III. Integralrechnung : Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral

III.
Integralrechnung :
Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe :
Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
y=f(x)
yn
y0
x0
x1
(=a)
x2
Δx
xn
(=b)
Berechnung der Fläche A unter der Funktion f(x) zwischen den Grenzen a und b.
Die Fläche kann durch eine Summe von Rechtecken approximiert werden. Dazu wird das
Intervall [a,b] in n gleiche Subintervalle unterteilt:
x0=a, x1,x2,.........xn=b
Der Abstand zwischen zwei x-Werten ist:
xi − xi −1 =
b−a
= Δx
n
(i = 1,2,......,n)
Die dazugehörigen Funktionswerte sind:
y0, y1,y2,...........,yn
Die Fläche A kann approximiert werden durch eine Summe von Rechtecken oberhalb der
Kurve f(x) und eine Summe von Rechtecken unterhalb der Kurve f(x).
Oberhalb f(x):
Au = y1Δx + y2Δx + ......... + ynΔx
Unterhalb f(x):
Ao = y0Δx + y1Δx + ......... + yn-1Δx
Au ≤ A ≤ Ao
Der Fehler der Anpassung ist:
Ao – Au = yo.Δx - yn.Δx = (f(a)-f(b)).Δx
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Kap.2 8/8
Hofmann / Lettner
Der Fehler entspricht der Gesamtfläche der ausgefüllten Rechtecke in obiger Abbildung. Wird
die Unterteilung nun sukzessive verfeinert, dann wird diese Fläche ebenfalls sukzessive
kleiner.
Für n → ∝ geht Δx → 0, daher konvergieren die Flächen Au und Ao gegen A.
lim Au = lim Ao = A
n →∞
n →∞
Die Schreibweise für diesen Grenzwert ist das Integralzeichen in der Form:
b
A =
∫
f ( x)dx = lim
Δx →0
a
n
∑ f ( x )Δx
i =1
i
Wie hängen Differentiation und Integration zusammen ?
h
ΔF
F(x)
a
x
x+h
Die obere Grenze b wird durch die Variable x ersetzt. Die Abszisse nimmt beliebige Werte im
Definitionsbereich von y=f(x) an.
Sei Aax die Fläche unterhalb der Kurve f(x) im Intervall [a,x]. Für x = a ist das Intervall auf
einen Punkt reduziert und die dazugehörige Fläche Aax= Aaa = 0. Ist x ungleich a, dann ist
auch die Fläche ungleich 0. Die Fläche Aax hängt von x ab, sie wird deshalb als
Flächenfunktion von x bezeichnet.
Aax = F(x)
Differenziere F(x) nach x:
sei Aax+Δx=F(x+Δx)
ΔF = F(x+Δx) - F(x)
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ΔF kann durch eine Rechteckfläche angenähert werden (schraffiert in Abbildung). Betrachten
wir dazu zwei Rechteckflächen, eine mit den Seite Δx und f(x), die andere mit den Seiten Δx
und f(x+Δx ). Nachdem f(x) monoton steigend ist, gilt:
Δx f(x) < ΔF < Δx f(x+Δx),
Die Änderungsrate ΔF/Δx ist daher
f(x) < ΔF/Δx < f(x+Δx),
Nachdem f(x) stetig ist, konvergiert f(x+Δx) gegen f(x) mit Δx → 0. Der Grenzwert des
Differenzenquotienten ΔF/Δx, die Ableitung dF/dx = F´ existiert daher, und
dF
= F ′( x) = f ( x)
dx
Die Ableitung der Flächenfunktion F(x) ist die gegebene Funktion f(x), bzw. anders herum:
die Flächenfunktion F(x) ist das bestimmte Integral von f(x). Durch die Festlegung der
Grenzen wird die Flächenfunktion vom unbestimmten Integral zum bestimmten Integral.
Bemerkung:
Von einer Funktion g(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen G(x)+c,
∫ g ( x)dx = G( x) + c ,
mit G(x) dem unbestimmten Integral (antiderivative) und der „Integrationskonstanten c“, weil
c ∈ R beliebige Werte annehmen kann. Erst durch die Randbedingungen wird c fixiert und
die Lösung auf eine, oder wenige Stammfunktionen eingeschränkt.
Wie wird die Konstante c bestimmt?
Sei I(x) ein beliebiges unbestimmtes Integral von f(x), so unterscheidet sich F(x) von I(x) nur
durch eine bestimmte Konstante c:
F(x) = I(x) +c
Für den bestimmten Wert x = a erhalten wir:
F(a) = I(a) + c = 0, und c = -I(a), daher ist
F(x) = I(x) - I(a).
Im Intervall [a,b] wird durch Ersetzen der oberen Grenze x durch b:
F(b) = Aab = I(b)-I(a).
b
Schreibweise: F(b) = ∫ f(x)dx = I(b)-I(a) ,
a
a = untere Grenze; b = obere Grenze
f(x) Integrand
x
Integrationsvariable
a, b Integrationsgrenzen
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b
∫
b
f ( x)dx = F ( x) | = F( b ) − F( a )
a
a
F (x) …Integral
Die Differentiation der Stammfunktion F(x) ergibt f(x).
Differentiation und Integration sind inverse Operationen.
Hauptsatz der Integralrechnung:
x
d
f (t )dt = f ( x), oder
dx ∫a
x
∫ F ′(t )dt = F ( x)
a
Bemerkung: Mitunter findet man auch folgende Schreibweise:
x
∫ f ( x)dx = F ( x) − F (a)
a
x übernimmt hier eine Doppelrolle als 1) Integrationsvariable und als 2) obere Grenze. Diese
Schreibweise ist verwirrend und sollte daher unterbleiben, für die obere Grenze und
Integrationsvariable sollten verschiedene Buchstaben verwendet werden, wie etwa:
x
∫
x
f (t )dt = F (t ) | = F ( x) − F (a )
a
a
Unbestimmtes Integral:
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
hat keine Integrationsgrenzen
C
Integrationskonstante; kann jeden beliebigen Wert (auch 0) annehmen.
Kann für ein spezifisches Problem berechnet werden (siehe Anfangs- bzw.
Randbedingungen bei Differentialgleichungen)
Rechenregeln:
b
∫
a
c
∫
a
a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b
b
c
a
b
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
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b
b
b
a
a
a
∫ f ( x)dx + g ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ dx = x
+c
(c kommt überall vor, wird aber bei den nachstehenden Regeln weggelassen)
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
n
∫ x dx =
∫
x n +1
+C
n +1
dx
= lnx + C
x
x
∫ a dx =
ax
+C
lna
x
∫ e dx =
ex
= ex + C
l{
ne
1
∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ tan x dx = −ln cos x + C
∫ cot x dx = ln sin x + C
Achtung: nicht jedes Integral kann auf eindeutige Weise gelöst werden.
Integrationsmethoden
(a) Integration durch Substitution
z.B. ∫ sin( ax + b)dx
Setzen:
t = ax + b =
dt
=a
dx
dx 1
dt
= → dx =
dt a
a
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1
1
1
∫ sin t a dt = a ∫ sin t dt = − a cos t
+c
(b) Partielle Integration
∫ f ′( x) g ( x) dx =
z.B.
f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ′( x) dx (Differentiation eines Produktes)
∫ x cos x dx
setzen:
f(x) = x, g´(x) = cos x
f’(x) =1, g(x) = sin x
∫ x cos xdx = x sin x − ∫1 sin x dx
= x sin x + cos x(+c)
Es gibt noch eine Reihe weiterer Integrationsmethoden und Tabellen
(wenn keine „geschlossene“ Lösung möglich: numerische Integration und
Näherungsmethoden)
Wenn innere Ableitung bei Integration → Division!
(Differentiation : Multiplikation)
z.B.
e kx
(+ c)
k
kx
∫ e dx =
3
Beispiele:
3
2
2
∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 4
0
0
+
π
2
x3
3
+
3
0
=
4
(27 − 0) = 36
3
π
2
π
) − sin( −π = 1 − (−1) = 2
∫π cos xdx = sin x |π = sin(
{2 1232
−
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−
2
2
1
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( −1
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Uneigentliche Integrale
Sind Integrale, bei denen eine oder beide Integrationsgrenzen keine festen Zahlen sind,
sondern plus oder minus unendlich sind.
b
Falls der Grenzwert lim ∫ f ( x)dx existiert, so ist
b→∞
a
∞
∫
a
b
f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
b →∞
b
b
∫
Analog:
f ( x)dx = lim
a → −∞
−∞
∞
∫
a
∫ f ( x)dx
a
c
f ( x)dx = lim
a → −∞
−∞
∫
a
b
f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx
b →∞
c
Für ein beliebiges c ∈ R, vorausgesetzt, die hier vorkommenden Grenzwerte existieren.
Wenn die Funktion f(x) an einer der Integrationsgrenzen a oder b nicht definiert ist, dann
kann die Funktion wie folgt erweitert werden.
Für x = a ist F(x) nicht definiert:
b
b
∫ f ( x)dx = δlim ∫δ f ( x)dx
→0
a
a+
vorausgesetzt, dass der Grenzwert auf der rechten Seite der Gleichung existiert. Analog für
den Fall, daß F(x) für den Wert x = b nicht definiert ist, das Integral
b −δ
b
∫
f ( x )dx = lim
δ →0
a
∫ f ( x)dx ,
a
wenn der Grenzwert auf der rechten Seite der Gleichung existiert.
Bsp:
1
1
∫ ln( x)dx = lim ∫ ln( x)dx
δ →0
0
δ
1
⎞
⎛
= lim⎜ ( x ⋅ ln x − x) | ⎟
δ → 0⎝
δ⎠
0 = lim(− 1 − δ ⋅ ln(δ ) + δ ) = −1
δ →0
Zu zeigen ist noch, dass δ.ln(δ) = 0 ist, in geeigneter Weise unter Verwendung der Regeln von
de l’Hospital:
lim⋅ δ ⋅ ln(δ ) = 0
δ →0
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Nach Umformung:
ln(δ )
δ →0
1
lim⋅ δ ⋅ ln(δ ) = lim
δ →0
δ
1
lim
δ →0
f (δ )
f ′(δ )
= lim
= δ = −δ = 0
1
g (δ ) δ →0 g ′(δ )
− 2
δ
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