a(t)

Zur Erinnerung
Grundgrößen: Länge, Zeit, Masse
(Temperatur, Stoffmenge, Stromstärke)
Zeit-Standard
(festgelegt durch „Atomuhr“ = Cs-System)
Längen-Standard
mit „Trick“ an Zeit-Standard angekoppelt
Masse-Standard (noch: mechanischer Prototyp)
zukünftig: atomphysikalischer Standard
Einheiten und Dimension bezeichnet die physikalische Natur einer
Dimension: Größe
Fehlerrechnung: Systematischer Fehler <> Statistischer Fehler
Mittelwert, Varianz, Standardabweichung,
Normierte Gaussfunktion, …
Experimentalphysik I SS 2011
2-1
1.8 Messgenauigkeit und Messfehler
Jede Messung ist mit Fehlern behaftet!
Systematischer Fehler: Falsche Eichung, äußere Einflüsse, …
Statistischer Fehler: Messwerte schwanken um Mittelwert
Mittelwert:
Experimentalphysik I SS 2011
1
1 n
x  ( x1  ...  xn )   xi
n
n i 1
lim x  xw
n 
2-2
1.8 Messgenauigkeit und Messfehler
1. Wie genau ist der Mittelwert?
2. Wie genau ist die Einzelmessung?
Maß für die Streuung:
x  xi ?
nein, aber
x  x 


 x  xi 2  0
2
Varianz:  2
Standardabweichung:  
i
n 1
Maß für die Zuverlässigkeit von xi
2


x

x

i
n 1
68% aller Messwerte liegen zwischen x   und x  
Standardabweichung
des Mittelwertes:  m 
Experimentalphysik I SS 2011
2


x

x

i
n(n  1)
2-3
1.8 Messgenauigkeit und Messfehler
Normalverteilung: Nur statistische Fehler
Wahrer Wert
xw
Messwert
x
Standardabweichung

Wahrscheinlichkeit, den Wert x zu messen:
Normierte
Gaußfunktion:
f ( x) 
Wahrer Wert im
Intervall:
x 
x  2
x  3
Experimentalphysik I SS 2011
1
2
2
e

( x  xw ) 2
2 2
 f ( x)dx  1
68%
95%
99,7%
2-4
1.8 Messgenauigkeit und Messfehler
Fehlerfortpflanzung: Mathematische Ergänzungen,
Anfängerpraktikum
Experimentalphysik I SS 2011
2-5
2. Mechanik eines Massenpunktes
Modell: Geeignetes Modell für viele Vorgänge (in der MakroPhysik)
Oft: Bewegung des Schwerpunktes (SP) eines Objektes
betrachtet (so als ob Gesamtmasse im SP vereinigt)
d.h. Ausdehnung des Objektes spielt keine Rolle
Beispiel: freier Fall: Ausdehnung und Gestalt des Körpers spielen keine
Rolle >> der Körper verhält sich wie ein Massenpunkt
Gegenbeispiel: Körper im Wasser: Reibung hängt von der Form ab
Beschreibung von: Kraft, Impuls, Energie: s(t), v(t), a(t)
Jedoch nicht: Drehmoment, Drehimpuls: ausgedehnter starrer Körper,
Elastizität, Kompressibilität: ausged. elastischer Körper,
Druck, Temperatur: ausgedehnte Vielteilchen-Systeme
Experimentalphysik I SS 2011
2-6
Schreibweisen
Vektorielle Größen: r, Fettdruck heißt: vektorielle Größe
r  (rx , ry , rz )  ( x, y, z )
Erste Ableitung: v  r
r(t ) 
dr (t )
dt
Geschwindigkeit
erste Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit t
d 2 r (t )
Zweite Ableitung: a  v  r r(t ) 
dt
Beschleunigung
zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit t
Experimentalphysik I SS 2011
2-7
Lage eines Massenpunktes im Raum
Beschrieben durch geeignetes Koordinatensystem
Kartesische
Koordinaten:
P  P( x, y, z )
Kugelkoordinaten:
P  P ( r , ,  )
Zylinderkoordinaten:
P  P( r ,  , z )
Bahnkurve: Bewegung des Massenpunktes:
Beschrieben durch die Abhängigkeit der Koordinaten von
der Zeit
Bsp. für kartesische
Koordinaten:
x(t ) 

y (t ) r (t )   x(t ), y (t ), z (t ) 
z (t ) 
Ortsvektor r (t ) beschreibt die Bahnkurve
Experimentalphysik I SS 2011
2-8
Bahnkurve
Komponenten: x  x (t )
y  y (t )
z  z (t )
Bahnkurve
Experimentalphysik I SS 2011
r (t )  ( x(t ), y(t ), z (t ))
2-9
Bahnkurve
1-dim. Bewegung:
x
xmin
0
xmax
x
xmax
Bahnkurve:
t
xmin
Experimentalphysik I SS 2011
2-10
Bahnkurve
1-dim. Bewegung:
x
xmin
0
xmax
x
xmax
Bahnkurve:
t
xmin
Experimentalphysik I SS 2011
2-11
Kartesische Koordinaten
x, y, z: Durch seine Komponenten
x,y,z ist der Massenpunkt
im Raum (d.h. sein Vektor)
eindeutig bestimmt.
Komponentendarstellung:
r  ( x, y, z )
r 2  x2  y2  z 2
r
gilt nicht nur für
Ortsvektoren:
v  (v x , v y , v z )
Einheitsvektoren: = ein Vektor der Länge 1 (d.h. r 2  x 2  y 2  z 2  1), eˆ  r / r
Koordinatenachsen: eˆ1  (1,0,0),
eˆ2  (0,1,0), eˆ3  (0,0,1)
eˆi  eˆ j  0
falls i ≠ j (Skalarprodukt)
r  x  eˆ1  y  eˆ2  z  eˆ3
Experimentalphysik I SS 2011
2-12
Kugelkoordinaten
r, θ, ϕ : auch sphärische Polarkoordinaten
P  P ( r , ,  )
wobei:
x  r  sin   cos
y  r  sin   sin 
z  r  cos
Experimentalphysik I SS 2011
2-13
Zylinderkoordinaten
r, ϕ, z :
P  P(  ,  , z )
wobei:
x    cos 
y    sin 
zz
Experimentalphysik I SS 2011
2-14
Vergleich verschiedener Koordinaten-Systeme
z
karthesische K.
(x, y, z)
r
Zylinder - K.

P
y
R
(r, z, )
zP zP
xP
Kugel - K.
 
(R, , )
yP
x
Experimentalphysik I SS 2011
2-15
Weg-Zeit-Funktion
Bewegungen von Massenpunkten lassen sich
mathematisch beschreiben, indem die Ortskoordinaten
des Punktes im gewählten Koordinatensystem als Funktion
der Zeit angegeben werden.
Aber:
Bezugssystem: Angabe des Bezugssystems ist wichtig:
Die Form der Bahnkurve hängt von der Wahl des Bezugsund des Koordinatensystems ab!
Bsp.: Welche Bahn beschreibt die Fußspitze eines Fahrradfahrers, wenn
als Bezugssystem
a) das Fahrradpedal, b) das Fahrrad, c) die Straße gewählt wird?
Zykloide
Experimentalphysik I SS 2011
2-16
Geschwindigkeit
Mittlere
Geschwindigkeit:
Einheiten:
t + t
t
Bewegung eines
Massenpunktes:
v 
r r (t  t )  r (t )

t
t
v   m  m  s 1
s
Momentane
r (t  t )  r (t ) dr
Geschwindigkeit: v  lim

 r
t 0
t
dt
Geschwindigkeit ist gleich der 1. zeitlichen Ableitung der
Weg-Zeitfunktion
Experimentalphysik I SS 2011
2-17
Beschleunigung
Mittlere
Beschleunigung:
Einheiten:
a 
v v (t  t )  v (t )

t
t
a   m2  m  s 2
s
Momentane
v (t  t )  v (t ) dv

 v
Beschleunigung: a  lim
t 0
t
dt
Beschleunigung ist gleich der 1. zeitlichen Ableitung der
Geschwindigkeit und ist gleich der 2. zeitlichen Ableitung
der Weg-Zeitfunktion
Komponenten: a (t )  (ax (t ), a y (t ), az (t ))  ax (t )  eˆ x  a y (t )  eˆ y  az (t )  eˆ z
a (t )  (vx (t ), v y (t ), vz (t ))  ( xx (t ), yy (t ), zz (t ))  r(t)
Experimentalphysik I SS 2011
2-18
Gleichförmig gradlinige Bewegung
v = konstant:  a  0
v (t )  r(t ) 
dr (t )
dt
t
Bahnkurve durch Integration:
r (t )   v (t )dt  v  t  c  v  t  r0
0
Anfangsbedingungen
Kartesische
Koordinaten:
x(t )  x0  vx t
y (t )  y0  v y t
z (t )  z0  vz t
Experimentalphysik I SS 2011
2-19
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
a = konstant
Differentialgleichung: a (t )  v (t )  r(t ) 
a x (t )  x(t )
2
d r
dt 2
a y (t )  y(t )
a z (t )  z(t )
t

Integration: v (t )  a (t )dt  a  t  c1  a  t  v 0
0
t
1
1
r (t )   v (t )dt  a  t 2  v 0  t  c2  a  t 2  v 0  t  r0
2
2
0
1 2
a x t  v0 x t  x0 ;
2
1
y (t )  a y t 2  v0 y t  y0 ;
2
1
z (t )  a z t 2  v0 z t  z0 ;
2
Vektorgleichung: x(t ) 
Unabhängigkeitsprinzip
Experimentalphysik I SS 2011
Die Bewegungen in x,y,z
überlagern sich ungestört,
d.h. der Massenpunkt erreicht denselben Ort, als
ob die Bewegungen in
beliebiger
Reihenfolge
nacheinander durchgeführt
worden wären.
2-20
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
a
a  const.
a-t-Diagramm:
t
v-t-Diagramm:
v
v  at  v0
v0
t
x-t-Diagramm:
x
v0
x0
Experimentalphysik I SS 2011
1
x  at 2  v0t  x0
2
t
2-21
Freier Fall
Beschleunigung a  (a z ,0,0)
ax  a y  0
a z   g  9.81 ms 2
Anfangsbedingung: vx (t  0)  v y (t  0)  vz (t  0)  0
Geschwindigkeit: vz (t )   gt
1
2
2h
z
(
t

t
)

0

t

Fallzeit:
F
F
g
2
Ortsabhängigkeit: z (t )   gt  h
Endgeschwindigkeit: vz (t  t F )   g
2h
  2hg
g
Fallzeit und Endgeschwindigkeit sind unabhängig
von der Masse und der Form des Körpers (sofern
der Luftwiderstand vernachlässigt wird!)
Experimentalphysik I SS 2011
2-22
Vertikaler Wurf
Anfangsbedingung: a  (a z ,0,0)
ax  a y  0
a z   g  9.81 ms 2
vx (t  0)  v y (t  0)  0
z
v0  gt  vz (t )  0
vz (t  0)  v0
Geschwindigkeit: vz (t )  v0  gt
1 2
z
(
t
)

v
t

gt  h
Ortsabhängigkeit:
0
2
v0
h
z=0
Experimentalphysik I SS 2011
2-23
Schiefer Wurf (1)
Anfangsbedingung:
x(t  0)  y (t  0)  0 z (t  0)  h
vx (t  0)  v0 x vz (t  0)  v0 z v y (t  0)  0
Bewegungsgleichungen in x, y, z lösen:
x(t )  v0 xt
1
y (t )  0 z (t )  v0 z  t  gt 2  h
2
Form der Bahnkurve?
z (t )  z ( x) durch Einsetzen von
Bahnkurve: z ( x)  
x
v0 x
1 g 2 v0 z
x 
xh
2
2 v0 x
v0 x
Scheitelpunkt: Def.: vz (t  t S )  0
1 v02z
z (t S ) 
h
2 g
Experimentalphysik I SS 2011
t
vz (t S )  v0 z  gt S  0  t S 
x(t S )  v0 z
v0 z
g
v0 x
g
2-24
Schiefer Wurf (2)
Bahnkurve:
z ( x)  
1 g 2 v0 z
x 
xh
2
2 v0 x
v0 x
Größte Wurfweite: Bedingungen: z ( xw )  0 und
v0 z
1 g
x

w
2 v02x
v0 x

xw 
h0
2v0 z  v0 x
g
v02  2  sin  cos 0 x
xw 
g
v02  sin 2
xw 
g
dxw
dxw

0

 ...  cos 2
Maximum:
d
d
   45
Experimentalphysik I SS 2011
2-25
Schiefer Wurf (3)
Freier Fall
<>
horizontaler Wurf
Anfangsbedingungen:
z (t  0)  h x(t  0)  0 v  (v0 x ,0,0) a  (0,0, g )
Freier Fall
Horizontaler Wurf
z-Komp.
x-Komp
1
z (t )   gt 2  h
2
1 2
1 2
x
(
t
)

at  v0 x t  x0
z (t )   gt  h
2
2
x(t )  v0 xt
t Fall 
Experimentalphysik I SS 2011
2h
g
t End 
2h
g
2-26