A14. Aufgaben: Potenzgesetze

A14. Aufgaben: Potenzgesetze
Algebra
A14. Aufgaben: Potenzgesetze
Die Potenzgesetze lauten:
am · an
am · bm
am
an
am
bm
m n
(a )
= am+n
= (ab)m
Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis
Produkt zweier Potenzen mit gleichen Exponenten
= am−n
a m
=
b
= amn
Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis
Quotient zweier Potenzen mit gleichen Exponenten
Potenz einer Potenz
Diese legen folgende Verallgemeinerungen nahe:
a0 = 1
1
a−m = m
a
√
1
m
a = ma
√
n
a m = m an =
für alle a 6= 0
Exponenten ist negativ
Exponent ist Kehrwert
n
√
m
a
Exponent ist rational
1♥ Gegeben sind zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation: x = 5 · 1012 und y = 2 · 1010 .
Berechne (ohne Taschenrechner) x · y und xy .
2♥ Welche der beiden Zahlen a = 2500 und b = 8167 ist die grössere?
3♥ Vereinfache:
(a)
(ac)n
ac
(b)
(ac)n
acn
(b)
(3z)k
zk
(b)
s
4♥ Vereinfache folgende Terme
(a)
1
1
(a2 )− 2
5♥ Ziehe folgende Wurzeln:
(a)
√
36z 10
3
1
a5 · a 2
5
a2
6♥ Überlege: (−1)n =?
7♥ Löse die folgenden Gleichungen (es handelt sich um sog. Exponentialgleichungen):
(a) 4−20 = 16x
(b) 3x−4 =
A14-1
1
27
BaM
Algebra
A14. Aufgaben: Potenzgesetze
8♥ Richtig oder falsch?
(a) (−3z)4 = 3z 4
(b) x2 = 9 ⇒ x = 3
9♥ a(1) = −4, a(2) = 8, a(3) = −16, a(4) = 32, . . .
✎☞
10 Beweise
✍✌
die Rechengesetze
√
m
✎☞
a(n) =?
11 Gegeben
✍✌
a·
√
m
b=
√
m
ab
und
q
m
√
n
a=
√
mn
a.
ist der Abstand ℓ sowie die Gewichte M und m in der folgenden idealisierten
Waage:
M
m
x
ℓ
(a) Bestimme x in Abhängigkeit von M, m und ℓ.
(b) Wende die unter (a) bestimmte Formel an für das Paar Erde–Mond. Das heisst:
bestimme den Abstand des Barizentrums des Systems Erde–Mond vom Zentrum
der Erde.
Angaben: Masse der Erde: 5.97·1024 kg, Masse des Mondes: 7.35·1022 kg, mittlerer
Abstand Erde–Mond: 3.844 · 108 m.
Zur Sonne: 1.496 · 1011 m (=748
ˆ
m in Skizze)
384.4 · 106 m
(=1.92
ˆ
m in Skizze)
0
5
10
Erde
380
385
Mond
Skala in Vielfachen von 106 m
A14-2
BaM
Oberfläche der Sonne
(c) Vergleiche das unter (b) erhaltene Resultat mit dem Erdradius 6.371 · 106 m.
Trage das Barizentrum in der folgenden Skizze ein (Skala 1 : 200 Mio, d.h. 1 cm
in der Skizze entspricht 200 Mio cm = 2000 km).