Aharonov-Bohm-Effekt Grewan Hassan Quantenmechanisches

Aharonov-Bohm-Effekt
Grewan Hassan
Quantenmechanisches Seminar
bei Prof. Dr. Georg Wolschin
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
11. November 2016
Abstract:
Bei einem Doppelspaltexperiment ist eine Änderung des Interferenzmusters von
Elektronen durch ein abgeschirmtes Magnetfeld zusehen. Da in der klassischen Elektrodynamik die
Beschreibung eines Teilchens nur durch die Behandlung der Teilchennatur erfolgt, ist der AB-Effekt
klassisch nicht zu erklären. Indem wir aber das Problem durch das Potential des Feldes quantenmechanisch behandeln, ergibt sich als Erklärung eine Phasenverschiebung des Interferenzmusters
bei ein- und ausgeschaltete Spule.
1
Einleitung
Wir bauen vor einer Elektronenquelle ein Doppelspalt auf, zwischen der wir eine sehr lange
Spule platzieren (Abbildung 1). Aufgrund der
Länge der Spule ist ein Magnetfeld im Raum der
Elektronen ausgeschlossen. Dennoch ergibt sich
eine Interferenzen Verschiebung, beim Vergleichen
der Bilder vom Schirm, für die ein- und ausgeschaltete Spule. Dieses Phänomen beobachteten
Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday schon
1949. Sie stellten das Experiment in einer Publikation über einen Brechungsindex in der Elektronenoptik vor und erkannten die große Wichtigkeit
des Vektorpotentials für eine Lösung des Problems. Die theoretische Erklärung gelang jedoch
erst 1959 David Bohm und seinem Doktorand
Yakir Aharonov, mit die wir uns in dieser Ar-
beit hauptsässlich beschäftigen werden. Die experimentelle Bestätigung gelang schon ein Jahr
später Robert G. Chambers. Da dieser, wie
von Bohm und Aharonov vorgeschlagen, eine sehr
lange Spule benutzte, war der Nachweis nicht
völlig eindeutig. Erst durch Supraleiter gelang
es dem japanischen Physiker Akira Tonomura
1986 eine völlige Abschirmung des Magnetfeldes
vom Feldbereich der Elektronen und somit den
endgültigen Nachweis. Dabei gelang er auch auf
einen interessanten Zusammenhang zwischen den
AB-Effekt und dem magnetischen Fluss, nämlich
dessen Quantisierung. Diesen Zusammenhang und
das Experiment von Tonomura werden wir uns
beides ebenso genauer anschauen. An dieser Stelle
sei erwähnt, dass der AB-Effekt auch für elektrische Felder existiert. Wir konzentrieren uns
aber in dieser Arbeit nur auf den magnetischen.
Nachweis des AB-Effekt unverzichtbar. Einen ersten Ansatz um den Hamiltonoperator im Aus~ und Φ herzuleiten ist die identität
druck von A
Ĥ = T̂ + V̂ . Dazu betrachten wir die im elektromagnetischen Feld auf ein geladenes Teilchen
wirkende Lorentzkraft
~ + ~v × B).
~
F~L = q(E
Geometrie des magnetischen AharonovBohm Effekts [6]
(3)
Figure 1:
2
Denn für konservative Kräfte existiert ein Skalarpotential V mit F~L = gradV . Mit der kinetischen
Energie
X mi
T =
ẋi 2
(4)
2
i
Klassische Elektrodynamik
Wir wollen in diesem Abschnitt erstmal die
Konzepte aus der klassischen Physik vorbereiten.
in kartesischen Koordinaten unter der Anwendung des Korrespondenzprinzips hätten wir so
einen Ausdruck für den Hamiltonoperator. Die
2.1
Kurze Erinnerung zum mag- Lorentzkraft ist jedoch im Allgemeinen keine konservative Kraft, denn
netischen Potential
I
I
~ + ~v × B)d~
~ r
Aus der Elektrodynamik wissen wir, dass die DiF~L d~r =
q(E
W =
C
C
vergenz eines magnetischen Feldes verschwindet.
I
Z
´~ ~
´~
Darum muss es ein Potential geben, mit der wir
~ × Ed
∇
F
=
q Ed~
r=1 q
~
das B-Feld
ausdrücken können als
C
F
Z
´~ ~
= −q
∂t Bd
F = −q Φ̇ 6= 0.
(5)
~ =∇
~ × A.
~
B
(1)
F
Dieser ist jedoch nicht Eindeutig, denn transformieren wir das gefundene Potential durch die
Addition des Gradienten eines Skalarfeldes
´~
~→A
~ + gradΛ
A
=A
Es bleibt uns also nichts anderes übrig, als den
Hamiltonoperator ganz allgemein herzuleiten.
2.3
(2)
Was wir hier machen wollen, ist als erstes
die Hamiltonfunktion aufzustellen und durch
den Korrespondenzprinzips den Hamiltonoperator
herzuleiten. Für die Hamiltonfunktion stellen wir
als Erstes die Lagrangefunktion L(~q, ~q˙ , t) = T − U
auf. Wobei T wieder (in kartesischen Koordinaten
~q ≡ ~x) unsere kinetische Energie aus der Gleichung
(4) ist und U das verallgemeinerte Potential. Mit
der Lagrangegleichung zweiter Art
~ = 0 immer noch erfüllt.
ist die Bedingungen div B
Man sagt ”Das magnetische Feld bleibt unter der
Eichtransformation des Potentials invariant.
Obwohl in der klassischen Elektrodynamik das Potential nur als Hilfsgrößen auftauchen, ist dort darauf die gesamte Physik aufgebaut.
2.2
Hamiltonoperator
Lorentzkraft
Was wäre die Quantenmechanik ohne den
Hamiltonoperator? Dieser ist für den späteren
d
dt
∂L
∂ ẋi
−
∂L
=0
∂xi
(6)
1 Der Schritt hier erfolgt durch die Anwendung des Satz vom Stokes und der nächstfolgender durch das Induktions~ = ∂t B.
~
gesetz von Maxwell rotE
2
sind allgemein die (nicht konservativen) generalisierten Kräfte gegeben durch
d ∂U
∂U
F~i =
−
.
(7)
dt ∂ ẋi
∂xi
dass das Vektorpotential auerhalb einer unendlich langen Spule nicht verschwindet und uns
die Schrödingergleichung unter Eichtransformation anschauen.
Hierbei sei anzumerken, dass ein ”gewöhnliches”
Potential V ebenso die Bedingung für das verallgemeinerte Potential U erfüllt.
Der Unterschied ist, dass U alle möglichen Arten
von Potentialen erlaubt, wie beispielsweise
geschwindigkeitsabhängige. Die Lagrangefunktion ist dann gefunden, wenn wir ein U finden,
dass die Lorentzkraft liefert. Eine Altbewährte
Methode für die Lösung solch eines Problems ist
das erraten des Potentials mit
3.1
~
U = q(Φ − ~x˙ A).
Vektorpotential außerhalb
einer unendlich langen Spule
Figure 2:
Ein einfach zusammenhängendes Gebiet
(8) außerhalb einer unendlichen langen Spule [6]
Wir wenden die Legendre-Transformation
Wir schauen uns für eine unendlich langen Spule
(Abbildung 2, links) zunächst den Fall der
L(~x, ~x˙ , t) → H(~x, ~x˙ , t) = ~x˙ p − L
(9) eingeschalteten Spule an. Dieser erzeugt im in∂L
auf unsere gefundene Lagrangefunk- neren ein konstantes Magnetfeld
mit pi := ∂x
i
tion an und erhalten die Hamiltonfunktion
~ in = ∇
~ ×A
~ in := B0 e~z ,
B
(12)
1
~ 2 + xΦ.
H=
(~
p − xA)
(10) definiert in Richtung der Spulenachse. Aufgrund
2m
der Länge der Spule können wir das Magnetfeld
außerhalb der Spule als verschwindent ansehen
Durch das Korrespondenzprinzips können wir
diese in den gesuchten Hamiltonoperator, für ein
Teilchen mit Ladung q, als
2
1
h̄ ~
~ + qΦ
Ĥ =
∇ − qA
(11)
2m i
~ out = ∇
~ ×A
~ out = 0.
B
(13)
Mit der Verwendung des Satz vom Stokes und
der Annahme der stetig Differenzierbarkeit des
Vektorpotentials ergibt sich für den magnetischen
Fluss um die Spule (r > 0)
umschreiben. In der Quantenmechanik ist die
I
Z
Energie durch die Anwendung des Hamiltonop~ in d~r =
~ ×A
~ in dF~
Φ =
A
∇
erators gegeben. Diese hängt, wie in Gleichung
C
F
Z
(11) sehr schön zu sehen ist, von unserem Vek~ in dF~ = B0 πr2 6= 0.
=
B
(14)
tor und Skalarpotential ab. Das ist der nächste
F
Hinweis darauf, dass die entschiedenen größen zur
Das ist der entschiedene Punkt, weshalb es zu der,
Beschreibung eines Systems die Potentiale sind.
in der Einleitung genannten, Phasenverschiebung
kommt. Denn durch das nicht verschwinden des
3
Quantenmechanische
Flusses wirkt noch ein Vektorpotential außerhalb
~
der Spule obwohl das B-Felds
dort verschwindet.
Erklärung
Allgemeiner kann gezeigt werden, dass der Fluss
nur für ein einfach zusammenhängendes Gebiet
Bevor wir uns auf die Erklärung der Phasen- verschwindet. Ausßerhalb der Spule trifft man ofverschiebung stürzen, wollen wir noch zeigen, fensichtlich nur auf solche Gebiete (Abbildung 2,
3
3.3
rechts), mit dem Magnetfeld (13). Dann ist dort
~ out durch den Gradienten eines Skalarfeldes Λ
A
darstellbar
~ out = gradΛ
A
Z
mit
(15)
~ out d~r.
A
(16)
Herleitung
schiebung
der
Phasenver-
x
Λ(x) :=
x0
~ = ∇×
~ A
~
Betrachten wir uns nun das Magnetfeld B
für die ausgeschaltete Spule an, folgt aus der Eich~
Figure 3: Das einfach zusammenhängende Gebiet eines
invarianz des B-Felds
(2)
Einzelspalts [6]
´~
~ + gradΛ = A
~+A
~ out .
A
=A
(17)
Für die Lösung des Aharonov-Bohm-Effekts
wollen wir die Beziehung der ein- und ausgeschalteten Spule (17) ausnutzen. Die dazu benötigte
Bedingung eines einfach zusammenhängenden Gebiest ist, wegen der Spule2 (Abbildung 1) nicht
mehr erfüllt. Diesen Problem können wir aber
einfach entgehen, indem wir uns die Gesamtdynamik eines Elektrons (ψ(~x)) separat anschauen,
erst durch den einen Spalt (ψ1 (~x)) und dann durch
den anderen (ψ2 (~x)). Die gesamt Wellenfunktion
erhalten wird dann durch lineare Superposition
Die Vektorpotentiale der an- und ausgeschalteten
Spule gehen also durch die Eichtransformation ineinander über. Dies ist ein guter Grund, um
sich den Hamiltonoperator (11) (angewendet auf
die Wellenfunktion eines Punktteilchens) unter der
Eichtransformation genauer anzuschauen.
3.2
Schrödingergleichung
Eichtransformation
unter
Für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen
Feld lautet die Schrödingergleichung
∂
Ĥψ = ih̄ ψ
∂t
,
ψB = ψ1,B + ψ2,B
(21)
für das eingeschaltete Magnetfeld und für das aus(18) geschalteten
ψ0 = ψ1,0 + ψ2,0 .
(22)
wobei Ĥ der Hamiltonoperator aus (11) ist. Wenden wir die Eichtransformation (2) auf dessen Po- Wie man in Abbildung 3 sehen kann, exemplarisch
´~
´
~ Φ) → Ĥ
Φ́) an, für den oberen Spalt, ergibt sich durch verdecken
tential entsprechend Ĥ(A,
= Ĥ(A,
eines Spalts, ein einfach zusammenhángendes Geergibt sich für die Schrödingergleichung
biet (insbesondere für den graugefärbte Bereich).
Somit dürfen wir die beiden obigen Wellenfunk∂
´
Ĥ ψ́ = ih̄ ψ́.
(19) tionen durch die Transformation (20) ineinander
∂t
überführen
Offensichtlich erhalten wir durch ψ́ = ψexp(i h̄q Λ)
q
ψ1,B = ψ1,0 exp(i Λ)
eine Lösung dafür, mit der Transformation
h̄ Z
q
´~
q
= ψ1,0 exp(i
Ad~
r).
(23)
(20)
ψ → ψ́ = ψexp(i Λ).
h̄
s1
h̄
2 Genaugenomen muss die Schrödingergleichung über das ganzen Feld, indem sich die von der Quelle versendeten Elektronen aufhalten können, gelöst werden. Da aber die Spule nicht zum Aufenthaltsort dieser Elektronen gehört, ergibt sich
ein nicht einfach zusammenhn̈gendes Feldgebiet. Man stelle sich vereinfacht die Spule als ein Loch im Aufenthaltsraum
der Elektronen vor.
4
Analog ergibt sich beim betrachten des unteren 4
Experimentelle Bestätigung
Einzelspalts
Z
q
´~
ψ2,B = ψ2,0 exp(i
Ad~
r).
(24) Akira Tonomura gelang 1986, durch völlige Abh̄ s2
schirmung des Magnetfeldes vom Feldbereich der
Elektronen, den eindeutigen Beweis für den ABDurch die Superposition der beiden Gleichungen
Effekt.
erhalten wir eine Lösung für den Doppelspalt mit
eingeschalteter Spule
ψB = ψ1,B + ψ2,B ,
mit
k := i
q
h̄
4.1
Das Experiment von Tonomura
Z
=
=
=
=
=
=
Z
´~
´~
ψ1,0 exp(k
Ad~r) + ψ2,0 exp(k
Ad~
r)
s
s
2 Z
Z1
´~
´~
ψ1,0 exp(k
Ad~
r) + ψ2,0 exp(k
Ad~
r)
s1 −s2
s2
I
Z
´~
´~
ψ1,0 exp(k
Ad~
r) + ψ2,0 exp(k
Ad~
r)
C
s2
Z
Z
´~ ~
´~
~ × Ad
∇
F ) + ψ2,0 exp(k
Ad~
r)
ψ1,0 exp(k
F
s2
Z
Z
´~
´~ ~
Ad~
r)
Bd
F ) + ψ2,0 exp(k
ψ1,0 exp(k
F
s2
Z
h
i
q
q
´~
ψ1,0 exp(i Φ) + ψ2,0 exp(i
Ad~
r)
h̄
h̄ s2
Durch das Betragsquadrat unsere Lösung erhalten
wir die Intensität auf dem Schirm als
q
(25) Figure 4: Schematischer Versuchaufbau von Tonomura
|ψB |2 = |ψ1,0 exp(i Φ) + ψ2,0 |2 .
h̄
[4]
Vergleichen wir dies mit der Intensität der ausBeim Experiment benutzt man ein torodialer
geschalteten Spule
Magnet (Abbildung 4) das mit µ-Metall umhüllt
|ψ0 |2 = |ψ1,0 + ψ2,0 |2
(26) ist. Dieses Metall besitzt die Eigenschaft Supraleierkennt man als Unterschied die gesuchte Phasen- tend zu werden. Dafür muss diese unter der
für ihn charakteristischen Sprungtemperatur Tc
verschiebung von Aharonov-Bohm
abgekühlt werden, sodass sich aus den frei beq
∆ϕ = Φ.
(27) weglichen Elektronen im Metallgitter Cooperh̄
Paare bilden. Wegen dem Meissner-Effekt kann
Durch das nicht verschwinden des magnetischen so das eingeschlossene Magnetfeld nicht nach
Flusses ergibt sich also eine Phasenverschiebung. außen dringen. Für den Nachweis der PhasenverAnders ausgedrückt erfahren die Elektronen we- schiebung platziert man zwei Elektronenstrahler
gen dem Kräftefreiem Raum außerhalb der Spule auf derselben Höhe und lässt sie gleichzeitig
zwar keine Ablenkung, aber es kommt aufgrund starten. Den einen Strahl (e1 ) schickte man
der Wirkung des Vektorpotentials zu einer Ver- durch den Ring und den anderen (e2 ) außerhalb
schiebung des Interferenzbilds. Das Potential ist (so abgeschirmt, dass dieser weder ein Magnetalso für die Bewegung des Teilchens maßgebend. feld noch ein Potentialfeld spürt). Wegen der
5
völligen Abschirmung des Magneten verspürt e1
ebenso kein Feld. Jedoch verschwindet nach (14)
der Fluss um den Ring, insbesondere im dessen
Hohlraum, nicht. Dies fürt zu der in der Abbildung 4 gekennzeichneten Phasenverschiebung.
Um einen Interferenzbild zu bekommen, lässt man
die beiden Anfangsstrahlen jeweils mit Referenzstrahl interferieren. Die Originalaufnahme von
Tonomura in Abbildung 5 zeigt eine eindeutige
Phasenverschiebung der beiden Strahlen.
Wegen der Eindeutigkeit der Wellenfunktion ψB
muss der Exponent ein Vielfaches von 2πi ergeben,
womit Folgt
I
h̄
!
~ r = ΦB =
Ad~
( π)n := Φ0 n, n = 0, ±1, ...
e
C
(30)
Der magnetische Fluss ist Quantisiert. Also ist
die AB-Phasenverschiebung ∆ϕ = 2e
h̄ ΦB = πn
durch die Anzahl der vom Magneten erzeugten
Flussquanten Φ0 bestimmt.
References
[1] Y. Aharonov, D. Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in Quantum Theory.
The Physical Review, 1959, Vol. 115 No. 3,
p. 485-491
Figure 5: Interferenzbild von Tonomuras Experiment
[3]
4.2
[2] W. Ehrenberg und R. E. Siday, The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics, Proceedings of Physical
Society, 194
Flußquantisierung
Wir schauen uns jetzt die Cooper-Paare im µMetall etwas genauer an. Diese bewegen sich
offensichtlich in einem feldfreien Gebiet.
In
dieser lässt sich sicherlich auch ein einfach zusammenhängendes Teilgebiet (Abbildung 4) finden,
indem sich ein Cooper-Paare bewegt. Für die
Beschreibung so eines Paares können wir die
Transformationsgleichung (20) benutzen. Sei also
die Wellenfunktion für ein Cooper-Paare (q = 2e)
ohne Feld durch ψ0 gegeben, dann lautet sie mit
Feld
Z
2e x ~
ψB (~x) = ψ0 (~x)exp(i
Ad~r).
(28)
h̄ x0
[3] Akira Tonomura et al.:
Evidence of
Aharonov-Bohm Effect with Magnetic Field
Completely Shielded from Electron Wave.
Physical Review Letters, 1986, Band 56 Number 8, p. 792-795
[4] Nobuyuki Osakabe et al.: Experimental confirmation of Aharonov-Bohm effect using a
toroidal magnetic field confined by a superconductor. Physical Review Letters, 1986,
Band 34 Number 2, p. 814-822
[5] Chambers: Shift of an Electron Interference
Pattern by Enclosed Magnetic Flux. Physical
Review Letters, 1960, Band 5, p. 3-5
Das Vektorpotential hierbei ist so gewählt, dass
~ = 0. Somit verschwindet dieser für
gilt rotA
H
~ r = 0). Der maggeschlossene Kurven ( Ad~
R
H
~ F~ =
~ r) vernetische Fluss (ΦB = F rotAd
Ad~
C
schwindet nach (14) jedoch entlang des Weges C
nicht3 . Für einen geschlossenen Weg um den Ring
muss also gelten
I
2e
!
~ r).
Ad~
(29)
ψ0 = ψB = ψ0 exp(i
h̄ C
3 Da
[6] F. Schwabl, Quantenmechanik, S.145-155,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2007),
ISBN 978-3-540-73674-5
[7] Wikipedia
Aharonov-Bohm
effect,
https://en.wikipedia.org/wiki/AharonovBohm effect, aufgerufen am 9.11.2016
sich die Kurve, wegen dem Hohlraum des Rings, nicht einfach zusammenziehen lässt.
6