¨Ubung: Schulmathematik Analysis

Übung: Schulmathematik Analysis
F. Embacher, S. Götz, S. Haller und M. Kunzinger
WS 2016/17
Blatt 2
8. Eine Population von Walen wächst jährlich um 15%. Die derzeitige Anzahl
beträgt 1120. Wie viele Wale werden es nach (1) fünf Jahren, (2) zehn
Jahren, (3) n Jahren sein, wenn
(a) das Wachstum ungestört verläuft?
(b) jährlich 120 Wale gefangen oder erlegt werden?
(c) jährlich 200 Wale gefangen oder erlegt werden?
(d) Worin liegt der Unterschied zwischen (b) und (c) und woraus erklärt
er sich?
9. Arithmetische Reihen: Berechnen Sie auf verschiedene Arten für n ∈ N:
(a) 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n =?
(b) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) =? (Abbildung 3)
Abbildung 3: Zur Summe der ungeraden natürlichen Zahlen
(c) 2 + 4 + 6 + · · · + 2(n − 1) + 2n =?
10. Geometrische Reihen ( Abschnitt 2.2, Beispiel 5 ):
(a) Unter welchen Bedingungen hat die Reihe eine Summe? Geben Sie
eine Formel für ihre Summe an!
B2 B4 B6
i. 1 +
+
+
+ ...
3
9
27
ii. −1 + w 2 − w 4 + w 6 − . . .
4
(b) Berechnen Sie:
i. (1 − x2 ) · (1 + x + x2 + . . . ) für |x| < 1
ii. (1 − a + a2 − a3 + . . . ) · (1 + a + a2 + a3 + . . . ) für |a| < 1
(c) Beweisen Sie:
1
1 + y2 + y4 + y6 + . . .
=
falls |y| < 1
i.
2
3
1 − y + y −y + ...
1−y
ii. (z 2 − 1) · (1 + z 2 + z 4 + . . . ) = −1 falls |z| < 1
11. Verallgemeinertes Heron’sches Verfahren.
(a) Berechnen Sie mit der rekursiven Formel
1
a
xn+1 = · (p − 1) · xn + p−1
p
xn
√
mit a > 0 und p ∈ N, p ≥ 2, Näherungswerte für 3 2! Wählen Sie
einen geeigneten und einen ungünstigeren Startwert x0 !
(b) Zeigen√Sie, dass das in (a) definierte Verfahren für x0 p > a von oben
gegen p a strebt!
Hinweis: Mit Hilfe
Ungleichung ( Satz 19 ) er
der Bernoulli’schen
kennt man, dass x −
xp −a
pxp−1
p
≥ a, also xn p ≥ a ist.
(c) Wie hängt das in der Vorlesung behandelte Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln mit diesem zusammen?
12. (a) Formen Sie die folgenden Dezimalzahlen in Bruchzahlen um:
0, 4 ; 0, 4̄ ; 0, 23 ; 0, 35̄ ; 0, 256 ; 0, 256̄ .
(b) Stellen Sie die Dezimalzahl 1,31 in anderer Dezimalform dar!
(c) Begründen Sie wie in der Vorlesung mithilfe der Darstellung auf dem
Zahlenstrahl, warum 1, 9̄ nicht kleiner als 2 sein kann!
13. Welche der folgenden Aussagen entspricht/entsprechen der Definition einer
konvergenten Reihe ( Abschnitt 2.1 )? Kreuzen Sie an! Wenn es Nichtentsprechungen gibt: Begründen Sie, warum nicht!
2 an → a ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N: |an − a| < ε ∀n ≥ n0
2 an → a ⇔ ∀n ∈ N ∃ε > 0: |an − a| < ε
2 In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen fast alle (d. h. alle
bis auf endlich viele) Folgenglieder darin.
2 In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen unendlich viele Folgenglieder.
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14. Gegeben ist die Folge hn ∈ N|an =
2n+1
i.
4n2 −1
(a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und den Grenzwert dieser Folge! Ist die Folge beschränkt?
(b) Ab welchem Folgenindex unterscheiden sich die Folgeglieder der Folge
1
um weniger als ε = 100
vom Grenzwert a eben dieser Folge? Formulieren Sie eine Antwort in ganzen Sätzen und eine mithilfe von mathematischen Symbolen!
(c) Stellen Sie das Konvergenzverhalten von han i graphisch dar!
15. Geben Sie je ein Beispiel einer
(a) monotonen und beschränkten, aber nicht konvergenten
(b) monoton wachsenden und konvergenten
(c) alternierenden, nicht beschränkten
(d) nicht monotonen, aber konvergenten
(reellen) Folge an! Weisen Sie die jeweils geforderten Eigenschaften nach!
16. Just for fun: Es sei limn→∞ han + bn i = u und limn→∞ han − bn i = v.
(a) Zeigen Sie, dass die Produktfolge han bn i gegen 14 (u2 − v 2 ) konvergiert!
(b) Demonstrieren Sie die Aussage von (a) anhand konkreter Folgen han i
und hbn i!
17. Zeigen Sie (vgl. Satz 22 ): Zwei reelle Folgen han i und hbn i haben die Grenzwerte a bzw. b, dann konvergiert die Folge han + 2bn i gegen a + 2b.
√
18. (a) Zeigen Sie auf zwei verschiedene Arten, dass 3 nicht rational ist!
(b) Abbildung 4 links zeigt das Prinzip der Wechselwegnahme zur Bestimmung eines gemeinsames Maßes zweier positiver Zahlen a und b.
Begründen Sie damit, dass die Diagonale d und die Seitenlänge s eines
regelmäßigen Fünfecks (Abbildung 4 rechts) kein gemeinsames Maß
besitzen!
Abbildung 4: Prinzip der Wechselwegnahme und regelmäßiges Fünfeck
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