, die als erstes schließt.
4.3 Die Faktorzerlegung einer Summe
Häufig ist es günstiger, eine Summe in ein Produkt zu zerlegen (z.B. bei der Bestimmung
von Nullstellen). Diesen Vorgang nennen wir Faktorzerlegung. Dabei unterscheiden wir
folgende Fälle:
1. Fall: Sämtliche Summanden der zu zerlegenden Summe enthalten einen gemein–
samen Faktor.
Beispiel: 15abx − 9b2 y + 12bz = 3b(5ax − 3by + 4z).
2. Fall: Durch Zusammenfassen geeigneter Summanden lässt sich das Ausklammern
gemeinsamer Faktoren mehrfach nacheinander wiederholen.
Beispiel: pq − qr − p + r = q(p − r) − (p − r) = (p − r)(q − 1).
(Siehe auch Beispiel 4.14).
3. Fall: Die Zerlegung ist mit Hilfe der drei Binomischen Formeln möglich.
Beispiel: 16a2 + 24ab + 9b2 = (4a + 3b)2 .
4. Fall: Treﬀen alle bisherigen Fälle nicht zu, so ist die Faktorzerlegung etwas
umständlicher mit der Polynomdivision durchzuführen (siehe S. 95).
Aufgaben zu Abschnitt 4
1. Multiplizieren Sie die folgenden Ausdrücke aus:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
20
(8x + 3y)(12x + 7y)
(3p + 5q)(2x + 4y)
(2g + 1)(6h + 5)
(4a2 + 3a)(5a + 4)
(2c2 + 6f 2 )(7c2 + 3f 2 )
(0, 2g + 0, 1)(0, 6k + 0, 3)
(f + v)(3f − v)f
(−a)(2a − 1)(a + 2)
4(2c − 3)(2c + 1)
k.)
l.)
m.)
n.)
o.)
p.)
q.)
r.)
s.)
(−2, 6ax + 1, 3x)(−3, 1bx + 0, 8x)
(−2)(2m + 3n)(3m + 2n)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
(3p − 2q)(p + 4q)(x − y)
(−5)(a + 2b)(3x − 2y)(x + y)
(2f − o)(t − h) + 3f (t + h)
(8a − 5b)(u + v) + (3a − 4b)(u + v)
(9a − 4b)(c − d) − (2a − 5b)(c − d)
(8m + 8n)(s + r) − 3m(s + r) − 4n(s + r)
4.3 Die Faktorzerlegung einer Summe
2. Klammern Sie weitestmöglich aus:
a.) ap2 + bp2 − aq 2 − bq 2
b.) 12x − 20y + 5a2 y − 3a2 x
c.) 90mv 2 − 40mw2 + 135uv 2 − 60uw2
d.) 9c2 e2 − 4c2 − 9d2 e2 + 4d2
e.) 18a5 − 24a3 b2 + 15a4 b − 20a2 b3
f.) bx3 − by 3 − cx3 + y 3 c
4
g.) 10gw3 − 80g − 6hw3 + 48h
h.) 32a5 + 108a2 b3 + 27b5 + 8a3 b2
i.) 216m3 x3 + 27m3 y 3 − 64x3 − 8y 3
k.) 375w3 l3 − 24o3 l3 − 1500w3 lf 2 + 96o3 lf 2
l.) w2 l − w2 y − 4ilw + 4yiw − 4yi2 + 4i2 l
m.) −9u2 p2 − 24u2 pq + 9m2 p2 − 16u2 q 2 + 24m2 pq + 16m2 q 2
n.) 200a3 b2 + 32b3 c2 + 200b5 + 32a3 c2 − 160a3 bc − 160b4 c
o.) 4p2 s2 − 6p2 rs + 16q 2 s2 + 36q 2 r2 − 24q 2 rs + 9p2 r2
3. Vereinfachen Sie:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
4x − [(a − 4x) + (3y + 17a) − (98x + 3y)]
[(6u − 9v) − 3u] − [(3u − 8w) − (u + 9v − 7w)]
(9a2 − a) + 4x − [(4ax + 3x − a) + 8a2 − (ax − x)]
19
10
11
1
5
1
2
2 r − [ 3 m − ( 2 r − 2 m)] − [ 3 r + ( 6 m − 3 r)]
65x − 49y − {33z − [28y − (19z − 15x)] + (35 − 21y)}
16
7, 5a + {2, 4x − [1, 2b + (8, 25a − 2, 7x) − ( 15
4 a − 5 x)]}
5(u + 2(u − v − 3(u − v)) + 4(u − v) − 2u)
2(i − 4(j − i + 3(i − j) + 5) − k)
21
5 Lineare Gleichungen
Beispiel 5.1 (Lineare Gleichung (1))
Gesucht ist die Lösung der Gleichung
a) 5x − 15
⇔
5x
⇔
5x
⇔
x
=
=
=
=
5
| + 15
5 + 15
20
|:5
4.
b)
⇔
⇔
⇔
1
3p
+ 16
1
3p
1
3p
p
=
=
=
=
−5
| − 16 (U nbekannte isolieren)
−5 − 16
(Zusammenf assen)
−21
| : 13
(Division)
−63.
Gleichung a) wird also von x = 4 und Gleichung b) von p = −63 erfüllt.
Um eine Gleichung zu lösen, wird solange umgeformt, bis die Unbekannte allein auf einer
Seite steht. Dabei sind folgende Umformungen erlaubt:
1. Addition:
2. Subtraktion:
3. Multiplikation:
4. Division:
In einer Gleichung dürfen zu beiden Seiten gleiche Zahlen/Terme
addiert werden:
Wenn a = a′ , dann gilt a + b = a′ + b.
(Siehe Schritt ”Unbekannte isolieren” in Beispiel 5.1 a).)
In einer Gleichung darf von beiden Seiten die gleiche Zahl
abgezogen werden:
Wenn a = a′ , dann gilt a − b = a′ − b.
(Siehe Schritt ”Unbekannte” isolieren in Beispiel 5.1 b).)
In einer Gleichung dürfen beide Seiten mit gleichen Termen
(ungleich Null) multipliziert werden:
Wenn a = a′ , dann gilt a · b = a′ · b.
(Siehe Schritt ”Division” in Beispiel 5.1 b).)
In einer Gleichung dürfen beide Seiten durch gleiche Zahlen
(ungleich Null) dividiert werden:
Wenn a = a′ , dann gilt a : b = a′ : b.
(Siehe Schritt ”Division” in Beispiel 5.1 a).)
23
5
5 Lineare Gleichungen
Beispiel 5.2 (Lineare Gleichung (2))
5
5
x + x = 15 ⇔
6
9
⇔x=
(
)
5·3 5·2
25
+
x = 15 ⇔ x = 15
18
18
18
|·
18
25
15 · 18
54
= .
25
5
Hier muss zunächst die Unbekannte zusammengefasst werden, um dann durch Multiplikation mit dem Kehrwert die Unbekannte auf der einen Seite der Gleichung zu isolieren.
Beispiel 5.3 (Gleichung ohne Lösung)
(
)
4 x − 32
= 2 (2x + 4) − 1
⇔
4x − 6 = 4x + 8 − 1
⇔
4x = 4x + 13.
(Auflösen der Klammer)
|+6
Diese Gleichung kann kein x erfüllen. Durch Subtraktion von 4x kann diese Gleichung in
den Widerspruch 0 = 13 überführt werden. Die Ausgangsgleichung hat also keine Lösung!
Beispiel 5.4 (Gleichung mit unendlich vielen Lösungen)
⇔
⇔
∗⇔
∗∗ ⇔
3 (x + 2) + 12
3x + 6 + 12
3x + 18
3x
0
=
=
=
=
=
4 (x + 3) − (x − 6)
4x + 12 − x + 6
3x + 18
| − 18
3x
| − 3x
0.
Die Gleichungen * und ** sind identisch und für jedes beliebige x erfüllt. Somit ist jedes
beliebige x ∈ IR eine Lösung der Ausgangsgleichung. Sie besitzt unendlich viele Lösungen.
Beispiel 5.5 (Bruchgleichung (1))
3
x−5
⇔
⇔
⇔
⇔
24
7
+ 2= x−5
3 + 2 (x − 5)=7
3 + 2x − 10=7
2x=14
x=7.
| · (x − 5)
|+7
|:2
(Hauptnenner : x − 5)
(Auflösen der Klammer)
(Isolieren)
(Herstellen der Form x =...)
Lineare Gleichungen können auch beim Lösen von Bruchgleichungen entstehen. Bei Bruchgleichungen machen wir in einem ersten Schritt zunächst den Nenner gleichnamig, d.h. wir
suchen den gemeinsamen Hauptnenner und erweitern die einzelnen Brüche entsprechend.
Danach gehen wir wie gehabt vor:
Kochrezept:
1.
2.
3.
4.
Falls x im Nenner auftritt, wird die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.
Auflösen der Klammern.
Zusammenfassen gleichartiger Glieder.
Isolieren der Unbekannten auf der einen Seite der Gleichung, d.h. allgemeine
Form : a · x = b.
5. Division durch a ergibt : x = ab (a ̸= 0)!
Es können folgende Fälle unterschieden werden:
1. Fall a ̸= 0, b beliebig ⇒ Die Gleichung hat eine eindeutige Lösung!
2. Fall a = 0,
b ̸= 0
⇒ Die Gleichung besitzt keine Lösung!
3. Fall a = 0,
b=0
⇒ Die Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen!
Obacht:
In einer Bruchgleichung muss zum Abschluss geprüft werden, ob die Lösung
überhaupt definiert ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn durch die Lösung
keiner der Nenner Null wird. Dies führt zum Begriﬀ des Definitionsbereiches (ID). Der Definitionsbereich ist die Menge, in der die Gleichung zulässig
ist. Im Beispiel 5.5 ergibt sich für x = 5 im Nenner Null, somit muss x ̸= 5 für
die Lösung der Gleichung sichergestellt werden. Der Definitionsbereich ergibt
sich somit zu: ID = IR \ {5}.
Beispiel 5.6 (Bruchgleichung (2))
⇔
⇔
⇔
⇔
1
x+3
x−3
(x+3)(x−3)
= x216−9
x+3
= x216−9
(x−3)(x+3) +
x + 3 + x − 3 = 16
2x = 16
x = 8
1
x−3
+
(Hauptnenner : x2 − 9)
| · (x2 − 9)
|:2
Der Definitionsbereich ist hier der Zahlenbereich, für den der Nenner ungleich Null ist,
d.h. es müssen alle x ausgeschlossen werden, die im Nenner eine Null erzeugen:
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = −3.
In diesem Fall erzeugen ”±3” je eine ”Null”, somit lautet der Definitionsbereich:
ID = IR \ {−3; +3}. Da 8 ∈ ID ist, lautet die Lösung: IL = {8}.
25
5
5 Lineare Gleichungen
Beispiel 5.7 (Bruchgleichung (3)) Gesucht ist die Lösung der Gleichung
7
x
−
3
x−9
=
4
x+12
| · x(x − 9)(x + 12)
Der Hauptnenner lautet x(x − 9)(x + 12). Daher wird hier mit ihm multipliziert:
⇔ 7(x − 9)(x + 12) − 3 · x · (x + 12) = 4x(x − 9)
⇔
7x2 + 21x − 756 − 3x2 − 36x = 4x2 − 36x
Nach dem Ausmultiplizieren und dem erneuten Zusammenfassen muss jetzt die Unbekannte auf einer Seite isoliert werden:
⇔ 4x2 − 15x − 756 = 4x2 − 36x | − 4x2 + 36x + 756
⇔
21x = 756
| : 21
(Dividieren)
⇔
x = 36
Bestimmung des Definitionsbereiches:
Der Hauptnenner ist das Produkt x(x − 9)(x + 12). Dieses ist Null, wenn mindestens
einer der Faktoren Null ist, also:
1.
x = 0.
2. x − 9 = 0 ⇔ x = 9.
3. x + 12 = 0 ⇔ x = −12.
Somit gilt: ID = IR \ {−12; 0; 9}. Da 36 ∈ ID ist, ist dies eine Lösung der Gleichung!
Zum Abschluss der Aufgabe empfiehlt es sich immer, eine Probe zu machen. Durch Einsetzen der Lösung ergibt sich hier:
7
3
4
7
1
1
7
4
1
3
1
−
=
⇔
− =
⇔
−
=
⇔
=
.
36 27
48
36 9
12
36 36
12
36
12
Das Ergebnis ist also richtig.
26
Aufgaben zu Abschnitt 5
1. Berechnen Sie den Wert der Variablen in folgenden Gleichungen:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
k.)
l.)
m.)
n.)
o.)
7(8e − 5) = 133
(17 − 3x)11 = (2x + 1)2
5(2a + 7) = 9(2a − 5)
18z + 12(3z − 1) = 25z + 17
3
3
5 (26 − 8x) = 2 (5x − 6)
6(5z − 2) − 5(6z − 5) = 4(9 − 2z) + 1
7(4f − 3) − 3(6f − 2) = 9(2f + 1) − 4(4f + 3)
0, 4(3x − 1, 5) + 0, 3(5x − 8) = 3, 04 − 0, 5(4, 6 − 2x)
1
1
2
1
1
8
5
1
2 (5q − 3 ) − 5 (3q + 2 ) = 3 (2q + 3 ) − 2 (q − 3 )
(v + 2)(v + 1) = (v − 2)(v + 9)
4(l + 3)(l − 1) + 20 = (2l − 1)(5l + 1) − (3l − 5)(2l + 1)
2(5j + 12)(3j − 4) − 9j(2 − j) = 32 − (3j + 6)(10 − 13j)
(m + 1)(6m + 1) − 3(3 − m)(2m − 1) = (4m − 5)(3m + 1)
( 32 u − 2)( u2 + 14 ) − ( 16 u − 34 )(2u − 9) + 4 = 0
5
2. Lösen Sie die Gleichungen unter Verwendung der Binomischen Formeln:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
k.)
l.)
m.)
n.)
o.)
(e + 5)2 = (7 − e)2 + 24
(x − 1)2 + (x + 2)2 = 2x2
(a + 9)2 − (a − 5)2 = 28
(z − 32 )2 = 2(z − 25 )(z + 52 ) − (z + 12 )2
2(3b + 8)2 − 3(2b − 7)(2b + 7) = (100 + b)(2b − 1) + (13 − 2b)2 + 2
(3g − 4)2 − 8g(g − 4) = (g + 4)2
(k + 6)(k − 6) = (k − 2)2
(c + 5)2 + (c − 3)2 = (c − 7)2 + (c + 4)2 − 11
(3y − 5)2 − (2y + 3)(3 − 2y) = 2y(7y − 22) − (y + 6)2
(5r + 4)(5r − 4) − (3 − 3r)2 − (2r − 8)(8r − 2) + 41 = 0
(s + 14)2 + (3s − 6)(6 + 3s) = (46 + 7s)(2s − 1) − (7 − 2s)2
5(6x + 1)2 − 4(7x − 5)2 = (2x − 25)(70 − 8x)
−(2 − x)(x + 2) − (3x − 5)2 = (−x + 4)(8x − 3)
(h + 4)2 = h2 + 160
27
5 Lineare Gleichungen
3. Geben Sie ein Ergebnis für die jeweiligen Gleichungen an:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
2c−41
+ c−4
9
5 =9
17−3f
− 6 = 17+f
5
11
9−k
2 − 5+k
=
1
−
7
14
2n+15
n − 2n−5
=
+ 4n−9
4
9
12
2(x+3)
11x−37
+
3x
−
=
5
5
2
3
y+ 12
y+
2y+1
1
4
2 − 4 = 4 − 5
q+1
q−2
q+1
7q−2
12 − 3 = 4 − 15
h.)
i.)
k.)
l.)
m.)
n.)
o.)
5(2p−0,4)
− 7(7p − 1, 9) = 3(3p−0,1)
0,3
0,5
1 − 32 (2v + 15) + 67 (4v − 15) + 38 v
1
1
1
1
13
8r + 9r + 12r + 24r − 72 = 0
3
5
8
1
1
11
4t − 14 − 7t = t + 4 − 14t
1 − 2w−10
= 20−w
3w
2w
3x
3x+5
6x−2
5 = 15x + 10
3,7
4z−3,5
1,5z − 2,5z = 18, 7
− 50
=0
4. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie den Definitionsbereich an:
a.)
5
2u+4
l.)
2
1,5x+1,2
b.)
3
z+7
=
m.)
1
y+3
c.)
2
t−3
+
=0
n.)
7
p
d.)
2a+4
3a−5
=
5
2
o.)
e.)
15
2c+1
−
20
3c
f.)
13
2g−3
−
11
g+3
g.)
3h2 −5h−23
4h2 +3h+8
h.)
12w2 −7w+5
18w2 −11w+9
i.)
k.)
3v
v
+6
4
1
4
2
f
5
=1
4
z+11
5
9
2
y−3
=
−
3
p−9
2
o+1
−
1
o2
=
2
o
p.)
15
q−2
−
4
q+2
=0
q.)
3e−19
e2 −20e+91
3
4
r.)
6i+7
2i+3
s.)
9
2x2 −x
( 1l −1)
=
=
2
3
−4=0
t.)
3
4
3
f
+ 32
5
u.)
=
1
y−5
+
3
3,5x−0,8
4
p+12
=0
−
=
−
=
=
8i−5
3i−4
−
−
=0
3
(o+1)2
5
q 2 −4
5
e−13
=
−
7
e−7
2i2 −35i+77
6i2 +i−12
2
4x2 −1
= 2x28+x
1
( 1+l
) 1
−
2
+ =0
1
1
( l +1)
( 1−l ) 6
1
−1)
(1+ m2 ) ( m−3
−
=3
2
1
(1− m ) ( m−3 +1)
Wie sollten Sie weiter vorgehen?
Alle folgenden Kapitel dienen dazu, die in den vorangegangenen Abschnitten
erlangten Kenntnisse an mehr oder weniger einfachen Problemen anzuwenden.
Auch hier gilt, lösen Sie einige der zugehörigen Aufgaben und entscheiden Sie
selbst, ob Sie das zugehörige Kapitel lesen müssen. Die nächsten beiden Abschnitte über Ungleichungen und Beträge sowie über quadratische Gleichungen
und Ungleichungen sollten Sie aber unbedingt lesen und möglichst vollständig
bearbeiten, da die Klausurergebnisse immer wieder zeigen, dass Sie hier größte
Defizite haben.
28
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
Dieses Kapitel ist zweigeteilt. Zunächst befassen wir uns mit Ungleichungen. Dabei sollen
vor allem die Rechenregeln für Ungleichungen erläutert werden. Danach wird erklärt, was
ein Betrag ist und welche Eigenschaften dieser besitzt!
6.1 Ungleichungen
Wenn a und b nicht gleich sind, schreiben wir a ̸= b. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
Entweder ist a größer als b (a > b), oder a ist kleiner als b (a < b).
Eine Verknüpfung von Zahlen oder Rechenausdrücken durch die Zeichen ”>”oder ”<”
heißt Ungleichung. Es ist klar, dass a > a oder a < a unmöglich ist. Ebenso evident ist
der folgende Grundsatz: Wenn a > b, ist b < a !
Bemerkung 6.1:
1. a > 0 bedeutet, dass a rechts von der Null auf dem Zahlenstrahl liegt. a
heißt dann positiv. Im Fall von a < 0 heißt a negativ.
2. Für jedes a ∈ IR gilt genau eine der folgenden Beziehungen:
a > 0 oder a = 0 oder a < 0 !
{ }
3. Wenn a > 0 und b > 0 ist a +· b > 0, d.h. die Summe bzw. das Produkt
zweier positiver Zahlen ist wieder positiv.
4. Wenn a > b folgt a − b > 0 !
5. Die Beziehungen a ≥ b (a ist größer oder gleich b) besagt, dass a entweder
größer als b oder gleich b ist. Also ist a nicht kleiner als b ! Von den
beiden Beziehungen a > b oder a = b kann höchstens eine richtig sein.
Entsprechendes gilt für a ≤ b (a kleiner gleich b). Auch Verknüpfungen
von Rechenausdrücken mit ”≤” oder ”≥” heißen Ungleichungen.
Für den Umgang mit Ungleichungen gelten die folgenden, zum Teil aus Kapitel 5 bekannten Rechenregeln:
29
6
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
Rechenregeln für Ungleichungen:
1. Aus a < b ∧ b < c folgt:
2. Aus a < b folgt:
3. Aus a < b folgt:
4. Aus
Aus
5. Aus
6. Aus
a < c.
a + c < b + c für beliebiges c.
a · c < b · c für beliebiges c > 0.
a · c > b · c für beliebiges c < 0.
0 < a < b folgt:
0 < 1b < a1 .
0 < a ≤ b folgt:
0 < 1b ≤ a1 .
a ̸= 0 folgt:
a · a = a2 > 0, d.h. Quadrate
sind stets größer oder gleich Null,
aber nicht negativ.
a > b und c > d folgt: a + c > b + d.
(Statt ”<” ist auch ”>”, ”≥” oder ”≤” möglich.)
Obacht:
Auf die besondere Bedeutung der Regel 3 muß noch einmal hingewiesen werden:
Die Multiplikation mit negativen Zahlen dreht das
Ungleichheitszeichen um.
Beispiel 6.1 (Rechenregel)
Aus 3 < 5 und 5 < 9 f olgt : 3 < 9.
Aus 3 < 5 f olgt :
3+4<5+4
⇔
7 < 9.
Aus 3 < 5 f olgt :
3·2<5·2
⇔
6 < 10.
3 · (−2) > 5 · (−2) ⇔ −6 > −10.
1
1
Aus 3 < 5 f olgt :
5 < 3.
1
2
3
4
5
6
Abbildung 6.1: Veranschaulichung von 3 < a < 5 auf dem Zahlenstrahl.
Mit 3 < a < 5 sind alle Elemente des schwarzmarkierten Bereiches gemeint. Die Endpunkte 3 bzw. 5 jedoch nicht ! Wir schreiben daher auch: 3 < a < 5 entspricht a ∈ (3; 5).
Die letzte Schreibweise heißt Intervallschreibweise. Die runden Klammern stehen für
ein oﬀenes Intervall. Dieses enthält die Endpunkte nicht. Im Gegensatz dazu beinhaltet
ein abgeschlossenes Intervall die Endpunkte. Ein Intervall heißt:
abgeschlossen:
[a; b] =
oﬀen:
(a; b) =
halboﬀen:
a.)rechtsseitig [a; b) =
b.)linksseitig
(a; b] =
30
{x|a ≤ x ≤ b}.
{x|a < x < b}.
{x|a ≤ x < b}.
{x|a < x ≤ b}.
6.2 Das Lösen von Ungleichungen
Zweiseitig begrenzte Intervalle werden durch doppelte Ungleichungen beschrieben, einseitig begrenzte Intervalle dagegen nur durch eine einzige Ungleichung.
Beispiel 6.2 (Intervallschreibweisen)
{x|x < a} = (−∞; a), {x|x ≤ a} = (−∞; a],
{x|x ≥ a} = [a; +∞), {x|x > a} = (a; +∞).
6.2 Das Lösen von Ungleichungen
Für das Lösen von Ungleichungen stellen wir zwei Verfahren vor: Ein graphisch anschauliches und ein rechnerisches Verfahren. Beide sind äquivalent, dennoch ist der Zugang
mit Hilfe der anschaulichen Vorgehensweise wohl intuitiver. Dazu benötigen wir an dieser
Stelle jedoch schon den Funktionsbegriﬀ, der Ihnen aber sicherlich aus der Schule bekannt
ist. Sollten Sie damit Probleme haben, lesen Sie kurz die Abschnitte 11.1 und 11.2.
Beispiel 6.3 (Lineare Ungleichung (1))
Bestimmen Sie die Lösungsmenge von:
5x − 9 <
⇔ 2x − 9 <
⇔
2x <
⇔
x <
3x − 5 | − 3x
−5
|+9
4
| · 12
2
Das Ergebnis lautet also −∞ < x < 2 und damit :
IL = {x ∈ IR| x < 2} = (−∞; 2).
Die zweite Lösungsmöglichkeit ergibt sich, in dem wir beide Seiten der Ungleichung getrennt betrachten und als Funktionen auﬀassen. Diese können wir uns als Geraden in der
x-y-Ebene veranschaulichen (s. dazu auch Abschnitt 11.2).
31
6
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
y
4
f1
ys
f2
S
−3
xs
3
x
−2
−6
−10
Die zwei Gerade schneiden sich im Punkt
S. Gesucht sind alle Werte x, für die die
Gerade y = 5x − 9 kleiner ist als die Gerade y = 3x − 5. Diese Werte liegen links von
der x-Koordinate des Schnittpunktes. Wir
müssen also nur die Schnittpunkte der Geraden berechnen und ein Intervall konstruieren, das alle x-Werte links von xs erfaßt:
5x − 9 = 3x − 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
Die x-Koordinate des Schnittpunktes ist also xs = 2, somit lautet die Lösungsmenge:
IL = {x ∈ IR| x < 2} = (−∞; 2).
Abbildung 6.2: Graph
der
Funktion
f1 (x) = 5x − 9
und
f2 (x) = 3x − 5.
Beispiel 6.4 (Lineare Ungleichung (2))
1 > 2 | · (x − 1)
(⋆) x −
ID = IR \ {1}.
1
Bei der Multiplikation mit (x − 1) ist zu beachten, dass dieser Ausdruck auch negative
Werte annehmen kann, wenn x nur klein genug ist. Daher ist eine Fallunterscheidung
nötig:
1. Fall: (x − 1) < 0 ⇔ x < 1.
In diesem Fall dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Es gilt also:
(⋆) ⇔
⇔
⇔
⇔
1
1
3
x
< 2(x − 1)
< 2x − 2
|+2
< 2x
| · 12
3
> 2
Die Lösung lautet somit x > 32 . Voraussetzung dieses Falles ist aber x < 1. Es wird
also eine Zahl gesucht, die sowohl kleiner als ” 1” als auch größer als ” 32 ” ist. Eine
derartige Zahl, die beide Bedingungen erfüllt, existiert nicht, also IL1 = {}.
2. Fall: (x − 1) > 0 ⇒ x > 1. Hier gilt:
(⋆) ⇔ 1 > 2(x − 2) | + 2
⇔ 3 > 2x
| · 12
⇔ x < 32
In diesem Fall sind zwei Bedingungen zu beachten; nämlich x > 1 und x < 1, 5:
32
6.2 Das Lösen von Ungleichungen
0
1
2
3
Abbildung 6.3: Veranschaulichung von 1 < x < 1, 5 auf dem Zahlenstrahl.
Dort, wo sich beide Pfeile überschneiden, liegt die Lösungsmenge IL2 für diesen Fall:
IL2 = {x ∈ IR | 1 < x < 1, 5} = (1; 1, 5).
Für die Ungleichung
1
x−1
> 2 ergibt sich somit die Gesamtlösungsmenge zu:
ILges = IL1 ∪ IL2 = {} ∪ {x ∈ ID|1 < x < 1, 5}
= {x ∈ ID | 1 < x < 1, 5}.
y
3
f1
1
Zeichnen der Funktion y = x−1
und der konstanten Gerade y = 2 liefert nebenstehendes
Bild. Gesucht sind alle x-Werte, für die die
Hyperbel oberhalb der waagerechten Gerade
liegt. Dies sind alle Werte zwischen 1 (ergibt
sich aus dem Definitionsbereich) und xs .
Berechnung des Schnittpunktes:
3
1
x−1 = 2 ⇔ 1 = 2x − 2 ⇔ x = 2 .
Somit ergibt sich als Lösungsmenge:
IL = {x ∈ ID| 1 < x < 23 } = (1; 32 ).
S
1
f2
f2
−1
1 xs
3
x
−2
Abbildung 6.4: Graph
der
Funktionen
1
f1 (x) = 2 und f2 (x) = x−1
.
Beispiel 6.5 (Lineare Ungleichung (3))
(⋆)
4x + 24
≥5
3−x
| · (3 − x)
ID = IR \ {3}
Auch hier ist eine Fallunterscheidung nötig, da je nach Wahl von x, der Faktor (3 − x)
größer oder kleiner Null sein kann:
1. Fall: (3 − x) < 0 ⇔ x > 3:
(⋆) ⇔ 4x + 24 ≤ 5(3 − x)
⇔ 4x + 24 ≤ 15 − 5x | + 5x
⇔ 9x + 24 ≤ 15
| − 24
⇔
9x ≤ −9
|:9
⇔
x ≤ −1
Die beiden Forderungen x > 3 und x ≤ −1 sind miteinander nicht vereinbar.
Somit gilt: IL1 = {}.
33
6
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
2. Fall: (3 − x) > 0 ⇒ 3 > x ⇒ x < 3 :
(⋆) ⇔ 4x + 24 ≥ 5(3 − x) | + 5x − 24
⇔
9x ≥
−9 | : 9
⇔
x ≥
−1
Die Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl liefert:
x<3
−3
−2
[
−1
0
x ≥ −1
1
2
(
3
4
Abbildung 6.5: Veranschaulichung der Intervalle (−∞; 3) und [−1; ∞) auf dem Zahlenstrahl.
Somit lautet die Lösungsmenge: IL2 = {x ∈ ID| − 1 ≤ x < 3} = [−1; 3).
Und die Gesamtlösungsmenge: ILges = IL1 ∪ IL2 = [−1; 3).
y
28
24
S
20
16
f1
Um Rechenaufwand zu sparen, zeichnen wir
hier die Geraden, die sich nach der Fallunterscheidung ergeben:
1. Fall: Gesucht sind x-Werte x > 3, für die
die Gerade y = 4x + 24 unterhalb von
der Geraden y = 15 − 5x verläuft. Solche Werte gibt es aber eindeutig nicht!
IL1 = ∅.
12
2. Fall: Gesucht sind x-Werte x < 3, für die
die Gerade y = 4x + 24 oberhalb von
der anderen liegt. Solche Werte liegen
4
genau zwischen der x-Koordinate des
f2
Schnittpunktes und der 3.
x Schnittpunktberechnung:
−3
−1
1
3
4x + 24 = 15 − 5x ⇔ 9x = −9 ⇔
xs
x = −1.
Somit ergibt sich
Abbildung 6.6: Graph
der
Funktionen
IL2 = {x ∈ ID| − 1 ≤ x < 3}.
f1 (x) = 4x + 24 und
Gesamt:
f2 (x) = 15 − 5x.
IL = IL1 ∪ IL2 = [−1; 3).
8
Fazit:
Lineare Ungleichungen lösen wir prinzipiell wie lineare Gleichungen. Es sind jedoch die
speziellen Eigenschaften zu beachten, besonders die Umkehrung des Ungleichheitszeichens
34
6.3 Beträge
bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl!
Falls in einer Ungleichung ein Bruch vorkommt, dessen Nenner die Variable x enthält,
wird dieser Nenner dadurch beseitigt, dass die Ungleichung mit ihm multipliziert wird.
Dies erfordert Fallunterscheidungen: Ist der Nenner in Abhängigkeit vom Argument
x positiv, so bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, während es bei der Multiplikation
mit einen negativen Nenner umgedreht werden muß! Außerdem ist bei Ungleichungen mit
Bruchtermen immer der Definitionsbereich zu nennen und bei der Angabe der Lösungsmenge entsprechend zu beachten.
6.3 Beträge
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zum Nullpunkt der Zahlengeraden. Unter Abstand
verstehen wir dabei die Diﬀerenz zweier Zahlen, wobei die größere von beiden der Minuend
ist. Es resultiert immer eine positive Zahl. Daher haben sowohl ‘a‘ als auch ‘ − a‘ den
gleichen Abstand zum Nullpunkt.
Der Betrag |a| einer Zahl a ist definiert als:
{
|a| =
a,
−a,
6
a ≥ 0.
a < 0.
Eigenschaften des Betrages:
1. Es ist stets |a| ≥ 0. Weiter ist (|a|)2 = a2 .
2. |a − b| = |b − a|. Dies ist der Abstand zwischen a und b.
3. |a · b| = |a| · |b| ; ab =
|a|
|b|
(b ̸= 0).
4. |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung, auch für mehr als zwei Summanden
gültig).
5. Alle reellen Zahlen, welche bei vorgegebenen x0 die Ungleichung |x−x0 | ≤ d erfüllen,
haben von x0 höchstens den Abstand d. Die Lösungsmenge der Betragsgleichung
lautet also:
IL = [x0 − d; x0 + d] = {x ∈ IR| x0 − d ≤ x ≤ x0 + d} !
35
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
Beispiel 6.6 Geben Sie die Lösungsmenge an:
(⋆) |x − 2| < 3
1. Fall: x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2:
Hier können die Betragsstriche ersatzlos wegfallen:
(⋆) ⇔ x − 2 < 3 | + 2
⇔
x < 5
IL1 = {x ∈ IR| 2 ≤ x < 5}.
Die Lösungsmenge lautet:
2. Fall: x − 2 < 0 ⇒ x < 2:
(⋆) ⇔ (−1)(x − 2)
⇔
−x + 2
⇔
−x
⇔
x
<
<
<
>
3
3
|−2
1
| · (−1)
−1
Die Lösungsmenge lautet: IL2
= {x ∈ IR| − 1 < x < 2}.
Somit ergibt sich gesamt: ILges = IL1 ∪ IL2 = {x ∈ IR| x ∈ (−1; 5)}.
y
f2
S1
−(x − 2)
2
1
−1
−1
Abbildung
Auch hier besteht die Möglichkeit, das Problem graphisch zu lösen. Dazu müssen wir
f1 den Verlauf der Betragsfunktion darstellen.
S2
Dies gelingt am einfachsten, in dem wir
zunächst die Gerade y = x − 2 zeichnen. Da
der Betrag keine negativen Ergebnisse lief2
fert, ist der gepunktete Teil unterhalb der xx Achse sicherlich falsch. Wir korrigieren den
1
3
5
Fehler, indem wir diesen Teil an der x-Achse
spiegeln – dies entspricht dem Zeichnen der
Geraden y = −(x − 2)! Damit haben wir die
typische ”∨-Form” der reinen Betragsfunktion. Gesucht sind jetzt alle x-Werte, für die
6.7: Graph
der
Funktio- der Betrag von (x − 2) kleiner ist als 3. Dies
nen f1 (x)
=
3 und sind alle Werte zwischen den x-Koordinaten
f2 (x) = |x − 2|.
der beiden (!) Schnittpunkte.
(x − 2)
Berechnung der Schnittpunkte:
S1 : −(x − 2) = 3 ⇔ −x + 2 = 3 ⇔ x = −1,
S2 : (x − 2) = 3 ⇔ x = 5.
Somit können alle x-Werte zwischen −1 und 5 als Lösungsmenge angegeben werden:
IL = {x ∈ R| − 1 < x < 5} = (−1; 5)
Bemerkung 6.2:
36
6.3 Beträge
Gesucht waren alle reellen Zahlen, deren Abstand von ”2” kleiner als ”3” ist,
so dass eine schnelle Lösung mit Hilfe der Betragseigenschaft (5.) möglich
gewesen wäre!
Beispiel 6.7 Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung: |2x + 4| > 6
Zur Lösung der Ungleichung müssen die Betragszeichen beseitigt werden. Dazu ist eine
Fallunterscheidung nötig:
1. Fall: 2x + 4 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −4 ⇔ x ≥ −2:
Da (2x + 4) > 0 in diesem Fall positiv ist, können die Betragsstriche weggelassen
werden, es gilt also:
⇔
⇔
2x + 4 > 6 | − 4
2x > 2 | · 12
x > 1.
Die Lösungsmenge ergibt sich somit aus:
also: IL1 = {x ∈ IR|x > 1}.
6
x ≥ −2 und x > 1,
2. Fall: 2x + 4 < 0 ⇔ 2x < −4 ⇔ x < −2 :
In diesem Fall ist das Argument negativ, der Betrag führt zu einem Vorzeichenwechsel. Dieser wird durch ein einseitiges Multiplizieren von ” (−1)” an Stelle des
Betrages dargestellt:
⇔
⇔
⇔
⇔
(−1) · (2x + 4)
−2x − 4
−2x − 10
−10
−5
>
>
>
>
>
6
6 |−6
0 | + 2x
2x | · 12
x.
Die Lösungsmenge ergibt sich aus:
also IL2 = {x ∈ IR|x < −5}.
Für die Gesamtlösung gilt:
x < −5 und x < −2,
ILges = IL1 ∪ IL2 = {x ∈ IR| (x < −5) ∨ (x > 1)}
= IR \ [−5; 1].
37
6 Lineare Ungleichungen und Beträge
y
f2
f2
Auch hier besteht die Möglichkeit einer graphischen Lösung. Dazu veranschaulichen wir
S2
uns zunächst die Betragsfunktion, indem wir
4
2x + 4
die Gerade y = 2x + 4 in die x-y-Ebene ein−(2x + 4)
2
zeichnen. Da die Betragsfunktion nicht negativ
sein darf, kann der gepunktete Teil der Gerade
x unterhalb der x-Achse so nicht stehenbleiben.
−5
−2 −1
1 2
Wir korrigieren den Fehler, indem wir die Gerade y = −(2x + 4) einzeichnen, oder indem
wir den angesprochenen gepunkteten Teil an
der x-Achse spiegeln. Nach dem alten Rezept
Abbildung 6.8: Graph
der
Funktio- sind jetzt alle x-Werte gesucht, für die der Benen f1 (x) = 6 und trag größer als 6 ist.
S1
6
f1
f2 (x) = |2x + 4|.
Dies sind aber Werte, die entweder links von der x-Koordinate des Punktes S1 oder rechts
von der x-Koordinate des Punktes S2 liegen.
Obacht:
Aufgrund der ”∨-Form” der Betragsfunktion gibt es jetzt zwei Schnittpunkte!
Berechnung der Schnittpunkte:
S1 :
−(2x + 4) = 6 ⇔ 2x = −10 ⇔ x = −5,
S2 :
(2x + 4) = 6 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.
Somit ergibt sich die Lösungsmenge als:
IL = {x ∈ R| (x < −5) ∨ (x > 1)} = IR \ [−5; 1].
Aufgaben zu Abschnitt 6
1. Stellen Sie die Intervalle mit Hilfe des Zahlenstrahls dar und bestimmen Sie dann
die Schnittmenge:
a.) x > −3 und x < 4
b.) x < −3 und x ≥ 1
c.) −2 < x < −1 und − 1, 5 < x < 1
38
d.) 2 < x ≤ 3, 5 und 2, 5 ≤ x < 4, 5
e.) 1 < x < 5 und 1, 5 < x ≤ 3
6.3 Beträge
2. Bestimmen Sie die Lösungsmengen und geben Sie diese in Intervallschreibweise an:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
4b − 20 < 0
3q − 12 > 0
2p + 5 ≤ 0
5r + 2 ≥ 0
4t − 1 < t + 8
2z + 9 > 7 − 4z
3a − 32 ≥ 52 a − 4
h.)
i.)
k.)
l.)
m.)
n.)
o.)
2−x
3
< 4x−3
2
a − 2x < b − 3x, a, b ∈ IR
x+2
x+3
−3 ≤ 2
5 − d > 2d + 11 und 3d − 7 < 4d − 2
5r − 1 > 3(r + 1) und 3r + 2 < 7 − 2r
5x + 7a ≤ 3a + x und 5x + 7a ≥ 3x + 5a, a ∈ IR
9a − 7x ≥ 6b − 4x und x ≤ a, (a, b > 0)
3. Geben Sie die Lösungsmengen und den Definitionsbereich an:
a.)
b.)
c.)
d.)
1
x >1
1
y ≤1
1
v+1 ≥ 2
1
5
4−a > 2
e.)
f.)
g.)
h.)
3
2b+5 ≥ 4
1
17
4x−18 ≤ 63x+567
133
8c−5 > 7
z 3 + 2z 2 > 0
i.) (x + 2)(x + 3) < (x − 1)(x − 2)
k.)
l.)
5
9
2d−5 ≤ 2d+7
11
2
2x+1 ≥ 17−3x
m.) 18r + 12(3r − 1) < 25r + 17
4. Geben Sie die folgenden Mengen zur Grundmenge IR an:
{q |q − 2| + |q + 1| = 4}
{r |4r + 5| = 3|r − 1|}
{p |2p + 1|| − |2p − 1| = 1}
{x |6x + 25| = 13}
{z |17 − 8z| − 19 = | − 11z − 6|}
a.) {x |12x − 4| = 12 }
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
h.) {a |a + |a − 1|| = 2}
i.) {y |y + a| + |y − a| = 2a}, a ∈ IR+
k.) {l |l + 2a| + |l − a| = 4a}, a ∈ IR+
+
l.) {q | q−|q|
q | = a}, a ∈ IR
g.) {y ||13y − 6| − |7 − 2y|| = 1}
5. Bestimmen Sie die Lösungsmengen und geben Sie den Definitionsbereich an:
a.) |a| < 3
h.)
b.) |p − 2| ≥ 3
i.)
c.) |15x − 17| < 12 k.)
|4 − 3k| > 2k + 10
|3x| < |x + 1| − x
1
4
|t+3| > |t−2|
d.) |4m + 3| > 11
l.)
|q − 1| − |q + 2| + |q − 2| < 0 s.)
e.) |l − 5| ≤ 2
m.) |z| > |a| · z, a fest in IR
f.) |2o + 3| ≤ 5
n.)
g.) |2h − 10| ≤ h
o.)
2d+3
|4d−6|
2−3b
|4b+5|
p.)
q.)
r.)
t.)
>2
u.)
> 12
v.)
|5r+2|
< |2+4r|
3r
5r + 1
|2x−4|
x+5 ≤ 1
5g+2
|3g−7| ≥ 2
|y+a|
+
y−a > 1, a ∈ IR
|y+a|
y−a > 1, a ∈ IR−
1
1
12
|a+6| − a−6 > |a2 −36|
1
2
f −3 + |1−f | ≤ 0
39
6
7 Quadratische Gleichungen und
Ungleichungen
7.1 Das Quadrieren und die Quadratwurzel
Unter einem Quadrat einer Zahl a verstehen wir das Produkt a · a. Dafür schreiben wir
kürzer: a · a = a2 . Es gilt stets a2 ≥ 0 und a2 = 0 ⇔ a = 0.
Bemerkung 7.1:
1. a2 = (−a)2 .
7
2. Binomische Formeln:
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2 .
2
(a − b)
= a2 − 2ab + b2 .
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
( )2
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
2
3. (a · b)2 = a2 · b2 , bzw. ab = ab2 , d.h. das Quadrat eines Produktes bzw.
Quotienten ist gleich dem Produkt der Quadrate der Faktoren bzw. dem
Quotienten der Quadrate von Dividend und Divisor!
y
4. Das graphische Bild der Quadratfunktion heißt Parabel. Im Fall
y = x2 hat diese nebenstehende
Gestalt. Die Parabel verläuft nur
im 1. und 2. Quadraten. Ihr tiefster Punkt heißt Scheitelpunkt der
Parabel. Die y-Achse ist die Symmetrieachse, d.h.
(−x)2 = (+x)2 !
8
6
4
2
−3
−1
1
3
x
Abbildung 7.1: Graph der Normalparabel.
41
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Unter der Quadratwurzel einer positiven Zahl c verstehen wir eine positive Zahl a,
√
deren Quadrat c ist. Wir schreiben:
c = a. Die Quadratwurzel von ’0’ ist ’0’ ! Ist a eine
√
2
beliebige reelle Zahl, so gilt für a :


 a, ,
√
0, ,
a2 =

 −a ,
wenn a > 0
wenn a = 0
wenn a < 0





= |a|.
Ziehen wir also die Wurzel aus dem Quadrat einer reellen Zahl, so erhalten wir nicht
unbedingt die reelle Zahl selbst als Ergebnis. Diese ergibt sich nur wieder für positive
reelle Zahlen! Haben also zwei Zahlen a, b ∈ IR die gleichen Quadrate, so darf nicht
auf die Gleichheit der Zahlen selbst, sondern lediglich auf die Gleichheit der Beträge
geschlossen werden:
Also nicht a2 = b2 ⇒ a = b,
sondern:
a2 = b2 ⇒ |a| = |b| ⇒ a = b oder
a = −b.
Rechenregel für Quadratwurzeln:
√
√ √
1. c · d = c · d. Das Produkt von Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel
aus dem Produkt der Radikanden.
2.
√
√c
d
√
= dc . Der Quotient zweier Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des
Quotienten.
√
3. Die Funktion y = x ist die Umkehr√
funktion von y = x2 , weil ( x)2 = x.
Da x2 nur positive Werte annimmt,
√
kann x nur für positive Werte definiert werden.
Die Umkehrfunktion ist nur dann eindeutig, wenn wir der Quadratfunktion nur positive x oder nur negative x
zugrundelegen. Graphisch ergibt diese
sich, wenn wir die Funktion f (x) = x2
an der Winkelhalbierenden spiegeln.
y
4
3
2
1
−2 −1
−1
1
2
3
4
x
Abbildung 7.2: Wurzelfunktion.
42
7.2 Die reinquadratischen Gleichungen und Ungleichungen
7.2 Die reinquadratischen Gleichungen und Ungleichungen
Die Frage, für welche x–Werte ein Term der Form ax2 + c (reinquadratischer Term)
einen gegebenen Wert d annimmt, führt zu der Aufgabe, die Gleichung ax2 + c = d zu
lösen:
Beispiel 7.1 (Lösen einer reinquadratischen Gleichung)
2x2 − 23
⇔
2x2
⇔
x2
⇒
x1
Obacht:
x2 =
9
4
= 3
= 29
= 49
= 23
| + 32
|:2
√
| ± ...
|x2 = − 32
⇒ IL = {− 32 ; 32 }.
hat als äquivalente Gleichung nicht x = 32 , sondern |x| = 32 .
Kochrezept:
Um die Gleichung ax2 + c = d (a ̸= 0) zu lösen, bringen wir sie auf die
!
Form x2 = d−c
a = e. Diese Gleichung hat
√
√
genau zwei Lösungen, wenn e > 0 ist: IL = {+ e; − e}.
genau eine Lösung, wenn e = 0 ist:
IL = {0}.
keine Lösung, wenn e < 0 ist:
IL = {}.
7
Beispiel 7.2 (Lösen von reinquadratischen Ungleichungen)
a.) 2x2 −
3
2
< 3
⇔
2x2 <
9
2
⇔
x2 <
9
4
⇒
|x| <
3
2
⇒
x > − 32
|+
3
2
|:2
√
| ± ...
x<
3
2
⇒ IL = {x ∈ IR|x ∈ (− 32 ; 32 )}.
b.) 2x2 −
3
2
> 3
⇔
2x2 >
9
2
⇔
x2 >
9
4
⇒
|x| >
3
2
⇒ x < − 32
x>
|+
3
2
|:2
√
| ± ...
3
2
⇒ IL = {x ∈ IR\[− 32 ; 32 ]}.
43
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Obacht:
Beachten Sie die jeweiligen Intervallschreibweisen!
y
Graphisch sind bei a.) alle x gesucht, für
8
die 2x2 − 32 unterhalb der gepunkteten Ge6
rade y = 3 liegen. Dies führt auf das Intervall zwischen xS1 und xS2 , wobei die Endpunkte aufgrund der ”Echt-kleiner-Relation”
S2
S1 4
nicht im Intervall enthalten sind. Das Pro2
blem läßt sich also wieder auf eine Schnittpunktbestimmung zurückführen. Bei b.) sind
xS1
x
alle x gesucht, für die also 2x2 − 32 oberhalb
−3
−1
1 xS2
3
der gestrichelten Gerade liegt, d.h. alle Wer−2
te bis auf das Intervall von xS1 bis xS2 einschließlich des jeweiligen Endpunktes!
Abbildung 7.3: Lösen von reinquadratischen
Ungleichungen.
7.3 Die gemischtquadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form x2 + bx + c = 0 (∗), in der b, c gegebene Zahlen und x die Unbekannte bezeichnet, heißt quadratische Gleichung mit einer Unbekannten in Normalform.
Ist b = 0, so liegt eine reinquadratische, ist b ̸= 0, so liegt eine gemischtquadratische
Gleichung vor. Um eine solche Gleichung zu lösen, gehen wir wie folgt vor:
Beispiel 7.3 (Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung (1))
x2 − 7x + 2 = 10
⇔
x2
⇔ x2 − 7x +
(
⇔
⇔
=⇒ x1 −
44
7
2
=
9
2
− 7x = 8
( )2
7
2
)2
x − 27
|x − 27 |
x2 −
|−2
7
2
= 8+
=
=
81
4
9
2
|+
49
4
( )2
7
2
(Isolieren der Unbekannten)
(Addition der quadrat. Ergänzung)
(2. binom. Formeln)
|±
√
...
= − 29 =⇒ IL = {−1; 8}.
(Wurzelziehen)
7.3 Die gemischtquadratische Gleichungen
Für die allgemeine Form (∗) gilt:
|−c
| + ( 2b )2
x2 + bx + c = 0
x2 + bx = −c
⇔
⇔ x2 + bx +
( )2
(
⇔
x+
b
2
)2
b
2
( )2
b
2
( )2
b
2
=
=
−c
− c (Hier: 1. Binomische Formel !)
Diese Gleichung hat:
( )2
• genau zwei Lösungen, wenn 2b − c > 0 ist!
• genau eine Lösung, wenn
• keine Lösung, wenn
( )2
b
2
( )2
b
2
− c = 0 ist!
− c < 0 ist!
Kochrezept:
Um gemischtquadratische Gleichungen x2 + bx + c = 0 zu lösen,
isolieren wir zunächst alle Terme, die ’x’ enthalten, auf einer Seite,
d.h. x2 + bx = −c. Diese Gleichung wird in eine der binomischen
Formeln umgeformt. Dazu wird auf beiden Seiten die quadratische
Ergänzung addiert. Für diese gilt:
“Den Faktor vor x halbieren, quadrieren, addieren !”
7
Obacht:
Häufig liegt auch die Form ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) vor. Hier ist die Gleichung
erst durch a zu dividieren und dann gemäß ”Kochrezept” zu verfahren!
Beispiel 7.4 (Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung (2))
3x2 − 11x + 7 = 0
7
x2 − 11
3 x+ 3 = 0
⇔
⇔
x2 −
⇔ x2 −
⇔
⇔
=⇒ x1 =
11
6
+
= − 73
11
x
( 3)2
11
11
3 x+ 6
(
)2
x − 11
6
|x − 11
6 |
√
37
6
x2 =
11
6
|:3
| − 73
121
7
36 − 3
37
36
√
37
6
=
=
=
−
|+
|±
{
√
37
6
=⇒ IL =
(
11
6
√
)2
...
√
√ }
11− 37 11+ 37
;
.
6
6
Ist c = 0, so kommen wir durch Ausklammern schneller zum Ziel:
45
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Beispiel 7.5 (Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung (3))
2x2 − 5x = 0
⇔ x(2x − 5) = 0
Ein Produkt ist genau dann ”0”, wenn mindestens einer der Faktoren ”0” ist. Daher
folgt:
1. Fall: x1 = 0
2. Fall: 2x2 − 5 = 0 ⇔ x2 =
}
5
2
{
}
5
.
⇔ IL = 0;
2
Beispiel 7.6 (Herleitung einer allgemeinen Lösung)
ax2 + bx + c = 0
x2 + ab x + ac = 0
⇔
⇔
x2 + ab x = − ac
⇔ x2 + ab x +
(
(
⇔
x+
)2
b
2a
)2
b
2a
=
=
| : a (a ̸= 0)
| − ac
|+
(
b
2a
)2
b2
− ac
4a2
b2 −4ac
4a2
Diese Gleichung hat nur eine Lösung, wenn b2 − 4ac ≥ 0 ist. Sie ist dann äquivalent zu:
√
b
|x + | = ±
2a
⇒ IL =
{
b2 − 4ac
b
=⇒ x1 = − −
4a2
2a
√
b2 − 4ac
b
x2 = − +
2a
2a
√
b2 − 4ac
2a
}
√
√
−b− b2 −4ac −b+ b2 −4ac
;
.
2a
2a
Am Radikanden b2 − 4ac können wir also erkennen, ob es überhaupt und wenn ja, wie
viele Lösungen es gibt. b2 − 4ac heißt Diskriminante der Gleichung ax2 + bx + c = 0. Die
obige Lösung ist Ihnen sicher bekannt unter dem Begriﬀ p-q-Formel.
7.4 Der Zusammenhang zwischen Koeﬃzienten und
Lösungen
Sind x1 und x2 die Lösungen der Gleichung x2 + bx + c = 0, so gilt:
x1 + x2 = −b und x1 · x2 = c.
Dieser Zusammenhang wird als Satz von Vieta bezeichnet.
46
7.4 Der Zusammenhang zwischen Koeﬃzienten und Lösungen
Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist das konstante Glied gleich dem Produkt, der Koeﬃzient des Gliedes entgegengesetzt gleich der Summe der beiden Lösungen.
Folgerung:
⇔
⇔
⇔
⇔
x2 + bx + c
x2 + (−1) · (x1 + x2 )x + x1 · x2
x2 − x1 x − x2 x + x1 · x2
x(x − x1 ) − x2 (x − x1 )
(x − x2 )(x − x1 )
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
Damit ist das Polynom x2 + bx + c in die Linearfaktoren (x − x1 ) und (x − x2 ) zerlegbar,
wenn eine reelle Lösung existiert. Es zeigt sich:
1. Durch Einsetzen von x1 bzw. x2 für x verschwindet jeweils ein Linearfaktor. Die
Gleichung wird erfüllt!
2. Außer x1 und x2 gibt es keine weiteren Zahlen, welche die Gleichung erfüllen.
Beispiel 7.7 (Satz von Vieta (1))
2x2 − x − 10 = 0
⇔
x2 −
⇔ x2 −
⇔
⇔
x
2
x
2
−5 = 0
( )2
1
4
(
)2
x − 14
x − 14 +
|:2
= 5+
=
=
|+5+
( )2
1
4
1
16
81
16
9
4
⇒ x1 = − 49 +
1
4
= −2
oder
x2 =
9
4
+
1
4
=
5
2
.
Probe mit Hilfe des Satzes von Vieta:
x1 + x2 = −2 +
x1 + x2 = (−2) ·
5
2
5
2
= 12
= −b.
= −5 =
c.
Somit ist auch eine Zerlegung in Linearfaktoren möglich:
5
5
5
x
(x − (−2)) · (x − ) = (x + 2)(x − ) = x2 + 2x − x − 5 = x2 − − 5
2
2
2
2
.
Beispiel 7.8 (Satz von Vieta (2))
Die Gleichung x2 + px + q = 0 hat die Lösung x1 = 5 und x2 = −3. Wir bestimmen die
Parameter p, q in der Ausgangsgleichung!
Mit dem Satz von Vieta gilt: p = −(5 − 3) = −2 und q = 5 · (−3) = −5.
Die Gleichung lautet also: x2 − 2x − 15 = 0.
Probe: (x − 5)(x − (−3)) = x2 − 5x + 3x − 15 = x2 − 2x − 15!
47
7
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
7.5 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen
7.5.1 Bruchgleichungen
Beispiel 7.9 (Bruchgleichungen)
2
x
8x−7
1.
= 3x−4
2 + 3
6
2
⇔ 3x + 2 · (8x − 7) = 3x − 4
⇔
3x2 + 13x − 10 = 0
|·6
| − 3x + 4
|:3
⇔
|+
x2
⇔ x2 +
13
3 x
+
13
3 x
(
⇔
⇔
−
(
10
)32
13
6
)2
13
x+ 6
x + 13
6 +
= 0
10
169
3 + 36
289
36
17
6
=
=
=
13
⇒ x1 = {
− 17
6 − }6
⇒ IL =
−5; 23 .
x2 =
17
6
10
3
(
+
(Hauptnenner suchen)
13
6
)2
(Herstellen der Normalform)
(Isolieren der Unbekannten)
(quadratische Ergänzung)
|±
−
√
...
(1. binom. Formel)
13
6
Eine Untersuchung des Definitionsbereiches liefert hier ID = IR, da im Nenner nur Konstanten auftreten.
2.
⇔
x(x−3)
2(x−3)
x
2
+
x
x−3
2x
(x−3)2
+
=
=
3
x−3 − 2
2·2(x−3)
3·2
(x−3)2 − 2·(x−3)
⇔
x(x − 3) + 2x = 6 − 4(x − 3)
⇔
x2 − 3x + 2x = 6 − 4x + 12
⇔
⇔
⇔
(
x2
ID = IR\{3} (Definitionsbereich)
(Hauptnenner)
+ 3x = 18
x+
3
)2
=
2 x + 32 =
72
4
√
+
| + 4x
(Herstellen der Normalform
|+
und Isolieren)
|±
9
4
( )2
√
...
81
4
⇒ x1 = − 92 − 32 = −6 x2 =
⇒ IL = {−6} , da 3 ̸∈ ID.
3
2
(quadr. Ergänzung, Zusammenfassen u. Wurzelziehen)
9
2
−
3
2
=3
Kochrezept:
Lösen einer Bruchgleichung
1. Definitionsbereich feststellen.
2. Alle Bruchterme auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.
3. Mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren.
4. Die entstehende bruchtermfreie Gleichung lösen.
5. Probe durchführen.
48
7.5 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen
7.5.2 Wurzelgleichungen
Beispiel 7.10 (Wurzelgleichungen)
√
Lösen Sie die Gleichung x − 2 + 14 = x.
Dazu bestimmen wir zunächst den Definitionsbereich, der sich aufgrund der Bedingung
ergibt, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein darf:
√
x −√2 + 14
⇒
x−2
⇒
x−2
⇔
x−2
⇔
⇔
⇔
⇒
292
4 − 198
841−792
4
√
49
4
= x2 − 29x +
(
=
=
ID = {x ∈ IR|x − 2 ≥ 0} = [2, ∞)
|(. . .)2
(Wurzel isolieren)
(Quadrieren)
| − x − 142 (Herstellen der Normalform)
x
x − 14
(x − 14)2
x2 − 28x + 142
−198 = x2 − 29x
⇒
Probe
=
=
=
=
x−
x −
)2
(
29
2
29
2
29 2 x1 = − 72 +
29
2
= 11
)2
|+
(
29
2
)2
(quadrat. Ergänzung)
(2. binom. Formel)
|±
√
...
x2 =
7
2
(Wurzelziehen)
+
29
2
= 18
.
}
√
√
11 − 2 + 14 =
9 + 14 = 17 ̸= 11
√
√
⇒ IL = {18}.
!
x2 = 18 :
18 − 2 + 14 =
16 + 14 = 18 = 18
7
x1 = 11 :
Kochrezept:
Lösen einer Wurzelgleichung
1. Definitionsbereich bestimmen.
2. Wurzel isolieren.
3. Quadrieren.
4. Die entstehenden Gleichung lösen.
5. Probe in der Ausgangsgleichung.
Bemerkung 7.2:
Der zweite Schritt ”Wurzel isolieren” ist sehr wichtig. Täten wir dieses nicht,
so ergäbe sich mittels 1. binomischen Formel:
√
2
√ x − 2 + 142 = x2 |(. . .)
⇔
( x√
− 2 + 14) = x
⇔ x − 2 + 2 · x − 2 · 14 = x2
Dieser letzte Ausdruck enthielte aber wiederum den Wurzelausdruck, dessen,
wir uns eigentlich entledigen wollten.
49
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
7.5.3 Biquadratische Gleichungen
Gleichungen der Form ax4 + bx2 + c = 0 heißen biquadratische Gleichungen, weil die
Unbekannte nur in Potenzen ”2” und ”4” vorkommt. Biquadratische Gleichungen werden
gelöst, indem wir das Quadrat der Variablen durch eine neue Variable ersetzen (substituieren) und so das Problem auf eine quadratische Gleichung zurückführen:
Beispiel 7.11 (Biquadratische Gleichung (1))
Lösen Sie die Gleichung: 2z 4 − z 2 − 15 = 0
Die Substitution z 2 = u führt zu folgender quadratischen Gleichung:
2u2 − u − 15
⇔
u2 − u2
⇔ u2 − u2 + ( 14 )2
⇔
(u − 14 )2
⇔
= 0
= 15
2
= 15
2 +
121
= 16
|u − 41 | =
√
| + 15, : 2
| + ( 14 )2
1
16
121
16
Somit lautet die Lösung der quadratischen Gleichung:
1
11
1
5
u1 = 11
4 + 4 = 3 u2 = − 4 + 4 = − 2 .
Für die Lösung der biquadratischen Gleichung gilt nun:
z2 = 3
z 2 = − 52
√
√
⇒ z1 = 3, z2 = − 3
⇒ keine Lösung
√ √
IL = {− 3, 3}.
Beispiel 7.12 (Biquadratische Gleichung (2))
2x4 − 3x2 − 20 = 0
⇒ 2y 2 − 3y − 20 = 0
Substitution:
y = x2
⇒ y1 = − 52 oder y2 = 4, also x2 = − 52 (keine Lösung, da ein Quadrat keine negativen
Werte annehmen kann) oder x2 = 4. Somit: ⇒ IL = {−2; 2}.
Kochrezept:
Lösen einer biquadratische Gleichung
1. Das Quadrat der Variablen durch eine neue Variable substituieren (im Bsp.: y = x2 ).
2. Die entstehende quadratische Gleichung lösen.
3. Die Substitution rückgängig machen.
50
7.6 Quadratische Ungleichungen
7.6 Quadratische Ungleichungen
Reinquadratische Ungleichungen wurden bereits in Abschnitt 7.2 angesprochen und gelöst.
Daher werden hier nur gemischtquadratische Ungleichungen behandelt. Für diese gibt es
drei Lösungswege:
7.6.1 1. Lösungsweg: Lösung mit Hilfe der Linearfaktoren
Beispiel 7.13 (Quadratische Ungleichungen (1))
x2 − 10x + 6 < −10 | + 10
⇔ x2 − 10x + 16 < 0
Nun bestimmen wir zunächst die Linearfaktoren:
x2 − 10x + 16 = 0
⇔ (x − 5)2
= −16 + 25
⇔ |x − 5|
= 3 ⇒ x1 = 8 oder
x2 = 2.
Somit lautet die Zerlegung: (x − 8)(x − 2) = x2 − 10x + 16 < 0.
Die Lösung erhalten wir jetzt, indem wir beachten, unter welchen Bedingungen das Produkt kleiner Null ist, d.h unter welcher Bedingung genau ein Faktor negativ ist. In diesem
Fall also:
1. x − 8 < 0 ∧ x − 2 > 0 ⇔ x < 8 ∧ x > 2 ⇒ x ∈ (2; 8).
2. x − 8 > 0 ∧ x − 2 < 0 ⇔ x > 8 ∧ x < 2 ⇒ keine Lösung!
Die Lösung lautet also: IL = {x ∈ IR| x ∈ (2; 8)}.
Kochrezept:
Zur rechnerischen Lösung quadratischer Ungleichungen bringen wir
diese auf die Form x2 + bx + c < 0 (bzw. > 0, ≤ 0, ≥ 0). Ist die linke
Seite in ein Produkt zweier Linearfaktoren zerlegbar, so erhalten wir
die Lösungsmenge, indem wir beachten, unter welchen Bedingungen
das Produkt beider Linearfaktoren < 0 (bzw. > 0, ≤ 0, ≥ 0) ist.
51
7
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
7.6.2 2. Lösungsweg: Lösung mit Hilfe von Beträgen
Beispiel 7.14 (Quadratische Ungleichungen (2))
⇔
⇔
⇔
⇔
x2 − 10x + 6
x2 − 10x + 16
(x − 5)2
(x − 5)2
|x − 5|
−10 | + 10
0
| − 16 + (5)2
9
9
3
<
<
<
<
<
1. Fall x < 5:
−x + 5 < 3 ⇔ −x < −2 ⇔ x > 2 =⇒ IL1 = {x| 2 < x < 5}.
2. Fall x ≥ 5:
x − 5 < 3 ⇔ x < 8 =⇒ IL2 = {x| 5 ≤ x < 8}.
ILges = IL1 ∪ IL2 = {x ∈ IR|2 < x < 8}.
Alle quadratischen Ungleichungen können in die allgemeine Form x2 + bx + c



< 



 > 


≥ 






0
≤
überführt werden. Daher soll im folgenden die allgemeine Lösung der Gleichung
x2 + bx + c > 0 exemplarisch hergeleitet werden:
x2 + bx + c > 0
⇔
⇔
⇔
(
x2 + bx > −c
b
2
2
+ 2b x+
x
)2
>
>
b2
4
b2
4
|+
( )2
b
2
−c
−c
1. Fall:
b2
4
− c < 0. Dann erfüllt jedes x ∈ IR diese Ungleichung. IL = IR.
2. Fall:
b2
4
− c ≥ 0 ⇒ x + 2b >
√
b2
4
− c.
x + 2b = x − (− 2b ) stellt den Abstand des Punktes x von (− 2b ) auf der Zahlen√
gerade dar. Dieser Abstand soll größer als
bedeutet dies:
1. Fall: x < − 2b :
−x −
⇔
b
2
b2
4
− c sein. Für die Lösungsmenge
√
>
x <
b2
c
4 −√
2
b
− 2 − b4
−c
Da der{ Ausdruck
auf der rechten Seite
kleiner ist als − 2b gilt:
(
)}
√
2
IL1 = xx ∈ −∞; − 2b − b4 − c .
52
7.6 Quadratische Ungleichungen
2. Fall: x ≥ − 2b :
x+
⇔
b
2
√
>
x >
b2
c
4 −√
2
b
− 2 + b4
−c
Da der Ausdruck auf der rechten Seite der letzten Ungleichung größer ist als
− 2b , gilt:



√
 
2
b
b
IL2 = xx ∈ − +
− c; +∞ .


2
4
Und gesamt:
ILges = IL1 ∪ IL2
= {x ∈ IR| x ∈ (−∞; − 2b −
√
b2
4
− c) ∨ x ∈ (− 2b +
√
b2
4
− c; +∞)}.
7.6.3 3. Lösungsweg: Graphische Lösung
Wie bereits mehrfach angesprochen, können wir durch Zeichnen und Schnittpunktberechnung ebenfalls Ungleichungen lösen. Dieses Vorgehen lässt sich auch auf quadratische
Ungleichungen übertragen:
Beispiel 7.15 (Quadratische Ungleichungen (3))
7
x2 − 10x + 6 < −10
y
Gesucht sind alle x-Werte, für die die
Parabel unterhalb der konstanten ”Funktion” y = −10 liegt. Diese Werte liegen
aber genau zwischen den x-Koordinaten
der beiden Schnittpunkte. Somit gilt es
zunächst, diese zu berechnen:
x2 − 10x + 6 = −10
⇔ x2 − 10x + 16 = 0
⇔ (x − 2)(x − 8) = 0
⇒ x1 = 2 ∨ x2 = 8.
−2
−8
2
4
6
8
10
x
f2
S1
S2
f1
−14
−20
Somit ergibt sich die Lösungsmenge als:
IL = {x ∈ IR| 2 < x < 8} = (2; 8)
Abbildung 7.4: Graph
der
Funktionen
f1 (x) = −10
und
f2 (x) = x2 − 10x + 6.
53
7 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Bemerkung 7.3:
Aufgrund des Parabelverlaufes muss sich als Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung immer entweder ein Intervall oder der Bereich der reellen
Zahlen ohne ein bestimmtes Intervall ergeben. Im Falle einer Normalform von
quadratischen Ungleichung ergibt sich erstere Lösung für das Ungleichheitszeichen ”< (≤)”, letztere Lösung für das Ungleichheitszeichen ”> (≥)”.
Aufgaben zu Abschnitt 7
1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen rechnerisch:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
x2 + 3 = 12
y 2 + 35 = 60
z 2 + 19 = 95
1
t2 − 16
= 12
u2 − 2, 25 = 0
65 − x2 = 1
−3 − y 2 = −52
2, 3 − z 2 = 0, 05
1 2
4 v − 39 = 3
k.)
l.)
m.)
n.)
o.)
p.)
q.)
r.)
s.)
− 2 = 25
4, 5 − 2y 2 = 0
√ 2 √
√
1
2z
−
2
=
2
2
√
√
1 2
+ 3= 3
3u √
1 − 17w2 = 2328
x2 < 9
x2 ≥ 9
z2 ≥ 0
x2 < −1
1 2
3w
t.)
u.)
v.)
w.)
x.)
y.)
z.)
3y 2 ≥ 12
√ 2 √
3z < 6
1 − 2x2 < −31
5 < 17 − 13 y 2
2
− 78 ≥ 1 − z2
2 − 45 t2 ≤ 34
9u2 − 125 ≤ 4u2
2. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung oder mittels Ausklammern:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
x2 − 8x = 0
y 2 + 3y = 0
r2 + 3r + 4 = 0
s2 + 8s + 17 = 1
y 2 − 8y + 20 = 4
f.)
g.)
h.)
i.)
k.)
y 2 − 5y + 10 = 4
y 2 + 4y = −5
n2 + 6n + 72 = 0
v 2 + 8v = −11
w2 − 16 w = 95
l.)
m.)
u.)
o.)
3
s2 − 45 s = − 25
z 2 − z − 10 = −10
t2 − 2t − 4 = −1
k 2 + 7k = 18
3. Lösen Sie mit Hilfe der Lösungsformel aus Bsp.7.6:
a.) x2 + 6x + 5 = 0
b.) y 2 + 8y − 9 = 0
c.) 3a2 − 4a = 4
d.) 2v 2 − 5v = 42
e.) z 2 − 13z − 48 = 0
f.) 2w2 = 0, 18 − 1, 6w
g.) 2t2 + 9t = −7
h.) 3m2 − 11m + 10 = 0
i.) y 2 − y − 20 = 0
4. Geben Sie b und c in der Gleichung x2 + bx + c = 0 an, wenn x1 und x2 Lösungen
der Gleichung sind:
a.) x1 = 2 x2 = 5
b.) x1 = 0 x2 = 7
c.) x1 = −2 x2 = −5
d.) x1 = 12
x2 = − 27
2
e.) x1 = √
− 32 x2 = −√
3
f.) x1 = 6 x2 = − 6
5. Zerlegen Sie, wenn möglich, die folgenden Terme in Linearfaktoren:
a.) x2 − 3x + 4
b.) x2 + 3x − 10
54
c.) −3z 2 + 7z + 5
d.) 2y 2 − 2y − 1
e.) 3x2 + 5x + 4
f.) 2r2 + 2r − 4
7.6 Quadratische Ungleichungen
6. Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie, wenn nötig, die Definitionsbereiche an:
√
9
a.) x−8
=x
n.) 3x + 8x2 − 9x − 20 = 4
o.)
d.)
− 3 = 2x−4
5
√
v+2 v =3
√
z + z = 20
e.)
t4 − 13t2 + 36 = 0
r.)
f.)
−29y 2 + 100 = −y 4
√
6 − 1 − 4x = x6
s.)
x+3
x
x + x−2 = 5
3x−2
2x−3
x−3 + x+7 =
v 4 − 11v 2 + 18
u.)
b.)
c.)
g.)
h.)
i.)
k.)
5
x−2
p.)
q.)
t.)
5
v.)
=0
w.)
(u2 − 14)2 = 5(6u2 − 49)
√
m.) 7 + 3x2 + x − 5 = 2x
l.)
x.)
y.)
x+11
x+3
2x+1 − 5+x = 0
x+1
9
x−2
x−1 − 5 = x+2
√
x−5=5−
√
x
2x+1
10
2 + 3−2x = 2
(w2 + 2)2 + 3(2w
√
x−3−
+ 1) = (3w + 1)2
√
x+6=9
7−x
x
x − x+8 = 5
2
u4 + u2 − 12 = 0
√
v+5=
√
v + 12 − 1
1
3
2
2z−3 + 1+z = 2z 2 −z−3
2(2a+1)
7a−4
2a+3 = 4a−1
7. Geben Sie die jeweiligen Lösungsmenge in Intervallschreibweise an:
a.) (x − 3)(x(+ 5) >)0
b.)
(2x + 5) x −
6
10
>0
c.) (x − 3)(1 − x) ≥ 0
d.) x2 − 7x + 12 < 0
e.) x2 − 2x − 3 ≥ 0
11u − 10 < 3u2
f.) 3z 2 + 18z + 24 > 0
l.)
g.) −2t2 + 8t > −42
m.) 0, 8t2 + 2, 5t ≥ −1, 25
h.) 0, 9 + 0, 4u2 > 1, 2u
i.) 1 ≥ 43 r + 41 r2
k.) 3x + 10 ≥ x2
n.)
o.)
p.)
−a2 + 2a > 1
w2
w
1
8 + 2 + 2 ≤0
3q 2 − 7q > 6
8. Geben Sie die Lösungsmenge an:
a.)
b.)
c.)
2n+3
4n+7
2n−3 + 2n−4 > 7
3x4 − 4x2 − 4 ≤ 0
|x2 − 2x − 15| > 1
d.) 2x+11
5x+2 < 0
3x e.) x−2 > 2
f.)
x2 +2x−3
x+1
≤0
g.) x2 + 3x − 8 < 0
h.) 19a3 − 7a2 = 16a3 + 4a2 + 20a
i.)
|4x2 + 16x − 17| ≤ 0
55
7
8 Potenzen und Wurzeln
8.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
Beispiel 8.1 (Potenzen (1))
55 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5;
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2).
Sei n eine natürliche und a eine reelle Zahl. Dann verstehen wir unter der Potenz an das
Produkt aus n gleichen Faktoren a. Wir schreiben:
an = |a · a · a · a{z· a · . . . · a}.
n−F aktoren
a heißt Basis, n Exponent oder Hochzahl der Potenz an !
8
Potenzgesetze: (n, m ∈ IN)
(P1) am · an = a
. . · a} · a
. . · a} = am+n .
| · .{z
| · .{z
m−F aktoren n−F aktoren
n
n
n·m .
(P2) (an )m = a
· . . . · an} = a
| · a {z
| · a ·{z. . . · a} = a
m−F aktoren
mn−F aktoren
. . · b} = (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b) = (a · b)n .
(P3) an · bn = a
. . · a} · b| · .{z
| · .{z
|
{z
}
Analog:
n−F aktoren n−F aktoren
n
= abn für b ̸= 0.
b
( a )n
n−F aktoren
Obacht:
Die n-te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem Exponenten n positiv
und bei ungeradem Exponenten negativ, weil:
{
(−1)n =
1,
(−1),
falls n gerade ist!
falls n ungerade ist!
57
8 Potenzen und Wurzeln
8.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Beispiel 8.2 (Potenzen (2))
a5
a·a·a·a·a
a3
a·a·a
a2
a·a
1
=
= a2 ; 3 =
= 1; 3 =
= , (a ̸= 0).
3
a
a·a·a
a
a·a·a
a
a·a·a
a
n
Im Quotienten aam (m, n ∈ IN, a ̸= 0) können also Faktoren gekürzt werden. Wir können
dabei drei Fälle unterscheiden:
n
• n > m ⇒ Alle Faktoren des Nenners werden gekürzt, d.h. ⇒ aam = an−m .
• n = m ⇒ Zähler und Nenner kürzen sich vollständig, d.h. ⇒
• n < m ⇒ Alle Faktoren des Zählers werden gekürzt, d.h. ⇒
an
am
an
am
= 1.
=
1
am−n .
n
Damit für beliebige natürliche Zahlen n, m die Formel aam = an−m genutzt werden kann,
müssen Potenzen mit negativen Zahlen und die Potenz a0 = 1 eingeführt werden:
Sei a ̸= 0, dann gilt: a0 := 1; a−n =
1
an ,
n ∈ IN.
Somit gelten jetzt folgende Potenzgesetze für Zahlen n, m ∈ IN, a, b ∈ IR\{0}:
Potenzgesetze
(P1) am an
(P2) (an )m
(P3) an · bn
n
(P4) aam
=
=
=
=
am+n .
an·m .
( )n
(a b)n ; ab =
an−m .
an
bn .
Obacht:• (P1) und (P4) setzen die gleiche Basis voraus, während (P3) den gleichen
Exponenten erfordert.
• Im Sonderfall a = 0 gilt: 00 = 1 und 0n = 0, ∀n ∈ IN.
Beispiel 8.3 (Rechnen mit Potenzen)
p7
1.
·
r
2.
58
(
q5 q8
:
p4 r 4
)
=
p7 · q 5 · r 4
p3 r 3
7−4
5−8
4−1
=
p
·
q
·
r
=
=
r · p4 · q 8
q3
(
p·r
q
)3
.
(a4 · b2 · x · y 3 )2n+1
a8n+4 · b4n+2 · x2n+1 · y 6n+3
=
= a4n · b6 · x−6n−3 · y 6n−1
(an+1 · bn−1 · x2n+1 · y)4
a4n+4 · b4n−4 · x8n+4 · y 4
( )2
( )6n−1
b3
4n
.
=a
· xy
x
8.3 Die n-te Wurzel
3.
186 · 255 · 84
(2 · 32 )6 · (52 )5 · (23 )4
26+12 · 32·6 · 52·5
=
=
245 · 754 · 362
(23 · 3)5 · (3 · 52 )4 · (22 · 32 )2
215+4 · 35+4+2·2 · 52·4
218 · 312 · 510
219 · 313 · 58
52
=
2·3
25
= .
6
=
8.3 Die n-te Wurzel
Zwischen√den Zahlen ”2” und ”4” können wir die Beziehung 22 = 4 herstellen.
Äquivalent
√
dazu ist 4 = 2. Entsprechend schreiben wir nun wegen 23 = 8 auch 3 8 = 2, und wir
nennen ”2” die dritte Wurzel (oder Kubikwurzel) von ”8”. Um die Quadratwurzel und
√
√
die Kubikwurzel deutlich zu unterscheiden, schreiben wir auch 2 a und 3 a. Gleichzeitig
√ √
wird so nahegelegt, auch 4 a, 5 a, . . . einzuführen.
Ist a die n–te Potenz einer nicht–negativen Zahl x, so nennen
wir x die n-te Wurzel von a. Wir schreiben:
√
xn = a =⇒ x = n a.
a heißt der Radikand, n Wurzelexponent. Das Radizieren
oder Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens!
8
Spezialfälle:
√
n=1
: 1a = a
√
√
2
n=2
: √
a =
a (Quadratwurzel)
n
n beliebig :
0 = 0
Obacht:
1. Wir vereinbaren, dass der Radikand einer n-ten Wurzel nie negativ sein
darf. Wir schreiben
deshalb z.B.
für die Lösung der Gleichung x3 = −5
√
√
3
nicht x = 3 −5, sondern x = − 5.
2. Potenzen mit geradem Exponenten sind immer nicht–negative Zahlen.
Nur bei ungeraden Exponenten n besitzen b und bn das gleiche Vorzeichen:
a) Bei gerader Ordnung 2n (n ∈ IN) gilt daher:
Sei x2n = (−x)2n = a. Wenn a > 0, dann existieren immer zwei
Lösungen:
√
√
x1 = + 2n a oder x2 = − 2n a.
59
8 Potenzen und Wurzeln
b) Bei ungerader Ordnung 2n + 1, (n ∈ IN) gilt:
Sei x2n+1 = a (n ∈ IN). Die einzige Lösung dieser Gleichung lautet
√
√
für a > 0: 2n+1 a = x und für a < 0: − 2n+1 |a| = x.
Wurzelgesetze:
√
√ √
(W1) n a · b = n a · n b
(W2)
(W3)
√
n a
b
√
n n
a
=
√
na
√
n
b
(Vgl. P3).
(Vgl. P3).
√
n
n
= ( a) = a (Inversion).
Mit den Definitionen
√
1
1
1
1
a n = n a, a ≥ 0, bzw. a− n = 1 = √
,a > 0
n
a
an
können Wurzeln als Exponenten dargestellt und somit die Potenzgesetze (P1)–(P4) angewendet werden. Dies legt eine weitere Ausweitung der Potenzgesetze nahe.
8.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
Sei a eine positive Basis, und sei n ∈ IN bzw. m ∈ IN\{1}:
√
1
n
n
1 (P2)
1
m n
√ .
a = (an ) m = an· m = a m ; a− m = m
an
Beispiel 8.4 (Erweitern der Hochzahlen)
Sei
m
x = an
=⇒
⇐⇒
⇐⇒
=⇒
xn
(xn )k
xk·n
x
=
=
=
=
am
(am )k
ak·m
m
k·m
a k·n = a n
Der Wert einer Potenz mit rationalem Exponenten bleibt also unverändert, wenn die
Hochzahl erweitert oder gekürzt wird!
Für Potenzen mit rationalem Exponenten gelten dieselben Rechenregeln wie für Potenzen mit ganzen Exponenten (P1 bis P4).
60
8.5 Das Lösen von Potenzgleichungen
Beispiel 8.5 (Rechnen mit rationalen Potenzen)
1.
√ √
√
1
1
1
1
1
1
z · 3 z · 6 z = z 2 · z 3 · z 6 = z 2 + 3 + 6 = z 1 = z.
1
√
1
1
− 2 + 16 )
2 (9
= u 9 = 9 u.
√
2
1 = u
u · 6u
u9 · u6
(√
)3 ( √
)
(
)3 (
)2
5 2 4
5 2 9 2
3.
a b
·
a b
= a2 b4 5 · a2 · b9 5
2.
√
u·
1
u2
=
2
9
12
6
4
18
= a5 · b 5 · a5 · b 5
6
12
4
18
= a5+5 · b 5 + 5
= a2 · b6 .
(√
8
4.
x5
y4
√
5.
6.
3
·
√ ) √
12
√
x
y
:
6
5
x4
y3
=
√
x2 · y x · y −1 =
3
x8
1
y2
x2 · y
·
1
x 12
1
y 12
·
2
2
x3
(
( )1
x
y
1
y2
=
√
1
=
x 24
=
1
y 12
1
x2 ·y·x 2
)1
3
1
y2
24
(
5
x
.
y2
1
= x2 · y 2
)1
3
5
1
=x6 · y 6 =
√
6
x5 · y.
√
√
1
1
2
3
13
3
√
91
13
x3 · x2
(x3 ) 2 · (x2 ) 3
x2+3
x6
60
− 13
6
20 = x 60 = x ·
√
=
x31 .
=
=
=
x
√
1
1
13
2
2
5
4
x · x2
x4 · x5
x4+5
x 20
8.5 Das Lösen von Potenzgleichungen
Beispiel 8.6 (Lösungen von Potenzgleichungen)
x2
x2
x2
x3
x3
x3
=5
=0
= −5
=5
=0
= −5
Die
Die
Die
Die
Die
Die
Gleichung
Gleichung
Gleichung
Gleichung
Gleichung
Gleichung
hat
hat
hat
hat
hat
hat
2 Lösungen:
1 Lösung:
keine Lösung:
1 Lösung:
1 Lösung:
1 Lösung:
√
√
IL = {+ 5, − 5}.
IL = {0}.
IL = {
Ø.
√ }
IL = + 3 5 .
IL = {
{0}. }
√
IL = − 3 5 .
8
Obacht:
Im letzten Fall wurde, wie vereinbart, unter√dem Wurzelzeichen ein
√ nichtnegativer Radikand verwendet! (Nicht x = 3 −5, sondern x = − 3 5.) Die
Lösbarkeit einer Gleichung der Form xn = a (n ∈ IN) hängt also vom Vorzeichen von a und davon, ob n gerade oder ungerade ist, ab: Eine Gleichung der
Form xn = a hat bei geradem n ∈ IN für
√
√
a > 0 : 2 Lösungen, nämlich: + n a, − n a.
a = 0 : 1 Lösung, nämlich:
0.
a < 0 : keine Lösung.
61
8 Potenzen und Wurzeln
Ist n hingegen ungerade, so lautet die Lösung von xn = a:
√
n
für
a ≥ 0 x = +√
a
n
und für a < 0 x = − |a| !
Eine solche Gleichung hat also stets genau eine Lösung!
Beispiel 8.7 (Potenzgleichungen)
√
√
1. x4 = 16 ⇔ x = + 4 16 ∨ x = − 4 16 ⇔ x = +2 ∨ x = −2 =⇒ IL = {−2; 2}.
√
√
2. x3 = −12 ⇔ x = − 3 12 =⇒ IL = {− 3 12}.
4
10
3. x0,4 = 5 ⇔ x 10 = 5 ⇔ x = 5 4 =⇒ IL = {55, 9017}.
4. x−3 = 2 ⇔ x3 =
1
2
⇔ x=
1
√
3
2
=⇒ IL = {0, 7937}.
Aufgaben zu Abschnitt 8
1. Vereinfachen Sie!
−4
a.)
(x−2 ·y3 )
(
b.)
c.)
d.)
a2 ·x−1
4a
3b
)3 (
:
)−3
9b
2a
(5ab)−2 · (0, 4ac)−3
(
2x3 − 5x + 4 + 6x
a−5 ·b−7 ·c−3 a9 ·b−3 ·c−1
· a·b−9 ·c3
a3 ·b−2 ·c−7
−1
−2
3·x ·y
x4 ·y −1
: 4x
−3 ·y 6
4x0 ·y −3
( −5 )−3 ( −2 3 )−5
8c
· 3·a4b−5·c
9a−3 ·b9
( −2 3 )2 ( −4 )−3
3u ·v
2v
: 3u
−2
4u3 ·v −2
e.)
f.)
g.)
)
−1
· 1, 7 · x−2
h.)
2. Fassen Sie jeweils zu einem einzigen Term zusammen!
a.) 27 · 3−5
b.)
c.)
e.)
5−1 : 125
(
(−2)3
f.)
)−5
( )−3 (
5
4
( )5
1
2
· 0, 8−3
)
· 5−5
i.)
· (−2)12 g.) x−7 · x3
d.) 12−6 : 16−3
l.)
h.) 2u2m−1 · u2−m · 7u−(m+1)
x−4 · y 4 · x−1 · y −4
k.) 43 · an−1 · b · 0, 54 · a3−n · b−3
(a + b)−k · x2k−l · y 1−2n · (a + b)k−2 · x−(k+l) · y 2−n
3. Schreiben Sie den Ausdruck nur mit einem Wurzelzeichen und stets mit rationalem
Nenner und ohne Verwendung negativer Exponenten:
√
a.)
b.)
c.)
d.)
62
√
3
4
√ √
3
x· x
√ √
3
4
c · c2
2·
√
3
x2 · y ·
e.)
f.)
g.)
√
xy −1
h.)
√ √
3
√ √ √
c c· 3 c· c· 6c
√√
√
√
3 5
15
a · b · a−2 · b :
a · b−4
√
k
√
n
a3k ·bk+1 ·c2(k−1)
d2k ek+1 f k−1
y 1−3n
xn−1 z 1−2n
, (k > 1)
, (n > 1)
8.5 Das Lösen von Potenzgleichungen
4. Geben Sie die Lösungsmenge an:
a.) x4 = 625
b.) 12x3 − 0, 768 = 0
c.) 103 · x5 = 10−2
d.) 2x3 + 0, 25 = 0
e.) 5x3 − 20 = 7 − 3x3
f.) 1, 2x5 + 0, 00243 = 0, 2 · x5
g.) 10 = (2 − 3t)3
h.) −4 = (4k − 1)3
i.) (1 − 5y)2 = 2
5. Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Faktoren und vereinfachen Sie:
a.)
a6 +a5
a4 +a3
c.)
b.)
12b3 ·c2 −18b2 ·c3
5b2 c2 +c2 b2
d.)
pn+1 −5pn
pn−1 −5pn−2
g 2n −q 2n
g n+1 −g·q n
e.)
f.)
cp −cp+2
cp+1 +cp
y 2m +14·y m +49
y 2m −49
8
63
9 Das Logarithmische Rechnen
9.1 Der Logarithmus
Beispiel 9.1 (Logarithmus)
Gesucht sind Lösungen der folgenden Gleichungen:
a.) 10x = 100 ⇒ x = 2, da 102 = 100.
b.) 7x = 7 ⇒ x = 1, da 71 = 7.
c.) 2x =
1
128
⇒ x = −7, da 2−7 = 128.
Für jedes a > 0 mit a ̸= 1 und b > 0 hat die Gleichung ax = b genau eine
Lösung. Diese Lösung heißt Logarithmus von b zur Basis a und wird mit
x = loga b bezeichnet. Es gilt also:
x = loga b ⇔ ax = b.
Bemerkung 9.1:
Logarithmen unterscheiden sich in der Wahl der Basis. Die häufigsten Basen
sind:
1. Basis a = 10:
Logarithmen zur Basis 10 heißen dekadische Logarithmen. Wir schreiben statt
x = log10 b auch x = lg b, x = lg b ⇔ 10x = b.
9
2. Basis a = e:
Logarithmen, die zur Basis die Eulersche Zahl e = 2, 71828 . . . haben, heißen natürliche Logarithmen und finden bei vielen Naturprozessen Verwendung. Wir schreiben
statt x = loge b auch x = ln b ⇔ ex = b.
9.2 Rechenregeln für Logarithmen
Rechenregeln für Logarithmen hängen eng mit den bekannten Potenzgesetzen zusammen.
Daher werden im folgenden die Regeln mit Hilfe der bekannten Potenzgesetze plausibel
gemacht:
65
9 Das Logarithmische Rechnen
Rechenregeln für Logarithmen: Sei u = ax , v = ay bzw. x = loga u, y = loga v.
1. Aus u · v = ax · ay = ax+y folgt loga (u · v) = x + y = loga u + loga v, d.h. der
Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:
loga (u · v) = loga u + loga v.
2. Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Diﬀerenz der Logarithmen von
Dividend und Divisor (Herleitung: Analog), d.h.:
loga
u
v
= loga u − loga v.
3. Aus uz = (ax )z = ax·z ergibt sich: loga (uz ) = x · z = z · loga u, d.h. ziehen wir den
Logarithmus einer Potenz, so ist dieser gleich dem Produkt aus dem Exponenten
der Potenz und dem Logarithmus der Potenzbasis, d. h. :
log uz = z · log u.
4. Wegen u = a0 = 1: loga u = loga 1 = 0.
Wegen u = a1 = a: loga u = loga a = 1.
Einige Spezialfälle:
( )
1. Wegen Regel(2) und Regel(4) gilt: loga
2. Da
√
√
1
n
u = u n ist, folgt: loga ( n u) =
1
n
1
v
= loga (1) − loga (v) = − loga (v).
· loga u.
3. Da Exponentialfunktion und Logarithmus sich gegenseitig ”aufheben”, gilt:
aloga b = b oder 10lg b = b oder eln b = b.
4. Auf dem Taschenrechner finden wir i.d.R. nur den dekadischen und den natürlichen
Logarithmus. Um jetzt aber auch den Logarithmus zu einer beliebigen anderen
Basis berechnen zu können, bedarf es nicht eines neuen Taschenrechners (TR). Sei
a eine Basis, die nicht auf dem TR ist, und b eine Basis die mit dem TR berechnet
werden kann:
(3)
x)
ax = blogb (a
(R.3) x·log a
b
= b
.
Somit lässt also die Potenz zur Basis a in eine solche mit Basis b umwandeln. Für
diese gilt:
c = ax ⇔ c
= bx·logb a
⇔ logb c = x · logb a
logb c
⇔ x
= log
a.
b
Somit kann also die Lösung der Gleichung c = ax =⇒ x = loga c bestimmt werden,
ohne explizit loga c berechnen zu müssen, denn
loga c =
66
lg c
lg a
=
ln c
ln a
=
logb c
logb a .
9.3 Das Lösen von Exponentialgleichungen
Beispiel 9.2 (Anwendung der Formel)
In Beispiel 9.2 müsste der Logarithmus zur Basis 2 berechnet werden. Mit obiger Formel
gilt:
ln 5120
log2 (5120) = lglg5120
2 = ln 2 ≈ 12, 13.
Beispiel 9.3 (Rechnen mit Logarithmen)
1. log(u · v · w) = log u + log v + log w.
2. log2 (3ab2 ) = log2 3 + log2 a + log2 b2 =
[(
3. log
8a3 ·x
19·by 3
)−3 ]
= (−3) · log
[(
(
8a3 ·x
19·b·y 3
1
ln 2
· (ln 3 + ln a + 2 · ln b).
)]
= (−3) · log(8a3 · x) − log(19 · b · y 3 )
)
(
)
= (−3) · 3 (log a − log y) + log(8x) − log(19b) .
4. log3 a + log3 b − log3 c = log3
5.
(
a·b
c
)
=
ln( a·b
c )
ln 3 .
5
5
· (2 · log u − log v) = (log u2 − log v)
3
3
( 2)
= 35 · log uv
[(
= log
u2
v
(√
3
= log
)5 ]
3
u10
v5
)
.
6. m · ln(x + y) − n · (ln x + ln y) = ln(x + y)m − ln(x · y)n = ln
(
(x+y)m
(x·y)n
)
.
9.3 Das Lösen von Exponentialgleichungen
Eine Gleichung ax = b mit (a, b > 0) heißt Exponentialgleichung. Durch Logarithmieren geht diese über in lg(ax ) = x lg a = lg b. Für a ̸= 1 (somit lg a ̸= 0) erhalten wir die
Lösung der Exponentialgleichung:
ax = b, (a, b > 0, a ̸= 1) =⇒ x =
lg b
lg a
=
ln b
ln a .
Beispiel 9.4 (Exponentialgleichungen)
1. 7x = 23 ⇔ ln(7x ) = ln 23 ⇔ x · ln 7 = ln 23 ⇔ x =
2. 3x = 2x+1 ⇔
3x
2x
=2 ⇔
( )x
3
2
ln 23
ln 7
≈ 1, 6113.
= 2 ⇔ x · lg( 32 ) = lg 2 ⇔ x =
ln 2
ln 23
≈ 1, 7095.
67
9
9 Das Logarithmische Rechnen
Natürlich gibt es auch logarithmische Gleichungen. Für diese gelten ähnliche Grundsätze:
Beispiel 9.5 (Logarithmische Gleichungen)
2 · lg x − lg(4x − 4) = 0
x2
⇔
lg 4x−4
= 0
| Logarithmieren
x2
0
⇔
4x−4 = 10
⇔
x2 = 4x − 4
2
⇔
x − 4x + 4 = 0
⇔
(x − 2)2 = 0
=⇒ x1,2 = 2
Kochrezept:
Kommen in einer Gleichung ein oder mehrere Logarithmen vor, so fassen wir diese solange zusammen, bis die Form loga (f (x)) = c vorliegt. Hieraus folgt aber f (x) = ac .
Diese Gleichung kann nach x aufgelöst werden und wir erhalten so die gesuchte
Lösung.
Aufgaben zum Abschnitt 9
1. Berechnen Sie die folgenden Logarithmen:
a.)
b.)
c.)
log2 4
lg 100
log2 64
d.)
e.)
f.)
√
g.) lg 1000
h.) log2 √12
i.) log4 11
1
log5 625
log2 0, 25
lg 0, 1
2. Zerlegen Sie in bezug auf irgendeine Basis:
(
a.)
log x·y
z
b.)
log(a−5 )
(
c.)
log
d.)
log
e.)
log
(
(
1
√
3
f.)
g.)
)
b
6a
x2
[(
h.)
log
i.)
log
k.)
log
)
√1
u
)
(
)
5·a2 ·x
7b y 2
( √ )
log 2·uv4 w
log
) ]
2 2
a
b3
l.)
log
m.)
2a3 b
o.)
log
a5
x3
p.)
log
(√
)
)
1
1
1
)
((u·v 2 ) 3
√
(
1
(72a4 ·b) 3
√
3
9ab
((
log
1
(u·v 3 ) 2
log
n.)
(√
k.) log5 15
l.) log8 √18
m.) logn n
x3
·x
1
3
)
)3 )
2
2u3 w2
5u2 v 5 )
√
3xy 4 · z
1
(2a2 b) 3
3. Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen:
− log x − log y
e.) 3 · log 3 − 2 · log x − 21 log y
b.)
log 2 + 2 · log x − 2 · log a
f.)
log(x − y) − 2 log x
c.)
1
2 (log 5 + log a)
1
2 log u + log w −
g.)
1
2
h.)
log a + n · log(a + x) −
d.)
68
(
a.)
2 · log v
)
log a − 31 log(a2 − x)
1
n
· log(a − x)
9.3 Das Lösen von Exponentialgleichungen
4. Bestimmen Sie den Wert der Unbekannten:
a.) 5g = 2
b.)
lg(3k − 2) = (−1)
c.) 4, 5x = 0, 85
√
d.) lg 6m + 4 =
e.)
3
4
log2 5 + log2 u − log2 (1 + u2 ) = 1
f.)
lg y − 1 = log5 y
g.)
log(v + 2) + log v − log 3 = 0
h.)
lg l = 3 −
i.) 5r+1 =
k.)
lg l
2
r
2 · 72r
log2 (z + 2) · log3 2 = 1
9
69
10 Summen- und Produktzeichen
Summen und Produktzeichen werden eingesetzt, um Summen mit vielen Summanden
bzw. Produkte, die aus einer großen Anzahl von Faktoren bestehen, einfacher darzustellen.
10.1 Das Summenzeichen
Beispiel 10.1 (Summenzeichen)
Summe der ersten 1000 natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ... + 1000. Wir schreiben kürzer:
1 + 2 + 3 + ... + 1000 =
1000
∑
i.
i=1
1000
∑
i bedeutet, dass alle Zahlen von 1 bis 1000 aufzuaddieren sind.
i=1
Bemerkung 10.1:
Bei obiger Summe ist jede aufaddierte Zahl von i abhängig. Das Summenzei∑
chen
kann immer dann sinnvoll eingesetzt werden, wenn jeder Summand
von i abhängt.
Es seien m, n ganze Zahlen mit m ≤ n.
Für beliebige reelle Zahlen ai , i = m, m + 1, ..., n setzen wir
n
∑
10
ai := am + am+1 + ... + an
i=m
(Sprich: Summe der ai von i gleich m bis n).
Dabei heißt i Index, m untere Summationsgrenze,
∑
n obere Summationsgrenze.
heißt Summenzeichen.
71
10 Summen- und Produktzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten die folgenden Regeln:
Rechenregeln für Summen:
(ai , bi ∈ IR, i = m, m + 1, ..., n, m, n ∈ ZZ)
1. Summe aus konstanten Summanden:
n
∑
i=m
a=a
+ a +{z. . . + a} = (n − m + 1) · a für beliebiges a ∈ IR.
|
n−m+1
2. Ausklammern eines konstanten Faktors:
n
∑
i=m
c · ai = c · am + c · am+1 + . . . + c · an = c · (am + am+1 + . . . + an ) = c ·
für beliebiges c ∈ IR.
n
∑
ai
i=m
3. Trennung zweier Summen:
n
∑
(ai ± bi ) = (am ± bm ) + (am+1 ± bm+1 ) + . . . + (an ± bn )
i=m
= (am + am+1 + . . . + an ) ± (bm + bm+1 + . . . + bn ) =
n
∑
i=m
ai ±
n
∑
bi .
i=m
4. Indexverschiebung:
n
∑
ai =
i=m
n+k
∑
ai−k für beliebiges k ∈ ZZ.
i=m+k
Bemerkung 10.2:
Der Summationsindex kann beliebig bezeichnet werden, z.B. mit i, j, k, l, r:
n
∑
r=m
ar =
n
∑
i=m
ai =
n
∑
l=m
n
∑
al =
aj =
j=m
n
∑
ak
k=m
Beispiel 10.2 (Rechenregeln)
1.
5
∑
1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 · 1 = (5 − 2 + 1) · 1.
i=2
2.
5
∑
2k = 2 · (2 + 3 + 4 + 5) = 2 ·
k=2
3.
3
∑
3
∑
5
∑
3
∑
3
∑
j+
k = 1 + 2 + 3 = (3 − 2) + (4 − 2) + (5 − 2) =
j2.
(Regel 3)
(k − 2).
(Regel 4)
j=1
5
∑
k=3
(k − 2)2 = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 2)2 = 12 + 22 + 32 =
k=3
72
(Regel 2)
j=1
k=1
5.
k.
k=2
(j + j 2 ) = (1 + 2 + 3) + (12 + 22 + 32 ) =
j=1
4.
5
∑
(Regel 1)
3
∑
k=1
k2 .
10.1 Das Summenzeichen
6.
3 (
∑
)
(l − 1) + (l + 1)2 =
(Regel 4)
l=1
= ((1 − 1) + (1 + 1)2 ) + ((2 − 1) + (2 + 1)2 ) + ((3 − 2) + (3 + 1)2 )
= ((5 − 4) + (4 − 2)2 ) + ((6 − 4) + (5 − 2)2 ) + ((7 − 4) + (6 − 2)2 )
=
6 (
∑
)
(l − 4) + (l − 2)2 .
l=4
Für bestimmte Summen lassen sich Summenformeln angeben. Es gilt:
n
∑
n(n + 1)
.
2
k=1
n
∑
n(n + 1)(2n + 1)
k2 =
.
6
k=1
k=
Beispiel 10.3 (Summenformeln)
4·5
= 10.
2
j=1
20
∑
20 · 21 · 41
2.
j 2 = 12 + 22 + . . . + 202 =
= 2870.
6
j=1
1.
3.
4
∑
j =1+2+3+4=
5
∑
3
∑
k2 −
k=1
k = (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) − (1 + 2 + 3)
k=1
5 · 6 · 11 3 · 4
−
6
2
= 55 − 6
=
= 49.
4.
5.
1000
∑
k=500
10
∑
k=
(l −
1000
∑
k−
k=1
4)2
499
∑
k=
k=1
1000 · 1001 499 · 500
−
= 375750.
2
2
= (4 − 4)2 + (5 − 4)2 + (6 − 4)2 + (7 − 4)2
l=4
+(8 − 4)2 + (9 − 4)2 + (10 − 4)2
= 02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
=
=
6
∑
l=0
6
∑
10
l2
l2
l=1
6 · 7 · 13
6
= 91.
=
Obacht:
73
10 Summen- und Produktzeichen
Beachten Sie bei Anwendung einer der Summenformeln immer die Summationsgrenzen. Diese lautet für die obigen Formeln immer Eins. Um aber auch
von einer anderen Zahl an addieren zu können, muss wie in Beispiel 10.3.4
vorgegangen werden. Gesucht ist die Summe aller Zahlen von 500 bis 1000,
berechnet wird die Summe aller Zahlen von 1 bis 1000 abzüglich derjenige
Summe der Zahlen von 1 bis 499.
10.2 Doppelsummen
Haben wir Summen mit vielen Summanden, so sind diese häufig sowohl von einem Index
i als auch einem Index j abhängig. Wir verwenden dann doppelt indizierte Summanden
aij und sogenannte Doppelsummen und summieren über beide Indizes.
Beispiel 10.4 (Doppelsummen)
Jeweils eine Ferienwohnung für 2, 3, 4, 5 und 6 Personen wird von Mai bis August
vermietet. Es werden damit die folgenden Erträge erzielt:
Monat
Mai
Juni
Juli
August
i
1
2
3
4
2
200
400
600
800
3
300
600
900
1200
Personen
4
5
400
500
800 1000
1200 1500
1600 2000
6
600
1200
1800
2400
Welcher Gesamtbetrag wird aus diesen Wohnungen für die Monate Mai bis August erzielt?
Um den Gesamtbetrag zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: Wir summieren die einzelnen
Spalten auf und ermittelt so die Mieteinnahmen für Mai bis August für jede einzelne
Ferienwohnung. Dann werden wir die Teilbeträge aufsummieren.
Ein solches Vorgehen lässt sich mathematisch mit Hilfe einer Doppelsumme beschreiben.
Die Miete für eine Ferienwohnung hängt einerseits vom Monat ab, andererseits von der
Belegungsgröße. Ordnen wir jedem Monat die nebenstehende Zahl i zu, so ergibt sich:
Miete im Monat i für mit j Personen belegte Wohnung = 100 · i · j.
Damit lässt sich die Gesamtmiete berechnen durch die folgende Doppelsumme:
4 ∑
6
∑
(100 · i · j).
i=1 j=2
74
10.2 Doppelsummen
Es ist
4 ∑
6
∑
100 · i · j = 100 ·
i=1 j=2
4 ∑
6
∑
(i · j)
i=1 j=2
= 100 ·
4 (
∑
(
i·
i=1
= 100 · 20 ·
(
= 2000 ·
4
∑
j=1
4·5
2
))
6·7
−1
2
i
)
= 20000.
Für das Rechnen mit Doppelsummen gelten die folgenden Rechenregeln:
Rechenregeln für Doppelsummen:
(aij ∈ IR, i = m1 , ..., n1 , j = m2 , ..., n2 , m1 , n1 , m2 , n2 ∈ ZZ)
1. Vertauschen der Summenzeichen:
n1
∑
n2
∑
aij =
i=m1 j=m2
n2
∑
n1
∑
aij
j=m2 i=m1
2. Doppelsumme über konstante Summanden:
n1
∑
n2
∑
i=m1 j=m2
a=
n2
∑
(a + a + . . . + a) = (n1 − m1 + 1) · (a + a + . . . + a)
i=m2 |
{z
}
n1 −m1 +1
|
= (n2 − m2 + 1)(n1 − m1 + 1) · a für beliebiges a ∈ IR.
{z
n2 −m2 +1
}
3. Ausklammern eines Faktors:
n1
∑
n2
∑
i=m1 j=m2
c · aij = c · am1 m2 + c · am1 m2 +1 + . . . + c · am1 n2 + . . . +
c · an1 m2 + . . . + c · an1 n2 = c ·
n1
∑
n2
∑
i=m1 j=m2
4. Trennung von Doppelsummen:
n1
∑
n2
∑
i=m1 j=m2
(aij ± bij ) =
n1
∑
n2
∑
i=m1 j=m2
aij ±
10
aij für beliebiges c ∈ IR.
n1
∑
n2
∑
bij .
i=m1 j=m2
5. Indexverschiebung:
n1
∑
n2
∑
i=m1 j=m2
aij =
n∑
1 −k
n∑
2 −l
i=m1 −k j=m2 −l
a(i+k)(j+l) für beliebige k, l ∈ ZZ.
75
10 Summen- und Produktzeichen
Beispiel 10.5 (Rechenregeln für Doppelsummen)
1.
3 ∑
2
∑
(ij)
i=1 j=1
= 1·1+1·2+1·3+1·2+2·2+3·2
(Regel 1)
= 1·1+2·1+3·1+2·1+2·2+2·3
=
2 ∑
3
∑
(ij) = 18.
j=1 i=1
2.
4 ∑
3
∑
1 = (4 − 2 + 1)(3 − 1 + 1) · 1 = 3 · 3 · 1 = 9
i=2 j=1
3.
4 ∑
3
∑
(2kl2 ) = 2 ·
k=2 l=1
4.
4 ∑
5
∑
5
7
∑
∑
(kl2 ) = 2 · ( 4·5
2 − 1) ·
k=2 l=1
(il + l2 ) =
i=1 l=2
5.
4 ∑
3
∑
4 ∑
5
∑
(il) +
i=1 l=2
4 ∑
5
∑
3
∑
(Regel 2)
l2 = 2 · 9 · 14 = 252 (Regel 3)
l=1
l2
(Regel 4)
i=1 l=2
= 10 · 14 + (4 + 1 − 1) · (55 − 1) = 140 + 216
= 356.
(i − 2)(k + 1) =
i=3 k=2
3
6
∑
∑
i=1 k=1
(i · (k + 2)) = 198
(Regel 5)
10.3 Das Produktzeichen
Beispiel 10.6 (Produktzeichen)
Jede ungerade natürliche Zahl lässt sich schreiben als n = 2i − 1 mit einem i ∈ IN. Für
das Produkt der ersten 100 ungeraden Zahlen können wir kürzer schreiben:
1 · 3 · 5 · 7 · 9 · ... · 199 =
100
∏
(2i − 1).
i=1
Allgemein gilt:
Es seien m, n ganze Zahlen mit m ≤ n und ai , i = m, m + 1, ..., n beliebige
vom Index i abhängige reelle Zahlen. Wir definieren dann
n
∏
ai := am · am+1 · ... · an
i=m
(Sprich: Produkt der ai von i gleich m bis n).
Π heißt Produktzeichen.
76
10.4 Die Fakultät
Für das Rechnen mit Produkten gelten die folgenden Rechenregeln:
Rechenregeln:
(ai , bi ∈ IR, i = m, m + 1, ..., n, m, n ∈ ZZ)
1.
n
∏
i=m
2.
n
∏
a=a
a . . . · a} = an−m+1 für beliebiges a ∈ IR.
| · a · {z
n−m+1
(c · ai ) = c · am · c · am+1 · . . . · c · an
i=m
= c| · c ·{z. . . · c}
n−m+1
3.
n
∏
n
∏
i=m
(ai · bi ) =
i=m
4.
n
∏
i=m
n
∏
n
∏
i=m
(ai )
i=m
n+k
∏
ai =
ai = cn−m+1
n
∏
ai für beliebiges c ∈ IR.
(bi ).
i=m
ai−k für beliebiges k ∈ ZZ (Indexverschiebung).
i=m+k
Beispiel 10.7 (Rechenregeln für Produktzeichen)
1.
6
∏
3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 36−2+1 = 243.
i=2
2.
4
∏
(2j) = (2 · 1) · (2 · 2) · (2 · 3) · (2 · 4) = 24−1+1
j=1
3.
3
∏
i=1
4.
7
∏
k=3
(2i2 ) =
3
∏
i=1
(2i · i) =
3
∏
(2i) ·
i=1
3
∏
i=1
i = 23 (
3
∏
i=1
4
∏
j=1
j = 24 · (1 · 2 · 3 · 4) = 384.
i)2 = 23 · 62 = 288.
(k − 2) = (3 − 2) · (4 − 2) · (5 − 2) · (6 − 2) · (7 − 2)
= 1·2·3·4·5
=
5
∏
10
k
k=1
= 120.
10.4 Die Fakultät
Dem Produkt der ersten n natürlichen Zahlen kommt in der Mathematik eine besondere
Bedeutung zu. Daher führen wir ein spezielles Symbol ein:
77
10 Summen- und Produktzeichen
Es sei n ∈ IN. Wir definieren
n
∏
n! :=
i
und
0! := 1
i=1
(Sprich: n bzw. 0 Fakultät) und nennen n! die n-te Fakultät oder Fakultät
von n für n ∈ IN ∪ {0}.
Beispiel 10.8 (Fakultät)
4
∏
1. 4! =
i = 24.
i=1
38
∏
2.
38!
= i=1
35
∏
35!
i
=
j
1 · 2 · ... · 35 · 36 · 37 · 38
= 36 · 37 · 38.
1 · 2 · ... · 35
j=1
Im folgenden sollen verschiedene Anwendungen für Fakultäten angegeben werden:
Beispiel 10.9 (Kombinatorik)
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben A, B, C anzuordnen?
Aufschreiben aller möglichen Anordnungen ergibt:
ABC,
ACB,
BAC,
BCA,
CAB,
CBA.
Dies sind 6 = 3 · 2 · 1 = 3! Möglichkeiten.
Allgemein gilt: Es gibt n! Möglichkeiten, n eindeutig unterscheidbare Dinge anzuordnen.
Eine weitere Anwendung von Fakultäten in der Kombinatorik sind Binomialkoeﬃzienten.
Es seien k, n ∈ IN ∪ {0} und k ≤ n. Der durch
( )
n
k
:=
n!
k! (n − k)!
(Sprich: n über k)
definierte Ausdruck heißt Binomialkoeﬃzient.
Beispiel 10.10 (Binomialkoeﬃzient)
1.
2.
78
(4)
2
=
4!
2!2!
=
1·2·3·4
1·2·1·2
4
=
7!
4!3!
=
1·2·3·4·5·6·7
1·2·3·4·1·2·3
(7)
= 6.
=
5·6·7
1·2·3
= 35.
10.4 Die Fakultät
Fakultäten und Binomialkoeﬃzienten haben die folgenden Eigenschaften:
Es seien k, n ∈ IN ∪ {0}.
1. (n + 1)! = (n + 1) · n!.
2.
3.
( n)
k
( n)
k
=
+
(
n )
n−k
(
n )
k+1
∀ k ≤ n.
=
(n+1)
∀ k ≤ n − 1.
k+1
Eine einfache Hilfestellung zur Berechnung von Binomialkoeﬃzienten liefert das Pascalsche Dreieck, welche Eigenschaft 3. ausnutzt.
Abbildung 10.1: Pascalsches Dreieck.
Jede Reihe enthält die Binomialkoeﬃzienten
erhalten wir durch einfache Additionen.
( n)
k
für k = 0, 1, ..., n und die Reihe
(n+1)
k
Binomialkoeﬃzienten können verwendet werden, um Ausdrücke der Form (a + b)n für
n ∈ IN kurz darzustellen. Die 1. Binomische Formel besagt:
10
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Wir sehen leicht:
( )
2
(a + b) =
2
0
( )
2
a b +
1
2
0
( )
2
a b +
2
1
1
0
2
a b =
2
∑
k=0
( )
2
k
a2−k bk
(mit a0 = 1 und b0 = 1).
79
10 Summen- und Produktzeichen
Für (a + b)3 erhalten wir
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
= (a2 + 2ab + b2 )(a + b)
3
2
3
= a
+ 3a2 b (
+ 3ab
+ b(
( )
)
)
( )
3 3
3 2
3
3 3
∗
2
=
a +
a b+
ab +
b
0
1
2
3
( )
=
=
( )
( )
( )
3 3 0
3 2 1
3 1 2
3 0 3
a b +
a b +
a b +
a b
0
1
2
3
3
∑
( )
3
k
k=0
a3−k bk .
∗ Im Pascalschen Dreieck lesen wir für n = 3 die Zahlen 1, 3, 3, 1 ab. Somit ist 1 =
( )
( )
( )
3 = 31 , 3 = 32 , 1 = 33 .
(3)
0
,
Allgemein gilt:
n
(a + b) =
n
∑
( )
k=0
n n−k k
a
b
k
∀ a, b ∈ IR, n ∈ IN (Binomischer Lehrsatz)
Bemerkung 10.3:
Der Beweis des binomischen Lehrsatzes ist eine Ihrer ersten Übungsaufgaben.
Aufgaben zu Abschnitt 10
1. Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens:
a.) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20
1
1
1
1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
+
+
4 5 6 7 8 9 10 11 12
c.) 9 + 36 + 81 + 144 + 225 + 324
b.)
d.) 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + 63 + 127 + 255 + 511 + 1023
2. Bestimmen Sie jeweils die oberen und unteren Summationsgrenzen k und l, so dass
gilt:
a.)
10
∑
i=1
80
ai =
l
∑
i=k
ai−7
b.)
5
∑
i=2
bi =
l
∑
i=k
bi+2
10.4 Die Fakultät
3. Berechnen Sie die folgenden Summen:
a.)
b.)
c.)
12 ( )
∑
i
i=1
10
∑
2
(j − 1)
g.)
k2
h.)
j=1
10
∑
)
20 (
∑
j+1
f.)
j=1
5 (
∑
j=1
19 (
∑
j=7
k=5
d.)
e.)
8
∑
((k + 4)(k − 4))
k=4
20
∑
21
∑
i=2
i=1
(i + 5) −
l
l=1
)
j
j+1
18 ( )
∑
1
)
4j−3 − 2j + 1 −
8 (
∑
)
4k − k 2 + 2 −
i.)
(i − 5)
j
−
k=4
20 (√
∑
l+l
k.)
l=2
19 (
∑
1+
i=1
16
∑
22i
i=4
5 (
∑
)
2l − (l + 3)2 + 1
l=1
) (√
)
37 √
∑
l−l −2
k=19
22
∑
)2
√
i+1+i −2·
(k − 17)3 +
(m − 2)
m=4
4. Schreiben Sie die folgenden Summen mit Hilfe einer Doppelsumme:
a.) 2 + 4 + 6 + 3 + 6 + 9 + 4 + 8 + 12 + 5 + 10 + 15
b.) 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 100 + 144 + 196 + 256 + 324 + 400
5. Berechnen Sie die folgenden Doppelsummen:
a.)
3 ∑
4
∑
(6j + 3ij)
4 ∑
5
∑
b.)
i=1 j=1
(j + i)2
i=1 j=1
6. Schreiben Sie die folgenden Produkte mit Hilfe des Produktzeichens:
a.) 4 · 6 · 8 · 10 · 12
b.) 1 · 9 · 25 · 49 · 81 · 121 · 169 · 225
c.) (−1) ·
1
2
(
)
· − 13 ·
1
4
(
· − 15
)
7. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a.)
11 (
∏
j=3
1−
1
j−1
)
100
∏
b.)
j=1
j+1
j
60
∏
c.)
((k + 50)(k − 50))
k=40
d.)
5
∏
(−2)k
k=1
10
8. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a.)
(10)
2
b.)
(15)
4
+
(15)
5
c.)
7!
(10)
8
d.)
8! 2! 10! 4!
· ·
·
3! 1! 7! 9!
9. Berechnen Sie (a + b)4 und (a + b)5 . Verwenden Sie dabei das Pascalsche Dreieck.
10. Berechnen Sie die Zeilen des Pascalschen Dreiecks für n = 8 und n = 9.
81
11 Funktionen
In diesem Kapitel gehen wir zunächst auf den Funktionsbegriﬀ selbst und auf die Veranschaulichung von Funktionen ein. Danach werden grundlegende reelle Funktionen (elementare Funktionen), die eigentlich von der Schule her bekannt sein sollten, besprochen.
Die letzten beiden Abschnitte beschäftigen sich mit einigen Aspekten der Kurvendiskussion. Neben der Nullstellenberechnung und einigen Überlegungen zur Monotonie stehen
dabei der Begriﬀ der Ableitung sowie die zugehörigen Rechenregeln im Mittelpunkt. Wir
verzichten an dieser Stelle auf eine ausführliche Kurvendiskussion.
11.1 Grundbegriﬀe
In unzähligen praktischen Situationen hängen die Daten einer ökonomischen Größe y in
eindeutiger Weise von den Daten einer anderen Größe x ab.
Beispiel 11.1 (Funktionen)
a) Die Einkommenssteuer y hängt (unter fixierten Verhältnissen wie Steuerklasse,
Kinderzahl etc.) in eindeutiger Weise vom Einkommen x ab.
Mögliche Werte für x : x ≥ 0.
b) Die Produktionskosten y hängen eindeutig von der produzierten Menge x ab.
Mögliche Werte für x : 0 ≤ x ≤ g, wobei g Kapazitätsgrenze für die zu produzierende
Menge ist.
Allgemein können wir sagen, dass jedem Wert x aus einem gewissen Bereich von Werten
eindeutig ein Wert y zugeordnet ist. Dies führt zum Funktionsbegriﬀ:
Definition 11.1 Wenn einer jeden reellen Zahl x aus einem Bereich ID ⊂ IR eindeutig
eine reelle Zahl y zugeordnet ist, so sagen wir, y ist eine Funktion von x und schreiben
y = f (x).
83
11
11 Funktionen
Bemerkung 11.1:
1. Schreibweise:
f : ID −→ IR, y = f (x).
2. Bezeichnungen:
ID : Definitionsbereich,
x : Argument, Urbild,
y : Funktionswert, Bild.
Der Bereich der entstehenden y-Werte heißt Wertebereich!
3. Mit Hilfe der Zuordnungsvorschrift ersehen wir auch den (mathematisch
größtmöglichen) Definitionsbereich. Die Funktion f (x) ist nämlich nur
für alle diejenigen x definiert, für die dieser Ausdruck mathematisch
sinnvoll ist.
Beispiel 11.2 (Definitionsbereiche)
1. f (x) = x2 − 1 −→ für alle reellen Zahlen sinnvoll, daher ID = IR.
1
2. f (x) = x−1
−→ für x = 1 wird der Nenner Null, daher ID = IR \ {1}.
√
4
3. f (x) = x2 − 1 −→ das Argument
der Wurzel muss positiv sein, daher
−→ ID = {x ∈ IR |x| ≥ 1}.
Ökonomisch sinnvolle Definitionsbereiche sind in der Praxis i.a. kleiner als mathematisch
mögliche!
Beispiel 11.3 (Pareto-Funktion)
Eine Annahme über die Einkommensverteilung kann durch die Pareto-Funktion
f˜(x) = (α − 1) · cα−1 · x−α
getroﬀen werden. Diese Funktion ist zwar mathematisch sinnvoll für alle x ∈ IR \ {0},
ökonomisch jedoch nur für positive Einkommen x mit x ≥ c und α > 1.
f˜(x)
c
x
Abbildung 11.1: Pareto-Funktion: (α − 1) · cα−1 · x−α
84
11.2 Graphische Darstellung von Funktionen
Ökonomische Interpretation:
f˜(x) bezeichnet die absolute Anzahl der Einkommensempfänger mit einem Mindesteinkommen von x DM. Je größer das Einkommen, desto geringer ist auch die Anzahl derer,
die es erhalten. Ein gewisses Einkommen c wird in einer Volkswirtschaft nicht unterschritten (z.B. 610 DM), so dass alle mindestens diesen Betrag verdienen.
11.2 Graphische Darstellung von Funktionen
Um eine Funktion f (x) zu zeichnen, bestimmen wir zunächst für einige konkrete x-Werte
den zugehörigen Funktionswert f (x). Die so errechneten Zahlenpaare (x, f (x)) stellen wir
übersichtlich mit Hilfe einer Wertetabelle dar. Solche berechneten Zahlenpaare können
wir uns aber auch mit Hilfe eines rechtwinkligen Koordinatensystems als Punkte veranschaulichen:
4
2. Quadrant
(−2, 5; 3)
Ordinatenachse,
y-Achse
1. Quadrant
3
(1; 2)
2
1
Abszissenachse,
x-Achse
−3
−2
3. Quadrant
−1
1
2
3
−1
4
5
4. Quadrant
(3; −1)
Abbildung 11.2: Koordinatensystem mit Bezeichnung und Darstellung einiger Zahlenpaare.
Beispiel 11.4
• Funktionsvorschrift
• Wertetabelle berechnen
f (x) =
x2 −1
2
11
+1
x
0
1
−1
2
−2
f (x)
1
2
1
1
5
2
5
2
1
2
5
8
− 12
5
8
85
11 Funktionen
f (x)
2
• Übertragen der Zahlenpaare als
Punkte ins Koordinatensystem
1
−2
−1
1
2
x
Bemerkung 11.2:
1. Beim Verbinden der Punkte ist darauf zu achten, dass jedem x eindeutig
ein y=f(x) zugeordnet ist. Nur dann handelt es sich um eine Funktion!
Anschaulich bedeutet dies, dass eine Senkrechte auf der Abszisse den
Graph der Funktion nur einmal schneiden kann!
2. Ist eine Funktion erst einmal im Koordinatensystem veranschaulicht,
so können wir sehr leicht zu beliebigen Argumenten x den zugehörigen
Funktionswert ermitteln.
11.3 Elementare Funktionen und ihre Graphen
11.3.1 Polynome oder ganz-rationale Funktionen
Die einfachsten und zugleich auch wichtigsten Funktionen sind die Polynome:
Definition 11.2 Eine Funktion der Form
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an−1 xn−1 + an xn
heißt ganz-rationale Funktion oder Polynom. Die reellen Zahlen a0 , a1 , ..., an heißen
Koef f izienten des Polynoms. Der Exponent der höchsten vorkommenden Potenz von x
heißt Grad des Polynoms, an wird auch Leitkoeﬃzient genannt.
Beispiel 11.5 (Ganz-rationale Funktionen)
1. f (x) = 10, a0 = 10, Grad n = 0.
2. f (x) = 2x2 − x + 1, a0 = 1, a1 = −1, a2 = 2, Grad n = 2.
3. f (x) = k · x2m+1 + x − 1, a0 = −1, a1 = 1, a2 = . . . = a2m
= 0, a2m+1 = k, Grad n = 2m + 1.
86
11.3 Elementare Funktionen und ihre Graphen
Einige Anmerkungen zu den Graphen ganz-rationaler Funktionen:
1. Für Grad n = 0 liegt mit f (x) = a0 ein konstantes Polynom vor: jedes reelle x
hat ein und denselben Funktionswert a0 ∈ IR. Der zugehörige Graph ist also eine
Parallele zur Abszisse.
2. Durch f (x) = a1 x + a0 (a1 ̸= 0) ist eine lineare Funktion gegeben. Diese besitzt
den Grad n = 1. Der zugehörige Graph ist eine Gerade, bei der a0 den Ordinatenabschnitt und a1 die Steigung kennzeichnet! Im Falle a0 = 0 und a1 = 1 wird durch
f (x) = x die identische Abbildung von IR nach IR beschrieben.
f (x)
f (x)
y2
a0
f (x) = a0 = const
∆y
a0
y1
x
x1
Abbildung 11.3: Darstellung einer konstanten und einer
x2
∆x
linearen
x
Funktion.
Die funktionale Vorschrift einer linearen Funktion ist durch zwei Punkte (x1 , y1 ),
(x2 , y2 ) eindeutig bestimmt. In diesem Fall gilt:
(1) y1 = a1 x1 + a0
(2) y2 = a1 x2 + a0
Durch Diﬀerenzbildung (1)-(2) erhalten wir:
y1 − y2 = a1 x1 + a0 − (a1 x2 + a0 ) = a1 (x1 − x2 )
Damit kann aber a1 berechnet werden als
y1 − y2
y2 − y1
(3) a1 =
=
x1 − x2
x2 − x1
d.h. die Steigung a1 ergibt sich als Quotient aus absolutem Anstieg der Funktionswerte ∆y = y2 − y1 in Bezug zur Diﬀerenz der Argumente ∆x = x2 − x1 . Zur
Berechnung von a0 setzen wir (3) in (1) ein und erhalten:
a0 = y1 − a1 x1 = y1 −
y2 − y1
· x1 .
x2 − x1
3. Die quadratische Funktion ist gekennzeichnet durch die Form f (x) = a2 x2 +a1 x+a0
(a2 ̸= 0). Der Graph ist hier bekanntlich eine Parabel, die für a2 > 0 nach oben
und für a2 < 0 nach unten geöffnet ist.
Beispiel 11.6 (Quadratische Funktionen)
87
11
11 Funktionen
f (x)
f (x)
1
−1
3 x
1
f2
1
f1
−3
−1
−1
3 x
1
−1
Abbildung 11.4: Darstellung quadratischer Funktionen f1 (x)
f2 (x) =
− 21 x2
=
x2 − x − 1 und
+ 2.
4. Mit f (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 (a3 ̸= 0) liegt ein Polynom dritten Grades
(kubisches Polynom) vor. Für a3 > 0 kommt der Graph bei wachsendem x ∈ IR
aus dem 3. Quadranten eines Koordinatensystems, macht evtl. einen Schlenker und
verschwindet im ersten Quadranten. Für a3 < 0 verläuft der Graph analog aus dem
zweiten in den vierten Quadranten.
Beispiel 11.7 (Kubische Funktionen)
f (x)
f (x)
5
5
f1
1
−1
−1
−5
1
1
x
−1
−1
−5
x
1
f2
Abbildung 11.5: Darstellung kubischer Funktionen f1 (x) = x3 und f2 (x) = −2x3 + x + 1.
5. Der Graph eines Polynoms mit geradem Grad ist stets parabelförmig! Der Graph
von Polynomen ungeraden Grades verläuft bei positivem Leitkoeﬃzienten aus dem
dritten in den ersten Quadranten.
Um ganz-rationale Funktionen überhaupt zeichnen zu können, müssen wir die Funktionswerte berechnen. Dazu gibt es ein einfaches Schema, das im folgenden vorgestellt werden
soll:
88
11.3 Elementare Funktionen und ihre Graphen
Beispiel 11.8 (Berechnung von Funktionswerten von Polynomen)
f (x) = x6 − 2x5 + 3x4 − x3 − 3x2 + 5
Gefordert sei, f (2) zu berechnen!
Weg 1: Da 26 = 64, 25 = 32, 24 = 16, 23 = 8 und 22 = 4 gilt:
f (2) = 64 − 2 · 32 + 3 · 16 − 8 − 3 · 4 + 5 = 33.
Dieser Weg ist umständlich, da er das Speichern von Zwischenergebnissen
im Taschenrechner erfordert.
Weg 2: Das Polynom lässt sich durch schrittweises Ausklammern von x umwandeln
in:
f (x) = x6 − 2x5 + 3x4 − x3 − 3x2 + 5
4 − 2x3 + 3x2 − x − 3) · x2 + 5
= (x
( 3
)
= [{(
(x − 2x2 + 3x) − 1) · x} − 3 · x]2 + 5
=
x2 − 2x + 3 · x − 1 · x − 3 · x2 + 5
= [{((x − 2) · x + 3) · x − 1} · x − 3] · x2 + 5
Um nun f (2) zu berechnen, müssen wir folgendes in den Taschenrechner
eingeben:
2 − 2 = × 2 + 3 = × 2 − 1 = × 2 − 3 = × 4 + 5
= 33
Das zugehörige Schema heißt Horner-Schema. Dazu ordnen wir die Koeffizienten wie folgt an:
1
x=2
−2
3
−1 −3
0
5
Koeﬃzienten des Polynoms
mit a1 = 0
abschreiben
1
Das weitere Vorgehen wird aus dem nächsten Bild deutlich. Die schrägen
Pfeile bedeuten immer “Multiplikation mit dem Argument x” (hier x = 2),
die senkrechten Pfeile “Addition mit dem darüberstehenden Koeﬃzienten”:
1
x=2
+ ·2
1
−2
3
−1
−3
2
0
6
10
0
+ ·2
3
+ ·2
5
+ ·2
7
+ ·2
0
5
14
28
14
+ ·2
11
+
33 = f (2)
89
11 Funktionen
11.3.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Definition 11.3 Den Quotienten zweier Polynome nennen wir eine gebrochen-rationale
Funktion, d.h.
∑
n
R(x)
ai x i
f (x) =
= ∑mi=0
k
Q(x)
k=0 bk x
(ai , bk ∈ IR, i = 0, . . . , n, k = 0, . . . , m).
Bemerkung 11.3:
1. Ist Q(x) eine Konstante ungleich Null, so erhalten wir wiederum Polynome.
2. Der Definitionsbereich ID einer gebrochen-rationalen Funktion besteht
aus der Menge der reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen Zahlen, für
die der Nenner Null ist.
3. Die Graphen gebrochen-rationaler Funktionen können verschiedenartigste Eigenschaften haben. So kann beispielsweise ein Graph aus zwei Ästen
bestehen, die nicht zusammenhängen. Im folgenden einige Beispiele aus
der vielfältigen “Welt der gebrochen-rationalen Funktionen”:
90
11.3 Elementare Funktionen und ihre Graphen
Beispiel 11.9 (Gebrochen-rationale Funktionen)
f (x)
3
f (x)
2
f2
1
−2
f1
−1
1
f1
1
3 x
2
−3
−2
−1
1
2
3 x
−1
−2
Abbildung 11.6: Darstellung gebrochen-rationaler Funktionen f1 (x) =
1
x
und f2 (x) =
x2
1+x2 .
11.3.3 Weitere elementare Funktionen
a.) Wurzelfunktionen
f (x)
2
√
x
√
3
x
√
4
x
1
(1, 1)
−1
1
√
3
x
2
3
x
−1
Definition 11.4 Eine Funktion heißt Wurzel√
funktion,wenn diese der Form f (x) = n x
genügt. Der Definitionsbereich ID einer Wurzelfunktion mit geradem Wurzelexponenten ist
ID = IR+ ∪ {0}, während für Wurzelfunktionen
mit ungeradem Exponenten ID = IR gilt.
Eigenschaften der Wurzelfunktionen:
√
n
Alle Wurzelfunktionen
x gehen durch den
√
n
Punkt (1;1), denn 1 = 1 ∀ n.
Abbildung 11.7: Wurzelfunktionen.
91
11
11 Funktionen
b.) Exponentialfunktionen
Definition 11.5 Es sei a > 0 und a ̸= 1. Eine Funktion der Form f (x) = ax heißt
eine Exponentialfunktion. Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ist
ID = IR.
e−x
Eigenschaften der Exponentialfunktionen:
f (x)
3
ex
1.) Die Funktion f (x) = ax kann leicht
in eine Exponentialfunktion zur Basis
e umgewandelt werden:
x
ax = eln a = ex·ln a .
2x
2
1.1x
1
−2
2.) Alle Exponentialfunktionen gehen
durch den Punkt (0;1), da a0 = 1 ∀ a
gilt.
−1
1
2
Abbildung 11.8: Exponentialfunktionen.
x
3.) Eine Exponentialfunktion nimmt nur
positive Werte an und zwar jeden
Wert von IR+ genau einmal.
4.) Ist a > 1 und lassen wir die Argumente stark ansteigen, so strebt der Ausdruck
ax ins Unendliche. Ist jedoch a < 1, so nimmt ax bei zunehmendem Argument
ab, wird aber nie negativ!
5.) Mit der Exponentialfunktion wird der Potenzbegriﬀ implizit auf reelle Zahlen
erweitert. Die Potenzgesetze P1 bis P4 sind aber auch mit dieser Erweiterung
ohne Einschränkung gültig.
6.) Die Exponentialfunktion wird benötigt, um natürliche Wachstumsvorgänge
(z.B. Bakterienkulturen) zu beschreiben. Diese genügen i.d.R. nämlich nicht
dem linearen Wachstum!
c.) Logarithmische Funktionen
Definition 11.6 Es sei a > 0 und a ̸= 1. Eine Funktion der Form f (x) = loga x
heißt eine Logarithmusfunktion. Der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion ist ID = IR+ .
92
11.3 Elementare Funktionen und ihre Graphen
Eigenschaften der Logarithmusfunktionen:
f (x)
2
1.) Gemäß Kapitel 9.2 gilt
log1.5 x
loga x =
ln x
1
2.) Das Rechnen mit Logarithmen wurde
bereits ausführlich in Kapitel 9.2
behandelt.
log x
1
2
3
ln x
log x
=
.
ln a
log a
3.) Die Logarithmusfunktion ist die
Umkehrfunktion zur
Exponentialfunktion. Wir erhalten diese
somit auch, wenn wir die
Exponentialfunktion an der
Winkelhalbierenden spiegeln würden.
Somit fallen Wertebereich der
Exponentialfunktion und
Definitionsbereich des Logarithmus
zusammen.
x
−1
−2
Abbildung 11.9: Logarithmusfunktionen.
d.) Trigonometrische Funktionen
Es gibt folgende trigonometrischen Funktionen:
1.) f (x) = sin(x) (Sinus), ID = IR.
2.) f (x) = cos(x) (Cosinus), ID = IR.
(
sin(x)
cos(x)
(Tangens), ID = IR\{x | x = π · k +
4.) f (x) = cot(x) =
cos(x)
sin(x)
(Cotangens), ID = IR\{x | x = k · π, k ∈ ZZ}.
1
2
, k ∈ ZZ}.
f (x)
1
f (x)
1
sin(x)
π
2
−1
)
3.) f (x) = tan(x) =
π
cos(x)
3π
2
2π
x
π
2
π
3π
2
2π
−1
Abbildung 11.10: Trigonometrische Funktionen.
93
x
11
11 Funktionen
Bemerkung 11.4:
1.) Es gilt sin2 (x) + cos2 (x) = 1
∀x ∈ IR.
2.) Eine kleine Wertetabelle:
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
sin(x)
0
cos(x)
1
√
2
2
√
2
2
1
2
√
3
2
√
3
2
1
1
2
0
11.4 Eigenschaften von Funktionen
11.4.1 Nullstellen
Definition 11.7 Ein Argumentwert x0 heißt Nullstelle einer Funktion f (x), wenn
f (x0 ) = 0.
Um Nullstellen einer Funktion f (x) zu bestimmen, muss die Gleichung f (x) = 0 nach x
aufgelöst werden. Je nach Art der Funktion führt dies zu verschiedenen Problemstellungen:
Nullstellen linearer Funktionen
f (x) = m · x + b = 0 ⇐⇒ x = −
b
,
m
m ̸= 0
Obacht:
Die Forderung m ̸= 0 ist keine wesentliche Einschränkung. Wäre dies nämlich
der Fall, degeneriert die lineare Funktion f (x) = m · x + b zu einer konstanten Funktion f (x) = 0 · x + b = b. Eine konstante Funktion hat aber entweder
keine oder falls b = 0 unendlich viele Nullstellen!
Nullstellen quadratischer Funktionen Die Funktionsvorschrift lautet:
f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 ,
a2 ̸= 0.
Daher finden wir die Nullstellen aus der Gleichung: a2 x2 + a1 x + a0 = 0. Diese hat nicht
immer eine reelle Lösung, somit sind Nullstellen nicht zwingend vorhanden. Die Bestimmung von Nullstellen gemischtquadratischer Gleichungen wurde ausführlich in Kapitel
7.3 behandelt.
94
11.4 Eigenschaften von Funktionen
Nullstellen von ganz-rationalen Funktionen Bei Polynomen höheren Grades gelingt die elementare Nullstellenbestimmung nur in Ausnahmefällen. Trotzdem gibt es
einige Verfahren, die es unter bestimmten Bedingungen erlauben, die Nullstellen zu berechnen. Diese sind:
1. Polynomdivision
Anhand eines Beispieles lässt sich die Polynomdivision am besten erklären:
Beispiel 11.10 (Polynomdivision (1))
−6x + 2x2 − 20
Berechnen Sie :
.
x−5
Schritt 1:
Zunächst ordnen wir die Glieder von Dividend und Divisor nach
fallenden Potenzen, d.h.
(2x2 − 6x − 20) : (x − 5)
Schritt 2:
Jetzt dividieren wir das erste Glied des Dividenden durch das erste Glied des Divisors, hier 2x2 : x und multiplizieren mit diesem
Ergebnis den gesamten Divisor: (x − 5) · 2x = 2x2 − 10x
Schritt 3:
Dieses Ergebnis wird dann vom Dividenden subtrahiert. Wir wählen
dazu die aus der herkömlichen Division bekannte Schreibweise:
(2x2 − 6x − 20) : (x − 5) = 2x
−(2x2 − 10x)
4x − 20
Für den verbleibenden Rest beginnen wir wieder bei (2.) und erhalten 4x : x = 4 und somit
(2x2 − 6x − 20) : (x − 5) = 2x + 4
−(2x2 − 10x)
4x − 20
−(4x − 20)
0
Somit gilt:
−6x + 2x2 − 20
= 2x + 4.
x−5
Die Polynomdivision geht immer dann restlos auf, wenn der Divisor Linearfaktor
einer Nullstelle des Polynoms ist. Somit müssen wir zunächst eine Nullstelle des Polynoms erraten. Dies erfolgt sinnvollerweise durch Ausprobieren aller ganzzahligen
Teiler des konstanten Gliedes (mit entspr. Vorzeichenvariation). Dieses Verfahren
aus Raten einer Nullstelle und anschließendem Dividieren lässt sich wie folgt zur
Nullstellenbestimmung einsetzen:
Beispiel 11.11 (Polynomdivision (2))
Sei f (x) = x3 − 2x2 − x + 2. Es gilt f (1) = 0, also ist x1 = 1 eine Nullstelle der
Funktion. Aus x1 = 1 folgt x1 − 1 = 0, weswegen wir das Polynom durch (x − 1)
95
11
11 Funktionen
teilen:
(x3 − 2x2 − x + 2) : (x − 1) = x2 − x − 2
−(x3 − x2 )
−x2 − x
−(−x2 + x)
−2x + 2
−(−2x + 2)
0
Somit gilt also: (x − 1)(x2 − x − 2) = x3 − 2x2 − x + 2.
Für die Nullstellenberechnung erfolgt jetzt eine Fallunterscheidung:
(x − 1)
= 0
⇔ x1
= 1
2. Fall:
x2 − x − 2 = 0
1. Fall:
⇔ x2 = −1
∨ x3 = 2.
x2 − x − 2 = 0 ist eine gemischtquadratische Gleichung, die mit Hilfe der Methoden
aus Kapitel 7.3 gelöst werden kann.
Fazit: Die Nullstellen von f (x) lauten:
x1 = 1, x2 = −1 und x3 = 2.
Es gilt daher: (x3 − 2x2 − x + 2) = (x − 1) · (x + 1) · (x − 2)
2. Horner-Schema (siehe S. 89)
−2
1
x=1
+ ·1
1
−1
+ ·1
−1
−2
+ ·1
−2
+
1
−1
−2
0 = f (1)
2
⇒ (1x +(−1)x +(−2))·(x − 1) = x3 − 2x2 − x + 2
Wir erkennen, dass das Argument x = 1 eine Nullstelle des Polynoms ist. Außerdem
wird deutlich, dass die letzte Reihe des Schemas den Koeﬃzienten des entstehenden (dividierten) Polynoms entspricht. Somit gibt es also zwei Möglichkeiten, die
Faktorzerlegung eines Polynoms durchzuführen.
Nullstellen gebrochen-rationaler Funktionen
96
11.4 Eigenschaften von Funktionen
Eine gebrochen-rationale Funktion f (x) hat die Gestalt
f (x) =
g(x)
, ID = {x ∈ IR| h(x) ̸= 0},
h(x)
wobei g(x) und h(x) Polynome sind. Dann gilt aber:
g(x)
= 0 | · h(x)
h(x)
⇔ g(x) = 0.
f (x) = 0 ⇔
Fazit: Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion sind diejenigen Nullstellen des
Zählerpolynoms, für die das Nennerpolynom nicht gleichzeitig Null wird, d.h. alle Nullstellen des Zählers, für die f (x) definiert ist.
Beispiel 11.12 (Nullstellen gebrochen-rationaler Funktionen (1))
f (x) =
x3 − 2x2 − x + 2
x2 − 1
Der Definitionsbereich ergibt sich aus den Nullstellen des Nenners. Wegen:
x2 − 1 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = −1 folgt: ID = IR\{−1; 1}.
Die Nullstellen von f (x) erhalten wir mit
f (x) = 0 ⇐⇒ x3 − 2x2 − x + 2 = 0 ⇐⇒ (x − 1)(x + 1)(x − 2) = 0.
Da x1 = 1 und x2 = −1 nicht im Definitionsbereich enthalten sind, lautet die einzige
Nullstelle von f (x) : x = 2.
Beispiel 11.13 (Nullstellen gebrochen-rationaler Funktionen (2))
f (x) =
4(x − 3)(x + 2)(x + 1)
x(x − 2)
11
Der Definitionsbereich lautet: ID = IR \ {0; 2}. Die Nullstellen des Zählers sind: x1 = 3,
x2 = −2, x3 = −1. Da f (x) an allen diesen Stellen definiert ist, sind diese Nullstellen
gleichzeitig die der Funktion f (x).
97
11 Funktionen
Nullstellen weiterer Funktionen Nullstellen von Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktion lassen sich in der Regel ebenfalls nicht explizit berechnen. Es gibt jedoch
Fälle, in denen wir Ergebnisse erhalten, weil wir die speziellen Eigenschaften der Funktionen ausnutzen können. Dazu einige Beispiele:
Beispiel 11.14 (Nullstellen logarithmischer Funktionen (1))
f (x) = ln(x − 1)
Die Nullstelle ergibt sich aus:
f (x) = 0 ⇐⇒ ln(x − 1) = 0 | exp(...)
⇐⇒
x−1
= e0 |
⇐⇒
x
= 2.
Beispiel 11.15 (Nullstellen von Exponentialfunktionen)
f (x) = 3 · e−x − e3x
f (x) = 0 ⇐⇒ 3 · e−x = e3x | ln(...)
⇐⇒ ln 3 − x = 3x
⇐⇒
x = ln43 .
Beispiel 11.16 (Nullstellen von Wurzelfunktionen)
√
f (x) = 4 4 − x2
Hier gilt :
f (x) = 0 ⇐⇒ 4 − x2 = 0
⇐⇒
x1,2 = ±2.
Beispiel 11.17 (Nullstellen logarithmischer Funktionen (2))
f (x) = ln((x + 1) · x)
Aus f (x) = 0 folgt:
ln ((x + 1) · x) =
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(
x2
+x
=
1
2
=
x+
x1,2
)2
= ±
f (x) hat somit die Nullstellen x1 =
98
√
0
| exp(...).
1
|
1+
5
4
√
5−1
2
−
1
2
1
4
=
√
± 5−1
.
2
und x2 =
√
− 5−1
.
2
+
( )2
1
2
11.4 Eigenschaften von Funktionen
Beispiel 11.18 (Nullstellen trigonometrischer Funktionen)
Die Nullstellen der periodischen Funktionen sin(x) und cos(x) sind ganzzahlige Vielfache
von π bzw. von ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von π2 . Vergleichen Sie dazu mit
Abbildung 11.10 auf S. 93.
• sin(k · π) = 0
• cos
(
2k+1
2 π
∀ k ∈ ZZ,
)
∀ k ∈ ZZ.
=0
Bemerkung 11.5:
Das Lösen von Exponential- und logarithmischen Gleichungen wurde auch im
Kapitel 9.3 behandelt.
11.4.2 Beschränktheit und Monotonie
Der Vollständigkeit wegen werden im folgenden die Begriﬀe Beschränktheit und Monotonie definiert.
Definition 11.8 Eine Funktion f (x) heißt nach unten beschränkt, falls es eine Zahl
m gibt, so dass f (x) ≥ m ist für alle x des Definitionsbereiches von f (x). m heißt eine
untere Schranke. f (x) heißt nach oben beschränkt, falls es eine Zahl M gibt mit
f (x) ≤ M für alle x ∈ ID. M heißt eine obere Schranke. Eine Funktion, die sowohl
nach unten als auch nach oben beschränkt ist, heißt beschränkt.
Beispiel 11.19 (Beschränktheit)
f (x)
3
f (x)
8
7
6
5
4
3
2
1
−3
−2
−1
M =3
2
f1
1
m=1
1
2
−2
x
−1
−1
f2
1
2
x
11
−2
Abbildung 11.11: Beispiel für eine nach unten f1 (x) = ex + 1 und für eine nach oben
f2 (x) = −x2 + 3 beschränkte Funktion.
99
11 Funktionen
f (x)
2
M = 1.5
1
m = 0.5
−2
−1
1
2
x
Abbildung 11.12: Beispiel für eine beschränkte Funktion f (x) =
1
2
+ e−x .
2
Definition 11.9 Eine Funktion f (x) heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereiches ID monoton wachsend, wenn für beliebige x1 , x2 ∈ I aus x1 < x2 auch f (x1 ) ≤ f (x2 )
folgt. Die Funktion heißt streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 auch f (x1 ) < f (x2 )
folgt.
Völlig analog ist der Begriﬀ monoton fallend definiert:
Definition 11.10 Eine Funktion f (x) heißt in I monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets folgt f (x1 ) ≥ f (x2 ) bzw. f (x1 ) > f (x2 ).
Beispiel 11.20 (Monotonie)
f (x)
f (x)
4
4
3
3
f1
−1
f2
2
2
1
1
1
2
3 x
−3
−2
−1
1
2
x
Abbildung 11.13: Beispiel für streng monoton fallende f1 (x) = −x + 3 und streng monoton
wachsende f2 (x) = ex Funktion.
Es ist auch rechnerisch möglich, Monotonie zu zeigen. So gilt für die Funktion
f (x) = −x + 3 : Wenn x1 < x2 ⇒ −x1 > −x2 ⇒ −x1 + 3 > −x2 + 3 und somit
100
11.5 Diﬀerentialrechnung
f (x1 ) > f (x2 ), d.h. die Funktion erfüllt die obige Definition.
Auf die andere Funktion lässt sich der ”Beweis” ebenfalls übertragen: Wegen x1 < x2
lässt sich x2 auch schreiben als x2 = x1 + c (c > 0). Dann gilt aber:
ex2 = ex1 +c = ex1 · ec > ex1 , da ec > 1 ∀ c > 0.
Damit ist f (x) = ex eine monoton wachsende Funktion.
11.5 Diﬀerentialrechnung
In diesem Abschnitt wird der Begriﬀ der Ableitung eingeführt. Dabei beschränken wir
uns auf eine geometrische Interpretation der Ableitung und führen grundlegende Ableitungsregeln ein. Die thematisch eng zugehörigen Begriﬀe Grenzwert einer Funktion“ und
”
Stetigkeit“ werden hier nicht erläutert – diese sollten jedoch aus der Schule bekannt sein.
”
11.5.1 Der Begriﬀ und die Bedeutung der Ableitung
Betrachten wir zunächst ein einführendes Beispiel aus dem Bereich der Geometrie:
Beispiel 11.21 (Berechnung einer Tangente / linearen Approximation)
Zu einer gegebenen Funktion f ist eine Gerade gesucht, die diese Funktion in einer kleinen
Umgebung eines Punktes P gut approximiert:
y
t3
Wir erkennen, dass die Gerade t3 für diesen
Zweck eher weniger, die Gerade t2 schon eher
und die Gerade t1 sehr gut geeignet ist. Offensichtlich ist eine Bedingung für eine Get2
rade t, die zur linearen Approximation eiy0
P
ner beliebigen Funktion f in einem Punkt
(x0 , y0 ) dienen soll, dass t(x0 ) = f (x0 ) ist,
P1
y1
d.h. Gerade und Funktion sollten in x0 dent1
selben Funktionswert aufweisen. Da die allx
x1
x0
gemeine Geradengleichung t(x) := a1 x + a0
Abbildung 11.14: Verschiedene Geraden lautet (vgl. S. 87, Pkt. 2), folgt:
f
t1 , t2 , t3 zur linearen Approximation einer Funktion f im
Punkt P .
t(x0 ) = f (x0 ) ⇔ a1 x0 + a0 = f (x0 )
⇔ a0 = f (x0 ) − a1 x0
(11.1)
101
11
11 Funktionen
Somit haben wir den Ordinatenabschnitt a0 bestimmt, uns fehlt also noch die Bestimmung
eines Wertes für die Steigung a1 . Für deren Bestimmung nutzen wir aus, dass t1 deshalb
eine bessere Approximation als t2 darstellt, weil t1 in P dieselbe Steigung/Richtung wie
f aufweist. Betrachten wir zunächst die Steigung von t2 , die – wie wir auf S. 87 gesehen
haben – aufgrund der Kenntnis von (x0 , y0 ) und (x1 , y1 ) bestimmt werden kann:
(1) t2 (x1 ) = ã1 x1 + ã0 = y1
(2) t2 (x0 ) = ã1 x0 + ã0 = y0
Durch Diﬀerenzbildung (1)-(2) folgt:
ã1 x1 + ã0 − (a1 x0 + ã0 ) = y1 − y0 ⇔ ã1 (x1 − x0 ) = y1 − y0
y1 − y0
f (x1 ) − f (x0 )
⇔ ã1 =
=
x1 − x0
x1 − x0
Die Ursache dafür, dass die Steigung ã1 nur unzureichend berechnet wird, ist, dass die
Punkte (x0 , y0 ) bzw. (x1 , y1 ) zu weit voneinander entfernt sind. Ließe man x1 näher an
x0 heranrücken“, näherte sich auch der Punkt y1 dem Punkt y0 auf der Kurve an und
”
die Steigung von t2 gleiche sich immer mehr der von t1 an (dies lässt sich mit einem
Geodreieck leicht nachvollziehen). Mathematisch formuliert ergibt sich die Steigung einer
guten“ linearen Approximation als:
”
f (x) − f (x0 )
a1 := lim
.
x→x0
x − x0
Dabei bezeichnet limx→x0 (·) den Grenzwert des Quotienten in dem Fall, dass sich x an x0
(sowohl rechts- als auch linksseitig) annähert. Eine Voraussetzung für die Existenz dieses
Grenzwertes ist, dass für x → x0 auch f (x) gegen f (x0 ) strebt, d.h. f muss in x0 stetig“
”
sein, d.h. f darf beispielsweise in x0 keine Sprungstelle oder einen Pol aufweisen.1
Den Gedanken des Beispiels fassen wir jetzt allgemein:
Eine gute lineare Approximation einer Funktion um einen Punkt P heißt Tangente. Dies
ist eine Gerade, die in P sowohl denselben Funktionswert als auch dieselbe Steigung wie
f aufweist, d.h. die Tangente berührt die Funktion in P . Eine Sekante (im Bild z.B. t2 )
hingegen kann in P zwar auch denselben Funktionswert aufweisen, jedoch führt die von
f verschiedene Steigung in ihrem Fall dazu, dass sich ein weiterer Punkt P1 finden lässt,
in dem diese f wiederum schneidet.
Der Quotient (der im Beispiel zur Berechnung der Steigung ã1 der Sekante t2 dient)
f (x) − f (x0 )
y − y0
∆y
=
=:
x − x0
x − x0
∆x
1
Zum Begriﬀ der Stetigkeit sei hier nur angemerkt, dass eine Funktion dann stetig ist, wenn diese sich
zeichnen lässt, ohne dass der Stift abgesetzt werden muss. Dabei gilt die folgende Regel: Jede Funktion
f , die in x0 diﬀerenzierbar ist, ist in x0 auch stetig. Aber: Nicht jede in x0 stetige Funktion ist in x0
diﬀerenzierbar.
102
11.5 Diﬀerentialrechnung
heißt Diﬀerenzenquotient. Um die Steigung der Funktion f zu ermitteln, lassen wir P1
gegen P0 wandern, d.h. x strebt gegen x0 , so dass die Diﬀerenz beider Werte x − x0 := ∆x
gegen Null strebt. Die Tangentensteigung erhält man also als Grenzwert der Sekantensteigung für ∆x → 0. Der Grenzwert des Diﬀerenzenquotienten
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
bezeichnet geometrisch die Steigung der Tangente an die Funktionskurve f an der Stelle
x0 . Diese Steigung heißt (erste) Ableitung von f an der Stelle x0 .2 Wir schreiben:
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (∆x + x0 ) − f (x0 )
f (∆x)
= lim
= lim
.
∆x→0
∆x→0 ∆x
x − x0
∆x
Eine Funktion, für die der Grenzwert lim∆x→0 f (∆x)
∆x existiert, heißt im Punkt x0 diﬀerenzierbar. Wenn f in x0 also diﬀerenzierbar ist, so ergibt sich eine gute lineare Approximation mit Hilfe der Tangentengleichung. Wegen Gleichung (11.1) und a1 = f ′ (x0 )
erhalten wir:
t(x) = f ′ (x0 ) ·x + f (x0 ) − f ′ (x0 ) ·x0 = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ).
| {z }
a1
| {z }
|
{z
a0
a1
}
11.5.2 Die Berechnung der Ableitung
Es wäre mühsam, die Ableitung jedesmal als Grenzwert des Diﬀerenzenquotienten zu
berechnen, daher stellen wir nur einige wichtige Ableitungen vor. In den vorherigen Abschnitten haben wir einige elementare Funktionen vorgestellt (Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen, ...) und gesehen, dass man diese auch beliebig miteinander
verknüpfen kann. Daher werden wir zunächst die Ableitungen der elementaren Funktionen betrachten und in einem zweiten Schritt Regeln aufstellen, die bei verknüpften
Funktionen / zusammengesetzten Funktionen zu betrachten sind.
2
Diese Ableitung muss aber nicht immer existieren.
103
11
11 Funktionen
Obacht:
Der Schwerpunkt unserer Betrachtungen liegt zwar auf der praktischen Berechnung von Ableitungen. Dies ist aber letztlich (fast) nur für die Klausur
relevant, da das formale Diﬀerenzieren heute von jedem PC mit entsprechender Software durchgeführt werden kann. Wichtiger ist daher das Verständnis dessen, was durch die Ableitung ausgedrückt werden soll. Gerade in der
BWL/VWL – auch wenn ein entsprechendes Beispiel hier fehlt – sollten die
grundlegenden Begriﬀe beherrscht und angewendet werden können!3
Ableitungen der elementaren Funktionen
1.) Konstante Funktionen:
Sei f : IR → IR mit f (x) = c. Dann gilt
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
c−c
= lim
= 0.
x→x0 x − x0
x − x0
Die Ableitung einer Konstanten ist Null !
Bemerkung 11.6:
Dieses Ergebnis ist einsichtig, da der Graph von f eine Parallele zur
x-Achse darstellt, die keine Steigung aufweist.
2.) Potenzfunktionen:
Unter diesem Punkt wollen wir Funktionen der Form f : IR → IR mit f (x) = xn
(n ∈ ZZ) betrachten.
Beispiel 11.22 Sei n = 2, d.h. f : IR → IR mit f (x) = x2 . Für den Grenzwert des
Diﬀerentialquotienten erhalten wir:
f ′ (x) = lim
x→x0
x2 − x20
f (x) − f (x0 )
= lim
x→x0 x − x0
x − x0
=
=
(x − x0 )(x + x0 )
x − x0
lim x + x0
lim
x→x0
x→x0
= 2 · x0 .
Man kann dieses Ergebnis auch verallgemeinern:
Die Ableitung für f (x) = xn lautet: f ′ (x) = n · xn−1 .
Beispiel 11.23
1. Sei f : IR → IR mit f (x) = x5 . Dann lautet f ′ (x) = 5 · x4 .
2. Sei f : IR \ {0} → IR mit f (x) = x12 = x−2 . Dann lautet
f ′ (x) = (−2) · x−2−1 = (−2) · x−3 = − x23 .
Für einen geeignet gewählten Definitionsbereich lässt sich diese Regel auch auf
negative Exponenten anwenden.
3
Für eine ausführliche Diskussion dieser Zusammenhänge siehe Tietze().
104
11.5 Diﬀerentialrechnung
3.) Wurzelfunktionen:
√
√
1
Sei f : IR → IR mit f (x) = n x. In Abschnitt 8.3 haben wir gezeigt, dass n x = x n
ist. Verallgemeinern wir die obige Regel auch auf diese Fall, ergibt sich:
√
1
1
1
Die Ableitung für f (x) = n x = x n lautet: f ′ (x) = n1 · x n −1 = √
n n−1 .
x
√
Beispiel 11.24 Sei n = 3, d.h. f : IR → IR mit f (x) = 3 x. Dann ist wegen
√
1
3
x = x3 :
1
2
1
1
1
1
f ′ (x) = · x 3 −1 = · x− 3 = · √
, x ̸= 0.
3
3
3
3
x2
Das Beispiel zeigt, dass die obige Regel auch in diesem Fall angewendet werden
kann. Wir folgern daher, dass diese für beliebige Exponenten n Gültigkeit besitzt.
4.) Exponentialfunktionen:
Sei f : IR → IR+ mit f (x) = ex . Dann kann man zeigen, dass f ′ (x) = ex unverändert
erhalten bleibt.
Die Ableitung von f (x) = ex lautet: f ′ (x) = ex
5.) Logarithmusfunktionen:
Auch hier verzichten wir auf eine Herleitung: Wenn f : IR+ → IR mit f (x) = ln x
ist, lautet f ′ (x) = x1 . Alle anderen Logarithmen sind mittels der entsprechenden
Rechenregeln auf diesen natürlichen Logarithmus zurückzuführen (vgl. Kap. 9).
Die Ableitung der Funktion f (x) = ln x lautet: f ′ (x) =
1
x
Die obigen Ergebnisse können wir in der folgenden Tabelle zusammenfassen. Zusätzlich
ergänzen wir die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.
Funktion f (x)
f
f
f
f
f
f
f
: IR → IR,
: IR → IR,
: IR → IR+ ,
: IR+ → IR,
: IR → IR,
: IR → IR,
: IR → IR,
f (x) = c
f (x) = xn
f (x) = ex
f (x) = ln x
f (x) = sin(x)
f (x) = cos(x)
f (x) = tan(x)
Ableitung f ′ (x)
f ′ (x) = 0
f ′ (x) = n · xn−1
f ′ (x) = ex
f ′ (x) = x1
f ′ (x) = cos(x)
f ′ (x) = − sin(x)
f ′ (x) = cos12 (x) = 1 + tan2 (x)
11
Weitere Ableitungsregeln
Bis jetzt ist es uns möglich die Ableitung einiger spezieller elementarer Funktionen zu
bilden. Dies ist im allgemeinen jedoch nicht ausreichend, um die Ableitungen beliebiger Funktionen zu bestimmen. Solche lassen sich i.d.R. als Verknüpfungen elementarer
105
11 Funktionen
Funktionen darstellen, d.h. als Summe, Diﬀerenz, Produkt, Quotient oder Verkettung
elementarer Funktionen.
Beispiel 11.25 (Verkettete Funktionen/Kompositionen)
Zur Wiederholung wollen wir kurz den Begriﬀ der verketteten Funktion erläutern:
1.) h : IR → IR, h(x) = sin(x2 + 2).
2.) h : IR → IR+ , h(x) = e
(x−3)
2
.
Sei im ersten Beispiel f (x) = sin(x) und g(x) = x2 + 2, so lässt sich h darstellen als:
h(x) = f (g(x)), d.h. das Argument der Funktion f ist die Funktion g(x). Im zweiten
Beispiel gilt wegen f (x) = ex und g(x) = (x−3)
ebenfalls h(x) = f (g(x)). Diese Wahl ist
2
x
˜
2
nicht zwingend: so würde auch f (x) = e und g̃(x) = x − 3 die Gleichung h(x) = f (g(x))
erfüllen. Eine formale Definition einer verketteten Funktion oder Komposition wird in
der Vorlesung Mathematik II erfolgen.
Neben den verketteten Funktionen gibt es aber auch andere Möglichkeiten Funktionen zu
verknüpfen. Nachfolgend geben wir daher bekannte Ableitungsregeln an, die sich ebenfalls
mit Hilfe des Diﬀerenzenquotienten beweisen ließen. Bezeichnen im folgenden f und g zwei
beliebige, diﬀerenzierbare Funktionen. Dann gelten die folgenden Diﬀerentiationsregeln,
die wir ohne Beweis hier angeben:
1.
Faktorregel:
Für beliebiges c ∈ IR gilt: (c · f (x))′ = c · f ′ (x)
2.
Summenregel:
(f (x) + g(x))′ = f ′ (x) + g ′ (x)
3.
Produktregel:
(f (x) · g(x))′ = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)
(
4.
Quotientenregel:
5.
Kettenregel:
f (x)
g(x)
)′
=
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x)
g(x)2
f (g(x))′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
Bemerkung 11.7:
Der Beweis dieser Regeln erfolgt auch mit Hilfe des Grenzwertes des Diﬀerenzenquotienten.
Zum Abschluß dieses Abschnittes finden Sie zahlreiche Beispiele zu den obigen Regeln:
Beispiel 11.26 (Faktorregel)
1.) f (x) = −13 · x3 ,
106
f ′ (x) = −13 · (3 · x2 ) = −39 · x2 .
11.5 Diﬀerentialrechnung
2.) g(x) = 3 · ex , g ′ (x) = 3ex .
∗
3.) h(x) = ln x4 , h′ (x) = (ln x4 )′ = (4 · ln x)′ = x4 . (∗ vgl. S. 66)
∗
f ′ (x) = (log2 (x))′ =
4.) f (x) = log2 (x),
(
ln x
ln 2
)′
=
1
ln 2
· x1 . (∗ vgl. S. 66)
Beispiel 11.27 (Summenregel)
1.) h(x) = 5x2 + ex ,
2.) g(x) = 10 ·
h′ (x) = 5 · (2 · x) + ex = 10x + ex .
√
5
x + 12 ln x2 ,
1
g ′ (x) = 10 · (x 5 )′ + (ln(x))′
= 2 · x− 5 +
4
=
2
√
5 4
x
1
x
+ x1 .
3.) f (x) = x3 + 4x2 − 71 x + 15, f ′ (x) = 3 · x2 + 4 · 2x −
1
7
· x0 = 3x2 + 8x − 71 .
Beispiel 11.28 (Produktregel)
1.) h(x) = x5 · ex ,
h′ (x) = (x5 )′ · ex + x5 · (ex )′ = 5 · x4 · ex + x5 · ex
= x4 · ex · (5 + x).
2.) g(x) = 5x2 · ln x,
g ′ (x) = (5x2 )′ · ln x + 5x2 · (ln x)′ = 5 · 2x · ln x + 5x2 ·
1
x
= 10x · ln x + 5x
= 5x(2 ln x + 1)
3.) f (x) =
√
x · (x2 − x + 1),
)′
√
√ (
f ′ (x) = ( x)′ · (x2 − x + 1) + x · (x2 − x + 1)
√
1
= 21 · x− 2 · (x2 − x + 1) + x · (2x − 1)
√
√
= 12 · xx )(x2 − x + 1) + x · (2x − 1)
)
√ (1 2
=
x · 2x (x − x + 1) + 2x − 1
)
√ (x 1
1
x · 2 − 2 + 2x
+ 2x − 1
=
√
=
x
2
· (5x +
1
x
− 3).
107
11
11 Funktionen
4.) l(z) = x · z 2 · ez , l′ (z) = (x · z 2 )′ · ez + (xz 2 )(ez )′ = 2xz · ez + xz 2 · ez
= ez · xz(2 + z).
Hierbei ist zu beachten, dass nicht nach x sondern nach z abzuleiten ist!
5.) f (t) = 3t2 · ln t · et = (3t2 · ln t)′ · et + 3t2 · ln t · (et )′
= [(3t2 )′ · ln t + 3t2 · (ln t)′ ] · et + 3t2 · ln t · et
= [6t · ln t + 3t2 · 1t ] · et + 3t2 · ln t · et
= 3t · et · [2 ln t + 1 + t · ln t]
= 3t · et · [1 + ln(t)(2 + t)].
Beispiel 11.29 (Quotientenregel)
1.) f (x) =
x2 +5x−6
x+2 ,
2.) h(x) = tan x =
f ′ (x) =
sin(x)
cos(x) ,
(x2 +5x−6)′ ·(x+2)−(x2 +5x−6)·(x+2)′
(x+2)2
=
(2x+5)·(x+2)−(x2 +5x−6)
(x+2)2
=
2x2 +9x+10−x2 −5x+6
(x+2)2
h′ (x) =
=
x2 +4x+16
.
(x+2)2
[sin(x)]′ ·cos(x)−sin(x)·[cos(x)]′
cos2 (x)
=
=
=
cos2 (x)−[− sin2 (x)]
cos2 (x)
sin2 (x)+cos2 (x)
cos2 (x)
1
.
cos2 (x)
Die Ableitung des Tangens ergibt sich also mit Hilfe der bekannten Beziehung
sin(x)
. Dabei nutzen wir aus, dass für alle x ∈ IR sin2 (x) + cos2 (x) = 1
tan(x) = cos(x)
ist.
3.) g(x) =
ln(x2 )
x ,
g ′ (x) =
(ln(x2 ))′ ·x−ln(x2 )·(x)′
x2
=
=
=
4.) u(z) =
108
az 2 −1
,
bz 2 +1
a, b, ∈ IR, u′ (z) =
(2·ln x)′ ·x−2·ln(x)·1
x2
2· x1 ·x−2 ln(x)
x2
1−ln x
2 · x2 .
(az 2 −1)′ (bz 2 +1)−(az 2 −1)(bz 2 +1)′
(bz 2 +1)2
=
2az·(bz 2 +1)−(az 2 −1)·2bz
(bz 2 +1)2
=
2z·(abz 2 +a−abz 2 +b)
(bz 2 +1)2
=
2z(a+b)
.
(bz 2 +1)2
11.5 Diﬀerentialrechnung
5.) f (x) =
b2
,
ax2 +bx+c
a, b, c ∈ IR,
(ax2 + bx + c) · (b2 )′ − (ax2 + bx + c)′ · b2
(ax2 + bx + c)2
(2ax + b)b2
= −
.
(ax2 + bx + c)2
f ′ (x) =
6.) v(z) =
ln z−z
ez ,
v ′ (z) =
7.) g(x) = cot(x) =
cos(x)
sin(x) ,
(ln z−z)′ ·ez −(ln z−z)·(ez )′
(ez )2
g ′ (x) =
(
)
cos(x) ′
sin(x)
=
( z1 −1)·ez −(ln z−z)·ez
(ez )2
=
1
−1−ln z+z
z
ez
(
=
=
1
tan(x)
−
(
(
)′
=
)
2
1
cos(x)
sin(x) 2
cos(x)
)
.
(1)′ ·tan(x)−1·(tan(x))′
tan2 (x)
= − sin21(x) .
Beispiel 11.30 (Kettenregel)
1.) h(x) = sin(x2 + 2).
Zunächst verdeutlichen wir uns die Verkettung. Hier gilt mit f (x) = sin(x) und
g(x) = x2 +2, dass h(x) = f (g(x)). Dann ist aber f ′ (x) = cos(x) und g ′ (x) = 2x
und somit:
h′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x) = cos(x2 + 2) · 2x.
2.) h(x) = e
x−3
2
.
Hier gilt mit f (x) = ex und g(x) =
und g ′ (x) = 21 folgt:
h′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x) = e
x−3
2
x−3
2 ,
dass h(x) = f (g(x)). Wegen f ′ (x) = ex
· 12 .
3.) h(x) = (sin(x))5 .
Hier lautet f (x) = x5 und g(x) = sin(x), so dass h(x) = f (g(x)). Mit
f ′ (x) = 5 · x4 und g ′ (x) = cos(x) gilt:
h′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x) = 5 · (sin(x))4 · cos(x) = 5 sin4 (x) · cos(x).
Im folgenden verzichten wir auf die Angabe der Verkettung und bestimmen die Ableitung
jeweils direkt:
4.) g(s) =
√
s2 − 1,
[
1
g ′ (s) = (s2 − 1) 2
]′
[
]
· (s2 − 1)− 2 · [(s2 − 1)]′
=
1
2
=
√1
2· s2 −1
1
· 2s =
√ s
.
s2 −1
109
11
11 Funktionen
(
5.) h(x) =
x2
1+x
)3
h′ (x) = 3
,
(
x2
1+x
)2 (
·
x2
1+x
)′
(
= 3
(
= 3
x2
1+x
x2
1+x
)2
)2
4
x
= 3 (1+x)
2 ·
(x2 )′ ·(1+x)−x2 ·(1+x)′
(1+x)2
·
2x(1+x)−x2
(1+x)2
2x+2x2 −x2
(1+x)2
5
(x+2)
= 3 x(1+x)
4 .
6.) f (z) = (ln(z 2 + 1))3 , f ′ (z) = 3 · (ln(z 2 + 1))2 · [ln(z 2 + 1)]′
= 3 · (ln(z 2 + 1))2 ·
2
1
z 2 +1
2
+1))
= 3 (ln(zz 2 +1
· 2z = 6z ·
[
7.) u(z) = 5 · cos3 (2z), u′ (z) = 5 · (cos(2z))3
]′
· (z 2 + 1)′
(ln(z 2 +1))2
.
z 2 +1
[
]
= 5 · 3 · (cos(2z))2 · [cos(2z)]′
= 15 · cos2 (2z) · (− sin(2z)) · 2
= −30 · cos2 (2z) · sin(2z).
Natürlich lassen sich diese Regeln auch noch beliebig kombinieren, wie die nachfolgenden
Beispiele zeigen.
Beispiel 11.31 (Diﬀerentiation beliebiger Funktionen)
(
1.) f (x) = x
x2
1+x
)3
,
f ′ (x)
= 1·
(
2.) h(z) = 5 · sin4 (z) · cos(z),
(
x2
1+x
)3
=
x2
1+x
=
x6
(1+x)3
)3
[(
+x
x2
1+x
)3 ] ′
5
(x+2)
+ x · 3 x(1+x)
4 (vgl. 5.) in Beispiel 11.30)
[
· 1+
3(x+2)
1+x
]
=
x6 (7+4x)
.
(1+x)4
{
h′ (z) = 5 · [sin4 (z)]′ · cos(z) + sin4 (z) · [cos(z)]′
{
= 5 · 4 sin3 (z) · sin(z)′ · cos(z)
}
+ sin4 (z) · [− sin(z)]
[
]
= 5 · sin3 (z) · 4 cos2 (z) − sin2 (z)
[
]
= 5 · sin3 (z) · 4 − 5 sin2 z .
3.) g(x) =
√
5
x6
x .
Hier existieren zwei Lösungsmöglichkeiten:
110
}
11.5 Diﬀerentialrechnung
a) g ′ (x) =
√
√
( 5 x6 )′ ·x− 5 x6 ·(x)′
x2
=
=
=
1
√
((x6 ) 5 )′ ·x− 5 x6
x2
4
√
1
·(x6 )− 5 ·(x6 )′ ·x− 5 x6
5
x2
4
√
1
·(x6 )− 5 ·6x5 ·x− 5 x6
5
x2
=
4
1
6
·(x6 )− 5 ·x6 −(x6 ) 5
5
x2
=
1
1
6
·(x6 ) 5 −(x6 ) 5
5
x2
1
(x6 ) 5
x2
=
1
5
·
√
5
x, und somit g ′ (x) =
1
5
· x− 5 =
1
5
=
√
5
x6
x10
=
1
5
·
√
5
1
x4
Erheblich leichter ist:
b) g(x) =
4.) f (x) =
√
5 6
x
x
√
ln x
,
x2 −1
√
=
5
x6
x5
=
f ′ (x) =
=
=
4
1
5
·
√
5
1
.
x4
√
√
( ln x)′ ·(x2 −1)− ln x·(x2 −1)′
(x2 −1)2
√
−1
1
·(ln x) 2 ·(ln x)′ ·(x2 −1)− ln x·2x
2
(x2 −1)2
√
2
x√−1
− ln x·2x
x2√
−1−4x2 ln x
2x ln x
= 2x·
.
(x2 −1)2
ln x·(x2 −1)2
Aufgaben zu Abschnitt 11
1. Zeichnen Sie die folgenden Funktionen und bestimmen Sie den Definitionsbereich:
a.) f (x) = e2·ln x
b.) f (z) = zz−1
2 −4
1
c.) f (a) = a2 − 1 + (a−1)
2
d.) f (y) = sin(e−y )
2. Gegeben sei p(b) = 3b5 − 4b4 + 2b2 − 7b − 16. Berechnen Sie mit Hilfe des HornerSchemas:
a.) p(2)
b.) p(−2)
c.) p(3)
d.) p(−1)
3. Zerlegen Sie in Faktoren:
a.)
b.)
c.)
d.)
x2 + 7x + 12
m2 + 5m + 6
y 2 + 5y − 6
r2 − 5r − 6
e.)
f.)
g.)
h.)
c2 − 5c + 6
x2 − 5xy + 6y 2
a2 + 13a + 40
b2 + 10b + 9
i.)
k.)
l.)
m.)
w2 + w − 56
s2 − 9s + 18
p2 − 7pq + 12q 2
2x2 − 24x + 72
111
11
11 Funktionen
4. Berechnen Sie mittels Polynomdivision:
a.)
b.)
c.)
d.)
(a3 − 1) : (a − 1)
(12a2 + ab + 16a − 6b2 + 12b) : (3a − 2b + 4)
(n3 + n2 m + nm2 + m3 ) : (n2 + m2 )
(6u2 − uv − 14v 2 ) : (3u + 4v)
5. Zerlegen Sie die folgenden Polynome weitestgehend in ein Produkt:
a.) y 4 − 3y 3 + y 2 + 3y − 2 = 0
b.) v 5 + 8v 4 + 24v 3 + 34v 2 + 23v + 6 = 0
c.) g 3 − 3g 2 − 10g + 24 = 0
d.) k 4 + 7k 3 + 17k 2 + 17k + 6 = 0
e.) a3 − 6a2 + 11a − 12 = 0
6. Geben Sie zu den folgenden Funktionen den Definitionsbereich und alle Nullstellen
an:
b.)
x3 − 6x2 − 9x + 14
x3 + x2 − 4x − 4
f (x) = ln(x2 − 1)
c.)
f (x) = e− x2 − 1
3x2 + 7x − 2
x2 + x − 2
f.) f (x) = 2 · e−2x − e2x
a.) f (x) =
e.)
1
f (x) = x + 4 −
g.) f (x) = ln(x − 2) + ln(x + 1)
√
h.) f (x) = 3 3 − x2
d.) f (x) = e−x · ln x · (x2 + 16x − 297)
7. Diﬀerenzieren Sie die folgenden Funktionen mit Hilfe der Produktregel und der
Summenregel:
a.)
b.)
c.)
d.)
a(x) = cos(x) + sin(x)
b(x) = x3 + 5 sin(x)
c(x) = x sin(x) + cos(x)
d(x) = 4x3 sin(x)
e.)
f.)
g.)
h.)
e(x) = 3 sin(x) cos(x)
f (x) = 5 ln x − x cos(x)
g(x) = (ln x)2
2
2
h(x) = x 2ln x − x4
8. Diﬀerenzieren Sie die folgenden Funktionen mit Hilfe der Quotientenregel:
2x + 1
3x + 2
ln x
b(x) = 2
x
a.) a(x) =
c.)
c(x) =
b.)
d.) d(x) =
ln x
x
x2
1
+ 3x5
5 tan(x)
x3
8
f.) f (x) = 8
x
e.) e(x) =
9. Bestimmen Sie von den folgenden verketten Funktionen h(x) = f (g(x)) die elementaren Funktionen f (x) und g(x). Diﬀerenzieren Sie anschließend die Funktionen mit
Hilfe der Kettenregel:
a.) h(x) = cos(x2 )
b.) h(x) = (cos(x))3
c.) h(x) = 3 + (ln x)2
112
d.) h(x) = sin(1 + ln x)
e.) h(x) = sin3 (5x)
f.) h(x) = ln(cos(5x))
g.) h(x) = (1 + sin(x))10
h.) h(x) = log(sin(3x))
11.5 Diﬀerentialrechnung
10. Diﬀerenzieren Sie die folgenden Funktionen:
a.) a(x) = (2x3 − 2x + 5)4
b.)
b(x) =
c.)
c(x) =
d.) d(x) =
sin(3x)
(x2 +1)5
x
5
ln(3x + 5)
3 −(
9√
)
1
√2x+3−3
ln
3
2x+3+3
e.)
e(x) = 6x2 + 3x − 1
f.) f (x) =
g.) g(x) =
sin2 (x)
cos(x)
√
i.) i(x) =
1
2a
a+x
ln( a−x
)
2
j.) j(x) = − 2ax+b
sin(x)
2
h.) h(x) = (ex )3
11
113
12 Lösungen
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 1
Aufgabe 1.)
A = Menge aller geraden natürlichen Zahlen
B = {12 , 22 , 32 , 42 , . . .} =Menge aller Quadrate von natürlichen Zahlen
C = {21 , 22 , 23 , . . .} = Menge aller Zweierpotenzen mit natürlichem Exponenten
Aufgabe 2.)
a) richtig, da :
4
3
= 86 ;
9
4
b) falsch, da zwar
c) falsch, da z.B.
4
3
8 = 23 ;
32
22 ;
2
√2
( 3)2
=
=
Aufgabe 3.)
a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, a, b, p, q}
b) {}
c) A
9
4
√
=
152
162
= 225
256 ;
√
und 3 ̸∈ IN
81
52 = 25; 11
16 ;
4 = 2, 75
√
√
( 2·5)2
50
√
= 72 aber 2 · 5 ̸∈
( 2·6)2
d) {1, 3}
e) {2, 4}
f) {6, b, p}
IN
g) {5, a, q}
h) {}
i) C
Aufgabe 4.)
a) {11, 13, 15, 17, 19}
b) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
c) {12, 14, 16, 18, 20}
d) {11, 13, 15, 17, 19}
e) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
f) {2, 4, 6, 8, 10}
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 3
Aufgabe 1.)
f) p−q
a) 83
r+t
4a
b) 3b
g) 2a
3b
h) (−1)
c) 4s
i) − pq
d) 3a
5b
10y
e) 13x
k) − 23
l) (g + 2)
m) (a + 6)−1
n) y−6
y−1
o) (u + 4)
p) (k − 6)
q) (−1)(x + 9)
r) 4v−9u
3uv
s) yz
t) 23
3
rs3
u) 9m
23n3 t4
L
115
12 Lösungen
Aufgabe 2.)
a) 15
b) 33
x
c) x
d) f
f) 3a
5
g) (−2)
h) a6
i) 3a+b
4
l) 35x−43g
33
2
2
m) a +abz+b
ab
n) 3
a2 +b2
o) (a+b)(a−b)
e) 1
x
k) − 30
p)
Aufgabe 3.)
a) 34
b) 20
3
c) xw
yv
f)
g)
h)
d)
r
t
i)
e)
(−1)
k)
48c3 −40bc+27b3 −42a2 c
72ab2 c2
27x
20z
xy
z2
l)
m)
n)
1
16
45
y2
b2
o)
p)
1
r2
3
112b
1
rt
s2
2y
cx
Aufgabe 4.)
a) 2
b
b) 175a
32b + 14 a
c)
d)
b4 −a4
ab
x2 +y 2 −z 2 −2xy
xy(x−y+z)
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 4
Aufgabe 1.)
a) 96x2 + 92xy + 21y 2
b) 6px + 10qx + 12py + 20qy
c) 12gh + 10g + 6h + 5
d) 20a3 + 31a2 + 12a
e) 14c4 + 48c2 f 2 + 18f 4
f) 0, 12gk + 0, 06k + 0, 06g + 0, 03
g) 3f 3 + 2f 2 v − v 2 f
h) −2a3 − 3a2 + 2a
i) 16c2 − 16c − 12
Aufgabe 2.)
a) (a + b)(p2 − q 2 )
b) (3x − 5y)(4 − a2 )
c) (2m + 3u)(9v 2 − 4w2 ) · 5
d) (9e2 − 4)(c2 − d2 )
e) (3a2 − 4b2 )(6a3 + 5a2 b)
f) (x3 − y 3 )(b − c)
g) 2(w3 − 8)(5g − 3h)
Aufgabe 3.)
a) 106x − 18a
b) u + w
116
k) 8, 06abx2 − 4, 03bx2 − 2, 08ax2 + 1, 04x2
l) −12m2 − 26mn − 12n2
m) x3 + 6x2 + 11x + 6
n) 3p2 x + 10pqx − 8q 2 x − 3p2 y − 10pqy + 8q 2 y
o) −15ax2 − 5axy + 10ay 2 − 30bx2 − 10bxy + 20by 2
p) 5f t + f h − ot + oh
q) 11au + 11av − 9bu − 9bv
r) 7ac − 7ad + bc − bd
s) 5ms + 5mr + 4ns + 4nr
h) (8a3 + 27b3 )(4a2 + b2 )
i) (27m3 − 8)(8x3 + y 3 )
k) (l3 − 4lf 2 )(375w3 − 24o3 )
l) (l − y)(w2 − 4i(w − i))
m) (m2 − u2 )(3p + 4q)2
n) 8(a3 + b3 )(25b2 − 20bc + 4c2 )
o) (p2 + 4q 2 )(9r2 − 6rs + 4s2 )
c) a2 − 3ax
d) 14r − 4m
e) 80x − 52z − 35
f) 3a + 1, 9x − 1, 2b
g) −5u
h) −14i + 16j − 2k − 40
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 5
Aufgabe 1.)
a) e = 3
b) x = 5
c) a = 10
d) z = 1
e) x = 2
f) z = 3
g) f = 32
h) x = 11
5
i) q = 23
k) v = 5
l) l = −1
m)j = −2
n) m = 5
o) u = 32
Aufgabe 2.)
a)
b)
c)
d)
e=2
x = − 52
a = −1
z = 15
2
e) b = 4
f) gilt für alle g ∈ IR
g) k = 10
h) c = 2
i) y = −2
n) x = − 17
5
k) r = 0
o) h = 18
l) s = 3
m)die Gleichung besitzt keine Lösung in IR
Aufgabe 3.)
a)
b)
c)
d)
c = 34
f = −6
k = 13
3
n=6
e)
f)
g)
h)
x=7
y = 12
q = 11
p = 1, 7
i) v = 9
k) r = 2
l) t = −1
m)w = 8
n) keine Lösung
4
o) z = 21
Aufgabe 4.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
u = 12 ,
z = 5,
t = − 53 ,
a = 3,
c = 4,
g = 8,
h = −4,
w = 3,
v = 12,
f = 25 ,
ID = IR \ {−2}
ID = IR \ {−7; −11}
ID = IR \ {3}
ID = IR \ { 53 }
ID = IR \ {0; − 12 }
ID = IR \ { 23 ; −3}
ID = IR
ID = IR
ID = IR \ {−24}
ID = IR \ {0; − 52 }
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
x = 2, 08,
y = 9,
p = 36,
o = − 14 ,
q = −3,
e = 15,
i = 5,
keine Lösung,
l = 75 ,
m = 4,
8
ID = IR \ {− 54 ; 35
}
ID = IR \ {5; ±3}
ID = IR \ {0; −12; 9}
ID = IR \ {−1; 0}
ID = IR \ {±2}
ID = IR \ {7; 13}
ID = IR \ {− 32 ; 43 }
ID = {0; ± 12 }
ID = IR \ {±1}
ID = IR \ {0, 2, 3}
L
117
12 Lösungen
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 6
Aufgabe 1.)
a)
-3
-2
-1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
3
4
b)
1
4
c)
-2
-1
0
3
4
Entspricht {x ∈ IR|x ∈ [2, 5; 3, 5]}
5
e)
1
2
3
4
Entspricht: {}
Entspricht {x ∈ IR|x ∈ (−1, 5; −1)}
1
d)
2
Entspricht {x|x ∈ (−3; 4)}
Entspricht {x ∈ IR|x ∈ (1, 5; 3])}
5
Aufgabe 2.)
a)
b)
c)
d)
e)
IL = {b ∈ IR| b ∈ (−∞; 5)}
IL = {q ∈ IR| q ∈ (4; +∞)}
IL = {p ∈ IR| p ∈ (−∞; − 25 ]}
IL = {r ∈ IR| r ∈ [− 25 ; +∞)}
IL = {t ∈ IR| t ∈ (−∞; 3)}
l)
IL1 = {d ∈ IR|d < −2}
m)
n)
o)
IL1 = {r ∈ IR|r > 2}
IL1 = {x ∈ IR|x ≤ −a}
IL1 = {x ∈ IR|x ≤ (3a − 2b)}
⇒ 1. Fall: a ≥ b
2. Fall: a < b
f)
g)
h)
i)
k)
IL = {z ∈ IR| z ∈ (− 31 ; +∞)}
IL = {a ∈ IR| a ∈ [− 20
3 ; ∞)}
IL = {x ∈ IR| x ∈ ( 13
14 ; +∞)}
IL = {x ∈ IR| x ∈ (−∞; b − a)}
IL = {x ∈ IR|x ∈ [− 13
5 ; ∞)}
und IL2 = {d ∈ IR|d > −5}
⇒ ILges = {d ∈ IR|d ∈ (−5; −2)}
und IL2 = {r ∈ IR|r < 1}
⇒ ILges = Ø
und IL2 = {x ∈ IR|x ≥ −a} ⇒ ILges = {−a}
und IL2 = {x ∈ IR|x ≤ a}
⇒ ILges = {x ∈ IR|x ∈ (−∞; a]}
⇒ ILges = {x ∈ IR|x ∈ (−∞; (3a − 2b)]}
Aufgabe 3.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
l)
m)
ID = IR \ {0},
ID = IR \ {0},
ID = IR \ {−1},
ID = IR \ {4},
ID = IR \ {− 52 },
ID = IR \ {−9; 92 },
ID = IR \ { 85 },
ID = IR,
ID = IR,
ID = IR \ {− 72 ; 52 },
ID = IR \ {− 21 ; 17
3 },
ID = IR,
IL = {x ∈ IR|x ∈ (0; 1)}
IL = {y ∈ IR|y ∈ IR \ (0; 1]}
IL = {v ∈ IR|v ∈ (−1; − 12 ]}
IL = {a ∈ IR|a ∈ (−6; 4)}
IL = {b ∈ IR|b ∈ (− 52 ; − 17
8 ]}
IL = {x ∈ IR|x ∈ (−9; 92 ) ∨ x ∈ [ 873
5 ; ∞)}
IL = {c ∈ IR|c ∈ ( 85 ; 3)}
IL = {z ∈ IR \ {0}|z ∈ (−2; ∞)}
IL = {x ∈ IR|x ∈ (−∞; − 12 )}
IL = {d ∈ IR|d ∈ (− 72 ; 25 ) ∨ d ∈ [10; ∞)}
IL = {x ∈ IR|x ∈ (− 12 ; 5] ∨ x ∈ ( 17
3 ; ∞)}
IL = {r ∈ IR|r ∈ (−∞; 1)}
Aufgabe 4.)
a)
b)
118
7 3
{ 24
; 8}
{− 32 ; 52 }
d)
e)
{ 14 }
{− 19
3 ; −2}
g)
h)
4 14
{ −2
11 ; 0; 5 ; 15 }
3
{2}
k)
l)
{− 25 a; 23 a}
Nur lösbar für a = 0 bzw. a = 2.
c)
{−8; − 27 }
8
{− 43 ; − 19
}
f)
{[−a; a]}
i)
a = 0 ⇒ q ∈ IR+
a = 2 ⇒ q ∈ IR−
Aufgabe 5.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
l)
{a ∈ IR|a ∈ (−3; 3)}
{p ∈ IR|p ∈ IR \ [−1; 5]}
{x ∈ IR|x ∈ ( 13 ; 29
15 )}
{m ∈ IR|m ∈ IR \ [− 72 ; 2]}
{l ∈ IR|l ∈ [3; 7]}
{o ∈ IR|o ∈ [−4; 1]}
{h ∈ IR|h ∈ [ 10
3 ; 10]}
{k ∈ IR|k ∈ IR \ [− 65 ; 14]}
{x ∈ IR|x ∈ (− 13 ; 13 )}
{t ∈ IR|t ∈ (− 14
3 ; −2) ∧ t ̸= −3}
{q ∈ IR|q ∈ (+ 31 ; 5)}
{z ∈ IR|z ∈ IR− ∨ (z ∈ IR+ ∧ |a| < 1)}
9 5
{d ∈ IR|d ∈ ( 10
; 2 ), d ̸= 23 }
62
5
{b ∈ IR|b ∈ (− 45 ; − 58
51 ), b ̸= − 4 }
2
{r ∈ IR|r ∈ IR \ [− 5 ; 2]}
{x ∈ IR|x ∈ (−∞; −5) ∪ [− 13 ; 9]}
7
{g ∈ IR|g ∈ [ 12
11 ; 16], x ̸= 3 }
{y ∈ IR|y ∈ (a; ∞)}
{y ∈ IR|y ∈ (a; 0)}
{a ∈ IR|a ∈ (−∞; −6)}
{f ∈ IR|f ∈ [ 73 ; 3)}
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 7
Aufgabe 1.)
a)
b)
c)
d)
IL = {−3; 3}
IL = {−5; 5}
IL = {− 23 ; 23 }
IL = {− 43 ; 34 }
k)
l)
m)
n)
IL = {−9; 9}
IL = {− 23 ; 32 }
IL = {−2; 2}
IL = {0}
e)
IL = {− 32 ; 32 }
o)
IL = {}
f)
g)
h)
i)
IL = {−8; 8}
IL = {−7; 7}
IL = {− 23 ; 32 }
IL = {−12, 96; 12, 96}
p)
q)
r)
s)
IL = {x ∈ IR|x ∈ (−3; 3)}
IL = {x ∈ IR \ (−3; 3)}
IL = {z ∈ IR}
IL = {}
Aufgabe 2.)
a)
b)
c)
IL = {0; 8}
IL = {0; −3}
IL = {}
e)
f)
g)
d)
IL = {−4}
h)
IL = {4}
IL = {2; 3}
IL = {} √
IL = {±
11
2
i)
k)
l)
t) IL = {y ∈ IR \ (−2; 2)}
√ √
u) IL = {z ∈ IR|z ∈ (− 4 2; 4 2)}
v) IL = {x ∈ IR \ [−4; 4]}
w) IL = {y ∈ IR|y (∈ (−6; 6)} )
√
x)
y)
z)
√
IL = {± 5 − 4}
IL = {− 23 ; 56 }
IL = { 15 ; 35 }
√
IL = {z ∈ IR \ − 215 ; 215 }
(
)
IL = {t ∈ IR \ − 45 ; 45 }
IL = {u ∈ IR|u ∈ [−5; 5]}
m)
n)
o)
IL = {0; 1}
IL = {−1; 3}
IL = {−9; 2}
− 3}
Aufgabe 3.)
a)
b)
c)
IL = {−5; −1}
IL = {−9; 1}
IL = {− 23 ; 2}
d)
e)
IL = {− 72 ; 6} f)
IL = {−3; 16} g)
9
1
IL = {− 10
; 10
}
7
IL = {− 2 ; −1}
h)
i)
IL = { 53 ; 2}
IL = {−4; 5}
Aufgabe 4.)
a)
b)
x2 − 7x + 10 = 0
x2 − 7x = 0
c)
d)
x2 + 7x + 10 = 0
3
x − 17 = 0
x2 − 14
e)
f)
x2 + 43 x + 94 = 0
x2 − 6 = 0
119
L
12 Lösungen
Aufgabe 5.)
(
a)
geht nicht
c)
b)
(x + 5)(x − 2)
d)
(
z−
y−
)(
)
√
√
7+ 109
7− 109
z
−
6
6
√ )(
√ )
1+ 3
1− 3
y
−
2
2
Aufgabe 6.)
IL = {−1; 9}
b) ID = IR \ {2},
c) ID = IR+ ,
d) ID = IR+ ,
e)
f)
g) ID = {x ∈ IR|x ≤ 14 },
h) ID = IR \ {0; 2},
i) ID = IR \ {−7; 3},
k)
l)
(
IL = {− 47 ± 425
4 }
IL = {1}
IL = {16}
IL = {±2; ±3}
IL = {±2; ±5}
IL = {−30; −42}
IL = { 23 ; 3}
IL = {10}
√
IL = {± 2; ±3}
IL =) {±3; ±7}
√
61+1
;
6
√
61−1
6
geht nicht
f)
2(r + 2)(r − 1)
[ √
]
√
721−9
n) ID = IR \ − 721+9
;
, IL = {}
16
16
a) ID = IR \ {8},
m)ID = IR \ −
e)
√
, IL = {27}
o) ID = IR \ {−5; − 12 },
p) ID = IR \ {−2; 1},
q) ID = {x ∈ IR|x ≥ 5},
r) ID = IR \ { 23 },
s)
t) ID = {x ∈ IR|x ≥ 3},
u) ID = IR \ {−8; 0},
v)
w) ID = IR \ (−∞; −5),
x) ID = IR \ {−1; 32 },
IL = {−4; 13}
IL = {− 32 ; 3}
IL = {9} √
√
IL = { 23 √
− 5;√23 + 5}
IL = {± 2; ± 3}
IL = {}
8
IL = {−7;
}
√ 7
2
IL = {± 2 }
IL = {4}
IL = {1}
y) ID = IR \ {− 32 ; 41 },
IL = {2; 25 }
Aufgabe 7.)
a)
b)
c)
d)
e)
IL = IR \ [−5; 3]
IL = IR \ [− 52 ; 35 ]
IL = [1; 3]
IL = (3; 4)
IL = IR \ (−1; 3)
f)
g)
h)
i)
k)
IL = IR \ [−4; −2]
IL = (−3; 7)
IL = IR \ { 32 }
IL = [−4; 1]
IL = [−2; 5]
l) IL = IR \ [ 35 ; 2]
m)IL = IR \ (− 52 ; − 58 )
n) IL = {}
o) IL = {−2}
p) IL = IR \ [− 32 ; 3]
Aufgabe 8.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
ID = IR \ { 32 ; 2},
ID = IR \ {− 25 },
ID = IR \ {2},
ID = IR \ {−1},
IL = {( 32√; 13
) ∪ (2; 92 )}
8√
IL = [− 2; 2]√
√
√
√
IL = IR \ {[1 − 17; 1 − 15] ∪ [1 + 15; 1 + 17]}
2
IL = (− 11
2 ; −5)
IL = ID \ [−4; 45 ]
IL = {x ∈ ID|x ∈ (−∞; −3) ∨ x ∈ (−1; 1)}
IL = {}
IL = {− 34 ; 0;√5}
√
IL = {−2 − 233 ; −2 + 233 }
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 8
Aufgabe 1.)
a)
x9
(a·y 6 )2
3
b) 6 = 216
120
c) 5((2c)3 · a5 · b2 )−1
d) 3, 4x −
8,5
x
+
6,8
x2
+
e) b
10,2
x3
f)
3·
( y )8
x
g) 6ab2
h) (6v 2 · u4 )−1
Aufgabe 2.)
a)
1
9
b)
1
54
c)
− 18
=
1
625
d) 3−6
g) x−4
e)
1
h) 14
f)
10−5
i)
Aufgabe 3.)
√
a) 6 32
√
x
b)
√
c)
c
√
d) 6 x5 · y
x−5
e)
√
3 4
c
√
6
f)
Aufgabe 4.)
a) ±5
b) 0, 4
c) 0, 1
d) − 12
e) 23
f) −0, 3
( )2
k) 4 · ab
xk−2l · (y 3 )1−n
l)
(a + b)2
g)
h)
i)
g)
b3
a2
h)
√
b·f
a3 · b · c2 ·
d2 · e · f√ e · c2
z2 · n x · y
3
z
y ·x
√
3
1
10) ≃ 0, 0515
3 (2 − √
3
1
·
(1
−
4
√ 4) ≃ −0, 1469
1
2) ⇒ x1 ≃ 0, 4828;
5 (1 ±
x2 ≃ −0, 0828
Aufgabe 5.)
a) a2
b) (2b − 3c)
c) p2
n
n
d) g +q
g
e) 1 − c
m
+7
f) yym −7
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 9
Aufgabe 1.)
a) 2
b) 2
c) 6
d) −4
e) −2
f) −1
g) 32
h) − 12
i) 1, 72972
k) 1, 68261
l) − 21
m) 1
Aufgabe 2.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
log x + log y − log z
−5 · log a
− 13 · log b
log 6 + log a − 2 log x
− 12 · log u
log 5 + 2 log a + log x − (log 7 + log b + 2 log y)
log 2 + log u + 12 log w − 4 log v
4 log a − 6 log b
1
2 (log 2 + 3 log a + log b)
5
3
2 log a − 2 log x
log u
6
log 2 + log a
5 · log x
1
2 (log 2 + 3 log u + 2 log w − (log 5 + 2 log u + 5 log v))
log 3 + log x + 4 log y + 12 log z − 13 (log 2 + 2 log a + log b)
L
121
12 Lösungen
Aufgabe 3.)
( )
1
a) log xy
)
(
2
2x
b) log
a2
(
√
c) log( 5a)
(√
)
u·w
d) log
v2
3√
e) log
x2 · y
(
)
x−y
f) log
x2
)3
(
)
√
a
g) log √
3
2
( a − xn )
a(a
+ x)
√
h) log
n
a−x
Aufgabe 4.)
a) log5 2 ≃ 0, 43068
7
b) 10
c) log
(0, 85) ≃ −0, 10805
√ 4,5
1000−4
d)
≃ 4, 6038
6
e) u1 = 12 ; u2 = 2
1
f) 5− log 2 ≃ 4, 7651 · 10−3
g) 1; die negative Lösung entfällt!
h) 100
log 5
i) log
19,6 ≃ 0, 5409
k) 1
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 10
Aufgabe 1.)
a)
10
∑
2i
b)
i=1
12
∑
j=4
1
j
c)
6
∑
(3i)2
d)
i=1
10 (
∑
i=1
Aufgabe 2.)
a) k = 8, l = 17
b.) k = 0, l = 3
Aufgabe 3.)
a)
e)
i)
39
178
95
b)
f)
k)
45
39
20 380
0
c)
g)
355
3 11
20
d)
h)
110
−325
Aufgabe 4.)
a)
5 ∑
3
∑
(ij)
b)
i=2 j=1
2 ∑
10
∑
(i2 j 2 )
i=1 j=5
Aufgabe 5.)
a) 360
b) 670
Aufgabe 6.)
a)
6
∏
(2i)
b)
i=2
8
∏
(2i − 1)2
c)
i=1
5
∏
(−1)i
i=1
Aufgabe 7.)
a)
1
10
b) 101
c) 0
d) -32768
Aufgabe 8.)
a) 45
122
b) 4368
c) 226800
d) 640
1
i
)
2i − 1
Aufgabe 9.)
(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5 a4 b + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a b4 + b5
Aufgabe 10.)
n = 8:
n = 9:
1
1
8
9
28
36
56
84
70 56 28 8 1
126 126 84 36
9
1
Lösungen zu den Aufgaben aus Abschnitt 11
Aufgabe 1.)
a)
b)
100
15
80
10
60
5
40
−3
−2
20
−1
−5
1
2
3
−10
2
4
6
8
10
−15
ID = IR \ {−2, 2}
ID = IR+
c)
d)
15
12.5
10
7.5
5
2.5
−4 −2−2.5
−5
1
0.5
−3
2
4
6
8
10
−2
−1
1
2
3
−0.5
−1
ID = IR \ {1}
L
ID = IR
Aufgabe 2.)
123
12 Lösungen
a)
10
b) −154
d) −14
c) 386
Aufgabe 3.)
a) (x + 3)(x + 4)
b) (m + 2)(m + 3)
c) (y − 1)(y + 6)
d) (r + 1)(r − 6)
e) (c − 2)(c − 3)
f) (x − 2y)(x − 3y)
g) (a + 5)(a + 8)
h) (b + 1)(b + 9)
i) (w − 7)(w + 8)
k) (s − 3)(s − 6)
l) (p − 4q)(p − 3q)
m) 2(x − 6)2
Aufgabe 4.)
a) (a2 + a + 1) · (a − 1) = a3 − 1
b) (3a − 2b + 4) · (4a + 3b) = 12a2 + ab + 16a − 6b2 + 12b
c) (n2 + m2 ) · (n + m) = n3 + n2 m + nm2 + m3
d) (2u − 3v) · (3u + 4v) − |{z}
2v 2 = 6u2 − uv − 14v 2
Rest
Aufgabe 5.)
a) (y − 2)(y + 1)(y − 1)2 = 0
b) (v + 1)3 (v + 2)(v + 3) = 0
c) (g + 3)(g − 4)(g − 2) = 0
d) (k + 1)2 (k + 3)(k + 2) = 0
e) (a2 − 2a + 3)(a − 4) = 0
Aufgabe 6.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
ID = IR \ {−2, −1, 2},
ID = IR \ [−1, 1],
ID = IR \ {0},
ID = IR+ ,
ID = IR \ {1, −2},
ID = IR,
ID = {x ∈ IR|x > 2},
ID = IR,
Nullstellen:
Nullstellen:
keine Nullstelle
Nullstellen:
Nullstellen:
Nullstelle:
Nullstelle:
Nullstellen:
x1 = 1,√
x2 = 7 √
x1 = − 2, x2 = 2
x1 = 1, x2 = 11
x1 = −1, x2 = 2, x3 = −3
x = ln42√
x = 1+2√13
√
x1 = − 3, x2 = 3
Aufgabe 7.)
a)
b)
c)
− sin(x) + cos(x)
3x2 + 5 cos(x)
x cos(x)
d) 12x2 sin(x) + 4x3 cos(x)
e) 3 cos2 (x) − 3 sin2 (x) = 6 cos2 (x) − 3
f) x5 − cos(x) + sin(x) · x
x
g) 2 ln
x
h) x ln x
Aufgabe 8.)
a)
b)
1
(3x+2)2
1−2 ln x
x3
c)
d)
(1−ln x)
x2
(−2x−15x4 )
(x2 +3x5 )2
1
2 (x) x−3 tan(x)
x4
e)
5 cos
f)
− x649
= 5 (1+tan
Aufgabe 9.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
124
f (x) = cos(x), g(x) = x2 ,
f (x) = x3 , g(x) = cos(x),
f (x) = 3 + x2 , g(x) = ln(x),
f (x) = sin(x), g(x) = 1 + ln(x),
f (x) = x3 , g(x) = sin(v), v = 5x,
f (x) = ln(x), g(x) = cos(5x),
f (x) = x10 , g(x) = 1 + sin(x),
f (x) = log(x), g(x) = sin(3x),
h′ (x) = − sin(x2 ) · 2x
h′ (x) = 3(cos(x)2 · (− sin(x))
h′ (x) = 2 ln(x) · x1
h′ (x) = cos(1 + ln(x)) · x1
h′ (x) = 15(sin(5x))2 · cos(5x)
5
h′ (x) = cos(5x)
· (− sin(5x)) = −5 tan(5x)
′
h (x) = 10(1 + sin(x))9 · cos(x)
h′ (x) = 3 cot(3x)
ln 10
2
(x))x−3 tan(x)
x4
Aufgabe 10.)
a)
b)
c)
d)
8(2x3 − 2x + 5)3 (3x2 − 1)
e)
12x + 3
3(x +1) cos(3x)−10x sin(3x)
(x2 +1)6
x
3x+5
f)
sin(x)(1 +
cos(x)
√
1
√
(x−3)( 2x+3)
h) 6xe3x
2
g)
2
i)
1
cos2 (x) )
j)
1
a2 −x2
4a
(2ax+bx)2
sin(x)
2
L
125
Literaturverzeichnis
[1] Bewert, Fritz; Brunewitz, Willy; Schmidt, Ronald–Ulrich: Lehr– und Übungsbuch
Mathematik, 18. Aufl., Thun, Frankfurt/Main 1985.
[2] Bosch, Karl: Brückenkurs Mathematik, 2. Aufl., München, Wien 1989,
(ISBN 978-3-486-58410-3).
[3] Breitung, Karl Filip Pavel: Einführung in die Mathematik für Ökonomen, München,
Wien 1989.
[4] Pfuﬀ, Franz: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Braunschweig/Wiesbaden
1980.
[5] Purkert, Walter: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 1. Aufl.,
Stuttgart, Leipzig 1995.
[6] Simon, Hans; Stahl, Kurt; Grabowski, Helmut: Taschenbuch der Schulmathematik,
1. Aufl., Thun 1980.
[7] Tietze, Jürgen: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, Braunschweig/Wiesbaden 1995.
127

Vorkurs Mathematik 2015 - Helmut-Schmidt

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