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  1. Mathematik

Schülerprojekttage 2012 - Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

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Fakultät für Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
der UNIVERSITÄT WÜRZURG
Schülerprojekttage 2012
17. - 20. Juli 2012
School
Meets
Science
Universität Würzburg - Projekttage Mathematik 2012
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND INFORMATIK
DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG
Schülerprojekttage 2012 an der Fakultät
für Mathematik und Informatik der Universität Würzburg
Von Dienstag, 17. Juli, bis Freitag, 20. Juli 2012, führte die Fakultät für Mathematik und Informatik der
Universität Würzburg ihre jährlichen Projekttage zur Förderung besonders begabter und interessierter
Schülerinnen und Schüler unterfränkischer Gymnasien durch. In einem viertägigen Seminar bearbeiteten
50 TeilnehmerInnen in Kleingruppen unter qualifizierter Anleitung und Betreuung durch Professoren und
Dozenten hochaktuelle Problemstellungen aus der Mathematik und Informatik. Die Schülerinnen und
Schüler wurden hierfür eigens vom regulären Schulunterricht befreit.
In einem Workshop von Dr. Jürgen Grahl, Ruben Schulze und Anna Roos gaben sie sich der Faszination
der Zahlen hin. Bei Prof. Martin Hennecke und Matthias Türk wurden Roboter programmiert und so
gesteuert, dass sie vorgegebene Parcours durchfahren; bei Dr. Gunther Dirr, Dr. Jens Jordan, Roman
Geiselhardt und Michael Schönlein wurde die Dynamik von Meinungen untersucht. Prof. Christian
Klingenberg und Isabel Grimm untersuchten die Auswirkungen des Klimawandels; bei Prof. Martin
Hennecke und Nicolai Pöhner wurden Android Apps programmiert; Dr. Alexandra Schwartz, Dr.
Joachim Spoerhase und Anna Weitzel zeigten, wie man in 80 Tagen um die Welt reisen kann. Prof. Daniel
Wachsmuth und Lisa Schäfer führten Autorennen auf dem Karopapier durch; Prof. Hans-Georg
Weigand, Dr. Robert Strich und Stefan Gaubitz untersuchten Fahrradspuren im Sand und alles, was man
über den Verursacher daraus ablesen kann. Expertenvorträge, eine Studieninformationsveranstaltung und
eine gemeinsame Abendgestaltung rundeten das Programm ab.
Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Projekttage verbrachten die gesamten vier Tage gemeinsam, um
sich ausschließlich auf ihr Thema konzentrieren zu können. Das Seminar wird von der Firma SALT
Solutions GmbH, dem Robert Krick Verlag, der Rexroth Bosch Group und der Sparkassenstiftung
Mainfranken finanziell unterstützt. Ziel der Projekttage ist es, die Zusammenarbeit von Schule und
Hochschule zu intensivieren, indem Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit gegeben wird, die reale
Welt der mathematischen und informatischen Wissenschaft kennen zu lernen.
Anbei finden Sie die von den Schülerinnen und Schülern verfassten Berichte über ihre Arbeit bei den
Projekttagen.
Würzburg, August 2012
Mit freundlicher Unterstützung durch
Prof. Dr. Hans-Georg Weigand
SCHÜLERPROJEKTTAGE 2012
Gruppenfoto der Schülerprojekttage
2012
2
INHALT
Allgemeines zu den Projekttagen .............................................................................................................. S. 4 -10
Projektberichte:
»Faszination Zahlen«
von Dr. J. Grahl, R. Schulze & A. Roos .................................................................................................. S. 11-20
»Robotersteuerung«
von Prof. Dr. M. Hennecke, Prof. Dr. F. Puppe, M. Türk ................................................................. S. 21-26
»Meinungsdynamik«
von Dr. Gunther Dir, Dr. Jens Jordan, M. Schönlein & R. Geiselhardt ............................................ S. 27-36
»Ein vereinfachtes globales Klimamodell«
von Prof. Dr. Klingenberg & I. Grimm .................................................................................................. S. 37-47
»Android Apps programmieren«
von Prof. Dr. M. Hennecke & N. Pöhner ............................................................................................. S. 48-55
»In 80 Tagen um die Welt«
von Dr. A. Schwartz, Dr. J. Spoerhase & A. Weitzel ............................................................................ S. 56-61
»Autorennen auf Karopapier«
von Prof. Dr. D. Wachsmuth & L. Schäfer ............................................................................................ S. 62-67
»Fahrrad-Mathematik«
von Prof. Dr. H.-G. Weigand, Dr. R. Strich & S. Gaubitz................................................................... S. 68-76
3
PROJEKTDATEN
Beginn:
Dienstag, 17. Juli 2012, 9:00 Uhr
Ende:
Freitag, 20. Juli 2012, 16:00 Uhr
Tagungsort:
Mathematisches Institut der Universität Würzburg,
Emil-Fischer-Straße 30 und 40, MIND-Center
97074 Würzburg
und
Turing-Hörsaal des Informatik-Gebäudes
Übernachtungen:
Alle Teilnehmer werden während der vier Tage im Schönstattzentrum
untergebracht:
Marienhöhe
Josef-Kentemich-Weg 1
97074 Würzburg
Tel. 0931-70567-0
Anreise und Treffpunkt:
Dienstag, 17. Juli 2012 um 9:00 Uhr, Schönstattzentrum Marienhöhe,
direkt hinter dem neuen Sportzentrum am Hubland
Kosten:
Die Kosten pro Teilnehmer betragen 50 €.
Die übrigen Kosten werden von der Firma SALT solutions GmbH,
dem Robert Krick Verlag, der Rexroth Bosch Group und der
Sparkassenstiftung Mainfranken übernommen.
Teilnehmer:
Pro Schule 1–2 Schüler der Jahrgangsstufe 11 oder 10
An- und Rückfahrt:
Wird von den Teilnehmern selbst organisiert. Fahrtkosten können nicht
erstattet werden.
Sonstige Hinweise:
An den Abenden sind mathematische Vorträge vorgesehen. Natürlich
gibt es auch Freizeit und einen Ausflug nach Würzburg.
Falls Sie ein Musikinstrument haben, bringen Sie es bitte mit!
Bringen Sie – wenn möglich – einen Laptop mit!
Abschlusspräsentation:
Am Freitag den 20. Juli 2012 um 14.00 Uhr werden die Ergebnisse der
Projekte im Zuse-Hörsaal (im Informatikgebäude der Universität
Würzburg) vorgestellt.
Dazu sind alle Interessierten herzlich eingeladen!
4
TERMINPLAN
Dienstag, 17. Juli
9:00 Uhr
Raum
Treffpunkt der Teilnehmer im Schönstattzentrum.
Josef-Kentenich-Weg 1, 97074 Würzburg
Tel: 0931 / 70567-0, Fax: 0931 / 70567-27
10:15 – 12:00 Uhr
Begrüßung, Vorstellung der Themen, Gruppenbildung,
Präsentation der Gruppen
12:00 – 13:00 Uhr
Mittagspause
13:00 – 18:00 Uhr
Beginn der Projektarbeit
18:30 – 20:00 Uhr
Abendessen im Schönstattheim
20:00 – 21:30 Uhr
Mathematischer Vortrag im Schönstattzentrum
(Prof. Dr. Manfred Dobrowolski)
Mittwoch, 18. Juli
Projektarbeit
12:00 – 13:30 Uhr
Mittagspause
13:30 – 17:00 Uhr
Projektarbeit
17:00 – 18:00 Uhr
Informationen über das Mathematik- und das Informatikstudium
an der Universität Würzburg
(PD Dr. Christian Zillober, Prof. Dr. Alexander Wolff)
18:30 – 20:00 Uhr
Abendessen im Schönstattheim
20:00 – 23:00 Uhr
Abend zur freien Verfügung,
Probe der Musikgruppe für die Präsentation am Freitag
Donnerstag, 19. Juli
TuringHörsaal
Raum
9:00 – 12:00 Uhr
Projektarbeit
12:00 – 13:30 Uhr
Mittagspause
13:30 – 18:00 Uhr
Projektarbeit
18:30 – 20:00 Uhr
Abendessen im Schönstattzentrum
20:00 – 22:00 Uhr
Vorbereitung der Präsentation, Üben der Musikgruppe,
Treffen mit den Dozentinnen und Dozenten
Freitag, 20. Juli
11:15 Uhr
Seminarraum
Raum
9:00 – 12:00 Uhr
9:00 – 12:00 Uhr
HS 2
Raum
Projektarbeit und Vorbereitung der Präsentation – Anfertigen eines
schriftlichen Ergebnisberichts
Fototermin vor der Enneperschen Minimalfläche
11:30 – 13:30 Uhr
Kurz-Übungsmöglichkeit für die Präsentation
12:00 – 14:00 Uhr
Mittagspause
14:00 – 16:15 Uhr
Musikalischer Auftakt durch die Musikgruppe der Teilnehmer,
Öffentliche Präsentation der Ergebnisse
5
TuringHörsaal
TuringHörsaal
SCHÜLERGRUPPEN
Gruppe 1: Faszination Zahlen (J. Grahl, R. Schulze, A. Roos)
Name
Vorname
Schule
Ort
Hofmann
Rother
Keßler
Merz
Rottmann
Kuhn
Friedmann
Laura
Felix
Moritz
Carina
Christian
Franziska
Lisa
Gymnasium Bad Königshofen
Hermann Staudinger-Gymn.
Friedrich-List-Gymnasium
Mädchenbildungswerk
Martin-Pollich
Olympia-Morata-Gymnasium
Franken-Landschulheim Schloß Gaibach
Bad Königshofen
Erlenbach
Gemünden
Gemünden
Mellrichstadt
Schweinfurt
Volkach
Gruppe 2: Robotersteuerung (M. Hennecke, F. Puppe, M. Türk)
Name
Vorname
Schule
Ort
Stumpf
Schuhmann
Sehne
König
Simon
Rebecca
Martin
Veronika
Maximilian
Alessandro
Maria-Ward-Gymnasium
Jack-Steinberger-Gymnasium
Steigerwald-Landschulheim
Balthasar-Neumann-Gymnasium
Walter-Rathenau
Aschaffenburg
Bad Kissingen
Wiesentheid
Marktheidenfeld
Schweinfurt
Gruppe 3: Meinungsdynamik (G. Dirr, J. Jordan, R. Geiselhardt, M. Schönlein)
Name
Vorname
Schule
Ort
Brandl
Gimpel
Stößel
Feußner
Schürger
Reinhart
Rösch
Theresa
Clara
Sebastian
Felix
Christina
Michael
Philipp
Gymnasium Bad Königshofen
Rhön-Gymnasium
Friedrich-Rückert-Gymnasium
Julius-Echter-Gymnasium
Egbert-Gymnasium
A.-v.-Humboldt-Gymnasium
Deutschhaus-Gymnasium
Bad Königshofen
Bad Neustadt
Ebern
Elsenfeld
Münsterschwarzach
Schweinfurt
Würzburg
Gruppe 4: Klimawandel (C. Klingenberg, I. Grimm)
Name
Vorname
Schule
Ort
Rieß
Schneider
Hermes
Gottscholl
Bräutigam
Nikolaus
Karin
Pippa
Klara
Andreas
Erik
Paul
Olympia-Morata-Gymnasium
Matthias-Grünewald-Gymnasium
St. Ursula-Schule
Franken-Landschulheim Schloß Gaibach
Walldorfschule
Walldorfschule
Schweinfurt
Würzburg
Würzburg
Volkach
Würzburg
Würzburg
6
SCHÜLERGRUPPEN
Gruppe 5: Android Apps programmieren (M. Hennecke, N. Pöhner)
Name
Vorname
Schule
Ort
Martens
Fernes
Volkering
Straub
Göbl
Meckel
Jakob
David
Markus
Kevin
Steven
Alan
Jack-Steinberger-Gymnasium
Steigerwald-Landschulheim
Franz-Ludwig-von-Erthal-Gymnasium
Balthasar-Neumann-Gymnasium
Walter-Rathenau
Deutschhaus-Gymnasium
Bad Kissingen
Wiesentheid
Lohr
Marktheidenfeld
Schweinfurt
Würzburg
Gruppe 6: In 80 Tagen um die Welt (A. Schwartz, J. Spoerhase, A. Weitzel)
Name
Vorname
Schule
Ort
Elter
Zierof
Hübner
Seibold
Kunz
Wagenhäuser
Lukas
Sabrina
Lena
Dominik
Theresia
Peter
Julius-Echter-Gymasium
Franz-Ludwig-von-Erthal-Gymnasium
Martin-Pollich
Matthias-Grünewald-Gymnasium
St.Ursula-Schule
Franken-Landschulheim Schloß Gaibach
Elsenfeld
Lohr
Mellrichstadt
Würzburg
Würzburg
Volkach
Gruppe 7: Autorennen auf Karopapier (D. Wachsmuth, L. Schäfer, Raum 30.01.003)
Name
Vorname
Schule
Ort
Hillenbrand
Roßmann
Gubik
Bördlein
Rauch
Berghoff
Anna
Jonas
Eva
Lena
Anna
Joshua
Maria-Ward-Gymnasium
Balthasar-Neumann-Gymnasium
Mädchenbildungswerk
Steigerwald-Landschulheim
Egbert-Gymnasium
Olympia-Morata-Gymnasium
Aschaffenburg
Marktheidenfeld
Gemünden
Wiesentheid
Münsterschwarzach
Schweinfurt
Gruppe 8: Fahrrad-Mathematik (H.-G. Weigand, R. Strich, S. Gaubitz)
Name
Vorname
Schule
Ort
Deublein
Zöller
Häuser
Hoyer
Pfister
Öftering
Dietz
Alexander
Felix
Christian
Tobias
Mariette
Patricia
Stefanie
Friedrich-Rückert-Gymnasium
Hermann Staudinger-Gymn.
Friedrich-List-Gymnasium
Gymnasium Marktbreit
Olympia-Morata-Gymnasium
Olympia-Morata-Gymnasium
St. Ursula Schule
Ebern
Erlenbach
Gemünden
Marktbreit
Schweinfurt
Schweinfurt
Würzburg
7
THEMEN, DOZENTEN, HILFSKRÄFTE
Thema
Dozenten
Hilfskräfte
Faszination Zahlen
Jürgen Grahl ................................. (Mathematik IV)
Ruben Schulze ............................... (Informatik III)
Anna Roos
Robotersteuerung
Prof. Dr. M. Hennecke ............. (Mathematik V)
Prof. Dr. F. Puppe ........................ (Informatik VI)
Matthias Türk
Meinungsdynamik
Dr. Gunther Dirr.......................... (Mathematik II)
Dr. Jens Jordan ............................. (Mathematik II)
Michael Schönlein ........................ (Mathematik II)
Roman Geiselhardt
Ein vereinfachtes Klimamodell
Prof. Dr. C. Klingenberg ........... (Mathematik VI)
Isabell Grimm
Android Apps programmieren
Prof. Dr. M. Hennecke.................(Mathematik V)
Nicolai Pöhner
In 80 Tagen um die Welt
Dr. Alexandra Schwartz ........... (Mathematik VII)
Dr. Joachim Spoerhase .................... (Informatik I)
Anna Weitzel
Autorennen auf Karo-Papier
Prof. Dr. D. Wachsmuth.......... (Mathematik VII)
Lisa Schäfer
Fahrrad-Mathematik
Prof. Dr. H.-G. Weigand .............(Mathematik V)
Dr. Robert Strich ...........................(Mathematik V)
Stefan Gaubitz
Lehrstühle
Mathematik I ................................................................................. Algebra
Mathematik II ................... Dynamische Systeme und Kontrolltheorie
Mathematik III ......................................................................... Geometrie
Mathematik IV ........................................................... Funktionentheorie
Mathematik V ...............................................................................Didaktik
Mathematik VI ...................................................... Angewandte Analysis
Mathematik VII............... Numerische Mathematik und Optimierung
Mathematik VIII ........................................................................... Statistik
Mathematik IX .......................................... Wissenschaftliches Rechnen
Informatik I .... Effiziente Algorithmen und wissensbasierte Systeme
Informatik VI .... Künstliche Intelligenz und angewandte Informatik
8
IMPRESSIONEN I
9
IMPRESSIONEN II
10
Projektbericht der Arbeitsgruppe
Faszination Zahlen
Betreuer: Jürgen Grahl, Ruben Schulze, Anna-Katharina Roos
Teilnehmer(innen): Laura Hofmann (Gymnasium Bad Königshofen), Felix Rother (Hermann-Staudinger-Gymnasium Erlenbach), Moritz Keßler (Friedrich-ListGymnasium Gemünden), Carina Merz (Mädchenbildungswerk Gemünden), Christian Rottmann (Martin-Pollich-Gymnasium Mellrichstadt), Franziska Kuhn (OlympiaMorata-Gymnasium Schweinfurt), Lisa Friedmann (Franken-Landschulheim Gaibach).
1
Zielsetzung
Anhand einer ganzen Reihe von kleineren, vielseitig gefächerten und inhaltlich nur lose
verbundenen Problemen, vorwiegend aus der Zahlentheorie, sollte eine Vorstellung davon
vermittelt werden, wie man in der Mathematik darum bemüht ist, durch kreatives Schließen elegante, „schöne“ Lösungen für auf den ersten Blick schwierige Probleme zu finden
und tiefere Zusammenhänge aufzuspüren, die sich oftmals unter der Oberfläche der Dinge
verbergen.
Die einzelnen, von den Schüler(inne)n erarbeiteten Probleme mit Lösungen sind in Abschnitt 2 aufgelistet. In Abschnitt 3 finden sich dann einige weitere Themen, die im Laufe
des Projekts besprochen wurden.
2
Die einzelnen Probleme mit Lösungen
1. Es sei eine Tafel Schokolade mit 4 mal 6 rechteckig angeordneten Stücken gegeben.
Wie oft muss man diese Tafel mindestens durchbrechen, um sie in ihre 24 Einzelstücke zu zerlegen? Bei jedem Brechen darf dabei jeweils nur eines der gerade
vorhandenen Teile in genau zwei Teile zerbrochen werden.
Lösung: Man muss die Tafel genau 23 mal durchbrechen: Bei jedem Zerbrechen
nimmt die Zahl der Teile genau um 1 zu, unabhängig davon, welches Teil und entlang
welcher Linie zerbrochen wird.
2. Man zeige: Auf jeder echten Party (d.h. mit mindestens zwei Teilnehmern) gibt
es mindestens zwei Teilnehmer, die unter den Anwesenden die gleiche Anzahl an
Freunden haben.
Hierbei wird angenommen, dass die Freundschaftsrelation symmetrisch ist (d.h.
wenn A mit B befreundet ist, so auch B mit A), und es wird niemand als mit
sich selbst befreundet angesehen.
Lösung: Die Party bestehe aus n ≥ 2 Teilnehmern T1 , . . . , Tn . Es bezeichne f (j)
für j = 1, . . . , n die Zahl der Freunde von Tj unter den Anwesenden. Dann gilt
f (j) ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Annahme: Es gibt keine zwei Teilnehmer mit der gleichen Anzahl an Freunden unter
den Anwesenden, d.h. es ist f (j) 6= f (k) für alle j, k ∈ {1, . . . , n} mit j 6= k.
11
Dann muss f jeden Wert aus der n-elementigen Menge {0, . . . , n − 1} annehmen.
(Dies ist das sog. Schubfachprinzip; dahinter verbirgt sich die mathematische Tatsache, dass eine injektive Abbildung zwischen zwei endlichen Mengen gleicher Mächtigkeit surjektiv sein muss.)
Insbesondere gibt es ein j ∈ {1, . . . , n} und ein k ∈ {1, . . . , n}, so dass f (j) =
n − 1 und f (k) = 0. Dies bedeutet, dass Tj mit allen Partygästen, also auch mit
Tk befreundet ist, Tk jedoch mit niemandem, im Widerspruch zur Symmetrie der
Freundschaftsrelation.
3. In der Geschenkfabrik des Weihnachtsmanns arbeiten 20 Elfen. Eine von ihnen verwechselt niemals die Wunschzettel. Von jeweils zwei Elfen vertauscht eine regelmäßig
die Listen mit den Wünschen. Wie viele der Elfen arbeiten immer korrekt?
Lösung: Es arbeitet genau eine Elfe immer korrekt: Nach Voraussetzung ist die
Zahl der korrekt arbeitenden Elfen mindestens 1. Gäbe es zwei korrekt arbeitende
Elfen, so müsste eine von diesen nach Voraussetzung die Wunschzettel verwechseln,
ein Widerspruch!
4. Graf Zahl besitze 7776 verschiedene positive
Zahlen. Er stellt fest, dass jedes Produkt aus
7 beliebigen dieser Zahlen immer größer als
1 ist. Folgt daraus auch, dass das Produkt
aller 7776 Zahlen größer als 1 ist?
Lösung: Ja. Es seien a1 , a2 , . . . , a7776 diese
7776 Zahlen, in aufsteigender Reihenfolge geordnet, d.h. a1 < a2 < a3 < · · · < a7776 . Nach
Voraussetzung ist
7
Y
j=1
aj = a1 · . . . · a7 > 1.
Damit
muss auch a7 > 1 sein. (Andernfalls wäre ja a1 , . . . , a7 ≤ 1, also auch
Q7
j=1 aj ≤ 1.) Es gibt also höchstens sechs aj , die nicht größer als 1 sind, d.h.
es ist aj > 1 für alle j ≥ 7. Damit ist
7776
Y
j=1
aj =
7
Y
j=1
aj ·
7776
Y
j=8
aj >
7
Y
aj > 1.
j=1
5. Ist jede natürliche Zahl als Summe zweier Quadratzahlen (d.h. von Quadraten ganzer Zahlen) darstellbar? Gibt es ein N ∈ IN, so dass sich jede natürliche Zahl ≥ N
als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lässt?
Lösung: Bereits die Zahl 3 ist offensichtlich nicht als Summe zweier Quadratzahlen
darstellbar, so dass die erste Frage zu verneinen ist. Da Quadratzahlen modulo 4
nur die Reste 0 und 1 haben können, kommen als Reste modulo 4 von Summen von
Quadratzahlen nur 0, 1 und 2 infrage. Jede Zahl mit Rest 3 modulo 4 ist daher nicht
als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar. Es gibt offensichtlich beliebig große
solche Zahlen. Die Antwort auf die zweite Frage ist also ebenfalls nein.
6. Man bestimme sämtliche Primzahldrillinge, d.h. sämtliche Tripel (p, p + 2, p + 4),
bei denen p, p + 2 und p + 4 Primzahlen sind.
12
Lösung: Der einzige Primzahldrilling ist (3, 5, 7). Denn für jede natürliche Zahl p
ist eine der Zahlen p, p + 2 und p + 4 durch Drei teilbar, kann also nur dann prim
sein, wenn sie selbst die Drei ist.
Ausblick: Eine berühmte, bis heute völlig offene Vermutung besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
7. Indem man ein Dreieck wie nebenstehend skizziert zerlegt und die Einzelteile neu zusammensetzt, erhält
man ein Dreieck, bei dem ein Kästchen fehlt. Wohin ist dieses verschwunden?
Lösung: Es liegt letztlich eine optische Täuschung vor: Das grüne und das graue
Dreieick haben geringfügig unterschiedliche Steigung ( 83 bzw. 25 ). Daher handelt es
sich bei den beiden großen „Dreiecken“ gar nicht um Dreiecke. Genauer ist im oberen
Bild die (vermeintliche) „Hypotenuse“ leicht aufwärts, im unteren Bild leicht abwärts
gekrümmt, so dass das obere „Dreieck“ kleineren Flächeninhalt hat als das untere.
Dies erklärt das nach der Zerlegung und dem Rearrangement der Einzelteile fehlende
Kästchen.
8. Eine dressierte Katze und ein Hund liefern sich ein Rennen – 50 Meter geradeaus
und wieder zurück. Bei jedem Satz legt der Hund 75 cm zurück und die Katze 50 cm.
Allerdings macht die Katze 3 Sätze in der gleichen Zeit, in der der Hund 2 macht.
Es soll angenommen werden, dass Hund und Katze immer ganze Sätze machen. Die
Zeit für das Wenden soll vernachlässigt werden. Wie wird das Rennen ausgehen?
Lösung: Die Katze wird gewinnen. Denn sie benötigt für Hin- und Rückweg jeweils 100 Sätze, während der Hund jeweils 67 Sätze benötigt, die ihn aufgrund der
Voraussetzungen allerdings mehr Zeit kosten als die Katze für 100 Sätze braucht.
9. Um zwölf Uhr mittags liegen die beiden Zeiger einer (Analog-)Uhr genau übereinander. Wann genau passiert dies zum ersten Mal nach 12 Uhr erneut?
Lösung: Während der Stundenzeiger einer Uhr einen Umlauf macht, hat der Minutenzeiger bereits zwölf Umläufe zurückgelegt. Der Minutenzeiger „überholt“ den
Stundenzeiger also elfmal innerhalb von zwölf Stunden, und zwar aus Symmetrie12
gründen nach jeweils gleichen Zeitabschnitten, nämlich alle 11
Stunden. Zum ersten
3
Mal nach 12 Uhr passiert dies also um 1 Uhr, 5 Minuten, 27 11 Sekunden.
10. Gibt es Zahlen, in deren Dezimaldarstellung sich jeder endliche Block von Ziffern
findet? Gibt es in jedem echten Intervall [a, b] mit a < b eine solche Zahl?
13
Lösung: Die Antwort ist in beiden Fällen Ja. Beispielsweise leistet die sog.
Champernowne-Zahl
c := 0, 12345678910111213141516171819202122 . . . ,
deren Ziffernfolge sich durch Aneinanderreihen der (in Dezimaldarstellung geschriebenen) natürlichen Zahlen ergibt, offensichtlich das Gewünschte. Ist [a, b] mit a < b
ein echtes
Intervall,
so gibt es eine ganze Zahl m und eine natürliche Zahl n, so
dass 10mn , m+1
⊆
[a,
eine Zahl in [a, b], die ebenfalls das
b] gilt. Es ist dann m+c
10n
10n
Gewünschte leistet.
Interpretation: In der Dezimaldarstellung von Zahlen mit der genannten Eigenschaft ist jede endliche Information codiert, d.h. man wird dort „irgendwo“ (in geeigneter Codierung) jedes Shakespeare-Stück, jedes jemals komponierte Musik-Stück,
jede bisher aufgenommene Fotografie usw. wiederfinden.
11. Wie kann man mithilfe eines 5-Liter- und eines 3-Liter-Kruges eine Wassermenge
von genau einem Liter abmessen? Dabei darf man voraussetzen, dass Wasser unbeschränkt zur Verfügung steht (und auch verschwendet werden darf). Die Krüge
sollen jedoch nicht das Abmessen kleinerer Wassermengen als 3 bzw. 5 Liter zulassen. Weiter wird angenommen, dass beim Umfüllen kein Wasser verschüttet wird.
Lösung: Mithilfe der beiden Krüge kann man zunächst 2 Liter abmessen. Diese füllt
man in den kleinen Krug. Den verbleibenden Liter füllt man aus dem wieder mit 5
Litern gefüllten großen Krug auf, so dass im großen Krug 4 Liter verbleiben. Von
diesen gießt man mithilfe des kleinen Krugs 3 Liter ab und erhält wie gewünscht
genau einen Liter.
Verallgemeinerung / Ausblick: Sind p und q teilerfremde natürliche Zahlen und
hat man zwei Krüge, mit denen man p bzw. q Liter abmessen kann, so gelingt es
mit diesen beiden Krügen, genau einen Liter abzumessen.
Begründung: Wegen der Teilerfremdheit von p und q gibt es ganze Zahlen a, b, so
dass die sog. Bezout-Identität
ap + bq = 1
gilt.
Begründung: Es sei d die kleinste positive Zahl, die in der Form ap + bq mit a, b ∈ Z
darstellbar ist. Division mit Rest zeigt, dass wir hierin p in der Form p = md + r mit
m, r ∈ Z und 0 ≤ r ≤ d − 1 schreiben können. Es folgt
r = p − md = p − map − mbq = (1 − ma) · p − (mb) · q.
Wegen der Minimalität von d und 0 ≤ r < d folgt hieraus r = 0. Also ist p = md, d.h.
d|p. Analog folgt d|q, d.h. d ist ein gemeinsamer Teiler von p und q. Da p und q als
teilerfremd vorausgesetzt waren, muss also d = 1 sein. Dies war zu zeigen.
Man kann diese Bezout-Identität nun im Prinzip als Anleitung lesen, die gewünschte
Wassermenge von einem Liter abzumessen. Wir verzichten auf die Details.
12. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine Treppe mit n Stufen hinaufzusteigen, wenn man in jedem Schritt jeweils eine oder zwei Stufen auf einmal nehmen
kann?
14
Lösung: Es sei zn die Zahl der Möglichkeiten, eine Treppe mit n Stufen in der
angegebenen Weise hinaufzusteigen. Offensichtlich gilt z1 = 1 und z2 = 2. Weiter
gilt zn+2 = zn + zn+1 für alle n ≥ 1. (Dies sieht man wie folgt ein: Wenn man eine
Treppe mit n + 2 Stufen hinaufsteigt, kann man im ersten Schritt eine oder zwei
Stufen nehmen. Es verbleiben danach noch n+1 oder n Stufen. Diese hochzusteigen,
ist auf genau zn+1 bzw. zn verschiedene Weisen möglich. Also ist zn+2 = zn + zn+1 .)
Damit und mit z1 = 1 = f2 , z2 = 2 = f3 folgt zn = fn+1 für alle n, wobei fn die
n-te Fibonacci-Zahl ist (vgl. Abschnitt 3, Nr. 3).
13. Auf einer Weihnachtsfeier stehen N Studenten im Kreis. Jeder hat eine gerade Anzahl
von Plätzchen. Nun gibt jeder die Hälfte seiner Plätzchen dem rechten Nachbarn. Wer
danach eine ungerade Anzahl von Plätzchen
hat, bekommt vom Weihnachtsmann ein zusätzliches Plätzchen. Dieser Vorgang wird
beliebig oft wiederholt. Braucht der Weihnachtsmann unendlich viele Plätzchen? Wird
irgendwann ein Zustand erreicht, in dem alle Studenten die gleiche Zahl an Plätzchen
haben?
Lösung: Der Weihnachtsmann braucht nur endlich viele Plätzchen. Es sei n(j, k)
die Plätzchenanzahl des j-ten Studenten in der k-ten Runde und
M (k) := max {n(1, k), n(2, k), . . . , n(N, k)}
die maximale Plätzchenanzahl in der k-ten Runde. Dann gilt
1
· (n(j, k) + n(j − 1, k))
n(j, k + 1) = 2 ·
4
für alle j = 1, . . . , N und alle k, wobei man n(0, k) := n(N, k) zu setzen hat.
Da die n(j, k) und damit auch die M (k) alle gerade sind, folgt hieraus
1
n(j, k + 1) ≤ 2 ·
· M (k) = M (k)
für alle j = 1, . . . , N und alle k
2
und damit auch M (k + 1) ≤ M (k) für alle k. Induktiv ergibt sich M (k) ≤ M (0) für
alle k, falls k = 0 für die Ausgangssituation steht. Der Gesamtbedarf an Plätzchen
ist also nach oben durch N · M (0) beschränkt.
Eine Verfeinerung dieser Überlegung zeigt, dass nach endlich vielen Runden alle
Studenten die gleiche Anzahl an Plätzchen haben: Nach dem soeben Gezeigten gibt
es ein k0 , so dass der Weihnachtsmann ab der k0 -ten Runde keine Plätzchen mehr
nachschießen muss. Ist nun M (k + 1) = M (k) für ein k ≥ k0 und sind nicht alle
Anzahlen n(1, k), . . . , n(N, k) gleich, so muss in der (k + 1)-ten Runde die Zahl der
Studenten, die diese Maximalanzahl M (k + 1) an Plätzchen haben, gegenüber der
k-ten Runde abgenommen haben. Würde also niemals eine Konstellation erreicht,
in der alle die gleiche Plätzchenzahl haben, so würde nach jeweils höchstens N − 1
Runden die Maximalanzahl M (k) abnehmen. Nach endlich vielen Runden wäre also
M (k) = 0, so dass keine Plätzchen mehr vorhanden wären, was aber absurd ist, da
ja keine Plätzchen aus dem Spiel verschwinden.
15
14. Man finde eine natürliche Zahl n, so dass die Dezimaldarstellung von n! auf genau
2012 Nullen endet.
Lösung: Der Exponent, mit dem 5 in der Primfaktorzerlegung von n! auftaucht, ist
offensichtlich
jnk j n k j n k
+
+
+ ....
E5 (n) :=
5
25
125
Hieraus berechnet man
E5 (8060) = 2012.
Der Exponent E2 (n), mit dem 2 in der Primfaktorzerlegung von n! auftaucht, erfüllt offensichtlich E2 (n) ≥ E5 (n). (Anschaulich: Der Faktor 2 kommt (wesentlich)
häufiger in der Primfaktorzerlegung von n! vor als der Faktor 5.) Also ist auch
E2 (8060) ≥ 2012. Damit leistet n = 8060 das Gewünschte.
15. Ein böser Zauberer hat 100 Gefangene. Eines Morgens lässt er sie antreten und
zaubert ihnen jeweils einen roten, grünen oder gelben Hut auf den Kopf. Jeder
Gefangene kann die Hutfarben seiner 99 Leidensgefährten sehen, nicht aber seine
eigene. Die Gefangenen müssen nun der Reihe nach die Farbe ihrer Hüte erraten
und werden – da der Zauberer nicht immer nur böse ist – bei richtigem Raten
freigelassen.
Dabei dürfen sie sich untereinander
nicht verständigen, abgesehen davon,
dass jeder seine mutmaßliche Hutfarbe nennen darf. Durch einen glücklichen Umstand erfahren die Gefangenen schon am Abend zuvor von der
Absicht des Zauberers in allen Details
und haben Gelegenheit, sich zu beraten. Wie können sie erreichen, dass
am nächsten Morgen möglichst viele
von ihnen frei kommen? Wie viele sind
dies?
Lösung: Es können 99 Gefangene sicher befreit werden. Dazu werden die Hutfarben
mit den Zahlen 0, 1 und 2 identifiziert. Es sei ck die Hutfarbe des k-ten Gefangenen
(die in der Reihenfolge nummeriert werden, in der sie zum Erraten ihrer Hutfarbe
aufgerufen werden). Der als erster aufgerufene Gefangene berechnet die Größe
a :=
100
X
ck
k=2
und nennt als „seine“ Farbe den bei Division von a durch 3 verbleibenden Rest
r ∈ {0, 1, 2}. Hierdurch ist es möglich, allen 99 Gefangenen genügend Information
zukommen lassen, damit diese hieraus und aus der Kenntnis der übrigen Hutfarben
auf ihre eigene Hutfarbe zurückschließen können: Der j-te Gefangene bildet die
Größe
100
X
b := −cj +
ck
k=2
(d.h. die Summe aller Hutfarben mit Ausnahme seiner eigenen und der des ersten Gefangenen) und hiervon den Rest s modulo 3. Aus der Differenz r − s ist
16
nun ersichtlich, welchen Rest cj modulo 3 hat - und damit die Hutfarbe des j-ten
Gefangenen.
16. Ein kleiner Dämon mit konstanter Schrittlänge wandere in einem Achteck mit den
Winkeln 135 Grad. Dabei geht er entlang jeder Kante eine ganze Anzahl von (gleichlangen) Schritten. Man zeige, dass er für die ersten vier Kanten ebenso viele Schritte
braucht wie für die letzten vier.
Lösung: Es seien a1 , a2 , . . . , a8 die Kantenlängen des Achtecks, gemessen in Schritten, so dass also alle aj ganzzahlig sind. Dabei mögen stets aj und aj+1 zu benachbarten Kanten gehören. Da der Dämon nach Umlaufen des gesamten Achtecks wieder
am Ausgangspunkt angelangt ist, ist die Summe seiner Bewegungen in Richtung
jeder Kante Null. Es ist also
1
a1 − a5 + √ (a2 − a4 − a6 + a8 ) = 0,
2
denn die linke Seite dieser Gleichung ist gerade die Summe der Bewegungen entlang der ersten Kante. Der Faktor √12 erklärt sich hierbei daraus, dass Bewegungen
entlang der zweiten, vierten, sechsten und achten Kante nur mit einem Anteil von
cos 45◦ = √12 zur Bewegung in Richtung der ersten Kante beitragen. Ebenso gilt
1
a2 − a6 + √ (a3 − a5 − a7 + a1 ) = 0,
2
1
a3 − a7 + √ (a4 − a6 − a8 + a2 ) = 0
2
und
1
a4 − a8 + √ (a5 − a7 − a1 + a3 ) = 0.
2
Wäre a1 − a5 =
6 0, so erhielte man aus der ersten Gleichung
√
2=
a2 − a4 − a6 + a8
,
a5 − a1
√
d.h. √ 2 wäre ein Bruch zweier ganzer Zahlen, im Widerspruch zur Irrationalität
von 2. Also ist a1 = a5 . Ebenso erhält man aus den übrigen Gleichungen a2 = a6 ,
a3 = a7 und a4 = a8 . Die Summe a1 + a2 + a3 + a4 der Schritte entlang der ersten
vier Kanten stimmt also mit der Summe a5 + a6 + a7 + a8 der Schritte entlang der
letzten vier Kanten überein.
17. Man zeige, dass es irrationale Zahlen a, b > 0 gibt, so dass ab rational ist.
√ √2
√
Lösung: Falls 2 („wider
Erwarten“) rational ist, so leisten
a := b := 2 das
√
√
√ 2
√ 2
√
Gewünschte. Falls 2 irrational ist, so setzt man
a := 2 und b := 2. Es
√
√ 2
√ 2
√ √2·√2
√ 2
b
sind dann a und b irrational, aber a =
2
=
2
=
2 = 2 ist
rational.
Variante: Für a := e, b := ln 2 gilt ab = 2. Man muss dann aber zeigen, dass e und
ln 2 irrational sind. Dies ist insbesondere für ln 2 nicht ganz einfach...
17
3
Einige zahlentheoretische Themen
1. Es wurden gängige Beweistechniken wie direkter Beweis, indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis) und vollständige Induktion besprochen. Es wurde gezeigt, wie man
mithilfe vollständiger Induktion einfache Beziehungen wie die durch den kleinen
C.F. Gauß bekanntgewordene
n
X
k=1
k=
n
· (n + 1)
2
für alle n ∈ IN
beweisen kann. Wie sehr man sich vor voreiligen Schlussfolgerungen hüten muss,
wurde anhand eines Induktions-„Beweises“ dafür, dass alle Menschen bis auf höchstens einen Außerirdische sind, erläutert:
„Beweis“: Es sei A(n) die Aussage “Unter je n Menschen befindet sich höchstens
einer, der kein Außerirdischer ist.” Dann ist A(1) sicher wahr. Wir nehmen an,
A(n) sei für ein festes n bereits bewiesen, und betrachten eine beliebige Menge von
n + 1 Menschen. Würden sich unter ihnen zwei Personen befinden, die keine Außerirdischen sind, so würden wir zwei solche Personen auch in einer geeigneten Menge
von n Menschen finden - ein Widerspruch! Also gilt A(n + 1). Mittels vollständiger
Induktion folgt die Gültigkeit von A(n) für alle n, wie behauptet.
Der Gedankenfehler in dieser Argumentation liegt darin, dass der Schluss von A(1)
auf A(2) offensichtlich falsch ist.
Als
Beweise wurden der Nachweis für die Irrationalität von
√ Beispiele für indirekte √
2 (oder allgemeiner von p, falls p prim ist) und der folgende berühmte Beweis
von Euklid vorgestellt.
2. Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis (Euklid): Wir schließen indirekt und nehmen hierzu an, es gäbe nur endlich
viele Primzahlen. Diese seien mit p1 , p2 , . . . , pN bezeichnet. Wir setzen
pe := p1 · p2 · . . . · pN + 1.
Dann ist pe 6= pj für alle j = 1, . . . , N (denn pe ist größer als jedes pj ). Bei Division
durch p1 , p2 , . . . , pN lässt pe jeweils den Rest 1, ist also durch keine dieser Zahlen teilbar. Folglich hat pe keine echten Primteiler und ist somit selbst eine Primzahl. Damit
haben wir eine von p1 , p2 , . . . , pN verschiedene Primzahl gefunden, im Widerspruch
zu unserer Annahme, dass p1 , p2 , . . . , pN sämtliche Primzahlen sind. Dies zeigt die
Behauptung.
Ergänzung: Es stellt sich die Frage, ob dieser Beweis ein Verfahren zur Konstruktion neuer Primzahlen aus den bereits bekannten liefert. Man könnte aufgrund
der obigen Betrachtungen geneigt sein, die folgende Vermutung aufzustellen: Wenn
p1 , . . . , pN die ersten N Primzahlen sind, dann ist pe := p1 · p2 · . . . · pN + 1 wieder
prim. Diese Vermutung ist jedoch falsch, wie das Beispiel
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031
zeigt: Die Zahl 30031 ist nicht prim; es ist nämlich 30031 = 59 · 509.
Als probate Methode zur Bestimmung von Primzahlen wurde das sog. „Sieb des
Eratosthenes“ besprochen.
18
3. Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen
Der Goldene Schnitt Φ bezeichnet das Verhältnis, das sich ergibt, wenn man eine
Strecke so teilt, dass sich die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke so verhält wie
die längere zur kürzeren Teilstrecke. Dies bedeutet
1
= Φ − 1.
Φ
Hieraus berechnet man sofort
√
1+ 5
Φ=
.
2
Dieses seit der Antike bekannte Teilungsverhältnis wird vom menschlichen Auge als
besonders ästhetisch empfunden. Es tritt in der Mathematik wie auch in Natur und
Kunst in vielfältiger Weise auf (siehe hierzu ausführlich [1]). So teilen diejenigen
Diagonalen im regulären Fünfeck, die sich nicht in einer Ecke schneiden, einander
im Goldenen Schnitt. In der Natur ist der Goldene Schnitt z.B. bei der Anordnung
von Blättern mancher Pflanzen realisiert, und in der Architektur der letzten 2500
Jahre finden sich zahllose Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnitts.
Die Fibonacci-Zahlen fn sind definiert durch f1 := f2 := 1 und die Rekursionsformel
fn = fn−1 + fn−2
für alle n ≥ 3.
Zwischen den Fibonacci-Zahlen bestehen viele interessante Zusammenhänge. So gilt
z.B.
f1 +f2 +· · ·+fn = fn+2 −1
und
f12 +f22 +· · ·+fn2 = fn ·fn+1
für alle n ∈ IN,
wie man leicht durch vollständige Induktion beweist. Weitere Beispiele finden sich
in [2, S. 231-234] und [3, S. 68-69].
Die Fibonacci-Zahlen beschreiben in einem auf den italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa (genannt Fibonacci) zurückgehenden, stark vereinfachten und realitätsfernen Modell das Wachstum einer Population von (als unsterblich angenommenen!) Kaninchen, treten aber auch vielerorts in der Natur auf (z.B. in den spiralförmigen Mustern der Ananas oder Sonnenblume), meist im Zusammenhang mit dem
Goldenen Schnitt. Dies hat damit zu tun, dass die Verhältnisse aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen besonders gute Approximationen für den Goldenen Schnitt
darstellen. Die Fibonacci-Zahlen lassen sich nämlich mittels der Formel von Binet
explizit durch den Goldenen Schnitt ausdrücken: Für alle n ≥ 1 gilt
n −1
1
n
fn = √ · Φ −
.
Φ
5
Hieraus folgt sofort
fn+1
= Φ,
n→∞ fn
lim
so dass für hinreichend „große“ n der Quotient fn+1
eine „gute“ Näherung für Φ
fn
f8
21
darstellt. (Tatsächlich approximiert bereits f7 = 13 den Goldenen Schnitt mit einem
Fehler von nur 0,17 %.)
19
Beweis der Formel von Binet: Es ist
1
Φ
= Φ − 1, also Φ2 = Φ + 1. Wegen
√
1
1
1
1+ 5−1
√ · Φ+
√
= √ · (2Φ − 1) =
= 1 = f1
Φ
5
5
5
und
1
1
1
1
2
√ · Φ − 2
= √ · Φ + 1 − (Φ − 1)2 = √ · Φ + 1 − Φ2 + 2Φ − 1
Φ
5
5
5
1
= √ · (2Φ − 1) = 1 = f2
5
gilt die Behauptung für n = 1 und n = 2.
Es sei nun n ∈ IN \ {1}, und es gelte
1
fk = √ ·
5
Φk −
−1
Φ
k !
,
für alle k ∈ {1, . . . , n} (also auch für k = n und k = n − 1). Dann folgt
fn+1 =
=
=
=
n
n−1 !
−1
−1
Φn −
+ Φn−1 −
fn + fn−1
Φ
Φ
n
1
−1
√ Φn−1 (Φ + 1) −
(1 − Φ)
Φ
5
n
1
−1
−1
n−1
2
√ Φ
·
·Φ −
Φ
Φ
5
n+1 !
1
−1
√
.
Φn+1 −
Φ
5
1
=√ ·
5
Also gilt die Behauptung auch für n + 1. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung damit für alle n ∈ IN bewiesen.
Literatur
[1] Beutelspacher, A.; Petri, B.: Der Goldene Schnitt, Spektrum, Heidelberg 1996
[2] Padberg, F.: Elementare Zahlentheorie, Spektrum, Heidelberg 2008
[3] Scheid, H.: Zahlentheorie, Spektrum, Heidelberg 2003
Kontaktadresse:
Dr. Jürgen Grahl
Institut für Mathematik der Universität Würzburg, Zi. 121
Am Hubland
97074 Würzburg
Tel.: 0931-888-4947
E-Mail: [email protected]
20
Robotersteuerung
Teilnehmer:
Rebecca Stumpf
Martin Schuhmann
Veronika Sehne
Maximilian König
Alessandro Simon
Projektleiter:
Prof. Dr. Martin Hennecke
Prof. Dr. Frank Puppe
Matthias Türk
21
Dienstag, den 17.07.2012
Ziel unserer Projektgruppe ist es, einen Roboter durch ein gegebenes Labyrinth zu navigieren (vgl. Abbildung auf der Titelseite). Zur Einführung in das Thema überlegen wir
uns, welche Grundaufgaben ein autonomer Roboter dazu beherrschen muss.
Problemstellungen:
1. Unsere erste Aufgabe ist es, den Roboter 20 cm geradeaus fahren und ihn daraufhin um 90 Grad nach rechts bzw. nach links drehen zu lassen.
2. Danach sollen die neu programmierten Grundfunktionen so verknüpft werden,
dass damit ein bekannter Parcours durchfahren werden kann.
3. Mithilfe eines Zufallsgenerators wird nun eine beliebige Strecke ausgewählt und
anschließend abgefahren.
4. Als abschließendes Problem haben wir unter Zuhilfenahme eines Lichtsensors
unseren Roboter eine, durch schwarzes Klebeband markierte, Strecke erkennen
und selbstständig abfahren lassen.
Lösungen:
1. Um eine festgelegte Streckenlänge zurückzulegen, muss zunächst ermittelt werden, wie viele Radumdrehungen ausgeführt werden müssen. Hierzu bestimmen
wir den Radumfang des Roboters. Dazu verfolgen wir zwei verschiedene Möglichkeiten:
 Wir rollen das Rad eine Umdrehung über ein Metermaß und lesen die zurückgelegte Strecke ab.
 Für eine Berechnung des Umfangs, messen wir den Radius
und berechnen diesen mit der Formel
.
Abbildung 1: Ermitteln des Radumfangs
22
Um den Roboter 20 cm fortzubewegen, muss sich der Motor um
drehen. Dieses Ergebnis wurde in ein Programm übertragen, damit der Roboter selbstständig diese Strecke abfährt.
Eine 90 Grad Drehung auf der Stelle wird ermöglicht, indem sich beide Räder in
verschiedene Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit bewegen. Dafür wurde
die Achsenlänge
gemessen und mit der Formel
der Umfang, des von den Rädern beschriebenen Vollkreises, berechnet
und die benötigte Drehungsstrecke der beiden Räder ermittelt. Daraus können
wir schließen, dass für jedes Rad eine Drehung von 146 Grad nötig ist. Auch dies
wurde als Programm festgehalten und erfolgreich getestet.
Durch vertauschen der Drehrichtungen werden sowohl Rechts-, als auch Linksdrehungen ermöglicht.
2. Da es sehr arbeitsaufwendig gewesen wäre, einen Parcours abzufahren und dabei
jeden Befehl einzeln aufzurufen, lösten wir dieses Problem mithilfe der Datenstruktur eines Arrays. Hierfür wandelten wir die Befehle „moveForward“, „rotateLeft“ und „rotateRight“ in die Ziffern 1, 2 und 3 um und speicherten diese in
den Array. Nun kann ein vorgegebener Parcours mit einem einzigen Befehl abfahren werden.
3. Durch das Importieren der Klasse „Random“ wird das Erzeugen mehrerer Zufallszahlen im Bereich von eins bis drei ermöglicht. Diese Zahlen werden in dem
Array gespeichert und dadurch kann der Roboter eine völlig zufällige Strecke befahren.
4. Unter Zuhilfenahme eines am Boden des Roboters befestigten Lichtsensors, der
die Farbhelligkeit des Untergrunds erkennt, soll er einem schwarzen Streifen folgen. Zuerst überlegen wir, ob es sinnvoll wäre, den Roboter auf der Mitte der
Kennzeichnung fahren zulassen. Jedoch wird uns klar, dass dies mit nur einem
Lichtsensor nicht möglich ist, da der Roboter nicht entscheiden kann, ob der
Streifen sich beim Verlassen rechts oder links von ihm befindet. Folglich kommt
uns die Idee, dass es einfacher wäre, ihn auf dem Übergang von schwarz zu grau
bzw. weiß entlang fahren zu lassen. Hier kann der Roboter aufgrund der Farbhelligkeitsunterschiede entscheiden, in welche Richtung er drehen muss, um wieder
auf die richtige Spur zu kommen. Damit er die Markierung nicht verliert, ist es
besser, wenn er sich nicht auf der Stelle dreht, sondern während der Fahrt Kurven beschreibt. Dies wurde durch An- und Ausschalten der jeweiligen Motoren
gelöst.
Jedoch entsteht hierdurch ein neues Problem: Der Roboter bewegt sich bei einer
geraden Kennzeichnung im Zickzack. Um dies zu beheben, schalten wir die Motoren nicht ab, sondern verringern bzw. erhöhen individuell die Geschwindigkeiten
der Motoren. Mit dieser Methode können nun Kurven mit stumpfen Winkeln befahren werden.
23
Mittwoch, den 18.07.2012
Für eine einwandfreie Steuerung des Roboters bekommen wir Simulationsaufgaben gestellt, die wir am Computer mit der plattformunabhängigen Simulationsumgebung RoSE
programmieren.
Problemstellungen:
1. Zuerst sollen wir diverse Figuren zeichnen, die aus mehreren farbigen Quadraten
bestehen. Hierbei wird die kleinstmögliche Schrittanzahl benötigt.
2. Darauf aufbauend sollen wir den simulationsgesteuerten Roboter so programmieren, dass er von einem beliebigen Startpunkt aus das rotmarkierte Zielfeld
findet.
3. Einem Teil unserer Gruppe wird die Aufgabe zugeteilt, sich mit einem Algorithmus zu beschäftigen, der mithilfe von Markierungen der besuchten Kreuzungen
und Wege aus dem Labyrinth herausfinden soll.
4. Die erste praktische Aufgabe am heutigen Tag ist es, den Roboter selbstständig
um Ecken fahren zulassen. Zur Erweiterung dessen soll er nun Kreuzungen erkennen und diesen folgen.
Lösungen:
Zuerst einmal müssen wir uns mit den verschiedenen Methoden vertraut machen, die in
der Simulationsumgebung verfügbar sind. Danach sind einfache Muster kein Problem.
Aus einfachen Labyrinthen herauszufinden geht sehr leicht, indem man sich immer an
eine der beiden Wände hält und dieser stur folgt. Allerdings kann diese Methode in einigen Irrgärten dazu führen, dass es sehr lange dauert, bis man sein Ziel erreicht, da man
jeden Weg abfahren muss (wenn man Pech hat). Ein weiteres Problem ist die Tatsache,
dass man das Ziel nur erreicht, wenn keine „Säulen“ existieren. In diesem Fall kann es
geschehen, dass sich der Roboter in einer Schleife aufhängt.
Dieses Problem haben wir mithilfe des Trémaux Algorithmus gelöst. Er basiert auf der
Idee, den abgefahrenen Weg zu markieren, um ein erneutes Befahren zu vermeiden.
Trifft man auf ein markiertes Feld wird dieses nochmal markiert und der Roboter versucht eine andere Richtung einzuschlagen. Der Trémaux Algorithmus wird zuerst in der
Simulationsumgebung realisiert.
Um das Fahren um die 90 Grad Ecken zu ermöglichen, muss die Methode „rotateRight“
mit dem Programm, durch das der Roboter der Linie folgt, kombiniert werden. Dies lösen wir mithilfe einer If-Anweisung, die den Roboter immer nach 20 cm Fahrt anhalten
lässt und danach mit dem hinteren rechten Lichtsensor überprüft, ob sich rechts neben
ihm eine schwarze Linie befindet und somit eine Kreuzung vorliegt. Nach Erkennung
dieser dreht er über die Methode „rotateRight“ um 90 Grad nach rechts und folgt weiterhin dem Linienverlauf. Um die Linienerkennung zu vereinfachen versuchen wir die
24
Linienverfolgung mithilfe der beiden hinteren Sensoren zu lösen. Jedoch bereitet dies
uns diverse Probleme, worauf wir beschließen das Folgen der Linie weiterhin auf dem
vorderen Lichtsensor basieren zu lassen und die Hinteren nur zur Kreuzungserkennung
zu verwenden. Aufgrund unserer Linienführungswahl an der rechten Kante, ist es uns
nicht möglich den linken Sensor zu verwenden, da dieser sich immer über dem schwarzen Streifen befindet und somit keine Farbunterschiede erkennt (hier wäre ein Umbau
des Roboters nötig gewesen). Am heutigen Tag ist die Implementierung aus zeitlichen
Gründen nicht mehr lösbar und wird auf den morgigen Tag verschoben.
Donnerstag, den 19.07.2012
Da die Problemstellungen des gestrigen Tages noch nicht vollständig gelöst sind, beschäftigen wir uns heute weiter mit diesen Aufgaben.
Problemstellungen:
1. Der Algorithmus zum Durchlaufen des Labyrinths wird weiterentwickelt und
vollendet, sodass er auf den mechanischen Roboter übertragen werden kann.
2. Die am Vortag gestellte Aufgabe, dass der Roboter die Kreuzungen erkennt und
ihnen folgt, soll heute vollendet werden. Nach der Grundimplementierung der
Kreuzungserkennung wird diese weiter verfeinert und kleine Ungenauigkeiten
behoben.
3. Der Trémaux Algorithmus ermöglicht es uns, jedes Feld des Labyrinths und somit
auch den Zielpunkt zu erreichen.
Lösungen:
1. Die Umsetzung des Algorithmus gelang uns nicht auf Anhieb, da man viele Fälle
beachten muss. Desweitern ist die Fehlerbehebung aufgrund der Größe des Programms sehr schwierig und mit viel Arbeit verbunden. Nichtsdestotrotz gelingt
es uns nach einigen Stunden durch akribisches Auseinandernehmen des Programms unser Problem zu lösen und den Roboter sicher in sein Ziel zu führen,
indem wir eine besser strukturierte Fallunterscheidung verwendet haben.
2. Nach der Reflektion der Probleme des gestrigen Tages stellen wir fest, dass es
einfacher ist, den Roboter mit dem vorderen Lichtsensor auf der Kante des Streifens fahren zulassen. Der rechte Sensor dient zum Erkennen einer Kreuzung oder
Ecke, wohingegen der linke Sensor außer Gebrauch bleibt, da dieser sich immer
über dem schwarzen Streifen befindet und somit keine Kreuzungen feststellen
kann.
Wir starten einen Testlauf mit dem Roboter, um Fehler und Ungenauigkeiten
festzustellen.
Fehler:
 ungenaue Drehung bei den Kurven
25
 Dieses Problem lösen wir durch erneute Berechnung, Richtigstellung und Verfeinerung der Werte.
 Aufgrund der Orientierung am rechten Streifenrand entstehen bei
Links bzw. Rechtskurven unterschiedliche Streckenlängen zwischen den Kurven
 Dies lösen wir durch Spezifikationen der einzelnen Streckenabschnitte, mithilfe diverser if-Unterscheidungen.
 Orientierungsprobleme an Kreuzungen von vier Wegen
 If-Anweisungen, die eine maximal dreifache Drehung an jeder
Kreuzung vorschreibt, dient uns dazu, dass sich der Roboter
an jeder Kreuzung entscheiden muss, welchen Weg er nimmt,
und nicht mehr den, aus dem er gekommen ist.
3. Der Algorithmus wurde nun mittels des universitätseigenen Simulationsprogramms RoSE für das aufgeklebte Labyrinth modelliert. Somit bekommen wir
den einfachsten Weg, um jeden Punkt zu erreichen im vorgegebenen Irrgarten.
Die Roboterbewegungen wurden nun an den Algorithmus angepasst, sodass er
diesen Weg ablaufen kann.
Reflexion
Zusammenfassend kann man sagen, dass unsere Projektarbeit ein voller Erfolg war und
wir viele neue Erfahrungen gesammelt haben. Obwohl wir zuvor noch nicht im Umgang
mit Robotern erprobt waren, gab es trotz anfänglicher Misserfolge, am Ende ein zufriedenstellendes Ergebnis. Wir erweiterten unsere Java-Kenntnisse und sammelten neue
Erfahrungen im Bereich Simulations- und Regelungstechnik. Des Weiteren stärkten wir
unsere Teamfähigkeit und verbesserten unsere Kommunikationsfähigkeit mit vorher
unbekannten Jugendlichen und Professoren der Universität in Würzburg. Auch an Spaß
hat es in der doch sehr arbeitsreichen Woche nicht gemangelt, was einzig durch den langen Fußweg vom Schönstattzentrum zum MIND-Center getrübt wurde. Alles in Allem
sind wir sehr zufrieden mit der Gestaltung und Organisation der Schülerprojekttage
2012 an der Universität in Würzburg und können sie den folgenden Schülern weiterempfehlen.
26
Schülerprojekttage 2012
Ergebnisse1 der Gruppe 3: „Meinungsdynamik“
Schüler: Theresa Brandl , Clara Gimpel , Sebastian Stößel, Felix Feußner, Christina
Schürger, Michael Reinhart und Philipp Rösch
Betreuer: G. Dirr, R. Geiselhart, J. Jordan, M. Schönlein
1. Problemstellung
In einer Gruppe, in der n Personen vertreten sind, gibt es zu einem Thema drei verschiedene
Meinungen: A, B und C
In der Gruppe treffen sich nun immer zwei zufällige Personen und tauschen Argumente über
ihre Meinungen bzgl. des Themas aus. Haben diese Personen dieselbe Meinung, so werden
Sie in ihr bestärkt, es passiert also nichts.
Gehen jedoch zwei Personen unterschiedlicher Meinung in einen Disput, so werden beide
soweit verunsichert, dass sie am Ende die Meinung vertreten, die zuvor keiner der beiden
hatte.
1
Überarbeitete Version
27
Mögliche Fragestellungen lauten nun: Kann ein Konsens gefunden werden? Wovon ist es
abhängig, ob eine Übereinstimmung aller Personen erreicht werden kann? Welche bzw. wie
viele Verteilungen von Personen mit der Meinung A, B bzw. C sind möglich?
2. Grundsätzliche Festlegungen
Zunächst untersuchten wir die Situation anhand von einigen kleinen Zahlenbeispielen. Wir
beobachteten die Entwicklung der Meinungen innerhalb der Gruppe und es wurde uns schnell
klar, dass diese sehr komplex ist. Um das Problem verständlich und mathematisch darstellen
zu können, einigten wir uns darauf, die Anzahl der einzelnen Meinungen als Zahlentripel
darzustellen:
Ist die Gesamtzahl der Personen in der Gruppe
und es gibt a Personen mit der
Meinung A, b Personen mit der Meinung B und c Person mit der Meinung C, so definierten
. Zusätzlich führten wir den Begriff der
wir diesen Zustand durch das Zahlentripel
Endstation ein, der die Situation beschreibt, in der alle Personen der Gruppe eine gleiche
Meinung angenommen haben. Endstationen sind also
,
und
. Damit
waren die grundsätzlichen Begriffe geklärt.
Durch Probieren anhand verschiedener Fälle wie n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 und n = 9, bei
denen wir jeweils von verschiedenen Anfangssituationen (Zuständen) ausgingen und alle
möglichen Entwicklungen in Betracht zogen, stellten wir fest, dass es, zumindest bei diesen
Beispielen, immer drei verschiedene Teilmengen gibt, die man durch beliebige Begegnungen
nicht verlassen kann. Derartige Teilmengen von Zahlentripel bezeichnen wir im Weiteren als
Orbits, d.h. ein Orbit ist eine (möglichst kleine) Teilmenge von Zuständen, die man durch
beliebige Begegnungen nicht verlassen kann. Man kann also von einem Orbit nicht in einen
anderen gelangen, oder anders gesagt, man kann von einer Ausgangssituation nicht zu jeder
beliebigen anderen gelangen. (Bemerkung: In diesem Sinn wären auch die 1-elementigen
Teilmengen, die nur aus einer Endstation bestehen, Orbits. Diese Extremfälle wollen wir im
Weiteren ausschließen.)
Grundlegend werden zwei Fälle unterschieden, solche, bei denen die Gesamtzahl der
Personen n durch 3 teilbar ist, und solche, bei denen n nicht durch 3 teilbar ist. Wir hatten die
folgende
Vermutungen:
(a) Ist n durch 3 teilbar, so ergeben sich ein Orbit, in dem alle Endstationen
vorkommen, und zwei andere Orbits, in denen jeweils keine Endstation vorhanden
ist. Dabei hat der Orbit mit den drei Endstationen immer ein Element mehr als die
beiden anderen.
28
(b) Ist n jedoch nicht durch 3 teilbar, so ergeben sich drei gleich große Orbits, die
jeweils zu einer Endstation führen können.
Wir haben versucht, dies am Beispiel n=5 graphisch darzustellen:
050
131
023
320
005
311
113
203
212
104
500
230
302
122
401
014
032
221
041
140
410
3. Mächtigkeit von Ω
Eine Frage, die wir uns zu Beginn stellten, war, wie viele Verteilungen der verschiedenen
Meinungen bei einer gegebenen Anzahl von n Personen, auftreten können. Also wie viele
Möglichkeiten es bei einem gegebenen n für das Zahlentripel
gibt. Diese Menge an
möglichen Zuständen nannten wir Ω. Durch Ausprobieren für kleine n erkannten wir, dass die
Mächtigkeit von Ω durch
gegeben ist. Diese Formel
ließ sich durch den Trick von Gauß2 zu
umformen. Wir stellten fest, dass dies nichts anderes als der Binomialkoeffizient
ist. Dies erscheint logisch, wenn man folgende Skizze betrachtet:
Elemente
Man stellt fest, dass die Anzahl der Zwischenräume zwischen den entnommenen (schwarzen)
Feldern den möglichen Verteilungen von a, b und c entspricht. Somit kann man alle
möglichen Meinungsverteilungen darstellen. Da nun
die Anzahl aller Möglichkeiten
angibt, um zwei Elemente aus
Elementen ohne Zurücklegen oder Beachtung der
Reihenfolge auszuwählen, erhält man die obige Aussage.
2
Exkurs: Die Gaußsche Summenformel ist eine Formel um die ersten n aufeinander folgenden natürlichen
Zahlen zu addieren. Die Idee dahinter ist, dass die Summe aus der ersten und der letzten Zahl, der zweiten und
vorletzten Zahl immer die gleiche ist. Somit kann die Summe einer Reihe von natürlichen Zahlen 1+2+3+…+n
auch als n • (n+1) ausgedrückt werden.
29
,k
, das heißt, die Gesamtzahl der Personen ist
These: Um unsere These, dass für
durch 3 teilbar, die Mächtigkeit von Ω mit Rest 1 durch drei teilbar, sowie für
und
, die Mächtigkeit von Ω restlos durch drei teilbar ist, zu belegen, setzten wir
in die Formel für
die Werte
,
bzw.
,k
ein. Es ergibt
sich
 für
:
Hier ist der erste Summand durch 3 teilbar, denn k oder (k+1) ist eine gerade Zahl und ein
Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer gerade, also kann man die 2
aus dem Nenner wegkürzen.
 für
 und für
:
:
Auch bei diesen beiden Fällen ist der erste Summand durch 3 teilbar. Somit muss nur noch der
und
zweite Summand betrachtet werden. Dieser ist jedoch nur für
durch drei teilbar. Damit ist
im Falle, dass n nicht durch drei teilbar ist, restlos durch drei
teilbar. Ist n durch drei teilbar, so bleibt bei der Division von
mit 3 der Rest 1.
Vorsicht: Die obige Überlegung zeigt nur, dass die Mächtigkeit von Ω der zuvor formulierten
Vermutung nicht widerspricht. Dies ist jedoch noch kein Beweis der Vermutung.
4. Orbits und deren Charakterisierung
4.1. Unterscheidung der Orbits
Die Begegnungen von Personen mit unterschiedlicher Meinung lassen sich durch Abbildungen beschreiben. Diese drücken die Meinungsänderungsprozesse innerhalb der Gruppe
aus. Treffen z.B. zwei Personen mit Meinung A und B aufeinander, so ergibt sich hinterher die
. Dieses Aufeinandertreffen lässt sich durch die
Meinungsverteilung
Abbildung (a,b,c) = (a+2,b-1,c-1) darstellen. Analog lassen sich für das Aufeinandertreffen
von Personen mit Meinung A und C die Abbildung (a,b,c) = (a-1,b+2,c-1) und für das
Aufeinandertreffen von B und C die Abbildung (a,b,c) = (a+2,b-1,c-1) definieren
Vermutung: Bei der Betrachtung der verschiedenen Orbits ist aufgefallen, dass durch
Anwendung der Abbildungen ,
und
der Orbit eines jeden Zahlentripels niemals
verlassen werden kann. Auch fällt auf, dass die Differenz aus a und b bei Division durch 3
immer denselben Rest liefert. Schreibt man also a-b = 3k+ε, wobei ε entweder 0, 1 oder 2 ist
30
und den Rest beim Teilen durch 3 angibt, so vermuteten wir, dass dieses ε für jeden der 3
Orbits spezifisch ist.
Beweis: Um das zu beweisen haben wir uns überlegt, wie sich ε verändert, wenn eine der
obigen Abbildungen auf unser Zahlentripel (a,b,c) angewendet wird. Formell sieht das dann
so aus:
Z, ε
a-b = 3k+ε, k
Durch Anwendung der Abbildungen
,
und
{0,1,2}.
erhält man:
Zu τ1 : (a‘, b‘, c‘) = τ1( a, b, c) = (a+2, b-1, c-1). Falls a-b = 3k + ε, dann gilt
a‘- b‘= a-b+3 = 3(k+1) + ε
Zu τ2 : (a‘, b‘, c‘) = τ2(a, b, c) = (a-1, b+2, c-1). Falls a-b = 3k + ε, dann gilt
a‘- b‘ = a-b-3 = 3(k-1) + ε
Zu τ3 : (a‘, b‘, c‘) = τ3(a, b, c) + τ3 = (a-1, b-1, c+2). Falls a-b = 3k + ε, dann gilt
a‘- b‘= a – b = 3k + ε
Man sieht also, dass sich das ε nie ändert. Damit ist der Beweis erbracht, dass Tripel mit
verschiedenen Resten ε in verschiedenen Orbits sind. Dies gilt analog auch für b-c und a-c.
Diese Überlegungen führten uns dann zu der Fragestellung, in wie weit diese Differenzen
voneinander abhängen.
4.2. Anzahl der Orbits
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Differenzen innerhalb der Zahlentripel zu bilden:
a-b, b-c und a-c.
Die Reste dieser Differenzen bei der Division durch drei können zwischen 0 und 2 liegen. Es
gibt also jeweils 3 mögliche Reste und 3 Möglichkeiten Differenz zu bilden. Es könnten also
33 = 27 Kombinationen und folglich 27 Orbits existieren. Wenn man jedoch zwei der
Differenzen kennt, so ist die dritte dadurch eindeutig festgelegt, da (a-b) + (b-c) = a-c. Somit
kann es höchstens 32 = 9 unabhängige Möglichkeiten geben. Ferner gilt:
a – b = ε + 3k
a – c = ε´ + 3k´
n=a+b+c
ε1 {0,1,2},
ε2 {0,1,2},
k
k’
Z
Z
Daraus folgt n + ε + ε´ = 3k – 3k´ -3a ist durch 3 teilbar. Somit ist ε´ eindeutig durch n und ε1
festgelegt.
Vermutung: Es gibt insgesamt genau 3 Orbits und nicht mehr gibt.
4.3. Verteilung der Endstationen in den Orbits
Mithilfe dieser Differenzen lässt sich auch unsere Vermutung, dass bei n = 3k, k
alle Endstationen in einem Orbit liegen, während die Endstationen bei einem nicht durch 3
teilbaren n in verschiedenen Orbits liegen, beweisen. Die drei möglichen Endstationen sind
31
(n,0,0), (0,n,0) und (0,0,n). Wenn man nun die Differenzen a-b der Endstationen vergleicht, so
sind diese n, -n und 0. Auch wenn man a-c oder b-c betrachtet, findet man diese Differenzen.


Für n = 3k, k
sind alle möglichen Differenzen von a-b, also 3k, -3k und 0
ohne Rest durch 3 teilbar, was analog auch für a-c und b-c gilt. Deswegen liegen
hier alle sogenannten Endstationen in einem Orbit.
Für n = 3k + δ, k
, δ {1,2}, wenn n also nicht durch 3 teilbar ist, ergeben
sich die Differenzen 3k+δ, -3k-δ und 0. Hier ergeben sich jedoch bei der Division
durch 3 verschiedene Reste, nämlich jeweils einmal δ, einmal 3–δ und einmal 0.
Somit liegen hier die Endstationen in den drei verschiedenen Orbits.
4.4. Die Mächtigkeit der Orbits
Nun stellt sich die Frage, wie viele Elemente sich in einem Orbit befinden. Wir vermuteten,
dass in den Fällen, in denen n nicht durch drei teilbar ist, sich in jedem Orbit gleich viele
Zahlentripel befinden. Dies kann anhand einfacher Überlegungen gezeigt werden:
,
und
in jeweils einem Orbit
Es ist bekannt, dass die Endpunkte
liegen. Zu jeder Endstation gibt es genau eine Konstellation von Meinungen, über die diese
erreicht werden kann:
,
und
. Schon hier fällt eine
Symmetrie auf: kennt man alle Elemente des ersten Orbits, so kann man die Elemente des
zweiten Orbits dadurch erhalten, dass man a und b vertauscht. Analog geht man mit dem
dritten Orbit vor, wo man a und c des ersten Orbits vertauscht. Durch dieses Tauschen wird
der Rest bei der Division der Differenz durch 3 verändert. Somit müssen diese durch
Vertauschen von Stellen erhaltenen Zahlentripel in einem anderen Orbit liegen. So wird
aufgrund dieser Symmetrie klar, dass im Fall, dass n nicht durch drei teilbar ist, sich in jedem
Orbit gleich viele Zahlentripel befinden müssen.
; d.h. wenn n durch 3 teilbar ist. Wie oben schon
Ein Sonderfall tritt ein, wenn n= 3k, k
bewiesen, ist
in diesem Fall nicht ohne Rest durch 3 teilbar und lässt sich deshalb nicht
gleichmäßig auf 3 Orbits verteilen. Denn hierbei ergibt sich eine Zahlenkombination aus drei
gleichen Zahlen ( , ), die auch beim Vertauschen von a, b und c immer gleich bleibt. Diese
Kombination befindet sich nur im Endstationsorbit. Deshalb hat er ein Element mehr.
Vorsicht: Die obige Argumentation geht in die richtige Richtung; ist jedoch nicht vollständig!
4.5. Wege innerhalb der Orbits
Wir haben also drei verschiedene Orbits gefunden. Nun stellte sich die Frage, ob diese
„zusammenhängend“ sind, d.h., ob innerhalb jedes Orbits von jedem beliebigen
Ausgangszustand
jeder beliebige andere Zustand
erreicht werden kann.
Offensichtlich ist dies nicht der Fall, ein Gegenbeispiel stellt der Fall
dar. Hier kann
im realen Modell keine der Abbildungen ,
und
angewandt werden, da die Anzahl an
Personen, die eine bestimmte Meinung haben, nicht negativ werden darf. Dies wollen wir im
Folgenden außer Acht lassen. So sollen zwar negative Anzahlen an Meinungen weiterhin
und
zu
verboten bleiben, jedoch soll es erlaubt sein, die Umkehrabbildungen ,
verwenden. Diese Vorgehensweise ist folgendermaßen motiviert:
Wendet man alle drei Abbildungen hintereinander an, so erhält man die Identität (Ausgangssituation vor der Anwendung) zurück.
32
Damit erhalten wir z.B. für die Umkehrabbildungen zu
die Identität
.
und
darstellen. Wir betrachten nun
Analog kann man auch die Umkehrabbildungen zu
die Ausgangsverteilung
und die Zielverteilung
, welche aus einem Orbit
stammen und beliebig festgelegt werden können. Zwischen diesen stellen wir einen
Zusammenhang her, indem wir eine Größe V definieren, die den Unterschied zwischen den
Zuständen beschreibt:
Je kleiner V ist, desto „näher“ ist die Ausgangsverteilung
an der gewünschten
Zielverteilung
. Um die Ausgangsverteilung dem Ziel noch weiter anzunähern, soll
nun folgende Strategie angewandt werden:
Zunächst wird geprüft, welcher der Beträge
,
und
am größten ist, bei
welcher Komponente an Meinungen also noch der größte Unterschied zum Ziel vorhanden ist.
Für diesen größten Betrag wollen wir nun drei Fälle unterscheiden:
 Ist dieser gleich null, so ist die Zielverteilung erreicht; es bedarf keiner weiteren
Operationen
 Der Betrag kann gleich 1 sein. Diesen Fall wollen wir später betrachten.
 Zunächst soll nur der Fall betrachtet werden, in denen der höchste Betrag größer oder
gleich 2 ist.
Um dem Ziel näher zu kommen, wollen wir nun
so wählen, dass dieser höchste Betrag um
2 verringert wird. Der Einfachheit halber wollen wir nur Fälle betrachten, in denen
ist. Somit wenden wir entweder
oder
an. Für Fälle in
denen
oder
gilt das Folgenden
jedoch analog.
Vorsicht: Die obige Fallunterscheidung ist nicht vollständig; diese ist aber für die weitere
Argumentation irrelevant.
Um die Betragsstriche von
aufzuheben, muss eine weitere Fallunterscheidung
zwischen
und
durchgeführt werden. Ist nun
, so wird
angewandt.
Man beachte, dass entweder
oder
gelten muss, da
. Die
Abbildung
hat nun zwei offensichtliche Auswirkungen auf V:
 da
wird
 da
oder
entweder
an
um 2 angenähert;
wird um 2 verringert
wird (wegen Anwendung von
, also +1 bei b oder c)
oder
um 1 verringert
 der verbleibende Betrag wird nun maximal um 1 erhöht (wiederum wegen Anwendung
von
)
Für V erhält man damit in jedem Schritt eine Verringerung von mindestens 2. Nach
33
abschließender Untersuchung des Sonderfalls, werden wir sehen, dass man somit in einer
zu jedem
endlichen Anzahl von Schritten, in jedem Orbit von jedem beliebigen
beliebigen
gelangen.
Nun soll noch der Sonderfall betrachtet werden, wenn der Betrag der größten Differenz gleich
eins ist. Auch hier soll nur der Fall betrachtet werden, wenn
und
ist. In allen anderen Fälle kann man wiederum analog vorgegangen. Da
muss nun entweder
oder
sein.
Betrachten wir den Fall
. Generell wissen wir, dass für zwei
Meinungsverteilungen in einem Orbit gilt:
und
.
Nun gibt es zwei Fälle:


und damit
und damit
Wir wollen nur den ersten betrachten, für den zweiten gilt das Folgende wiederum analog:
Dann ist
und somit
.
Außerdem ist
und damit ist
.
Einsetzen liefert:
und damit
Betrachten wir nun die Formel von oben, so sehen wir, dass
Durch Gleichsetzen erhält man
und damit
Dies ist ein Widerspruch zu
. Somit können
Orbit liegen, wenn der Betrag der größten Differenz eins ist.
und
nicht im selben
Damit ist bewiesen, dass in einem Orbit von jedem Ausgangszustand jeder beliebige andere
Zustand erreicht werden kann. Es gibt also tatsächlich genau drei Orbits, die sich nicht weiter
unterteilen.
34
Alternativer Lösungsansatz: Wenn man von einem beliebigen Zustand zu einem anderen
Zustand im selben Orbit kommen will, muss man die obigen Abbildungen geeignet
anwenden. Wenn man also von (a, b, c) zu (a‘, b‘, c‘) kommen will und
a – b = 3k1 + ε; a‘ - b‘= 3k2 + ε
bzw.
a – b - 3k1 = ε = a‘- b‘- 3k2, k1, k2
Z, ε
{0,1,2}
dann bestimmt man zuerst den Unterschied zwischen den einzelnen Zuständen, also (a‘- a; b‘b; c‘- c). Wäre z.B. (a, b, c) = (103, 54, 49) und (a‘, b‘, c‘) = (3, 2, 201), dann wäre (-100, -52,
+152) ihr Unterschied. Diese Differenz muss sich immer durch die Abbildungen τ1, τ2 und τ3
ausdrücken lassen, d.h.
n(2,-1,-1) + k(-1,2,-1) + m(-1,-1,2) = (a‘-a; b‘-b; c‘-c), n, k, m
Z
Die Lösung dieses Problems ist nie eindeutig, da aus den Abbildungen τ1, τ2, τ3 immer eine
Identität gebildet werden kann, also eine Schleife gegangen werden kann. Aber ein
„Verhältnis“ der zur Lösung benötigten Operatoren kann festgestellt werden. Das
Gleichungssystem hierfür ist:
2n – k - m = a‘-a
-n + 2k - m = b‘-b
-n – k + 2m = c’-c
Wenn man hier nun für a‘-a; b‘-b und c‘-c die gegebenen Zahlen einsetzt und dann nach n, k
und m auflöst, dann ist bekannt wie man von der einen Meinungskonstellation in eine andere
kommt.
Es ist uns misslungen diese Formeln nach n, k oder m, für den allgemeinen Fall, aufzulösen,
da sich die Variablen immer wieder „herauskürzen“. Wenn man 2 Tripel aus verschiedenen
Orbits in die Formel einsetzt, dann sieht man, dass es zu einem Widerspruch kommt.
5. Fazit
Am Ende unseres Projekts können wir nun sagen und beweisen, ob eine bestimmte
Ausgangskonstellation zu einer einstimmigen Entscheidung führt und wenn ja, zu welcher.
Insgesamt hat es uns sehr viel Spaß gemacht, in der Gruppe zu arbeiten und uns mit diesem
mathematischen Problem auseinander zu setzten. Zum Schluss wollen wir uns noch bei
unseren Betreuern bedanken, die uns ab und zu auch ein wenig unter die Arme greifen
mussten.
35
36
Klimawandel:
Ein globales
Treibhausgas Modell
Leitung: Prof. Christian Klingenberg
Isabel Grimm
37
1. Einführung Klimawandel
Obwohl der Klimawandel inzwischen in dem Bewusstsein der Menschen angekommen ist und in den Medien auch häug über dieses Thema berichtet wird, taucht
er fast nie direkt in den Nachrichten auf. Wenn vom Klimawandel die Rede ist,
dann nur im Zusammenhang extremen Wetterereignissen oder Naturkatastrophen. Anschlieÿend wird fast immer die Frage gestellt, ob der Klimawandel an
diesen Ereignissen schuld ist. Diese Frage zu beantworten ist denkbar schwer.
Dies liegt zum einen daran, dass es enorm viele Faktoren gibt, die das Klima
beeinussen, zum anderen weiÿ man über viele Prozesse, die entscheidend sind,
noch recht wenig. Auch wenn es dadurch noch Unsicherheiten gibt, lässt sich
mit groÿer Sicherheit sagen, dass der Mensch maÿgeblich an diesem Wandel
beteiligt ist, indem er enorme Mengen CO2 in die Atmosphäre emitiert. Da
der Klimawandel zurzeit eine sehr aktuelle Problemstellung ist, beschäftigen
wir uns auch während der Mathematikprojekttage mit diesem Thema. Auch
das Wort Treibhauseekt ist in aller Munde und hängt eng damit zusammen.
Doch- was ist das überhaupt? Spurengase in der Atmosphäre, v. a. CO2 und
Methan, lassen die Sonnenstrahlung durch, sie reektieren jedoch die von der
Erde in Richtung All zurückgestrahlte Wärmestrahlung. Die Folge davon ist,
dass die Durchschnittstemperatur auf der Erde, nicht bei -15 ° sonderen bei
+15° liegt. Da der Mensch im Industriezeitalter durch seine Lebensweise die
Konzentration der Treibhausgase ( CO2 ,Methan, usw.) erhöht, steigt dadurch
die Durchschnittstemperatur auf der Erde an. In unserem Projekt beschäftigen
wir uns mit der CO2 -Konzetration und dem Austausch zwischen den einzelnen
Resservoirs.
2. Mathematische Grundlagen
Um ein Modell des CO2 -Austausches aufstellen zu können, müssen wir erst
einige mathematische Grundlagen kennenlernen.
2.1 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Zuerst behandeln wir gewöhnliche Dierenzialgleichungen (DGL). Damit bezeichnet man Bestimmungsgleichungen für eine Funktion einer unabhängigen Variable, die mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion enthält. Die Austauschvorgänge von CO2 zwischen drei verschiedenen Reservoirs können mit
einer Skizze dargestellt werden.
[y1 ]c b [y2 ]
↓a
[y3 ]
Hierbei sind y1 ,y2 und y3 jeweils die CO2 -Menge und a,b und c die jeweilige
Austauschrate.
Das dazugehörnde gekoppelte DGL-System lautet:
·
y 1 (t) = −(a + b) · y1 (t) + c · y2 (t)
·
y 2 (t) = b · y1 (t) − c · y2 (t)
·
y 3 (t) = a · y1 (t)
2.2 Matrizen
Dies kann auch in Matrix-Schreibweise dargestellt werden:
38
· ⎞
⎛
y1
−(a + b)
⎝ y2 ⎠ = ⎝
b
a
y3
⎛
⎞ ⎛
⎞
c 0
y1
−c 0 ⎠ · ⎝ y2 ⎠
0 0
y3
2.2.1 Definition
Eine Matrix ist ein Zahlenschemata mit m Zeilen und n Spalten. Man spricht
deshalb von einer (m×n)- Matrix.
2.2.2 Rechenregeln
Für Matrizen gelten folgende Rechenregeln:
Bei der Addition wird komponentenweise vorgegangen, wobei nur Matrizen gleicher Gröÿe addierte werden können.
Bsp.:
1
2
0
4
4
1
+
1
2
=
5
3
1
6
Bei einer Multiplikation mit einem Skalar, wird dieser an jeden Eintrag multipliziert:
Bsp.:
3·
1
2
0
4
3
6
=
0
12
Für die Multiplikation mit einer anderen Matrix darf man nur (m ×n)- und
(n×p)- Matrizen verwenden,
sie ist nicht ⎞
kommutativ.
⎛
⎞⎛
⎛
⎞
a11 ..... a1n
b11 ..... b1p
c11 ..... c1p
h
⎝ ..... ..... ..... ⎠·⎝ ..... ..... ..... ⎠ = ⎝ ..... ..... ..... ⎠, wobei cij
k=1 aik b
am1 ..... amn
bn1 ..... bnp
cm1 ..... cmp
1, ....., m;j = 1, ....., p)
Bei
2)-Matrix verfährt
man folgendermaÿen:
einer (2 ×
b11 b12
(a11 b11 + a12 b21 ) (a11 b12 + a12 b22 )
a11 a12
·
=
(a21 b11 + a22 b21 ) (a21 b12 + a22 b22 )
a21 a22
b21 b22
2.2.3 Spezielle Matrizen
Es gibt verschiedene spezielle Matrizen: Besteht eine Matrix nur aus einer Zeile,
so spricht man von einem Zeilenvektor. Bei nur einer Spalte heiÿt dies Spaltenvektor. ⎛
Eine weitere⎞spezielle Matrix ist die Einheitsmatrix;
z.B.:
1
⎝
0
In =
0
0
1
0
0
0 ⎠ ∈ Rn×n
1
Sie ist ein neutrales Element der Matrixmultiplikation, d.h. wenn man die
Matrix A mit der Einheitsmatrix multipliziert, erhält man die Matrix A.
2.2.4 Determinante berechnen
Um die Determinante einer (2×2)-Matrix zu berechnen, benutzt man folgende
Formel:
a b
det c d = ad-bc
Bei⎛einer (3×3)-Matrix
gilt die so genannte Regel von Sarrus:
⎞
det⎝
a
d
g
b
e
h
c
f ⎠=
i
aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi
39
Für eine (m×n)-Matrix liefert die Entwicklung nach i-ter Spalte die Determinante det A = nj=1
(-1)i+j aji
detAji
Beispiel: det 13 24 =(-1)1+1 ·1·det(4)+(-1)1+2 ·2·det(3) = 4+(-6) = -2
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren
Zuerst denierten wir die Bedingungen für die Existenz eines Eigenvektor (EV).
Existiert ein λ ∈ R, sodass die Gleichung Av = λv gilt, dann ist v, v = 0, v ∈ Rn ,
der Eigenvektor der Matrix A, wobei A ∈ Rnxn . λist dann der Eigenwert (EW).
Bei der Berechnung des Eigenvektors muss immer zuerst der Eigenwert bestimmt werden, wobei es auch mehrere Eingenwerte geben kann. Um λzu bestimmen wird das charakteristische Polynom, det(A − λ · In ), gebildet und mit
Null geleichgesetzt. Anschlieÿend werden alle λ, die Eigenwerte, ausgerechnet.
Der ker(A − λi · In )(ker = Kern, entspricht alles was auf 0 abgebildet wird, d.h.
löse das lineare Gleichungssystem (A − λi · In ) · x = 0) liefert die Menge aller
Eigenvektoren zum Eigenwert λi .
1 −1
Bsp: Bestimme die Eigenwerte und Eingenvektoren zu A = 1 3
ˆ
EW:
det(A−λi ·In ) = det
ˆ
1−λ
1
−1
3−λ
= (1−λ)·(3−λ)+1 = λ2 −4·λ+4
charakteristisches Polynom = 0 ⇐⇒λ2 − 4 · λ + 4 = 0⇐⇒λ1,2 = 2
EV:
−1 −1
ker(A − λ1,2 · I2 ) = ker
, d.h.
1
1
x1
0
·
=
0
x2
−1 −1 : 0
−1 −1 : 0
⇒
1
1 :0
0
0 :0
⇒ −x1 − x2 = 0 ⇐⇒ x2 = −x1
x1
⇒ ker(A − 2 · I2 ) =
| x1 ∈ R
−x1
−1
1
−1
1
z.B. wähle x1 = 1
⇒ein
Eingenvektor zum Eingenwert λ1,2 = 2 wäre v =
2.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
1
−1
Vektoren heiÿen linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Allgemeiner lässt sich das Ganze denieren, wenn es eine Gleichung k1 · v1 + ....... +
kn · vn = 0 für k ∈ R, (k1 , ....., kn )= (0, ......, 0) gibt. Anderenfalls nennt man
v1 , ....., vn linear unabhängig (also wenn k1 · v1 + ....... + kn · vn = 0 nur für
k1 = .... = kn = 0)
Bsp.:
40
ˆ
linear abhängig:
⎛
ˆ
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
3
1
3
⎝ 2 ⎠, ⎝ 6 ⎠ (⇒ 3 · ⎝ 2 ⎠ − ⎝ 6 ⎠ = 0)
3
9
3
9
linear unabhängig:
⎛
⎞⎛ ⎞
1
4
⎝ 2 ⎠,⎝ 5 ⎠
3
6
2.5 Homogenes System linearer Differentialgleichungssysteme 1.Ordnung mit kostanten Koeffizienten
Um die nötigen Rechenmethoden durchführen zu können, mussten wir zunächst
einige Begrie klären.
Zuerst haben wir die allgemeine Form von homogenen Systemen mit der von
inhomogenen Systemen verglichen:
·
x(t)=A·x(t) , während
·
x(t)=A·x(t)+b(t). Dabei
Ein homogenes System hat die Form
System die folgende Form aufweist:
ein inhomogenes
gilt x,b
Rnxn
Der Grad einer Dierentialgleichung entspricht der höchsten Summe der auftretenden Potenzen der gesuchten Funktion einschlieÿlich ihrer Ableitungen in
einem Term. Die Dierentialgleichung des 1. Grades nennt man linear.
Wenn A konstant und somit unabhängig von t ist, spricht man von konstanten
Koezienten.
Die Ordnung einer Dierenzialgleichung entspricht der höchsten Anzahl der
vorkommenden Ableitung einer Funktion.
Aufgrund des Anfangswertproblems werden bei einer Dierentialgleichung n-ter
Ordnung an der Stelle t 0 die Werte für
·
x, x, ..., x(n−1)
vorgegeben.
A·x
·
x=
n×n
(A ∈ R
, x∈ Rn ).
Die Lösung erhält man mit Hilfe der Eigenwertmethode, bei der die Gleichung
×n)-Matrix ist
Als Ansatz wählt man x = r · e , r ∈ R , λ ∈ R. Anschlieÿend bestimmt
man λund r mit det (A − λIn ) = 0 und ker(A − λi · In ). Danach gibt man die
Lösungen x(1) , x(2) , ...an, wobei zu jebem Eigenwert der Vielfachheit m auch m
zu lösen ist, wobei A die konstante (n
λt
h
linear unabhängige Lösungen erzeugt werden. Anschlieÿend wird die allgemeine
Lösung angegeben:
x(t) = c1 r1 eλ1 t + ... + cm rm eλm t (c1 , ..., cm ∈ N)
2.6 Euler-Verfahren
Das expliziete Eulerverfahren ist eine Methode zur näherungsweisen Lösung von
Zuerst legt einen Anfangswert
Durch diesen Punkt
P0 (t0 , y0 )
·
y = f (t, y)
fest: y(t0 ) = y0
Dierenzialgleichungen, der Form:
geht die Funktion, die wir näherungsweise durch
das Verfahren bestimmen werden.
Dazu muss die Schrittweite
h ≥ 0 bestimmt werden.
Diese kann beliebig gewählt
werden, wobei gilt, je kleiner h, desto genauer ist die Ahnnäherung, aber desto
gröÿer der Rechenaufwand.
41
Anschlieÿend wird der Punkt P1 (t1 , y1 ) bestimmt. Dies geschieht folgendermaÿen:
- t1 entsteht durch die Addition von t0 und der Schrittweite h: t1 = t0 + h
- y1 wird berechnet durch: y1 = y0 + Δy0 . Δy0 ist dabei das Produkt von h mit
der Steigung im Vorgängerpukt P0 :
m0 = Δy
Δt mit m0 = f (t0 , y0 ) und Δt = h ergibt sich
o
0
f (t0 , y0 ) = Δy
h
⇒ Δy0 = h · f (t0 , y0 )
=⇒ y1 = y0 + h · f (t0 , y0 )
Allgemein sind die Formeln:
tk+1 = tk + h
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
[k = 0, 1, 2, ...]
3.Anwendung
3.1 2-Kasten-CO2 -Modell
3.1.1 Modell
Diese mathematischen Grundlagen wenden wir jetzt auf ein 2-Kastenmodell an.
[Luf t; y1 ]
b ↑↓ a
[W asser; y2 ]
·
y1 (t) = −y1 (t) · b + y2 (t) · a
·
y2 (t) = y1 (t) · b − y2 (t) · a
· y1
−b a
y1
=
·
b −a
y2
y2
ZurLösung dieser Gleichung
bestimmen
−b − λ
a
!
det
=0
b
−a − λ
wir erst den Eigenwert:
!
(−b − λ) · (−a − λ) − a · b = 0
λ1 = 0, λ2 = −a − b
Zu λ1 berechnen
wir jetzt
den
Eigenvektor:
−b a
x1
0
·
=
b −a
0
x2
−b · x1 + a · x2 = 0
b · x1 − a · x2 = 0 , x2 ist beliebig
2
x1 = a·x
b
a·x2 −b a
b
⇒ ker
=
| x2 ∈ R
x2
b −a
a Als Beispiel wählen wir hier 1b
Die Eigenschaften
folgendermaÿen.
für λ2 berechnetman −b a
x1
x1
·
= −a − b
b −a
x2
x2 −b + a + b
a
a
ker
= ker
b
−a + a + b
b
42
a
b
a · x1 + a · x2 = 0
b · x1 + b · x2 = 0
a · x1 = −a · x2
x1 = −x
2
a a
−x2
| x2 ∈ R
⇒ ker
=
x2
b b
−1
Als Beispiel wählen wir hier 1
λ ·t
Eine Lösung
bekommtmandurch Einsetzen in die Formel x(i) = ri · e :
a
b
i
a
b
· e0·t =
1
1
−1
y(2) =
· e(−a−b)·t
1
Diese Ergebnisse
Gesamtgleichung eingesetzt.
a werdenin die −1
b
y(t) = c1 ·
+ c2 ·
· e(−a−b)·t
1
1
Anschlieÿend
für y1 und y2 aufgestellt.
werden
dieGleichungen
a
(−a−b)·t
y1
c1 · b
−c2 · e
=
+
y2
c1
c2 · e(−a−b)·t
⇒y1 (t) = c1 · ab − c2 · e(−a−b)·t
y2 (t) = c1 + c2 · e(−a−b)·t
Aufgrund des Anfangswertproblems legen wir für y1 (0) = 500 und
300 fest.
800
800
Aufgelöst erhält man für c1 = 1+
a und für c2 = 300 −
1+ a .
y(1) =
Eingesetz ergeben sich folgende Gleichungen.
b
y1 (t) =
y2 (t) =
800
1+ a
b
800
1+ a
b
·
a
b
800
) · e(−a−b)·t
1+ a
b
800
) · e(−a−b)·t
1+ a
b
b
− (300 −
+ (300 −
Um a und b herauszubekommen, legen wir zwei weitere Werte fest.
3.1.2 Darstellung der Lösung mit dem Computer
43
für y2 (0) =
Für die graphische Darstellung wählten wir für yw (0) = 300 und für yl (0) = 500.
Deshalb ist der Startpunkt unabhängig von a und b. Die x-Achse des Graphen
entspricht der Zeit, die y-Achse der CO2 -Konzentration in Luft bzw. Wasser.
Nun wird a und b jeweils verändert: Bei Graphik 1 fällt die Kurve der CO2 Konzentration in der Luft, während die des Wassers fällt. Sie nehmen kurzzeitig
den gleichen Wert an und sind deshalb kurz im Gleichgewicht. Danach steigen
und fallen sie bis ein konstanter Wert erreicht wird. Bei der 2. Graphik fällt
die CO2 -Konzentration der Luft, die Kurve der Werte des Wassers verläuft
umgekehrt. Nach einer gewissen Zeit werden konstante Werte erreicht. Auch
bei dem 3. Graphen fällt die CO2 -Konzentration in der Luft, die des Wassers
hingegen steigt. Im Gegensatz zum 2. Graphen nehmen die beiden Kurven
allerdings nach einiger Zeit die gleichen Werte an und ein Gleichgewicht stellt
sich ein. Der 4. Graph verläuft umgekeht wie Graph 2.
3.1.3 Interpretation
44
Durch den Verlauf dieser Graphen wird deutlich, dass ohne äuÿere Einüsse die
CO2 -Konzentration nach einer gewissen Zeit konstante Werte annimmt.
3.2 7-Kasten-CO2 -Modell
3.2.1 Modell
Der CO2 -Austausch im 7-Kasten-Modell lässt sich mit folgenden Gleichungen
beschreiben:
·
y ua (t) = θ 1 · yla(t) − θ 1 · yua (t), yua (1850) = 0
ua
la
·
la
ua
1
1
1
1
1
1
la · yua (t) + θ la · ysb (t) + θ la · yul (t) + θ la · ylb (t) − θ ua · yla (t) − θ sb ·
θua
la
sb
ul
lb
la
yla (t) − θ1ul · yla (t) − θ1lb · yla (t) + Qc (t) yla (1850) = 0
la
la
·
y lb (t) = θ1lb · yla (t) − θ1la · ylb (t) ylb (1850) = 0
la
lb
·
1
y sb (t) = θsb · yla (t) − θ1la · ysb (t) ysb (1850) = 0
la
sb
·
1
1
y mb (t) = θmb · yul (t) − θul
· ymb (t) ymb (1850) = 0
ul
mb
·
y dl (t) = θ1dl · yul (t) − θ1ul · ydl (t) ydl (1850) = 0
ul
dl
·
1
1
1
y ul (t) = θul ·yla (t)+ θul ·ymb (t)+ θ1ul ·ydl (t)− θ1la ·yul (t)− θmb
·yul (t)− θ1dl ·yul (t)
la
mb
dl
ul
ul
ul
y la (t) =
,
,
,
,
,
,
yul (1850) = 0
Zur weitere Abstrahierung nehmen wir an, dass die Übergangskoezienten zwischen
zwei Resservoirs auf dem Hin- und Rückweg gleich sind:
dy
1
· (yla − yua ), yua (1850) = 0
dt = θ
ua
ua
la
= θla · (yua − yla ) + θ1la · (ysb − yla ) + θ1la · (ylb − yla ) + θ1la · (yul − yla ) + Qc (t)
ua
sb
lb
ul
,dyyla (1850) = 0
1
lb
dt = θ lb · (yla − ylb ) , ylb (1850) = 0
dyla
dt
1
la
,
dysb
1
ysb (1850) = 0
sb · (yla − ysb )
dt = θla
dymb
1
ymb (1850) = 0
mb · (yul − ymb )
dt = θul
dydl
1
ydl (1850) = 0
dl · (yul − ydl )
dt = θul
dyul
1
1
1
ul · (yla − yul ) + θ ul · (ydl − yul ) + θ ul
dt = θla
dl
mb
,
,
3.2.2 Numerische Lösung via Computer
45
· (ymb − yul ) , yul (1850) = 0
wobei r1 die Veränderung des neuem CO2 -Ausstoÿes ist.
Verschiedene Annahmen:
Bei erhöhtem CO2 -Austoÿ des Menschen in der Zukunft wird sich die Temperatur dramatisch erhöhen (r1 = 0, 005).
Wenn der Mensch seinen CO2 -Ausstoÿ auch nur gering erhöht, hat auch dies
eine Teperaturerhöhung zur Folge ( r1 = 0, 0025).
Selbst wenn der Mensch seinen jetzigen CO2 -Ausstoÿ beibehält steigt die Temperatur (r1 = 0).
Auch wenn der Mensch es schat seinen derzeitigen CO2 -Ausstoÿ zu reduzieren,
steigt die Temperatur noch wenige Jahre an, bis sie dann endlich wieder fällt.
Um dies zu veranschaulichen haben wir ein schon vorgegebenes Programm
verwendet, bei dem wir verschiedene Parameter verändert haben, sodass wir
dieses auf unser eigenes System von Dierentialgleichungen anwenden konnten.
Dabei hat das Programm die Dierentialgleichungen mittels des Runge-KuttaVerfahrens numerisch gelöst, da die Gleichungen aus dem 7-Kasten-Modell zu
komplex sind um sie analytisch zu lösen.
Qc (t) = c1 · er1 ·t ,
4. Ergebnis
Selbst mit unserem stark abstrahierten und vereinfachten Modell ist die klare
Tendenz eines weiterhin ungebremsten CO2 -Ausstoÿ des Menschen dargelegt,
nämlich einen starken Temperaturanstieg auf der Erde. Damit konnten wir die
verbreiteten Aussagen über den Klimawandel nachvollziehen. Obwohl die Temperaturerhöhung nicht sofort gestoppt werden kann, ist es wichtig, dass man
den persönlichen CO2 -Ausstoÿ reduziert. Den gröÿten Anteil unserer CO2 Produktion hat der Flugverkehr. Auÿerdem verursacht die Fleischproduktion
mit z.B. der Methanemission der Rinder und der Rodung für Weideächen 18%
der weltweiten Treibhausgasemission 1 . Auch weite Transportwege der Lebensmittel bewirken einen Anstieg unseres CO2 -Ausstoÿes. Um die CO2 -Produktion
jedes einzelnen festzustellen, lässt sich dessen ökologischer Fuÿabdruck berech46
nen, z.B. auf der Seite www.ecogood.de. An dem Ergebnis kann man erkennen,
dass man noch viel zur Reduzierung des eigenen CO2 -Ausstoÿ beitragen kann,
z.B. indem man öentliche Verkehrsmittel benutzt oder den Fleischkonsum reduziert.
1
http://www.stuv.uni-wuerzburg.de/leadmin/34000000/SSR_allgemein/Mensa-
Philosophie/mensaphilosophie_lang_2011-06-08.pdf
Erik Bräutigam, Andreas Gottscholl, Klara Hermes, Paul Nikolaus, Karin Rieÿ
und Pippa Schneider
47
Android Apps programmieren
Dienstag der 17. Juli
Zunächst haben wir auf unseren Rechnern die Programmierumgebung „Eclipse“ installiert. Was sich zunächst einfach anhört, war für den einen oder anderen schon
Abbildung 1: Screenshot der Programmierumgebung Eclipse
die erste Geduldsprobe. Es fehlten teilweise Pakete, die essentiell für weitere Pakete waren und aus den Fehlermeldungen wurde man auch nicht immer schlau. Aber
1
48
trotzdem lief es am Ende bei fast allen. Denn um Apps für Android zu programmieren, benötigt man nicht nur das Paket für Java, in welcher Sprache diese auch
geschrieben sind, sondern auch das Android SDK.
Um nun in die Programmierung einzusteigen, bekamen wir die Aufgabe einen Taschenrechner mit den Grundoperationen für das Handy zu schreiben. Dies war für
manche deutlich einfacher als für andere. Es war schwer genug nur zwei Zahlen einzugeben und dann zwischen den Rechenoperationen +, *, / und - zu unterscheiden.
Wir begannen damit, dass wir das Layout für unsere kleine App entwarfen. In Eclipse steht einem die Möglichkeit offen, dies mit einer GUI vorzunehmen. Das hatte
jedoch seine Tücken, denn schnell stieß man an seine Grenzen und musste für die
eine oder andere Option trotzdem in den Quelltext wechseln. So konnte man zwar
den Namen der Schaltflächen und Textfelder in der GUI ändern, wenn man aber nun
einstellen wollte, dass in das Textfeld nur Zahlen, was für einen Taschenrechner nun
mal sinnvoll ist, eingegeben werden, so musste man wohl oder übel im Quelltext die
Attribute des Textfelds um eine Zeile erweitern.
Dann informierten wir uns selbstständig im Internet wie wir die Zahlen, die im Textfeld standen auslesen und in einen geeigneten Datentyp überführen. Dies lösten wir
folgendermaßen:
public double einlesenB(){
EditText za2 = (EditText) findViewById(R.id.editText2);
String zwei= za2.getText().toString();
return Double.parseDouble(zwei);
}
Um die beiden Zahlen, die nun eingegeben und ausgelesen wurden, vernünftig mit
einander in Relation zu bringen haben wir Schaltflächen genutzt. Selbstredend wurde
mit der Plusschaltfläche eine Addition durchgeführt.
Schließlich begannen wir nun uns den Code für die Ausgabe des Ergebnisses zu überlegen. Wir kamen auf folgende Lösung:
public void setzen(double erg){
EditText za3;
String drei;
za3 = (EditText) findViewById(R.id.editText3);
drei= String.valueOf(erg);
za3.setText(drei);
}
49
Die Dezimalzahl erg kommt von den verschiedenen Methoden wie Plus, Minus, Mal
und geteilt, die zwei Zahlen zu einer verrechnen.
Es wäre nun einfach anzunehmen, dass wenn man nun die Einzelteile zusammenfügt,
ein funktionierendes Ganzes das Ergebnis sei. Dies war aber nicht so, viel mehr stellte
dieser letzte Schritt uns vor die größten Probleme. Im Einzelnen funktionierte jeder
Teil einwandfrei, aber zusammengefügt gab es Fehlermeldungen. Nun musste man die
Fehler aufspüren, was nicht überall gelang. Wir haben das Handy an den Computer
angeschlossen und unser Programm oder die Absturzmeldung darauf laufen lassen.
Unter dem Strich haben wir ein paar fertige Taschenrechner Programme und auch
eines, welches noch über weitere Funktionen wie Potenzschreibweise oder Ergebnisübertragung verfügt.
Mittwoch der 18. Juli
Wir haben nun unser eigentliches Projekt begonnen. Bei diesem wollen wir einen
interaktiven Lageplan der Universität Würzburg erstellen. Wir möchten, dass wenn
man sich über das Unigelände bewegt, dass man seinen momentanen Standpunkt
auf dem Unigelände in der App auf einer Karte angezeigt bekommt. Des weiteren
möchten wir eine kurze Information über die in der Nähe liegenden Gebäude geben.
Beispielsweise ein Bild oder einige Hintergrundinformationen.
Zu nächst haben wir uns mit Hilfe einer Internet-Recherche auf das Thema vorbereitet. Wir haben uns informiert, wie von Google bereitgestellte Kartenfunktion in
eine Android App implementiert werden kann. Diese Karten werden von Google für
alle kostenlos bereitgestellt, die ein Google-Konto besitzen. Nachdem dies geschafft
war, konnten wir nun auf unseren Smartphones eine Karte anzeigen lassen.
Aber um den Standort des Handy herauszufinden, benötigt man noch mehr, denn
wir hatten lediglich eine Karte von der gesamten Welt auf dem Handy. Um dieses
Problem zu lösen, griffen wir auf den Ortungssensor des Handy zu, denn ohne den
momentan Aufenthaltsort zu wissen, kann man nicht anzeigen, welche Gebäude in
der Nähe vorzufinden sind.
Um nun eine kurze Information darüber zu bekommen, wie gut unsere GPS-Sensoren
im Handy funktionieren, haben wir unsere momentane Position mit Hilfe eines PopUp Fenster anzeigen lassen. Während manche Geräte mehrmals die Sekunde ihre
Postion aktualisierten, haben andere überhaupt kein Signal gefunden. Dieses PopUp Fenster erwies sich auch noch als sehr nützlich. Auch haben wir beschlossen nicht
nur die Koordinaten anzeigen zu lassen, sondern auch die Adresse der nächsten Straße, denn darunter lässt sich deutlich mehr vorstellen, anzeigen zu lassen. Hier ist der
50
Code für diese Passage, die Erklärung ist als Kommentar eingefügt:
//neues Objekt der Klasse Geocoder erstellen.
// Dieses kann Adressen zu GPS-Koordinaten heraussuchen.
Geocoder address = new Geocoder(getApplicationContext());
//neuen String erstellen in den später die Adresse geschrieben wird.
String strAddress="";
//Da Fehler auftreten können, wird der Ausdruck mit try und catch umrahmt.
try {
//Nun werden mögliche Adressen in der Umgebung abgerufen
// und in eine Liste geschrieben. Uns genügt hier eine.
List<Address> adrs = address.getFromLocation
(location.getLatitude(), location.getLongitude(), 1);
//Aus dem neuen Objekt Address wird nun Zeile für Zeile ein String gemacht.
for (int i=0; i<adrs.get(0).getMaxAddressLineIndex(); i++) {
strAddress=strAddress+"\n";
strAddress=strAddress+adrs.get(0).getAddressLine(i);
}
} catch (IOException e) {
// TODO Auto-generated catch block
e.printStackTrace();
}
//Und zum Schluss geben wir Koordinaten und Adresse
//mit Hilfe einer Toast Message(PopUp Fenster) ausgegeben.
Toast.makeText(getApplicationContext(),
"Geographische Breite: "+location.getLatitude()+
"\nGeographische Länge: "+location.getLongitude()+
strAddress,
Toast.LENGTH_LONG).show();
Nun sind wir auf dem Campus in Kleingruppen umhergegangen und haben die Koordinaten verschiedener wichtiger Gebäude aufgenommen und fotografiert. Diese Informationen haben wir nun in eine Liste eingefügt und in unser Programm eingebettet.Wir haben eine neue Klasse „PlacesOfInterest“ erstellt, welche die verschiedenen
Ort repräsentiert. Wir haben dann unsere Koordinaten in Google Maps überprüft,
denn teilweise wurden an der richtigen Stelle alte Benachrichtigungen angezeigt, da
diese so zahlreich geschaffen wurden und nicht zeitnah angezeigt werden konnten.
51
Nachdem dies überprüft war haben wir die Koordinaten und ihre Punkte in eine
Liste in Java eingetragen, was wir erst neu lernen mussten.
Abbildung 2: Kevin und Steven beim Aufnehmen der Koordinaten
Donnerstag der 19. Juli
Die Punkte, die wir in der Liste gespeichert hatten, wollten wir nun auch noch in
unserer App visualisieren. Dafür haben wir uns eine neue Methode angeschaut, welche es ermöglicht auf einer Landkarte, die nun mal in unserer App schon vorhanden
ist, anzuzeigen. Dafür mussten wir aber erst die Koordinaten aus der Liste auslesen
und casten, das heißt in einen anderen Dateityp umwandeln, denn die Methode, welche die die Markierungen auf die Karte setzt nimmt nur Ganzzahlen an, wir jedoch
hatten unsere Koordinaten überlicherweise als Dezimalzahlen gespeichert. Dies war
aber nicht sonderlich schwierig, da Java solche Methoden häufig gebraucht und somit
schon vorhanden sind.
Da der heutige Tag im Sinne der Erweiterung und Verbesserung der App stand, überlegten wir uns gemeinsam was wir noch für weitere Funktionen einbauen könnten.
Somit kamen wir auf die Idee, dass es eigentlich ganz nett sei weitere Informationen zu erhalten, wenn man die Markierungen für die Sehenswürdigen der Universität
drücke. Dies realisierten wir zunächst mit dem Namen des Gebäudes, schnell kam und
52
Abbildung 3: Bild der Karte mit den Marken
noch die Idee auch die Entfernung von seinem momentan zu dem gewählten Punkt
anzuzeigen. Dafür war es nötig, dass wir unseren momentan Standpunkt regelmäßig
aktualisierten. Dies lösten wir mir einer for-Schleife:
for(PointOfInterest p : PunkteErstellen()) {
int lat = (int) (p.getLatitude() * 1E6);
int lon = (int) (p.getLongitude() * 1E6);
String name=p.getName();
GeoPoint geo = new GeoPoint(lat,lon);
Location Current = new Location(p.getName());
Current.setLongitude(p.getLongitude());
Current.setLatitude(p.getLatitude());
OverlayItem item = new OverlayItem(geo, p.getName(),
"Die Entfernung zu Gebäude "+name+
" beträgt "+(int)loc.distanceTo(Current)+" Meter.");
myItemizedOverlay.addItem(item);
53
}
Zur Überprüfung unserer Arbeit machten wir einen Spaziergang durch den Campus
mit unserer App. Wir überprüften die Positionen in der Realität und fanden auch
einige kleinere und größere Fehler. So sollte die Minimalfläche beispielsweise mit auf
der Straße stehen, was sie freilich nicht tut. Dies kann man auch auf Fehler durch
das GPS zurückführen, denn dies hat im zivilen Bereich eine gewisse Ungenauigkeit
und diese wurde uns doch das eine oder andere Mal zum Verhängnis.
Nachdem wir unsere eigentlich fertige App überprüft hatten, waren wir doch noch
so unermüdlich, dass wir sie noch um einige weitere Funktionen erweitern wollten.
So wollten wir das Handy vibrieren lassen, sobald man sich in die nähere Umgebung einer Markierung begibt. Wir wählten den Radius auf 30 Meter und wollten
mit folgender Anweisung eine Benachrichtigung mit dem Namen des Gebäudes geben
if(loc.distanceTo(Current)<=30){
Vibrator v= (Vibrator) getSystemService(Context.VIBRATOR_SERVICE);
v.vibrate(400);
Toast.makeText(getApplicationContext(),"Du bist bei "+name+".",
Toast.LENGTH_LONG).show()
}
Es stellte sich jedoch das Problem, dass wenn wir uns innerhalb des Radius bewegten
die ganze Zeit eine Benachrichtigung erhielten, was auf Dauer sehr nervend war. Wir
überlegten uns wie wir das in den Griff bekommen könnten und lösten es damit,
dass wir die if-Anweisung um die Bedienung erfüllten, dass wenn der selbe Name
ausgeben würde wie zuvor, dass dann die Bedingung nicht greift und die Anweisung
für vibrieren und Benachrichtigung ausgeben einfach übersprungen wird.
if ((lastPoint==poi.getN())&&(loc.distanceTo(ziel)>30)) {
lastPoint="";
}
if ((loc.distanceTo(ziel)<30)&&(lastPoint!=poi.getN())) {
// Get instance of Vibrator from current Context
Vibrator v = (Vibrator) getSystemService(Context.VIBRATOR_SERVICE);
// Vibrate for 300 milliseconds
v.vibrate(300);
Toast.makeText(getApplicationContext(), "Du befindest dich bei "+poi.getN()
54
1000).show();
lastPoint=poi.getN();
viewDetails(poi);
}
Und schließlich wollten wir nun, wenn wir in die Nähe des Gebäude kommen, dass
dann ein neues Fenster aufgeht und uns Bilder und Informationen zeigt. Das sieht
wie folgt aus.
Abbildung 4: Screenshot des Fenster mit Bildern und Informationen
Freitag der 20.Juli
Vormittags haben wir die Präsentation und den Projektbericht fertiggestellt. Am
Nachmittag war dann die eigentliche Präsentation.
55
In 80 Tagen um die Welt
Gruppe 6
Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Around_the_World_in_Eighty_Days_map.png von Roke unter der Creative Commons
Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Lizenz
Schülerinnen und Schüler: Lukas Elter, Lena Hübner, Theresia Kunz, Dominik
Seibold, Sabrina Zierof
Betreuerinnen und Betreuer: Alexandra Schwartz, Joachim Spoerhase, Anna
Weitzel
Problemstellung
Wie hat es Phileas Fogg geschafft, die Welt in 80 Tagen zu umrunden? Hatte er
die Reise vorher genau geplant oder hat er einfach versucht, jeden Tag so weit
wie möglich zu kommen? Das kann man heute natürlich nicht mehr nachprüfen.
Interessant wäre es allerdings zu wissen, wie man diese Reise heute planen könnte.
Hätte man eine Route und eine Zeit für die gesamte Reise festgelegt, so müsste
man als nächstes alle Übernachtungsmöglichkeiten heraussuchen, um später viele
Freiheiten bei der endgültigen Reiseplanung zu haben.
Ist all dies erledigt, fängt die Problematik an, mit der wir uns beschäftigen wollen. Unsere Aufgabe besteht darin, uns zu überlegen, welche Übernachtungsmöglichkeiten am günstigsten sind, um die gegebene Strecke in einer bestimmten Zeit
zu bewältigen und dabei an allen Tagen möglichst gleich weit zu reisen.
1
56
Kennzahlen zum Vergleich von Lösungsmöglichkeiten
Unsere erste Überlegung ist zu definieren, was „gleichmäßig“ bedeutet und wie man
Strecken auf ihre Gleichmäßigkeit überprüfen kann. Damit wir dies besser verdeutlichen können, führen wir folgende Bezeichnungen ein: Wir nennen die Anzahl der
Teilstrecken n, die einzelnen Teilstrecken l1 , l2 , . . . , ln , die Menge aller Teilstrecken
l = (l1 , . . . , ln ) und die Gesamtstrecke L = l1 + . . . + ln . Die Anzahl der Tage bezeichnen wir mit k und die einzelnen Tagesetappen, d.h. die jeweils an einem Tag
insgesamt zurückgelegte Strecke, mit e1 , e2 , . . . ek .
Start
1
1
1
l4 = 7
e1 = 10
l5 = 5
l6 = 4
e2 = 5
e3 = 4
Ziel
Abbildung 1: Teilstrecken li und Tagesetappen ej
Um nun verschiedene Lösungsmöglichkeiten vergleichen zu können, gibt es viele
Möglichkeiten. Aus Zeitgründen schränken wir uns auf die folgenden drei ein.
• Die erste Idee ist den Durchschnitt der an einem Tag zurückgelegten Strecke
d = Lk zu berechnen. Idealerweise sollten alle Tagesetappen möglichst nahe an
diesem Durchschnitt sein. Daher sollte die Summe aller Differenzen zwischen
d und e relativ gering sein, d.h. der Wert
1
k
k
X
|d − ej |
j=1
sollte möglichst klein sein.
• Einzelne Tagesetappen, die besonders stark von d abweichen, fallen dabei aber
genauso sehr ins Gewicht, wie viele Etappen, die nur wenig von d abweichen,
zusammen. Um solche stark abweichenden Etappen mehr zu „bestrafen“, betrachten wir als nächstes die Varianz. Angewandt wird hierbei dasselbe Prinzip, jedoch werden die Differenzen zusätzlich quadriert, d.h. man betrachtet
1
k
k
X
(d − ej )2 .
j=1
Da man bei dieser Methode sehr große Abweichungen leichter erkennen kann
als bei der ersten Methode, schließen wir die erste wieder aus.
• Weiter überlegen wir uns, dass es erstrebenswert ist, wenn die längste Tagesetappe, die wir im Folgenden mit
emax = max ej
j=1,...,k
bezeichnen wollen, so klein wie möglich ist, da dann auch alle anderen Tagesetappen möglichst kurz werden. Dies nennen wir den MinMax-Ansatz.
57
Nun vergleichen wir die letzten beiden Möglichkeiten. Zum einen hat man bei der
Varianz meistens ein gleichmäßigeres Ergebnis als bei der Lösung, bei welcher emax
möglichst gering ist, denn der MinMax-Ansatz achtet nur auf emax und nicht darauf,
dass alle anderen Tagesetappen gleichmäßig sind. Hat man also eine Teilstrecke li ,
die viel größer als alle anderen ist, so kann es in der Lösung auch sehr kurze ej geben.
Im Gegensatz dazu ist bei der Varianz am wichtigsten, dass alle Tagesetappen ej
ungefähr gleich sind.
Allerdings gibt es auch Beispiele, wo die Varianz eine Lösung ergibt, die man
nicht als gleichmäßig bezeichnen würde. Will man zum Beispiel die Teilstrecken
l = (50, 45, 10, 10, 70, 10, 1) auf 4 Tage aufteilen, so ergibt die Varianz optimale Tagesetappen von (50, 45, 20, 81). Der MinMax-Ansatz hingegen ergibt Tagesetappen
von (50, 65, 70, 11), hat also drei ungefähr gleich lange Tagesetappen und nur einen
Ausreißer. Zusätzlich ist beim MinMax-Ansatz leichter den Rechenaufwand für die
Bestimmung der optimalen Lösung gering zu halten.
Man erhält also nicht immer das gleichmäßigste Ergebnis, wenn emax minimiert
wird, aber das ist auch nicht unbedingt nötig, da man das Ergebnis, wenn es nicht
eindeutig ist, von Hand leicht verbessern kann. Legt man viel Wert darauf, dass
schon im berechneten Ergebnis alle Tagesetappen möglichst gleich lang sind, wäre
die Varianz die sinnvollere Methode, aber im Verhältnis zum höheren Rechenaufwand fällt dieser Vorteil nicht so sehr ins Gewicht. Deswegen entscheiden wir uns
dafür, dass der MinMax-Ansatz effizienter ist. Außerdem überlegen wir, ob es sinnvoll ist, die Varianz eventuell am Ende noch zum Finden des „besten“ Ergebnisses zu
verwenden, falls der MinMax-Ansatz mehr als eine Lösung findet. Nachdem wir einige mit dem der MinMax-Ansatz bestimmte Lösungen betrachtet haben, entscheiden
wir aber, dass diese Lösungen gut genug sind.
Lösung des Problems mit dem Computer
Nachdem wir uns für ein Ziel entschieden haben, stellen wir das Problem mathematisch dar, um damit rechnen zu können. Aus den oben genannten Informationen
lässt sich entnehmen, welche Daten wir zur Berechnung benötigen. Der Reiseweg
wird als Vektor l = (l1 , . . . , ln ) bestehend aus den einzelnen Teilstrecken li dargestellt. Als weiterer Eingabewert wird die Anzahl der Tage k benötigt. Wir überlegen
uns nun einen Algorithmus mit dem Ziel, ein kleinstmögliches emax zu finden und
programmieren diesen in MATLAB.
Brute-force Algorithmus
Die Umsetzung als Programm beginnt mit der Idee eines Algorithmus, der jede mögliche Kombination von Übernachtungsmöglichkeiten ausprobiert und am Ende alle
Strecken ausgibt, deren maximale am einem Tag zurückgelegte Strecke emax so klein
wie möglich ist. Dazu entwickeln wir die Funktion Uebernachtung, die uns aus der
gegebenen Strecke l und der Anzahl der Tage k alle möglichen Reiserouten generiert,
d.h. alle möglichen Kombinationen von Übernachtungen, wobei im Zielpunkt immer
eine Übernachtung eingeplant wird. Schritt Zwei ist nun die Implementierung einer Routine Weg, die aus den möglichen Reiserouten die Tagesetappen ei berechnet.
58
Start
Start
1
1
1
1
1
1
1
..
.
Start
1
1
7
4
5
4
5
4
5
4
Ziel
17
1
7
2
1
5
Ziel
16
1
7
10
Ziel
Abbildung 2: Illustration des brute-force Algorithmus
Schließlich sucht ein Filter diejenigen Routen heraus, deren maximale Etappenlänge
emax am kleinsten sind. Dieses Verfahren wird in Abbildung 2 illustriert.
Mit dieser Methode erhalten wir alle möglichen Lösungen. Allerdings ergeben
die durchgeführten Testläufe, dass die benötigte Rechendauer am Computer exponentiell zu den Teilstrecken l und den Tagen k ansteigt. Dies ist nicht überraschend,
da n−1
Möglichkeiten überprüft werden müssen. Am größten ist die Rechendauer
k−1
daher bei k = n2 . Bereits für n = 20 und k = 10 ergibt sich daher eine Rechenzeit
von mehr als 260 Sekunden. Wir müssen also nach einer effizienteren Lösung suchen.
19
3
Start
19
3
1 1 1
19
3
7
5
4
Ziel
durchschnittliche Etappen
Start
1 1 1
7
3 13
5
3 23
2 23
4
Ziel
2 13
Rundung
Start
1 1 1
3
7
5
12
4
Ziel
4
vom Rundungsalgorithmus gefundene Lösung
Abbildung 3: Der Rundungsalgorithmus
Näherungsweise Lösung durch Runden
Um ein schnelleres Verfahren zu erhalten, überlegen wir uns einen weiteren Algorithmus: den Rundungsalgorithmus Maxweg. Hierbei wird unser Weg l in Etappen
59
der Größe d eingeteilt und schließlich auf den nächstliegenden Übernachtungspunkt
„gerundet“, vergleiche Abbildung 3. Dieser Algorithmus liefert leider nicht immer die
optimale Lösung, vergleiche Abbildung 1. Man kann sich aber überlegen, dass der
so berechnete Wert emax höchstens doppelt so groß, wie der kleinstmögliche Wert
e∗max ist. Dies wird in Abbildung 4 illustriert.
Start
li ≤ e∗max
≤ 21 li ≤ 12 e∗max
li+1 ≤ e∗max
= d ≤ e∗max
Ziel
≤ 12 li+1 ≤ 12 e∗max
Abbildung 4: Güte der vom Rundungsalgorithmus bestimmten Lösung
Effizienteres Verfahren zur Bestimmung der optimalen Lösung
Um eine optimale Lösung effizient zu bestimmen, schränken wir uns zunächst auf
den Fall ein, wo die Länge aller Teilstrecken eine natürliche Zahl ist, d.h. li ∈ N.
Wir suchen eine obere und untere Schranke für das optimale emax und testen dann
für alle Werte dazwischen, ob mit diesen Werten als emax ein Durchlauf möglich
ist. Als untere Schranke wählen wir die durchschnittliche Tagesetappe d und als
obere Schranke zunächst die Gesamtlänge der Reise L. Da ein Abtasten aller Werte
emax = L, L − 1, L − 2, . . . , d sehr lange dauern kann, entscheiden wir uns für ein
anderes Verfahren: Wir testen zunächst, ob es möglich ist die gesamte Strecke in der
(bzw. der größten natürlichen Zahl emax ≤ L−d
) zu
vorgegebenen Zeit mit emax = L−d
2
2
durchlaufen. Wenn ja, suchen wir zwischen L−d
und
d
weiter,
wenn
nicht,
betrachten
2
und L. Dies wiederholen wir solange, bis eine Lösung
wir die Werte zwischen L−d
2
gefunden ist. Damit ist der benötigte Zeitaufwand in Abhängigkeit von L und d = Lk
nicht mehr direkt proportional zu L − d sondern direkt proportional zu log2 (L − d).
Um dies noch weiter zu verbessern, wählen wir schließlich statt L den von unserem
Rundungsalgorithmus bestimmten Wert emax ≤ L als obere Schranke.
Um zu überprüfen, ob es möglich ist, das Ziel innerhalb der vorgegeben Tageszahl
mit einem gegeben emax zu erreichen, verwenden wir die Methode Limittest. Hierbei
wird versucht an jedem Tag so weit wie möglich, aber höchstens emax zu reisen. Kann
man so die ganze Reise in höchstens k Tagen abschließen, ist emax ein zulässiges
Limit, sonst nicht.
Wir kombinieren also Rundungsalgorithmus, Limitsuche und Limittest zu
einen neuen – verbesserten – Algorithmus, der das kleinstmögliche emax bestimmt.
Bei etlichen Tests des Laufzeitverhaltens und der Richtigkeit der Ergebnisse im
Vergleich zum erstgenannten Algorithmus kommt die erhöhte Effizienz dieses Verfahrens deutlich zur Geltung: die kleinstmögliche Etappe emax wird selbst bei 2000
Teilstrecken immer noch zehn mal schneller ermittelt als bei dem brute-force Algorithmus mit 20 Teilstrecken.
Allerdings überprüft unsere Limitsuche bisher nur ganze Zahlen als mögliche
Werte für emax und lässt sich auch nicht ohne weiters so ändern, dass auch reelle Zahlen als Teilstreckenlängen li möglich sind, ohne dass unendlich viele Schritte durch-
60
geführt werden müssen. Um trotzdem mit reellen Zahlen arbeiten zu können, muss
daher zuerst eine Betrachtung aller möglichen Werte für emax erfolgen: Es kommt
ja nicht jede Zahl aus dem Intervall [d; L] für emax in Frage. Da lediglich Zahlen
vorkommen können, die die Summe von benachbarten Teilstrecken sind, lassen sich
alle möglichen Werte leicht berechnen. Wir können also die Limitsuche anpassen,
so dass sie nur noch die so bestimmten Werte nach dem besten durchsucht. Dies hat
außerdem den Vorteil, dass die Zahl der hierfür höchstens benötigten Schritte nun
nicht mehr von der Größe der Teilstrecken li , sondern nur noch von ihrer Anzahl n
abhängt; sie ist proportional zu log2 n2 = 2 log2 n.
Zusammenfassung
Auf Basis all dieser Überlegungen entsteht schließlich ein Algorithmus, der auch
für reelle Teilstreckenlängen li eine Kombination von Übernachtungen findet, bei
der die Tagesreisebelastung immer möglichst klein (sprich emax minimal) ist und
trotzdem noch möglichst viele freie Tage am Ende zur Verfügung sind. Diverse Testläufe dieser Methode mit dem Namen berechnung offenbaren, dass die so generierte
Streckeneinteilung meistens ziemlich genau mit der (von uns erwarteten) optimalen
Aufteilung der Strecke übereinstimmt und auch für sehr große Beispiele die Lösung
in einer akzeptablen Zeit berechnet wird.
61
Thema: Autorennen auf Karopapier
Teilnehmer: Hillenbrand Anna, Roßmann Jonas, Gubik Eva, Bördlein Lena, Rauch Anna,
Berghoff Joshua
Leiter: Prof. Dr. Wachsmuth, M. Ullrich, L. Schäfer
Dienstag, der 17.07.2012:
Nachdem sich alle Projektteilnehmer zu einer kurzen Präsentation der Themen im Hörsaal 2
der Universität versammelt haben, werden die Projektgruppen durch Herrn Professor
Weigand eingeteilt.
In der Gruppe „Autorennen auf Karopapier“ wird uns zuerst das Thema, das auch als Spiel
bekannt ist, genauer durch Prof. Dr. Wachsmuth erläutert. Anschließend haben wir uns im
Internet über die Regeln informiert.
Zuerst wird auf einem karierten Papier ein beliebiger Streckenverlauf, der eine Start- und
eine Ziellinie beinhaltet, eingezeichnet. Jeder Teilnehmer des Spiels besitzt ein imaginäres
Auto, das zu Beginn durch einen Punkt auf der Startlinie symbolisiert wird. Der
Bewegungsvektor des Autos am Anfang des Spiels auf (0/0) festgelegt. Pro Zug kann man als
Spieler sowohl die x-, als auch die y-Komponente des Vektors um den Betrag 1 erhöhen oder
vermindern. Das Ziel ist es, die vorgegebene Strecke mit möglichst wenigen Zügen zu
passieren. Die Schwierigkeit liegt darin, den vorgegebenen Kurs, besonders in den Kurven, zu
halten.
62
Um die Regeln zu verinnerlichen, unternehmen wir erste Spielversuche.
Anschließend vergleichen wir unter der Anleitung von Herrn Ullrich die lineare
Beschleunigung auf dem Karopapier mit der realen Beschleunigung eines Autos.
Wir haben festgestellt, dass sich die Beschleunigung bei kleineren Kästchen, der
Beschleunigung der realen Bewegung annähert.
Daraufhin versuchen wir anhand von Skizzen eine Kurvenbewegung mit Vektoren
nachzuziehen.
63
Mittwoch, der 18.7.2012:
Nachdem sich die Gruppe um 09:05 im Arbeitsraum versammelt, schlägt Herr Prof. Dr. Wachsmuth
neue Fragestellungen für den heutigen Arbeitsabschnitt, da die gestrigen bereits gelöst wurden:
-
Wie bringt man einem Programm bei, die Richtung zum Ziel herauszufinden?
Wie beschreibt man die Geschwindigkeitsbeschränkung?
Wie viele Suchknoten gibt es?
Welches wäre das geeignetste Suchverfahren?
Durch Probieren ergibt sich, dass der schnellste Weg, meist intuitiv gefunden, möglichst nah am
Inneren der Kurve entlang führt. Um die Kurve sicher zu nehmen, muss man früh genug abbremsen,
um nicht zu weit an den Rand zu kommen bzw. in der Bahn zu bleiben.
64
Wenn man die Geschwindigkeitsregelung darstellt, ergibt sich folgende Tabelle:
V\A
1
2
3
4
5
6
V\A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
V = Momentane Geschwindigkeit
Rot = Crash
grau = V beibehalten
A = Abstand nach vorne
Gelb = Bremsung
Grün = beschleunigen
Da wir immer noch Probleme haben, eine Regelmäßigkeit in den Kurven zu finden, fertigen wir obige
Tabelle an. Sie zeigt das empfohlene „Fahrverhalten“ an der aktuellen Position. Hierbei wird die
momentane Geschwindigkeit V mit dem Abstand A verglichen. Die Tabelle zeigt dann anhand der
Farbe, ob man mit diesen Koordinaten beschleunigen, bremsen oder konstant weiterfahren soll.
65
10
20
Tabelle 2:
33
33
33
27
26
25
24
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
26
25
24
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33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
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33
33
33
33
25
24
23
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33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
24
23
22
21
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
23
22
21
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33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
22
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20
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33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
21
20
19
18
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
20
19
18
17
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
19
18
17
16
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
18
17
16
15
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
17
16
15
14
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
33
33
33
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
33
33
33
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
33
33
33
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33
Da wir feststellen, dass die Mitglieder unserer Gruppe kaum Informatikkenntnisse besitzen, gibt uns
Herr Ullrich eine Einführung in die Funktionsweise von Suchverfahren (Tiefensuche).
Mithilfe dieser Kenntnisse fertigen wir die obige Tabelle. Wir weisen hierbei jedem Punkt auf dem
Gitter eine Zahl „Z“ zu. Diese Zahl dient später dem Suchalgorithmus als Orientierung.
Wir haben die Zahlen so gewählt, dass sich der Computer immer den nächsten Punkt mit der
geringsten Zahl sucht, sodass er mit jedem Schritt dem Ziel etwas näher kommt. Das Auto wählt
immer die erst möglichste niedrigste Zahl, wobei er in der Reihenfolge seiner Suche festgelegt ist.
Damit das Auto die Bahn nicht verlässt haben wir diese Felder mit der sehr hohen Zahl 33 versehen.
Anhand Tabelle 2 versuchen wir die überlegten Schritte in Gedanken durchzuspielen, um mögliche
Fehler zu finden.
Dabei stellen wir fest, dass der Weg, den der Computer gehen würde, sich noch von der von uns als
optimal angenommenen Kurve unterscheidet.
Zusätzlich fügen wir an die Ziellinie noch sechs Reihen „1er“ an, damit das Auto über die Ziellinie
fahren kann, wenn es zu sehr beschleunigt hat.
Mit Hilfe von Herrn Prof. Wachsmuth und Herrn Ullrich übertragen wir unsere Überlegungen in das
Computerprogramm.
66
Donnerstag, der 19.7.2012:
Um 9 Uhr versammeln wir uns alle, um unsere Tabellen in das Programm Math Lab zu überführen.
Dazu überlegen wir uns die nötigen Schritte, die später in das Programm übernommen werden
sollen. Diese formulieren wir zunächst in ganzen Sätzen.
Unser Versuch des Programmierens:
(0/0)
(1/0)
(1/-1)
(0/-1)
(-1/-1)
(-1/0)
(-1/1)
(0/1)
(1/1)
=(0/0)
= +R
Allgemein:
=
Z= Eckpunkt
Start bei P(0/0)
For
=
+R
+
+“i-te Spalte von R“
with
=
+R und 1. Position k=1, pro Position k=k+1
-wähle R so, dass die Zahl des Eckpunkts möglichst klein ist
-falls Z 0 , gehe einen Schritt zurück und probiere eine neue Möglichkeit (wähle das nächst
größere aus)
-wiederhole bis Eckpunkt Z=1
-merke k natürliche Zahlen bis Z=1
-speichere die Geschwindigkeit, Vektor und Koordinaten in einer Liste
Desweiteren beginnen wir mit der Vorbereitung in zwei Gruppen der Präsentation am Freitag. Die
erste Gruppe beschäftigt sich mit dem Einstieg, den Spielregeln und dem Vergleich von Realität und
Karopapier.
Die zweite Gruppe bereitet den Vortrag über den Algorithmus, Optimierung der Spielzüge und
Weiterentwicklung.
67
Projektbericht Gruppe 8 „Fahrrad-Mathematik“
„In welche Richtung fuhr der Postbote?“
Mitglieder der Projektgruppe:
Name
Deublein
Zöller
Häuser
Hoyer
Pfister
Öftering
Dietz
Vorname
Alexander
Felix
Christian
Tobias
Mariette
Patricia
Stefanie
Schule
Friedrich-Rückert-Gymnasium
Hermann Staudinger-Gymn.
Friedrich-List-Gymnasium
Gymnasium Marktbreit
Olympia-Morata-Gymnasium
Olympia-Morata-Gymnasium
St.Ursula-Schule
Ort
Ebern
Erlenbach
Gemünden
Marktbreit
Schweinfurt
Schweinfurt
Würzburg
Betreuer der Gruppe: Prof. Dr. Hans-Georg Weigand, Dr. Robert Strich, Stefan Gaubitz
Was steckt hinter dem Begriff Abbildung 1:
„Fahrrad-Mathematik“?
Immerhin haben Fahrräder auf
den ersten Blick nicht so viel mit
Mathematik zu tun, als dass sich
eine
Gruppe
von
sieben
mathematikbegeisterten
Schülern gut vier Tage damit
beschäftigen könnte. Die Idee für
dieses Projekt, sich intensiver mit
den Spuren von Fahrrädern
auseinanderzusetzen, kam Robert Strich, als er ein Bild (Abb. 1) sah, das eine gepflasterte
schneebedeckte Einfahrt zeigt, in der sich deutlich zwei Radspuren abzeichnen. Es ergibt sich
die Frage, ob es eine Möglichkeit gibt, anhand dieser Radspuren die Fahrtrichtung zu
bestimmen, in die der Fahrradfahrer gefahren ist. Natürlich gibt es dazu auch eine kleine
Geschichte, um das Problem zu veranschaulichen:
Luisa befindet sich unter der Dusche, als der Postbote klingelt. Dieser hat ein Päckchen dabei,
das Luisa sehnsüchtig erwartet. Leider ist der Postbote, nachdem er vergeblich geklingelt hat,
schon weitergefahren, als sie zur Tür gerannt ist. Alles, was noch zu sehen ist, sind
Fahrradspuren im Schnee (siehe Abb. 1). Soll Luisa nun nach rechts oder nach links laufen um
der Boten noch einzuholen?
Bei dem ersten Treffen am Dienstag suchen wir zuerst nach Anhaltspunkten, die wir
aufgreifen könnten, um der Antwort näher zu kommen. Zur Vereinfachung des ohnehin
schon kompliziert erscheinenden Problems gehen wir von Optimalbedingungen der
Umgebung aus. Wir sind uns einig, dass es sicherlich von Vorteil wäre, zunächst das
68
Verhalten der Räder bei einem praktischen Abbildung 2:
Versuch zu beobachten, damit wir daraus neue
Erkenntnisse gewinnen können (und weil
manche von uns nicht ganz von der Richtigkeit
des Ausgangsbildes überzeugt waren). Um die
Richtung des Fahrens bestimmen zu können,
bietet sich womöglich eine genauere
Beobachtung der beiden Schnittpunkte der
Spuren an (vgl. Abb. 1). Hinzu kommt noch, dass
man beabsichtigt, die beiden Radspuren den
jeweiligen Rädern zuordnen zu können. Hier
kommt jedoch nach kurzer Zeit der Einwand, dass das Hinterrad des Fahrrades genauso
hinter dem Vorderrad hergezogen würde wie der Anhänger eines Autos, der ja bekanntlich
bei Kurven diese immer etwas enger fährt als das ziehende Auto. Deshalb verdichtet sich
bereits vor dem praktischen Versuch die Vermutung, dass das Hinterrad immer die kürzere
Strecke zurücklegt. Da wir Verwirrungen vermeiden wollen, einigen wir uns darauf, den
Begriff „Fahrrad“ für das Gesamtrad zu verwenden, Abbildung 3:
während wir bei Vorder- und Hinterrad von V- und H-Rad
sprechen. Nicht zu vergessen ist auch, dass sich, wie
bereits erwähnt, vereinzelt Zweifel breit machen, ob die
Kurve (Abb. 1) in dieser Form überhaupt realistisch und
echt ist. Nichtsdestoweniger gehen wir davon aus, dass
eine Abhängigkeit zwischen den Spuren existiert. Dabei
müssen die Spuren (Graphen) nicht zwingend Funktionen
sein, da sie auch Graphen von Relationen sein könnten.
Ein neuer Aspekt kommt hinzu, wenn wir weiterhin davon
ausgehen, dass die Rahmenlänge des Rades sich
tangential immer an die Hinterradkurve anlegt und
dadurch die Vorderradspur ergibt, weil beide am Rahmen
fest fixiert sind (Abb. 2).
Anschließend versuchen wir, verschiedene Kurven mit
dem Fahrrad nachzufahren um daraus neue Erkenntnisse
aus dem Verhalten der Räder zueinander gewinnen zu
können. Dabei tauchen jedoch schon die ersten Probleme
auf: Wo und wie macht man das am besten? Zumindest
kann sich nun aber jeder davon überzeugen, dass das Bild möglich ist, da man deutlich sieht,
dass die Fahrwege der verschiedenen Räder nicht identisch sind. Nun kommen wir auf die
Idee, ein großes Koordinatensystem auf dem angrenzenden Parkplatz des
Mathematikgebäudes aufzuzeichnen und langsam mit dem Vorderrad aufgezeichnete
Funktionen abzufahren. Hierzu zeichnen wir etwa eine Parabel und den Graph einer
Kosinusfunktion. Das Experiment wird aus dem dritten Stockwerk gefilmt, um die Kurven
69
dann anschließend auf den Computer übertragen und mit entsprechender Videosoftware
analysieren zu können. Dabei beobachtet man die Bewegung des Hinterrades, welches wir
zuvor mit Wasser angefeuchtet hatten, damit es eine sichtbare Spur hinterlässt (Abb. 3). Das
Ergebnis halten wir ebenso fotografisch fest, um es, wie die Videoaufnahme, durch
Grafikprogramme auszuwerten. Ein Problem kommt hinzu: Es fängt an zu regnen und damit
ist unser Versuch mit dem angefeuchteten Rückrad schnell beendet.
Mit dem erzeugten Bildmaterial können wir aber unsere Hypothese über das Verhalten des
Hinterrades, dass es – in einer Kurve - immer einen kürzeren Weg als das Vorderrad
zurücklegt, belegen. Des Weiteren hilft die Idee, die Schnittpunkte der Spuren zu betrachten,
nur teilweise weiter. Wir sind uns sicher, dass der „erste“ Schnittpunkt, also der, der dort
liegt, von wo der Fahrer kommt, kleinere Beträge der x- und y-Werte aufweist als der
„zweite“, der beim Herausfahren entsteht. Leider lässt das Bild vermuten, dass der Postbote
jeweils in die Kurve eingelenkt als auch nach der Kurve direkt wieder in eine andere Richtung
umgelenkt hat, wodurch sich die Schnittpunkte in ihrer Position verschieben. Außerdem ist
das Bild (Abb. 1) offensichtlich optisch verzerrt, so dass es schwierig wird, aus der Zeichnung
reale Längen zu entnehmen. Immerhin bewahrheitet sich eine weitere Vermutung, und
zwar, dass der Abstand der beiden zugehörigen Punkte von Vorder- und Hinterrad immer
gleich lang ist. Logisch, weil der Radstand natürlich unveränderlich ist. Diese Erkenntnis dient
als Grundlage für eine mathematische Lösung des Zusammenhangs zwischen Hinter- und
Vorderradspur. Diese Formel nennen wir Tobiassche Formel oder auch H-V-Theorie, also die
Formel, die es uns erlaubt, von der Hinterradkurve auf die des Vorderrades zu schließen
(Abb. 4, 5).
Abbildung 4:
Abbildung 5:
Während nun ein Teil unserer Gruppe versucht, diese Theorie von Tobias zu überprüfen,
beschäftigen sich die anderen der Gruppe damit, das Bildmaterial der Sinus- und
Kosinusfunktionen in unterschiedliche Programme wie Geogebra und Turboplotter zu
integrieren.
70
Am darauffolgenden Tag beginnen wir wieder mit
einer Besprechung und teilen unsere Gruppe
wiederum auf: Eine Videogruppe, die neues
Bildmaterial erstellen und dieses mit dem
Videoprogramm Kinovea analysieren soll. Dabei
achten sie besonders darauf, die Fehler des Vortages
zu vermeiden, wie das Wackeln des Fahrrads oder
schlecht verfolgbare Punkte. Mit Hilfe von Kinovea
können wir sowohl die Kurve des H- als auch die des
V-Rades verfolgen lassen (Abb. 6).
Abbildung
6: 6:
Abbildung
Der andere Teil überprüft die Tobiassche Formel des
Vortages grafisch auf Geogebra.
Die Videogruppe verbringt den Vormittag damit, für weitere Videoanalysen des
Fahrverhaltens, mit dem Fahrrad einen Halbkreis, eine Parabel, eine Kosinus-Funktion, sowie
die Kurve auf dem Bild (Abb. 1) abzufahren. Hierzu werden die Kurven und ein
Koordinatensystem wieder mit Kreide auf den oben genannten Parkplatz gezeichnet. Von
einem Fenster im 3. Stock aus wird gefilmt. Diesmal ist die Kamera jedoch an einem Stativ
fixiert, um ein Wackeln im Filmmaterial zu vermeiden. Je ein Punkt auf einem Rad wird mit
einem leuchtenden Punkt markiert um die Auswertung zu erleichtern. Dabei fällt auf, dass
aufgrund der Neigung des Fahrrads in der Kurve, die Bahnen in der Videoanalyse verzerrt
dargestellt werden. Mit einiger Übung gelingt es das Fahrrad in den Kurven gerade zu halten
und so diese Verzerrung zu vermeiden.
Die andere Gruppe hat herausgefunden, wie die Position des Vorderrades anhand der
Position des Hinterrades zu ermitteln ist. Deshalb versuchen wir ab jetzt, die
aufgezeichneten Kurven mit dem Hinterrad anstelle des Vorderrades abzufahren, da die
Formel anhand dieser Ergebnisse überprüft und veranschaulicht werden kann. Wir können
für die verschiedenen Variablen und Faktoren, wie etwa die Rahmengröße des Fahrrads,
„Schieberegler“ einbauen, um die Kurven mit wenig Aufwand ansehen, anpassen und
verändern zu können.
Nachdem wir das Problem rechnerisch gelöst haben, wenden wir uns der grafischen Lösung
zu. Zwei Schülerinnen setzen diese direkt im Programm Geogebra in die Tat um und fügen
sogar ein sich auf den Kurven bewegendes Fahrrad ein.
71
Am Donnerstag Vormittag prüfen wir zunächst, ob wir
alle Punkte, die wir uns an den anderen Tagen
vorgenommen hatten, abgearbeitet haben und ob noch
jemand andere Ideen gesammelt hatte. Außerdem
entwarfen wir unser Logo (Abb. 7).
Abbildung 7:
Nach vielen Überlegungen kommt die gesamte Gruppe
auf Theorien zur Lösung der Ausgangsfrage, wohin der
Postbote denn gefahren sei.
(1) Die Videogruppe konnte anhand eines Videos nachweisen, dass man tatsächlich durch
die Position der Schnittpunkte der Kurven des Hinter- und des Vorderrads auf die
Fahrtrichtung schließen kann. Deshalb kann man davon ausgehen, dass der Postbote von
rechts kam und nach links gefahren ist (vgl. Abb.1).
(2) Außerdem erkennt die Geogebragruppe, dass der Abschnitt der beiden Kurven abhängig
von der Fahrtrichtung ist: Dort, von wo der Fahrer kommt, ist der Abschnitt kleiner als da,
wo er hinfährt.
(3) Wenn man zwei Kurven hat, von denen eine die H- und eine die V-Kurve ist, kann man
grafisch auch auf eine andere Weise leicht darauf schließen, welche Kurve welche ist. Dazu
muss man einfach Tangenten anlegen. Wenn man von der Hinterradkurve ausgeht, dann
muss man tangential stets dieselbe Strecke „nach vorne“ gehen, um zu einem Punkt der
Vorradkurve zu kommen.
Abb. 8
Abb. 9
Damit können wir nun unsere graphische Lösung der experimentell erhaltenen Kurve
gegenüberstellen und sehen zufrieden die Übereinstimmung.
72
Abb. 10
Abb. 11
Die folgende Abbildung zeigt die V-Kurve, wenn die H-Kurve den Graphen einer
Sinusfunktion durchläuft.
Abb. 12
Dann wenden wir uns dem – wohl schwierigeren – Problem zu, ob wir auch aus der V-Kurve
die H-Kurve bestimmen können.
73
Wir wenden hierzu die Methode der kleinen
Schritte an. Ausgangspunkt ist das Fahrrad mit
dem Radstand d, mit Valt als Ort des Vorder- und
Halt als Ort des Hinterrads. Wenn sich nun das VRad von Valt nach Vneu bewegt, dann zieht es das
H-rad hinter sich her. Wir nehmen an, dass sich
das H-Rad dann im Punkt Hneu befindet, der auf
der Verbindungsstrecke von Halt und Vneu im
Abstand d von Vneu entfernt liegt (Abb. 12).
Mit dieser Überlegung erstellen wir zum einen ein
Computerprogramm in Java, und zum anderen ein
Programm
in
Geogebra,
um
die
Abbildung 13:
Gesamtbewegung sukzessive schrittweise zu
erhalten. Abb. 14 ist ein Ausschnitt aus dem JavaProgramm
Abb. 14
Die folgenden Abb. 15, 16 und 17 zeigen die jeweilige „Schleppkurve“ des H-Rades, wenn
sich das V-Rad auf einer Sinuskurve mit unterschiedlichen Frequenzen bewegt.
74
Abb. 15
Abb. 16
Abb. 17
75
Der Donnerstag Nachmittag und Abend dient vor allem der Ausarbeitung der Präsentation
und des Protokolls.
Der Freitag Vormittag diente zum einen der weiteren Vorbereitung der Präsentation, zum
anderen konnten wir nun aber auch eindeutig feststellen, in welche Richtung der Postbote
aus unserem Anfangsbild gefahren war. Legt man Tangenten an die innere Kurve des HRades, so muss man in gleichen Abstanden vom H- zum V-Rad kommen. Das ist aber nur der
Fall – unter Berücksichtigung der Perspektive - wenn man von rechts nach links geht. Also ist
der Fahrradfahrer von rechts nach links gefahren.
Abb. 18
76
Impressum
Herausgeber:
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
der Universität Würzburg
Emil-Fischer-Str. 30
97074 Würzburg
http://www.dmuw.de
Die Schülerprojekttage 2012 wurden von Dienstag, 17. bis Freitag, 20. Juli 2012 von der Fakultät für Mathematik
und Informatik der Universität Würzburg durchgeführt und vom Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik organisiert.
M.R.; J.W. 07.2012
3
3
8 .
Zugehörige Unterlagen
Fahrten
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Toni Schreiber e - Intranet der BBS II
Toni Schreiber e - Intranet der BBS II
Die in Stuttgart geborene Sopranistin Maria Bernius studierte an der
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Fotos, Untersuchungen und Gesteinsprobe von ihrer Umwelt
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2.1.4. Einfache arithmetische Beweise Beweise müssen in der
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