Aufgaben zur Vorlesung ¨uber Mathematik f ¨ur Biolog(inn)en

Aufgaben zur Vorlesung über Mathematik
für Biolog(inn)en
Dr. Bernd Beyerstedt und Dr. Jörg Jahnel
Blatt 8
Wintersemester 2000/2001
1. Halbwertszeit.
Der Zerfall einer radioaktiven Substanz kann durch die folgende Formel mathematisch beschrieben
werden:
Mt = e−λt ·M0 .
Hierbei ist M0 die Menge der radioaktiven Substanz zu einem Anfangszeitpunkt und Mt die davon noch verbliebene Menge nach einem Zeitraum t. λ ist die sogenannte Zerfallskonstante des
Materials.
Berechne die Halbwertszeit, also die Zeit, in der die Hälfte des Materials zerfallen ist. Diese wird
von λ abhängen. Wird sie auch von M0 abhängen?
2. Zuwachs.
a) Bestimme den Zuwachs
∆ f (x) = f (x + h) − f (x)
für die Funktion f (x) = aqx , wobei a, q und h feste reelle Zahlen seien.
b) Zeige, daß dieser Zuwachs ∆ f (x) ebenfalls von der Form ∆ f (x) = bpx mit festem b, p ∈ R ist.
3. Wiederholung zu Grenzwerten und Stetigkeit.
|x − 2|
i) Bestimme den Grenzwert lim
.
x→2 x + 2
ii) Untersuche die Funktion f : R → R mit

 4 − x2
f (x) = x + 2 falls x 6= −2,

4
falls x = −2,
auf Stetigkeit.
4. Halbwertszeit.
Von einer gewissen Substanz gehen jährlich 0, 1% durch radioaktiven Zerfall verloren.
a) Bestimme die Zerfallskonstante λ.
b) Wie groß ist die Halbwertszeit?
c) Nach welcher Zeit ist nur noch 1% des ursprünglichen Materials vorhanden?
5. Exponentialfunktion und Logarithmus.
Löse die folgenden Gleichungen nach x auf und berechne, gegebenenfalls mit dem Taschenrechner,
die Lösungen bis auf fünf Stellen hinter dem Komma.
a) 3x = 7,
b) log10 (x) = 2,
2
c) 52x 3(1+3x ) = 42,
d) ln(x5 ) + 2 = 3 ln(x).
6. Wiederholung zu Grenzwerten und Stetigkeit.
1
−2
i) Bestimme den Grenzwert lim x 3 .
x→0 4 +
x
ii) Untersuche die Funktion f : R → R mit
½
2|x|
falls x < 3,
f (x) =
2
x + x − 6 falls x ≥ 3,
auf Stetigkeit.
Abgabetermin für die Aufgaben 4 bis 6:
Dienstag, 12. Dezember 2000, vor der Vorlesung im Mathematischen Institut