Vorlesungsfolien, werden laufend aktualisiert.

Mathematische Methoden der Chemie I
(BSc Chemie, Biotechnologie, Lebensmittelchemie, CuV)
Vorlesung WiSe 2015/16
Stand: Februar 2016
Prof. Dr. Sigurd Bauerecker, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie,
Hans-Sommer-Str. 10, Ruf 0531/391-5336, [email protected],
https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre oder Googeln: „Bauerecker +
Lehre“
Winter-Semester 2015/16: 4 h Vorlesung, Mo u. Mi 8:00 – 9:30, PK2.1, 2 h Übung: Donnerstag,
8:00 - 9:30 Uhr (Biotechnologie, CuV), Freitag, 8:00 - 9:30 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie)
Klausur: Mo 15.02.16 (Chemie, Lebensmittelchemie, CuV)
Klausur: Mo 14.03.16 (Chemie, Lebensmittelchemie, CuV,
Biotechnologie)
Sommer-Semester 2016: 2 h Vorlesung, 1 h Übung
Seite 1, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Klausuren
Zi24.1, Zi24.2
Klausuren 3stündig (außer bei Biotechnologie, dort 4stündig). Es sind keine Hilfsmittel zur Bearbeitung
der Klausur erlaubt, außer Kugelschreiber und von uns gestelltes Papier.
Achtung: Verbindlich sind die (Termin-)Angaben, die Sie im jeweiligen Studiendekanat bekommen!
Seite 2, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gruppeneinteilung Tutorien Mathe 1, WS 2015/16
Donnerstag, 8:00 - 9:30 Uhr (Biotechnologie, CuV)
Kurs 1
Kurs 2
Kurs 3
Kurs 4
SN 20.2
PK 3.4
RR 58.2
RR 58.4
Jesús Andrés Duarte
Alexander Hautke
Simeon Renner
Dominik Körner
Freitag, 8:00 - 9:30 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie)
Kurs 1
PK 14.3
Kurs 2
Kurs 3
Kurs 4
HR 30.1
HR 30.2
RR 58.3
Seite 3, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Manuel Hohgardt (Raum 315 im
Forumsgebäude, Pockelsstr. 14)
Thorben Höltkemeier
Artem Kalinin
Hannah Schünemann
Zusatz-Tutorium u. Mathe-Vorkurs WS 2015/16
Zusatz-Tutorium
Beginn: Dienstag 10.11.2015, 18:15 Uhr, Zeit kann ev. geändert werden
Ort: PC-Seminarraum des Instituts für Physikalische und Theoretische Chemie
(HR10.2, Raum 119), Hans-Sommer-Str. 10
Kursleiter: Thorben Höltkemeier
Bitte keine Scheu!
Mathe-Vorkurs (aus Institutsmitteln)
Bitte Skript noch mal durchgehen/rechnen!
Seite 4, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Literatur & Lehrmaterial
Stand: WS 2015/16
Grundlegend für Vorlesung:
A. Jüngel, H. G. Zachmann: Mathematik für Chemiker. VCH, 7. Auflage, 2014, 737 S.
G. Brunner, R. Brück: Mathematik für Chemiker. Springer, 3. Auflage, 2013, 373 S.
M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995, 456 S.
L. Papula: Mathematik für Ingenieure u. Naturwissenschaftler Bd. 1. Vieweg+Teubner, 13. Aufl., 2011, 850 S.,
online herunterladbar im Unibereich, 5 MB! → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-8285-1
Nützlich, um Funktionsgraphen zu zeichnen: rechneronline.de/funktionsgraphen
Weitere:
H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1975/2012, 296 S.
B. Frank, W. Schulz, W. Tietz: Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und Wissen, 1998, 368 S.
E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and Sons, 2010, 1280 S.
K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und Integralrechnung, Vektor- und
Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2003, 548 S.
W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S.
S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage,
2007, 368 S.
E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 680 S.
Tabellenwerke:
I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Europa-Lehrmittel, 9.
Auflage, 2013, 1280 S., auch als
E. Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik. Springer Vieweg, 3. Aufl. 2012, 1310 S., online
herunterladbar im Unibereich, 11 MB → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-2359-5
J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992
Netzseite Bauerecker: Teil der Vorlesung in Form von Folien, wird im Verlauf des WS ergänzt.
Seite 5, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Empfehlungen
• Eigeninitiative!
• Übungen noch wichtiger als Vorlesung!
• Zusatztutorium, wenn nötig!
• Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen.
• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz
Folienzusammenstellung zur Vorlesung
Die folgende Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als
Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab
und mag Fehler enthalten. So freue ich mich über jeden Hinweis.
Seite 6, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Über Mathematik
Mathematik ist Geisteswissenschaft
⇒ Beweise, Sätze für immer gültig
Chemie, Physik, Biologie sind Naturwissenschaften
⇒ hier Hypothesen, Theorien, Erfahrungssätze (z.B. 2. Hauptsatz der Thermodynamik)
Mathematische Strukturen existieren unabhängig von der dinghaften Welt, aber sie
beschreiben in erstaunlich vielfältiger u. treffender Weise weite Bereiche unserer Welt!
Relativitätstheorie )
Besonders im Großen
(⇒
Quantentheorie
Und im Kleinen
(⇒
)
Aber auch sonst, siehe Beispiele Tafel.
⇒ Vielfältige Anwendbarkeit der mathematischen Strukturen (hier Gleichungen) ⇒
Bezug zur Philosophie: „Mathematik als Sprache der Natur“
Streng genommen „machen“ wir gar keine Mathematik. Wir bringen sie
praxisbezogen für den Chemiker. Kaum Beweise.
Seite 7, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Beispiel Median und Durchschnitt
„Oder warum Grundkenntnisse der Mathematik helfen, die Welt besser zu verstehen“.
Quelle: F.A.Z./EZB, http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/wirtschaftspolitik/armut-und-reichtum/ezb-umfrage-deutsche-sind-die-aermsten-im-euroraum-12142944.html
Seite 8, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Inhaltsübersicht der Vorlesungen
Mathematische Methoden der Chemie I
Mathematische Methoden der Chemie II
• Zahlen (2 h)
• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)
• Funktionen (4 h)
• Vektoranalysis (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. einer
Veränderlichen (12 h)
• Matrizen, Determinanten (6 h)
• Integralrechnung von Fktn. einer
Veränderlichen (12 h)
• Koordinatentransformationen (2 h?)
• Folgen und Reihen (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer
Veränderlicher (8 h)
• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)
• Einführung in Mathematica (2 h?)
• Fehlerrechnung?
• Funktionentheorie?
• Integralrechnung von Fktn. mehrerer
Veränderlicher (6 h)
• Gruppentheorie?
• Differentialgleichungen (8 h)
∑ = 28 h = 14 Wochen
∑ = 56 h = 14 Wochen
Seite 9, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
• Numerische Methoden?
Griechisches Alphabet
Seite 10, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Rationale Zahlen
Die Division führt wesentlich aus den ganzen Zahlen heraus.
⇒ Bestreben, Division uneingeschränkt durchführen zu können, führt zur Erweiterung der
Rationalen Zahlen.
Dies sind alle durch m/n darstellbare Zahlen (also auch die ganzen Zahlen). n muss ungleich
0 sein, weil die Division durch 0 unsinnig und nicht erlaubt ist!
p = m/n ist gleichbedeutend mit n ⋅ p = m
Kürzung von Brüchen, z.B.
Addition
k m k ⋅ n + m ⋅l
+ =
l n
l ⋅n
20 10 5
=
=
8
4 2
(Erweiterung der Summanden)
Rationale Zahlen sind geordnet: p = m/n ist größer als q = k/l wenn p – q > 0 ist.
Wichtiger Satz:
Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden überall dicht.
(D.h., in jedem noch so kleinen Teilstück liegen rationale Zahlen).
Seite 11, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Reelle Zahlen
Weitere Zahlen auf der Zahlengeraden sind
die Wurzeln
die transzentdenten Zahlen
Irrationale Zahlen
Wurzeln, z.B. √2, sind nicht als rationale Zahlen darstellbar. Sie können jedoch beliebig
genau – nicht exakt! – durch rationale Zahlen angenähert werden.
Transzendente Zahlen, z.B. π = 3,1415… und e = 2,7182…, sind wiederum weder als Wurzel
noch als rationale Zahlen darstellbar. Sie werden durch unendliche Reihen definiert.
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen
Seite 12, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Reelle Zahlen
Sie bedecken die
Zahlengerade vollständig.
Intervalle
Intervalle
zwischen a und b umfassen alle reellen Zahlen zwischen diesen Grenzen.
Offenes Intervall
(a, b)
Links offenes Intervall
(a, b]
Eckige Klammer „[“: Grenze dabei
Rechts offenes Intervall
[a, b)
Runde Klammer „(“: Grenze nicht dabei
Geschlossenes Intervall
[a, b]
Seite 13, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
In Praxis bedeutsame Logarithmen
Natürlicher Logarithmus:
logep = ln p,
Basis e = 2,7182…
Dekadischer Logarithmus:
log10p = lg p,
Basis 10
„Zweier“-Logarithmus:
log2p = ld p,
Basis 2
Beispiel Basisumrechnung vom natürlichen in dekadischen Logarithmus
(Gleichung und Ableitung siehe Vorlesung):
logep = loge10 ⋅ log10p ⇒
Seite 14, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
lg p =
ln p
ln 10
Rechnen mit komplexen Zahlen
Jeder komplexen Zahl z = a + bi entspricht ein geordnetes Paar von reellen Zahlen (a,b).
z* = a – bi heißt konjugiert komplexe Zahl zu z = a + bi. Offensichtlich ist auch z
konjugiert komplex zu z*. (Man spiegelt an reeller Achse).
a) Betrag
z = a2 + b2
von 0 nach z.
, geometrisch ist das nach Pythagoras die Länge der Strecke
b) Gleichheit. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in Realteil a = Re(z) und
Imaginärteil b = Im(z) übereinstimmen. Größer- und Kleiner-Beziehungen gelten nicht
ohne weiteres (nur über Betrag).
c) Addition z = z1+ z2 = a1 + b1i + a2 + b2i = (a1+a2) + (b1+b2)i = a + bi
Damit kann man die Addition komplexer Zahlen als Aneinanderreihen von Zahlenpfeilen in
der Gaußschen Zahlenebene auffassen (Vektoraddition).
d) Multiplikation, siehe Vorlesung.
e) Division, siehe Vorlesung.
Komplexe Zahlen erweisen sich als sehr wichtig, insbesondere in der Quantenchemie.
Seite 15, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Eulersche Formel
Komplexe Zahlen lassen sich über die Eulersche Formel
e iφ = cos φ + i sin φ
in Polardarstellung schreiben:
z = a + ib = z ⋅ (cos φ + i sin φ ) = z ⋅ e iφ
mit
a = z ⋅ cos φ
b = z ⋅ sin φ
Die Herleitung erfolgt (später) aus der Reihenentwicklung der
trigonometrischen Funktionen.
Seite 16, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Produkte und Produkte von Summen
d) Produkte von Summen
n
l
n
l
∑ a ⋅∑ b =∑∑ a b
i =m
i
j =k
j
i =m j =k
i
j
hängt nicht von j ab ⇒ kann aus
Summe herausgezogen werden
Aber, bei gleichen Indices muss erst ein Index umbenannt werden (bitte an Bsp. selbst
n
l
n
l
n
l
∑ a ⋅∑ b =∑∑ a b ≠ ∑∑ a b
i =m
i
i =k
Produktzeichen
i
i =m j =k
i
j
i i
i =m i =k
n
a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ ... ⋅ an = ∏ ak
k =1
Man liest: „Produkt über alle ak von k gleich 1 bis n“.
Seite 17, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
nachvollziehen):
Rechnen mit Ungleichungen
„äquivalent, gleichbedeutend“
„aus a folgt b“
„a größer b“
„a größer/gleich b“
„a kleiner b“
„a kleiner/gleich b“
a)
a>b
ac > bc
ac < bc
a>b
⇒
a+c > b+c
⇒
-a < -b
a
a>b
a≥b
a<b
a≤b
⇔
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
b
a–b>0
a–b≥0
a–b<0
a–b≤0
für jede reelle Zahl, es gilt auch
für c > 0, aber
für c < 0
(Addition, Multiplikation mit Zahl)
b)
a > b und c > d ⇒ a + c > b + d
(Addition zweier Ungleichungen)
c)
a, b, c, d positiv, dann gilt:
a > b und c > d ⇒ ac > bd
(Multiplikation zweier Ungleichungen)
d)
a>b
⇒ 1/a < 1/b für a, b > 0
(Stürzen einer Ungleichung)
e)
a>b
⇒ √a > √b
(Wurzelbildung)
f)
|x+y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung: Im Dreieck ist eine beliebige Seite
stets kleiner als die Summe der anderen Seiten), gilt für reelle und komplexe Zahlen
Seite 18, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Funktionen: Definitions- und Wertebereich
Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt
Definitionsbereich (Domäne) der Funktion. Sämtliche y bilden zusammen
den Wertebereich (Wertevorrat) der Funktion.
Wichtig an Funktionen ist die ihr eigene Zuordnungsvorschrift, nicht die Art
der verwendeten Symbole (x, y, f, g, p, q, δ, φ, ♣,♥, ...).
Diese hängen meist mit physikalischen oder chemischen Sachverhalten
zusammen, z.B.
v = v(t) Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
p = p(T) Druck als Funktion der Temperatur
Die Erweiterung auf mehrere unabhängige Variable ist möglich:
y = f(x1,x2, … xn), z.B. p = n/V⋅RT ideales Gasgesetz
Seite 19, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Umkehrfunktion
implizit = „inbegriffen“
y=x
3
Umkehrfunktion
y=3 x
Quelle: Rechneronline.de
Beispiel: y = x3
Jedem Wert x wird ein Wert y zugeordnet. Umgekehrt kann jedem y genau ein x zugeordnet
werden. Auflösung nach x:
x = 3 y = y1/ 3 ist Umkehrfunktion zu y = x3.
Umgekehrt gilt auch:
y = x3 ist Umkehrfunktion zu x = 3 y
Seite 20, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Umkehrfunktion Definition
ϕ ist Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu f, wenn
f und ϕ eindeutige Funktionen sind und y = f(x) nach x = ϕ(y) auflösbar sind.
Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet
wird.
Grafisch wird die Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktion an der
Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gebildet. Sie ist dieselbe Funktion, nur
gespiegelt.
y = x3
y=3 x
Quelle: Rechneronline.de
Seite 21, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Implizite Darstellung
Die Gleichungen y = f(x) und x = ϕ(y) nennt man explizite Darstellung der
Funktionen f und ϕ , die grundsätzlich gleichberechtigt sind.
Bringt man alle Glieder der Gleichungen auf die linke Seite, also y – f(x) = 0,
x – ϕ(y) = 0, so ergibt sich die implizite Darstellung F(x, y) = 0, die beide
Funktionen implizit angibt.
Die implizite Darstellung einer Funktion ist also allgemeiner als die explizite.
Seite 22, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Charakterisierung von Funktionen
Nullstellen sind x-Werte für die y = f(x) = 0 ist.
Funktionen heißen monoton wachsend, wenn f(x1) ≥ f(x2) für x1 > x2,
streng monoton wachsend, wenn f(x1) > f(x2) für x1 > x2,
(streng) monoton fallend analog.
Eine Funktion ist gerade (symmetrisch zur y-Achse), wenn f(x) = f(– x), Beispiel: y = x2.
Eine Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung), wenn f(x) = –f(– x), Beispiel: y = x3.
Eine Funktion ist periodisch mit Periode p, wenn f(x) = f(x+p),
Beispiel:
Die Variable y durchläuft mit wachsendem x immer wieder dieselben Werte.
Seite 23, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
y = sinx.
Einige wichtige Funktionen
Zwei Arten:
• Algebraische Funktionen bauen sich aus Polynomen der Variablen auf. Die
implizite Funktion P(x,y) = 0 mit P(x,y) als beliebiges Polynom in x und y
heißt algebraische Funktion. Diese allgemeine Form umfasst auch Wurzeln.
Beispiel 1: y2 – x2 + 3xy – 2 = 0
Beispiel 2a: y3 – x = 0 definiert die algebraischen Funktion
Beispiel 2b: y2 + 2xy – 3 = 0 definiert
y=3 x
y = −x ± x2 + 3
• Transzendente Funktionen sind die nicht-algebraischen Funktionen.
Beispiele: y = cosx, y = ex, y = lnx
Seite 24, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
b) Fundamentalsatz der Algebra
(GAUSS, 1799)
Wir betrachten ein allgemeines Polynom als Gleichung n-ten Grades in x.
Die ai und die x können komplex sein:
xn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = 0
Diese Gleichung hat genau n Lösungen (Wurzeln) x1, x2, ..., xn, mit denen sie
sich in ein Produkt mit n Faktoren zerlegen läßt:
(x – x1)·(x – x2)·... (x – xn) = 0
Beide Gleichungen sind äquivalent (gleichwertig, Symbol ⇔).
Wenn eine Lösung xi bekannt ist, so kommt man durch Teilen durch (x – xi)
auf eine Gleichung vom Grad n – 1. Die Lösungen lassen sich durch Formeln
nur für Gleichungen bis Grad 4 darstellen. Für höhere Grade benutzt man
numerische Methoden.
Der Fundamentalsatz sagt nur, dass Lösungen existieren und nicht wie man sie
findet. Sie können teilweise oder vollständig zusammenfallen.
Seite 25, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Quelle: 10 DM Schein
Algebraische Funktionen
nach M. Stockhausen:
Mathematik für Chemiker
Kreis (Radius r)
Ellipse (Halbachsen a, b)
Parabel (Distribution)
Hyperbel (
n ungerade,
n gerade)
Spektrallinie, Lorentz-Form d. Frequenzverteilung
Reaktionskinetik nach Michaelis-Menten
Zwischenmolekul. Potential nach Lennard-Jones
Parabeln n-ten Grades
(
n ungerade,
Gerade
Seite 26, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
n gerade, n ≥ 1)
Gaußfunktion
(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)
α −α ⋅ x
y=
⋅e
π
2
• geht für x → ± ∞ gegen 0
• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0
• ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)
• Form hängt nur von Parameter α ab,
• je größer α, desto steiler die Glockenkurve
Quelle: Rechneronline.de
Seite 27, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
• Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als
Normalverteilung
Gaußfunktion
(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)
α −α ⋅ x
y=
⋅e
π
Nullpunktsverschiebung um x0
y=
α −α ⋅( x − x )
⋅e
π
2
0
2
• geht für x → ± ∞ gegen 0
• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0
• ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)
• Form hängt nur von Parameter α ab,
• je größer α, desto steiler die Glockenkurve
Quelle: Rechneronline.de
Seite 28, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
• Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als
Normalverteilung
Gaußfunktion
(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)
Deltafunktion
α → ∞
α −α ⋅ x
y=
⋅e
π
Nullpunktsverschiebung um x0
y=
α −α ⋅( x − x )
⋅e
π
2
0
2
• geht für x → ± ∞ gegen 0
• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0
• ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)
• Form hängt nur von Parameter α ab,
• je größer α, desto steiler die Glockenkurve
Quelle: Rechneronline.de
• Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als
Normalverteilung
Für immer größere α erreicht man im Grenzwert die Diracsche Deltafunktion:
δ ( x) = lim α / π ⋅ e
−α ⋅ x 2
α →∞
Dieser Limes (Grenzwert) existiert eigentlich nicht. δ(x) ist streng genommen keine Funktion, sondern
eine Distribution (Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes). Sie ist in der Quantenmechanik sehr
wichtig!
Seite 29, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Exponentialfunktionen – abgeleitete Fktn
Wachstum Population, Explosion,
Lawine, Anfangsphase Reaktion
Radioaktiver Zerfall,
Wärmeausgleich
Negative e-Funktion, Aufladung
Kondensator, Lernen einer
Sprache
T-Abhängigkeit Wärmekapazität
von Festkörpern, qual.;
Reaktionskinetik
Statistik, Normalverteilung,
Spektrallinie, Gaskinetik
Seite 30, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
d) Kreisfunktionen
Definitionen:
Sinus
y Gegenkathete
sin ϕ = =
Hypotenuse
r
Kosinus
Ankathete
x
cos ϕ = =
r Hypotenuse
Tangens
y Gegenkathete sin ϕ
=
tan ϕ = =
Ankathete
cos ϕ
x
Kotangens
Ankathete
cos ϕ
1
x
=
=
cot ϕ = =
y Gegenkathete sin ϕ tan ϕ
Seite 31, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Tangens und Cotangens
y = cot ϕ
• tanϕ und [cotϕ] sind periodische,
ungerade Funktionen mit Periode π.
y=cot ϕ
• Sie sind nicht definiert für ϕ = (n + ½) π,
[ϕ = n π], weil hier der Kosinus [Sinus]
verschwindet. Ihre Graphen haben hier
Pole.
• Der Tangens [Kotangens] wird bei
linksseitiger Annäherung an die Pole
+∞ [–∞] und wächst [fällt] monoton im
Intervall (–π/2, π/2) [(0, π)].
• Nullstellen:
tanϕ = 0 für ϕ = n π,
cotϕ = 0 für ϕ = (n + ½) π
• Es gilt:
cotϕ = tan(π/2 – ϕ)
Seite 32, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
-π/2
π/2
ϕ
-π
π
Quelle: Rechneronline.de
Additionstheoreme
sin(ϕ + ψ ) = sin ϕ ⋅ cos ψ + cos ϕ ⋅ sin ψ
cos(ϕ + ψ ) = cos ϕ ⋅ cos ψ − sin ϕ ⋅ sin ψ
sin ϕ − sin ψ = 2 cos
ϕ+ψ
ϕ−ψ
sin
2
2
Ohne Beweis. Weitere Additionstheoreme
⇒ siehe Formelsammlung
Seite 33, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Arcusfunktionen
Funktion
Monoton
steigend/
fallend in
Arcusfunktion
(Umkehrfunktion)
sin x
- π/2, π/2
arcsin x
cos x
0, π
tan x
cot x
Wertebereich
Eigenschaften
-1, 1
- π/2, π/2
ungerade
arccos x
-1, 1
0, π
- π/2, π/2
arctan x
reelle
Zahlen
- π/2, π/2
0, π
arccot x
reelle
Zahlen
0, π
Seite 34, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Definitionsbereich
weder gerade
noch
ungerade
ungerade
weder gerade
noch
ungerade
Arcusfunktionen: arccos x und arctan x
y = arccos x
y = arccot x
Quelle: Rechneronline.de
Die Arcusfunktionen sind wichtig zum Auflösen von Gleichungen mit Kreisfunktionen, z.B.
cos x = a, x gesucht ⇒ x = arccos a ist Lösung. Wegen der Vieldeutigkeit sind aber auch
andere Lösungen möglich: x = arccos a + 2nπ
Seite 35, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Hyperbelfunktionen: tanh x und coth x
y = coth x
y = tanh x
Quelle: Rechneronline.de
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Area-Funktionen,
z.B. arsinh, artanh. Werden hier nicht behandelt.
Seite 36, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Spezielle Funktionen
y = sin
Definiert bis auf x = 0
1
x
y = x sin
1
x
Nullstellen: x = ± nπ, n = 1, 2, 3, ...
Maxima/Minima:
x = 1 / ((n + ½) π),
n ganze Zahl
Funktion ist ungerade, oszilliert mit
zunehmender „Frequenz“ für x→ 0
Seite 37, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Funktion ist gerade, oszilliert mit
zunehmender „Frequenz“ für x→ 0
Amplitude verschwindet für x→ 0
a) Grenzwert einer Funktion
Definition (siehe auch Skizze Vorlesung):
f(x) besitzt an der Stelle x0 den Grenzwert g, wenn sich zu einem beliebig
vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so daß für alle x aus der δ-Umgebung
die Differenz zwischen f(x) und g betragsmäßig unterschritten bleibt:
|f(x) – g| < ε für |x – x0| < δ
● Je kleiner ε vorgegeben wird, desto kleiner muß δ sein
● δ hängt von ε und in der Regel auch von x0 ab!
Andere Schreibweise der Grenzwertdefinition:
„der Limes von f(x) für x gegen x0 ist g“
lim f ( x) = g
x→ x0
lim f ( x) = gl
Linksseitiger Grenzwert für x < x0:
x→ x0
Rechtsseitiger Grenzwert für x > x0:
x→ x0
lim f ( x) = g r
● Beide Grenzwerte können, müssen aber nicht übereinstimmen
Seite 38, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Stetigkeit von Funktionen
Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, falls
lim f ( x) = f ( x0 )
x→ x0
ist, d.h., falls der Grenzwert mit dem Funktionswert von x0 übereinstimmt.
Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Grenzwertdefinition
nur von ε und nicht von x0 abhängt.
Eine Funktion heißt im Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls
stetig ist. Sie ist auch gleichmäßig stetig, wenn dies für ein abgeschlossenes
Intervall gilt (Satz).
• Die für die Anwendungen wichtigen Funktionen sind meistens stetig
• oder haben nur einzelne Unstetigkeitsstellen (Singularitäten), wie
– Pole, Unendlichkeitsstellen,
– Sprungstellen,
– Unbestimmtheitsstellen.
Seite 39, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Sätze über stetige Funktionen
1. Satz von Weierstraß
Eine im abgeschlossenen Intervall [x1, x2] stetige Funktion f(x) hat in diesem
Intervall einen kleinsten und einen größten Wert.
2. Zwischenwertsatz
Diese Funktion nimmt jeden zwischen f(x1) und f(x2) gelegenen Wert mindestens
einmal an.
3. Satz von Bolzano-Weierstraß
Haben f(x1) und f(x2) dieser Funktion verschiedene Vorzeichen, so gibt es
zwischen x1 und x2 mindestens eine Nullstelle x0 mit f(x0) = 0.
4. Summe, Differenz, Produkt und Quotient
stetiger Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen. Beim Quotient darf die
Funktion im Nenner nicht Null werden.
5. Eine zusammengesetzte (mittelbare) Funktion
y = f[g(x)] ist stetig, wenn die Funktionen y = f(z) und z = g(x) stetig sind.
Seite 40, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Darstellung v. Funktionen mehrerer Veränderlicher
1. Analytische Darstellung ist die umfassenste
z = g(x,y),
ρ = h(x,y,z)
2. Tabellierung bietet nur begrenzte Möglichkeiten
y = f(x)
einige Seiten
einige kB digitalen Speicher
z = g(x,y)
ein Buch
einige MB (siehe L. Papula → 5 MB)
ρ = h(x,y,z)
eine Bibliothek
einige GB bis einige TB
(1 TB ≈ 20000 digitale Bücher ≈ 700 m Regallänge)
3. Graphische Darstellung
y = f(x)
z = g(x,y)
ρ = h(x,y,z)
ϕ = s(x,y,z,t)
Linie in Ebene (2dimensional)
Fläche im Raum (3dimensional)
Dichtefunktion im Raum (4dimensional)
Zeitlich veränderliche Dichtefunktion im Raum (5dimensional)
(mehr Dimensionen sind nicht mehr sehr anschaulich)
Beispiele: siehe Vorlesung
Seite 41, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Erste Ableitung einer Funktion
Δx = x1 − x
und
Differenzenquotient:
Differenze
nquotient :
Δy = y1 − y = f ( x + ∆x) − f ( x)
Δy f(x + Δx) − f(x)
=
= tan α1
Δx
Δx
Grenzübergang x1 gegen x ( Δx gegen null) :
Differenzialquotient:
Differentialquotient :
lim
Δx →0
Δy
f(x + Δx) − f(x) dy
= lim
=
= tan α
Δx Δx →0
Δx
dx
Die Ableitung der Funktion f(x), bezeichnet man mit f '(x), y'(x), y' oder dy/dx.
Sie entspricht der Tangenten-Steigung bei x.
Möglich ist auch, mit Differenzialen zu rechnen, z.B. mit dx, dy:
dy = dx · tan α,
dy = f '(x) dx.
Die Operation Ableiten der Funktion heißt Differenzieren oder
Differenziation. Dabei wird immer der Grenzwert ausgerechnet.
(Bruch vor Grenzübergang kürzen).
Seite 42, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Differenzierbarkeit einer Funktion
Satz:
Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.
Die Umkehrung des Satzes gilt nicht (siehe Beispiel Betrags-Funktion)!
Veranschaulichung der Differenzierbarkeit (keine exakte Definition):
Eine stetige Kurve (Funktion) ist differenzierbar, wenn sie keine Ecken,
Spitzen oder Kanten hat.
Die gewöhnlich auftretenden Funktionen sind differenzierbar!
Seite 43, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Binomischer Satz
 n  n  n  n −1 1  n  n − 2 2
 n  n n  n  k n−k
(a + b) =  a +  a b +  a b + ... +  b = ∑  a b
k =0  k 
0
1
 2
n
n
n
n!
n(n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
  =
=
1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
 k  k!(n − k )!
n n
  =   = 1,
0 n
n! = 1 · 2 · ... · n
n
  = n,
1
 4 4 ⋅3⋅ 2
  =
 3  1⋅ 2 ⋅ 3
„n Fakultät“
Der Satz kommt aus der Kombinatorik.
Die Binomialkoeffizienten im Pascalschen
Dreieck liefern im Grenzfall n → ∞ die
Normalverteilung (siehe auch Galtonsches
Brett).
Seite 44, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Binomialkoeffizienten
bilden das
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
u.s.w.
Pascalsche Dreieck
1
1
1
1 2
1
1 3
3 1
1 4 6
4 1
1 5 10 10 5 1
Sierpinski-Dreieck, Galtonsches Brett, …
Fraktale (selbstähnliche) Strukturen:
Sierpinski-Dreieck
Normalverteilung (Gauß-Verteilung):
Galtonsches Brett
Quelle: Adrian Jablonski
Pascalsches
Dreieck
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1 2
1
n=3
1 3
3 1
n=4
1 4 6
4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
u.s.w.
Seite 45, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Quelle: Justus-Liebig-Universität Gießen
Gauß-Funktion
α −α ⋅ x
y=
⋅e
π
2
Allgemeine Ableitungsregeln
u, v, ϕ differenzierbare Funktionen mit u' = du/dx, v' = dv/dx, ϕ'(x) = dϕ/dx, ϕ'(u) =
dϕ/du
1. Konstante c
(c·u)' = c·u'
2. Summe und Differenz
(c + u)' = c' + u'
3. Produktregel
(u·v)' = u'·v + u·v'
(u·v·ϕ)' = u'·v·ϕ + u·v'·ϕ + u·v·ϕ'
...
4. Quotientenregel
'
 u  u′v − uv′
 =
v2
v
Seite 46, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
5. Kettenregel
für zusammengesetzte Funktionen
ϕ(u), u(x): ϕ' = dϕ/du · u'
6. Umkehrfunktion
Ist u(x) streng monoton und differenzierbar,
dann besitzt u eine eindeutige, monotone
und differenzierbare Umkehrfunktion ϕ(u)
mit
ϕ' = 1/ u'
7. Logarithmische Ableitung
Hat eine Funktion die Form
ϕ(x) = u(x)v(x),
logarithmiert man erst beide Seiten und
bildet dann die Ableitung.
Erste Ableitung einiger Funktionen
tan = tg, cot = ctg
y
y'
Definitionsbereich von y
Seite 47, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
y
y'
Definitionsbereich von y
Numerisches Differenzieren
Anstelle des Differenzialquotienten
Differenzenquotient
dy
wird näherungsweise der
dx
Δy f(x + Δx) − f(x)
=
Δx
Δx
mit möglichst kleinen Schritten ∆x.
Man stellt dann eine Tabelle für x, y,
Beispiel: Newton-Verfahren
Seite 48, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
∆y
auf.
∆x
verwendet,
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Wenn die Funktion f(x) im Intervall (a, b) differenzierbar und für a, b stetig ist,
so gilt für mindestens ein ζ aus (a, b)
f '(ζ) =
Anschaulich:
Spezialfall:
Andere Form:
f(b) – f(a)
b–a
(Mittelwertsatz)
Die Tangente bei ζ hat die gleiche Steigung
wie die Sekante bei a, b.
f(a) = f(b) = 0,
f '(ζ) = 0
(Satz von Rolle)
f(x + ∆x) = f(x) + ∆x · f '(x + δ·∆x)
mit a = x,
b = x + ∆x,
ζ = x + δ·∆x,
δ bestimmte Zahl zwischen 0 und 1
Seite 49, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Regel von De L´Hospital
Unbestimmte Ausdrücke:
0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞ – ∞
Die Funktion ϕ(x) = f(x) / g(x) mit g(a) = 0 ist bei x = a nicht differenzierbar.
f, g seien differenzierbar.
Hebung der Unbestimmtheit:
ϕ(x) bekommt bei a den Grenzwert
ϕ (a ) = lim ϕ ( x) = lim
x →a
Falls f(a) ≠ 0, so gilt ϕ(a) = ∞.
Falls f(a) = 0, so liegt ein unbestimmter Ausdruck
Regel von De L´Hospital:
lim
x →a
x →a
f ( x)
zugeordnet.
g ( x)
f (a) 0
=
g (a) 0
vor. Dann gilt die
f ( x)
f ' ( x)
= lim
g ( x ) x →a g ' ( x )
f ' (a) 0
=
wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w.
g ' (a) 0
f (a) ∞
f ' (a) ∞
Entsprechendes gilt für
und
=
=
g (a) ∞
g ' (a) ∞
Falls
Andere unbestimmte Formen, wie 0⋅∞, ∞ – ∞ werden erst auf die Form 0/0 oder ∞/∞
gebracht, dann wird die Regel angewendet.
Seite 50, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kurvendiskussion
f(x) = f(–x)
f(x) = –f(–x)
symmetrisch zur y-Achse, gerade Funktion
symmetrisch zum Ursprung, ungerade Fktn.
f(x) = 0
Nullstelle
f '(x) > 0 [f '(x) < 0]
monoton steigend [fallend]
f '(x) = 0 und f ''(x) < 0 [f ''(x) > 0]
relatives Maximum [rel. Minimum]
f '(x) = f ''(x) = ... = f (n-1)(x) = 0:
n gerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0]
n ungerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0]
relatives Maximum [rel. Minimum]
Terassenpunkt, fallende [steigende] Kurve
f ''(x) > 0
f ''(x) < 0
Linkskrümmung (konkav nach oben)
Rechtskrümmung (konvex nach oben)
f ''(x) = 0 und f '''(x) < 0
f ''(x) = 0 und f '''(x) > 0
Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmung
Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung
Seite 51, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Physikalische Größen mit Differenzialausdrücken
Seite 52, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Mehrfache Ableitung: Beschleunigung
Weg
Geschwindigkeit
(1. Ableitung)
Beschleunigung
(2. Ableitung)
Seite 53, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Übersicht Analysis
Analysis
Infinitesimalrechnung
Variationsrechnung
Differenzialrechnung
Integralrechnung
Leibnitz, Newton, Ende
17. Jahrh. unabh. voneinander
entdeckt.
Funktionentheorie
⇒
inkl. komplexe
Zahlen
Sehr wichtig. Keim für exakte Naturwissenschaften, z.B Mechanik, Astronomie.
Differenzialbegriff führt zu DifferenzialGleichungen.
Differenziale werden als kleine – aber nicht unendlich kleine – Größen aufgefasst.
Bsp. Massendichte ρ = dm/dV: dV nicht zu klein, sonst löst man Raum zwischen
den Atomkernen auf!
Seite 54, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Sätze über bestimmte Integrale
c
b
c
a
a
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
b
b
a
a
2. Ein konstanter Faktor kann vor das
Integral gezogen werden.
∫ c ⋅ g ( x)dx = c ⋅ ∫ g ( x)dx
b
b
b
a
a
a
∫ [g ( x) ± f ( x)]dx = ∫ g ( x)dx ± ∫ f ( x)dx
b
a
∫
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx,
b
b
a
∫
a
b
1. Ein Integral lässt sich aus zwei
Integralen benachbarter Teilintervalle
zusammen setzen.
a
∫
a
f ( x)dx = ∫ f (♥)d♥
a
Seite 55, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
f ( x)dx = 0
3. Das Integral über die Summe [Differenz]
zweier Funktionen ist gleich der Summe
[Differenz] der Integrale über die
einzelnen Funktionen.
4. Die Vertauschung der Grenzen ändert
das Vorzeichen des Integrals.
5. Die Integrationsvariable ist frei
wählbar: x, y, ϕ, ♥...
Unbestimmtes Integral – Fundamentalsatz
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F '(x) = f(x). Ist F(x) Stammfunktion,
so ist es auch F(x) + c (c beliebige Konstante). Das Aufsuchen der Stammfunktion ist die
Umkehrung der Differenziation.
x
ϕ( x) = ∫ f (u )du
Wir fassen die obere Grenze im bestimmten Integral als Variable auf:
Dann gilt: ϕ(x) ist differenzierbar (und damit stetig) und
ϕ(x) ist Stammfunktion von f(x) mit ϕ'(x) = f(x).
a
∫ f ( x)dx = F ( x) + c
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen heißt
unbestimmtes Integral von f(x):
x
Wenn ϕ, F Stammfunktion von f, dann gilt: ϕ(x) = F(x) + c und
∫ f (u)du = F ( x) + c
a
x
Bestimmung von c: F(a) + c = 0 für x = a. Daher: c = -F(a) und
∫ f (u)du = F ( x) − F (a)
a
b
und
∫
f ( x)dx = F (b) − F (a) = [ F ( x)]ba mit f ( x) =
a
dF ( x)
dx
Diese Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral (Fläche zwischen a und b) heißt
Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung.
Seite 56, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integrationsverfahren
Zwei Prozeduren zum Integrieren einer Funktion sind möglich:
a)
Berechnung des Integrals über Summendefinition. Unbestimmtes Integral lässt
sich möglicherweise als Formel gewinnen.
b)
Berechnung des Integrals über Stammfunktion. Fallunterscheidung:
–
Stammfunktion existiert, aber nicht als Formel, wie z.B. y = e-x2
⇒ Tabelle, numerische Integration, Reihenentwicklung
–
Stammfunktion existiert (Integralverzeichnis Bronstein, Gradshteyn)
⇒ Grenzen einsetzen, Integral berechnen
–
Stammfunktion existiert, aber Bestimmung schwierig
⇒ Integrationsverfahren (Substitution, partielle Integration, Rekursion,
Partialbruchzerlegung) müssen angewendet werden. Integrieren ist
schwieriger als Differenzieren.
Seite 57, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Partielle Integration
u(x) und v(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann gilt:
d
(u ⋅ v) = u ⋅ v'+v ⋅ u '
dx
Produktregel:
Integration:
u ⋅ v = ∫ u ⋅ v' dx + ∫ v ⋅ u ' dx
Umformen:
∫ u ⋅ v' dx = u ⋅ v − ∫ v ⋅ u' dx
Ziel: Mit dieser Formel kann das linke Integral auf das oft einfachere
rechte Integral zurückgeführt werden.
Seite 58, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Partialbruchzerlegung
Satz: Echt gebrochen rationale Funktionen
(n < m) lassen sich in eine Summe von Brüchen
zerlegen, die man elementar integrieren kann.
h( x) a0 + a1 x + ... + an x n
f ( x) =
=
g ( x) b0 + b1 x + ... + bm x m
A
h( x )
A
A
= 1 + 2 + ... + m
g ( x) x − s1 x − s2
x − sm
1. Fall: g(x) hat m verschiedene reelle
Nullstellen s1, ..., sm. Dann gilt:
Falls Nullstelle sk genau g mal
auftritt, so ersetzt man
2. Fall: g(x) hat m verschiedene
(konjugiert) komplexe Nullstellen
s1 ± i r1, ..., sm ± i rm:
Akg
Ak
Ak1
Ak 2
durch
...
+
+
+
x − sk
x − sk ( x − sk ) 2
( x − sk ) g
Bm x + Cm
h( x )
B1 x + C1
B2 x + C2
...
=
+
+
+
( x − sm ) 2 + rm2
g ( x) ( x − s1 ) 2 + r12 ( x − s2 ) 2 + r22
Falls Nullstelle sk ± i rk genau g mal auftritt, so ersetzt man
Bkg x + Ckg
Bk x + Ck
Bk1 x + Ck1
Bk 2 x + Ck 2
durch
+
+ ... +
( x − sk ) 2 + rk2
( x − sk1 ) 2 + rk21 ( x − sk 2 ) 2 + rk22 2
( x − skg ) 2 + rkg2
[
]
[
Die Ai, Akj, Bi, Bkj, Ci, Ckj sind reelle, eindeutig bestimmte Zahlen, die sich durch Erweiterung der
Partialbrüche auf einen gemeinsamen Nenner berechnen lassen (Koeffizientenvergleich).
Seite 59, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
]
g
Integraltafel
(Bronstein, Gradshteyn, Netz, ...)
dx
x
dx
2k − 3
+
a) ∫ k =
2 k −1
X
2(k − 1)r X
2(k − 1)r 2 ∫ X k −1
xdx
1
2
2
k
X
x
r
=
−
≠
1
,
=
+
b) ∫ k
X
2(k − 1) X k −1
Seite 60, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Reaktionen im Ultraschallfeld
Frohe
Weihnachten!
Seite 61, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Uneigentliche Integrale
y
Funktion f wird bei p unendlich (Pol). Man kann dann nicht bis
p integrieren, darf sich aber p beliebig annähern.
1. Fall: Integral divergiert (wächst über alle Grenzen). Grenzwert
existiert nicht.
2. Fall: Integral konvergiert, d. h. Grenzwert existiert:
p −ε
lim
ε →0
p
∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx
a
und entsprechend:
lim
ε →0
a
a
b
b
p+
p
∫ε f ( x)dx =∫ f ( x)dx
Weitere konvergierende uneigentliche Integrale sind definiert, wenn die Grenzwerte
existieren:
∞
b
lim ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
b →∞
a
lim
a → −∞
a
c
lim
a → −∞
b
∞
c
−∞
b
b
a
−∞
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
a
Seite 62, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
b →∞
p x
Uneigentliche Integrale: Veranschaulichung
y
p
x
Anschauliche Erklärung Konvergenz/Divergenz bei Annäherung an p: Berechnung Integral
(= Fläche unter der Kurve) durch schmale Rechtecke gleicher Fläche. Zwei Fälle möglich:
a) Rechteckbreite geht schneller gegen 0 als Höhe gegen ∞ ⇒ Integral konvergiert.
b) Rechteckbreite geht langsamer gegen 0 als Höhe gegen ∞ ⇒ Integral divergiert.
Seite 63, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
5. Definition von Funktionen durch Integrale
Es gibt Funktionen, deren Stammfunktionen existieren, aber nicht geschlossen
(als übliche Formel) darstellbar sind.
2
sin x
1
ex
,
,
, e−x
ln x
x
x
Beispiele:
Ihre Integrale definieren „neue“ Funktionen. Diese werden durch numerische
Integration oder Reihenentwicklung berechnet (⇒ tabellarische Darstellung).
1
y=e
Beispiel: Fehlerintegral (Error Function)
x
2
−t 2
erf x =
e dt
∫
π0
Anwendungen:
∞
2
−t 2
erf ∞ =
e dt = 1
∫
π0
Wahrscheinlichkeitstheorie, Thermodynamik, ...
Seite 64, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
− x2
1
3
0
y = erf x
0
3
Simpsonsche Regel
Im Vergleich zur Rechteckregel und Trapezregel liefert die Simpsonsche Regel (als stückweise quadratische Näherung) eine höhere Genauigkeit bei der numerischen Integration.
Jeweils 2 Streifen werden durch die
Fläche unter einem Parabelbogen
gebildet. Die einzelnen Parabeln
sind jeweils durch 3 Punkte
(xa, ya), (x1, y1), (x2, y2), dann
(x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), u.s.w.
bestimmt.
a
∫
a
f ( x)dx ≈
x1 x2 x3 x4
h
[ f a + 4 f1 + 2 f 2 + 4 f 3 + 2 f 4 + ... + 2 f n−2 + 4 f n−1 + f b ]
3
Seite 65, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
f(x)
…
Es folgt für gerade n:
b
letzte
Parabel
1. Parabel
2. Parabel
xn-2 xn-1 xn = b
Anwendungen Integralrechnung
y
y = g(x)
b
Kurvenintegral,
Bogenlänge s:
s = ∫ 1 + g ′2 ( x)dx
g stetig
a
a
b
Schwerpunktskoordinaten
von Flächenstücken:
1. Guldinsche
Regel:
xs =
∫ x ⋅ f ( x) dx
a
b
∫ f ( x) dx
a
b
, ys =
1
f ( x) ⋅ f ( x) dx
∫
2a
b
∫ f ( x) dx
a
Volumen Rotationskörper =
rotierende Fläche
x Weglänge Flächenschwerpunkt
Beispiel Kreisringtorus: V = π r2 · 2 π R = 2 π2 r2 R
Seite 66, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
b
x
Unendliche Zahlenfolgen
Eine Anordnung von (unendlich vielen) Zahlen heißt (unendliche) Zahlenfolge
a1, a2, a3, …
Eine Folge heißt beschränkt, wenn es Schranken (Zahlen) m, M gibt, mit
m ≤ ai ≤ M
für alle i,
sonst heißt die Folge unbeschränkt.
Gilt für jedes i der Folge und jedes j > 0 die Ungleichung ai < (>) ai+j,
so ist die Folge streng monoton wachsend (abnehmend).
Eine Zahl x ist Häufungspunkt einer Zahlenfolge, wenn es in jeder noch so kleinen
ε - Umgebung von x, d.h. im Intervall [x - ε, x + ε], unendlich viele Glieder der Folge
liegen.
Seite 67, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Satz von Bolzano-Weierstraß
Jede beschränkte, unendliche Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine Folge genau einen Häufungspunkt, so streben alle an für n -> ∞
diesem zu. Diese Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert (Häufungspunkt) A
lim an = A
n →∞
Sonst heißt die Folge divergent.
Seite 68, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Folgen – Konvergenzkriterien
Kriterium 1 (notwendig und hinreichend)
Eine Folge ist dann und nur dann konvergent gegen A, wenn in jeder beliebig kleinen
Umgebung von A fast alle (also unendlich viele) Glieder liegen und außerhalb nur
endlich viele.
Kriterium 2 (notwendig und hinreichend)
Eine Folge an konvergiert dann und nur dann gegen A, wenn zu jeder noch so kleinen
Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl existiert, mit |A – an| < ε, für alle n > N.
Kriterium 3 (Cauchy)
Eine beschränkte unendliche Folge ist dann und nur dann konvergent, wenn es zu
jedem noch so kleinen ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, mit |am – an| < ε, für m, n > N.
Kriterium 4 (nur hinreichend, denn es gibt konvergente nichtmonotone Folgen)
Ein Folge, die monoton und beschränkt ist, konvergiert.
Seite 69, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Reihen
Eine unendliche Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden
∞
a0 + a1 + a2 + a3 + ... = ∑ ai = ∑ ai
i =0
Partialsummen (Teilsummen):
s 0 = a0
s1 = a0 + a1
s2 = a0 + a1 + a2
...
sn = a0 + a1 + ... + an
Die Teilsummen bilden die Folge s0, s1, s2, s3, …
Konvergiert diese Folge gegen einen Grenzwert (Summenwert) S, so heißt die
Reihe konvergent:
∞
S = ∑ ai = limsn
Andernfalls ist sie divergent.
Seite 70, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
i =0
n →∞
i
Unendliche Reihen – Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium nach Cauchy. Eine unendliche Reihe
∞
∑u
i =1
i
ist genau dann konvergent, wenn
es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass gilt |Sm – Sn| = |un+1 + un+2 + …+ um| < ε, mit
m, n > N.
∞
Konvergenzkriterium nach Leibnitz. Eine alternierende unendliche Reihe
konvergent, wenn die Glieder vi der Reihe monoton abnehmen und
∞
∑u
Quotientenkriterium. Gilt für eine Reihe
i =1
i
∑ (−1) v
i
i =1
lim vi = 0
n →∞
i
ist genau dann
ist.
un +1
= k , so ist die Reihe für k < 1 konvergent,
n →∞ u
n
lim
für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte
Grenzwert nicht, d.h., die Folge |un+1/un| hat mehrere Häufungspunkte, so ist die Reihe
konvergent, wenn der größte Häufungspunkt < 1 ist, und divergent, wenn der kleinste
Häufungspunkt > 1 ist.
∞
Wurzelkriterium. Gilt für eine Reihe
∑u
i =1
i
lim n un = k
n →∞
, so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für
k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte
Grenzwert nicht, so gilt das Analoge wie beim Quotientenkriterium.
Seite 71, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integralkriterium
∞
Wenn die Glieder einer Reihe
∑a
i =1
i
positiv sind und sich als Funktionswerte
ai = f(i), i = 1, 2, …, einer im Intervall x ≥ 1 stetigen, monoton fallenden Funktion
f(x) darstellen lassen, so ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das Integral
∞
∫ f ( x)dx
konvergiert.
1
y
y = f(x)
a 1 a 2 a3 a4 a 5 a 6
1
Seite 72, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
2
3
4
5
6
…
x
Rechnen mit unendlichen Reihen
Achtung: hier gibt es Einschränkungen im Vergleich zu den Regeln zum Rechnen mit reellen Zahlen!
Assoziatives Gesetz
Bei einer konvergenten Reihe darf man die Glieder beliebig durch Klammern
zusammenfassen, ohne den Summenwert zu verändern. Das Weglassen von Klammern
ist nur dann zulässig, wenn die dadurch entstehende Reihe konvergiert.
Kommutatives Gesetz
Eine Vertauschung der Reihenfolge der Glieder
einer Reihe ist nur erlaubt, wenn die
∞
Reihe absolut konvergiert, also wenn auch ∑ ai konvergiert.
i =1
Addition
und Multiplikation
∞
∞
Sind ∑ ai und ∑ bi zwei konvergente Reihen und c eine Konstante, so gilt
i =1
i =1
∞
∑c⋅a
i
i =1
Aber
sind.
∞
= c∑ ai und
i =1
∞
∞
∑ a ⋅∑ b
i =1
i
j =1
j
=
∞
∞
∞
∞
∑ (a + b ) = ∑ a + ∑ b
i
i =1
i
∞
∑∑ a ⋅ b
i =1 j =1
i
j
Seite 73, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
i =1
i
i =1
i
gilt nur, wenn die beiden Reihen absolut konvergent
Integration u. Differenziation unendlicher Reihen
Achtung: dies geht gliedweise bei endlichen Reihen, aber nur mit Einschränkungen bei
unendlichen Reihen.
Integration und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Reihe in [a,b] gleichmäßig
konvergiert und die Funktionen fi(x) in [a,b] stetig sind:
b
∞
∞
b
∫ ∑ f ( x)dx =∑ ∫ f ( x)dx
i
a i =0
i =0 a
i
Differenziation und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Funktionen fi(x) in [a,b]
stetige Ableitungen besitzen und die Reihe der abgeleiteten Funktionen gleichmäßig konvergiert:
∞
d f i ( x)
d ∞
=
(
)
f
x
∑ i ∑
dx i =0
dx
i =0
∞
Eine Funktionenreihe
∑ f ( x) = s( x) , mit s(x) als Summenfunktion, heißt in einem
i =0
i
Intervall I gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem ε > 0 eine von x unabhängige
natürliche Zahl N existiert, so dass |s(x) – sn(x)| < ε für alle n > N(ε) und für jedes
n
x aus dem Intervall I gilt, wobei
∑ f ( x) = s ( x)
i =0
Seite 74, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
i
n
Taylorentwicklung cos-Funktion (Animation)
Quelle: Wikipedia
Seite 75, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Funktionen zweier Veränderlicher: Stetigkeit
Die δ-Umgebung eines Punktes (x1, y1) bezeichnet alle Punkte innerhalb des Kreis
mit Zentrum (x1, y1) und Radius δ:
(x – x1)2 + (y – y1)2 < δ2
Die Funktion f(x, y) besitzt an der Stelle (x1, y1) den Grenzwert g, wenn sich zu
jedem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden lässt, so dass für alle Punkte der δ-Umgebung
gilt
|f(x, y) - g| < ε , das heißt
lim
x → x1 , y → y1
f ( x, y ) = g
Dabei kann man sich (x1, y1) aus beliebiger Richtung nähern!
f heißt stetig an Stelle (x1, y1), falls
lim
x → x1 , y → y1
f ( x, y ) = f ( x1 , y2 )
d.h., falls Grenzwert mit Funktionswert übereinstimmt.
Summe, Produkt, Quotient (Nenner ≠ Null) stetiger Funktionen sind stetig.
Seite 76, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Partielle Ableitungen von f(x,y)
z
z = f(x, y)
Tangentialebene
aufgespannt durch
zwei Tangenten
Partielle Differenzialquotienten
beschreiben Steigung von f bei (x, y) in xund y-Richtung (Tangentensteigungen mit y
= konst., x = konst.):
∂z
f ( x + ∆ x, y ) − f ( x, y )
= lim
∂x ∆ x→0
∆x
y
x
z
Tangenten
y = konst
x = konst
y
x
Seite 77, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
∂z
f ( x, y + ∆ y ) − f ( x, y )
= lim
∂y ∆ y →0
∆y
• Entsprechung zur Diff‘rechnung von Fktn
einer Veränderlichen
• Schreibweise ∂ kennzeichnet besondere
Bedingung (zweite Variable konstant!)
∂z ∂z
,
• Die Diff‘quotienten
sind als
∂x ∂y
einheitliches Ganzes zu behandeln, nicht
als Bruch wie
dy
!
dx
3. Totales Differenzial
z1
Tangentialebene
an (x, y)
(x1,y1)
z
Totales (vollständiges) Differenzial dz resultiert
aus voneinander unabhängigen Änderungen dx,
dy, die, von (x, y) ausgehen und über einen
beliebigen Weg C zum Punkt (x1, y1) =
(x+dx, y+dy) führen. Kleine dx, dy bewirken
kleine dz als Änderungen in der Tangentialebene
⇒ dz ist Näherung der Änderung von z = f(x, y).
dz = a + b,
⇒ dz =
∂z
∂z
dx + dy
∂y
∂x
allgemein:
dx = x1 − x, dy = y1 − y ⇒
b=
∂z
dy
∂y
∂z
∂z
∂z
dx1 +
dx2 +
dx3 + ...
∂x1
∂x2
∂x3
∂z ( x, y )
∂z ( x, y )
( x1 − x) +
( y1 − y )
z1 = z + dz = z +
∂x
∂y
Achtung: Kürzung ∂x gegen dx wäre unsinnig!
Seite 78, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
∂z
dx,
∂x
für z = f ( x1 , x2 , x3 ,...)
Lineare Approximation:
dz = z1 − z mit
dz =
a=
Differenzierbarkeit von z = f(x,y)
Satz:
Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Tangentialebene an
Punkt P = P(x, y, z): Die partiellen Ableitungen in P existieren und sind stetig.
f ist differenzierbar an Stelle (x, y), wenn dort die Tangentialebene existiert.
Beispiel Rotationsparaboloid: z = x2 + y2 ist in x-y-Ebene differenzierbar.
Die partiellen Ableitungen fx = 2x, fy= 2y existieren und sind stetig. Funktion z
ist „glatt“.
P
Gegenbeispiel:
An Pyramidenspitze und -kanten existiert keine
Tangentialebene. Die „Pyramiden-Oberflächen-Funktion“ ist
dort nicht differenzierbar. Funktion hat „Spitzen und
Kanten“.
Seite 79, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Satz von Schwarz (wichtig!)
In den gemischten Ableitungen kann die Reihenfolge der Differenziation
vertauscht werden, wenn diese Ableitungen stetige Funktionen von x, y
sind:
f xy = f yx , f xxy = f xyx = f yxx , ...
Seite 80, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Totale Differenziale höherer Ordnung
Totales Differenzial 2. Ordnung, z = f(x, y):
dz = f x dx + f y dy
∂ ( f x dx + f y dy )
∂ ( f x dx + f y dy )
∂ (dz )
∂ (dz )
2
d z = d (dz ) =
dx +
dy =
dx +
dy
∂y
∂x
∂y
∂x
= f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
Totales Differenzial n-ter Ordnung, allgemeiner Fall mit m Variablen, z = f(x1, x2, …, xm):
m
dz = f x1 dx1 + f x2 dx2 + ... + f xm dxm = ∑ f xi dxi
n
i =1
m

∂ 
n
d z =  ∑ dxi ⋅  z
∂xi 
 i =1
Binomischer Satz
Seite 81, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
5. Ableitung mittelbarer (zusammengesetzter) Funktionen
Mit 2 Funktionen, 2 Variablen, z = f(u,v) mit u = g(x,y), v = h(x,y)
Differenziation (Satz):
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
= ⋅ + ⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
= ⋅ + ⋅
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
Kettenregel für partielle Ableitungen
mit 2 Funktionen, 2 Variablen
Mit m Funktionen, n Variablen (Verallgemeinerung), f, gi sind diff‘bare Funktionen
z = f(u1,u2,…,um)
u1 = g1(x1,x2,…,xn)
u2 = g2(x1,x2,…,xn)
…
um = gm(x1,x2,…,xn)
⇒
m
∂z
∂z ∂ui
=∑
∂xk i =1 ∂ui ∂x
k = 1,2,..., n
Verallgemeinerte Kettenregel für partielle Ableitungen
mit m Funktionen, n Variablen
Mit m Funktionen, 1 Variable (Sonderfall n = 1, gewöhnliche Ableitung, s.o.)
dz m ∂z ∂ui
=∑
dx i =1 ∂ui ∂x
Seite 82, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kettenregel für partielle Ableitung
mit m Funktionen, 1 Variable
6. Ableitung impliziter Funktionen
F(x,y) = 0
y = f(x)
implizite
explizite
Darstellung der Funktion
Auflösung in explizite Form ist nicht immer möglich. Trotzdem kann F(x,y) = 0 eine Funktion
y = f(x) defininieren.
Bsp. 1
sin(y) + y⋅ln(x) + y = 0,
f existiert (Zuordnung numerisch)
Bsp. 2
x2 + y2 + 1 = 0,
F(x,y) = 0 ist nach y auflösbar, aber f existiert nicht
für reelle Zahlen.
Aus der Kettenregel folgt mit y = f(x) für F(x,y) = F[x,f(x)] = 0:
dF ∂F dx ∂F dy
=
⋅ +
⋅ =0
dx ∂x dx ∂y dx
⇒
∂F
F ( x, y )
dy
y′ = = − ∂x = − x
∂F
Fy ( x, y )
dx
∂y
Der Satz gilt auch für Funktionen mit mehr als 2 Variablen F(x1,x2,…,xn,z) = 0
Fx
∂z
=− i
∂xi
Fz
Seite 83, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Funktionaldeterminante
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Die beiden Funktionen u = g(x, y), v = h(x, y) vermitteln eine Abbildung von
Bereichen der x-y-Ebene auf Bereiche der u-v-Ebene.
Definition Funktionaldeterminante (Jacobideterminante):
∂u
∂ (u, v) ∂x
D ( x, y ) =
=
∂ ( x, y ) ∂v
∂x
∂u
∂y ∂u ∂v ∂u ∂v
= ⋅ − ⋅
∂v ∂x ∂y ∂y ∂x
∂y
Anschauliche Bedeutung von D: Eine kleine
Fläche F wird in F`transformiert durch
F′
F
du ⋅ dv = D( x, y ) ⋅ dx ⋅ dy
Für D ≠ 0 ist Abbildung umkehrbar (Vorauss. g, h besitzen stetige Ableitungen),
d.h. f1, f2 mit x = f1(u, v), y = f2(u, v) existieren.
Seite 84, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
8. Partielle Ableitungen in der Thermodynamik
In der Thermodynamik (TD) verwendet man überwiegend zwei
Systeme von Variablen T, V, n und T, p, n, mit T Temperatur, V
Volumen, n Molzahl, p Druck. Man unterscheidet die abhängigen
Größen in ihren Symbolen nicht hinsichtlich des Variablensatzes!
Bsp. Entropie S:
S = S(T,V,n)
S = S(T,p,n)
Daher ist bei partiellen Ableitungen die Angabe der konstant
gehaltenen Variablen wichtig.
 ∂S 
für S = S (T ,V , n)
 
T
∂
 V ,n
 ∂S 
für S = S (T , p, n)
 
 ∂T  p ,n
Seite 85, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
 ∂S 
 ∂S 
  ≠  !
 ∂T V ,n  ∂T  p ,n
Quelle: LEIFI Physik
9. Extremwerte
Die Funktion z = f(x, y) besitzt in (x0, y0) ein relatives Maximum [Minimum],
wenn für dem Betrag nach kleine aber sonst beliebige Δx, Δy gilt:
f(x0+Δx, y0+Δy) – f(x0, y0) < 0
Maximum
[>0
Minimum]
Anschauliche Bedeutung: Bewegung weg vom Maximum führt immer zu einer Verringerung von f, egal in welcher Richtung man sich bewegt (Minimum entsprechend).
Fallunterscheidung mit Hilfe der partiellen Ableitungen fx, fy, fxy, fxx, fyy
an der Stelle (x0, y0), mit Δ = fxx·fyy – fxy2 :
fx = f y = 0
Notwendige Voraussetzung für Extremwert.
Tangentialebene ist parallel zur x-y-Ebene.
fxx < 0, Δ > 0
fxx > 0, Δ > 0
rel. Maximum
rel. Minimum
fxx ≠ 0, Δ < 0
Sattelpunkt
fxx ≠ 0, Δ = 0
nicht entscheidbar
fxx = 0, fxy≠ 0
Sattelpunkt
fxx = 0, fxy= 0
nicht entscheidbar
Seite 86, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Berechnung von Extremwerten unter Nebenbedingungen
Funktion: z = f(x, y),
Nebenbedingung: g(x, y) = 0 ⇒
dg = 0
Notwendige Voraussetzung für Extremwert:
dz = 0
(3)
Aus (1), (2) folgt:
fxdx + fydy = 0
gxdx + gydy = 0
Multiplikation von (4) mit der Konstanten λ
und Addition von (3) und (4)
(fx + λgx)dx + (fy + λgy)dy = 0
(5)
⇒
fx + λgx = 0
fy + λgy = 0
g=0
3 Bestimmungsgleichungen für
Extremwert(e) f(x0, y0)
Bei Verallgemeinerung auf eine Funktion f mit n Variablen x1…xn und m Nebenbedingungen λ1… λm hat die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Vorteile
gegenüber den anderen beiden Methoden. Man berechnet die Größen x1…xn, λ1… λm
aus den n + m Gleichungen:
m
f xk + ∑ λi g ixk = 0,
i =1
g j = 0,
Seite 87, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
j = 1 ... m
k = 1... n
(1)
(2)
(4)
Integralrechnung v. Fktn. mehrerer Veränderlicher
Übersicht Integrale
Beispiele von Integrationsbereichen in Ortskoordinaten x, y, z:
Flächenbereich A
C Kurvenstück
A Flächenbereich, z.B. Rechteck
V Volumenbereich, z.B. Quader
Bsp.:
z = ∫ f ( x, y )dA
A
z entspricht „Volumen“ unter
räuml. Fläche f(x, y), die durch
Flächenbereich A definiert ist.
nach M. Stockhausen
Seite 88, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Einfaches Intergral über Fktn mit zwei Variablen
Satz 1:
Wenn f(x,y) im abgeschlossenen, rechteckigen Integrationsbereich c ≤ x ≤ d,
b
a ≤ y ≤ b stetig ist, so ist auch g ( x) =
∫ f ( x, y)dy
eine stetige Funktion von x.
a
(Integration bewahrt Stetigkeit einer Funktion).
Satz 2:
Wenn f(x, y) und fx(x, y) im Bereich c ≤ x ≤ d, a ≤ y ≤ b existieren und stetig sind,
b
so ist
g ( x) = ∫ f ( x, y )dy in [c, d] nach x differenzierbar und Differentiation
a
und Integration können vertauscht werden:
g ′( x) =
d
∂ f ( x, y )
f
x
y
dy
dy
(
,
)
=
∫
∫
dx a
∂x
a
Seite 89, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
b
b
Zweidimensionales Bereichsintegral
Deckfläche D ist bestimmt
durch z = f(x, y).
Berechnung des Volumens V des Säulenkörpers
Die x-y-Ebene wird durch Parallelen zur y-Achse
(bestimmt durch x-Werte x0, x1, …, xi, …, xn) und
durch Parallelen zur x-Achse (bestimmt durch y-Werte
y0, y1, …, yj, …, ym) zu einem Gitternetz zerlegt.
Der Säulenkörper wird durch Quaderstücke mit Teilvolumina f(xi, yj)·Δxi·Δyjzusammengesetzt
(Summenbildung). Wir wählen gleich breite Quader: Δxi =
Δx, Δyj = Δy.
Im Grenzwert n, m → ∞ erhalten wir das exakte
Volumen, das man Bereichsintegral von f über den
Bereich B nennt:
m
n
V = ∫∫ f ( x, y )dxdy = lim lim ∑∑ f ( xi , y j )∆x∆y
B
f(x, y) ist nur im einfach zusammenhängenden
Bereich B definiert, f = 0 außerhalb von B.
Seite 90, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
n →∞ m →∞
j =1 i =1
Analogie zum 1dimensionalen Fall!
Dreidimensionales Bereichsintegral
In B3 wird jedem Volumenelement
ein Wert w = f(x, y, z) zugeordnet.
u2(x, y)
v2(x)
u1(x, y)
v1(x)
Berechnung des Integrals I durch Aufsummierung von Volumenelementen
Der Integrationsbereich B3 wird in kleine Quader mit den
Volumina Δxi·Δyj·Δzk zerlegt. Man integriert zuerst über z bei
konstanten x, y zwischen den Begrenzungsflächen u1(x, y) und
u2(x, y), dann über y bei konstantem x zwischen den
begrenzenden Kurven v1(x) und v2(x) und schließlich über x
zwischen den Grenzen a und b. Im Grenzwert n, m, p → ∞
erhalten wir das Bereichsintegral von f über den Bereich B3:
m
n
p
I = lim lim lim ∑∑∑ f ( xi , y j , z k )∆xi ∆y j ∆z k =
n →∞ m →∞ p →∞
i =1 j =1 k =1
b v2 ( x ) u 2 ( x , y )
=∫
Veranschaulichung: f beschreibt eine
Dichteverteilung innerhalb des
Volumens B3. Das Integral I ist die
Gesamtmasse im Volumen.
Seite 91, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
∫ ∫ f ( x, y, z )dzdydx =∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
a v1 ( x ) u1 ( x , y )
B3
Diese Überlegungen lassen sich entsprechend auf
Bereichsintegrale höherer Dimension übertragen.
Mehrdim. Integrale - Variablentransformation
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
⇒ vereinfacht oft die Bereichsgrenzen und damit die Integration
Ziel ist es,
Integrationsbereich
Rechteck
Kreis
Ellipse
Quader
Zylinder
Kugel
günstiges Koordinatensystem
2dimensionale kartesische Koordinaten
Polarkoordinaten
elliptische Koordinaten
3dimensionale kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
die durch x = g(u, v), y = h(u, v) gegebene Transformation im Integral
durchzuführen. Die Transformation sei eineindeutig (Abbildung
umkehrbar), d.h. im Bereich B gilt für die Funktionaldeterminante
Es folgt (ohne Beweis):
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f [ g (u, v), h(u, v)]
B
Seite 92, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
B
∫∫ f ( x, y)dxdy
B
∂ ( x, y )
≠ 0.
∂ (u, v)
∂ ( x, y )
dudv
∂ (u, v)
Volumenintegrale
2 Möglichkeiten zur
Volumenberechnung
A) Differenz der Volumina unter den Flächen u2(x, y)
und u1(x, y), über Flächenbereich B:
V = ∫∫ u2 ( x, y )dxdy − ∫∫ u1 ( x, y )dxdy
B
u2(x, y)
B
= ∫∫ (u2 ( x, y ) − u1 ( x, y ))dxdy
B
B) Berechnung durch Dreifachintegral über Volumenbereich B3 (f(x, y, z) = 1 innerhalb von B3):
B
v2(x)
u1(x, y)
v1(x)
b v2 ( x ) u 2 ( x , y )
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫
B3
b v2 ( x )
=∫
∫
∫ ∫ dzdydx =
a v1 ( x ) u1 ( x , y )
((u2 ( x, y ) − u1 ( x, y )) dydx
a v1 ( x )
Man erkennt, dass A) und B) auf das gleiche Flächenintegral hinauslaufen.
Seite 93, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Physikalische Anwendungen
Masse eines Körpers (ρ(x, y, z)
ist ortsabhängige Dichte)
m = ∫∫∫ ρ dV
Schwerpunktskoordinaten
xs =
Statische Momente (Drehmomente) als 1. Momente bzgl. der x-,
y-, z-Achse, g Erdbeschleunigung
M x = g ∫∫∫ ρ xdV , M y = g ∫∫∫ ρ ydV , M z = g ∫∫∫ ρ zdV
Trägheitsmomente als
2. Momente bezüglich der
x-, y-, und z-Achse
B
1
1
1
,
,
ρ
xdV
y
=
ρ
ydV
z
=
ρ zdV
s
s
∫∫∫
∫∫∫
m ∫∫∫
m
m
B
B
B
B
Seite 94, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
B
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ dV , I y = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ) ρ dV
B
I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ dV
B
Trägheitsmoment eines ebenen
Bereichs bezüglich der z-Achse
(ρ(x, y) Flächendichte)
B
I = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ dA
B
B
Kurvenintegral / Linienintegral
Die Funktion z = f(x, y) sei im Bereich B der x-y-Ebene stetig. In B
sei eine Kurve C mit Richtungssinn
(siehe Pfeil) gegeben.
Die Kurve C wird durch die Punkte Pi in kleine Linienstücke
unterteilt. Die x-Abstände zweier benachbarter Punkte seien
mit Δx = xi – xi-1 gleich groß. Durch Aufsummieren der
Flächenstücke f(xi, yi)·Δxi erhält man im Grenzfall n → ∞ das
Kurvenintegral
n
I x = ∫ f ( x, y )dx = lim ∑ f ( xi , yi )∆xi
C
n →∞
i =1
Entsprechend unter Verwendung der y-Werte:
n
I y = ∫ f ( x, y )dy = lim ∑ f ( xi , yi )∆yi
C
n →∞
i =1
Ix und Iy sind i. allg. nicht gleich!
Das Vorzeichen der Integrale ändert sich mit der Pfeilrichtung
von C. Bei Zerlegung von C in 2 Teilkurven addiert sich das
Kurvenintegral aus den beiden Teilintegralen.
Geometrische Interpretation: Das Kurvenintegral ist die auf
die x-z-Ebene (y-z-Ebene) projizierte Fläche zwischen K und C.
Seite 95, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kurvenintegral II
Allgemeines Kurvenintegral:
∫ (a ( x, y, z )dx +a ( x, y, z )dy + a ( x, y, z )dz ) = ∫ a( x, y, z )ds
x
y
z
C
C
a = (a x ,a y ,a z ),
ds = (dx,dy,dz)
Vektorform
Anwendung: Berechnung der Arbeit, die eine ortsabhängige Kraft längs eines Weges C
leistet. Wichtig in Thermodynamik, Mechanik und Vektorrechnung!
Weitere wichtige Form des Kurvenintegrals:
∫
C
t2
f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) ⋅ x' (t ) 2 + y ' (t ) 2 ⋅ dt , Bogenelement ds = dx 2 + dy 2
t1
Sonderfall Bogenlänge s (f(t) = 1):
t2
s = ∫ ds = ∫ x' (t ) 2 + y ' (t ) 2 ⋅ dt
C
t1
Seite 96, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
mit x = x(t), y = y(t), dx = x′dt, dy = y′dt,
t1, t2 Anfangs- und Endwerte zu Kurve C.
Entsprechend Erweiterung auf 3 Dimensionen.
Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals
Ein 2dimensionales Kurvenintegral K sei über eine Kurve C in
einem einfach zusammenhängenden Bereich (keine Löcher)
über zwei Funktionen: P(x, y), Q(x, y) gegeben:
K=
∫ ( Pdx + Qdy)
C
Satz: K ist wegunabhängig, wenn eine Stammfunktion
(Potentialfunktion) F(x, y) = z existiert, mit:
P = Fx , Q = Fy
Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für die
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
Wegunabhängigkeit von K ist:
Folgerungen:
F kann bis auf die Fktn g(y) und h(x) aus
P und Q bestimmt werden:
Das Kurvenintegral K läßt sich auch durch das
totale (vollständige, exakte) Differential
dz = Fxdx + Fydy = Pdx + Qdy ausdrücken:
Für eine geschlossene Kurve C ist das
Ringintegral null:
Seite 97, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
F = ∫ Pdx + g ( y ), F = ∫ Qdy + h( x)
K=
∫ ( Pdx + Qdy) = ∫ dz
C
C
∫ ( Pdx + Qdy) = 0, ∫ dz = 0
Anwendungen von Differenzialgleichungen
Weitere Beispiele:
Gewöhnliche Dgln
- Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiver
Zerfall)
- Chemische Reaktionen
Partielle Dgln
- Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität
(Transport-Gl.)
- Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.)
- Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.)
- Kontinuitäts- und Strömungs-Gl.
(Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.)
- Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.)
- Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)
Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie,
Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellen
als mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!
Quelle: E. Kreyszig
Seite 98, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Systeme v. gewöhnlichen Differenzialgleichungen
m Bedingungsgleichungen der Form
F1 ( x, y1 ,..., y1( n ) , y2 ,..., y2( n ) , ym ,..., ym( n ) ) = 0,
F2 ( x, y1 ,..., y1( n ) , y2 ,..., y2( n ) , ym ,..., ym( n ) ) = 0,
...
Fm ( x, y1 ,..., y1( n ) , y2 ,..., y2( n ) , ym ,..., ym( n ) ) = 0,
führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimmung von
m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).
Beispiel:
Differenzialgleichungssystem:
y2′ + a ⋅ y1 = 0
y2 − y1′ = 0
Lösung 1:
y1 = sin ax , y2 = a ⋅ cos ax
Lösung 2:
y1 = − cos ax , y2 = a ⋅ sin ax
Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene
Funktionensysteme gelöst werden.
Seite 99, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
2. Gewöhnliche DGLn erster Ordnung
Existenz von Lösungen
Linienelement
F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich
eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)
Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung
zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus
Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dgl
sind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus
Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht
nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg.
Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgn
zu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die
Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll,
reduziert man die Lsgn auf eine einzige.
Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nach
y′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).
Seite 100, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky.
Hier ist die Steigung nur von y
abhängig.
Lösung der inhomogenen linearen DGL
Homogene lineare Dgl:
y′ + f(x)·y = 0
Inhomogene lineare Dgl:
y′ + f(x)·y = g(x)
g(x) heißt Störterm
Wichtiger Satz:
Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe
aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dgl und einem
partikulären Intergral der inhomogenen Dgl.
Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln:
1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch
Trennung der Variablen).
2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl
(z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten).
3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0
Alternative:
Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen
Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.
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Exakte Differenzialgleichung
Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen
y′ = −
P ( x, y )
⇔ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = 0 ⇔ P( x, y ) + Q( x, y ) ⋅ y′ = 0
Q ( x, y )
heißt exakt, wenn gilt:
∂P ∂Q
=
⇔ Py = Qx
∂y ∂x
Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, mit
F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q.
F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) und
liefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):
F = ∫ dz =
C
∫ ( Pdx + Qdy) = ∫ Pdx + g ( y)
C
liefern g(y) und h(x) durch Vergleich
= ∫ Qdy + h( x)
∂ ( µ P) ∂ ( µ Q)
=
∂y
∂x
Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrierender Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:
Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:
F = ∫ ( µ Pdx + µ Qdy ) = konst
C
Seite 102, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung
Form:
y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x)
Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogen
Sätze:
1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige)
Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die
Wronski-Determinante ungleich Null ist.
Sie bilden das fundamentale Lösungssystem.
Wronski-Determinante
y1
y1′
y2
y2′
...
...
...
y1( n −1)
y2( n −1)
... ...
... yn( n −1)
...
yn
yn′
≠0
2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination der
mit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems
(Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)
3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral der
homogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstanten
bestimmbar) der inhomogenen Dgl.
4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)
angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)
erfüllt sein sollen.
Seite 103, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
DGL: Gedämpfte freie Schwingung
Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:
m ⋅ x′′ + b ⋅ x′ + D ⋅ x = 0 ⇔ x′′ + 2 K ⋅ x′ + ω 2 ⋅ x = 0
Trägheitskraft
Reibungskraft
Federkraft
Lösungsansatz:
Abklingkoeffizient K = b/2m
Kreisfrequenz
ω = (D/m)1/2
Konstanten
A, A1, A2
x = A⋅e
λ ⋅t
x′ = A ⋅ λ ⋅ e λ ⋅t , x′′ = A ⋅ λ2 ⋅ e λ ⋅t
Einsetzen in Dgl ⇒
Charakter.
2
2
Gleichung: λ1/ 2 = − K ± K − ω
Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)
Lösungen: x = e − Kt ( A1 ⋅ e
K 2 −ω 2 t
+ A2 ⋅ e −
K 2 −ω 2 t
x = e − Kt ( A1 ⋅ e
ω 2 −K 2 t
+ A2 ⋅ e −
ω 2 −K 2 t
x = e − Kt ( A1 ⋅ e
K 2 −ω 2 t
+ A2 ⋅ t ⋅ e −
Einhüllende
)
λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingung
)
λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall
K 2 −ω 2 t
)
λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfall
x
x
t
Gedämpfte Schwingung
Seite 104, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
m·x′′
– b·x′
– D·x
Aperiodischer
Grenzfall
t
Kriechfall
DGL: Erzwungene Schwingung
Inhomogene Dgl:
x′′ + 2 K ⋅ x′ + ω 2 ⋅ x = K 0 ⋅ eiωk t
Ansatz part.
x = α ⋅ e iω k t
Integral:
α=
x mit Ableitungen in Dgl einsetzen,
komplexen Nenner in Polarkoordinaten darstellen :
Anregende Kraft
Anregende Beschleunigung
Anregende Kreisfrequenz
Abklingkoeffizient
Dämpfungskonstante
Eigenkreisfrequenz System
Amplitudenverstärkung
Konstanten
F0 = K0·m
K0
ωk
K = c·m
c=b
ω
C*
α, A1, A2
K0
K 0 − iϕ
2 Kω k
2
2 2
2
e
,
r
(
)
(
2
K
)
,
tan
=
⋅
=
−
+
=
ω
ω
ω
ϕ
k
k
r
ω 2 − ωk2 + i 2 Kωk
ω 2 − ωk2
Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral
Allgemeine x = e − Kt ( A ⋅ e
1
Lösung:
C*
K 2 −ω 2 t
+ A2 ⋅ e −
K 2 −ω 2 t
)+
K0
(ω − ω ) + (2 Kωk )
2
2 2
k
2
⋅ cos(ωk t − ϕ )
ϕ
Einschwingvorgang
Resonanz bei ωk → ω
besonders bei K → 0!
ωk/ω
Seite 105, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Phasenverschiebung ϕ
zw. System u. Anregung
ωk/ω