Kurvendiskussionen (mit Integral)

Mathematik FOS
Kurvendiskussion mit Integral
Lernaufgabe 5: Kurvendiskussionen
Schauen Sie nur dann in der Lösung nach, wenn es wirklich nicht anders geht.
5.1. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
f(x) =
1
4
3
x -x -
4
3
2
x + 5x , x ∈ [ -3 ; 5 ]
2
Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion von f durch, indem sie
1. den Verlauf der Funktion und den y-Achsenabschnitt beschreiben,
2. die Wendepunkte berechnen,
3. die Extremwerte berechnen,
4. die Nullstellen berechnen,
5. eine Skizze der Funktion und der 1.Ableitung anfertigen.
6. Wenn Sie die Integraleinführung bereits nachvollzogen haben, berechnen Sie die Fläche
zwischen Kurve und x-Achse oberhalb der x-Achse.
Hinweise:
Berechnen Sie in den Wendepunkten auch die Steigung (der Wendetangenten).
Zu 3. Eine der Extremstellen ist eine natürliche Zahl, Polynomdivision.
Zu 4. Nachdem Sie x ausgeklammert haben ist eine weitere Nullstelle durch Probieren leicht zu
finden. Machen Sie dann eine Polynomdivision .
5.2.
Genau so
f(x) =
3
1 3 3 2
11
x – x x+
2
4
4
2
x ∈ [ -2,2 ; 3,3 ]
Berechnen hierzu aber die gesamte Fläche zwischen Kurve und x-Achse.
Hinweise:
Beim Wendepunkt bereits auf Nullstellen achten !
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Kurvendiskussion mit Integral
Lösung zu 5.1.:
5. Skizze:
6.
Integral:
Die Fläche ist 3,6 FE groß.
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Kurvendiskussion mit Integral
Lösung zu 5.2.:
5. Skizze:
6. Integral:
F(x) =
1 4 1 3 11 2 3
x - x +
x + x+C
4
2
8
8
3
 f ( x )dx  F(3)  F(0,5)  4,88 (symmetrisch zum Wendepunkt auf der x-Achse)
0,5
Die Fläche ist also 2*4,88 = 9,76 FE groß.
Beachten Sie aber: das Intergral von -2 bis 3 ist 0. Warum ist das so?