Mathematik-Wettbewerb Känguru 2013
Werbung
Hochschule Bremen Fachbereich E-Technik & Informatik Mathematikwettbewerb Känguru e.V. XXI. Mathematik-Wettstreit 2013 für Schüler und Studenten Prof. Dr. Th. Risse Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende (nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen. c 2013 Letzte Änderung: 25. Juli 2013 [email protected] Version 0.1 2 1. Einführung Bei Kangourou 2013 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der 11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern. Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle unter http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Viel Erfolg! 3 2. Aufgaben mit Lösungen Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb Stunden lösen. Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten. Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken! Aufgabe 1. Mathematik ist (a) fun (b) cool (c) out (d) in Auf die Plätze – fertig – los! (e) voll krass Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 4 Aufgabe 1. Welche der folgenden Zahlen ist die größte? (a) 2013 (b) 2(0+13) (c) 2013 2. Das abgebildete regelmäßige Achteck hat eine Seitenlänge von 11 cm. Wie groß ist der Radius des grauen Kreises? (a) 5 cm (b) 5.5 cm (c) 6 cm (d) 2013 (e) 20 · 13 (d) 7 cm (e) 7.5 cm 3. Gegeben sind drei 2-stellige Zahlen AA, BB und CC, die aus je zwei gleichen Ziffern bestehen. Wenn AA + BB + CC = 198 gilt, wie groß ist dann A + B + C ? (a) 15 (b) 16 (c) 17 (d) 18 (e) 19 4. Für einen Deutschvortrag lesen Harry und Hermine Hermann Hesses ’Steppenwolf’. Hermine ist nach einer Stunde auf Seite 60 angekommen. Harry liest schon drei Stunden, er ist aber nur rry und Hermine Hermann Hesses Steppenwolf“. Hermine ist nach ” mmen. Harry 2:liest schonmitdrei Stunden, er ist aber nur etwa halb so 5 Abschnitt Aufgaben Lösungen ten hat Harry zu diesem Zeitpunkt ungefähr gelesen? etwa halb so schnell wie Hermine. Wie viele Seiten hat Harry zu diesem Zeitpunkt ungefähr gelesen? (C) 80 (D) 90 (a) 30 (b) 45 (c) 80 (E ) 120 (d) 90 (e) 120 5. Grundfläche Eine hölzerneist Pyramide quadratischer atischer in einemmit durchsichtigen Grundfläche ist in einem durchsichtigen yramide liegt genau auf der Mitte einer WürfelWürfel verpackt. Die Spitze der Pyramide ie Pyramide durch auf dieder sechs Würfelseiten und liegt genau Mitte einer Würfelkane der folgenden Abbildungen ist keine solche te (s. Abb). Wir betrachten die Pyramide durch die sechs Würfelseiten und zeichnen einige Ansichten. Welche der folgenden Abbildungen ist keine solche Ansicht der Pyramide? (D) (C) (E ) probiere (a) ich, ob das (b) für 2 und 8 (c) auch gilt. Da aber nicht, (d)klappt es (e) r 4 2 6. Als ich bemerke, daß 2 = 4 ist, probiere ich, ob das für 2 und 8 gilt. Da klappt es aber nicht, denn 28 ist größer als 82 , und o groß auch (C) 8-mal so groß (D) 16-mal so groß (E ) 32-mal so groß zwar und 9 Kanten. Wie viele Kanten hat ein Prisma, Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 6 (a) 2-mal so (b) 4-mal so (c) 8-mal so (d) 16-mal (e) 32-mal groß groß groß so groß so groß 7. Das Prisma im Bild hat 5 Flächen und 9 Kanten. Wie viele Kanten hat ein Prisma, das 2013 Flächen besitzt? (a) 2011 (b) 2013 (c) 4022 (d) 4024 (e) 6033 8. Als Präsident des Fördervereins ’Kloster am Dom e.V.’ schreibt unser Mathematiklehrer regelmäßig die Klosterkolumne im Stadtboten. Dieses Jahr trug sie zum Jahresanfang den Titel ’Klostermathematik’. Darin stand: 2013 besteht aus vier aufeinanderfolgenden Ziffern, aus 0, 1, 2 und 3. Und unser schönes Kloster wurde in dem Jahr gegründet, in dem das letzte Mal die Jahreszahl aus aufeinanderfolgenden Ziffern bestand. Wie alt ist das Kloster? (a) 581 (b) 671 (c) 689 (d) 770 (e) 779 Jahre Jahre Jahre Jahre Jahre Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 3 9. Die dritte Wurzel aus 3(3 2 ) 7 ist gleich 3 3 (a) 3 (b) 3 (c) 3(3 −1) (d) 3(2 ) (e) 3 10. Wenn ich mit meinen Eltern und meinen beiden Schwestern meine Großmutter in Thüringen besuche, freue ich mich jedes Mal auf die Klöße, die sie zum Mittag macht. Heute hatte sie für uns 6 Personen 20 Klöße gemacht, die wie immer aufgegessen wurden. Sie selbst hat nur einen Kloß gegessen, meine Mutter hat 2 und ich habe 3 Klöße gegessen. Mein Vater hat wie immer mehr als jedeR andere gegessen. Wie viele Klöße hat mein Vater mindestens gegessen? (a) 8 (b) 7 (c) 6 (d) 5 (e) 4 (3 ) 3 11. Wenn Wasser gefriert, vergrößert sich sein Volumen um Eis schmilzt, verringert sich dessen Volumen also um 1 1 1 1 (b) 11 (c) 12 (d) 13 (e) (a) 10 1 11 . 1 14 Wenn Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 12. Architekt Peter vom Stein plant die Fußboden-Gestaltung des neuen Konzertsaals. Der Flügel soll in einem Kreis stehen, dessen Rand aus identischen Marmorplatten gebildet wird, die regelmäßige Fünfecke sind (s. Abb.). Wie viele Marmor-Fünfecke müssen für den vollständigen Kreisrand eingeplant werden? (a) 5 (b) 9 (c) 10 (d) 12 8 (e) 15 13. Wie viele der folgenden Ungleichungen gelten für alle reellen Zahlen x, die 2 < x < 3 erfüllen? 4 < 2x < 6 und 4 < 3x < 9 und 8 < 4x < 15 und 12 < 5x < 15 (a) keine (b) eine (c) zwei (d) drei (e) vier 14. Wie viele zweistellige natürliche Zahlen gibt es, bei denen sowohl ihre Hälfte als auch ihr Doppeltes wieder eine zweistellige natürliche Zahl ist? (a) 15 (b) 16 (c) 20 (d) 24 (e) 50 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 9 15. Ein kreisrunder Teppich liegt auf einem quadratisch gefliesten Boden. Alle Fliesen, auf denen ein Teil des Teppichs liegt, werden grau markiert. Welches der folgenden Muster kann dabei nicht entstehen? (a) (b) (c) (d) (e) 16. Für eine lineare Funktion f gilt f (2013) − f (2003) = 100. Wie groß ist dann f (2031) − f (2013)? (a) 100 (b) 120 (c) 150 (d) 180 (e) 200 17. Wie viele Paare (x, y) natürlicher Zahlen gibt es, für die x2 y 3 = 23 3 gilt? (a) 3 (b) 6 (c) 8 (d) 11 (e) 12 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 10 y 18. Das Rechteck 2(ABCD) liegt im x vierten Quadranten des KoordinaD C tensystems, seine Seiten sind parallel zu den Achsen. Für welchen der vier Eckpunkte ist der Quotient A B y x aus der y-Koordinate und der xKoordinate am größten? (a) für A (b) für B (c) für C (d) für D (e) vom Rechteck abhängig 19. Die vier Familien in der Gartenstraße 42 bekommen gerade drei verschiedene Pakete geliefert, ein großes, ein mittleres und ein ganz kleines. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Familien mehr als eines der drei Pakete bekommt? (Die Wahrscheinlichkeit, ein Paket zu bekommen, ist für jede Familie identisch.) (a) 1/6 (b) 2/7 (c) 3/8 (d) 4/9 (e) 5/10 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 20. Im Dreieck ∆(ABC) liegen die Punkte M und N auf der Seite AB. Es gilt |AN | = |AC|, |BM | = |BC| und ∠(M CN ) = 43o . (Die Abb. ist nicht maßstabsgerecht). Dann ist ∠(ACB) = (a) 86o (b) 89o (c) 90o 11 C 43o A (d) 92o M N B (e) 94o 21. Beim Schulmarathon gab es in diesem Jahr einen neuen Rekord: 101 Teilnehmer waren dabei. Silke hatte zum Schluss doppelt so viele hinter sich wie Eva vor sich hatte. Und Eva ihrerseits hatte beim Zieleinlauf dreimal so viele hinter sich wie Silke vor sich hatte. Welchen Platz belegte Eva? (a) den 20. (b) den 21. (c) den 40. (d) den 41. (e) den 61. 22. Es sei a < b. Welcher der folgenden Graphen gehört zur Funktion W (x) = (a − x)(b − x)2 ? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen y y x 12 y x y y x x x (a) (b) (c) (d) (e) 23. Christina will ein Rechteck zeichnen, dessen eine Seite 5 cm lang ist. Das Rechteck soll so beschaffen sein, daß es durch eine gerade Linie in zwei Teile zerlegt werden kann, von denen eines ein Quadrat ist und außerdem eines der beiden Teile 4 cm2 groß ist. Wie viele verschiedene Rechtecke kann Christina zeichnen? — Klassenstufen 11 5bis 13 (a) 1 (b) 2 Känguru (c)2013 3 (d) 4 (e) 24. Zu jedem Eckpunkt des Würfels ABCDEF ich die mirEbene die Ebeels ABCDEF GH GH stelle stelle ich mir vor, ne vor, die durch die drei zu diesem Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. Eckpunkte bedie EbeneEckpunkt durch A, Fbenachbarten und H. Ich schneide entlang stimmt ist. Zum Eckpunkt E gehört z.B. urch zerfällt der Würfel in mehrere Teilkörper. die Ebene durch A, F und H. Ich schneide per, der den Würfelmittelpunkt enthält? entlang aller dieser acht Ebenen. G H F E C D B A 4 Känguru 2013 — Klassenstufen 11 bis 13 stelleKänguru ich—mir Ebene vor,11 bis 13 C4 Zu 4 jedem4 Eckpunkt des Würfels ABCDEF GH 2013die — Klassenstufen Känguru 2013 Klassenstufen 11 G bis 13 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen H die durch die drei zu diesem Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. C4 Zu jedem Eckpunkt des Würfels ABCDEF GH stelle ich mir die Ebene vor, G HG F dieC4 durch die Zu drei zuEdiesem Eckpunkt Eckpunkte ist. vor, entlang Zum Eckpunkt gehört z.desB.Würfels diebenachbarten Ebene A,stelle F und H. die Ich schneide ZuC4 jedem Eckpunkt des Würfels ABCDEF GH durch stelle ich mir die Ebene vor, jedem Eckpunkt ABCDEF GH ichbestimmt mir Ebene E H H F Zumaller Eckpunkt gehört z. drei B. die durch A, Fbenachbarten undder H. Ich schneide die dieser durch drei die zu diesem Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. dieEdie durch zu Ebene diesem Eckpunkt Eckpunkte bestimmt ist. C E acht Ebenen. Dadurch zerfällt Würfel in entlang mehrere Teilkörper. ED Zum Eckpunkt E gehört B. die z. Ebene A, F undA,in H.FIch entlang entlang ZumEbenen. Eckpunkt Ez.gehört B. diedurch Ebene durch undschneide H. Ich schneide C allerWelche dieser acht Dadurch zerfällt der den Würfel mehrere Teilkörper. C Gestalt hat der Teilkörper, der Würfelmittelpunkt enthält? D B dieser Dadurch zerfällt der Würfel mehrere Teilkörper. aller dieser acht Ebenen. zerfällt der inWürfel in mehrere Teilkörper. Welchealler Gestalt hatacht derEbenen. Teilkörper, der Dadurch den Würfelmittelpunkt enthält? D B D G F 13 E C Dadurch zerfällt der Würfel in mehrere Teilkörper. Welche GeB stalt hat der Teilkörper, der den Würfelmittelpunkt enthält? A A Welche Welche Gestalt Gestalt hat der Teilkörper, der den Würfelmittelpunkt enthält? enthält? hat der Teilkörper, der den Würfelmittelpunkt A F B A Es bleibt nur Es bleibt nur Es bleibt nur Es bleibt nurder WürfelWürfelder der Würfelder Würfelmittelpunkt mittelpunkt mittelpunkt mittelpunkt ) übrig. (D) (D) (E )(Eübrig. (E ) übrig. (E ) übrig. (A) (A) (C) (D) (A) (B)(B) (B) (C) (c) (D) (C) (a) (b) (d) (A) (B) (C) (e) Es bleibt nur der Würfelmittelpunkt übrig! C5viele Wie viele Lösungen (x ,wobei y ), wobei und y reelle Zahlen sind, hat sind, die Gleichung x 2 x+2 y+2 = +xyy 2+ ?=yx?2+ y ? 2 C5C5 Wie Lösungen (x ,Lösungen y ), y reelle Zahlen sind, hat diesind, Gleichung yx2x2=+ C5 Wie viele yund ),x wobei und Zahlen hat die Gleichung Wie viele Lösungen (x , y (x ),x, wobei x xund yy reelle reelle Zahlen hat die Gleichung x +y =x +y ? (B) 4 (B) 4 (A) 1 (A) 1 (A) 1 (B) 4 (C)6 6 (C) (C) 6 1 2 1 (D) (D) 88 (E )(Eunendlich viele viele viele (E ) unendlich ) unendlich (D) 8 (A) 1 (B) 4 (x, y), wobei (C) 6 8 (E ) unendlich 25. Wie viele Lösungen x und (D) ya =reelle Zahlen sind,viele hat C6 Daniela untersucht eine Zahlenfolge, die mit adie=mit 1, a = 3, a ==6,3,aa ==10, 15, .a. . = beginnt. C6 Daniela untersucht eine Zahlenfolge, 6, a a= = 10,15, . . . beginnt. C6 DanielaDaniela untersucht eine Zahlenfolge, die aeinen = Zusammenhang 1, a a ==3,1,aa = 6, a =den 10, ., .a15, . beginnt. 2 mit stellt fest, dass es2für alle m, ∈ Nm, zwischen Gliedern aGliedern unda , a und die Gleichung x + = x y ? Daniela stellt fest, dass esy fürnalle n ∈+ N einen Zusammenhang zwischen den C6 Daniela untersucht eine Zahlenfolge, die mit a = 1, a = 3, a = 6, a = 10, a = 15, . . . beginnt. Danielaa stelltgibt. fest, dass es für alle Zusammenhang zwischen den Gliedern a , a 5und 1 ist a 2 3 4 gilt nämlich a m, = ana ∈+N a=einen + groß a Es gibt. Es gilt nämlich a mn. + aWie + mn. Wie groß? ist a ? a Daniela gibt. Esstellt gilt nämlich a = afür+alle a +m, mn. Wie a ? fest, dass es n∈ N groß einenistZusammenhang zwischen den Gliedern am , an und (A) 100(A) 100 (b) (B) 1000 (C) 2012 (D) 4950(D) (d) (E ) 5050 (E ) 5050 (e) ∞ (a) 1 4 (c) 6 8 (B) 1000 (C) 2012Wie 4950 a gibt. Es gilt nämlich a = a + a + mn. groß ist a ? m+n m+n m n 100 (A) 100 (B) 1000 (C) 2012 (D) 4950 (E ) 5050 1 3 2 4 2 3 5 4 3 4 5 5 m n m m+n m+n m n m+n m+n m+n m+n m m m 100 n n n 100 100 n der Ebene seien mehrere Geraden gegeben. Die 1. Gerade schneidet genau 3 der anderen Geraden. C7 In C7 In untersucht der Ebene seien(B) mehrere eine Geraden gegeben. Die2012 1. Gerade schneidet genau 3 der anderen Geraden. (A) (C) (D) 4950 (E )1, 5050 26. Daniela Zahlenfolge, die mit aweder a2 = 3, Die 2.100 Gerade schneidetGeraden genau 1000 4 der anderen Geraden. Undschneidet die 3. Gerade schneidet weder genau 13= seien Die 1. Gerade genau 3 derschneidet anderen Geraden. C7 In der Ebene Die 2.mehrere Gerade schneidet gegeben. genau 4 der anderen Geraden. Und die 3. Gerade genau 3 noch genau 4 der anderen Geraden. Um wie viele Geraden handelt es sich insgesamt? noch genau 4 der anderen Geraden. Um wie viele Geraden sich insgesamt? Die 2.= Gerade schneidet genau 4a der anderen Geraden. Und die 3. handelt Geradees schneidet wederstellt genau 3 fest, daß es a 6, a = 10, = 15, . . . beginnt. Daniela 3 der(A)Ebene 4anderen 5Um wie (C) seien mehrere Geraden gegeben. Die 1.(D)Gerade schneidet C7 (B) 6 7Geraden 8 (E ) 9genau 3 der anderen Geraden. nochIngenau 45der(A) Geraden. viele 5 (B) 6 (C) 7 handelt es sich (D) insgesamt? 8 (E ) 9 Diealle 2. Gerade schneidet 4 der anderen Geraden. Und die 3.zwischen Gerade schneidet weder genau 3 für m,ABCD n(B)∈6hat Ndiegenau einen den Gliedern C (A) 5Das Quadrat (C) 17Zusammenhang (D) 8 von BC, D (E ) 9 D C8 Seitenlänge m. M ist Mittelpunkt noch C8 genau der anderen Um wie1viele handelt sich insgesamt? C Das 4Quadrat ABCD Geraden. hat die Seitenlänge m. MGeraden ist Mittelpunkt vonesBC, N ist Mittelpunkt von BM. Wie groß ist der Flächeninhalt des grauen Dreiecks? a , a und a gibt. Es gilt nämlich a = a + a N ist Mittelpunkt von BM. Wie groß ist der Flächeninhalt des grauen Dreiecks? D C Mm m Quadrat n 1 ABCD hatm+n n + mn. C8 Das Seitenlänge ist1 Mittelpunkt BC,m+n 1die(B) (A) 6 (C) 1 m1 m. 1M(D) (C) 7m 1 (E ) 1von (E )M9 N m (D) (A)5 m 1 1 8 1 (B) m 7 (A) 8Wie 15 Flächeninhalt N ist Mittelpunkt von BM. groß Dreiecks? N m (B) mist der (C) m 18 des (D)grauen m 21 (E ) m Wie groß ist a ? B 100 8 7 15 18 21 A M B A C 1 1 1 1 bekam eine Rolle 1 Probe der Theatergruppe C9 einem Erwärmungsspiel. Jeder zuge- ND C8 (A) DasDiem Quadrat ABCD hatbegann die heute Seitenlänge 1einem m. ist von eine BC, (B) mTheatergruppe (C) m mitheute (D)mit m M (E ) Mittelpunkt m Jeder bekam Die ist Probe Rolle zuge7 C9 und 15begann 182012 21 (d) wiesen nun8der entweder ein Bösling“, der stets lügt, oderErwärmungsspiel. ein Gutling“, der stets die Wahrheit (a)N 100 (b) 1000 (c) 4950 (e) 5050 A B ist Mittelpunkt von BM. Wie groß ist der Flächeninhalt des grauen Dreiecks? ” ” undverspätet ist nun entweder ein durch Bösling“, der stets lügt, oder ein Gutling“, der stets die Wahrheit spricht. wiesen René, der kommt, soll Ja-Nein-Fragen erkunden, welche Rollen Jan und Jörg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ” 2 2 2 2 2 ” René, derbegann verspätet kommt, durch Ja-Nein-Fragen erkunden, welche Rollen Jan und Jörg C9 Die Probe der spricht. Theatergruppe heute mit soll einem Erwärmungsspiel. Jeder bekam eine Rolle zuge- M 1 2 fragt er Jan,1 der 2voll in seiner Rolle 1 ist. 1 reicht haben.1 Seid 2 ihr beide Gutlinge?“, 2 Dessen Antwort ”haben. N m mBösling“, (C) mJan, (D) m (E )Dessen m2Wahrheit (A) Seid(B) ihrseien beide Gutlinge?“, fragt er derfragt voll in Gutling“, seiner ist. Antwort reicht1. Gerade 27. In Ebene mehrere Geraden gegeben. Die wiesender und istnicht nun aus, entweder derRolle stetshat. oder eindaher der stets die jedoch wissen, wer welche René Jörg:Rolle Ist Jan ein Gutling?“ ” um zu ein 7 jedoch 8 ”zu 15 lügt, 18 ” fragt ” Jörg: 21 nicht aus, um wissen, wer welche Rolle hat. René daher Ist Janund ein Jörg Gutling?“ A B spricht.Nach René, der verspätet kommt, soll durch Ja-Nein-Fragen erkunden, welche Rollen Jörgs Antwort ist René voll informiert und kann die Rollen der beiden benennen. Was gilt? ” Jan Nach JörgsGutlinge?“, Antwort 3 ist René voll informiert und kann die Rollen benennen. gilt? schneidet genau der Geraden. Die 2.Wasreicht Gerade schneihaben. Seid ihr beide fragt er anderen Jan, der (B) voll in seiner Rolleder ist.beiden Dessen Antwort C9 Die Probe der Theatergruppe begann heute mit einem Jeder bekam eine Rolle zuge(A) Beide sind Böslinge. Beide sindErwärmungsspiel. Gutlinge. ” jedoch nicht aus,(A) umBeide zu wissen, wer welche Rolle hat. René fragt dahersind Jörg: Ist Jan ein Gutling?“ sind Böslinge. (B) Beide Gutlinge. (C)und Jan ist ein Gutling, Jörg einein Bösling. ist lügt, ein Gutling, Jan Bösling. wiesen ist nun entweder Bösling“, (D) der Jörg stets oder ein der stets die Wahrheit ”ein Gutling“, Nach Jörgs Antwort ist René informiert kann die Rollen gilt? ” JanWas (C) Jan ist ein voll Gutling, Jörg” einund Bösling. (D)der Jörgbeiden ist ein benennen. Gutling, ein Bösling. (E ) René, Man muss Antworten von Jan und Jörg kennen, um die Rollen zu bestimmen. spricht. derdieverspätet kommt, soll durch Ja-Nein-Fragen erkunden, welche Rollen Jan und Jörg (E ) Man muss die Antworten von Jan und Jörg kennen, um die Rollen zu bestimmen. (A) Beide sind (B) Beide Gutlinge. haben. SeidBöslinge. ihr beide Gutlinge?“, fragt er Jan, dersind voll in seiner Rolle ist. Dessen Antwort reicht Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 14 det genau 4 der anderen Geraden. Und die 3. Gerade schneidet weder genau 3 noch genau 4 der anderen Geraden. Um wie viele Geraden handelt es sich insgesamt? (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 9 28. Das Quadrat 2(ABCD) hat die Seitenlänge 1 m. M ist Mittelpunkt von BC, N ist Mittelpunkt von BM . Wie groß ist der Flächeninhalt des grauen Dreiecks? 1 (b) 18 m2 (c) 15 m2 (a) 17 m2 D C M N A (d) B 1 2 18 m (e) 1 2 21 m 29. Die Probe der Theatergruppe begann heute mit einem AufwärmSpiel. Jeder bekam eine Rolle zugewiesen und ist nun entweder ein ’Bösling’, der stets lügt, oder ein ’Gutling’, der stets die Wahrheit spricht. René, der verspätet kommt, soll durch Ja-Nein-Fragen erkunden, welche Rollen Jan und Jörg haben. ’Seid ihr beide Gutlinge?’, fragt er Jan, der voll in seiner Rolle ist. Dessen Antwort reicht jedoch nicht aus, um zu wissen, wer welche Rolle hat. René ” ch Ja-Nein-Fragen erkunden, welche Rollen Jan und Jörg 15 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen Jan, der voll in seiner Rolle ist. Dessen Antwort reicht fragt daher Jörg: ’Ist Jan ein Gutling?’ Nach Jörgs Antwort ist Rolle hat. fragt daher Jörg:die Ist Jan ein Gutling?“ RenéRené voll informiert und kann ” Rollen der beiden benennen. Wasdie gilt? und kann Rollen der beiden benennen. Was gilt? (a) Beide sind (b) Beide sind (c) Jan ist ein (d) Jörg ist ein (B) Beide sind Gutlinge. (D) Jörg ist ein Gutling, Jan ein Bösling. (e) d Jörg kennen, um die Rollen zu bestimmen. Böslinge. Gutlinge. Gutling, Gutling, Jan Jörg ein ein Bösling. Bösling. Man muss die Antworten von Jan und Jörg kennen, um die Rollen zu bestimmen. 30. Fünf Autos fahren gleichzeitig in einen Kreisverkehr, jedes aus eisverkehr, jedes aus einer anderen ner anderen Richtung (s. Abb.). niger alsJedes eineder ganze und alle AutosRunde fährt weniger als eine ganze Runde und alle Auedliche Richtungen. Wie viele ververlassen den Kreisverkehr os, den tos Kreisverkehr zu verlassen? in unterschiedliche Richtungen. Wie viele verschiedene Kombina(D) 81 (E ) 120 tionen gibt es für die Autos, den Kreisverkehr zu verlassen? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen (a) 24 (b) 44 (c) 60 16 (d) 81 (e) 120 17 Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auch leihweise zur Verfügung stellen: • Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e und viele weitere Titel • P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985 ISBN 3-7643-1359-5 • Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list; www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html • John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9 • Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s.a. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Test beenden Lösungen der Aufgaben 18 Lösung zu Aufgabe: Offensichtlich gilt 2013 > 213 > 2013 > 2013 > 20 · 13, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 19 Lösung zu Aufgabe: Der graue Kreis ist jedem der vier kongruenten Rechtecke, deren kurze Seite mit der Seitenlänge des regelmäßigen Achtecks übereinstimmt, einbeschrieben, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 20 Lösung zu Aufgabe: Wegen AA+BB+CC = 198 = 11·18 = 10(A+B+C)+(A+B+C) = 11(A + B + C), gilt A + B + C = 18, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 21 Lösung zu Aufgabe: Harry liest etwa 30 Seiten pro Stunde, in drei Stunden also etwa 90 Seiten, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 22 Lösung zu Aufgabe: A ist die Ansicht von hinten rechts, B ist die Ansicht etwa von vorne rechts, C ist die Ansicht von unten, D ist die Ansicht von oben. Damit kann E keine Ansicht der Pyramide sein; wie sollte sich auch die Pyramiden-Spitze, die auf einer Würfel-Kante liegt, in der Mitte befinden? also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 23 Lösung zu Aufgabe: Wegen 28 82 = 128 64 = 2 gilt Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 24 Lösung zu Aufgabe: Ein Prisma mit 2013 Flächen hat Boden- bzw. Deckel-flächen mit je 2011 Kanten. Zu jeder dieser Kanten gehört genau eine Ecke und zu jeder dieser Ecken genau eine Verbindungskante. Das Prisma hat 3 · 2011 = 6033 Kanten, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 25 Lösung zu Aufgabe: Sei A das potentielle Alter des Klosters. Lösung A 2013-A (a) 581 1432 (b) 671 1342 (c) 689 1324 (d) 770 1243 (e) 779 , also Antwort (e). 1234 Test beenden Lösungen der Aufgaben 26 Lösung zu Aufgabe: √ 3 1/3 3 2 3 Wegen 3(33 ) = 3(3 ) = 3(3 )/3 = 3(3 ) , also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 27 Lösung zu Aufgabe: Sei G, M , I, S1 , S2 und V die Anzahl der Klöße, die die Großmutter, die Mutter, ich, erste Schwester, zweite Schwester und der Vater gegessen haben. Wegen 0 ≤ S1 , S2 < V gilt max{S1 , S2 } < V = 20 − G − M − I − S1 − S2 = 14 − S1 − S2 . Im für den Vater ungünstigsten Fall sind die Schwestern verfressen und verspeisen jede V − 1 Klöße. Dann gilt V ≥ 14 − 2(V − 1) = 16 − 2V , also 3V ≥ 16, was V ≥ 5.3̄, also V ≥ 6 impliziert, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 28 Lösung zu Aufgabe: Aus VEis = 12 11 VH2 O folgt VH2 O = 11 12 VEis , also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 29 Lösung zu Aufgabe: Die Innenwinkel der regelmäßigen Fünfecke betragen 108o . Adjazent zu jedem Fünfeck ist ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei identischen Winkeln von 72o und einer Ecke im Mittelpunkt. Der zugehörige Spitzen-Winkel beträgt 36o . Daher braucht Architekt vom Stein zehn Fünfecke, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 30 Lösung zu Aufgabe: Erstens 2 < x < 3 ⇒ 4 < 2x < 6, zweitens 2 < x ⇒ 4 < 2x < 3x sowie x < 3 ⇒ 3x < 9, drittens 2 < x ⇒ 8 < 4x sowie x < 3 ⇒ 4x < 12 < 15, viertens folgt aus 2 < x nicht notwendig 12 < 5x, etwa für x = 2.1 gilt 2 < x = 2.1 aber 12 6< 5x = 10.5, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 31 Lösung zu Aufgabe: Sei M ⊂ N die gesuchte Menge. Damit für m ∈ M auch 21 m ∈ N gilt, enthält M nur gerade Zahlen. Damit 12 m wieder zweistellig ist, muß 20 ≤ m gelten. Damit auch 2m zweistellig ist, muß m ≤ 48 gelten. Zusammen folgt M = {20, 22, 24, . . . , 48} = {2i : i = 10, 11, . . . , 24}, was |M | = 15 impliziert, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 32 Lösung zu Aufgabe: Die quadratischen Fliesen haben eine Seitenlänge von 1 LE. Das Muster E kann nicht entstehen: angenommen, der Mittelpunkt des Teppichs liege in der Mitte, im Schwerpunkt des 6 × 6 Fliesen-Gitters. Damit die Fliesen im äußersten Nord-Westen und im äußersten SüdOsten teilweise √ überdeckt werden, muß der Radius des Teppichs echt größer als 2 sein. Dann wären aber auch die fehlenden Eck-Fliesen überdeckt, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 33 Lösung zu Aufgabe: Sei f (x) = mx+b. Aus f (2013)−f (2003) = m(2013−2003) = 10m = 100 folgt m = 10. Daher gilt f (2031) − f (2013) = m(2031 − 2013) = 18m = 180, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 34 Lösung zu Aufgabe: x und y sind Zweier-Potenzen, etwa x = 2n und y = 2m . Aus x2 y 3 = x2n y 3m = 23 3 folgt 2n + 3m = 33. Diese diophantische Gleichung löst man, indem man zunächst die zugehörige homogene Gleichung 2n + 3m = 0 löst: Mit gcd(2, 3) = 1 folgt n = 3` und m = −2` für beliebiges ` ∈ Z. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist (n, m) = (0, 11). Damit ist L = {(n, m) = (0 + 3`, 11 − 2`) : ` ∈ Z} die Lösungsgesamtheit der inhomgenen Gleichung. Nun sind nur natürliche Lösungen gefragt, d.h. L ∩ N2 = {(n, m) = (0 + 3`, 11 − 2`) : 0 ≤ ` ≤ 5, ` ∈ N}, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 35 Lösung zu Aufgabe: Weil das Rechteck im vierten Quadranten liegt, sind die y-Koordinaten aller Eckpunkte negativ und die x-Koordinaten aller Eckpunkte positiv. Wegen xD < xC gilt Wegen xA < xB gilt Wegen yA < yD gilt Wegen yB < xC gilt also Antwort (c). yD xD yA xA yA xA yB xB = xyCD < xyCC . = xyBA < xyBB . = = yA xD yB xC < < yD xD . yC xC . Test beenden Lösungen der Aufgaben 36 Lösung zu Aufgabe: Sei p die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Wir unterstellen die Unabhängigkeit der (Lieferungen der) drei Pakete. Dann gibt es insgesamt 43 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, die drei Pakete den vier Familien zuzustellen. Dagegen gibt es für das erste Paket 4, für das zweite nur noch 3 und für das dritte 2 Möglichkeiten, wenn jede Familie nie mehr als ein Paket bekommen soll. Damit gilt 6 3 Test beenden p = 4·3·2 43 = 16 = 8 , also Antwort (c). Lösungen der Aufgaben 37 Lösung zu Aufgabe: Seien α die beiden identischen Winkel in ∆(AN C) und seien β die beiden identischen Winkel in ∆(BCM ). Dann gilt in ∆(CM N ) einerseits α + 43o + β = 180o . Andererseits gilt ∠(ACB) = α + β − 43o = 180o − 2 · 43o = 94o , also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 38 Lösung zu Aufgabe: Sei E der Platz von Eva und S derjenige von Silke. Dann gilt 101 − S = 2(E − 1) 2E + S = 103 und nach Umformen 101 − E = 3(S − 1) E + 3S = 104 mit der Lösung E = 41 und S = 21, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 39 Lösung zu Aufgabe: Die Funktion W (x) = (a − x)(b − x)2 hat offen sichtlich eine einfache Nullstelle in a und eine doppelte Nullstelle in b. Wegen a < b liegt die doppelte Nullstelle rechts von der einfachen. Also scheiden (b), (c) und (e) aus. Zudem ist -1 der Koeffizient von x3 . Also scheidet auch (d) aus. Es bleibt also nur Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 40 Lösung zu Aufgabe: Die Geraden, die Christina einzeichnet, müssen parallel zu jeweils einem Paar der Seiten des Rechtecks sein. Alle Abmessungen sind in cm gemessen. Gerade senkrecht zu 5 cm Seiten Rechteck sei 4 × 5. Abtrennen eines 4 × 4 Quadrates läßt einen Streifen von 4 cm2 übrig. Gerade senkrecht zu 5 cm Seiten Rechteck sei 2 × 5, 2 × 2 Quadrat von 4 cm2 abtrennen. Gerade senkrecht zu 5 cm Seiten Rechteck sei 1 × 5. Abtrennen eines 1 × 1 Quadrates läßt einen Streifen von 4 cm2 übrig. Gerade parallel zu 5 cm Seiten Rechteck sei 5 × 5.8. Abtrennen eines 5×5 Quadrates läßt einen Streifen von 5· 54 = 4 cm2 übrig. also Antwort (d). Test beenden 4 Lösungen der Aufgaben Känguru 2013 — Klassenstufen 41 u jedem des Würfels ABCDEF GH stelle ich mir 2013 Ebene vor, 4 Känguru — Klassenstufen 4 Eckpunkt 2013 —die Klassenstufen Lösung zu Aufgabe: Der Würfel sei derKänguru Einheitswürfel im ers-11 bis G ie die Eckpunkt drei zu diesem Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. 1 Zuten jedem des Würfels ABCDEF GH stelle ich mir die Ebene vor, 4 durch ~ Oktanten mit Mittel-/Schwerpunkt M = 2 (1, 1, 1). Zur Ecke G GH die durch drei zu diesem Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. umC4 Eckpunkt EEckpunkt gehört z. B. die Ebene durch A,Achsen-Abschnitten Fstelle und Ich Zu jedem des Würfels ABCDEF ich mir die Ebene vor, vor, Zudie jedem Eckpunkt des Würfels ABCDEF GH ichH. mir dieschneide Ebene C4 im Ursprung gehört die Ebene E GH mitstelle 1,H entlang also H Eckpunkt gehört z. B.diesem die Ebene durch A, F Würfel und H. Ich schneide entlang durch die drei zu diesem Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. die durch die drei zuDadurch Eckpunkt benachbarten Eckpunkte bestimmt ist. C ller Zum dieser Ebenen. zerfällt in mehrere Teilkörper. y acht x die zE 1der ~ E ~ + + = 1. Der Punkt P = (1, 1, 1) ∈ E zeigt, daß 0 und E gehört z.Dadurch B. z. dieB.Ebene durchdurch A, undF H. IchH. schneide entlang 1 Zum 1Eckpunkt 1 3 FWürfel Zum Eckpunkt E gehört die Ebene A, und Ich schneide entlang C aller dieser acht Ebenen. zerfällt der in mehrere Teilkörper. C Welche Gestalt hat der Teilkörper, der den Würfelmittelpunkt enthält? D ~ aller dieser acht Ebenen. Dadurch zerfällt der Würfel in Antwort mehrere Teilkörper. aller dieser Ebenen. Dadurch der was Würfel in enthält? mehrere Teilkörper. M auf verschiedenen Seiten von Ezerfällt liegen, e) ausschließt. Welche Gestalt hat acht der Teilkörper, der den Würfelmittelpunkt D D Welche Gestalt hat der der den enthält? Welche Gestalt hatTeilkörper, der Teilkörper, derWürfelmittelpunkt den Würfelmittelpunkt enthält? A Es (A) (A) (A) (A)(a) (B) (B) (B) (B) (b) (C) (C) (C) (c) (C) (D)(D) (d) (D)(D) Es bleibt n Es derb der Würfe der mit mittelpunk mitt übr (E (E ) übrig. (E )) übrig Bei jedem der acht entsteht hier eine weitere Seite 2= 22 = Wie viele Lösungen (x , y Schnitte ),wobei und reelle Zahlen sind, hat die Gleichung x 2des + yxx22very ?x 5 C5 Wie viele Lösungen xxx und Zahlen sind, hat die +xy + C5 Wie viele Lösungen ,wobei y ), wobei x yyund y reelle Zahlen sind, hat dieGleichung Gleichung Wie viele Lösungen (x(x, y, y),),(x wobei und yreelle reelle Zahlen sind, hat die Gleichung x=2 x+ bleibenden Polyeders. Damit scheiden Antworten a), b) und d) aus; (A) 1 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E ) unendlich (D)8 8 (A) 1 (A) 1 (B) 4 (B) 4 (C) (C) 6 6 (D) (E )) unen une also Antwort (c). Test (A)bleibt 1 (B) 4 (C) 6 (D) 8 beenden C6 Daniela untersucht eine Zahlenfolge, die mit a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, a4 = 10, a5 = 15, . . . begin C6 Daniela untersuchtZahlenfolge, eine Zahlenfolge, mit die mit =a1, a=2 = a= =10, 10,aa5 = = 15, ... 3 = 4= 6 Daniela untersucht a1 Zusammenhang =a1 1, 3, a3,3zwischen 6,6,a4aden 2 5 Daniela stellt fest,eine dass es für alle m, ndie ∈ N einen Gliedern a 15, , a . .u Daniela stellt fest,Zahlenfolge, es für alle die n ∈Na einen Zusammenhang zwischen den Gliedern m Daniela eine =groß 1, ist a2 a= 3, azwischen 10, a5 aa= Daniela stellt fest, dass esdass für alle m, n m, ∈ einen 1Zusammenhang 3 = 6, aden 4 =Gliedern auntersucht Es gilt am+n am + an N +mit mn. Wie m+na gibt.gibt. 100 ? Es nämlich gilt nämlich a= m+n m+n = am + an + mn. Wie groß ist a100 ? am+nstellt gibt. Es giltdass nämlich am+nalle = am, WieZusammenhang groß ist a100 ? Daniela fest, es für na∈ Nmn. einen zwischen den Gl m + n + (A) (A) 100 (B) 1000 (C) 2012 (D) 4950 (E ) 5050 (B) 1000 2012 (D)a 4950? (E ) 505 Es gilt100 nämlich + (C) mn. ist m+n gibt. 100 (A) 100 (B)am+n 1000= am + an(C) 2012 Wie groß(D) 4950 (E ) 505 m n In der Ebene seien mehrere Geraden gegeben. Die 1. Gerade schneidet genau 3 der anderen Gerad C7 C7 In der Ebene seien Die 1. Gerade schneidet (A) 100 (B)mehrere 1000 Geraden gegeben. (C) 2012 (D) genau 49503 der anderen DieEbene 2. Gerade schneidet genau 4 der anderen Geraden. Und dieschneidet 3. Gerade genau schneidet weder genau mehrere Geraden Die 1. Gerade 3 der anderen 7 In der Die 2.seien Gerade schneidet genau gegeben. 4 der anderen Geraden. Und die 3. Gerade schneidet weder noch genau 4 der anderen Geraden. Um wie viele Geraden handelt es sich insgesamt? noch genau 4 der anderen Um wie viele Geraden handelt es sich insgesamt? Die 2. Gerade schneidet genau 4Geraden. der anderen Geraden. Und die 3. Gerade schneidet wede Lösungen der Aufgaben 42 Lösung zu Aufgabe: Wenn man y als reellen Parameter auffaßt, entsteht eine quadratische q Gleichung in x mit Lösungen x1,2 = 12 ± 14 + y − y 2 . Auch wenn man nur an reellen Lösungen interessiert √ √ ist, gibt es reelle Lösungen (x1,2 (y), y) für 12 (1 − 2) ≤ y ≤ 12 (1 + 2). Wenn man x als reellen Parameter auffaßt, q entsteht eine quadratische Gleichung in y mit Lösungen y1,2 = 12 ± 14 + x − x2 . Auch wenn man nur an reellen Lösungen interessiert √ √ ist, gibt es reelle Lösungen (x, y1,2 (x)) für 21 (1 − 2) ≤ x ≤ 12 (1 + 2). Insgesamt gibt es unendlich viele Lösungen, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 43 Lösung zu Aufgabe: a10 = a5+5 = 2a5 + 25 = 55, a20 = a10+10 = 2a10 + 100 = 210, a40 = a20+20 = 2a10 + 400 = 820, a80 = a40+40 = 2a40 + 1600 = 3240, a100 = a80+20 = a20 + a80 + 1600 = 210 + 3240 + 1600 = 5050, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 44 Lösung zu Aufgabe: Es gibt mindestens n ≥ 5 Geraden. Ohne parallele Geraden würde sich jede Gerade mit n − 1 Geraden schneiden. Unterschiedliche Anzahlen von Schnitten implizieren also parallele Geraden. Fallunterscheidung je nach Anzahl jeweil zueinander paralleler Geraden zeigt, daß die Anforderung mit 5 Geraden nicht zu erfüllen ist: 5= #Schnitte 1+1+1+1+1 4 2+1+1+1 3, 4 2+2+1 3, 4 3+1+1 2, 4 3+2 2, 3 4+1 4, 1 Mit sechs Geraden dagegen geht’s: Die Geraden sind mit der Anzahl ihrer Schnitte etikettiert. Es gibt mindestens eine Gerade vom Typ der ersten, zweiten und dritten Geraden. also Antwort (b). 3 3 3 4 4 5 5 4 4 3 3 3 Test beenden Lösungen der Aufgaben 45 Lösung zu Aufgabe: Der Ursprung des (Kanten-parallelen) Koordinatensystems liege in A. D C M P N Q A B Da P auf y = 12 x und auf y = 1 − x liegt, gilt P = ( 32 , 13 ). 4 1 Da Q auf y = 41 x und auf y = 1 − x liegt, gilt Q = ( 5 , 5 ). 1 Ax Ay 1 0 0 4 1 4 1 1 1 5 1 Also gilt |∆| = 2 | 1 Qx Qy | = 2 | 1 5 5 | = 2 | 2 51 | = 3 3 1 Px Py 1 2 1 3 3 1 4 1 1 2 Test beenden 30 | 2 1 | = 30 = 15 , also Antwort (c). Lösungen der Aufgaben 46 Lösung zu Aufgabe: Antworten in schwarz sind zutreffend, solche in rot sind nicht zutreffend. Jan’s Antwort auf Renés Frage ’Seid ihr beide Gutlinge?’ Jörg \ Jan Bösling Gutling Bösling ja ja Gutling nein ja läßt die wahre Rollenzuordnung angeblich (noch) nicht erkennen. Sie kann nicht ’nein’ gewesen sein, weil sonst die Rollenzuordnung klar gewesen wäre. René weiß: non(Jan=gut&Jörg=bös) Jörgs Antwort auf Renés Frage ’Ist Jan ein Gutling?’ Jörg \ Jan Bösling Gutling Bösling ja nein Gutling nein ja liefert laut Vorgabe René die wahre Rollenzuordnung: also muß Jörg mit ’nein’ geantwortet haben, was nur im Zustand Jan=bös&Jörg=gut möglich ist; also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 47 Lösung zu Aufgabe: s.a. http://www.onlinemathe.de/forum/fixpunktfreie-Permutation also Antwort (b). Test beenden