Photometrie_Geometrische_Optik

Radiometrie und Photometrie:
Grundlagen und Definitionen
Geometrische und Technische Optik
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Information und
N. Lindlein
Photonik
282+1
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Bisher wurden nur punktartige Objekte abgebildet.  Ort, Größe
und Qualität des Bildes
Physikalisch gesehen wird aber Strahlungsleistung (Photonen) vom
Objekt zum Bild transportiert.
Reale Lichtquellen haben Eigenschaften wie:
• Größe und Form der flächen- oder volumen-artigen Lichtquelle
• (evtl. ortsabhängige) Richtungsabstrahlcharakteristik
• Spektrale Verteilung der Lichtleistung e,()
• Gesamte abgestrahlte Lichtleistung e:
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 e    e,   d
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282+2
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Das optische System (=Übertragungskanal) beeinflusst die
transportierte Strahlung:
• Absorption
• Reflexion
• Transmission
• Streulicht
• Dispersion
Der Detektor hat eine spezifische Empfindlichkeit für die Strahlung,
so dass sein Signal  z.B. von der Wellenlänge abhängt:
  K   e ,  V   d
V: spektrale Empfindlichkeit des Detektors, K: Konstante
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282+3
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Im Folgenden werden wir zwischen strahlungsphysikalischen
Größen (= Radiometrie) und auf das menschliche Auge bezogene
lichttechnische Größen (= Photometrie) unterscheiden.
Später werden wir aber stellvertretend nur eine der beiden
Größensysteme verwenden, da die radiometrischen und
photometrischen Größen in den allermeisten Gesetzmäßigkeiten
jeweils austauschbar sind. Man darf nur nicht Größen aus beiden
Systemen miteinander vermischen.
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282+4
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Strahlungsphysikalische Größen werden mit Detektoren gemessen, die auf die
gesamte Lichtleistung sensitiv sind (z.B. Bolometer, die die Erwärmung messen).
Wir kennzeichnen alle strahlungsphysikalische Größen mit einem Index „e“ (für
Energie).
1. Strahlungsfluss/Strahlungsleistung e (Einheit 1 Watt=1 W): gesamte jeweils
betrachtete Lichtleistung (=Energie pro Zeit).
2. Strahlstärke Ie (Einheit 1 Watt/Steradiant=1 W/sr): Strahlungsfluss de, der in
einen (kleinen) Raumwinkel d abgestrahlt wird.
Ie 
d e
d
3. Bestrahlungsstärke Ee (Einheit 1 Watt/Meter2=1 W/m2): Strahlungsfluss de
pro bestrahltem (kleinen) Flächenelement dF. Wird bisweilen, wenn auch
leicht missverständlich, als Intensität bezeichnet.
d e
Ee 
dF
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282+5
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
4. Strahldichte Le (Einheit 1 Watt/(Meter2*steradian)=1 W/(m2 sr)): Anteil de des
Strahlungsflusses, der von einem (kleinen) Flächenelement dA der Lichtquelle
unter dem Winkel  relativ zur Flächennormalen in den (kleinen) Raumwinkel
d emittiert wird.
d 2 e
dI e
Le 

cos dA d cos dA
Der Faktor cos ist nötig, da nur die Projektion des
Flächenelementes dA senkrecht zur betrachteten
Emissionsrichtung relevant ist.
J
dA
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dW
cosJ dA
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282+6
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Lichttechnische Größen berücksichtigen die (subjektive) Hell-Empfindlichkeit
des menschlichen Auges (Detektors) auf verschiedene Wellenlängen. Wir
kennzeichnen alle lichttechnischen Größen wie die entsprechenden
strahlungsphysikalischen Größen, aber ohne Index „e“.
1. Lichtfluss/Lichtstrom  (Einheit 1 Lumen=1 lm): Analogon zur Lichtleistung,
wobei aber die Hell-Empfindlichkeit des Auges berücksichtigt wird.
2. Lichtstärke I (Einheit 1 Candela=1 cd=1 Lumen/Steradiant=1 lm/sr): Lichtstrom
d, der in einen (kleinen) Raumwinkel d abgestrahlt wird.
d
I
d
3. Beleuchtungsstärke E (Einheit 1 Lux=1 lx=1 Lumen/Meter2=1 lm/m2):
Lichtstrom d pro bestrahltem (kleinen) Flächenelement dF.
d
E
dF
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282+7
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
4. Leuchtdichte L (Einheit 1 Lumen/(Meter2*Steradiant)=1 lm/(m2 sr)=1 cd/m2):
Anteil d des Lichtstroms, der von einem (kleinen) Flächenelement dA der
Lichtquelle unter dem Winkel  relativ zur Flächennormalen in den (kleinen)
Raumwinkel d emittiert wird.
d2
dI
L

cos dA d cos dA
Der Faktor cos ist wieder nötig, da nur die
Projektion des Flächenelementes dA senkrecht zur
betrachteten Emissionsrichtung relevant ist.
J
dA
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dW
cosJ dA
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282+8
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Anmerkung zur Einheit des Raumwinkels Steradiant:
Im SI-Einheitensystem gibt es die Einheit Steradiant (sr), aber deren Dimension ist
1. In diesem Fall haben aber Strahlungsfluss und Strahlstärke (bzw. Lichtstrom
und Lichtstärke) die gleiche Dimension. Um beide Größen, die physikalisch
verschieden sind, trotzdem unterscheiden zu können, wurden ihre Einheiten
unterschiedlich gewählt. Gleiches gilt bei Bestrahlungsstärke und Strahldichte
(bzw. Beleuchtungsstärke und Leuchtdichte).
Zur besseren Kennzeichnung sollte man also immer die Einheit Steradiant
angeben.
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282+9
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Zusammenhang zwischen strahlungsphysikalischen und lichttechnischen
Größen:
Der Lichtstrom  ist der mit der Hell-Empfindlichkeitsfunktion V() des
menschlichen Auges gewichtete spektrale Strahlungsfluss e,(), der außerdem
noch mit dem photometrischen Strahlungsäquivalent K multipliziert wird.
780 nm
K
    V  d
e,
380 nm
mit  e ,
 e


Photometrisches Strahlungsäquivalent K=683 lm/W bei Tagsehen: Eine
Strahlungsleistung von 1 Watt, die genau bei der Wellenlänge =555 nm
ausgesandt wird, erzeugt einen Lichtstrom von 683 Lumen.
Beim Nachtsehen hat K einen anderen Wert (1699 lm/W) und auch die HellEmpfindlichkeitsfunktion einen anderen Verlauf.
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282+10
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Hell-Empfindlichkeitsfunktion V(): dimensionslose Funktion mit
Maximalwert 1 bei Wellenlänge =555 nm bei Tagsehen (bei Nachtsehen liegt
das Maximum bei =505 nm). Beschreibt die Empfindlichkeit des menschlichen
Auges auf Licht verschiedener Wellenlängen.
Hat V zum Beispiel bei einer Wellenlänge den Wert 0.2, so benötigt man bei
dieser Wellenlänge die 5-fache Strahlungsleistung, um den gleichen
Helligkeitseindruck wie bei 555 nm Wellenlänge zu erzeugen.
Orange: Tagsehen,
/
380 430 510 555 610 633 720 780
nm
V
10-5 0.01 0.5
1
0.5
Violett: Nachtsehen
0.26 0.01 10-5
Quelle: Wikipedia
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282+11
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Beispiele für lichttechnische Größen bekannter Lichtquellen:
1. 100 W-Glühlampe: erzeugt ca. =1500 lm Lichtstrom, Lichtstärke ist ca.
I=1500 lm/(4 sr)≈120 cd
2. HeNe-Laser mit e=1 mW Strahlungsleistung. Hat nur Lichtstrom von
=K V e=683 lm/W * 0.26 * 0.001 W=0.18 lm.
Aber: bei Raumwinkel von =10-6 sr≈(1 mrad)2, wie es ein kollimierter
Laserstrahl aufgrund der Beugung bei ca. 1 mm Strahlquerschnitt hat, ist die
Lichtstärke ca. I=/=0.18 lm/10-6 sr=180 000 cd.
Deshalb ist ein Laser so gefährlich für das Auge!
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282+12
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
3. Planckscher Strahler/Schwarzkörper-Strahler: Strahlungsmaximum und
Strahlungsleistung hängen von Temperatur T ab:
2hc 2
1
Spektrale spezifische Ausstrahlung:
M   , T  
5
 hc 
(in Halbraum abgestrahlte Leistung pro
exp
 1
Flächenelement und Wellenlängenintervall)
 kT 
2897.8 µm K
max 
Wiensches Verschiebungsgesetz:
T
d e
Stefan-Boltzmann-Gesetz:
Mh 
  T 4 mit   5.67 10 8 W m -2 K -4
dA
 Lichtstrom eines thermischen Strahlers
nimmt extrem stark mit T zu.
Quelle: Wikipedia
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282+13
Grundlagen Radiometrie/Photometrie
Beispiele für Effizienz der Lichterzeugung, d.h. Lichtstrom pro aufgewendeter
780 nm
Leistung (z.B. elektrischer Leistung):
K   e ,  V  d


 380 nm

e
  e,  d
0
Schwarzer Strahler bei T=6000 K: =100 lm/W
Glühlampe: =10-20 lm/W (bis zu 20 lm/W bei Halogenlampe)
Leuchtstofflampe/Energiesparlampe: =40-55 lm/W
LED: bis zu =90 lm/W
Typische Beleuchtungsstärken:
Straßenbeleuchtung bei Nacht: 15 lx
Empfohlene Schreibtischbeleuchtung: 300 lx
Kinoleinwand: 100 lx
Bei Präzisionsarbeiten: 1000 lx
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282+14
Abbildung kleiner Lichtquellen
Im Folgenden wird nicht mehr zwischen radiometrischen und photometrischen
Größen unterschieden, da die Gesetzmäßigkeiten in beiden Fällen gelten (soweit
nicht anders angegeben). Der einfacheren Notation wegen wird der Index „e“
weggelassen und die Bezeichnungen der photometrischen Größen werden
genommen.
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282+15
Abbildung kleiner Lichtquellen
Verhalten der Bestrahlungsstärke für kleine (fast punktförmige)
Lichtquelle: quadratisches Abstandsgesetz
Raumwinkel d: Verhältnis zwischen Flächeninhalt dF
eines kleinen Kugelsegments und dem Quadrat des
Radius a der Kugel
dF
d 
a2
dF
Die Beleuchtungsstärke auf der Kugeloberfläche ist
dann:
d
d
I
E
dF

a d
2

a2
Dies ist das bekannte quadratische Abstandsgesetz
für die Abnahme der Beleuchtungsstärke. Bei einer
ausgedehnten Lichtquelle mit Durchmesser D gilt es
nur für a>>D.
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dW
a
D
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282+16
Abbildung kleiner Lichtquellen
Verhalten der Lichtstärke bei Abbildung:
Objekt der Höhe x wird mit Aperturwinkel u auf Bild der Höhe x‘ mit bildseitigem
Aperturwinkel u‘ abgebildet. Objekt- und Bildweite seien betragsmäßig a bzw. a‘.
Ausgeleuchteter Bereich dF in Eintrittspupille des optischen Systems habe Radius r.
Helmholtz-Lagrange-Invariante bei Abbildung
(für kleine Winkel):
x' nu
nux  n' u ' x'    
x n' u '
für n n '

Objektseitig:
u
u'
a
u
x
dF  a 2 d  dF   r 2   au   d   u 2
a’
r
u’
2
x’
Analog gilt bildseitig:
2


u
d
2



d'   u '2 
d'  u '2
d
I   2I
Energieerhaltung: Id  d  I ' d'  I ' 
d'
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Also : I '   2 I
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282+17
Abbildung kleiner Lichtquellen
Anwendung: Der Projektor (Dia-Projektor, Beamer)
Die Leuchtfläche der Lichtquelle (z.B. Halogenlampe oder Quecksilber-Hochdrucklampe) wird mit einem Kondensor vergrößert in die Eintrittspupille des ProjektionsObjektivs abgebildet (Köhlerscher Strahlengang). Das Projektions-Objektiv bildet
das Dia oder LCD-Display vergrößert auf die Leinwand/Projektionsfläche ab.
Lichtstärke I vor bzw. I‘ hinter Kondensor:
2
I '   Kondensor
I
Beleuchtungsstärke auf Leinwand: E‘ mit bzw. E ohne Kondensor:
2
I
I '  Kondensor
2


E'  2 
Kondensor E
2
a
a
Condenser
lens
Image of
slide
Projector lens
Beispiel: E‘=100 lx, a=5 m, I=250 cd

a2

 E '  10
I
  Kondensor  3.2
2
Kondensor
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Light
source
Slide
Image of
light source
a
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282+18
Abbildung kleiner Lichtquellen
Kondensor eines Projektors:
Die eigentliche Glühwendel (oder andere leuchtende Fläche) wird mit einem
Kugelspiegel neben sich selbst abgebildet und das Licht wird mit einer asphärischen
Linse kollimiert bzw. mit einer weiteren Linse wird die Glühwendel auf die
Eintrittspupille des Projektions-Objektivs abgebildet.
Quelle: Wikipedia
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282+19
Übergang zu ausgedehnten Lichtquellen
Es wird Rotationssymmetrie des optischen Systems und der Lichtquelle
um eine Achse angenommen.  Photometrische Größen können nur
vom Polarwinkel  zwischen der Achse und der Beobachtungsrichtung
abhängen. Z.B. Lichtstärke I=I().
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282+20
Ausgedehnte Lichtquellen
m=0
Strahlertypen nach Straubel:
Jeder Punkt der ausgedehnten Lichtquelle strahlt mit Lichtstärke I
der folgenden Abhängigkeit vom Polarwinkel  (I0: Lichtstärke
längs Flächennormale=Achse):
I    I cos m 
J
Abstrahlung sei für jeden Punkt der Lichtquelle mit Fläche A gleich 
Leuchtdichte:
L   I   /  A cos    I 0 cos m 1  / A
m=1
0
J
m=0: Kugelstrahler, d.h. Lichtstärke in allen Richtungen gleich.
Aber Leuchtdichte wächst mit 1/cos bei zunehmendem Winkel .
m=3
m=1: Lambert-Strahler  Leuchtdichte konstant
I0
I
I    I 0 cos   L 

A cos  A
J
m=3: Keulenstrahler mit Vorzugsrichtung der Abstrahlung nach vorne.
Leuchtdichte nimmt mit cos2 ab.
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282+21
Ausgedehnte Lichtquellen
Lambert-Strahler:
Der Lambert-Strahler hat die Besonderheit, dass er aus allen Richtungen betrachtet
gleich hell erscheint. Man kann deshalb eine Kugel oder eine Scheibe, die wie ein
Lambert-Strahler abstrahlen, nicht unterscheiden.
Grund: Die Leuchtdichte ist verantwortlich für den visuellen Helligkeitseindruck
einer Fläche, da wir beim schrägen Betrachten eine Fläche A scheinbar als eine
Fläche der Größe A cos sehen. Beim Lambert-Strahler nimmt zwar die Lichtstärke,
also der in einen kleinen Raumwinkel abgestrahlte Lichtstrom, mit cos ab. Dafür
aber sehen wir eben die Fläche A, von der wir Licht empfangen, beim schrägen
Betrachten als eine Fläche der Größe A cos, so dass der in unser Auge fallende
Lichtstrom pro abstrahlendes Flächenelement senkrecht zur Beobachtungsrichtung
gleich bleibt.
Die Sonne erscheint uns als eine weitgehend homogen helle Kreisfläche, obwohl sie
eine Kugel ist. Allerdings weist die Sonne eine leichte Randverdunkelung auf, so
dass sie nur näherungsweise ein Lambert-Strahler ist.
Diffus streuende Flächen, z.B. eine weiße Wand, sind auch mit guter Näherung
Lambert-Strahler.
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282+22
Ausgedehnte Lichtquellen
In den Halbraum abgestrahlter Lichtstrom bei verschiedenen
Strahler-Typen nach Straubel:
Integration der Lichtstärke über den Halbraum mit Raumwinkel 2
2
 /2
 /2
 Halbraum   d  I  sin  d  2 I 0  cos m  sin  d
0

I0
 Halbraum
0

0
x: cos

0
 2 I 0  x m dx 
1
2 I 0
m 1
m 1
2
Bei gleichem in den Halbraum abgestrahlten Lichtstrom Halbraum haben die
verschiedenen Strahler-Typen also unterschiedlich große Lichtstärke I0 längs
der Symmetrie-Achse (=0):
Kugelstrahler
2I0/Halbraum=1
Lambert-Strahler
2I0/Halbraum=2
Keulenstrahler
2I0/Halbraum=4
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282+23
Ausgedehnte Lichtquellen
Beleuchtungsstärke auf ebenem Schirm bei Freiraumausbreitung:
Eine (kleine) leuchtende Fläche stehe parallel zum Schirm im Abstand a0,
wobei a0 sehr viel größer als die laterale Ausdehnung der Lichtquelle ist.
Screen
Raumwinkel d, unter dem ein Flächenelement dF des Detektors von der
Lichtquelle aus erscheint:
dF cos  dF cos 3 

d 
2
a
a02
Der in den Raumwinkel d abgestrahlte
Light
Lichtstrom d und die Beleuchtungsstärke E source
unter dem Winkel  sind dann:
dF cos3  I 0 dF
m3
cos
d  I   d  I 0 cos 


2
2
a0
a0
a0
J
a
m
d I 0
I
 E   
 2 cos m 3   E0 cos m 3  mit E0 : 02
dF a0
a0
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E0: Beleuchtungsstärke
des Schirms auf der
Achse
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J dF
282+24
Ausgedehnte Lichtquellen
Für einen Lambert-Strahler (m=1) ist die Beleuchtungsstärke auf dem Schirm also:
E    E0 cos 4 
Unter 23.4o (halber diagonaler Bildwinkel einer Kleinbildkamera mit normalem
Objektiv) ist die Beleuchtungsstärke z.B. nur noch 71% so groß wie auf der Achse.
In der Photographie ist dieser Effekt der Randverdunkelung einer Szene bei
Beleuchtung mit einem einfachen Blitzlicht gut bekannt. Immerhin ist das von
einem Objekt zurück gestreute Licht im Idealfall nur von der Beleuchtungsstärke
abhängig.
 Moderne Blitzlichter zur Ausleuchtung einer Szene, die mit einem
Weitwinkelobjektiv (halber Bildwinkel kann größer als 50o sein) photographiert
wird, versuchen mit Freiformflächen bzw. speziellen Fresnel-Linsen (=lokale
Prismen) eine speziell präparierte Lichtstärke zu erzielen, so dass die
Randverdunkelung minimal wird. Ideal wäre natürlich eine Lichtstärke der Form:
I()=I0/cos3, d.h. m=-3  E()=E0
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282+25
Ausgedehnte Lichtquellen
Abbildung einer Fläche mit Lambert-Abstrahlung:
Die Abbildung sei ohne sphärische Aberration und die strahlende Fläche sei relativ
klein gegenüber Gegenstands- und Bildweite.
Dünner ringförmiger Raumwinkel d im
Objektraum (bzw. d‘ im Bildraum) unter dem
Winkel  (bzw. ‘) zur Achse wird betrachtet:
d  2 sin  d  d'  2 sin  ' d '
dJ’
J’
dJ
x
J
Ohne Absorption und Streuung ist der
in diesem Ring transportierte
Lichtstrom d im Objekt- und
Bildraum gleich und für die Lichtstärke
I im Objekt- bzw. I‘ im Bildraum gilt:
I  d  d  I '  d'  2 I  sin  d  2 I '  'sin  ' d '
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282+26
x’
Ausgedehnte Lichtquellen
Damit ein Lambert-Strahler wieder auf einen Lambert-Strahler abgebildet
wird, muss gelten:
I    I 0 cos   I '  '  I '0 cos  '
 I 0 cos  sin  d  I '0 cos  ' sin  ' d '



 I 0 d sin 2   I '0 d sin 2  '

Für die Lichtstärke auf der Achse, d.h. paraxiale Näherung ist gültig, gilt: I '0   2 I 0

Integration
d sin 2     2 d sin 2  '

sin 2    2 sin 2  '

x sin   x' sin  '
  x '/ x
Dies ist aber gerade die Sinus-Bedingung (für Brechzahlen n=n‘).
Ein Lambert-Strahler wird also wieder auf einen Lambert-Strahler abgebildet,
wenn das optische Abbildungssystem die Sinus-Bedingung erfüllt.
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282+27
Ausgedehnte Lichtquellen
Verhalten der Beleuchtungsstärke E‘ bei Abbildung (mit kleinem
Aperturwinkel):
Ein kleiner Raumwinkel um die optische Achse wird betrachtet. Ohne Absorption
und Streuung gilt also Energieerhaltung für den Lichtstrom d im Objekt- bzw. d‘
im Bildraum:
d  Id  d '  I ' d' mit d   2 d'
Aufgrund der Abbildung gilt für die
Flächeninhalte der strahlenden
bzw. beleuchteten Fläche:
A'  x'2   2 x 2   2 A
d ' d
Id Id'
 E' 
 2  2 
A'  A  A
A
x
dJ
dJ’
x’
Für kleine Aperturwinkel (cos≈1) gilt aber für die
Leuchtdichte L der strahlenden Fläche: L  I / A
Also folgt für die Beleuchtungsstärke im Bild: E '  Ld'
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282+28
Ausgedehnte Lichtquellen
Interpretation des Ergebnisses:
Die Beleuchtungsstärke E‘ im Bild hängt nur von der Leuchtdichte L des Objekts
und dem Raumwinkel d‘ ab, unter dem die Austrittspupille der Linse vom Bild aus
erscheint.
Beispiel 1: Brennglas (Achtung: Hier nehmen wir die radiometrischen Größen,
benutzen aber weiterhin die Symbole ohne Index „e“)
Ohne Brennglas ist die Bestrahlungsstärke E‘ohne der Sonne auf der Erde bei
wolkenlosem Himmel:
E 'ohne  Ld'  L  u '2 mit 2u '  0.0093
2u‘ ist die Winkelgröße der Sonne (≈0.5o).
Mit Brennglas der Brennweite f‘, Aperturdurchmesser DEP und Aperturfläche FEP ist
die Bestrahlungsstärke E‘mit (Sonne ist im Unendlichen, d.h. Bild in Brennebene):
2
 DEP   L
FEP
 
E 'mit  L 2  L 
mit der Blendenzahl f #  f ' / DEP
2
f'
4 f#
 2f'
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282+29
Ausgedehnte Lichtquellen
Das Verhältnis der Bestrahlungsstärken mit und ohne Brennglas ist also:
2
E 'mit  DEP 
1





E 'ohne  2 f ' u ' 
2u ' f #2
2 u ' 0.01

2
 100 DEP   100 

  

f'   f#

2
Bei einer Blendenzahl von f#=1 würde sich die Bestrahlungsstärke mit Brennglas
also um einen Faktor 10000 erhöhen! Allerdings gilt für eine so hohe numerische
Apertur unsere Theorie nur noch näherungsweise, da wir ja kleine Winkel
vorausgesetzt hatten.
Alternative Ableitung für die obere Formel (ohne Formalismus):
Die gesamte Strahlungsleistung, die auf das Brennglas fällt, wird in das Bild der
Sonne konzentriert. Die Erhöhung der Bestrahlungsstärke ist also gleich dem
Verhältnis zwischen der Aperturfläche (DEP/2)2 des Brennglases und der
Bildfläche (f‘u‘)2 (Bild der Sonne ist in der Brennebene, so dass der Radius des
Bildes f‘u‘ ist). Dies ergibt die gleiche Formel wie oben.
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282+30
Ausgedehnte Lichtquellen
Beispiel 2: Vergleich der Fotografie einer Landschaft und des Mondes
Mond und Erde sind beide Sekundärstrahler, die die Sonnenstrahlung streuen
bzw. reflektieren, und praktisch gleichen Abstand von der Sonne haben.
 Die Leuchtdichte/Strahldichte des Mondes und die Leuchtdichte/Strahldichte
einer „sonnigen“ Landschaft auf der Erde sind fast gleich.
 Auf dem Detektor einer Kamera erzeugen beide eine ähnliche
Bestrahlungsstärke, so dass zur Fotografie des Mondes gleiche Parameter wie
bei einer sonnigen Landschaft erforderlich sind.
Anmerkung: Winkelgröße des Mondes ca. 2u‘=0.01  Bild des Mondes auf dem
Detektor einer Kleinbildkamera mit f‘=50 mm winzig (0.5 mm Durchmesser
verglichen mit 35 mm Seitenlänge im klassischen Kleinbildformat).  Um Mond in
voller Größe auf dem Detektor zu haben, ist ein Teleobjektiv mit extrem langer
Brennweite erforderlich  Zur Fotografie des Mondes gleiche Parameter wie bei
der Fotografie einer sonnigen Landschaft mit diesem Teleobjektiv erforderlich.
Obere Erklärung macht aber klar, dass bei einer normalen Fotografie entweder
die nächtliche Landschaft richtig belichtet wird oder der Mond, aber kaum beides.
Geometrische und Technische Optik
Institut für Optik,
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N. Lindlein
Photonik
282+31
Ausgedehnte Lichtquellen
Beispiel 3: Berechnung der Strahlungsleistung der Sonne pro
Flächenelement
Bestrahlungsstärke der Sonne oberhalb der Erdatmosphäre: Ee=1.367 kW/m2.
Raumwinkel d‘=u‘2, unter dem wir die Sonne sehen (Winkeldurchmesser
2u‘=0.0093).  Strahldichte LS der Sonne unter Annahme eines Lambert-Strahlers:
Ee
Ee
MW
Ee  LS d'  LS 

 20.12 2
2
d '  u '
m sr
 In den Halbraum emittierte Strahlungsleistung der Sonne pro Flächenelement:
2
d h
d 2 h
d    d
Mh 

dA
d A d
0
 /2
x: sin 
1
MW
0 LS cos  sin  d  2LS 0 xdx  LS  63.22 m 2
Alternative Berechnung:
Gesamte von der Sonne emittierte Strahlungsleistung S ist Produkt aus Ee und
der Fläche einer Kugel mit Erdbahnradius rE=149.6.109 m:
 S  4 rE2 Ee  3.845 10 26 W
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282+32
Ausgedehnte Lichtquellen
Die pro Flächenelement von der Sonne emittierte Strahlungsleistung Mh folgt aus
S und der Oberfläche der Sonne (Sonnenradius rS=6.957.108 m):
S
MW
Mh 
 63.21 2
2
4 rS
m
Dieser Wert stimmt mit dem Vorherigen (von Rundungsfehlern abgesehen) überein.
Natürlich ist dies kein Zufall, denn aus den beiden letzten Gleichungen folgt für Mh
(Winkelradius der Sonne u‘=rS/rE):
2
 rE 
Ee
Mh
Ee
Ee
4 r


Mh 
Ee    Ee  2  LS 


2
u'
4 r

 u ' d'
 rS 
2
E
2
S
Vergleich mit Planck‘schem Strahlungsgesetz:
Stefan-Boltzmann-Gesetz  Aus Mh folgt effektive Temperatur T der Sonne unter
der Annahme eines Schwarzen Strahlers. Wiensches Verschiebungsgesetz
 Wellenlänge max des Strahlungsmaximums:
M h   T 4  T  M h /  
1/ 4
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 5778 K  max 
2897.8 µm K
 501.5 nm
T
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282+33
Ausgedehnte Lichtquellen
Unterschied zwischen der Abbildung einer ausgedehnten
Lichtquelle und einer Punktlichtquelle:
Ausgedehnte Lichtquelle  geometrisch optisches Bild der Lichtquelle
Punktlichtquelle  Airy disc
In der Brennebene eines Spiegels/Linse mit Durchmesser D und Brennweite f‘ (>D)
ist die Fläche FAiry der Airy disc (Fläche der zentralen Scheibe bis 1. Minimum):
 n 1


 f'
D
 rAiry  0.61
 0.61
 0.61  1.22
'
2f'
sin  '
'
NA
D
2  f ' 
2
  f '
2
 FAiry :  rAiry
  1.22  
  4.68

 D 
 D 
2
F’
j’
D
f
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282+34
Ausgedehnte Lichtquellen
Die über die Fläche der Airy disc gemittelte Bestrahlungsstärke E* , die ein Stern
(Punktlichtquelle) in der Brennebene eines Teleskopspiegels erzeugt, ist:
E 
 Apertur
FAiry
E0 D / 2
2

  f '
 1.222 

 D 
2

E0
4
D
2.44 f '2
E0: Bestrahlungsstärke des Sterns in der Eintrittspupille des Spiegels
Die Bestrahlungsstärke EB in der Brennebene des Spiegels aufgrund von
Hintergrundstrahlung (z.B. Streulicht) der Strahldichte LB ist:
 D 

EB  LB d'  LB   '  LB  
 2 f '
2
2
Das Verhältnis der Bestrahlungsstärken von Stern und Hintergrundstrahlung ist:
Der Kontrast zwischen der Strahlung des
E0 D 2
E
2

D
Sterns und der diffusen Hintergrundstrahlung
2
EB  1.22   LB
wächst also proportional zur Spiegelfläche!
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282+35
Ausgedehnte Lichtquellen
Visuelle Beobachtung scheibchenförmiger Objekte mit einem
Kepler-Teleskop:
Durchmesser Objektiv/Eintrittspupille 2p, Brennweiten f‘1 und f‘2 von Objektiv bzw.
Okular, halber Winkeldurchmesser we des Objekts, halber Winkeldurchmesser wt
des Bildes, Winkelvergrößerung =wt/we=-f‘1/f‘2
Die Austrittspupille liegt etwa im Abstand f‘2 hinter dem Okular und hat den
Durchmesser 2p‘:
  f '1  f '2 
g
1 1
1
1
b
p

g

  
wt
we
f '2


1 
f '2

f '2
f'
f '2
2p
 2 p'   2 p  2 p 2 
f '1

f '1
p’
f1
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f2
Bestrahlungsstärke des
Objekts: E0
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282+36
Ausgedehnte Lichtquellen
Bloßes Auge ohne Teleskop: Brennweite f‘e und Pupillenradius  des Auges,
Radius re und Fläche Ae des Bildes auf der Netzhaut, einfallende Strahlungsleistung
e, Bestrahlungsstärke Ee auf Netzhaut
re  f 'e we  Ae   re2    f 'e we 
2
 e  E0 2
  
e

Ee 
 E0 
Ae
 f 'e we 
2
Mit Teleskop:
Radius rt und Fläche At des Bildes auf der Netzhaut
rt  f 'e wt   f 'e we  At   rt 2   2  f 'e we    2 Ae 
2
Auf das Teleskop einfallende Strahlungsleistung t:
At
2
Ae
 t  E0p 2
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282+37
Ausgedehnte Lichtquellen
Im Fall der Bestrahlungsstärke Et auf der Netzhaut mit Teleskop müssen zwei Fälle
unterschieden werden:
1. p‘≤, d.h. die gesamte vom Objekt auf das Teleskop einfallende Strahlung fällt
auch auf die Netzhaut:
Et  t Ae
p2
p '2

 2 2  2 1
Ee At  e  

2. p‘>, d.h. die Augenpupille begrenzt die Strahlungsleistung  effektiver
Objektivradius peff, von dem Licht auf die Augenpupille fällt, ist: peff=|| :
2
peff
Et  t ,eff Ae
 2 2

 2 2  2 2 1
Ee
At  e  
 
Die Bestrahlungsstärke eines ausgedehnten Objektes auf der Netzhaut
kann also mit einem Teleskop nicht erhöht werden!
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282+38
Ausgedehnte Lichtquellen
Aber trotzdem darf man nie durch ein Teleskop oder einen
Feldstecher die Sonne ohne Schutzfilter betrachten!
Erklärung:
Auch wenn die Bestrahlungsstärke, d.h. die Leistung pro Netzhautflächenelement,
nicht erhöht wird, wird das Bild der Sonne um die Winkelvergrößerung vergrößert.
Auch mit bloßem Auge wird das Auge geschädigt, wenn man länger als ein
paar Sekunden in die Sonne starrt! Aber das Bild der Sonne ist mit bloßem
Auge auf der Netzhaut „nur“ etwa 2re=f‘ewe=17 mm * 0.0093=0.16 mm groß.
Durch schnelle Augenbewegungen verschiebt sich also das Sonnenbild recht
schnell und der Energieeintrag kann noch einigermaßen abgeleitet werden.
Mit Teleskop ist das Bild der Sonne um die Winkelvergrößerung  vergrößert bzw.
die Fläche des Sonnenbildes sogar um 2. Der Energieeintrag ist deshalb auch
um den Faktor 2 vergrößert und ein riesiger Bereich der Netzhaut wird bestrahlt.
 Die Energie kann nicht mehr abgeleitet werden und schädigt sofort das
Auge.
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282+39
Verallgemeinerung der Strahlungsformeln
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282+40
Verallgemeinerte Strahlungsformeln
Allgemeine Formel für den Strahlungstransport zwischen
Strahler und Detektor:
kleines Flächenelement der Größe dA der Lichtquelle
kleines Flächenelement der Größe dF des Detektors
Strahldichte L
Abstand zwischen beiden Flächenelementen r
Winkel zwischen Flächennormalen und Verbindungslinie r bzw. d
 Strahlungsfluss d zwischen beiden Flächen:
cos  d dF
cos  r dA cos  d dF
d  L cos  r dA d mit d 
 d  L
2
r2
r
Gesamter Strahlungsfluss  zwischen der Lichtquelle und dem Detektor folgt durch
Integration über beide Flächen (r, d, L und r hängen dann i.a. von dA und dF ab):
cos  r cos  d
  L
dA dF
2
r
AF
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dA
er
r
ed
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dF
282+41
Verallgemeinerte Strahlungsformeln
Anwendung auf Ulbricht-Kugel (=diffus streuende Kugel=Lambert-Strahler):
Strahlungsfluss ab zwischen zwei kleinen Flächenelementen Fa und Fb:
 ab  L
Fa cos  r Fb cos  d
a2
Aus Symmetriegründen ist r=d:= und für den
Abstand a gilt: a=2Rcos mit Kugelradius R
Fa Fb
Fa Fb cos 
  ab  L
L
2
4R 2
2 R cos  
Fa
 ab
 Eab 
 L 2 Eab: Bestrahlungsstärke
auf Fläche Fb
Fb
4R
2
Fa
er
a
R cose
ed
Fb
R
Der Strahlungsfluss zwischen zwei Flächenelementen
ist also unabhängig von der Position der Flächen
konstant wegen L konstant (Lambert-Strahler).
 Integrale Messung unabhängig von der Richtungscharakteristik der Lichtquelle
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282+42
Verallgemeinerte Strahlungsformeln
Beleuchtungsstärke bei der Abbildung eines Schirms:
Flächenelement der Größe A wird durch Linse auf Flächenelement der Größe A‘
abgebildet, wobei die Eintrittspupille und Hauptebene der Linse zusammen fallen
sollen. Hauptstrahl hat Winkel w mit optischer Achse und die Eintrittspupille habe
die Fläche F, die auch als klein angenommen wird.
Dann gilt für die Winkel zwischen Hauptstrahl
und Flächennormale der Flächenelemente:
A
r  d  w
Entfernung  zwischen Flächenelement A
und Zentrum der Eintrittspupille:
w
  s / cos w
Lichtfluss zwischen Flächenelement A und
Eintrittspupille:
 AF w   L
A cos w F cos w
2
  AF w  0 cos4 w
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F
r
s
s’
A’
AF
 L 2 cos4 w 
s
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282+43
Verallgemeinerte Strahlungsformeln
Linse sei verzeichnungsfrei  Flächenelemente in Objekt- und Bildraum hängen
über Abbildungsmaßstab  zusammen, wobei  unabhängig von w ist:
A'   2 A
Wenn kein Licht absorbiert wird, muss der Lichtfluss zur Eintrittspupille auch im Bild
A‘ ankommen. Die Beleuchtungsstärke E‘ im Flächenelement A‘ ist dann:
E ' w  
 AF w 
F
F
 2 2 L cos4 w  E '0 cos4 w mit E '0  2 2 L
A'
 s
 s
Die Beleuchtungsstärke E‘0 auf der Achse kann auch folgendermaßen interpretiert
werden:
F
s '   s  E '0  L
s'
2
 L'
Hierbei ist ‘ der Raumwinkel, unter dem die Eintrittspupille=Austrittspupille der
Linse vom Bild aus gesehen wird, wenn sich Objekt und Bild auf der optischen
Achse befinden. Dieses Ergebnis hatten wir auch schon vorher abgeleitet.
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282+44
Invarianz der Leuchtdichte bei Abbildung
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282+45
Invarianz der Leuchtdichte bei Abbildung
Invarianz der Leuchtdichte bei der Abbildung:
Wir betrachten nur kleine Flächenelemente in Objekt, Bild
n
und Eintrittspupille.
Helmholtz-Lagrange-Invariante sagt aus:
nxu  n' x ' u'
Geometrische Verhältnisse liefern:
x
n’
h
x’
u’
s’
u
s
F
u s'
us  h  u' s'  
u' s
 
x ' nu
ns'
n'
2
2


 s'  s  A'    x ' / 2    x / 2    2 A
x n' u' n' s
n
Wegen Energieerhaltung (Absorption sei nicht vorhanden) gilt für die Leuchtdichte:
Effektive Leuchtdichte L/n2 ist also bei
2
2 2
2
L'
L Abbildung invariant, falls keine Absorption
 ' s'
s n'
n'
L' 


L


A' F
AFn 2
n2
n'2 n 2 auftritt. Insbesondere kann sie bei der
Abbildung nicht vergrößert werden!
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282+46
Invarianz der Leuchtdichte bei Abbildung
Zusammenfassung der Verhältnisse bei der Abbildung einer
ausgedehnten Lichtquelle:
• Lichtfluss  und effektive Leuchtdichte Leff sind invariant
• Beleuchtungsstärke E verändert sich mit 1/2 (Abbildungsmaßstab )
'

1
E' 
 2  2E
A'  A 
• Lichtstärke I verändert sich mit 2n‘2/n2
2
 '  ' s'2   2 s 2n '2
2 n'


 I 2
I'
2
'
F
Fn
n
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282+47
Leuchtdichte einer Streuplatte
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282+48
Leuchtdichte einer Streuplatte
Leuchtdichte einer idealen Streuplatte:
Eine ideale Streuplatte/Mattscheibe ist ein Lambert-Strahler, der die gesamte
gerichtet einfallende Strahlung ungerichtet in den Halbraum abstrahlt.
Wir hatten abgeleitet, dass der in den Halbraum abgestrahlte
Lichtfluss eines Lambert-Strahlers (m=1) folgenden Wert hat:
 Halbraum 
2 I 0
  I0
m 1
J’
Der auf die Fläche dF einfallende Lichtfluss bei der
Beleuchtungsstärke E ist:
  E dF
Aus der Energieerhaltung folgt dann für einen Lambert-Strahler:
L
I
cos dF

I 0 cos
I
 0  I 0  L dF
cos dF dF
 Halbraum     I 0   L dF  E dF  L 
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dF
E

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282+49