Projektthemen zur Spezialvorlesung Geometrie von

Projektthemen zur Spezialvorlesung Geometrie
von Flächen und Algebraischen Kurven
Wintersemester 05/06
1. Satz von Pappos und Satz von Desargues (Kirstin Strokorb)
Klassische Sätze in der projektiven Geometrie sind die Sätze von Pappos und Desargues. Der Satz von Pappos besagt zum Beispiel, dass sich
die drei Paare von gegenüberliegenden Seiten eines Hexagons
p1 q2 p3 q1 p2 q3 , einbeschrieben in ein Geradenpaar g, h, in drei kollinearen
Punkten schneiden.
p3
g
p2
p1
q1
q2
q3
h
2. Pascals mystisches Hexagon und der Satz von Brianchon (Laura Hinsch)
Angenommen, wir haben sechs verschiedene Punkte A, B, C, D, E, F
auf einer (generischen) Quadrik im projektiven Raum P 2 gegeben.
Diese Punkte beschreiben ein Hexagon, auch bekannt als Pascals mystisches Hexagon.
1
A
F
B
C
E
D
P
Q
R
Die Schnittpunkte der verlängerten gegenüberliegenden Seiten bezeichnen wir mit P, Q und R. Ein Resultat in der Geometrie von Quadriken
ist nun, dass diese drei Punkte auf einer Geraden liegen.
3. Der Satz von Poncelet (Abel Stolz)
Gegeben seien zwei Quadriken R, Q in P 2 sowie ein Punkt P0 ∈ R.
Konstruiert man nun einen Punkt P1 als Schnittpunkt einer Tangente
an Q durch P0 , daraus einen Punkt P2 6= P0 als Schnittpunkt der
Tangente an Q durch P1 und fährt induktiv so fort, so erhält man
unter Umständen nach endlich vielen Schritten einen Punkt Pn , der
mit dem Anfangspunkt P0 übereinstimmt.
P0
R
R
P1
Q
Q
P2
P1
P0
2
P2
Der Satz von Poncelet sagt nun aus, dass in diesem Fall die Anzahl der
Schritte n nicht von der Auswahl eines Anfangspunktes P0 abhängt.
4. Nicht - euklidische Geometrie nach Caley (Paul - Fiete Hartmann)
Der Unterschied zwischen euklidischer und nicht euklidischer Geometrie ist die Gültigkeit des Parallelenaxioms (Euklids fünftes Postulat):
Zu einer Geraden g und einem Punkt P , welcher nicht auf g liegt,
gibt es eine eindeutige Gerade h, welche durch P verläuft und g nicht
schneidet.
Man kann Geometrien konstruieren, in denen nur die ersten vier Euklidischen Axiome gültig sind.
Cayley fand nun eine Methode, solche Geometrien mit Hilfe algebraischer Kurven zu beschreiben. Geeignete Literatur ist hier zum Beispiel
[Clemens 1980] Abschnitt 1.7 bis 1.11.
5. Lineare Algebra und Kurven (Anna Iwersen)
Reelle affine algebraische Kurven sind Nullstellenmengen von reellen
Polynomen in zwei Unbekannten x, y. Beispiele sind
y^2 = x^3 − 3x + a
x^2 + y^2 = 1
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Es ist jedoch nicht immer sinnvoll, algebraische Kurven über dem Grundkörper der reellen Zahlen zu betrachten. In der Theorie der algebraischen Kurven untersucht man projektive komplexe ebene algebraische
Kurven. Diese stehen in enger Beziehung zu den affinen Kurven: Zu einer gegebenen projektiven Kurve erhält man (verschiedene) affine Sichten
Z
Y
1
X
X
umgekehrt erhält man durch Homogenisierung zu einer affinen Kurve
eine projektive Kurve.
Die Theorie der Algebraischen Kurven findet Anwendungen in vielen
Bereichen der Mathematik, z. B. der linearen Algebra. Ist A eine n × n
Matrix, so ist unter anderem die Frage interessant, inwieweit Störungen
B dieser Matrix, z. B. vom Rang 1 oder 2, das charakteristische Polynom von A verändern. Hierzu untersucht man Kurven gegeben durch
das charakteristische Polynom det(A + B − yId) bzw. das zugehörige
homogenisierte Polynom det(xA + B − yId).
6. Zahlentheorie und Kurven (Johannes Schmidt-Hieber)
Ein klassisches Problem der Griechischen Mathematiker war, alle rechtwinkligen Dreiecke mit positiven ganzzahligen Seitenlängen zu finden,
d.h. alle Tripel (X, Y, Z) natürlicher Zahlen mit X 2 + Y 2 = Z 2 oder
äquivalent alle rationalen Punkte x = X
, y = YZ auf der Kurve x2 +y 2 =
Z
1. Dieses Problem kann vollständig mit Hilfe einer rationalen Parametrisierung des Kreises gelöst werden. Eine Verallgemeinerung des obigen
Problems ist die Frage, was die ganzzahligen Punkte einer gegebenen
projektiven algebraischen Kurve sind (sogenannte Diophantische Gleichungen). Für rationale Kurven lässt sich diese Frage schnell beantworten.
1
zwei affine Sichten der Kurve gegeben durch F (x, y, z) = y 2 z 2 − x2 z 2 + x4
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Geeignete Literatur ist zunächst das erste Kapitel von [Shafarevich 1977].
Hat man rationale Kurven genauer untersucht, ist die Frage, wie man
auf anderen Kurven rationale Punkte findet. Hier kann man zum Beispiel elliptische Kurven betrachten, die einige erstaunliche Eigenschaften besitzen.
7. Differentialgleichungen und Kurven (Dominik Wulf)
Als Literatur empfiehlt sich [Arnold 2001]. Ein genaues Beispiel folgt
in Kürze.
8. Gruppen und Kurven (noch nicht vergeben)
Es gibt einen Zusammenhang zwischen algebraischen Kurven und sogenannten Riemannschen Flächen. Dies sind Gebilde, die lokal wie die
komplexe Ebene aussehen.
In der Funktionentheorie hat man evtl. schon den Riemannschen Abbildungssatz kennengelernt, der besagt, dass jede einfach zusammenhängen 1, oder , den sogenannten
de Riemannsche Fläche isomorph zu
kanonischen Gebieten, ist. Allgemein ist nun eine Riemannsche Fläche
isomorph zum Quotienten S/Γ, wobei S ein kanonisches Gebiet ist und
Γ eine Automorphismengruppe, welche frei und diskret auf S wirkt.
Abhängig von der Art des zugehörigen kanonischen Gebietes hat nun
eine Riemannsche Fläche (und damit die zugehörige algebraische Kur 1, parabolischen Typ für S = und
ve) elliptischen Typ für S =
hyperbolischen Typ für S = . (Vorsicht: eine elliptische Kurve hat
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parabolischen Typ!) Die Automorphismen von kanonischen Gebieten
und die Automorphismengruppen von Algebraischen Kurven und Riemannschen Flächen sollen genauer verstanden werden.
9. Die Kleinsche Quartik (noch nicht vergeben)
Die sogenannte Kleinsche Quartik, eine algebraische Kurve vom Grad
vier gegeben durch die Nullstellenmenge des Polynoms x3 y + y 3 z + z 3 x
in 2 wurde 1879 von Felix Klein untersucht. Sie besitzt eine grosse
Automorphismengruppe, welche isomorph ist zur projektiven speziellen
linearen Gruppe P SL(2, 7).
Dieses Projekt steht in engem Zusammenhang zum Projekt Gruppen
und Kurven.
10. Familien und Konfigurationen von Kurven (noch nicht vergeben)
Eine Gerade ist durch Vorgabe zweier Punkte eindeutig bestimmt. Wodurch werden nun Quadriken oder Kubiken bestimmt? Wieviele Kurven
gehen durch eine bestimmte Anzahl von vorgegebenen Punkten? Diese
und ähnliche Fragen sollen in diesem Projekt diskutiert werden.
11. Integrale und Kurven (Hendrik Demmer)
Stichwort hier sind elliptische Integrale oder allgemeiner abelsche Integrale. Unter einem elliptischen Integral versteht man ein Integral der
Form
Z z
dx
p
,
P (x)
a
wobei P ein Polynom dritten oder vierten Grades ist. Ein solches Integral kann als Integral auf einer Kubik oder Kurve vom Grad vier
gegeben durch y 2 = P (x) aufgefasst werden. Ausserdem ist ein solches
Integral nur wohldefiniert modulo der sogenannten Perioden.
Geeignete Literatur ist hier zum Beispiel [Griffiths 1989].
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12. Kurven und höherdimensionale Geometrie (noch nicht vergeben)
Statt algebraischer Kurven kann man auch algebraische Flächen als
Nullstellenmengen in 4 von Polynomen in vier Unbekannten betrachten. Genauso wie bei Kurven definiert hier ebenfalls der Grad des Polynoms den Grad der Fläche, quadratische Flächen sind also Flächen zu
Polynomen vom Grad 2. Zwei algebraische Flächen schneiden sich nun
in einer algebraischen Kurve. Für zum Beispiel quadratische Flächen
kann man diese Kurve nun genauer untersuchen.
13. spezielle Funktionen und Kurven (noch nicht vergeben)
Elliptische Funktionen hängen eng mit elliptischen Integralen zusammen. Allgemein ist eine elliptische Funktion eine meromorphe Funktion
mit zwei unabhängigen Perioden, ein Beispiel ist die sogenannte Weierstrasssche p - Funktion (siehe hierzu zum Beispiel [Freitag-Busam 2000]
Kapitel V). Elliptische Funktionen erfüllen Additionstheoreme, mithilfe
derer zum Beispiel die Gruppenstruktur auf einer Kubik nachgewiesen
werden kann. Literaturangaben folgen in Kürze.
14. Minimale Flächen (noch nicht vergeben)
Ein Abschnitt aus [do Carmo 1983], S. 151, zur Erläuterung: ... Mi”
nimalflächen kann man sich vorstellen als Seifenhäute, die man erhält,
wenn man einen Draht in eine Seifenlösung taucht und ihn vorsichtig wieder herauszieht. Wenn man das Experiment richtig durchführt,
erhält man eine Seifenhaut, die eben diesen Draht als Rand hat. Physikalische Betrachtungen zeigen, dass die Seifenhaut sich so einstellt,
dass in ihren regulären Punkten die mittlere Krümmung Null ist....“
Es gibt Beziehungen zwischen Minimalflächen und holomorphen Funktionen in den komplexen Zahlen, mithilfe derer man zum Beispiel untersuchen kann, ob eine gegebene Fläche eine Minimalfläche ist. Allgemein
soll der Begriff der Minimalfläche genauer untersucht werden.
15. weitere Projekte werden bei Bedarf folgen
Literatur
[Reid 1988] Reid, Miles: Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
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[Griffiths 1989] Griffiths, Philliph A.: Introduction to Algebraic Curves. volume 76 of translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence, 1989.
[Kirwan 1992] Kirwan, Frances: Complex Algebraic Curves. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
[Clemens 1980] Clemens, C. Herbert: A Scrapbook of Complex Curve Theory.
Plenum Press, New York, 1980.
[Fischer 1994] Fischer, Gerd: Ebene algebraische Kurven. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1994.
[Gibson 1998] Gibson, Christopher G.: Elementary Geometry of Algebraic
Curves. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[Shafarevich 1977] Shafarevich, Igor R.: Basic Algebraic Geometry 1. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.
[Arnold 2001] Arnold, Vladimir I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Springer, Berlin u.a., 2001.
[Forster 1977] Forster, Otto: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1977.
[Freitag-Busam 2000] Freitag, Eberhard, Busam, Rolf: Funktionentheorie 1.
Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2000.
[do Carmo 1983] do Carmo, Manfredo: Differentialgeometrie von Kurven
und Flächen. Vieweg, Wiesbaden, 3. Auflage, 1993.
[Griffiths-Harris 1978] Griffiths, Phillip, Harris, Joseph: Principles of Algebraic Geometry. Wiley, New York, 1978.
[Shokurov - Danilov] Shokurov, V. V., Danilov, V. I.: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes. Springer, Berlin, Heidelberg, 1998.
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